I.4 Warshall - Algorithmus

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1 I.4 Warshall - lgorithmus er ijkstra - lgorithmus bietet eine relativ schnelle öglichkeit den minimalen Weg zwischen zwei Knoten in einem Graphen zu bestimmen. ei anderer bbruchbedingung erhält man auch den minimalen Weg von einem Knoten zu allen anderen Knoten. Zum bschluss unserer Wegesuche wollen wir nun ein ähnliches roblem betrachten. Wie findet man die minimalen Wege von allen Knoten zu allen anderen Knoten? iese roblem lässt sich natürlich ebenfalls mit dem ijkstra - Verfahren lösen. azu wendet man den ijkstra - lgorithmus auf alle Knoten als Startknoten an. s gibt jedoch noch andere Verfahren, die das roblem direkt angehen. ines dieser Verfahren ist der Warshall - lgorithmus. etrachten wir dazu zuerst ein etwas einfacheres eispiel: Für die Städte ünchen, aris, ondon, msterdam und oston liegen die folgenden billigsten irektverbindungen vor (einfache Wegstrecke). Für die umgekehrten Wegstrecken gelten die gleichen reise. ünchen aris : ondon msterdam : 50.- aris oston : aris msterdam : ondon oston : ünchen ondon : 99.- msterdam oston : / / / / / / In dieser Kostenmatrix sind nur die direkten Verbindungen eingetragen. ie Idee des Warshall - Verfahrens beruht nun darauf, nacheinander sämtliche Wege über irgend welche Zwischenknoten zu betrachten. eginnen wir in der atrix, so betrachten wir als erstes die Flüge über ünchen. iese Flüge von und nach ünchen sind in der ersten Zeile bzw. in der ersten Spalte eingetragen. Informatik II 25

2 eschreibung des Warshall - Verfahrens. ie Spalte und die Zeile des betrachteten Zwischenknotens wird markiert. In der neuen atrix wird nun die iagonale mit 0 belegt und danach werden die markierten lemente eingetragen. nschließend betrachtet man alle freigebliebenen Felder. Ist der intrag in dem Feld größer als die Summe der markierten Felder in der gleichen Spalte und. in der gleichen Zeile, so wird der intrag durch diese Summe ersetzt. Sonst bleibt er bestehen. ies wird wiederholt bis man alle Zwischenknoten betrachtet hat. ieses Verfahren soll nun an der obigen eispielmatrix durchgeführt werden. an beginnt mit den Wegen über ünchen. azu markieren man die erste Spalte und die erste Zeile und überträgt sie, wie auch die iagonalelemente in die neue atrix. Nun werden die freigebliebenen inträge nach dem obigen Schema bearbeitet. Flüge über ünchen / / / / / / / / / / amit ergibt sich die rechtstehende atrix. ls nächstes betrachtet man nun die Flüge über aris. abei werden wieder die entsprechenden Zeilen und Spalten in der neuen atrix markiert und daraus wieder eine neue atrix erstellt. Flüge über aris / / / / iese Verfahren muss nun fortgesetzt werden bis alle Zwischenknoten bearbeitet werden. Informatik II 26

3 Nach eendigung des Verfahrens erhält man nebenstehende atrix. us ihr lassen sich nun die günstigsten Flugpreise (oder kürzesten Wegstrecken... ) zwischen zwei Orten bestimmen. llerdings lässt sich nicht ermitteln, wo man umsteigen muss. er Weg wird damit nicht angegeben estimmung des Weges beim Warshall - Verfahren Um den Weg zu ermitteln muss neben der atrix für die minimalen Strecken eine zweite atrix geführt werden, die Wegematrix. In ihr werden alle direkten Wege mit einem Stern markiert. Findet man nun bei einem Schritt des Warshall - Verfahrens einen neuen Weg, so wird in dem entsprechenden Feld der Wegematrix der aktuelle Zwischenknoten eingetragen. etrachten wir dies an dem folgenden eispiel: ewertete djazenzmatrix Wegematrix * * * * * 12 0 / / / * * / / / / 3 0 / / / * * / / / 4 / 0 / / * / * / / / / 2 0 / / / * * ls nächstes betrachten wir nun die Wege über und erhalten damit: Wege über * * * * * * * / 3 0 / / / * * / / / 4 / 0 / / * / * / / / / 2 0 / / / * * Informatik II 27

