Mathe I. Jan-Peter Hohloch WS 11/12

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1 Mathe I Jan-Peter Hohloch WS 11/12

2 Inhaltsverzeichnis 1 Logik Aussagenlogik Die wichtigsten Junktoren Negation Konjunktion Disjunktion Exklusives Oder Implikation Äquivalenz Bemerkungen Sätze ber Implikationen Sätze ber Äquivalenzen Größe von Wahrheitstabellen Einfacherer Lösungsweg Logische Äquivalenz Tautologie und Kontradiktion Wichtige log. Äquivalenzen Kommutativität Doppelte Negation De Morgansche Regeln Implikation Äquivalenz Assoziativität Distributivität Tautologie und Kontradiktion Bemerkungen zu den logischen Äquivalenzen Quantoren Definition Bemerkungen Negation von Quantoren Reihenfolge von Quantoren Mengen Mengen allgemein Cantor Wie spezifiziert man eine Menge?

3 2.1.3 Problematik in Cantors Definition Leere Menge Kardinalität Def. Teilmenge Beispiel Wichtiger Unterschied Bemerkung Gleichheit von Mengen Operationen auf Mengen Schnittmenge/Schnitt Vereinigung Differenz Symmetrische Differenz Venn-Diagramme Satz über Mengenoperationen Symmetrische Differenz De Morgansche Regel Teilmengenbeziehungen Distributivität Def.: Beliebige Vereinigungen und Schnitte geordnete n-tupel Definition Beispiele Kartesisches Produkt Schreibweise Beispiele Abbildungen Def.: Abbildung Beispiele Schreibweisen Gleichheit von Abbildungen Surjektiv, injektiv, bijektiv Surjektivität Injektivität Bijektivität Beispiele Endlichkeit von Mengen Abzählbar unendliche Mengen Satz über endliche Mengen Hintereinanderausführung Definition Assoziativität Beweis

4 3.5.4 Beispiele Besondere Abbildungen Umkehrabbildung bijektiver Abb Beispiele Beweis Relationen Def. Relation Beispiele Anmerkung Ordnungsrelationen Beispiele Äquivalezrelation Beispiele Def.: Äquivalenzklassen Beispiele Gleichheit von Äquivalenzklassen Beweis Zerlegung Definition Beispiele Satz Repräsentantensystem Beispiel Natürliche Zahlen und Induktion Vollständige Induktion Definition Beispiel Bemerkung Verschärftes Induktionsprinzip Beispiel Prinzip der rekursiven Definition informelle Definition Beispiele Rekursive Definition mit mehreren Startwerten Rechenregeln für Produkte und Summen Änderung der Summensequenzen Doppelsummen Koeffizienten vor Summen Wohlordnungsprinzip Fibonacci Zahlen Beweis durch vollst. Induktion

5 6 Elementare Zahlentheorie Teiler Definition Satz Rest und Quotient Satz mod und div Definition a und a b-adische Darstellung natürlicher Zahlen Satz Schnelles Potenzieren mit Hilfe des Binärsystems Kongruenzrelation modulo m Definition Satz Unterscheidung Modulo und Kongruenz Satz: Kongruenzklassen modulo m Satz: Kongruenzrelation in Summen und Produkten Korollar: modulo in Summen und Produkten Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches Definition Bemerkungen Teilerfremdheit Euklidscher Algorithmus Lemma Euklidscher Algorithmus Zusammenhang: Beweis - Algorithmus Beispiel Satz (Bachet de Méziriac) Erweiterter Euklidscher Algorithmus Korollar Bemerkungen Primzahlen Definition Satz Theorem (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie) Korollar Bemerkung Kombinatorik Satz Korollar Beispiele Auswahlanzahlen

6 7.3 Geordnete Auswahl ohne Zurücklegen Definition (n) k Satz Korollar Def.: Permutationen Geordnete Auswahl mit Zurücklegen Satz Ungeordnete Auswahl ohne Zurücklegen Def: Binomialkoeffizient Satz Binomialsatz Korollar Ungeordnete Auswahl mit Zurücklegen Satz Beispiel Die reellen Zahlen Algebraische Eigenschaften von R Bemerkungen Grundregeln der Ordnungsrelation auf R Satz Def.: Intervall Beispiele Satz Beweis Def.: Absolutbetrag Satz: Eigenschaften des Absolutbetrages Satz Beweis Def.: Irrationale Zahlen Allgemeines Prinzip Def.: Bisektionsverfahren Vollständigkeitsaxiom Bemerkung zum Boolschen Prädikat Beweis Binärdarstellung von x ]0, 1[ Algorithmus Bemerkung Bemerkungen Binärdarstellung nicht eindeutig Periodizität Satz Beweis

7 8.13 Beschränkte Mengen Definition Beispiele Satz Folgen und Reihen Def.: Folge Beispiele Beschänktheit Konvergenz Bemerkung Beispiele Satz Monotonie Definition Beispiele Satz Nullfolge Definition Bemerkung Rechenregeln für konvergente Folgen Beweis (exemplarisch) Bemerkung Beispiel Landau-Symbole Anschauliche Bedeutung Beispiele Bemerkungen Satz Teilfolgen Definition Beispiele Satz (Bolzano ( )-Weierstrass ( )) Beispiel Beweis Cauchy sches ( ) Konvergenzkriterium Beweis Reihen Definition Satz Beispiele Leibniz-Kriterium Majoranten-Kriterium Beispiel

8 9.12 Absolute Konvergenz Korollar Satz (a) Wurzelkriterium (b) Quotientenkriterium Beweis Bemerkung Beispiele Nachtrag: Mengen Beispiel: Hilberts Hotel

9 Vorwort Da sich an den Inhalten der Vorlesung sein dem letzten Skript von 06/07 einiges gendert hat, kommt hier die aktuelle Version aus der Vorlesung Mathe I für Informatiker gehalten von Prof. Huson im Wintersemester 11/12. Was den Inhalt betrifft habe ich mich im Großen und Ganzen an meine Aufschriebe und für zwei verpasste Vorlesungen an mir zur Verfügung gestellte Mitschriebe gehalten. An dieser Stelle vielen Dank an die Helfer :) Geändert habe ich jedoch die Nummerierung der Kapitel, innerhalb des Skriptes stimmt sie, in der Vorlesung wurde jedoch eine andere Zählung verwendet. Den L A TEX-Code stelle ich ebenfalls zur Verfügung, damit zukünftige Hörer der Vorlesung kleinere Anpassungen leicht vornehmen können. Außerdem könnt ihr natürlich den Code euren Vorstellungen nach anpassen (beispielsweise interne Verlinkungen anlegen) oder einfach mal ein bisschen mit L A TEX herumprobieren (in diesem Fall aber bitte auch auf das Original aufpassen ;) Jan-Peter 9

