Vorlesungsübersicht WS 2015/16

Transkript

1 Vorlesungsübersicht WS 2015/16 Di Audimax Einführen in mathematische Grundvorstellungen V1 Mathematik in der Grundschule V2 Kinder mit Lernschwierigkeiten V3 Mathematisch begabte Kinder V4 Mathematikunterricht im Rückblick V5 Einfluss der Psychologie auf den Mathematikunterricht V6 Aufgabenformate V7 Größen und Messen V8 Muster und Strukturen V5 Nachholen V V10 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit V11 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit V12 Zusammenfassung Klausur (08-10 Uhr, Audimax, HS 1) 1

2 Studienaufgabe Welche Ideen haben Sie für das Heranführen der Kinder an Bruchvorstellungen beim Arbeiten mit Größen?

3 V8 Grundvorstellungen zu Muster und Strukturen 1 Zu den Begriffen Muster und Struktur 2 Untersuchungen zur Entwicklung kindlicher Strukturierungsfähigkeiten 3 Praxisbeispiele 4 Strukturen in Veranschaulichungen 3

4 1 Zu den Begriffen Muster und Struktur Muster (engl. pattern) als Begriff mehrdeutig: kann eine Vorlage für etwas sein, ein beispielhaftes Vorbild, eine graphische Struktur im Sinne eines Flächendekors Zu letzterer Bedeutung passt Muster als ein immer wieder anwendbares Schema, als eine immer wiederkehrende wiederholbare Struktur. M. Lüken, Muster und Strukturen im math. Anfangsunterricht,

5 Struktur, vom lateinischen structura Bau, Gefüge, Ordnung Art und Weise, wie Teile eines Ganzen untereinander und zu diesem Ganzen verbunden sind (s. Brockhaus, Duden) M. Lüken, Muster und Strukturen im math. Anfangsunterricht,

6 Bei genauerer Betrachtung wird jedoch deutlich, dass ein Muster im Gegensatz zu einer Struktur sowohl in seiner alltagssprachlichen Verwendung als auch in der mathematischen Bedeutung immer eine Regelmäßigkeit beschreibt. Unter einem mathematischen Muster verstehe ich deshalb jegliche numerische oder räumliche Regelmäßigkeit. Als Struktur hingegen bezeichne ich die Art und Weise, in der das Muster gegliedert ist. Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Bestandteilen eines Musters stellen also eine Struktur dar. (Lüken, 2012, S. 206) 6

7 Beispiel: Entdeckerpäckchen 18 8 = 18 9 = = = Muster: die Regelmäßigkeit im Päckchen Die Beziehungen, die sich aus diesem Muster ergeben, entsprechen der mathematischen Struktur. Quelle: Häsel-Weide 7

8 Grundschulkinder sollten Muster und Strukturen erkennen nutzen beschreiben begründen Steinweg

9 Musterfolgen Unter einer Musterfolge versteht man die Wiederholung verschiedener Elemente nach einer bestimmten Regel. Es kann sich um eine wiederholende Musterfolge oder eine wachsende Musterfolge handeln. Quelle: M. Lüken, Grundschulunterricht Mathematik, 1/2013 9

10 Musterfolgen fortsetzen (Kl. 1) Wie könnte es weitergehen? Idee: Dinah Reuter In: Grundschulunterricht Mathematik, 1/

11 Leitlinie Muster und Struktur in den Bildungsstandards Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben und darstellen strukturierte Zahldarstellungen verstehen und nutzen (z. B. Hundertertafel) Gesetzmäßigkeiten in geometrischen und arithmetischen Mustern erkennen, beschreiben und fortsetzen Muster selbst entwickeln, verändern und beschreiben Funktionale Beziehungen erkennen, beschreiben und darstellen funktionale Beziehungen in Sachaufgaben erkennen, sprachlich beschreiben (z. B. Menge-Preis)» wenn eine Eigenschaft wächst, wächst auch die andere Eigenschaft oder» wenn eine Eigenschaft wächst, wird die andere Eigenschaft kleiner funktionale Beziehungen in Tabellen darstellen und untersuchen einfache Sachaufgaben zur Proportionalität lösen 11

