Gestaltfestigkeit einer Welle

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1 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite 1 von 9 Franz Hubert Kainz franz.kainz@htl-kapfenberg.ac.at Gestaltfestigkeit einer Welle Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Grundlagen der Gegenstände Mechanik und Maschinenelemente, Kerbspannungstheorie, Ellipsengleichung, Lineare Interpolation Kurzzusammenfassung Für die vorliegende Getriebewelle sind die Auflagerreaktionen (räumlicher Kraftangriff infolge der Schrägverzahnung des Zahnrades) zu bestimmen. Weiters sind die Wälzlager (Rillenkugellager) auszuwählen und auf Lebensdauer nachzurechnen, wobei eine Mindestlebensdauer von Stunden gegeben sein soll. Das Loslager "A" wird durch einen Seegerring gegen eine axiale Verschiebung gesichert, weshalb für diese Stelle "C" die Sicherheit gegen "Dauerbruch" unter Zugrundelegung des "Elliptischen Bruchgesetzes", zu ermitteln ist. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstand / Abteilung / Jahrgang): Maschinenelemente, Konstruktionsübungen 3. Jahrgang Maschinenbau Mathcad-Version: Mathcad 001 Literaturangaben: Decker - Maschinenelemente, Hansa - Verlag Adam - Festigkeitslehre und FEM-Anwendungen, Hüthig - Verlag Für die vorliegende Getriebewelle aus S 35 (St 360, St 37) sind zu ermitteln : - die Auflagerreaktionen F A und F B - das erforderliche Rillenkugellager für das Loslager (A) - das erforderliche Rillenkugellager für das Festlager (B) (Mindestlebensdauer für die Lager : h) - das Biege- und Torsionsmoment an der Stelle C (Seeger-Ringnut -Lager A) - die Spannungsausschläge - die Kerbwirkungszahlen - die Sicherheit gegen Dauerbruch (σ b - wechselnd, σ z und τ t - ruhend, S erf = ) - die Dauerbruch-Ellipse (Graphik) Farbencode : Eingabe - Zahlenwerte Definitionen Formeln Ergebnisse Franz H. Kainz 001

2 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite von 9 k := S erf := F t := F r := F a := d := L 1 := L := 1000 L hmin := h mm 40 mm 80 mm n := 1500 min 1 d Fa Fr Ft Ø30 Loslager A C Ø5 Festlager B R m := 340 L1 L3 L R t = 10 µm (Welle) Berechnung der Auflagerreaktionen : In der x-y Ebene gilt : M( A) i = 0 i 1 F r L 1 + F a d F B1 := L F y = 0 i F A1 := F r + F B1 d F r L 1 + F a F B1 L = 0 F B1 = k F r F B1 + F A1 = 0 F A1 = k Franz H. Kainz 001

3 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite 3 von 9 In der x-z Ebene gilt : M( A) i = 0 F t L 1 F B L = 0 i L 1 F B := F t L F B = 0.83 k F y F t F B + F A = 0 i F A := F t + F B F A =.498 k Resultierende Auflagerkräfte : F Ar := F A1 + F A F Ar =.735 k F Br := F B1 + F B F Br = 0.96 k Auswahl und Berechnung der Wälzlager : Loslager A : P A = X A F Ar + Y A F Aa Äquivalente Lagerbelastung F Aa := 0 Loslager => kann keine Axialkraft aufnehmen ( ) X A := wenn F Aa = 0, 1, "Fehler" X A = 1 Radialfaktor ( ) Y A := wenn F Aa = 0, 0, "Fehler" Y A = 0 Axialfaktor P A := X A F Ar + Y A F Aa P A =.735 k Lagerauswahl : Rillenkugellager 6306 (Lagerkatalog) d i = 30 mm D = 7 mm B A := 19 mm C A := 9 k C Ao := 9.8 k Lagerdaten Lebensdauer : 3 C 6 A 10 L ha := L ha = h L hmin = h P A n Franz H. Kainz 001

4 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite 4 von 9 Festlager B : Rillenkugellager 605 (Lagerkatalog) P B = X B F Br + Y B F Ba F Ba := F a Axialbelastung d i = C B := 5 mm 14.3 k D = C Bo := 5 mm 6.95 k B B := 15 mm Lagerdaten Lineare Interpolation desy-faktors für Rillenkugellager : (normale Lagerluft - Faktoren aus FAG-Lagerkatalog) x := y := y 1 := F Ba e := linterp x, y, C Bo e = 0.81 Hilfsfaktor Y B wenn F Ba := F Br ( ) > e, linterp y, y 1, e, 0 Y B = Axialfaktor ( ) 0.56 X B := wenn Y B 1,, 1 X B = 0.56 Radialfaktor P B := X B F Br Lebensdauer : + Y B F Ba P B = k L hb := C B P B n L hb = h L hmin = h Franz H. Kainz 001