10 1 Logik 1.1 Aussagenlogik Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch. wahr = w = 1 = true falsch = f = 0 = false Bsp.: 2 ist eine Primzahl (1) 4 ist eine Primzahl (2) es gibt unendlich viele Primzahlen (1) es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge (?) gibt es unendlich viele Primzahlen? (keine Aussage) Durch Verknüpfungen mit und, oder, wenn, dann, etc. lassen sich aus einfachen Aussagen kompliziertere herstellen. Bsp.: Wenn heute ist ein Werktag oder heute ist ein verkaufsoffener Sonntag, dann heute haben die Geschäfte offen (BUrlG: Def. von Werktag: Alle Kalendertage, die nicht Sonn- oder gesetzliche Feiertage sind ) (1) In Aussagenlogik interessiert zunächst nur der Wahrheitswert (1 oder 0) einer Aussage. Der konkrete Inhalt bleibt unberücksichtigt. Sie ist ein einfaches Modell des alltäglichen Sprachgebrauches. Wir verwenden zur Formulierung Aussagevariablen A,B,C,...,A1;A2,... und Junktoren (und, oder,...) Dadurch erhalten wir (aussagenlogische) Ausdrücke. Auch Aussagevariablen heien Ausdrücke. Setzt man für die Aussagevariablen konkrete Aussagen ein, so erhält man man wieder eine Aussage. Bsp.: Ausdruck: A oder B C Aussage: s.o. Ob die Aussage wahr oder falsch ist, hängt von den konkreten Werten der Variablen und von den Junktoren ab. 10

11 1.2 Die wichtigsten Junktoren Negation Verneinung von A, nicht A, A A A Konjunktion A und B, A B Disjunktion A oder B, A B A B A B A B A B Exklusives Oder A XOR B, A B A B A B Implikation A impliziert B, Wenn A, dann B, A B A B A B

12 1.2.6 Äquivalenz A genau dann, wenn B, A B A B A B Bemerkungen Sätze ber Implikationen Mathematische Sätze sind häufig von der Form R S Es wird also behauptet, dass R S eine wahre Aussage ist. Zu zeigen: Wenn R wahr, dann auch S wahr. Man nennt R die Voraussetzung und S die Behauptung des mathematischen Satzes. Bsp.: a b > 2 a, b R a2 + b 2 > 2 + ab 2 Ein Beweis besteht aus einer Kette von Implikationen (im einfachsten Fall): Wobei alle Implikationen wahr sind. R R 1, R 1 R 2,..., R n S a b > 2 (a b) 2 > 4 a 2 2ab + b 2 > 4 a 2 + b 2 > 4 + 2ab a2 + b 2 2 > 2 + ab Sätze ber Äquivalenzen Manchmal sind math. Sätze von der Form R S Zu zeigen: Wenn R wahr, dann S wahr (R S) Wenn S wahr, dann R wahr (S R) Größe von Wahrheitstabellen Bei mehreren Aussagevariablen wir die Wertetabelle schnell sehr groß x Aussagevariablen 2 x Zeilen 12

13 1.3.4 Einfacherer Lösungsweg Betrachte: (A 1 A 2 ) (A 3 A 4 ) Frage: Wann falsch? Einfacher: ((A 1 A 2 ) = 1) ((A 3 A 4 ) = 0) Aussage falsch 1.4 Logische Äquivalenz A 1, A 2 = 1; A 3 = 0; A 4 = 1 Haben zwei Ausdrücke α und β für jede Kombination von Wahrheitswerten der (beteiligten) Aussagevariablen den gleichen Wahrheitswert, so heißen sie logisch äquivalent. α β (Beachte: ist kein Junktor) Wenn also α β, so hat der Ausdruck α β immer den Wahrheitswert 1 (und umgekehrt) (α β) (α β) 1.5 Tautologie und Kontradiktion Def.: Ein Ausdruck heißt Tautologie, wenn er für jede Kombination der Wahrheitswerte der Aussagevariablen immer den Wert 1 ergibt. Hat er den wert 0, heißt er Kontradiktion. Wenn er keine Kontradiktion ist, ist er erfüllbar. Ist ein Ausdruck erfüllbar? Gibt es eine schnellere Möglichkeit, als auszuprobieren? Hauptproblem der Informatik (P=NP?) A A ist eine TautologieA A ist eine Kontradiktion 1.6 Wichtige log. Äquivalenzen Kommutativität A B B A A B B A A B B A ABER!: A B B A Doppelte Negation ( A) A 13

14 1.6.3 De Morgansche Regeln (A B) A B (A B) A B Implikation A B B A A B A B Äquivalenz A B (A B) (B A) Assoziativität A (B C) (A B) C Distributivität A (B C) A B A C A (B C) A B A C Tautologie und Kontradiktion 1 = Tautologie 0 = Kontradiktion A A = 1 A A = 0 Beweis lässt sich mit Wahrheitstabellen erbringen. 1.7 Bemerkungen zu den logischen Äquivalenzen Doppelte Negation ist gleichbedeutend mit der Aussage selbst. DeMorgansche-Regeln sind für das logische Argumentieren besonders wichtig. Implikation ist ebenfalls besonders wichtig, wird im Alltag aber oft falsch gemacht. Teilaudrücke können durch logisch äquivalente ersetzt werden. Die Äuqivalenzen gelten auch, wenn man die Aussagevariablen durch Ausdrücke ersetzt. 14

15 1.8 Quantoren Quantoren ermöglichen es uns gewisse Aussagen genauer zu formulieren. Das führt zu einer Erweiterung der Aussagenlogik, nämlich der Quantorenlogik. Es geht um All- und Existenzaussagen. für alle; es existiert mindestens ein Definition Allquantor x E : P (x) bedeutet für alle x aus E gilt die Eigenschaft P. heißt Allquantor. x E : P (x) ist eine Aussage, die genau dann wahr ist, wenn P(x) für alle x E wahr ist. Existenzquantor x E : Q(x) bedeutet Es existiert mindestens ein x E mit der Eigenschaft Q(x) heißt Existenzquantor. x E : Q(x) ist genau dann wahr, wenn Q(x) für mindestens ein x E wahr ist.!x E: es existiert genau ein Bemerkungen Allquantor als Konjunktion Ist E = {x 1,..., x n } endlich, so gilt: ist eine verallgemeinerte Konjunktion. Existenzquantor als Disjunktion Ist E = {x 1,..., x n } endlich, so gilt: ist eine verallgemeinerte Disjunktion Negation von Quantoren ( x E : P (x)) x E : P (x) ( x E : Q(x)) x E : Q(x) x E : P (x) P (x 1 )... P (x n ) x E : P (x) P (x 1 )... P (x n ) 15

16 1.8.4 Reihenfolge von Quantoren und dürfen nicht vertauscht werden. Gleiche, nebeneinanderstehende Quantoren dürfen vertauscht und/oder zusammengefasst werden: m N : n N : P (x) n N : m N : P (x) m, n N : P (x) m N : n N : P (x) n N : m N : P (x) m, n N : P (x) 16

