Friedrich Schiller - Universität. Räumliche Autokorrelation und deskriptive Methoden

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1 Friedrich Schiller - Universität Institut für Geographie Wintersemester 2004/2005 Hausarbeit zum Hauptseminar: Analyse und Modellierung räumlicher Daten Leiter: Dr. Martin Herold Thema: Räumliche Autokorrelation und deskriptive Methoden Verfasser: Christian Pfeifer Wanderslebenstr. 7, Jena christian_pfeifer@gmx.net Abgegeben am

2 Inhalt 1 Einleitung 2 2 Allgemeine deskriptive Methoden Mittelwerte Arithmetische Mittel Median und Modus Streuungsmaße Standartabweichung und Varianz Schiefe und Exzess Nearest Neighbor -Analyse Histogramm Datenniveaus Objektarten 7 3 Räumliche Autokorrelation Hinführung Das erste Gesetz der Geographie Berechnung der räumliche Autokorrelation Geary s (c) Index Moran s (I) Index Probleme Datenherkunft MAUP Spatial Sampling 13 4 Schlussbemerkung 15 Literatur 15 1

3 1 Einleitung Um herauszufinden wie bestimmte Eigenschaften im Raum verteilt sind bedarf es spezieller statistischer Methoden, besonders dann, wenn die zu untersuchenden Eigenschaften in Beziehung zum Raum oder zu anderen Merkmalen stehen. Um diese Beziehungen für den Betrachter sichtbar zu machen werden diese durch deskriptive Methoden analysiert und in Form einer einzigen oder weniger Zahlen ausgedrückt. In dieser Arbeit soll dabei ein Hauptaugenmerk auf die Datenanalyse in Bezug auf die räumliche Autokorrelation gelegt werden. Diese, soviel soll schon gesagt werden, beschäftigt sich mit der räumlichen Beziehung zwischen Objekten und ihren Nachbarn. Oder wie MORAN schon 1948 schrieb The presence, absence, or characteristics of some spatial objects may sometimes have significant impacts on the presence, absence, or characteristics of the neighboring objects. ( LO & YEUNG 2002: 117) Aber bevor auf diese spezielle deskriptive Methode der räumlichen Autokorrelation eingegangen wird, sollen zuvor ausgewählte, grundlegende Verfahren und Sachverhalte der traditionellen deskriptiven Statistik erläutert werden. 2 Allgemeine deskriptive Methoden Die deskriptive bzw. beschreibende Statistik befasst sich mit der Analyse und Darstellung von räumlichen und zeitlichen Daten. Die Methoden der deskriptiven Statistik haben das Ziel, die oft großen Datenmengen mit nur wenigen Zahlen zu charakterisieren, so dass sie für den Betrachter gut interpretierbar sind. Dabei zählt die Visualisierung der Daten, wie z.b. in einer Karte, zu den besten Methoden bestimmte Muster in den Daten zu erfassen. Zu den deskriptiven Methoden gehört der Mittelwert und die Streuung, welche nun kurz vorgestellt werden (LO & YEUNG 2002: 350 & HELMSCHROT & FINK 2001). 2.1 Mittelwerte Durch die Mittelwerte (engl. central tendency) wird das Zentrum der Verteilung charakterisiert. Mittelwerte können u.a. durch das arithmetische Mittel, den Median oder den Modus angeben werden (HELMSCHROT & FINK 2001) Arithmetische Mittel Das arithmetische Mittel berechnet man aus der Summe aller Einzelwerte, dividiert durch die Gesamtzahl aller Stichprobenfälle (siehe Formel 1). Man sollte diese Formel anwenden, wenn die Formel 1: Mittelwert x m Werte hauptsächlich um das arithmetische Mittel verteilt sind. Ist (HELMSCHROT & FINK 2001) die Stichprobe zu heterogen (weicht zu sehr von der Glockenform ab) bringt dieses Verfahren zu große Nachteile mit sich (HELMSCHROT & FINK 2001). 2