5 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite 5 von 9 Dauerbruchgefährdeter Querschnitt der Welle aus S 35 (St 360, St 37) unmittelbar nach dem Loslager A (Seeger-Ringnut) σ b - wechselnd, σ z, τ t - ruhend L 3 := B A L 3 = 9.5 mm Biege- und Torsionsmoment an dieser Stelle : Biegemoment : ( ) M b := F Br L L 3 Torsionsmoment : M b = m d T := F t T = m Daten der Seeger-Ringnut : (Tabelle) d n := 30 mm d := 8.6 mm st := 1.5 mm Widerstandsmomente : 3 π d W z := 3 3 π d W t := 16 Querschnittsfläche : W z = mm 3 W t = mm 3 A := d π 4 A = Spannungen : σ b := M b W z σ b = τ t := T W t τ t = 7.71 σ z := F a A σ z = Franz H. Kainz 001

6 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite 6 von 9 Mittenspannungen : σ m := σ z σ m = τ m := 0 Spannungsausschläge : σ a := σ m + σ b σ a = τ a := τ m + τ t τ a = 7.71 Formzahlen : (Datenblätter) Für eine Seeger-Ringnut gilt : d n d t s := ρ := 0.1 st t s = 0.7 mm α kb t s := + st α kb = Formzahl für Biegung α kt t s := + st α kt =.45 Formzahl für Torsion Zugfestigkeit Biegewechselfestigkeit (lt. Dauerfestigkeitsschaubild) Torsionswechselfestigkeit (ruhend) (lt. Dauerfestigkeitsschaubild) R m := 340 σ w := 170 τ tw := ρ x := R m ρ x = 0.17 Radius der fiktiven Ersatzkerbe Franz H. Kainz 001

7 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite 7 von 9 Biegung eines Rundstabes (Tabellenwerte) : R := ρ X 0b := mm X 0b = 0.07 d X b := mm d + R mm X b = Torsion eines Rundstabes (Tabellenwerte) : X 0t := mm d X 0t = 0.07 X t 1 mm d R mm X t = Dynamische Stützziffern : 1 + ρ x X b n xb := n xb =.61 (Biegung) 1 + ρ x X 0b 1 + ρ x X t n xt := 1 + ρ x X 0t n xt = (Torsion) Kerbwirkungszahlen : α kb β kb := β kb = n xb α kt β kt := β kt = n xt Oberflächenbeiwert : b 0 := 0.91 Größenbeiwert : b G := 0.9 Zulässige Spannungen σ w b 0 b G σ A := σ A = β kb τ tw b 0 b G τ A := τ A = β kt Franz H. Kainz 001

8 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite 8 von 9 Sicherheit gegen Dauerbruch : (Elliptisches Bruchgesetz) 1 S := S =.874 S erf = σ a τ a + σ A τ A σ A = τ A = σ A := 90 τ A := 84 (gerundete Werte) σ a = τ a = 7.71 σ a := 31 τ a := 8 (gerundete Werte) ug := 0 sw := 0.1 σ A' := ug, sw.. σ A Ellipsengleichung : τ A ( ) := τ A τ A' σ A' σ A σ A' Hilfswerte : k := τ a σ a k = 0.58 Steigung der Hilfsgeraden x 1 := ug, sw.. σ a y 1 := ug, sw.. τ a Gleichsetzen der Geraden- und der Ellipsengleichung liefert das Wertepaar τ A' / σ A' τ A k σ AA = τ A σ A σ AA τ A τ A τ A + τ A + σ A σ A k σ A k σ A => σ σ A AA := τ A τ A + k σ A σ AA = ( ) =.386 τ A' σ AA Franz H. Kainz 001

9 HTL-Kapfenberg Gestaltfestigkeit einer Welle Seite 9 von 9 x := ug, sw.. σ AA kk x ( ) := k x DAUERBRUCH - ELLIPSE τ A' ( σ A' ) Schubspannung y 1 τ a kk( x ) σ A', σ a, x 1, x ormalspannung Franz H. Kainz 001