Umformung und Vereinfachung mathematischer Ausdrücke

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1 vereinfachung.nb Umformung und Vereinfachung mathematischer Ausdrücke Die Simplifikationsproblematik ClearAll "Global " Was Sie erwarten können Simplify Simplify 3 3 Epand Simplify FullSimplify Vereinfachen mit Simplify D,, Together Simplify

2 vereinfachung.nb Simplify Sin Cos Simplify Sin a b Cos a b a b Simplify a b a b a b Gezielte Umformung von Ausdrücken Log Log LogLog s Simplify Log Log Log LogLog Log Log LogLog s Simplify Log Log FullSimplify s s Log LogLog 0 Solve Log 0,, Solve LogLog0, Simplify s s, 0 True

3 vereinfachung.nb 3 Vereinfachen und mathematische Eaktheit. Zusatzannahmen Sqrt, Ep 3 Log, Tan ArcSin, 3, ArcTan Tan, Log Ep, Sqrt FullSimplify ArcTan Tan, Log, f ArcTan Tan ; Plot f,, 5, 5, PlotRange, f. 5 5 Simplify f,.0

4 vereinfachung.nb f Log Ep ; Plot f,, 50, f. 0 I 0 Simplify f, Reals f Sqrt Simplify f, Reals Abs Simplify f, 0 w y y Simplify y y w., y,, y 0, Simplify w, 0 0

5 vereinfachung.nb 5 w Simplify w., 0, w I Chop 0 Limit w.ai, a 0 0 l Log LogLog Log LogLog l. Simplify l, 0 Eigene Umformungsregeln vereinbaren sqrtrules y y, y y y, y y w, w,. sqrtrules y y 0, 0, 0 w, w, PowerEpand y y 0, 0, 0 y

6 vereinfachung.nb 6 Polynomiale, rationale und pseudorationale Ausdrücke ClearAll "Global " Ausmultiplizieren polynomialer Ausdrücke u a b 3 a b 3 Epand u a b 3 3a b a b 3 3 a b 3 6 a b 3 b 3 3 a 6 a b 3 b a 5 3 b 5 6 Epand ab a b, a b a b a a b b a b a b Epand ab a b, a b a a b b a b Epand Sin Cos 3 Cos 3 3 Cos Sin 3Cos Sin Sin 3 3 EpandNumerator EpandDenominator Mf Mf Epand Sin Sin Sin EpandAll Sin Sin Sin

7 vereinfachung.nb 7 Ausdrücke ordnen und nach Variablen zusammenfassen f Epand a y by y cy 3 y a 3 a b y y a y y b y c y b y y c y 3 c y Das Polynom wird als Polynom in mit polynomialen Koeffizienten umsortiert, was eine gewisse Klammersetzung induziert. Das macht sich leider in der Ausgabe nur teilweise bemerkbar, weil die Summanden einer Summe (als Auswirkung des Attributs Orderless von Plus) defaultmäßig nach einer inneren Ordnung sortiert werden, also nicht nach Potenzen. u Collect f, a 3 a b y y b y y c y 3 c y ay by y cy Depth List u,,, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5 Depth u 3 Selbst Sortieren hilft nichts, weil Mathematica die "falsche" Ordnung sofort erkennt und durch die seiner Meinung nach korrekte ersetzt. Sort List u, Eponent, Eponent, & y, 3, ay by, y cy, c y, c y 3, b y, y, a b y, a Sort u, Eponent, Eponent, & a 3 a b y y b y y c y 3 c y ay by y cy Das Ganze ändert sich erst, wenn das Attribut Orderless zurückgesetzt wird. Nun ist die Ausgabe sowohl von Collect als auch von Sort nach Potenzen geordnet. ClearAttributes Plus, Orderless ; u Collect f, Depth List u Sort u, Eponent, Eponent, & SetAttributes Plus, Orderless ; a a b y y b y c y 3 c y y cy ay by 3 y,, 3, 3, 3, 3, 5, 5,, 3 y 3 ay by y cy c y c y 3 b y y a b y a Eponent f,