4 2.1.2 Median und Modus Der Median ist der Wert, der die nach der Größe geordnete Verteilung in 2 gleichgroße Bereiche teilt. Beispiel: Gegeben ist ein beliebige Zahlenreihe mit den Werten 1, 3, 5, 7, 66. Der mittlere Wert also der Median ist hier 5. Bei einer ungeraden Anzahl von Stichproben wird der Median von den beiden in der Mitte stehenden Zahlen gebildet. Der Median hat den Vorteil, dass er sich im Gegensatz zum arithmetischen Mittel nicht durch einzelne hohe Werte beeinflussen lässt. Der Modus hingegen zeigt den am häufigsten vorkommenden Merkmalswert einer Datenreihe oder einer Klasse auf (LO & YEUNG 2002: 351 & HELMSCHROT & FINK 2001). 2.2 Streuungsmaße Die Streuung (engl.: dispersion) gibt an, wie weit die Merkmalswerte um das Zentrum verteilt sind. Um die Streuung anzugeben gibt es vier gebräuchliche Möglichkeiten Standartabweichung und Varianz Nach LO & YEUNG (2002: 351) ist die Standartabweichung die wichtigste Maßeinheit um die Streuung zu charakterisieren. Um die Standartabweichung berechnen zu können, muss vorher die Varianz gebildet werden. Denn die Standartabweichung ergibt sich, aus der Wurzel der Varianz (siehe Fromel 3). Die Varianz selbst wird nach der Formel 2 berechnet. Hier muss die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert x m, durch die Gesamtzahl der Elemente n dividiert werden. Formel 3: Varianz s² (HELMSCHROT & FINK 2001) Formel 2: Standartabweichung s (HELMSCHROT & FINK 2001) Die Standartabweichung gibt an, wie sich die Streuung einer Verteilung um den Mittelwert verhält. Allerdings hat sie den Nachteil, dass man die Standartabweichungen zweier verschiedener Stichproben nur vergleichen kann, wenn deren arithmetische Mittel in etwa gleichgroß sind (LO & YEUNG 2002: 351 & HELMSCHROT & FINK 2001). 3

5 2.2.2 Schiefe und Exzess Die Schiefe (engl.: skewness) wie der Exzess (engl.: kurtosis) sind Formenparameter, d.h. sie geben Auskunft über die Form der Verteilung. Die Schiefe [ ] stellt ein Maß für die Symmetrie der Verteilung um das arithmetische Mittel dar und errechnet sich (HELMSCHROT & FINK 2001) aus der Differenz des Mittelwert x m vom Median Me, welche durch die Standartabweichung s dividiert wird, wie in Formel 4 abgebildet. Wenn die Form der Verteilung symmetrisch ist, dann hat die Schiefe g einen Wert von 0, ist g größer als 0 handelt es sich um eine positive Schiefe, der Median ist links vom Mittel. Bei einer negativen Schiefe hingegen ist g kleiner als 0 und der Median rechts vom Mittel. Formel 4: Schiefe g (HELMSCHROT & FINK 2001) Formel 5: Exzess Ez (HELMSCHROT & FINK 2001) Der Exzess hingegen ist ein Maß für die Steilheit der Verteilung. So beschreibt er, ob die Merkmalsverteilung spitz oder flach um das Zentrum verteilt ist. Berechnet wird er, wie in Formel 5 aufgezeigt. Von einer spitzen Verteilung spricht man, wenn der Exzess Ez größer als eins ist und damit steiler zuläuft als eine Normalverteilung. Keinen Exzess (Ez = 1) findet man bei einer Normalverteilung vor. Ist der Exzess kleiner als eins (negativer Exzess) ist die Verteilung flacher als eine Normalverteilung (LO & YEUNG 2002: 351). 2.3 Nearest Neighbor -Analyse Bei der Nearest Neighbor -Analyse werden Verteilungsmuster von Punkten auf einer Fläche untersucht. Dabei kann bestimmt werden, ob die Messpunkte regelmäßig, unregelmäßig oder in Clustern (Gruppen) auftreten. Diese Einordnung [in regelmäßig, unregelmäßig oder in Clustern] erfolgt über das Messen der Distanzen zwischen gepaarten Datenpunkten. Gepaart werden dabei die Punkte mit der geringsten räumlichen Distanz zueinander - die Nearest Neighbor. (DUMFARTH & LORUP 2000) Um Verwechslungen mit der räumliche Autokorrelation aus dem Weg zu gehen, muss klar festgestellt werden, dass bei der Nearest Neighbor -Analyse nur die räumliche Verteilung der Punkte bestimmt wird, nicht aber im Zusammenhang mit den Ausmaß der Werte, den diese Punkte haben 4

