Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den

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1 Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den Anfangsunterricht V3 02./ Natürliche Zahlen im Anfangsunterricht V4 09./ Die Grundrechenoperationen Addition und Subtraktion V5 16./ Die Grundrechenoperationen Multiplikation und Division V6 23./ Natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften V / Rechengesetze und Rechenstrategien V8 06./ Rechenfakten automatisieren V9 20./ Schriftliche Rechenverfahren V10 27./ Rechenschwäche und Rechenbegabung V11 04./ Aufgabenformate und Übungsangebote V12 11./ Zusammenfassung und Überblick V Klausur 1

2 Vorerfahrungen zum Teilen zu Schulbeginn Max Justin Auf welchen Voraussetzungen bauen die Kinder Ihre Fähigkeiten zum Teilen auf? 2

3 Joyce Auf welchen Voraussetzungen bauen die Kinder Ihre Fähigkeiten zum Teilen auf? Justin 3

4 V 5.2 Multiplizieren und Dividieren 1 Kleines Einmaleins 1.1 Vorkenntnisse und informelle Lösungsstrategien 1.2 Wege zum Multiplizieren und Dividieren in Kl. 2 2 Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren 2.1 Vorerfahrungen 2.2 Üben 3 Division mit Rest 4

5 1 Kleines Einmaleins 1.1 Vorkenntnisse 1.2 Wege zum Multiplizieren und Dividieren in Klasse 2 5

6 1.1 Vorkenntnisse 1) Vorkenntnisse im Zusammenhang mit Sachsituationen 80% - 100% der Kinder lösten folgende Aufgaben richtig (Material konnte genutzt werden) : Der Riese Trampel isst an einem Tag 3 ganze Brote. Wie viele Brote isst er in einer Woche? In einer Packung sind 3 Kerzen. Martin kauft 4 Packungen. Wie viele Kerzen hat er insgesamt? vgl. Padberg, S

7 2) Vorkenntnisse im Zusammenhang mit Rechensätzen Kennst du schon Malaufgaben? Schreibe alle auf, die du kennst. Vielleicht weißt du ja auch schon Geteiltaufgaben? (Kl. 2, November) Juliane 7

8 Marie 8

9 Thomas 9

10 Pascal Carolin 10

11 Fazit Schüler kennen einzelne Aufgaben des Kleinen Einmaleins schon. Sie knüpfen mit ihrem bisherigen Wissen Analogien und gelangen so zum Multiplizieren von Zehnerpotenzen bzw. deren Vielfachen (häufig noch fehlerhaft), auch zum Malnehmen mit 2 über das Verdoppeln. Sie versuchen, Regeln anzuwenden (Multiplizieren mit 1 und 0). Divisionsaufgaben treten nur selten auf. Diese Aufgaben werden von den Schülern häufig anders notiert (in Anlehnung an die vertraute additive Sicht: 10: 5 =5, im Sinne von 10=5+5), als es die konventionelle Schreibweise vorgibt. 11

12 1.2 Wege zum Multiplizieren und Dividieren in Klasse 2 Vorgehen in den Schulbüchern: 1) Operation Multiplikation herleiten 2) Multiplikationsaufgaben anschaulich gewinnen 3) Malreihen zusammenstellen 4) Malreihen lernen 5) Operation Division herleiten 6) Divisionsaufgaben als Umkehraufgaben der Multiplikation gewinnen; Aufgaben mit Rest Zahlenbuch, Matheprofis, Leonardo,... 12

13 Zu bedenken, Division rutscht mitunter zu weit nach hinten - deshalb: 1) Multiplikation und Division in enger zeitlicher Nähe erarbeiten 2) Multiplikations- und Divisionsaufgaben gemeinsam anschaulich gewinnen 3) Malreihen zusammenstellen und lernen - in Verbindung damit auch die Divisionsaufgaben 13