17 2 Mengen 2.1 Mengen allgemein Cantor Georg Cantor ( ), Halle/Saale, Begrnder der Mengenlehre: Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl definierten unterschiedlichen Objektenunseres Anschauens oder unseres Denkens in einem Ganzen. Die so zusammengefassten Objekte heißen Elemente der Menge. Mengendarstellung: {...} Wie spezifiziert man eine Menge? Aufzählende Schreibweise {1,2,3,5,9} oder {2,4,6,8,...} Geht nur bei endlichen oder sogenannten abzhlbaren Mengen. Reihenfolge und Mehrfachnennung sind unerheblich: {1,2,3,5,9}={2,1,9,5,3}={2,1,1,9,1,5,3} Beschreibung durch eine Eigenschaft M = {x x hat Eigenschaft}={x : x hat Eigenschaft} Problematik in Cantors Definition Cantors Def. ist problematisch und führt zu Widersprüchen: Russelsche Antinomie: Sein M die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Frage: Ist M ein Element von M? Wenn ja, dann widerspricht das der Def. von M. Wenn nein, dann widerspricht das der Def. von M. Die Axiomatische Mengenlehre behebt das Problem, für unsere Zwecke reicht aber folgende Abhilfe: Wir bilden nur Mengen, deren Elemente in wohldefinierten Grundmengen liegen, dann gibt es keine Widersprüche: Also M = {x x G E(x)} mit E(x) Eigenschaft von x Typische Grundmengen sind: N, N 0, Z, Q, R, C Grundmenge muss nicht explizit angegeben werden, aber existieren! 17

18 2.1.4 Leere Menge, einzige Menge ohne Elemente Kardinalität M =Anzahl der Elemente von M auch: Mächtigkeit, Größe N =, {N} = 1 {1, 2, 3, 4} = 4, {1, 1, 2, 3, 1, 4, 1} = Def. Teilmenge Seien M, N Mengen. M heißt Teilmenge von N, geschrieben M N, falls gilt: x : (x M x N) ( Implikation beschreibt Teilmengenbeziehungen) Ist M keine Teilmenge von N, so schreibt man M N Beispiel N N 0 Z Q R C Wichtiger Unterschied Bsp.: M := {1, N} Dann: 1 M, N M 2 M, N M Bemerkung Mengen können auch Elemente einer (anderen) Menge sein Gleichheit von Mengen M = N M N N M d.h. x : x M x N ( Äquivalenz definiert Gleichheit) 18

19 Beispiel M={2,3,5,7} N={x x ist Primzahl < 11} 2.3 Operationen auf Mengen M,N,A,B,C Mengen Schnittmenge/Schnitt M N := {x x M x N} A B = B A (Kommutativität) A (B C) = (A B) C (Assoziativität) Allgemein auch: M 1 M 2... M n = {x M 1 x M 2... x M n } = n Vereinigung M N := {x x M x N} A B = B A (Kommutativität) A (B C) = (A B) C (Assoziativität) Allgemein auch: M 1 M 2... M n = {x M 1 x M 2... x M n } = n Differenz M\N := {x x M x N Ist N M, so heißt M\N Komplement N in M, N c (M) Symmetrische Differenz M N := M\N) (N\M) 2.4 Venn-Diagramme 2.5 Satz über Mengenoperationen Seien M,N,L Mengen. M i i=1 M i i= Symmetrische Differenz M N = (M N)\(M N) 19

20 2.5.2 De Morgansche Regel Sind M, N L, so ist (M N) c = M c N c und (M N) c = M c N c Teilmengenbeziehungen M N = M M N M N = M N M Distributivität L (M N) = (L M) (L N) L (M N) = (L M) (L N) 2.6 Def.: Beliebige Vereinigungen und Schnitte Sei A eine Menge von Mengen. A := {x A A : x A} A A A := {x A A : x A} A A Besteht A aus A 1, A 2,..., so schreibt man: A i b.z.w. i N A i i N Wenn A 1 A 2... A k, so ist k i=1 = A k Bei unendlichen Schnitten können überraschende Phänomene auftreten: A n R := {x R 0 < x < 1 n, n N}, dann hat jede Menge A n unendlich viele Elemente und es gilt A 1 A 2..., aber es ist A n = n N 2.7 geordnete n-tupel Bei Mengen: Reihenfolge unerheblich, auch unendliche Mengen möglich Bei Tupeln: Reihenfolge relevant, nur endlich viele Elemente Definition (x 1, x 2,..., x n ) = (y 1, y 2,..., y n ) x 1 = y 1, x 2 = y 2,..., x n = y n Dabei müssen nicht alle x i (bzw y i ) verschieden sein. Für n=2: Paar Für n=3: Tripel 20

21 2.7.2 Beispiele Paare zur Beschreibung von Punkten in der Ebene, Tripel im 3D-Raum (2, 3, 4, 4) = (2, 3, 4, 4) (2, 4, 3, 4) 2.8 Kartesisches Produkt Sei n N, n 2 und M 1, M 2,..., M n nicht-leere Mengen. Die Menge der geordneten n-tupel M 1 M 2... M n := {(x 1, x 2,...x n ) x 1 M 1 x 2 M 2... x n M n } heißt das kartesische Produkt der Mengen M 1 bis M n. Ist eine der Mengen leer, so ist M 1 M 2... M n = Schreibweise M 1 M 2... M n = n M i i=1 Ist M 1 = M 2 =... = M n, so M n = M 1 M 2... M n Beispiele A B B A im Allgemeinen A 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} Tabelle einer Datenbank ist Teilmenge eines kartesischen Produktes endlicher Mengen. N A Alice 23 T= David 30 Y oda 999 T N A 21

22 3 Abbildungen Alltägliche Beispiele: Foto: Zuordnung: Jeder Punkt in der Originalszene ein Punkt auf dem Foto Computerprogramm: Eingabedaten Ausgabedaten Funktionen: z.b. f(x) = x Def.: Abbildung Seien M,N nicht-leere Mengen (nicht unbedingt verschieden). Eine Abbildung f von M auf N: f : M N ist eine Zuordnung, die jedem x M genau ein f(x) N zuordnet. Schreibe x f(x). x heißt Argument oder Urbild. f(x) heißt Bild unter f. M heißt Definitionsbereich von f f(m) := {f(x) x M} heißt Bild von f oder Bildbereich von f f(m) N Die Menge G f := {(x, f(x)) x M} N heißt Graph von f. Funktionen sind Spezialfälle von Abbildungen, deren Definitionsmenge in R (oder R n ) oder in C (oder C n ) liegt Beispiele Identische Abbildung, Identität M sei eine Menge. id M : M M, x x Abbildung f : R\{0} R, x 1 x Geht nicht von R auf R! 22