12 2 Untersuchungen zur Entwicklung kindlicher Strukturierungsfähigkeiten australische Forschergruppe (Mulligan & Mitchelmore, 2009) Probanden: 103 Kinder im Alter von 5,5-6,7 Jahre Aufgabenbasiertes Interview (39 Aufgaben) Bereiche: Zahlen, Größen, Raum und Daten (Curriculum 1. Schuljahr) In jeder Aufgabe mussten Elemente mathematischer Strukturen erkannt, visualisiert, genutzt, dargestellt werden: gleiche Gruppen oder Einheiten; räumliche Strukturen wie Reihen oder Spalten; numerische und geometrische Muster. Die Kinder wurden an vielen Stellen aufgefordert, sich die Aufgabe oder das Ergebnis vorzustellen, dieses aufzumalen und ihre mentalen Bilder zu erklären. 12

13 Die Antworten der Kinder konnten vier Stufen der strukturellen Entwicklung zugeordnet werden: 1. Pre-structural stage Den Darstellungen fehlt jegliche numerische oder räumliche Struktur. 2. Emergent (inventive-semiotic) stage Die Darstellungen zeigen einige relevante Elemente der vorhandenen Struktur. 3. Partial structural stage Die Darstellungen zeigen die meisten Aspekte der vorhandenen Struktur. 4. Stage of structural development Die Darstellungen bilden die numerische und räumliche Struktur korrekt ab. Vier ähnliche Ebenen bzw. Phasen erbrachten auch Studien von Söbbeke (2005) und van Nes (2009). Van Nes konnte darüber hinaus Parallelen zu den Ergebnissen des OTZ finden. 13

14 Lüken 2012, S. 105/106 Stufe 1 pre-structural stage Stufe 2 emergent stage Stufe 3 partial structural stage Stufe 4 Stage of structural development 14

15 43% der Kinder in der Untersuchung von Lüken mit Vorschulkindern befanden sich bezüglich der Zahlbegriffsentwicklung (OTZ) und der strukturellen Entwicklung (Lüken, 2012) auf der gleichen Stufe. 15

16 Verschiedene Interventionsstudien zeigen, dass das Muster- und Strukturverständnis bei jungen Kindern (Vorschule/Schulanfang) gefördert werden kann und dadurch das mathematische Verständnis zunimmt (auch Langzeiteffekte, auch bei schwachen Schülern). Pattern and Structure Mathematics Awereness Program : geschult werden das visuelle Gedächtnis, die Fähigkeit Muster wahrzunehmen und zu nutzen, sowie Strukturen in mathematischen Ideen und Repräsentationen zu suchen. (Papic & Mulligan, 2005; Mulligan et al., 2008) 16

17 Auch eine Interventionsstudie von van Nes (Niederländisches Freudenthal-Institut, 2009), zeigte, dass die Kinder von einer Lernumgebung, die das Bewusstsein räumlicher Strukturen fördert, profitieren. Die Kinder wurden ermutigt, angebotene Strukturen (Würfelmuster, Fingerbilder, zweizeilige Feldstrukturen) in verschiedenen Situationen zu nutzen, um sie auf das Bilden eigener räumlicher Strukturen vorzubereiten, mit denen numerische Prozesse abgekürzt werden können. Genutzt wurden 6er-und 10er-Eierkartons, Würfelgebäude, Plättchen, Spielwürfel, Finger sowie gemusterte Perlenketten. Die kindliche Strukturierungsfähigkeit sollte gestärkt werden, um die Einsicht in die Beziehung zwischen Zahlen zu verbessern, welche wiederum die Kinder auf fortgeschrittene arithmetische Prozeduren vorbereiten kann. 17

18 3 Praxisbeispiele 18

19 (1) Offene Aufgaben Im Rahmen von offenen Aufgaben kann man oft beobachten, dass Kinder bei der Aufgabenproduktion von sich aus ein Muster wählen und im Rahmen dieses Musters Strukturen entwickeln/beachten. 19

20 Schreibe Aufgaben, die eine Million ergeben. Muster: Gliederung nach mal, plus, geteilt, minus, gemischt. Innerhalb der einzelnen Rechenoperationen wird wiederum versucht, ein Muster zu erzeugen. Strukturen, die dabei entstehen, ergeben sich aus den Aufgaben und den Beziehungen untereinander. 20

21 Suche dir eine Zahl, mit der du gern einmal rechnen würdest. Rechne mit dieser Zahl. Beschreiben Sie das Muster. Welche Strukturen nutzt das Kind? 21

22 Finde Zahlen, die sich durch viele andere teilen lassen. Schreibe die Teiler dazu. Entdecken Sie Muster. Welche Strukturen kann das Kind dann nutzen? Lisa, Kl. 4 Bilde Subtraktionsaufgaben. Beginne immer mit Pasqual, Kl. 3 22

23 (2) Entdeckerpäckchen Kreuze die leichteste Aufgabe an. Quelle: Uta Häsel-Weide,

