9. Klasse TOP 10 Mathematik 09 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G

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1 9. Klasse TOP 0 Mathematik 09 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik 9. Klasse: Die 0 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen des Kompakt-Überblicks verwenden. 9/ Wurzeln G Ü L 9/ Binomische Formeln, Faktorisieren G Ü L 9/ Quadratische Gleichungen G Ü L 9/ Quadratische Funktionen: Scheitel G Ü L 9/5 Quadratische Funktionen: Zeichnung G Ü L 9/6 Pythagoras G Ü L 9/7 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck G Ü L 9/8 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel G Ü L 9/9 Mehrstufige Zufallsexperimente G Ü L 9/0 Lösen von Gleichungen G Ü L 9/K Kompakt-Überblick zum Grundwissen G Ü L G=Grundwissen, Ü=Übungen, L=Lösungen

2 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Wurzeln 0 Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Quadrierens. Daher ist z. B. 5 = 5 = 5 und 5 = 5 5 = 5. Da sowohl ( ) = 9 = als auch = 9 =, muss man bei Variablen, deren Vorzeichen nicht bekannt ist, Betragsstriche setzen: a = a. (Der Betrag einer Zahl a ist die Zahl a selbst, wenn a nichtnegativ ist, und ist die Gegenzahl a, wenn a < 0 ist, z. B. also =, = ). Allgemein: Entsprechend ist die n-te Wurzel n a die nichtnegative Lösung der Gleichung x n = a, also z. B. 000 = 0, denn 0 = 000. Definitionsbereich: Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen, d. h. der Radikand muss 0 sein. Bei x muss also x 0 sein, bei x+5 muss x + 5 > 0 sein (wegen des Nenners hier > statt ), d. h. x > 5. Rechenregeln Produkte und Quotienten/Brüche dürfen unter einer Wurzel zusammengefasst werden: = = 6, a b = ab, =, ab ac = ab = b ac c Teilweise radizieren Man sucht unter der Wurzel quadratische Faktoren und zieht daraus die Wurzel: = 6 = ab c 7 = ab c 6 c = bc ac (für a, b, c 0, sonst bc mit Betrag!) 9x 6 = 9(x ) = x (keine weitere Vereinfachung möglich!) Umgekehrt: Vor der Wurzel stehende Faktoren werden quadratisch in die Wurzel hineingezogen: 7 = 9 7 = 6 Rationalmachen des Nenners durch Erweitern: = = (Erweitern mit ) Schreibweise mit Potenzen: x = x (Brüche im Exponenten sagen: Ich bin eine Wurzel ) x = (x ) = x = x x = x x oder x = (x ) = x x x = x x oder x = x + = x x = x x Umgekehrt lassen sich Wurzeln oft bequemer als Potenzen weiterverarbeiten, z. B. a 6 a = a a 6 a = a 0 = a Vorsicht: Bei Summen oder Differenzen die Wurzeln nicht einzeln ziehen: Beispiel: 5 6 ist nicht gleich 5 6 (links: 9 =, rechts: 5 = ). Sondern: Ausdrücke wie a b oder c + d können nicht vereinfacht werden. Vorsicht: Nicht in eine Wurzel hineinkürzen: Beispiel: ist nicht 6. Sondern: Teilweise radizieren, falls möglich: = = =, oder den Nenner quadratisch in die Wurzel hineinziehen: = = =.

3 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Binomische Formeln, Faktorisieren 0 Binomische Formeln () () () Vergiss nicht mal das Gemischte! (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b (Plusminusformel) Beispiele (x + ) = x + x + (x 7) = x x + 9 b a ab a a b ab b (x + a)(x a) = x a Weitere Beispiele und Hinweise siehe grund70.pdf. Faktorisieren bedeutet, umgekehrt eine Summe/Differenz in ein Produkt zu verwandeln.. Schritt: Gemeinsame Faktoren ausklammern (oder eventuell den Vorfaktor von x ): 6uv + u 9uw = u(v + u w) (allen gemeinsam war der Zahlenfaktor und die Variable u) a + a = a(a + ) (man denke sich bei a den Faktor, also a) x x = x (x ) x + x + 8 = (x + 8x + 6) (Klammert man aus, so muss man in der Klammer zum Ausgleich durch dividieren, d. h. mal ) Kontrolle: Beim Ausmultiplizieren muss sich wieder der ursprüngliche Ausdruck ergeben.. Schritt: Trickkiste Bei Quadrat minus Quadrat : Plusminusformel: x 9 = (x + )(x ) 9x 5y = (7x + 5y)(7x 5y) Beachte: Auch ist eine Quadratzahl: x = (x + )(x ) Manchmal kann man mehrmals in die Trickkiste greifen: x 6 = (x + )(x ) = (x + )(x + )(x ) Bei einer Summe von Quadraten, z. B. x + y, ist kein Faktorisieren möglich; diesen Ausdruck muss man stehen lassen, wie er ist. Bei drei Termen: Binomische Formel? Dann müssen zwei Quadrate und ein passendes gemischtes Glied dastehen: u + 6uv + 9v = (u + v) 9x 8x + = (7x) 8x + = (7x ) (Kontrolle: Gemischtes Glied 7x = 8x passt!) x + x + 8 = (x + 8x + 6) = (x + ) Weitere Hinweise zum Faktorisieren siehe ueb9.pdf, Aufgabe 6.

4 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Quadratische Gleichungen 0 Erster Schritt Quadratische Gleichungen löst man meist, indem man zuerst alles auf eine Seite bringt, also die Gleichung auf die folgende Form bringt: ax + bx + c = 0 Sonderfälle mit fehlendem linearen Glied bx (reinquadr. Gleichung) bzw. fehlender Konstante c (x ausklammern!) sowie biquadr. Gleichungen (Substitution!) grund90.pdf. Ist a =, lautet die Gleichung also x + bx + c = 0, spricht man von einer Gleichung in Normalform. Lösen quadratischer Gleichungen in Normalform x + px + q = 0 Entweder: Mitternachtsformel mit a = (siehe unten Lösen allgemeiner quadratischer Gleichungen ). Oder: Kleine Formel (p, q-formel): x / = p ± (p ) q (Bezeichnet man p als das Mittlere und q als das Hintere, so könnte man für die kleine Formel sagen: Minus das Mittlere halbe plusminus Wurzel aus das gerade Hingeschriebene im Quadrat minus das Hintere.) Beispiel: x + 8x 7 = 0 ( Das Mittlere ist 8, also das Mittlere halbieren und mit anderem Vorzeichen hinschreiben: ; plusminus Wurzel schreiben; darunter das Quadrat davon: 6; das Hintere ist 7, also mit anderem Vorzeichen noch unter die Wurzel schreiben: +7): x / = ± = ± Ist der Wert unter der Wurzel 0, so hat man nur eine Lösung (sog. doppelte Lösung). Ist der Wert unter der Wurzel negativ, so kennzeichnet man dies als verbotenen Ausdruck; die quadratische Gleichung hat dann keine Lösung. Lösen allgemeiner quadratischer Gleichungen ax + bx + c = 0 Falls die Gleichung bequem durch a dividiert werden kann, kann man sie in Normalform bringen und wie oben beschrieben lösen. Andernfalls verwendet man die Mitternachtsformel (sie ist so wichtig, dass man sie auch mitten in der Nacht auswendig wissen muss): x / = b ± b ac a Beispiel: x x 0 = 0 x / = +± 96 ( 0) = ±6 ; x 8 = 5; x =,5 Für Wurzeln mit Radikand 0 oder negativem Radikanden, gilt das oben gesagte analog. Zahl der Lösungen Ist man nur an der Anzahl der Lösungen interessiert, betrachtet man nur den Ausdruck unter der Wurzel, die sog. Diskriminante D = b ac. Ist D positiv, so hat die gegebene quadratische Gleichung zwei Lösungen, ist D = 0, so gibt es eine doppelte Lösung, und ist D negativ, so gibt es keine Lösung. Beispiele: 5x + 6x 80 = 0: D = b ac = 6 ( 5) ( 80) < 0, also keine Lösung. 5x 0x + 80 = 0: D = b ac = ( 0) 5 80 = 0, also eine doppelte Lösung, nämlich (mit Formel nachrechnen!) x / =