23 Betragsfunktion : R { R (auch möglich, aber nicht nötig: R R 0 = R 0 = R + ) x x 0 x = x x < 0 Schaltfunktion, Bool sche Funktion {0, 1} n {0, 1} z.b. : {0, 1} 2 {0, 1} (A, B) A B Indikatorfunktion Sei M A 1 M : A {1, 0}, x { 0 x M 1 x M ist die Indikatorfunktion der Menge M. Zwei Funktionen für dieselbe Abbildung f : {0, 1} {0, 1}, x x g : {0, 1} {0, 1}, x x 2 g und f beschreiben dieselbe Abbildung 0 0, Schreibweisen f : M N, Abb. A M : f(a) = {f(x) x A} Bild (-menge) unter f B N : f 1 (B) = {x x M, f(x) B} (volles) Urbild von B unter f Beispiele f : Z N 0, x x 2 f(z) = {0, 1, 4, 9, 16,...} = f(n 0 ) Aus f(a 1 ) = f(a 2 ) folgt nicht im Allgemeinen A 1 = A 2! f({ 1, 1, 3, 7}) = {1, 9, 49} f 1 ({1, 2, 3, 4}) = {1, 1, 2, 2} f 1 ({2}) = = f 1 ({3} Aus f 1 (B 1 ) = f 1 (B 2 ) folgt nicht im Allgemeinen B 1 = B 2 23

24 3.2 Gleichheit von Abbildungen Abbildungen f : M 1 N 1 und g : M 1 M 2 heißen gleich, wenn: (1) M 1 = M 2 (2) N 1 = N 2 (3) f(x) = g(x) x M 1 (= M 2 ) Man schreibt f = g. 3.3 Surjektiv, injektiv, bijektiv f : M N, Abb Surjektivität f heißt surjektiv, falls f(m) = N. Also n N m M : f(m) = n Injektivität f heißt injektiv, falls m 1, m 2 M : m 1 m 2 f(m 1 ) f(m 2 ) ( m 1, m 2 M : f(m 1 ) = f(m 2 ) m 1 = m 2 ) Bijektivität f heißt bijektiv oder Bijektion, falls f surjektiv und injektiv ist Beispiele (a) f(x) = x 2 f : Z N 0, x x 2 f 1 ({3}) =, f( 1) = f(1) = 1 f ist weder surjektiv noch injektiv. b: g(x) = 3x + 2 g : R R, x 3x + 2 surjektiv?: Betrachte y R gesucht ist x mit y = 3x + 2 y 2 3 = x g ist surjektiv. injektiv?: 3x = 3x x 1 = 3x 2 x 1 = x 2 g ist injektiv. g ist bijektiv. 24

25 c: Konjunktion : {0, 1} 2 {0, 1} surjektiv?: 0 0 = 0, 1 1 = 1 ja injektiv?: 0 0 = 0 = 0 1 nein d: h(x) = x + 2 h : N N, x x + 2 surjektiv?: y + 1 = x ja injektiv?: h 1 (1) = nein e: i(x) = x 1 i : N N 0, x x 1 surjektiv?: i 1 (0) = 1, i 1 (1) = 2,... ja injektiv?: y + 1 = x ja i ist bijektiv. f: Explizite Zuordnung j : {1, 2, 3, 4, 5} {a, b, c, d, e}, j(1) = a, j(2) = b,..., j(5) = e surjektiv und injektiv (leicht zu sehen) j ist bijektiv. 3.4 Endlichkeit von Mengen Bijektivität bentigt man zur Definition der Endlichkeit einer Menge: Menge M heißt endlich : M = n N g : {1, 2,..., n} M : g bijektiv Abzählbar unendliche Mengen h : N M : h bijektiv (Bsp. e oben) Ist Z abzählbar? Dazu definiere: f : N Z, x { k, falls x = 2k + 1 k, falls x = 2k wobei k = {0, 1, 2,...} 25

26 3.4.2 Satz über endliche Mengen Sei f : M N Abb. Sind M und N endlich und M = N, so sind folgende Aussagen äquivalent ( ist eine davon wahr, so sind alle wahr): (1) f ist injektiv (2) f ist surjektiv (3) f ist bijektiv Beweisbar durch Ringschluss. Beweis Zu zeigen (1) (2): Sei m 1, m 2 M Ist m 1 m 2, so f(m 1 ) f(m 2 ) (dann injektiv) Also f(m) = M Da M = N gilt, folgt f(m) = N. Da f(m) N N endlich, folgt f(m) = N, d.h. f ist surjektiv. Zu zeigen (2) (3): Sei N = {n 1, n 2,..., n k }, k = N Zu jedem Bildpunkt n i N existiert mindestens ein m i M mit f(m i ) = n i, da f surjektiv. Aus der Def. einer Abbildung folgt, dass m 1, m 2,..., m n paarweise verschieden sind. Da M = N und für i j ist f(m i ) = n i n j = f(m j ) Also ist f auch injektiv und daher bijektiv. Zu zeigen (3) (1): Durch Def. von Bijektivität. 3.5 Hintereinanderausführung Definition f : M N, g : N P, Abb. Die Zuordnung x g(f(x)) für jedes x M definiert eine Abb. von M nach P; die Hintereinanderausführung g f (g nach f) der Abb. g und f. Also: (g f)(x) := g(f(x)) 26

27 3.5.2 Assoziativität Ist zusätzlich h : P Q eine weitere Abb., so gilt folgendes: (h g) f = h (g f) Beweis Def. f g ist Abb., per Konstruktion ist x f(g(x)) Assoziativität Sei x M beliebig: ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g f)(x)) = (h (g f))(x) Beispiele (a) h : R R, x sin(x 2 ), dann h = g f, wobei: f : R R, x x 2 g : R R, x sin(x) Beachte: (f g)(x) = (sin(x)) 2, also f g g f (b) A = Menge alle TN der Vorlesung, die an den Übungsgruppen teilnehmen B = Übungsgruppen der VL C = Menge der Tutoren f : A B, x Übungsgr., der x angehört g : B C, x Tutor der Übungsgruppe x g f : A C, x Tutor der Übungsgruppe, der x angehört. 27

28 3.5.5 Besondere Abbildungen injektiver Die Hintereinanderausführung surjektiver bijektiver injektiv Abb. ist surjektiv bijektiv. 3.6 Umkehrabbildung bijektiver Abb. f : M N, Abb., Dann gilt: (a) f ist bijektiv genau dann, wenn eine Abbildung g : N M existiert mit g f = id M und f g = id N (b) g ist eindeutig bestimmt und heißt Umkehrabbildung (inverse Abbildung) f 1 von f (c) f 1 ist bijektiv und (f 1 ) 1 = f Beispiele f : {1, 2, 3} {1, 2, 3}, f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2 f 1 (1) = 2, f 1 (2) = 3, f 1 (3) = 1 f : {1, 2, 3} {1, 2, 3}, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3 f 1 (1) = 1, f 1 (2) = 2, f 1 (3) = 3 f : R R, x x 3 f 1 (x) = 3 x Verwechslungsgefahr: f : M N, Abb. f 1 (B) = {x M f(x) B} nicht dasselbe! Beweis (a) Angenommen f ist bijektiv. Zu zeigen: g mit den geforderten Eigenschaften. Sei y N beliebig. Da f bijektiv:!x M : f(x) = y Wir setzen g(y) = x. Dann ist g : N M. Außerdem: (f g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y = id N (y) (g f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x = id M (x) 28