24 Kinder lernen, Strukturen für vorteilhaftes Rechnen zu nutzen: Kreuze die leichteste Aufgabe an. Quelle: Uta Häsel-Weide,

25 Klassenstufe 4 Führe die Päckchen um einige Zeilen weiter. Findest du heraus, wie die 10./20. Rechnung lautet? (Nutze dein Tausenderbuch.) Erfinde ein ähnliches Päckchen. Erfinde ein Päckchen, bei dem die Resultate von Zeile zu Zeile um 8 größer werden. Quelle: Hengartner, Hirt, Wälti, Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte. Klett. 25

26 Bewusstmachen von Mustern und Strukturen im Hunderterraum durch Entdeckerpäckchen Quelle: Masterarbeit Christina Woywode (2014) 26

27 Quelle: ebenda 27

28 (3) Zahlenhäuser Gleich weit weg Finde Zahlen, die gleich weit von der Dachzahl entfernt sind. Addiere jeweils die beiden Zahlen und vergleiche sie mit der Dachzahl. Notiere den Unterschied zwischen den Zahlen rechts neben dem Zahlenhaus. Idee aus: Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte 28

29 (4) Rechendreiecke Idee: P. Scherer, GSU 2/07 29

30 (5) Zahlenmauern Muster in Riesenzahlenmauern Idee: Kortenkamp, Winter, Zöllner In: Grundschulunterricht Mathematik, 1/

31 3 Strukturen in Veranschaulichungen Die Veranschaulichungsmittel zu sehen, sie lediglich wahrzunehmen, ist nicht hinreichend, denn die arithmetische Struktur, die Beziehung zwischen den Zahlen ist nicht schlicht ablesbar. Sie entsteht erst im Kopf des Kindes. Wir Erwachsenen sehen die Struktur an der Hundertertafel, an der Rechenmaschine, an der Perlenkette oder anderen Darstellungen, weil wir sie bereits kennen. Die Kinder kennen sie aber (noch) nicht. Sie sehen Punkte, Kugeln, Felder, die für sie zuerst keine Beziehung, keine immanente Struktur aufweisen. (Lorenz, 2006) 31

32 Dekadisch gegliederte Anschauungsmittel weisen eine Fünfer- und Zehnergliederung auf und sollen durch die Anordnung der Zahlen, Felder, Striche etc. die Zehnerstruktur unseres Zahlsystems veranschaulichen. (Lorenz, 1992) Ziele: Unterstützen der mentalen Konstruktionen zur Zahlraumvorstellung; Erfassen von Gruppen von 5 bzw. 10 Elementen (quasi-simultan); Beziehungen zwischen diesen Gruppen herstellen; Gliedern größerer Gruppen in diese Grundeinheiten Aktuelle Mathematikbücher des 1. Schuljahres nutzen mindestens ein linear und ein flächig angeordnetes Anschauungsmittel mit dezimaler Struktur. (Lüken 2012; Hess 1997, Lorenz, 1992) 32

33 Flächige dekadisch gegliederte Anschauungsmittel: z.b.: Zehnerraster, Zwanzigerfeld, Rechenrahmen Zerlegung in gleich lange, Struktureinheiten, die sich mindestens horizontal, meistens zusätzlich auch vertikal kongruent aufeinander abbilden lassen 33

34 Lineare Anschauungsmittel z. B.: Rechenkette, Zwanzigerreihe, Zahlenstrahl Gliederung durch unterschiedliche Farben, Abstände, längere oder dickere Striche Schütte (2004) beschreibt das Problem, dass Kinder die Perlen von Rechenketten immer wieder einzeln abzählen, obwohl diese ja gerade eingesetzt werden, um durch die gewählte Fünferstruktur ein schnelles Überblicken zu ermöglichen (Problem: Fünf Perlen in einer Reihe sind nicht simultan zu erfassen, die Kinder müssen wissen, dass es fünf sind.) Hinweis: Die Perlenketten sollten selbst hergestellt werden. 34

35 Hunderterfelder selbst herstellen und Muster entwerfen Male ein Muster so, dass du gut sehen kannst, dass es 100 sind. Erkläre. Idee: Ina Herklotz In: Grundschulunterricht Mathematik, 1/

36 Strukturen in der Hundertertafel entdecken Notieren Sie Strukturen, die man auch Grundschulkindern bewusst machen könnte. 36

37 Studienaufgabe Entdecken Sie ein weiteres Muster im Hunderterfeld und stellen Sie dies Ihren Mitstudenten vor. 37

38 Fazit 38