5 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Quadratische Funktionen: Scheitel 0 Die Funktionsgleichung kann auf verschiedene Arten gegeben sein, z. B. y = ax + bx + c y = a(x + d) + e a bestimmt die Form des Funktionsgraphen (siehe unten). bx nennt man auch lineares Glied, c Konstante. c ist in der Zeichnung des Graphen der y-achsenabschnitt (denn setzt man x = 0 ein, so ergibt sich y = c, und der Punkt (0 c) ist dann der Schnittpunkt mit der y-achse). e bewirkt eine Verschiebung des Graphen nach oben (bzw. bei negativem e nach unten) (denn in einer Wertetabelle sind dann alle y-werte um e größer). d bewirkt eine Verschiebung nach links (bzw. bei negativem d nach rechts) (denn für x muss um d weniger eingesetzt werden, um den gleichen Funktionswert zu erhalten, der sich ohne d ergäbe). Die Graphen quadratischer Funktionen sind Parabeln ( grund95.pdf); der tiefste bzw. höchste Punkt heißt Scheitel. Ist a > 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet ( ), bei a < 0 nach unten ( ). Ist a = oder a =, so kann man sie beim üblichen Koordinatensystem ( cm für eine Längeneinheit) auch mit der Schablone zeichnen. Bei a > ist die Parabel enger ( ), bei a < weiter ( ). Bestimmung des Scheitels mit quadratischer Ergänzung Beispiel Beispiel Beispiel y = x + 6x + 6 y = x x + y = x + 8x. Schritt: a ausklammern (zum Ausgleich in der Klammer durch a dividieren, in Beispiel also geteilt durch, d. h. mal ): y = [x x + ] y = [x x + ]. Schritt: Durch Halbierung des Koeffizienten des linearen Gliedes eine binomische Formel schreiben, Platz lassen für. Schritt: y = (x + ) y = [(x )... + ] y = [(x )...+ ]. Schritt: Quadriert man die binomische Formel zur Kontrolle aus, so erhält man außer dem gewünschten linearen Glied noch zusätzlich ein Quadrat, das oben nicht dasteht und mit minus wieder ausgeglichen werden muss: y = (x + ) y = [(x ) + ] y = [(x ) + ]. Schritt: Zusammenfassen und äußere Klammer wieder ausmultiplizieren: y = (x + ) y = (x ) + y = (x ) Schritt: Angabe des Scheitels: Aus den Werten d und e der Funktionsgleichung y = a(x + d) + e erkennt man (siehe oben), dass es sich um eine verschobene Parabel handelt, und zwar um e nach oben und um d nach links, so dass der Scheitel bei ( d e) liegt: S( ) S(,5) S( 5) Alternative zur quadratischen Ergänzung: Man bestimmt die Nullstellen (Schnittstellen des Graphen mit der x-achse [ grund8.pdf], sofern solche vorhanden sind), indem man den Funktionsterm gleich 0 setzt: ax +bx+c = 0; die Lösungsformel (x / = b± b ac [ grund9.pdf]) liefert dann symmetrisch links und a rechts von b liegende Nullstellen, so dass wegen der Achsensymmetrie der Parabel in der a Mitte der Nullstellen bei x = b der Scheitel liegt. Den y-wert erhält man durch Einsetzen a in die Funktionsgleichung. Beispiel: y = x + 6x + 6. Nullstellen ( grund9.pdf): x / = ±. Also ist der Scheitel bei x =. y-wert: x = einsetzen in y = x + 6x + 6 liefert y =. Also S( ).

6 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Quadratische Funktionen: Zeichnung 05 Zur Zeichnung der Parabel bestimmt man zunächst den Scheitel, die Nullstellen (falls vorhanden) und den Schnittpunkt mit der y-achse ( grund9.pdf, grund9.pdf, grund8.pdf). Beispiel Beispiel Beispiel y = x + 6x + 6 y = x x + y = x + 8x Scheitel S ( ) S (,5) S ( 5) Nullstellen x / = ± x / = ± x / = 8± 6 ( ) ( ) ( ) x,, x,7 keine Nullstellen x 0,, x,6 y-achsenschnitt (0 6) (0 ) (0 ) Würde die Funktionsgleichung y = x lauten, so erhielte man für die x-werte ±, ±, ± die Funktionswerte,, 9. Für die Funktionsgleichung y = x müsste man diese Werte mit multiplizieren und erhielte,, 9; für y = x entsprechend die Werte, 8, 8. Da die Parabeln der obigen Beispiele durch Verschiebung aus den eben genannten hervorgehen, kann man nun ausgehend vom Scheitel Parabelpunkte finden: In Beispiel geht man vom Scheitel (bzw. bzw. ) Einheiten nach links/rechts und (bzw. bzw. 9) Einheiten nach oben (siehe Zeichnung). In Beispiel geht man vom Scheitel (bzw. bzw. ) Einheiten nach links/rechts und (bzw. 8 bzw. 8) Einheiten nach unten. Durch die Punkte legt man dann eine glatte Kurve (insbesondere im Scheitel nicht spitz, sondern rund!): Beispiel y S T S 0 Beispiel nach oben Beispiel x S nach rechts Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen berechnet man durch Gleichsetzen der Funktionsterme. So ist für den Schnittpunkt von Beispiel und Beispiel zu rechnen: x + 6x + 6 = x x +. Diese Gleichung hat die Lösungen ( grund9.pdf) x / = 7 ±, also x 0, 60, x,. Die y-werte erhält man durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen: y / = 5 8, also y,78, y 05, (siehe Zeichnung Punkt T ).

7 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Pythagoras 06 b a c Wichtige Anwendungen: Satz von Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c gilt a + b = c (die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber). Auflösen der Formel a + b = c nach c bzw. a: c = a + b a = c b (Diese Ausdrücke können nicht weiter vereinfacht werden und sind insbesondere nicht gleich a + b bzw. c b) Die rechtwinkligen Dreiecke in verschiedenen Lagen erkennen: Dreht man obiges Dreieck, so erkennt man leicht neben A = ch c eine weitere Formel für die Fläche des Dreiecks: A = ab Anwendung in der Physik: c b a In der nebenstehenden Abbildung sind r s, F H t, t F N t und F G r. F N s Im großen äußeren Dreieck gilt r + s = t. F G Im kleinen inneren Dreieck ist F N F H und daher F H FG = FN + FH. r Durch Einzeichnen von Hilfslinien rechtwinklige Dreiecke erzeugen: r r a Diagonale im Quadrat d = a + a d = a q Beispiel (Abbildung links): Gegeben sind der Kreisradius r = 5, m und der Abstand a =,8 m. Gesucht ist q. Lösung (Abbildung rechts): Man zeichnet die punktierte Hilfslinie der Länge a ein und erhält damit ein rechtwinkliges Dreieck mit p + a = r, also p = r a = (5, m) (,8 m) =,5 m. Damit ist q = r p = 0,8 m. d a a Raumdiagonale im Quader Betrachte zunächst ABD: Dort ist DB = a + b. Betrachte dann HDB: Dort ist HB = DB + h. Also ist HB = a + b + h. Abstand der Punkte P (x y ) und P (x y ): P P = (x x ) + (y y ) r p r q a a Höhe im gleichseitigen Dreieck h + ( a ) = a h = a a = a a h a q H h D b A a B