29 Angenommen es existiert eine Abb. g mit f(g(y)) = y und g(f(x)) = x Zu zeigen: f ist bijektiv f surjektiv? Sei y N beliebig. dann ist g(y) M, f(g(y)) = y, d.h. g(y) ist Urbild von y unter f, also ist f surjetiv f injektiv? Sei f(x 1 ) = f(x 2 ). Dann x 1 = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = x 2, also ist f injektiv. (b) Zu zeigen: Eindeutigkeit von g: Angenommen es gäbe 2 solcher Abb. g 1 und g 2. Sei y N Dann existiert genau ein x M mit f(x) = y, da f bijektiv. Es folgt: g 1 (y) = g 1 (f(x)) = x g 2 (y) = g 2 (f(x)) = x g 1 = g 2 (c) u.u. in Übung 29

30 4 Relationen Bisher: f : M N, Abb.: Jedem x M wird genau ein y n zugeordnet. Jetzt: Verzichtet man auf die unterstrichenen Forderungen, so beschreibt man eine Teilmenge von M N. (Allgemein: Teilmengen n-facher kartesischer Produkte M 1 M 2... M n ) 4.1 Def. Relation Seien M 1,..., M n nichtleere Mengen. Eine n-stellige Relation R über die mengen M 1,..., M n ist eine Teilmenge von M 1... M n R 1... M n Gilt M 1 =... = M n, so spricht man von einer n-stelligen Relation auf M Beispiele Relationelle Datenbank V orn N achn Alter W ohnort P eter Blau 23 T Ü P eter rot 24 T Ü M aren Rot 28 RT R V orn Nachn Alter W ohnort Zweistellige Relationen (besonders wichtig) Besondere Symbole: oder oder G f Graph von Abb. f (f : M N, G f = {(x, f(x)) x M} ist Relation M N Da G f eindeutig, kann Abb. f als spezielle Relation betrachtet werden. Gleichheitsrelation auf M R = {(x, x) x M} (Graph von id M ) M M übliche Kleiner-Relation auf Z R < = {(x, y) x, y Z, x < y} Z Z Teilerrelation ( teilt ) auf N: x y heißt x teilt y, d.h. k N : y = k x 30

31 -Relation auf Z x y x < y x = y Anmerkung Es gibt zwei besonders wichtige Typen von Relation: Ordnungsrelationen Äquivalenzrelationen Bsp.: <, Ordnungsrelationen 4.2 Ordnungsrelationen Sei M eine nicht-leere Menge, eine 2-stellige Relation auf M mit folgenden Eigenschaften: (1) x M : x x (Reflexivität) (2) x, y M : x y y x x = y (Antisymmetrie) (3) x, y, z M : x y y z x z (Transitivität) Dann heißt Ordnungsrelation oder partielle Ordnung. Gilt zusätzlich (4) x, y M : x y y x so heißt vollständige/lineare/totale Ordnung. Häufig schreibt man statt, obwohl das nicht die übliche kleiner-gleich-ordnungsrelation auf N, N 0,... bedeuten muss. Ist u v und u v, so schreibt man u < v Beispiele normale Ordnungsrelation auf N ist totale Ordnung Gleichheitsrelation ist partielle Ordnung auf jeder Menge, nicht total, falls M > 1 Teilerrelation auf N ist partielle Ordnung, nicht total (z.b. weder 2 3 noch 3 2) Teilmengenrelation auf der Potenzmenge von M ist partielle Ordnung, nicht total, falls M > 1 M = {1, 2, 3}, R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)} Transitivität verletzt: (1, 2) R, (2, 3) R, aber (1, 3) R 31

32 Sei (partielle) Ordnung auf M Ordne M n durch u = (u 1, u 2,..., u n ) v = (v 1, v 2,..., v n ) u = v oder u i < v i für das kleinste i mit u i v i Bsp.: (a, p, p, l, e) M 5, (a, p, p, s, s) M 5 hier: u v, da l < s Das ist partielle Ordnung auf M n (s. ÜB 4) Ist total, so ist auch total. Ist total, so heißt lexikographische Ordnung. 4.3 Äquivalezrelation Sei M =, eine zweistellige Relation auf M mit folgenden Eigenschaften: (1) Reflexivität (2) Symmetrie: x y y x (3) Transitivität Dann heißt Äquvalenzrelation Beispiele Gleichheitsrelation: trivial M = Z, x y x y gerade Allgemein: Wähle r N fest, M = Z Reflexivität x x = 0 r 0 x x Symmetrie x y r x y r (x y) r x + y r y x y x zu zeigen Transitivität x y y z x z: r x y r y z x y = k r, k Z y z = l r, l Z x z = x y + y z = k r + l r = (k + l) r also transitiv, da r x z, also x z 32

33 4.4 Def.: Äquivalenzklassen Sei Äquivalenzrel. auf M und x M. Dann heißt [x] := {y M y x} Äquivalenzklasse von x (bezüglich ) auf M Beispiele Gleichheitsrelation auf M x M : [x] = {x} Relation x Z, x y 2 x y [0] = {y Z 2 y} = [2] = [ 2] [1] = {y Z 2 y} = [3] = [ 3] Relation f : M N, Abb.; x, y M : x y f(x) = f(y) [x] = f 1 ({f(x)}) volles Urbild f 1 (f(x)) von f(x) bzgl. f 4.5 Gleichheit von Äquivalenzklassen Sei eine Äquivalenzrelation aufm, x, y M (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) [x] = [y] (ii) x y (iii) x y (b) Ist [x] [y], so ist [x] [y] = Beweis (a) durch Ringschluss (i) (ii): x [x] = [y] x [y] (Reflexivität, Annahme) (ii) [iii): x [y] x y (Def. Äquivalenzklasse) (iii) (i): Sei z [x], dann z x Aus x y folgt wg. Transitivität z y, also [x] [y], da z [y] Wegen Symmetrie gilt y x, es folgt analog [y] [x] [x] = [y] (b) Indirekter Beweis (A B B A) Sei [x] [y], z [x] [y] Aus (a) folgt [z] = [x] = [y] 33

34 4.6 Zerlegung Definition Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf M führen zu einer Zerlegung von M: (a) Mengen A und B heißen disjunkt, falls A B = (b) Sei Z P(M) Teilmengensystem Elemente von Z paarweise disjunkt: A, A Z : A A A A = (c) Sei Z eine Menge paarweise disjunkter, nicht-leerer Teilmengen von M. Dann schreibt man für A auch A oder A ( disjunkte Vereinigung ) A Z A Z A Z Gilt dabei A = M, so heißt Z Zerlegung von M ( Partition ) Beispiele A Z M = {1, 2, 3, 4} Z = {{1}, {2}, {3, 4}} Zerlegung von M Z = {{1, 4}, {2, 3}} Zerlegung von M Z = {z Z 2 z} {z Z 2 z} Satz Sei M eine Menge. (a) Ist eine Äquivalenzrelation auf M und Z eine die Menge aller verscheidenen Äquivalenzklassen (bezügl. ) auf M, so ist Z eine Zerlegung von M. (b) Sei Z eine Zerlegung von M. Setze x y : x, y liegen in derselben Menge A Z. Dann ist eine Äquvalenzrelation auf M. Die Äquivalenzklassen bezgl. sind gerade die Mengen A Z Beweis (a) Sei Äquivalenzrelation auf M. Für jedes x M gilt: x [x] Folglich A = M A Z Dies ist eine disjunkte Vereinigung nach der Definition einer Äquivalenzklasse. Damit ist Z eine Zerlegung von M. 34