6 Abbildung 1: Mögliche Verteilungsmuster (a) regelmäßig, (b) unregelmäßig, (c) gruppiert (DUMFARTH & LORUP 2000) Bei der Nearest Neighbor -Analyse gibt es einige Dinge zu beachten, um mögliche Ungenauigkeiten und Fehlmessungen so gering wie möglich zu halten. Weil es notwendig ist, die Punktdichte in dem Gebiet zu kennen, muss die Größe der Fläche, in dem die Analyse durchgeführt werden soll, genau festgelegt werden. Ist nämlich die zu untersuchende Fläche zu groß im Verhältnis zur Anzahl der Punkte, erhält man eine viel geringere Punktdichte als wenn man für die gleiche Anzahl von Punkten eine kleineres Gebiet für die Untersuchung verwendet. Auch das Problem des Kanteneffektes (engl.: edge effect) sollte nicht vernachlässigt werden. Das Problem liegt hier darin, dass es unter Umständen auch Punkte außerhalb der Grenzen der Untersuchungsmatrix gibt, zu denen aber von den Punkten am Rande der Matrix keine Distanz gemessen werden kann, obwohl diese am nächsten liegen. Um dies zu verhindern, sollte auch eine Messung zu Punkten außerhalb der Untersuchungsmatrix zugelassen werden (LO & YEUNG 2002: 357). 2.4 Histogramm Neben der Karte ist das Histogramm (siehe Diagramm 1) eine der verbreitesten Möglichkeiten Daten visuell darzustellen. Ein Histogramm zeigt an, wie viele Merkmalsausprägungen in einer bestimmten vorher festgelegten Klasse sind. Dabei gibt die y-achse Auskunft über die Häufigkeit der Variable (z.b.: Anzahl von Temperaturwerten) und die x- Achse zeigt die Klassen, in denen die Werte eingeordnet werden (z.b.: in der Klasse 0-5 C liegen 3 Werte). Es liegt also eine Klassenhäufigkeitsverteilung vor, durch die man erkennen kann, wie sich die Diagramm 1: Histogramm [rot] mit Normalverteilung [schwarz] (DUMFARTH & LORUP 2000) 5

7 Werte über das gestammte Wertespektrum verteilen. Die wichtigste Form einer Häufigkeitsverteilung ist die glockenförmige Normalverteilung. Diese ist so bedeutend, da viele statistische Methoden auf Daten angewiesen sind, die aus einer normalverteilten Grundgesamtheit kommen. Bei einer Normalverteilung liegt das arithmetisches Mittel und Median nahe beieinander (oder sind gleich) und repräsentieren die Mitte der Datenmenge (HELMSCHROT & FINK 2001). 2.5 Datenniveaus Da bestimmte deskriptive Methoden nur bei Daten bestimmter Skalenart angewendet werden können, sollen hier die verschieden Skalen kurz vorgestellt werden. Das Problem liegt hier in dem Umstand, dass Daten verschiedenste Merkmalsausprägungen repräsentieren, die in unterschiedlichsten Maßeinheiten gemessen werden. So kann ein Datensatz aus Temperaturdaten bestehen, die in C gespeichert werden oder aber die Entfernungen repräsentieren, die in Metern gemessen werden. Dabei muss beachtet werden, dass man zwar sagen kann, 2m sind doppelt so viel wie 4m, aber 10 C sind nicht doppelt so warm wie 5 C, weil die Maßeinheit Grad Celsius einen zufälligen Nullpunkt hat, im Gegensatz zu Kelvin oder dem metrischen System (HELMSCHROT & FINK 2001). Nominalskalierte Daten sind mit Werten unterschiedlicher Merkmale besetzt und eine Rangfolge der Merkmale kann nicht gebildet werden. Beispiele hierfür sind Namen, Religionszugehörigkeit aber auch bei Ja-Nein-Fragen wie Hat der Haushalt einen PKW?. Die Ordinalskala gilt für Werte, deren Merkmale in eine Rangfolge gebracht werden kann und die Abstände zwischen benachbarten Werten sind nicht immer identisch. Beispiele sind Erdzeitalter, Zensuren oder das Einkaufsverhalten (oft, regelmäßig, selten). Bei intervallskalierten Daten sind die Abstände zwischen benachbarten Werten identisch, aber es gibt keinen definierten Nullpunkt. Darunter fällt die schon oben erwähnte Maßeinheit Grad Celsius, aber auch der Intelligenzquotient. Ratioskalen unterscheiden sich von der intervallskalierten nur in dem Punkt, dass hier ein definierter Nullpunkt festgelegt ist. Dazu gehört die Angabe von Entfernung in Metern, das Gewicht in Kilogramm oder das Einkommen in Euro. (HELMSCHROT & FINK 2001) 6