8 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck 07 Sinus, Kosinus am Einheitskreis (= Kreis mit Radius r = ) II y I cos ϕ = x, sin ϕ = y Insbesondere ergibt sich also z. B. III (x y) y ϕ 0 x x IV für ϕ = 0 ein halbes gleichseitiges Dreieck mit x =, y =, für ϕ = 5 ein gleichschenkliges Dreieck ( halbes Quadrat ) mit x =, y =. Beispiel: Für den Punkt mit r =, ϕ = 60 ( Polarkoordinaten ) erhält man x = cos 60 = = 0,5, y = sin 60 = 0,87 ( kartesische Koordinaten ) Tangens, Kotangens tan ϕ = sin ϕ cos ϕ, cot ϕ = = cos ϕ sin ϕ tan ϕ Trigonometrischer Pythagoras Wegen x + y = ist (sin ϕ) + (cos ϕ) =, Kurzschreibweise: sin ϕ + cos ϕ =. Weitere Formeln (z. B. sin(90 ϕ) = cos(ϕ) und Additionstheoreme) siehe Formelsammlungen. sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck Hypotenuse Denkt man sich das nebenstehende Dreieck mit dem Faktor r (dem rechten Winkel gestreckt (bzw. gestaucht), so erhält man eines mit Hypotenuse, gegenüber) Ankathete a r r b und Gegenkathete b r und kann obige Erklärung von sin und cos am Einheitskreis anwenden: ϕ a cos ϕ = a = r Ankathete Hypotenuse Ankathete, sin ϕ = b = Gegenkathete r Hypotenuse, (am Winkel ϕ anliegend) b Gegenkathete tan ϕ = sin ϕ = r cos ϕ a = b (dem Winkel ϕ a = Gegenkathete Ankathete r gegenüber) Beispiele:. Gegeben: α = 50, b = a b α c Hier ist b die Ankathete von α, a die Gegenkathete. cos α = b c = b =, c cos α cos 50 sin α = a a = c sin α, (oder Pythagoras!) c (Taschenrechner [TR] auf DEGREE, siehe TR-Bedienungsanleitung, oft z. B. mit Tasten MODE oder durch wiederholtes Drücken einer DRG-Taste; im TR-Display wird dies meist durch DEG angezeigt [oder D oder nichts, aber nicht RAD oder GRAD!]). Seilbahn Burgstall (70 m) Vöran (00 m), horizontale Entfernung,7 cm auf der Karte im Maßstab : Vöran h = 00 m 70 m = 90 m, k = 0,07 m = 850 m. h tan ϕ = h ϕ = 90 0,50. k 850 Je nach Taschenrechner ermittelt man meist mit den Tasten (SHIFT) Burgstall k tan vor oder nach Eingabe des Wertes 0,50 den Winkel: ϕ 6, 7.

9 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 08 Schrägbild Die nach hinten laufenden Linien werden unter einem Winkel ω (z. B. ω = 5 ) und mit Faktor q verkürzt (z. B. q = 0,7) dargestellt. Nützlich sind hierzu oft Hilfspunkte oder ein Einsperren in ein Rechteck. A Ist z. B. der Grundriss eines Primas das nebenstehende gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge, so kann man mit dem Hilfspunkt H die Lage C des Punktes C im Schrägbild in einer Entfernung von q vom Punkt H konstruieren. B H Prisma ( grund56.pdf) Volumen: Grundfläche Höhe h V = Gh A G C ω B H Zylinder Volumen: Grundfläche Höhe V = r πh Mantelfläche: M = uh (u = Umfang der Grundfläche) Oberfläche: O = M + G Mantelfläche: M = uh = πrh Oberfläche: O = M + G = = πrh + r π Netz ( Bastelanleitung ) Hilfreich ist hier oft, sich den Körper aufgeklappt oder abgewickelt zu denken. Aus Platzgründen ist das Netz hier jeweils verkleinert dargestellt. G M a n t e l h A G B C A u = AA M a n t e l Pyramide S C A B Kegel h m r Volumen: Grundfläche Höhe V = Gh (Vieleck als Grundfläche G) Volumen: Grundfläche Höhe V = r πh Mantellinie: m = h + r Mantelfläche: M = A + A + A +... (Seitenflächen-Dreiecke) Oberfläche: O = M + G Mantelfläche: M = πrm (Sektor M = α m M π) 60 Oberfläche: G O = M + G = πrm + r π S A A C G A A S B S Sektorm Bogenlänge α b= α 60 mπ gleich Grundkreisr Umfang rπ Kegelstumpf Hierfür gibt es auch fertige Formeln, die man in der Regel nicht auswendig weiß, sondern in der Formelsammlung nachschlägt oder sich selbst herleitet. Hierzu ergänzt man den Kegelstumpf zu einem ganzen Kegel und verwendet zur Berechnung von dessen Höhe den Strahlensatz ( ueb98.pdf, Aufgabe 5). Längen- und Winkelberechnungen Hilfreich sind rechtwinklige Stützdreiecke, deren Maße man oft mit Pythagoras ermitteln kann oder in denen man mit sin, cos, tan arbeiten kann ( ueb98.pdf, Aufgaben c, ).

10 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Mehrstufige Zufallsexperimente 09 Viele Zufallsexperimente (z. B. mehrmaliges Ziehen aus einer Urne) lassen sich bequem mit einem Baumdiagramm beschreiben, bei dem man auf jeder Stufe des Experiments die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beschriftet. Die Ergebnisse bzw. Ereignisse des ganzen Zufallsexperiments sind dann jeweils durch einen bzw. mehrere Pfade im Baumdiagramm gegeben. Dabei gelten die Pfadregeln:. Die Wahrscheinlichkeit eines durch einen Pfad gegebenen Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen längs dieses Pfads. Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu dieses Ereignis führen. Beispiele:. Die nebenstehenden Glücksräder werden gedreht. Betrachtet werden die Ereignisse E : Hauptgewinn, wenn beide Räder eine zeigen; E : Trostpreis, wenn genau eine dabei ist; also E = {(, )}, E = {(, ), (, ), (, )}.. Stufe: Drehen des linken Glücksrads.. Stufe: Drehen des rechten Glückrads. P (E ) = = = 6,5 % (Pfad ganz links), 6 P (E ) = P ({(, )}) + P ({(, )}) + P ({(, )}) = = + + = 5 = 6,5 % 8. In einem Hut befinden sich 9 Lose, davon Gewinnlose. Jemand zieht Lose (natürlich ohne Zurücklegen). Ereignis A: Mindestens ein Gewinn. Erste Stufe des Zufallsexperiments: Ziehen des ersten Loses. Bei der zweiten Stufe muss man berücksichtigen, dass nun nur noch 8 Lose im Hut sind, davon je nach Ausgang der ersten Stufe oder Gewinnlose. Entsprechend verfährt man beim dritten Zug. Baumdiagramm (G=Gewinn, G=Niete): G G G G G G G G G G G G G Ereignis A ist durch alle Pfade außer dem letzten ganz rechts gegeben, so dass es bequemer ist, die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Gegenereignisses A: Kein Gewinn zu berechnen: P (A) = P (A) = = 7 = 58, %

11 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 9 Lösen von Gleichungen 0 Allgemein: Klammern auflösen, wenn sinnvoll (z. B. nicht sinnvoll, wenn im Nenner eines Bruchs bereits ein Produkt steht oder wenn ein Produkt gleich Null ist). Gleichartige Terme zusammenfassen (z. B. x bzw. x ausklammern). Typ Name Lösungsverfahren Beispiel x + = x Lineare Gleichunte, x-glieder auf eine Sei- + = x x Rest auf die andere 5 = x; x = 5; L = { 5} 0 = 0 Allgemeingültig Alle erlaubten x sind L = D bzw. L = IR Lösung 0 = Unerfüllbar Keine Lösung L = {} x 6x 6 = 0 Quadratische p, q-formel x / = ± Gleichung in x / = p ± ( p ) q x = ; x = 8 Normalform (oder allg. Formel mit a = ) L = { ; 8} x + x + = = 5x + x = 7 x 7x = 0 x 6x 6 = 0 x = 5 x x = x + x = x + 5x + x = sin ϕ = 0,6 Allgemeine quadratische Gleichung Reinquadratische Gleichung Qu. Gl. ohne Konstante (nur wenn rechte Seite =0 ist!) Biquadr. Gleichung Reine Potenzgleichung Allgemeine Bruchgleichung Bes. Bruchgl.: li. und re. Seite nur ein Bruch Kreuzweise multiplizieren. Definitionsmenge! Definitionsmenge! Wurzel isolieren; quadrieren; Probe! Wurzelgleichung Trigonometr. Gleichung Nach 0 auflösen; x x = 0 Mitternachtsformel x / = b ± x / = ± + b ac x = ; x = a L = { ; } Nach x auflösen. x = 9 Keine, eine oder zwei x / = ± 9 Lösungen! = ± L = { ; } x ausklammern; x(x 7) = 0 ein Produkt ist 0, wenn x = 0 oder x 7 = 0 einer der Faktoren 0 ist x = 0, x = 7 L = {0; 7} Substitution u = x u 6u 6 = 0 u =, u = 8 x /, x/ = ± 8 L = { 8; 8} Umkehroperation hoch hoch Nenner faktorisieren; mit Hauptnenner multiplizieren; Definitionsmenge! Taschenrechner (SHIFT) sin = ± 8 x = ±5 = ± 5 L = { 5; 5} D = IR\{ ; } HN = (x )(x + ) x(x+) (x )(x+) = (x ) x +x x x+x+ = = x x = 5 L = { 5}. D = IR\{ ; } (x + ) = (x ) x = 5 L = { 5} D = [ ; [ 5 5x + = x + 5x + = x + x + x = ( ), x = ( ) L = {} ϕ 6,87 Näheres 0. Klasse!