8 vereinfachung.nb 8 CoefficientList f, a a b y y b y c y 3 c y, y cy, ay by,, y Coefficient f, ay by Coefficient f,, y cy Coefficient f, y, 0,, a 3, a b a, b c b Collect f, y, a a 3 a b y b c b y c y 3 c y CoefficientList f,, y a, a b, b, c, c, 0,, c, 0, 0,, a, b, 0, 0,, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, 0, 0 Collect f,, Simplify a 3 a b y y y c y ay by y b c y Collect ist ein komplees Kommando, welches auf Coefficient aufbaut. So hätte man das vorige Kommando auch so anschreiben können: Plus Table Simplify Coefficient f,, i ^i, i, 0, Eponent f, a 3 a b y y y c y ay by y b c y Und dies ist eine Alternative zu Collect[f,{y,a}] Collect f, y, Collect, a & a 3 a b y b c b y c y 3 c y Collect kann natürlich auch mit verallgemeinerten Kernen aufgreufen werden. u Epand Sin Cos Cos Cos Cos Cos Cos Sin Sin Collect u, Cos Cos Cos Cos SinSin

9 vereinfachung.nb 9 Zerlegen in Faktoren Factor 6 3 Factor y y y y s Integrate Sin 3 Cos 3, 3 Cos 3 Sin Cos 3 Sin 3 Factor funktioniert auch für pseudorationale Ausdrücke in verallgemeinerten Kernen. Mit vier Kernen ist keine (wesentliche) Faktorisierung möglich. s Factor 9 Cos Cos 3 9Sin Sin 3 Reduziert man die Zahl der Kerne aber durch TrigEpand auf Sin[] und Cos[], so lässt sich der Ausdruck in zwei Faktoren zerlegen. s s TrigEpand 3 Cos Cos 3 s3 s Factor 3 Sin Cos Sin Cos Sin 3 Sin Cos Sin 9 Cos Cos Sin Sin s3 Simplify Cos Sin Sin 6 6 Factor 3 Factor

10 vereinfachung.nb 0 Factor Factor, GaussianIntegers True Factor 3, Etension Factor, Etension Automatic Arbeiten mit rationalen Funktionen y Together z y z z Together 3 Together Together f ; Numerator f, Denominator f 5 3, 5 Beide Kommandos sind reine Selektoren und bilden vorher keinen gemeinsamen Nenner.

11 vereinfachung.nb a b Numerator b a a b Numerator Together b a b 8 3 Cancel f f Simplify 3 6 f Cancel 5 0 f f Simplify 0 7 f Cancel Apart

12 vereinfachung.nb Apart Sin 3 3 Sin Sin 3 Sin Sin y Apart y y y y Apart, y y y y y y Apart, y y y y y Apart,, y y y y y, y y y 5 Apart 3 Trigonometrische Umformungen ClearAll "Global " Einführung Sin Cos, Cos, Cos Sin, Sin Tan, Sec, Cot, Csc

13 vereinfachung.nb 3 u Sin Cot TrigToEp Das ist nun noch komplizierter als vorher, weil gleich im ersten Term Grad statt Grad 3 entsteht. u u Together 3 u3 u EpToTrig CosSin Cos Cos Cos 3 Cos Sin Sin Sin 3 Sin Cos Sin u3 Simplify Cos Cos Csc u3 Sin Simplify Cot Die Standardkommandos ClearAll "Global " TrigEpand TrigEpand Cos Α Β Cos Α Cos Β Sin Α Sin Β TrigEpand Cos Cos Cos Sin Sin TrigEpand Cos Cos 6 Cos Sin Sin TrigEpand Sin Cot 3 Cos 8 Cos Cot 7 Csc 8 Sin 8