14 Erarbeitungsmodell (im Rahmen des Projekts mathe 2000 entworfen) Konzept in: Wittmann/Müller (1990), weiterentwickelt von Selter (1995) Schritt 1: Einstieg (basierend auf Vorerfahrungen) Mal- und Geteiltaufgaben aufschreiben lassen, die Kinder schon kennen mit Plättchenmengen Malaufgaben, Aufteil- und Verteilaufgaben legen und notieren Sachsituationen nutzen 14

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16 Schritt 2: Malaufgaben in der Umwelt entdecken lassen Setze die Malbrille auf... Die Umwelt durch die Malbrille betrachten und Malaufgaben zuordnen. Einmaleins - Detektive (Detektiv-Berichte) Klasse, Schulhaus, Einkaufsstraße,... nach Mal- und Geteiltaufgaben absuchen 16

17 Malaufgabenforscher unterwegs Im Supermarkt gab es 8 Überraschungseierpaletten übereinander. Auf jeder Palette gab es 8 Reihen. In jeder Reihe sind 12 Überraschungseier. 24 Eier fehlen. Quelle: Insa Hubben, Grundschulunterricht 1/

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19 Schritt 3: Mal- und Geteiltaufgaben an Rechteckmodellen und linearen Modellen darstellen und aufsuchen Rechteckmodelle Malaufgaben mit Quadraten bzw. Punkten legen Malaufgaben am Hunderterpunktefeld (mit Abdeckwinkel) zeigen 19

20 Malplan (Zahlenbuch) lineare Modelle Anmerkung: Der Löwe springt das Zweifache seiner Körperlänge, deshalb wird er der Zweierreihe zugeordnet. Der Hirsch springt das Fünffache seiner Körperlänge, also passt er zur Fünferreihe und so wurde jeder Reihe ein Tier, das von seiner Sprungkraft her passt, zugeordnet (s. Zahlenbuch). 20

21 Schritt 4: Systematisierung zu Einmaleinsreihen: Das Kleine Einmaleins Verwandte Malreihen werden jeweils in enger Verbindung zueinander eingeführt, z. B.: Quelle: Matheprofis/Oldenbourg 21

22 Malmühle für die Viererreihe 22

23 Achterreihe Falte Quadrate in 8 gleichgroße Dreiecke. 23

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26 Weitere Ideen zum Kleinen Einmaleins Start mit dem Express Kinder notieren Malaufgaben, die sie schon kennen auf Zettel und schieben diese in die Waggons des Zuges. Quelle: Heidrun Ertel, Grundschulunterricht 1/

27 Anschauliches Darstellen von Malaufgaben Quelle: Heidrun Ertel, Grundschulunterricht 1/

28 Repräsentation der Zweierreihe in den Heften der Schüler Quelle: Heidrun Ertel, Grundschulunterricht 1/

29 1 1 - Netze Quelle: Heidrun Ertel, Grundschulunterricht 1/

30 Welche Reihen ergeben die gleichen Sterne? Quelle: Atlas Mathematik 2 30

31 Die Malmühle Sage die Malreihe mit der 8 auf und kennzeichne die Ergebnisse an der Malmühle. Beschreibe das Muster. Probiere es mit anderen Malreihen. 31

32 Beim Lernen der Malreihen sollten vielfältige Beziehungen bewusst werden. Man unterscheidet Kern- oder Stützaufgaben und davon abgeleitete Aufgaben. 32

33 Beziehungen bewusst machen: Kernaufgaben und abgeleitete Aufgaben 33

34 Schritt 5: Lernen mit Malplänen und Maltafeln Ziel: Erwerben des Einmaleinspasses 34

35 Das Pythagoreische Zahlenfeld Ein Stück Geschichte für Schüler: Pythagoras erfand die Mal- Rechentafel. Ihm zu Ehren wird sie auch das Pythagoreische Zahlenfeld genannt. Pythagoras lebte ungefähr 500 vor Christus in Griechenland. Lehrbuch: Matheprofis 35