12 Blatt auf DIN A vergrößern, Karteikarten ausschneiden und Rückseite an Rückseite zusammenkleben! 9. Klasse TOP 0 Grundwissen 09 Kernsätze K Wurzeln 9 Definitionsbereich, z. B. x Bedeutung: Warum ist nicht genau,? Potenzschreibweise: a n =... Rechenregeln, z. B. x 6 x, x 6, k + k Bin. Formeln, Faktorisieren 9 a + ab + b =... a b = = (x y) Beispiele: (0x + ) =... 6x x =... x x+... = (...) Quadratische Gleichungen 9 Welcher Schritt wird bei quadr. Gleichungen zuerst gemacht, z. B. x + x = 0? Wie lautet die Lösungsformel für die Gleichung ax + bx + c = 0? Was besagt die Diskriminante? Quadr. Funktionen: Scheitel 9 Wie erkennt man an y = a(x + d) + e Lage und Form der Parabel? Wie geht die quadratische Ergänzung, z. B. y = x x +? Quadr. Funktionen: Zeichnung 95 Wie zeichnet man z. B. die Parabel y = (x ) +? L9 Radikand 0, hier also x ist diejenige Zahl, deren Quadrat ist; es ist aber, =,96 a n = n a x x 6 = x + 6 = x = x x 6 = (x 6 ) = x 6 = x k (k + ) = k k + Pythagoras 96 Wie berechnet man Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck? Wie lang ist die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge a? Höhe im gleichseitigen Dreieck: Wie lautet der Pythagoras-Ansatz? k h k k + k = h Quadratdiagonale d = a h s h + ( s ) = s s L96 L9 a + ab + b = (a + b) a b = (a + b)(a b) x xy + y = (x y) (0x + ) = 00x + 0x + 6x x = 6x(x ) = = 6x(x + )(x ) x x + 9 = (x 7) sin, cos, tan im rechtwinkl. Formuliere mit Ankathete usw.: sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Hypotenuse Ankathete 97 Gegenkathete ϕ Formuliere Beziehungen zwischen sin, cos, tan. sin ϕ = Gegenkathete Hypotenuse cos ϕ = Hypotenuse Ankathete tan ϕ = Gegenkathete Ankathete tan ϕ = sin ϕ cos ϕ (sin ϕ) + (cos ϕ) = L97 L9 Zuerst alles auf eine Seite bringen. Mitternachtsformel: x / = b± b ac a Diskriminante b ac: Wenn positiv, dann gibt es zwei Lösungen, wenn 0, dann eine, wenn negativ, dann keine. Prisma, Zyl., Pyramide, Kegel 98 Wie lauten die Volumenformeln? Wie sieht die Abwicklung des Mantels eines Kegels aus? Wie geht man zur Berechnung der Oberfläche einer Pyramide im Prinzip vor? L98 VPrisma = Grundfl. Höhe=G h VZylinder = r πh VPyr = Gh, V Kegel = r πh MKegel: Sektor mit Radius m = r + h OPyr: Verwende Stützdreiecke. L9 Im Vergleich zu y = x ist y = a(x + d) + e um d nach links und um e nach oben verschoben. a < 0: Nach unten geöffnet. a betragsmäßig klein: Weite Parabel. x x+ = (x 7) 9+ halb Quadrat Mehrstufige Zufallsexperimente 99 Wie kann man mehrstufige Zufallsexperimente beschreiben? Beispiel: P ( verschiedenfarbig ) beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit schwarzen und roten Kugeln. Baumdiagramm. s r s r s r 5 5 L99 Pfadregeln: P ( verschiedenfarbig ) = = L95 Vom Scheitel aus bei der Normalparabel (a = ) zur Seite, 9 nach oben usw., also bei a = y zur Seite,,5 nach unten x usw..,5 Lösen von Gleichungen Wie lauten die Lösungsrezepte: () 8x + 7 = 0 () 8x = 7 () 8x 7x = 0 () 8x 7x + = 0 (5) x = 8 7 x 90 L90 () Alle x auf eine Seite. x = () Hier Lsgen. x=± 7 8 =± () Ausklammern. x(8x 7) = 0; x = 0; x = () Mitternachtsformel. Hier L={} (5) Bruchgl.: Mit Nenner multiplizieren. 7 x = 8x; x = 7 9

13 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Wurzeln 0. Gib den Definitionsbereich an! (a) x 6 (b) 6 + x (c) x + 6 (d) x 6. Vereinfache: (a) (b) 6k x5 y (c) 5a : x y 5x a a (d) ( ) (e) x 6 x (x > 0). Mache den Nenner rational: (a) (x, y, z > 0) (b) 5 5. Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese: (a) x / = ± 8 (b) x / = 5 ± Zeige, dass die Funktionsterme f(x) und g(x) beim Einsetzen des angegebenen Wertes x jeweils den gleichen Wert haben. f(x) = x 6x, g(x) = x + x, x = 7 ± Zahlen wie sind keine Brüche (also nicht in der Zahlenmenge Q); sie sind in der Menge IR der reellen Zahlen enthalten. So ist auch nur ungefähr gleich,. Finde mit dem Taschenrechner ohne Benutzung der -Taste die dritte der unendlich vielen Dezimalen von.

14 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Binomische Formeln, Faktorisieren 0 Hinweis: Weitere Übungen siehe ueb7.pdf (Aufgaben nor,, 5), ueb70.pdf.. Löse die Klammern auf: (a) (x ) (b) (m + n) (c) (mn p)(p + mn) (d) ( r s) (e) (x ) + (x + ) (x + 7 )(x 7 ). Faktorisiere: (a) ax + bx x (b) x 0x + 5 (c) 9x (d) m x + 0mx + 00 (e) 8x (f) x x (g) 5 x + x + 80 (h) k k + (i) x + 9x (j) x + x 6. Bestimme den Definitionsbereich: f(x) = x x + 6. Vermeide häufige Fehler: (a) (a + b) = a + b. FALSCH! Verbessere! (b) Wenn ich a 5 von a 7 wegnehme, bleibt a, also a7 a 5 a a = a a Verbessere! = a. FALSCH! 5. Ergänze: (a) x 0x +... = ( ) (b) 00 x + x +... = ( ) 6. Zum Faktorisieren bei vier Termen geht manchmals der Zwei-zwei-Trick : Hierzu muss man aus je zwei Gliedern einen gemeinsamen Faktor ausklammern und anschließend nochmals einen ganzen gemeinsamen Klammerausdruck ausklammern, z. B. x + y 6x xy = (x + y) x(x + y) = ( x)(x + y) Verwende diesen Trick, um ax 7bx + ay 8by zu faktorisieren.