8 2.6 Objektarten Ähnlich wie bei den Skalenarten ist die Anwendung von statistischen Methoden nur an bestimmte Objektarten gekoppelt (siehe Geary s (c) Index ). Geographische Objekte werden nach ihrer Topologieausdehnung, also der Art wie sie den Raum ausfüllen gemessen. Punkte haben keine dimensionale Ausbreitung, also auch keine Länge, Breite oder Höhe. Punkte können verwendet werden um die räumliche Verteilung von Ereignissen und deren Muster wiederzugeben. Linien haben genau eine Dimension, die Länge. Sie werden verwendet, um Distanzen zu messen oder lineare Objekte darzustellen, beispielsweise Strassen. Flächenobjekte haben eine zwei dimensionale Ausdehnung, die Länge und Breite, aber keine Höhe. Sie werden verwendet, um natürliche Objekte wie Felder oder künstliche Objekte wie Bevölkerungsverteilungen darzustellen. Oberflächen und Volumen sind dreidimensional. Sie finden Verwendung bei der Darstellung von natürlichen Objekten wie digitalen Geländemodellen oder bei Phänomenen wie das Besucherpotential eines Einkaufszentrums. Zeit wird oft als eine weitere Dimension angesehen, kann aber nach LONGLEY et al. (2002: 101) im GIS nur schwer simuliert werden. Wichtig ist noch zu wissen, wie sich die einzelnen Dimensionen zueinander verhalten. So kann man ein höher dimensionales Objekt auf eine niederes Herunterrechnen, aber nicht umgekehrt. Wie man ein Objekt letztendlich im GIS darstellt, hängt auch von dem Maßstab ab. For example, on a less-detailed map of the world, New York is represented as zerodimensional point. On a more-detailed map such as a road atlas it will be represented as twodimensional point. (LONGLEY et al. 2001: 101) In Wirklichkeit ist die Stadt aber dreidimensional und kann als solche auch von bestimmten Softwaresystemen wiedergegeben werden (LONGLEY et al. 2001: 101). 3 Räumliche Autokorrelation 3.1 Hinführung Das Problem der traditionellen statistischen Analysen ist, dass es bei der Untersuchung von Zusammenhängen, die eine stochastische Abhängigkeit aufweisen, zu fehlerhaften Resultaten kommt. So sind Fehlschätzungen der Korrelation zwischen stochastisch abhängigen Variablen möglich, wodurch Test- und Schätzverfahren verzerrte Ergebnisse liefern und Fehlinterpretationen die Folge sind. Allerdings kommen stochastische abhängige Variablen in der Statistik, sehr oft vor und ihre genaue Analyse ist meist von großem Interesse. (BAHRENBERG et al. 2003²: ) Stochastische Abhängigkeit heißt, dass bestimmte statistische Ereignisse nicht unabhängig voneinander auftreten. 7