14 vereinfachung.nb TrigReduce TrigReduce Cos Α Cos Β Cos Α Β Cos Α Β TrigReduce Sin 5 0 Sin 5Sin 3 Sin 5 6 TrigReduce Sin Cot 8 7 Csc Cos Csc TrigFactor TrigFactor Cos Sin Sin TrigFactor Cos 3 Cos Cos Cos 3 Cos TrigReduce 3 Cos TrigFactor Cos, 3,, 5, 6 Sin Sin, Cos Cos, Sin Sin, CosCos Cos, Sin Sin Sin Sin Ein trigonometrisches Regelsystem s Sin y Sin Cos y Cos Sin y c Cos y Cos Cos y Sin Sin y Sin y Cos y Sin Cos Sin y Cos y Cos Cos y Sin Sin y Sin y z. s, c Cos Cos z Sin y Cos y Sin z Sin Cos y Cos z Sin y Sin z

15 vereinfachung.nb 5 Die Regeln wurden mehrfach angewendet, aber Klammern nicht aufgelöst. Epand erst im Nachhinein anzuwenden ist sinnvoll; besser wäre es aber, den Effekt des Zusammenfassens so früh wie möglich in der Rechnung zu berücksichtigen. Natürlich ist statt zu verwenden, denn Epand[a] soll ja zur Zeiit der Regelanwendung und nicht zur Zeit der Regeldefinition ausgeführt werden. Die rechte Seite der Regel darf also während der Definition nicht ausgewertet werden. Der folgende Ansatz scheitert trotzdem zunächst. d a Epand a a Epand a Sin y z. s, c, d Cos y z Sin Cos Sin y z Der Grund ist simpel: d wurde auf Teilausdrücken gar nicht erst versucht, weil die Regel ja auch auf den Gesamtausdruck angewendet werden kann und dort keine Änderung hervorruft. Um "unendliche Schleifen des Nichtstuns" zu vermeiden bricht Mathematica in solchen Fällen das ReplaceRepeated ab. Die Regel d darf also nur angewendet werden, wenn sich wirklich etwas ändert, was hier mit =!= (UnsameQ) geprüft wird. d a ; Epand a a : Epand a a ; Epand a a Epand a Sin y z. s, c, d Cos y Cos z Sin Cos Cos z Sin y Cos Cos y Sin z Sin Sin y Sin z Sin. s, c, d Sin s Sin n Integer ; n Sin Cos n Cos Sin n c Cos n Integer ; n Cos Cos n Sin Sin n Sin n Integer ; n Cosn Sin Cos Sinn Cos n Integer ; n Cos Cosn Sin Sinn Sin. s, c, d Cos Sin 0 Cos 9 Sin 3 79 Cos 7 Sin 5 79 Cos 5 Sin 7 0 Cos 3 Sin 9 Cos Sin sc Sin n Integer ; ncos Sin n Sin n Integer ; ncos Sin n Sin 5. s, c, d, sc Sin Cos Sin 6 Cos Sin Collect, Sin Cos 6 Cos Sin

16 vereinfachung.nb 6 Factor Cos Cos Cos Cos Sin Sin 5 TrigFactor Cos Cos Sin Eine Testserie Mit dieser Funktion werden die Ergebnisse verschiedene Simplifikationsstrategien für trigonometrische Ausdrücke aufgesammelt. tests h : h & Simplify, TrigReduce, TrigEpand, TrigFactor Ein erstes einfaches Beispiel: Ein polynomialer Ausdruck in Sin mit Mehrfachwinkeln. d Sin 3 Sin 5 i Integrate d, h d D i, Sin 3 Sin 5 Sin Sin 8 6 Cos Cos 8 Sin 3 Sin 5 h tests 0, 0, 0, 0 Hier sehen Sie noch einmal die Wirkung der vier Simplifikationskommandos auf einen trigonometrischen Ausdruck. Das Ergebnis von TrigFactor ist wegen der kompleen Zahlen nicht zufriedenstellend. i tests 6 Sin Sin 8, 6 Sin Sin 8, 7 Cos Sin Cos 7 Sin Cos 5 Sin 3 7 Cos 3 Sin 5 Cos Sin 7, Cos Cos Cos Sin 3 Im zweiten Beispiel muss der gemeinsame Kern erst gefunden werden. 6