15 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Quadratische Gleichungen 0. Löse folgende quadratische Gleichungen: (a) x 5x + 6 = 0 (b) x 6x = 7 (c) x x + 0, = 0 (d) x + x = 7 (e) x + x + 6 = 0 (f) x,7x +, = 0 (g) 60x + 57x = 8 (h) x + 66x 089 = 0 (i) 0,5x + 7 = x (j) x kx k = 0. Bestimme nur die Zahl der Lösungen: (a) 8(x 7)(x ) = 5 (b) (x 7)(x ) = 5 (c) (x 7) (x ) = 5 (d) (x 0) + 90 = (x )(x 7) Bei welcher der folgenden Gleichungen sollte man ausmultiplizieren, bei welcher nicht? (a) (x 7)(x 7) = 00 (b) (x 7)(x 7) = 0 (c) (x ) = x (d) (x ) =. Finde zwei Zahlen, deren Summe 0 ist und deren Produkt ist. 5. Welcher Fehler wurde hier gemacht? x = 9x : x 6. Schreibe x + 0x + 7 als Produkt! Hinweise: x = 9 FALSCH! Gelingt es, eine in Normalform gegebene quadratische Gleichung x + bx + c = 0 auf die Form (x r)(x s) = 0 zu bringen, so sind x = r und x = s die Lösungen der Gleichung (denn ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist). Umgekehrt kann man damit Faktorisieren: Hat man für die quadratische Gleichung ax + bx + c = 0 z. B. mit der Formel die Lösungen x = r und x = s gefunden, so ist ax + bx + c = a(x r)(x s) ( x minus Lösung ). Beispiel: 5x + 5x 0 = 0 liefert x =, x = 8; damit kann man schreiben 5x + 5x 0 = = 5(x )(x ( 8)) = 5(x )(x + 8).

16 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Quadratische Funktionen: Scheitel 0. Bestimme den Scheitel: (a) y = x x (mit quadratischer Ergänzung) (b) y = x + 6x (mit quadratischer Ergänzung) (c) y = x + x (mit Hilfe der Nullstellen). Wie lautet die Gleichung einer nach unten geöffneten Standardparabel mit Scheitel (5 )?. Wodurch unterscheiden sich die Parabeln y = x 8x + 7 und y = x x +?. Bestimme den Scheitel der Parabel, die durch die Punkte A( 8), B( 8) und C( 6) geht. Anleitung: Setze in den Ansatz y = ax + bx + c den x- und y-wert jeweils eines Punktes ein und gewinne so ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen für die Variablen a, b, c. Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen siehe grund8.pdf und ueb8.pdf, Aufgabe. 5. In dieser Aufgabe wird der Funktionsterm einer quadratischen Funktion aufgestellt für die Summe aller natürlichen Zahlen bis zur Zahl x. (a) Betrachte zunächst die Summe s = Studiere folgenden Trick zur Berechnung von s: s = s = s = =, also s = 78 Verwende denselben Trick, um zu bestimmen. (b) Begründe ebenso: x = x(x+) (c) Bestimme den Scheitel zur Funktionsgleichung y = x(x+) 6. Aus einem diagonal halbierten DIN A -Blatt soll entsprechend nebenstehender Zeichnung ein möglichst großflächiges Rechteck geschnitten werden. Hinweis: Gehe in folgenden Schritten vor: Schreibe für die Größe, die maximiert werden soll, eine einfache Formel. a b 9,7 Die Maße a und b des Rechtecks sind durch eine sog. Nebenbedingung verknüpft (denn je größer a, desto kleiner ist b). Mache dir klar, dass gilt: 9,7 = b a Auflösen dieser Gleichung nach b. Durch Einsetzen in die anfängliche Formel erhält man eine Darstellung mit nur einer Variablen in Form einer quadratischen Funktionsgleichung. Führe eine Umbenennung durch (x statt a). Durch Suche des Scheitels findet man das Extremum, d. h. die Breite a, für die die Fläche extremal (hier: maximal) wird.

17 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Quadratische Funktionen: Zeichnung 05. Zeichne folgende Parabeln: I y = x x II y = x(x + ) III y = x x 5. Bestimme die gemeinsamen Punkte: (a) Für die Parabeln I und III aus Aufgabe (b) Für die Parabel II aus Aufgabe und y = x + x. Man gebe die Funktionsgleichung der Parabel an, die durch Spiegelung der Parabel y = x + 6x am Ursprung des Koordinatensystems entsteht.. Zeichne folgende Parabeln: I y = x 8x + 7 II y = x x + III y = 5x + 6x Bestimme die gemeinsamen Punkte der Parabeln II und III aus Aufgabe. Interpretiere das Ergebnis. 6. Zeichne in das Koordinatensystem aus Aufgabe die Gerade g : y = x + 8 und berechne die x-werte der gemeinsamen Punkte (a) der Geraden und der Parabel II aus Aufgabe (b) der Geraden und der Parabel III aus Aufgabe

18 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Pythagoras 06. (a) Notiere die Formel für den Abstand der Punkte P (x p y p ) und Q(x q y q ). Mache Dir die Formel anhand einer Skizze klar. (b) Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC mit A( ), B( ), C(5 ). (c) Vom Satz von Pythagoras gilt auch die Umkehrung, d. h. gilt a + b = c, so hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel. Zeige damit, dass das Dreieck aus Teilaufgabe (b) bei A rechtwinklig ist. F. (a) Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im nebenstehenden Holzhäuschen (Maße in m) spannen könnte? T (b) Wie viel m Dachfläche hat das nebenstehende,55,0 Holzhäuschen?,50 E,0. Anwendung in der Physik: Geschwindigkeitspfeile werden oft zerlegt in Horizontalgeschwindigkeit v x und Vertikalgeschwindigkeit v y. Dabei können v x und v y je nach Richtung (rechts/links bzw. oben/unten) positiv oder negativ sein. Beim Vektor v betrachten wir hier die Pfeillänge v. Ergänze die Tabelle: v x v y 8 0,8 5 v v v y v x. (a) Berechne Inkreisradius und Kantenlänge eines regelmäßigen Sechsecks mit Umkreisradius r (allgemein in Abhängigkeit von r). (b) Suche im regelmäßigen Achteck Hilfslinien, durch die rechtwinklige Dreiecke entstehen. 5. (a) Stelle für die nebenstehende Figur drei Pythagoras- Formeln auf! (b) Im rechtwinkligen Dreieck gilt auch der Kathetensatz a = pc (ebenso b = qc), der z. B. mit Hilfe ähnlicher Dreiecke ( grund89.pdf) bewiesen werden kann. b a h q p c Setze damit (und mit Hilfe von Teilaufgabe (a)) den hier vorgegebenen Ansatz fort und folgere damit den sog. Höhensatz: pq = p(c p) = Gegeben ist die Standardnormalparabel y = x. Welcher Punkt F (0 f) liegt vom Parabelpunkt P (x y) ebenso weit entfernt wie P von der Geraden y = f ( Leitlinie )? (F heißt Brennpunkt der Parabel.) y F (0 f) 0 f x P (x y) y f x L

19 9. Klasse Übungsaufgaben 9 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck 07. Berechne die fehlenden Streckenlängen und Winkel (Taschenrechner, zwei Dezimalen) in den folgenden Dreiecken (γ = 90 ): (a) β β = 57 a c = γ α b (b) c β α a γ b α = a = 7 (c) b α γ a c = 0,5 β a = 0,. Die Geraden g : y =,5 x, h : y = x und die y-achse begrenzen ein Dreieck. (a) Überlege mit Hilfe der Skizze des Steigungsdreiecks, wie der Neigungswinkel der Geraden berechnet werden kann. (b) Berechne die Winkel in diesem Dreieck.. Die Länge einer unzugänglichen Strecke x soll berechnet A D werden: AB = 7 m, <) CBA = 90, β =<) DBA = 50 x, <) BAD = 90, α =<) BAC = 56 B F C. Mit bloßem Auge können am Nachthimmel Lichtpunkte unter einem Blickwinkel von (Winkelminuten) getrennt gesehen werden. Der Jupiter ist ca. 800 Millionen km von der Erde entfernt. Welche Monde könnten dann theoretisch (wenn sie hell genug wären) noch getrennt vom Jupiter wahrgenommen werden: Io (Bahnradius, d. h. Entfernung vom Jupiter 000 km), Europa ( km), Ganymed ( km), Kallisto ( km). 5. Berechne + tan α für α = 0 und α = 5 exakt, (a) indem Du zunächst tan α für diese Winkel ermittelst, (b) indem Du zunächst diesen Term vereinfachst. 6. Die Punkte M und N sind Mittelpunkte der Kanten [AE] und [AB] eines Würfels mit Kantenlänge a. Berechne den Winkel µ =<) N M G. Hinweis: Suche zunächst andere Dreiecke, mit deren Hilfe sich Streckenlängen des Dreiecks MNG berechnen lassen. H E M A N G F C B