9 Die Ursache für das Unvermögen der traditionellen Statistik mit Daten umzugehen, die stochastische Abhängig sind, liegt darin, dass sie auf Zufallsvariablen basiert. Darunter versteht man, dass die verschiednen Datenwerte der Zufallsvariable rein zufällig zustande kommen und somit unabhängig voneinander sind (ABLER et al. 1992: 154). Am Beispiel eines Würfelexperiments soll dies verdeutlicht werden. Würfelt man eine 6 hat dies keinerlei Einfluss auf den nächsten Würfeldurchgang. Die Wahrscheinlichkeit wieder eine 6 zu würfeln ist bei jeden Durchgang gleich groß. Vorherige Ereignisse haben keinen Einfluss auf nachfolgende Ereignisse. In Hinblick auf die räumliche Verteilung von Datenpunkten bedeutet dies, daß die verschiedenen Werte einer Variablen unabhängig von ihrer räumlichen Position zustande kommen. Erscheinungen wie Distanz der Werte zueinander, Nachbarschaft, Nähe, Richtung und dergleichen haben also keinen Einfluß auf den Wert eines bzw. aller Datenwerte. (DUMFARTH & LORUP 2000) Dass dies aber nicht den Gegebenheiten der Realität entspricht, ist leicht erkennbar und wird am Beispiel des Bodenmarktes deutlich. Denn dann würde die räumliche Verteilung der Grundstückspreise keinerlei Muster aufzeigen, da ja alles zufallsverteilt ist. Im Stadtzentrum beispielsweise würden sich willkürlich sehr teure Grundstücke mit sehr billigen oder mittelteuren abwechseln. Bei der Geostatistik geht man daher den Ansatz an, dass die Werte, die eine Variable annehmen kann, durch eine Funktion gesteuert wird, weshalb man von regionalisierten Variablen spricht. Das heißt, dass die Werte eines Gebietes bzw. einer Region einander ähnlich sind, weil sie sich ja untereinander beeinflussen können und dass mit zunehmender Entfernung die Ähnlichkeit abnimmt. Dies beschrieb W. TOBLER mit dem ersten Gesetz der Geographie, welches im nächsten Abschnitt erläutert werden wird. Weiterhin geht man davon aus, dass die Verbreitung eines Phänomens nur ausreichend mit zu Hilfenahme von räumlichen Eigenschaften (z.b.: Distanz oder Nachbarschaft) erklärt werden kann (DUMFARTH & LORUP 2000). 3.2 Das erste Gesetz der Geographie und mehr (und seine Folgen) W. TOBER formulierte 1970 das erste gesetzt der Geographie und beschrieb somit das schon seit langem bekannte Phänomen, das sich benachbarte Objekte oft ähnlicher waren als weit entfernte. The first law of geography is that everything is related to everything else, but near things are more related than distant things. (TOBLER 1970 in ABLER 1992: 155) Dieses Gesetz der Geographie ist, so LONGLEY et al. (2001: 99), die allgemeinste Formulierung über die Verteilung räumlicher Erscheinungen. Mit seinem Gesetzt beschreibt TOBLER die räumliche Autokorrelation, also den Grad, mit dem nahe und entfernte Dinge miteinander verbunden sind (LONGLEY et al. 2001: 99). Die räumliche Autokorrelation ist eine Bezeichnung für die Abhängigkeit zwischen benachbarten Orten, wie es überall auf der Erdoberfläche vorkommt. In practice, the 8

10 existence of spatial autocorrelation means that if A and B are close together, what happens at A is related to what happens at B, and vice-versa. (ABLER et al 1992: 287) Obwohl es logisch erscheint, dass Dinge die sich räumlich nahe sind, auch ähnliche Merkmale aufweisen, kann der Umkehrschluss, dass sich die Merkmale von Objekten, die weit entfernt von einander sind, stark unterscheiden, nicht so einfach gezogen werden. Für ABLER et al. (1992: 287) ist vielmehr die Frage entscheidend, wie weit zwei Orte von einander entfernt sein müssen, damit sich diese nicht gegenseitig beeinflussen, sie also unabhängig voneinander sind. Es soll nur kurz erwähnt werden, dass der gleiche Umstand auf die Zeit bezogen zeitliche Autokorrelation genannt wird (LONGLEY et al. 2001: 99). Bei der Bestimmung der räumliche Autokorrelation sind die Lage der Objekte zueinander und ihre Merkmalsausprägung die wichtigsten Faktoren. Dabei werden gleichzeitig die Gemeinsamkeiten im Ort und in der Eigenschaft miteinander verglichen (siehe Abschnitt 3.3 Berechnung der räumlichen Autokorrelation). Wenn Objekte nahe beieinander liegen bzw. benachbart sind und sie das gleichen Merkmal beinhalten, dann spricht man von einem Muster mit positiver räumlichen Autokorrelation. Conversely, negative Spatial autocorrelation is said to exist when features which are close together in space tend to be more dissimilar in attributes than features which are further apart (in opposition to Tobler s Law). (LONGLEY et al. 2001: 100,101) Eine räumliche Autokorrelation ist nicht vorhanden, wenn die Merkmale unabhängig vom Ort sind (LONGLEY et al. 2001: 101). Abbildung 2: Typen der räumlichen Autokorrelation (LO & YEUNG 2002: 117) An Abbildung 2 sind die drei wichtigsten Typen von räumliche Autokorrelationen aufgezeigt. Die Klassifizierung richtet sich nach der relativen Verteilung räumlicher Objekte und ihrer Nachbarn. Feld A zeigt die extremste Form positiver Autokorrelation zwischen benachbarten Zellen. Hier liegen jeweils die schwarzen und weißen Zellen in einer homogenen Fläche zusammen bzw. räumliche Objekte, die die gleichen Eigenschaften haben, liegen räumlich nah beieinander. Das genaue Gegenteil, also eine extrem negative räumliche Autokorrelation, zeigt das Feld C. Hier grenzen an jedes schwarze Feld jeweils nur weiße Felder und 9