17 vereinfachung.nb 7 d Cos Cos 3 i Integrate d, h d D i, Cos Cos 3 3 Sin Sin 5 6 Cos 6 Cos 3 5 Cos FullForm 6 Cos Cos Times Rational 5, 6, 5 Cos TrigEpand 6 5 Cos 6 h tests 0, 0, 0, 0 i tests 3 0 Cos 6 Cos 5 6 Sin 6 5 Cos 6 Sin Sin 6 Sin 5 6, Sin 6 Sin 5 6, 3 Sin 6 3Cos 6 Sin 6 6Cos 6 3 Sin Sin 5 6, Cos 3 Cos 3 Sin 6 Das folgende Beispiel bereitete Mathematica vor Version 6 große Schwierigkeiten, weil der einfache Weg der Integration nicht gefunden wurde. Relikte dieser "Blindheit" haben noch beim Ergebnis von TrigFactor auf diesem Ausdruck überlebt. d3 Sin 6 Cos 3 ; i3 Integrate d3, 0 Cos 5 Sin

18 vereinfachung.nb 8 d3a d3 TrigReduce Integrate d3a, Cos 0 Cos Sin 5 5 d3 D i3, tests Sin 0, 0, 0, Sin d3 TrigFactor 5 6 Cos Cos Sin 6 3 Cos 5 6 Sin Und nun noch einige Beispiele, die nicht im Buch besprochen sind. d Cos i Integrate d, h d D i, Sec Tan 3 3 Sec Tan Sec 3 Sec 3 h tests 0, 0, 0, 0 3 Sec Tan Hier die Wirkung der Simplifikationsbefehle, wenn auch andere Winkelfunktionen mit im Spiel sind. i tests 3 Sec Tan, 6 Sec 3 Sin 3 3Sec Tan, Tan Tan 3 Sec Tan 6, 3 Cos Sec Tan

19 vereinfachung.nb 9 d5 Sin Cos i5 Integrate d5, Simplify h5 d5 D i5, Csc Cos Cos Cot Sin 3 Cos Csc Cos Cos Cos Csc 3 Cos h5 tests Csc 0, 6 Cos Cos Csc 3 Cos Csc Cos Sin Csc Cos Sin Cos Cos Sin Cos Cot Sin 3 Cos Sin Cos Sin Cos Sin Csc Cos Cos Cos Cos Sin Csc Cos Csc Cos Sin 6 6 Cos Cos Csc Cos Sin 6 6 Cos Sin Cos Sin Cos Cos Cos Csc Cos 3 Sin 3 Csc Cos 3 Sin 3, Cos Cos Cos Cos Cos 3 Cos 3 Cos 5 Cos Cos Cot Csc 3 Cos Csc Cos Csc 3 Cos Sin, 0 Cos i5 tests Cos Cot Sin Cot Csc Cos Csc Sin,, 3 Cos 6 Cos Cot 3 Cos Cos Cot 6 Cos Csc 6 Cos Sin Cos, 3 Cos Cos Csc Sec

20 vereinfachung.nb 0 d6 Sin 3 Tan 5 i6 Integrate d6, Simplify h6 d6 D i6, Csc 5 3Tan 5 ArcTanh 6 Tan 5 Csc 5 3Tan 6 Sec 6 Tan 5 h6 tests 0, 0, 0, 0 i6 tests 5 ArcTanh 6 Tan, 5 5 ArcTanh 6 Tan, 5 5 ArcTanh 6 Tan, 5 5 ArcTanh 6 Tan 5 5