4 m nde erhält man nun: * * * * * * * * * * * * In der Wegematrix ist nun der Weg nicht direkt auslesbar, wie folgende eispiele zeigen. Weg von nach : - (Hier gibt es einen direketen Weg) Weg von nach : - (Hier gibt es einen Weg über ) - - (Sowohl von nach, wie von nach gibt es einen direkten Weg) Weg von nach : - (Hier gibt es einen Weg über ) - - (Von nach geht der Weg über ) (Von nach geht der Weg über ) (Nun sind alle Wege direkte Verbindungen) ie Wege über Zwischenknoten müssen solange bearbeitet werden, bis alle Teilstrecken direkte Verbindungen darstellen. Realisierung des Warshall Verfahrens Nachdem nun die Grundlagen des Warshall - Verfahrens geklärt sind, soll es nun auf dem Rechner realisiert werden. azu muss zuerst die atenstruktur für die beiden atrizen festgelegt werden. ie bewertete djazenzmatrix ist die alte ntfernungs - oder Zeitmatrix. us ihr wird die Warshallmatrix entwickelt. ie Wegematrix ist vom gleichen Typ. ie direkten Wege wurden bisher durch das Zeichen * gekennzeichnet. ies ist hier jedoch nicht möglich, da in die atrix nur Zahlen eingetragen werden können. aher soll die Zahl -1 eine direkte Verbindung kennzeichnen. (0 ist nicht möglich, da damit der erste Ort gekennzeichnet wird). Nicht vorhandene Wege werden durch eine große Zahl (10000) gekennzeichnet. Informatik II 28

5 atenstruktur des Warshall - Verfahrens VR ntfernung_warshallmatrix ntfernung_wegematrix Zeit_Warshallmatrix Zeit_Wegematrix : tatrix; : tatrix; (* irekte Wege werden durch -1 gekennzeichnet, bedeutet keine Verbindung *) : tatrix; : tatrix; rogrammstruktur: Im Gegensatz zu den bisherigen rogrammen ist es günstiger die atrizen (Warshall- und Wegematrix) am nfang auszurechnen, da die erechnung nur einmal durchgeführt werden muss. rst danach erfolgt die ingabe von Start- und Zielort. amit ergibt sich folgender ufbau..nach dem aden der aten von der Festplatte werden die beiden atrizen initialisiert und berechnet. atei. aden (ntfernungsmatrix, Zeitmatrix, Orte, Ortszahl) erechne.initialisieren (ntfernungsmatrix, Ortszahl, ntfernung_warshallmatrix, ntfernung_wegematrix) erechne.initialisieren (Zeitmatrix, Ortszahl, Zeit_Warshallmatrix, Zeit_Wegematrix) erechne.warshall (ntfernung_warshallmatrix, ntfernung_wegematrix, Ortszahl) erechne.warshall (Zeit_Warshallmatrix, Zeit_Wegematrix, Ortszahl) enue atei.sichern (ntfernungsmatrix, Zeitmatrix, Orte, Ortszahl) etrachten wir nun die einzelnen rozeduren. eginnen wir mit dem Initialisieren. ROUR Initialisieren (usgangsmatrix : tatrix; Ortszahl : INTGR; VR Warshallmatrix, Wegematrix: tatrix); Immer wenn in der usgangsmatrix ein Weg existiert ( 0) wird in die Warshallmatrix der Wert aus der usgangsmatrix übernommen und in die Wegematrix die Zahl -1 eingetragen. Sonst trägt man in beide atrizen die Zahl ein. Informatik II 29