11 Abbildung 3: Bevölkerungsverteilung in Kalifornien und Iowa (ABLER et al. 1992: 84) umgekehrt. Eine zufällige räumliche Autokorrelation sieht man im Feld B. Dort gibt es keine größeren Cluster von Objekten mit den gleichen Werten.( LONGLEY et al. 2001: 101 & LO & YEUNG 2002: 117) In Abbildung 3 sieht man ein praktisches Beispiel für die unterschiedliche Typen räumliche Autokorrelation. Hier wird auch deutlich, dass weniger die durchschnittliche Bevölkerungsdichte von Interesse ist (was auch in der traditionellen Statistik berechnet werden kann), sondern dass es für eine Interpretation viel interessanter (aber auch schwieriger) zu wissen ist, wo Ballungen und wo ländliche Gebiete sind. Beide Regionen sind von der Fläche her in etwa gleich groß, haben aber eine vollkommen unterschiedliche Bevölkerungsverteilung. In San Bernardino herrscht aufgrund des nur in wenigen Teilen erreichbaren Grundwassers eine starke räumliche Autokorrelation der Bevölkerung. Im Gegensatz dazu steht das Gebiet in Iowa, das nur eine schlechte räumliche Autokorrelation aufweist, was u.a. auf die gleichmäßig vorkommenden Ressourcen zurückzuführen ist (ABLER et al. 1992: 83). 3.3 Berechnung der räumliche Autokorrelation Bei der Berechnung der räumliche Autokorrelation werden zwei Werte miteinander verglichen. Erstens die Gleichwertigkeit der Attribute und zweitens die Ähnlichkeit des Ortes der Objekte, welche mit den Attributen besetzt sind. Dabei hängt es von dem verwendeten Datentyp ab, mit welcher Methode die Attribute miteinander verglichen werden können und von dem Objekttyp, 10

12 wie die Nachbarschaft festgestellt werden kann (LONGLEY et al. 2001: 114). Zwei der wichtigsten Methoden, die räumliche Autokorrelation anzugeben, ist der Geary s (c) Index und der Moran s (I) Index (LO & YEUNG 2002: 351) Geary s (c) Index Der von Geary entwickelte Index ist eine Maß zur Angabe der räumliche Autokorrelation für Objekte mit intervallskalierten Attributdaten. Deshalb kann man diesen Index gut bei der Analyse von Datenansammlungen verwenden, die von Erhebungsgebieten (engl. census tracts) stammen. Der Geary s (c) Index misst die Ähnlichkeit der Werte von i und j (siehe Formel 6). Die Variable z i entspricht dem Wert des Objektes c i. Die Ähnlichkeit des Ortes, wo sich i und j befinden, wird durch die boolesche Variable w ij angegeben, wobei w ij = 1 ist, wenn sie benachbart sind und wij = 0, wenn sie es nicht sind (LO & YEUNG 2002: 351,352). Aber das ist nur eine von vielen Möglichkeiten, w ij zu definieren, denn w ij repräsentiert die Nachbarschaftsbeziehungen und da diese je nach Aufgabe anders festgelegt werden können, muss diese auch in der Formel entsprechend definiert werden (BAHRENBERG et al. 2003²: ). Daraus ergibt sich dann der Index (c) wie in Formel 7 beschrieben, wobei s ² die Varianz des Merkmale z i ist. Wenn das Ergebnis von c = 1 ist, dann sind die Merkmale der Objekte unabhängig von ihrer Lage verteilt. Der Index (c) ist kleiner als eins, wenn gleiche Merkmale an gleichen Orten vorkommen, es also eine positive räumliche Autokorrelation gibt. Und schließlich kann (c) auch größer als eins sein, wenn sich Merkmale und Lage der Objekte unterscheiden, also eine negative räumliche Autokorrelation vorliegt (LO & YEUNG 2002: 351,352). Formel 6: Berechnung des Geary s (c) Index (LO & YEUNG 2002: 351) Formel 7: Berechnung des Geary s (c) Index (LO & YEUNG 2002: 351) 11