20 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 08. Berechne Volumen und Oberfläche, wenn der Körper jeweils die Höhe h = 5 cm hat: (a) Prisma mit gleichschenkligem Dreieck als Grundfläche, Schenkellänge cm, Basis cm. (b) Zylinder mit Radius r = cm. (c) Gerade Pyramide (d. h. alle Seitenkanten gleich lang) mit Quadrat der Kantenlänge cm als Grundfläche. (d) Kegel mit Radius r = cm.. Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse A. Berechne das Volumen Rotationskörpers in Abhängigkeit von a. A a. Ein Kegel, dessen Höhe h so groß ist wie der Grundkreis-Durchmesser, habe das Volumen Liter. Berechne h. Berechne ferner den Öffnungwinkel α des Sektors, aus dem dieser Kegel gefertigt werden kann.. Eine Pyramide habe als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit Umkreisradius r (gemäß ueb96.pdf, Aufgabe a, ist dann die Grundkantenlänge ebenfalls r und der Inkreisradius r). Der Höhenfußpunkt der Pyramide sei der Umkreismittelpunkt, die Seitenkantenlänge sei,6r. Berechne das Volumen der Pyramide. Berechne den Neigungswinkel der Seitenkante zur Grundfläche und den Neigungswinkel der Seitenfläche zur Grundfläche. 5. Berechne das Volumen eines Kegelstumpfs mit Höhe, oberem Radius und unterem Radius 5. a a a 6. Das nebenstehende Netz mit lauter gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge k lässt sich zu einem Oktaeder falten, indem man zunächst aus der linken Hälfte des Netzes eine Pyramide herstellt. Berechne die Höhe dieser Pyramide und zeichne ein Schrägbild der Oktaeders. k A A A

21 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Mehrstufige Zufallsexperimente 09. Von 58,6 Millionen Italienern sind etwa deutschsprachig (vor allem Südtiroler), von 7, Millionen Schweizern etwa,7 Millionen (der Rest hat als Erstsprache z. B. Französisch, Italienisch, Rätoromanisch), von 8, Millionen Österreichern etwa 88,6 % (der Rest z. B. kroatisch). Bei einem Preisausschreiben wird zuerst ein Land ausgelost und dann aus dessen Einwohnern eine Person. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die ausgewählte Person Deutsch als Erstsprache? Ergäbe sich ein anderes Ergebnis, wenn man direkt aus allen Einwohnern dieser drei Länder eine Person zufällig auswählen würde?. In einer Urne befinden sich 0 Kugeln, davon rote, der Rest schwarze. (a) Man zieht viermal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nur rote Kugeln zu ziehen? (b) Man zieht aus dieser Urne zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nur rote Kugeln zu ziehen? (c) Man zieht aus der Urne dreimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, immer abwechselnd die jeweils andere Farbe zu ziehen? (d) Wie viele der 0 Kugeln müssten rot sein, damit die Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe (a) etwa 50 % beträgt? (e) Wie viele der 0 Kugeln müssten rot sein, damit die Wahrscheinlichkeit aus Teilaufgabe (b) etwa 50 % beträgt?. Ein dreiziffrige Zufallszahl (im Bereich von 000 bis 999) wird ermittelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält sie mindestens zwei gleiche Ziffern? Viele Taschenrechner können solche Zufallszahlen mit einer RANDOM oder RAN- Taste liefern. Führe das Experiment 5-mal durch. Wie viele Ergebnissse mit mindestens zwei gleichen Ziffern sind zu erwarten?. Hinter einem Sportplatz befindet sich ein Haus mit einem großen und einem kleinen zum Platz hin zeigenden Fenster. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe eines Fußballspiels die große Scheibe (Reparaturkosten 50 Euro) zertrümmert wird, betrage 0, %, für die kleine Scheibe (0 Euro) 0, %. Im Falle eines Schadens werden bis zur Reparatur keine Spiele durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 7 Spieltagen die Reparaturkosten mehr als 000 Euro betragen? 5. Aus einer Urne ( rote, schwarze Kugeln) wird so lange ohne Zurücklegen gezogen, bis die zweite schwarze Kugel gezogen wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies beim dritten Zug der Fall? 6. Beim Känguru-Wettbewerb der Mathematik sind 0 Fragen zu beantworten, wobei jeweils 5 Antwortmöglichkeiten vorgegeben sind. Erscheint die Annahme plausibel, dass die 6 5 Teilnehmer der Klassen 5 im Jahr 006 alle nur auf gut Glück angekreuzt haben, wenn von ihnen volle Punktezahl erhielten?

22 9. Klasse Übungsaufgaben 9 Lösen von Gleichungen 0 Typ Name Lösungsverfahren Beispiel x + = x = 5 0 = 5 x 8x 0 = 0 9x + x + = = 8x + 9 9x + = 7 x x = 0 x 8x 0 = 0 x = 5 x = x x x = x + 8x + 9 = x cos α =

23 9. Klasse Übungsaufgaben 09 Kompakt-Überblick zum Grundwissen K. Wurzeln (siehe auch grund9.pdf): Vereinfache: (a) (b). Binomische Formeln, Faktorisieren (siehe auch grund9.pdf): Vereinfache:. Quadratische Gleichungen (siehe auch grund9.pdf) [(x ) ] x a 5 a 7 a +a+ Das Produkt meines Alters und des Alters meines Klavierlehrers ist 555. Der Altersunterschied ist. Wie alt ist der Klavierlehrer?. Quadratische Funktionen: Scheitel (siehe auch grund9.pdf) Beschreibe den Graphen zur Funktionsgleichung y = (x )(x ) in Worten! Welche Gleichung hat die durch Spiegelung an der x-achse entstehende Kurve? 5. Quadratische Funktionen: Zeichnung (siehe auch grund95.pdf): y = x x + 5 Zeichne den Graphen! Zeige, dass die Gleichung x x + 5 = x + 6 genau eine Lösung hat! Welche anschauliche Bedeutung hat dies? 6. Pythagoras (siehe auch grund96.pdf) E F A 80 B Man berechne die restlichen Kantenlängen des M D sog. Krüppelwalmdachs (siehe nebenstehende 6 M Skizze, M M =, M E = 6, Maße in dm). Lösungstipps: Skizziere zuerst das gleichschenklige Trapez C 0 ABCD in einer separaten Planfigur und berechne AD. 00 Ergänze in obigem Schrägbild mit dem Punkt E zu einem Satteldach. Wie lang ist (bei Symmetrieannahme) EF? Wie könnte man prinzipiell das Volumen des Hauses berechnen? 7. sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck (siehe auch grund97.pdf) Ein rechtwinkliges Dreieck habe die Katheten a = und b = 9. Berechne die Länge der Hypotenuse c, die Winkel α und β und danach mit Hilfe von α die Höhe h c. Welche anderen Wege zur Berechnung von h c gibt es? 8. Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel (siehe auch grund98.pdf) (a) Berechne das Volumen des Zylinders, der durch Rotation des nebenstehenden Rechtecks um die Achse A entsteht. A A (b) Welche Höhe hätte ein Kegel mit gleichem Volumen und gleichem Grundkreisradius r =? (c) Argumentiere, warum bei Rotation des Rechtecks um die Achse A ein Körper mit -fachem Volumen entsteht. 9. Mehrstufige Zufallsexperimente (siehe auch grund99.pdf) 5 Ergänge das nebenstehenden Baumdiagramm und finde dazu ein 5 Zufallsexperiment und ein Ereignis A mit P (A) =? Lösen von Gleichungen (siehe auch grund90.pdf) (a) x 7 = 9x (b) x + 7 = (x ) (c) x = 9x (d) x + 8 x+9 = (e) x 0 = 000 (f) Welcher Fehler wurde hier gemacht: x = 9, also x = 7.