35 (b) z.z. (wie oben definiert) hat Eigenschaften einer Äquivalenzrelation (s.o.) Reflexivität Sei x M. Dann ist x A für genau eine Menge A Z, also x x Symmetrie Sei x y, d.h. x, y A für A Z, dann auch y x. Transitivität Ist x y und y z, so x, y A, y, z B für geeignete A, B Z. Da y A B folgt A = B, da Zerlegung, d.h. x, z A(= B), also x z. 4.7 Repräsentantensystem Sei eine Äquivalenzrelation auf M, Z die Menge der Äquivalenzklassen bezgl.. Wählt man aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element aus, so bilden die Elemente ein Repräsentantensystem der Äquivalnzklassen bezgl Beispiel x y : 2 x y, Äquvalenzklassen [0], [1], also {0, 1} ist Repräsentantensystem; ebenso {26, 1357} 35

36 5 Natürliche Zahlen und Induktion Natürliche Zahlen sind durch Peano-Axiome beschrieben. Das entscheidende Axiom ist das Prinzip der vollständigen Induktion. 5.1 Vollständige Induktion Definition Sei n 0 N fest. Für jedes n n 0 sei A(n) eine Aussage (von n abhängig) Es gelte: (1) A(n 0 ) ist wahr ( Induktionsanfang ) (2) n n 0 : Ist A(n) wahr }{{} Induktionsvoraussetzung, so ist auch A(n + 1) wahr }{{} Induktionsbehauptung ( Induktionsschritt, Induktionsschulss ) Dann ist A(n) für alle n n 0 wahr. Dies liefert eine Beweismethode für Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen. Man hat immer 2 Dinge zu beweisen: Induktionsanfang gilt (A(n 0 ) wahr) Induktionsschritt: n n 0 : A(n) A(n + 1) Beispiel Behauptung: Für jede natürliche Zahl n gilt n = n(n+1) 2 Beweis: Induktionsanfang n 0 = 1, 1 = 1(1+1) 2 = 2 2 = 1 Induktionsschluss Induktionsannahme n = n(n+1) 2 gelte für ein beliebiges aber festes n Induktionsbehauptung Dann gilt auch n+1 i=1 i = (n+1)((n+1)+1) 2 36

37 Induktionsbeweis n + n + 1 = n(n+1) 2 + n + 1 = n(n+1)+2(n+1) = 2 (n+1)(n+2) 2 = (n+1)((n+1)+1) Bemerkung Induktionsprinzip gilt auch für N Verschärftes Induktionsprinzip A(n), n 0 wie in 5.1 definiert. Es gelte: (1) A(n 0 ) ist wahr. (2) n n 0 : A(n 0 ) A(n 0 + 1)... A(n) A(n + 1) Dann ist A(n) für alle n n 0 wahr Beispiel Behauptung: Jede natürlicher Zahl n > 1 ist Primzahl oder Produkt von Primzahlen Beweis: Induktionsanfang n 0 = 2 ist Primzahl Induktionsschluss Induktionsannahme Aussage gilt für 2, 3, 4,..., n Induktionsbehauptung Dann gilt die aussage auch für n + 1 Induktionsbeweis Ist n + 1 Primzahl, so gilt die Aussage, sonst n + 1 ist keine Primzahl, also n + 1 = k l mit 1 < k < n < l < n + 1 Nach Ind.vor. gilt Aussage für k und l n + 1 ist Produkt von Primzahlen. 37

38 5.3 Prinzip der rekursiven Definition Man will eine Abb. g : A M definieren, M Menge, A = {n N n n 0 }, wobei n 0 N fest vorgegeben informelle Definition Definiere g(n 0 ) (Festlegung des Startwertes ) Beschreibe, wie man für jedes n n 0 g(n+1) aus g(n) erhält. ( Rekursionsschritt ) Dann ist g auf ganz A definiert Beispiele Fakultätsfunktion! : N 0 N, n n! Rek.def.: 0! := 1, (n + 1)! := n! (n + 1), n 0 Potenzen von R, Def. von x n x 0 := 1, x n+1 := x n x Summen A = {n N 0 n n 0 N 0 } fest vorgegeben. Gegeben: a : A R, k a k, Abb. ( Folge ), also a(k) = a k n Für jedes n N 0, n n 0 definiere a k durch k=n 0 n 0 a k = a n0 k=n 0 n+1 a k = k=n 0 n k=n 0 a k + a n+1, n n 0 n Konvention für n < n 0 : a k := 0 k=n 0 38

39 Produkte n k=n 0 a k, n n 0 : n 0 a k = a n0 k=n 0 n+1 a k = k=n 0 n k=n 0 a k (n + 1) n n 0 n Konvention für n n 0 : a k := 1 k=n 0 n Spezialfall: k = n k = n! k=1 Wichtige Frage k=0 Gibt es eine geschlossene Form für eine rekursiv definierte Abb. Definiere rekursiv: g : N N g(1) := 2 g(n + 1) := 3g(n) + 4, n 1 Wir zeigen: g(n) = 4 3 n 1 2, geschlossene Form n 1 Beweis durch Induktion: Indanf.: g(1) = = 4 2 = 2 = 2 Indvor.: Beh. richtig für n, also g(n) = 4 3 n 1 2 Indbeh.: g(n + 1) = 4 3 n 2 Indschritt: g(n + 1) = 3 g(n) + 4 = 3 (4 3 n 1 2) + 4 = 4 3 n = 4 3 n Rekursive Definition mit mehreren Startwerten Man kann Funktionen auch rekursiv definieren, wenn die Def. von g(n+1) nicht nur von g(n), sondern auch von g(n 1) abhängt (allg.: k vorherige Werte, wobei k fest gewählt). Dann muss man g(n 0 ) und g(n 0 1) als Startwerte definieren (allg.: k Startwerte). 39

40 Beispiel h(1) := 1, h(2) := 3, h(n + 1) := 2 h(n) h(n 1) n 2 Vermutung: h(n) = 2n 1 n 1 Beweis Da wir unsere Vermutung im Induktionsschluss für n und n 1 verwenden wollen, müssen wir den Ind.Anf. für n = 1 und n = 2 machen. Indanf.: n = 1 : h(1) = 1, = 1 n = 2 : h(2) = 3, = 3 Indschluss: Sei n 2 h(n + 1) = 2 h(n) h(n 1) = 2 (2n 1) (2(n 1) 1) = 2 2n 2 2n = 2n + 1 = 2(n 1) Rechenregeln für Produkte und Summen Änderung der Summensequenzen n k=0 a k = n+1 a k 1 k=1 Schreibweisen: n a k = a k = a k = k=0 0 k n k {0,...,n k n B = {a 0, a 1,...a n } : a k = a Analog für Produkte k=0 a B a k = n k=0 a k 40