13 3.3.2 Moran s (I) Index Der Moran s (I) Index hat starke Ähnlichkeit mit Geary s Index mit dem Unterschied, dass hier die Ergebnisse dem Betrachter wahrscheinlich logischer erscheinen. Denn hier stehen positive Ergebnisse auch für eine positive räumliche Autokorrelation und negative für eine negative räumliche Autokorrelation. Wenn der Index 0 ist, weist dies auf unabhängige unkorrelierte Daten hin, mit zufälliger Anordnung. Die Variablen in der unteren Formel 8 zur Berechnung des Index (I) werden fast genauso definiert wie bei Geary s (c) Index. Allerdings wird c ij nach der oberen Formel 8 beschrieben. z i steht wieder für den Wert des Objektes i und j. Die Variable ist der Mittelwert, s² entspricht der Varianz von z i. Die räumliche Nähe für i und j wird wieder durch w ij, angegeben (LO & YEUNG 2002:352). Moran s and Gearie s Index kann man nur bei flächenhaften Objekten anwenden. Es gibt aber Punkt, Linien und Rasterobjekte für die auch über Umwege eine Berechnung der räumliche Autokorrelation möglich ist. Bei Punktdaten kann man beispielsweise die Punkte in Flächen umwandeln und dann so die oben erwähnten Indizes anwenden. Die räumliche Autokorrelation zwischen linienförmigen Objekte kann man berechen, Formel 8: Berechnung des Moran s (I) Index wenn die Linien Verbindungen zwischen (LO & YEUNG 2002: 352) Punkten repräsentieren, die mit Merkmalen besetzt sind. So wird dann die Merkmalsähnlichkeit von den Punktpaaren mit anderen Punktpaaren verglichen und die räumliche Nähe wird dadurch gemessen ob es eine direkte Verbindung zwischen den Punktpaaren gibt. Bei Rasterdaten wird einfach verglichen, ob einzelne Rasterzellen gleiche Außengrenzen haben (LO & YEUNG 2002: 352). 3.4 Probleme Datenherkunft Ein allgemeines Problem, das viele Analysen betrifft, ist, dass man nicht weiß, ob die Ergebnisse stimmen, weil man nicht sicher sein kann, dass die Daten, die diesen zu Grunde liegen, korrekt sind. Mit den Worten von LONGLEY et al. (2001: 137) ausgedrückt: Uncertainties in data lead to uncertainties in the result of analysis. Die Ursache liegt u.a. in der Generalisierung und Bündelung der rohen Ausgangsdaten (welche die Realität widerspiegeln sollen), z.b.: wenn Krankheitsfälle nur pro Bezirk angegeben werden oder 12

14 Bevölkerungszahlen nur für ein bestimmtes Gebiet angeboten werden. Obwohl man die Ursache für dieses Problem nicht beheben kann, ist es doch möglich, es genau zu quantifizieren, um so zumindest die schlimmsten Effekte zu verringern. Die Probleme kommen auch daher, weil in einen GIS Daten unterschiedlichster Herkunft, Maßstabes, Detailgenauigkeit und Klassifizierung miteinander verschmelzt werden (LONGLEY et al. 2001: 137) MAUP Das modifiable areal unit problem (MAUP) tritt auf, wenn willkürlich festgelegte Grenzen für die Berechnung von räumlichen Ereignissen genutzt werden. Dies tritt z.b. bei Volkszählungsdaten auf, die in bestimmten Flächen angegeben werden, oder die Angabe des Wahlergebnisses wird höchstens in der Größe von Stadtvierteln gemacht, nicht aber in der von Einzelpersonen. Vom statistischen Standpunkt her sind diese Grenzen beliebig festgelegt worden weil, They do not necessarily consider with breaks in the data. Thus, changing the boundaries of units [ ] can affect the appearance of the data. (HEYWOOD et al. 2002²: 125) Deshalb ist es sehr problematisch, zwei Karten oder Datensätze miteinander zu vergleichen, die denselben Ausschnitt zeigen, aber deren Flächeneinheiten sich unterscheiden (HEYWOOD et al. 2002²: 125 & LONGLEY et al. 2001: 138). 3.5 Spatial Sampling Als letztes soll noch kurz auf das spatial sampling eingegangen werden, da die durch das sampling reduzierten Daten auch bei der Analyse der räumliche Autokorrelation verwendet werden. Sampling ist ein Prozess, bei dem aus einem Feld mit vielen Objekten, einige wenige herausgesucht werden. Dies ist nötig, da die reale Welt unendlich komplex ist, ein GIS aber nicht unendlich viele Daten verarbeiten kann. Daher braucht es eine Reduzierung der Daten, wie es durch das sampling geschieht. Die sampling Modelle (engl.: sampling scheme, siehe Abbildung 4) bestimmen die räumliche Verteilung der einzelnen Stichprobenpunkte im Untersuchungsgebiet (LONGLEY et al. 2001: 103). Das Feld A in Abbildung 4 zeigt eine einfache zufällige Stichprobe, also eine, in der jeder Punkt die gleiche Wahrscheinlichkeit hatte, gezogen zu werden. Dieses Modell hat den Vorteil, dass es statistisch völlig korrekt ist, aber es weist in der Praxis einige Schwierigkeiten auf. So kann es vorkommen, das kleine, aber wichtige Bereiche unterpräsentiert werden, es sei denn es handelt sich um eine sehr große Anzahl von Stichproben. Bei einer systematischen Stichprobe wird der erste Punkt zufällig ermittelt und an diesem dann die restlichen entlang eines festen Schemas ausgerichtet, wie in Feld B zu sehen. Diese Methode ist einfach durchzuführen, kann aber bei Daten die periodischen Änderungen unterliegen, starke Fehler verursachen. 13