24 9. Klasse Lösungen 9 Wurzeln 0. (a) x 6 0: x 6; D = [6; [. (b) 6 + x ist wegen des Quadrats stets > 0, also D = IR. (c) x + 6 > 0: x > 6; D =] 6; [. (d) x 6 0, d. h. x 6 oder x 6; D =] ; 6] [6; [. (a) = = = 5 + (b) 6k = 8 k ( ) x5 y x y (c) : 5a a. (a) = x y 5x 5x a = x5 y a 5x 5a x y a = x5 ya 5x 5x 5ax y a = y = (d) ( ) = (8 6 8 ) = (8 6 + ) = (8 ) = 8 8 = (8 ) 8 = ( 8) 8 = 8 = 56 (e) x 6 x = x 6 = x = ( ) x = x = x 6 = (b) = 5 5 =. (a) ± 96 = 7 ± = ( 5) = = ± = = ± x = 6 x = = ± (b) x / = 5 ± = 5 ± 8 7 = 5 ± x = 5 9 = 7 = = 7 = x = 5+9 = 7 = = Bei ± oder gehören jeweils die oberen Vorzeichen bzw. nur die unteren Vorzeichen zusammen. Bei Unsicherheiten schreibe man zuerst die Ausdrücke nur mit den oberen Vorzeichen. ( ) 7 ± 55 f(x) = 6 7 ± 55 = 9 ± ± 6 55 = = 9 ± = 59 ± 8 55 ( ) 7 ± 55 g(x) = + 7 ± 55 = 9 ± ± 55 = 59 ± 8 55 Interpretation: Die durch f und g gegebenen Funktionen haben die Punkte mit diesen x-werte als gemeinsame (Schnitt-)Punkte. 6. Intervallschachtelung: Wegen, =,988 und, =,06 liegt zwischen, und,. Probieren mit,5 =,005,, =, und, =,99996 zeigt, dass zwischen, und,5 liegt, also =,... =

25 9. Klasse Lösungen 9 Binomische Formeln, Faktorisieren 0. (a) (x ) = x x + (b) (m + n) = m + mn + n (c) (mn p)(p + mn) = (mn p)(mn + p) = m n p (d) ( r s) = ( r) + ( r)( s) + ( s) = r + rs + s (e) (x ) +(x + ) (x + 7 )(x 7 ) = (x ) +(x + ) (x + 7 )(x 7 ) = = x 8 x x + 8 x (x 9 9 ) = x + 9 x = x = = x + 9 (Weitere Vereinfachung ist nicht möglich/keine binomische Formel!). (a) ax + bx x = x(ax + b ) (b) x 0x + 5 = (x 5) (c) 9x = (x + )(x ) (d) m x + 0mx + 00 = (mx + 0) (e) 8x = (9x + )(9x ) = (9x + )(x + )(x ) (f) x x = x(x ) = x(x + )(x ) (g) 5 x + x + 80 = 5 (x + 60x + 900) = (x + 0) 5 (h) k k + = (k k + ) = (k ) (i) x + 9x = (x + x + 69) (Weitere Vereinfachung ist nicht möglich, da das gemischte Glied nicht zur binomischen Formel (x + ) = x + 6x + 69 passt.) (j) x + x 6 = (x x + 6 = (x ). Der Term unter der Wurzel muss 0 sein: x x + 6 0, also (x 6) 0. Da Quadrate nie negativ sind, ist dies stets der Fall. Also sind alle x-werte erlaubt: D = IR.. (a) Summen/Differenzen (z. B. (a + b) ) nicht einzeln potenzieren! Sondern: Ausmultiplizieren (binomische Formeln): (a + b) = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + ab + b )(a + b) = = a + a b + a b + ab + b a + b = a + a b + ab + b (b) Summen/Differenzen (z. B. a 7 a 5 ) können nicht zusammengefasst werden. Sondern: Gemeinsame Faktoren ausklammern, eventuell binomische Formeln suchen, sonst stehen lassen: a 7 a 5 a a = a5 (a ) a (a ) = a5 (a + )(a ) = a (a + ) a (a ) 5. (a) x 0x + 5 = (x 5) (b) 00 x + x + 5 = ( x + 0 5) (Lösungsweg:. Schritt: Schreibe 00 x + x +... = ( 0 x+?).. Schritt: Überlege das gemischte Glied: x? = x, also 0 0? =, also? = 5.. Schritt: Binomische Formel für ( x + 0 5) ausrechnen.) 6. ax 7bx + ay 8by = x(a 7b) + y(a 7b) = (x + y)(a 7b)

26 9. Klasse Lösungen 9 Quadratische Gleichungen 0. (a) x / =,5 ± 6,5 6 =,5 ± 0,5; x =, x = (b) x 6x 7 = 0; x / = ± = ± 6; x =, x = 9 (c) x / = 0,5 ± 0,5 0, = 0,5 ± 0,05; keine Lösung (d) x / = ± + 7 = ± (e) x / = 6 ± 6 6 = 6 (eine doppelte Lösung) (f) x / =,7±,7, =,7±9, ; x 6 = 0,, x =,5 (g) 60x + 57x 8 = 0; x / = 57± = 57±87 0 ; x =,; x = 0,5 (h) x / = 66± 66 ( ) ( 089) = 66±0 ( ) (i) 0,5x x + 7 = 0; x / = ± ( 0,5) 7 ( 0,5) = ± 8 = k± 9k (j) x / = +k± ( k) ( k ) = (eine doppelte Lösung). = = k±k ; x = k, x = k. (a) 8(x x 7x + 7) = 5; 8x 6x + = 0; D = ( 6) 8 = 78 > 0; also Lösungen (b) (x x 7x + 7) = 5; x + 8x = 0; D = 8 ( ) ( ) = < 0; also keine Lösung (c) x x + 9 (x x + ) = 5; x + = 0; lineare Gleichung mit Lösung (nämlich = ) (d) (x 0x+00)+800 = x 7x x+5+999; x +00x+50 = 0; D = = 0; also doppelte Lösung. Bei (a) und (c) muss ausmultipliziert werden. Bei (a) ergibt sich dann x / = ± 5, bei (c) x / =. Bei (b) sollte man nicht ausmultiplizieren; denn ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also wenn x 7=0 oder x 7=0; Lösungen somit x = 7, x = 7. Bei (d) sieht man sofort, dass die Gleichung keine Lösung hat, da ein Quadrat stets 0 ist.. Die Zahlen seien x und y. Das Gleichungssystem x + y = 0, x y = löst man, indem man die erste Gleichung nach y auflöst (y = 0 x) und in die zweite einsetzt: x(0 x) = ; 0x x = ; x 0x + = 0; x / = 5 ± 5 = 5 ±. Ist x = 5 +, so ist y = 0 x = 5, und umgekehrt. 5. Richtiger Weg: Alles auf eine Seite bringen, x ausklammern: x 9x = 0; x(x 9) = 0; x = 0, x = 9. Im gegebenen falschen Rechenweg fehlte also die erste Lösung x = 0. Ursache: Man dividiere nie durch einen Ausdruck mit der Lösungsvariablen. Denn da man den Wert von x noch nicht kennt, könnte es sein, dass man verbotenerweise durch 0 dividiert. 6. x + 0x + 7 = 0 hat die Lösungen x / = 0± x = 6. Also x + 0x + 7 = (x + )(x + 6). = 0±6 6 ; x =,