41 5.4.2 Doppelsummen f : N 0 N 0 R n m f(i, j) = n ( m f(i, j)) i=0 j=0 i=0 j=0 = m f(0, j) + m f(1, j) m f(n, j) j=0 = m j=0 i=0 n f(i, j) j=0 Ist n = m, so schreibt man auch: j=0 n i,j= Koeffizienten vor Summen n a 0 b k = n a 0 b k k=0 (a 0 + a 1 ) k=0 n b k = a 0 k=0 n b k + a 1 k=0 Allgemein: ( m a i ) ( n b k ) = m i=0 k=0 f(i, j) n b k = 1 k=0 i=0 k=0 5.5 Wohlordnungsprinzip n a m b k i=0 k=0 n a i b k Ist M N, so besitzt M ein kleinstes Element: min(m). Logisch äquivalent zum Prinzip der vollst. Induktion. 41

42 5.6 Fibonacci Zahlen F (0) := 0, F (1) := 1, F (n) := F (n 1) + F (n 2) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... F (n) = (1+ 5) n (1 5) n 2 n Beweis durch vollst. Induktion Indanf.: (1+ 5) 0 (1 5) (1+ 5) 1 (1 5) = 0 = 1 Indschritt: F (n) = 1 5 (p n q n ) mit p = , g = Es gilt 1 + p = p 2, 1 + q = q 2 Beweis: p 2 = = = = = 1 + p F (n) = F (n 1) + F (n 2) = 5 1 (p n 1 q n 1 ) (p n 2 q n 2 ) = 5 1 (p n 1 + p n 2 ) 1 5 (q n 1 + q n 2 ) = 1 5 p n 2 (p + 1) 1 5 q n 2 (q + 1) 5 (p n q n ) = 1 42

43 6 Elementare Zahlentheorie 6.1 Teiler Definition Seien a, b Z und b 0. Dann heißt b Teiler von a, falls ein q Z existiert, sodass a = b q. Wir schreiben b a. Falls b kein Teiler von a ist: b a. Merke: 0 ist niemals Teiler Beispiel 3 6, 6 = ( 2) ( 3) 17 0, 0 = Satz (a) b c und b d, dann gilt b (kc + ld), k, l Z (b) b a und a 0, dann gilt b a (c) b a und a b, dann gilt a = b oder a = ( b) Beweis (a) Auf ÜB: Ist b a = i, c a = j, i, j Z, da a b a c Dann kb+lc a = ki + lj Z, da k, l, i, j Z also a kb + lc. (b) Da b a gilt b a. Also a = b q für ein q N, da a 0 gilt q a = q b = b i = b 1 + b b q b i=1 43

44 (c) Es gilt a = r b, b = q a, q, r Z a = r q a a rqa = 0 a(1 rq) = 0 Da a 0, da a b: 1 rq = 0 a 1 rq = 0 rq = 1 Somit r 1, q 1 r 1, q 1, da 0 niemals Teiler gilt: q = r = 1 oder q = r = Rest und Quotient Im Allgemeinen lassen sich ganze Zahlen nicht durch einander teilen. Daher benötigen wir Division mit Rest Satz Seien a, b Z, b 0. Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen q, r Z mit (i) a = q b + r (ii) 0 r b r heißt Rest, q Quotient Beweis Wir benötigen zwei Beweise: A Beweis der Existenz von q und r mit (i) und (ii) B Eindeutigkeit von q,r A 1.Fall b > 0 Sei q die größte Zahl aus Z mit q a b. Dann gilt q b a Setze: r = a qb 0 Es ist also a = qb + r Zu zeigen: r < b Dazu nehmen wir an, dass r < b falsch ist. Dann leiten wir aus r b eine Aussage ab, von der wir wissen, dass sie falsch ist. Dann wissen wir, dass r b falsch sein muss, es folgt r < b ( Widerspruchsbeweis, A B A B = 0) Dann r = b + s, s 0, d.h. 44

45 a qb = b + s a s = b + qb a s = b(1 + q) b(1 + q) = a s a q + 1 a b r < b 2.Fall b < 0 Es ist a = q b + r, 0 r < b (folgt aus 1.Fall) Also: a = q b + r und somit 0 r < b B Angenommen q,r sind nicht eindeutig. a = q 1 b + r 1 = q 2 b + r 2 Ohne Beschränkung der Allgemeinheit: r 1 r 2 q 1 b + r 1 = q 2 b + r 2 r 1 r 2 = q 2 b q 1 b r 1 r 2 = b(q 1 q 2 ) 0 (da r 1 r2) Also b (r 1 r 2 ) Zu zeigen: r 1 r 2 = 0, durch Widerspruchsbeweis: r 1 r b) b r 1 r 2 r 1 < b r 1 = r 2 und da b 0 : q 1 = q mod und div Definition Seinen a, b Z, b 0 Sei a = q b + r mit 0 r < b, q, r Z, wie Dann q = a div b r = a mod b q,r eindeutig nach 6.2, d.h. div : Z Z\{0} Z, (a, b) a div b mod : Z Z\{0} Z, (a, b) a mod b Beachte: a mod b = 0 b a 45

46 6.3.2 a und a Sei x R x kleinste ganze Zahl q mit q r ceiling x größte ganze Zahl q mit q r floor Also: x = x = x, x Z Bemerkung { a a div b = b, wenn b > 0 a b, wenn b < 0 a mod b = a b(a div b) In Java,C,... für a 0, in der regel nicht für a < 0 ( Beim Programmiern auch negativer Rest möglich, in der Mathematik nicht!) Def. in{ Java: a a\b = b, für a b > 0 a b, für a b < b-adische Darstellung natürlicher Zahlen Satz Sei b N, b > 1 Jedes n N 0 lässt sich darstellen in der Form: n = k x i b i, wobei i=0 (i) b k n < b k+1 für n > 0, bzw. k = 0, falls n = 0 (ii) x i N 0, 0 x i b 1, x k 0 für n 0 Diese Darstellung ist eindeutig, sie heißt b-adische Darstellung von n. x i heißen Ziffern von n bzgl. b. Schreibweise n = (x k x k 1... x 1 x 0 ) b oder, wenn b klar ist: n = x k x k 1... x 1 x 0 46