15 Eine strategische Zufallstichprobe findet man dann vor, wenn man das Untersuchungsgebiet in bestimmte Teilgebiete gliedert und dann in jedem Teilgebiet eine zufällige Stichrobe nimmt (siehe Abbildung 4, Feld C).Dieses Modell scheint am geeignetsten, weil nur eine geringe Anzahl von Stichproben gezogen werden muss. Allerdings leidet dieses Modell auch unter denselben Problemen wie die Zufallsstichprobe. Das letzte hier aufgeführte sampling Modell zeigt ein strategisches, systematisches und unangepasstes Modell. Wie der Name schon sagt, vereinigt es die Vorgehensweise und auch Vorteile der drei vorher genannten Modelle (LO & YEUNG 2002: 118,119). Zur Stichprobenanzahl lässt sich sagen, dass je heterogener räumliche Phänomene verteilt sind, desto mehr Stichproben sollten genommen werden, um die ganze breite des Umfanges zu erfassen. Und je homogener die Verteilung desto weniger Stichproben müssen genommen werden. Zu beachten ist, dass aus Gründen der Repräsentativität eine gewisse Mindestanzahl an Stichproben gesammelt werden müssen (LONGLEY et al. 2001: 118). Abbildung 4: Vier geographische sampling Modelle (LO & YEUNG 2002: 118 ) 14

16 4 Schlussbemerkung Wie hoffentlich gezeigt werden konnte ist die Analyse räumlich korrelierter Daten eine komplexe, aber aufschlussreiche Methodik mit vielfachen Anwendungsmöglichkeiten. Trotzdem ist mir beim lesen der vielfältigen Literatur aufgefallen, dass immer wieder erwähnt wird, dass die Methoden zur Analyse räumlichen korrelierter Daten nur schlecht oder gar nicht in GIS integriert sind, wie auch LO & YEUNG (2002: 350) bemängeln. Lediglich mit Idris32 so LO & YEUNG (2002: 350) ist es möglich räumlichen Autokorrelation mit den Modul AUTOCORR zu bestimmen. Hingegen bietet das weit verbreitet ArcInfo keine direkte Unterstützung bei der Analyse von räumlichen Autokorrelation. Nur durch eine Kopplung mit anderen Statistikprogrammen (z.b.: SPSS) kann diese Funktion implementiert werden. Bleibt zu hoffen, dass in Zukunft diesem Gebiet der Datenanalyse mehr Aufmerksamkeit geschenkt wird, um deren Bedeutung gerecht zu werden. Literatur ABLER R.F., MARCUS G. M. & J. M. OLSEN (1992): Geography s inner worlds, Pervasive Themes in Contemporary American Geography. New Jersey. BAHRENBERG G., GIESE E. & J. NIPPER (2003²): Statistische Methoden in der Geographie, Bd. 2. Berlin, Stuttgart. HEYWOOD I., CORNELIUS S. & S. CARVER (2002²): An Introduction to Geographical Information Systems. Essex. LO C. P. & A. K.W. YEUNG (2002): Concepts and Techniques of Geographic Information Systems. New Jersey. LONGLEY P. A., GOODCHILD M.F., MAGUIRE D. J. & D.W. RHIND (2001): Geographic Information, Systems and Science. Chichester, New York. Internetliteratur HELMSCHROT J. & M. FINK (2001): Skript zum Proseminar Statistik, (letzter Aufruf 2002) DUMFARTH E. & E. J. LORUP (2000): Geostatistik I - Theorie und Praxis, (letzter Aufruf ) 15