27 9. Klasse Lösungen 9 Quadratische Funktionen: Scheitel 0. (a) y = x x = = (x,5),5 = = (x,5). Also S(,5 ). (b) y = [x x + ] = = [(x ) + ] = = (x ) + 5. Also S( 5). (c) 0,5x + x = 0 liefert x / = ± 6+ 0,5 0,5 = ± 8. Mitte, also Scheitel, bei x =. y-wert: y = 0,5( ) + ( ) =. Also S( ).. y = (x 5) + = x + 0x. Wegen y = x 8x + 7 = [x 6x + 9] = (x ) und y = x x + = [x 6x+9] = (x ) haben beide Parabeln den gleichen Scheitel S( 0); beide sind nach oben geöffnet, lediglich die erste enger, die zweite weiter.. Ansatz: y = ax + bx + c. Einsetzen der gegebenen Punkte: A: 8 = a b + c ( ) B: 8 = a + b + c C: 6 = 9a + b + c 0 = b, also b = 0. Einsetzen in obige Gleichungen A und C: 8 = a 0 + c ( ) 6 = 9a c = 8a + 0, also 8 = 8a; a =. Einsetzen in 8 = a 0 + c liefert: 8 = 0 + c, also c = 7. Die Funktionsgleichung lautet also y = x + 0x 7. Wegen x + 0x 7 = [x 0x + 7] = [(x 5) + ] = (x 5) liegt der Scheitel bei S(5 ) (a) s = (b) = = = = 9900; Also s = = 9900 = 950. s = x+ +x = + x x = ( + x) x; also s = x = x(+x). (c) y = x(x+) hat die Nullstellen x = 0, x =, der Scheitel liegt also in der Mitte bei x =. y-wert: y = ( ) ( + ) = 8. Also S( 8 ). G: Fläche A = ab N: Ähnlichkeit des ganzen Dreiecks und des schraffierten kleinen Dreiecks liefert die angegebenen Verhältnisse. A: b = 9,7 ( a) D: A = ab = a 9,7 ( a) = = a(9,7 9,7 9,7 a) = a + 9,7a. Umbenennung a x, A y liefert die Funktionsgl. y = 9,7 x + 9,7x. E: Die Nullstellen liegen bei x = 0 und x =, Scheitel also bei x = 0,5. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, liegt hier der höchste Punkt, d. h. hier ergibt sich der größte y-wert (also wie gewünscht die größte Rechtecksfläche). Man wähle also a = 0,5.

28 9. Klasse Lösungen 9 Quadratische Funktionen: Zeichnung 05. I hat Scheitel S (,5 ) ( ueb9.pdf, Aufgabe (a)) und Nullstellen x / =,5 ±. II hat Scheitel S ( ) ( ueb9.pdf, Aufgabe 5 (c)) und Nullstellen 0 und 8. III hat wegen y = [x + x + 5] = = [(x + ) + ] = (x + ) den Scheitel S ( ) und keine Nullstellen. y S S 0 S. (a) x x = x x 5; x + x +,5 = 0; x x / = ±,5 mit negativem Radikanden, also keine Lösung, somit keine gemeinsamen Punkte. (b) x + x = x + x (lineare Gl.!) x = x ; =,5x; x = 8. 7 Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen, z. B. II, liefert y = 8 ( + 8) = Also ein gemeinsamer Punkt ( 8 0) Die Parabel y = x + 6x ist nach unten geöffnet und hat den Scheitel S( 5) ( ueb9.pdf, Aufgabe (b)). Scheitel bei Punktspiegelung: S ( 5), ferner ist die Parabel dann nach oben geöffnet; also y = (x + ) 5 = x + 6x +.. I und II haben beide den Scheitel S( 0) ( ueb9.pdf, Aufgabe ). III hat wegen y = 5[x,x + 7,8] = = 5[(x 6,) 8, + 7,8] = = 5(x 6,) +, den Scheitel S (6,,). y I II 0 g III x 5. x x + = 5x + 6x 89; 5 x 6x + 9 = 0; x / = 6± = 6±0 = 6. Doppelte Lösung; im Schaubild berühren sich die Graphen. y-wert des Berührpunktes durch Einsetzen z. B. in II: y = = 6. (a) x + 8 = x x + ; x x + = 0; x x + = 0; (x ) = 0; x / = (Berührung) (b) x + 8 = 5x + 6x 89; 5x 6 x + 9 = 0; 5x 90x = 0; x / = 90± ; 5 x = 5, x =.

29 9. Klasse Lösungen 9 Pythagoras 06. (a) P Q = (x q x p ) + (y q y p ) y y q y p (b) AB = Q P y q y p x q x p x p BC = = = 5, AC = x q x ( ) + ( ) = 5, (5 ) + ( ) = (5 ) + ( ) = 0. (c) Ist bei A der rechte Winkel, so ist [BC] die Hypotenuse; es muss also gelten BC = AC + AB. Dies gilt wegen BC = 5, AC + AB = = 5.. (a) Als längste Strecke kommen in Betracht: Von der vorderen unteren Ecke E zur hinteren Firstecke F oder von E zur Trauf-Ecke T. Wie bei der Diagonalen im Quader ( grund96.pdf) berechnet man: EF =,70 +,50 +,55, EF,96. ET =,0 +,50 +,0, ET,68 (alles in m). Längster Faden also:,68 m. (b) F l 0,5,70 Dachlänge: T l = 0,5 +,70, l, 78. Dach links: A,78,50, 5 Dachfläche: A 8, 9 (m ). v = v x + v y, also v x = ± v v y, v y = ± v v x, v = v x + v y. v x 5 6 ±0,6 ±8 7 v y 8 0,8 5 ± ± v (a) h r 60 r r Das regelmäßige Sechseck kann in gleichseitige Dreiecke zerlegt werden. Daher ist die Kantenlänge gleich dem Umkreisradius r. Der Inkreisradius ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck: h = r. (c) Nennt man die Ecken A, A,..., A 8 und den Mittelpunkt M, so zeichne man die Verbindungslinie [A A ] ein. Dann ist MA A ein rechtwinkliges Dreieck, das durch [MA ] in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird. 5. (a) p +h = a, q +h = b, a +b = c (b) Aus (a) folgt h = a p. Somit pq = p(c p) = pc p = = a p = h (Höhensatz) 6. Es soll gelten: F P = P L Mit der Formel für Abstände im Koordinatensystem folgt: x + (y f) = y + f Quadrieren beider Seiten: x + (y f) = (y + f) x + y yf + f = y + yf + f x = yf Mit y = x folgt x = x f f =. Also Brennpunkt F (0 ).

30 9. Klasse Lösungen 9 sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck 07. (a) α = 80 γ β = = (Winkelsumme im Dreieck) sin β = b c, also b = c sin β = sin 57,5 cos β = a c, also a = c cos β = cos 57,8 (oder Pythagoras: a = c b ) (b) β = 80 γ α = = 66 sin α = a, also c = a 66,8; tan α = a, also b = a 60, 6 c sin α b tan α (c) a + b = c, also b = c a = 0,5 0, 0, sin α = a 0,9, also α c 6,60 ; cos β = a 0,9, also β 7,0 c. (a) y Die Gerade y = mx + t mit Steigung m hat als ϕ m Steigungsdreieck nach rechts, m nach oben. Man liest dort ab: tan ϕ = m x = m. (b) y β Für Gerade h folgt wegen der Steigung m = aus T h tan α = ein Neigungswinkel α 6,. S g Somit ist <) SOT = 90 α 6,57. Für Gerade g folgt wegen des Steigungsdreiecks ( nach rechts, nach unten) aus tan β = ein Winkel β 8,. 0 α Somit ist <) OT S = 90 β 7,57. x Winkelsumme im Dreieck: <) T SO 8,86. ABC: tan α = BC, also BC = AB tan α 0,8 AB, also AD = AD tan β 8, ABD: tan β = AD AB Pythagoras im DF C: x = DF + F C 7 + (BC AD) 7,9. Halbiert man nebenstehendes gleichschenkliges Dreieck, so d Jupiter Erde erkennt man: sin = r/, somit ergibt sich als Entfernung r d r von noch getrennt wahrnehmbaren Lichtpunkten: Mond r = d sin = sin( 60 ) km km. Somit könnten theoretisch Ganymed und Kallisto noch getrennt gesehen werden. 5. Es ist sin 0 = cos 60 =, sin 5 = cos 5 =, sin 60 = cos 0 =. (a) tan 0 sin 0 = = cos 0 = ; tan 5 sin 5 = = cos 5 + tan 0 = + ( ) = ; + tan 5 = (b) + tan α = + ( sin α cos α ) = cos α+sin α = cos α cos α + tan 0 = ) = ; + tan 5 = ) = = cos 0 ( 6. EMG: Rechter Winkel bei E; EG = a (Diagonale im Quadrat grund96.pdf). Pythagoras also: MG = ME + EG = ( a ) + ( a) = a + a =,5a. Ebenso NBG: NG =,5a. Also ist MNG gleichschenklig. Ferner: MN = a (denn [MN] ist Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge a). Sei L der Mittelpunkt von [MN]. Dann ist ML = MN = a. MLG: cos µ = ML = 0,5 a MG,5a = 6. Somit µ 76,7. (