36 Wie findest du Divisionen in der Einmaleins-Tabelle? 12:2=6; 12:3=4; 12:4=3; 12:6=2 Quelle: Atlas Mathematik 2 36

37 2 Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren in Klasse 3 Im Anschluss an das Kleine Einmaleins sollen Schüler lernen, unter Ausnutzung von Rechengesetzen auch größere Zahlen verständnisvoll zu multiplizieren bzw. Divisionen auszuführen. 37

38 Literatur Quellen: Wittmann/Müller, Handbücher I, II Padberg (2005), S Radatz/Schipper/Dröge/Ebeling: Handbuch Kl. 3 38

39 Ein Blick auf Schülerdokumente Halbschriftliches Multiplizieren, Kl. 3 39

40 Halbschriftliches Dividieren und Multiplizieren, Kl. 3 40

41 2.1 Vorerfahrungen zum halbschriftlichen Multiplizieren und Dividieren in Kl. 2 Erfassen der Vorerfahrungen mit offenen Aufgaben 41

42 Kl. 2: Schreibe Malaufgaben auf, die du schon kannst. (Mai) Josephine Schüler wählen schon einzelne Aufgaben des Großen Einmaleins, hier über das Verdoppeln. 42

43 Schüler gelangen zu Aufgaben des Großen Einmaleins über die Fortsetzung der Einmaleinsreihe. 43

44 Kevin Fortsetzung der Einmaleinsreihe 44

45 Kl. 2 (Mai): Schreibe Geteiltaufgaben, die du schon kannst. Das gleiche Vorgehen (Fortsetzen der Einmaleinsreihen ) können leistungsstarke Schüler auf die Division übertragen. 45

46 Lösungswege, die Kinder zum halbschriftlichen Dividieren im Rahmen der Erarbeitungsstunde selbst entdeckten (Kl. 3) 46

47 2.2 Üben des halbschriftlichen Multiplizierens und Dividierens Ziffernkarten Wähle 3 Ziffernkärtchen, z. B. 4, 6, 7. Bilde daraus eine zweistellige Zahl und multipliziere sie mit der dritten Ziffer. Welches ist das größte Resultat, das du erreichen kannst? Welches ist das kleinste? Begründe. 47

48 Multiplizieren mit dem Malkreuz =

49 Die Ägypter rechneten vor etwa 4000 Jahren so: Sie nutzten Doppeltes und Hälfte. aus einem Schulbuch, Kl. 3 49

50 Rechenpäckchen: Wie hängen die Aufgaben zusammen? Beginne mit der leichtesten vgl. auch Einführungsvorlesung 50

51 Hundertertafel Wähle ein 2x2-Feld. Addiere die Zahlen in den gegenüberliegenden Ecken. Was stellst du fest? Multipliziere dann die Zahlen miteinander. Was stellst du fest? In höheren Klassenstufen (5,6) ähnliche Übungen auch am 3x3- Feld möglich. 51

52 3 Division mit Rest Das Teilen mit Rest sollte den Lernenden schon in Kl. 1 im Rahmen von Sachsituationen (beim Sachrechnen) begegnen, auch beim Operieren mit Plättchen bzw. bei dem Thema gerade/ungerade Zahl. Bei der Betrachtung der Stoffgebiete zur Division sollte es durchgängig eine Rolle spielen also nicht, wie oft in den Lehrbüchern, hinten angehängt werden. 52

53 Üben an realen Situationen mit Plättchen (Aufteilen und Verteilen) an der Hundertertafel (Muster) auf formaler Ebene: Bilde Divisionsaufgaben mit Rest. Suche mehrere Aufgaben mit dem Rest 4. Wie findest du solche Aufgaben? Versuche es auch mit anderen Resten. 53

54 Zahlenbuch, Kl. 2 54

55 Zahlenbuch, Kl. 2 55

56 Schreibweise Zerlegungsschreibweise 25=6 4+1 Restschreibweise 25:4=6 Rest 1 25:4=6 R 1 56

57 Durch 3 teilbare Zahlen im Hunderterfeld Was geschieht, wenn du die Zahlen, die dazwischen liegen, durch 3 teilst? Teile durch 3: 34, 63, 21, 29, 87, 51,