6 Für i von 0 bis Ortszahl - 1 tue Für j von 0 bis Ortszahl - 1 tue Falls usgangsmatrix [i,j] 0 Warshallmatrix [i,j] := Warshallmatrix [i,j] := usgangsmatrix [i,j] Wegematrix [i,j] := Wegematrix [i,j] := -1 Nachdem die atrizen initialisiert sind, kann nun das Warshall - Verfahren durchgeführt werden. ies geschieht in der rozedur Warshall. ROUR Warshall (VR Warshallmatrix, Wegematrix : tatrix; Ortszahl : INTGR); Für k von 0 bis Ortszahl - 1 tue Für i von 0 bis Ortszahl - 1 tue Falls i # k Für j von 0 bis Ortszahl - 1 tue Falls j # k Falls i # j Summe := Warshallmatrix [i,k] + Warshallmatrix [k,j] Falls Summe < Warshallmatrix [i,j] Warshallmatrix [i,j] := Summe Wegematrix [i,j] := k Informatik II 30

7 Nun fehlt nur noch die usgabe der rgebnisse. ie usgabe der ntfernung, bzw. der Fahrzeit ist sehr einfach. Sie steht bereits in der Warshallmatrix als intrag und muss nur ausgelesen werden. twas aufwendiger ist die usgabe des Weges. r muss aus der Wegematrix ermittelt werden. ort stehen die Zwischenknoten und man betrachtet die Wege zu den Zwischenknoten. ies wird solange verfeinert, bis man bei den direkten Wegen angekommen ist. ROUR Weg_ausgeben (Start, Ziel : INTGR; atrix : tatrix Orte : torte); Falls atrix [Start, Ziel] = -1 usgabe (Orte [Start]) Zwischenknoten := atrix [Start, Ziel] Weg_ausgeben (Start, Zwischenknoten, atrix, Orte) Weg_ausgeben (Zwischenknoten, Ziel, atrix, Orte) iese rozedur gibt alle Orte des Weges aus, nur der Zielort fehlt. ieser Ort muss ganz am Schluss zusätzlich auf den ildschirm geschrieben werden. azu muss in die rozedur SchnellerWeg bzw. KurzerWeg der usgabeteil eingefügt werden. In KurzerWeg wird eingefügt: Weg_ausgeben (Startkennung, Zielkennung, ntfernung_wegematrix, Orte) usgabe (Orte [Zielkennung]); usgabe ( ie Wegstrecke beträgt : ) usgabe (ntfernung_warshallmatrix [Startkennung, Zielkennung]) usgabe ( km ) In der rozedur SchnellerWeg müssen jeweils die Zeit_Warshallmatrix und Zeit_Wegematrix verwendet sowie der usgabetext angepasst werden. Informatik II 31

8 ewertung des Verfahrens Um auch hier die Güte des lgorithmus zu beurteilen, wollen wir versuchen den ufwand in bhängigkeit der Knotenzahl zu bestimmen. etrachten wir dabei wieder den Fall von n Orten. eim ijkstra - Verfahren mussten wir n 2 Orte betrachten, um den Weg von einem Ort zu allen anderen Orten zu ermitteln. Wie wir oben gesehen haben, kann mit dem ijkstra - Verfahren auch der Weg von allen Orten zu allen Orten bestimmt werden. azu muss das ijkstra - Verfahren mit allen Orten als Startort durchgeführt werden. amit ergeben sich n n 2 = n 3 zu betrachtende Orte. Versucht man nun das roblem mit dem Warshall - Verfahren zu lösen, so muss man das Struktogramm der rozedur Warshall betrachten. ort treten drei ineinander geschachtelte Wiederholungsanweisungen auf, wobei die nzahl der Wiederholungen jeweils n beträgt. amit werden insgesamt n n n = n 3 Orte betrachtet. amit ist der ufwand beim ijkstraund beim Warshall - Verfahren gleich. Neben dem zeitlichen ufwand ist auch noch der Speicheraufwand zu sehen. Hier hatten wir beim ijkstra-verfahren einen Vektor bestehend aus Records und beim Warshall-Verfahren zwei Felder. Hier dürften die Felder etwas günstiger sein, da der Record 5 inträge hatte. Informatik II 32