47 Beweis Existenz und Eindeutigkeit durch Induktion nach n Existenz IA: n 0 = 0, n 0 = 0 x 0 k 0 = 0 1 = 0 IS: i=0 IV: Aussage gelte für alle n N 0, n < n IB: Aussage gilt dann auch für n Setze x 0 = n mod b Dann b (n x 0 ), also n x 0 = n b, 0 n < n, da b > 1 Wende IV an: n = k x i bi, k, x i mit (i) und (ii) i=0 Setze x i+1 = x i für i = 0,..., k Dann: n = b n + x 0 k = b x i bi + x 0 i=0 = k x i+1 b i+1 + x 0 i=0 = k+1 i=1 x i b i + x 0 = k x i b i i=0 Gilt (i)? Z.z.: b k+1 n < b k+2 Ist n > 0, so gilt nach IV b k n < b k+1 b b k b n b k+1 b n + x 0 b k+1 n Es gilt auch n b k+1 1, also auch bn b k+2 b n = bn + x 0 b k+2 b + x 0 x 0 <b < b k+2 Gilt (ii)? Ja, für x 1,...x k+1 nach IV, da x i+1 = x i. Auch ist 0 x 0 < b, da x 0 = n mod b. 47

48 Eindeutigkeit: n = l i=0 x i b i = r j=0 y i b i, a i, y i, l, r mit (i),(ii) Dann x 0 = y 0 = n mod b Betrachte n x 0, wende IV an b, n y 0 b Beispiel Binärsystem (161) 10 1.Möglichkeit (wie im Beweis) n = n b + x 0 n = n x 0 b : 161 mod 2 = 1 = x mod 2 = 80 mod 2 = 0 = x mod 2 = 40 mod 2 = 0 = x mod 2 = 20 mod 2 = 0 = x mod 2 = 10 mod 2 = 0 = x mod 2 = 5 mod 2 = 1 = x mod 2 = 2 mod 2 = 0 = x mod 2 = 1 mod 2 = 1 = x 7 (161) 10 = ( ) 2 2.Möglichkeit Höchste Potenz von 2, die 161? 2 7 = = 33 Höchste 2er-Potenz 33? 2 5 = = 1 = 2 0 (161) 10 = ( ) 2 48

49 Hexadezimalsystem (161) 10 0,...9, A,..., F 161 mod 16 = mod 16 = 10 mod 16 = 10 = A (161) 10 = (A1) 16 oder (161) 10 = ( 1010 }{{} (161) 10 = (A1) }{{} ) 2 =(10) 10 =(A) 16 =(1) 10 =(1) Schnelles Potenzieren mit Hilfe des Binärsystems Sei a R, m N Um a m zu berechnen: a } a {{... a} Sehr langsam für große m m 1 Multiplikation Schneller: m = 2 l (Spezialfall) a m : a 2, (a 2 ) 2 = a 4,..., ((a 2 ) l 1 ) 2 = (a 2 ) l = a m l Multiplikationen, statt 2 l 1 Allgemeiner Fall: m = k x i 2 i, x i {0, 1}, x k = 1 (o.b.d.a. m > 0) i=0 k x i 2 i i=0 a m = a = a 2k a x k 1 2 k 1... a x 1 2 a x 0 = (a 2k 1 a x k 1 2 k 2... a x 1 ) 2 a x 0 =... = (...(a 2 a x k 1) 2... a x 1 ) 2 a x 0 square and multiply Algorithmus square and multiply b := a for j = k 1 (step 1)down to 0 do b := b 2 if x j = 1 then b := b a end P rint b 49

50 6.5 Kongruenzrelation modulo m Definition Sei m N. Für a, b Z gilt: a b (mod m) ( a kongruent b modulo m ) m a b d.h. a b = k m, bzw. a = b + km, b = a + ( k) m, k Z z.b (mod 7), da 7 17 ( 4) = Satz (a) Kongruenzrelation modulo m ist Äquivalenzrelation (b) a 0 (mod m) m a (c) a b (mod m), c Z c a c b (mod m) (d) a b (mod m) a mod m = b mod m (e) a mod m a (mod m) Beweis (a) Reflexivität Symmetrie Transitivität: a b (mod m) b c (mod m) m a b m b c m (a b) + (b c) = a c a c (mod m) (b) trivial (c) a b (mod m) m a b c m c(a b) c 0 cm ca cb c 0 ca cb (mod cm) ca cb (mod m) (d) Es gilt: a b (mod m) m a b a = b + km k Z Auch gilt: b = q 1 m + r, 0 r < m Folglich: a = q 1 m + r + km = m(q 1 + k) + r also: a mod m = r = b mod m 50

51 (d) a = q 1 m + r b = q 2 m + r a b = (q 1 q 2 )m, d.h. m a b a b (mod m) (e) Es gilt: (a mod m) mod m = a mod m Behauptung folgt aus (d) Unterscheidung Modulo und Kongruenz Bei festem m ist a a mod m, Abb. Z N (mod m) dagegen ist Relation auf Z 2 17 mod 7 = (mod 7), aber (mod 7), 17 ( 4) (mod 7) (mod 2) aber 3 2 (mod 2) (6.5.2 (c) nur Implikation, nicht Äquivalenz!) Satz: Kongruenzklassen modulo m Die Äquivalenzklassen der Kongruenzrelation modulo m (genannt: Kongruenzklassen modulo m sind genau die Mengen {r + k m k Z}, r = 0,..., r = m 1} Die Menge Z m := {0, 1,..., m 1} ist ein Repräsentantensystem der Kongruenzklassen mod m. Beweis Folgt aus (d), da Aufteilung je nach Rest Bsp: Kongruenzklassen mod 2 [0], [1], Z 2 = {0, 1} Satz: Kongruenzrelation in Summen und Produkten Seien a 1 a 2 (mod m) b 1 b 2 (mod m), dann: (a) a 1 + b 1 a 2 + b 2 (mod m) (b) a 1 b 1 a 2 b 2 (mod m) (c) a 1 b 1 a 2 b 2 (mod m) 51

52 Beweis Aus Voraussetzung: m a 1 a 2 m b 1 b 2 (a) Voraussetzung a 1 a 2 = k m b 1 b 2 = l m, k, l Z a 1 a 2 + b 1 b 2 = km + lm a 1 + b 1 (a 2 + b 2 ) = (k + l)m m (a 1 + b 1 ) (a 2 + b 2 ) a 1 + b 1 a 2 + b 2 (mod m) (b) analog (c) m a 1 a 2 m (a 1 a 2 )b 1 = a 1 b 1 a 2 b 2 m b 1 b 2 m (b 1 b 2 )a 2 = a 2 b 1 a 2 b 2 Also ( (a)): m (a 1 b 1 a 2 b 1 ) + (a 2 b 1 a 2 b 2 ) m a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 (mod m) Korollar: modulo in Summen und Produkten (=wichtige Folgerung aus einem Satz) (a ± b) mod m = ((a mod m) ± (b mod m)) mod m (a b) mod m = ((a mod m) (b mod m)) mod m In mod-beziehungen (von Summen und Produkten) lassen sich Zahlen durch andere Zahlen aus derselben Kongruenzklasse ersetzen Beweis Aus (e) folgt: a mod m a (mod m) b mod m b (mod m) Aus folgt: (a mod m) + (b mod m) a + b (mod m) Aus 6.5.2(e) folgt: (a mod m) + (b mod m) ((a mod m) + (b mod m)) mod m (mod m) Aus Transitivität von folgt Behauptung. 52