Bachelor- Vertiefungspraktikum Informationstechnik

Transkript

1 Bachelor- Vertiefungspraktikum Informationstechnik Versuchsbeschreibungen WS 2012/13 Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik

2

3 Versuchsverzeichnis Spurensucher (ATP) Autonomes Fahrzeug (ATP) Quellenlokalisation mit Mikrofonarrays (AIKA) Auditive virtuelle Umgebung (AIKA) Ultraschallbildgebung praktische Aspekte (MT) Ultraschallbildgebung Signalverarbeitung (MT) Glasfaserübertragungsstrecke (PTT) Amplitudenmodulation (DKS) Digitale Modulation (DKS) Digitale Übertragungsstrecke (IS) IT-V1 IT-V2 IT-V3 IT-V4 IT-V5 IT-V6 IT-V7 IT-V8 IT-V9 IT-V10

4

5 Versuch IT-V1: Spurensucher Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Versuchs Einleitung Motivation Aufgabe 1: Modellbau 3 3 Aufgabe 2: Interface- und Fahrzeugtest 4 4 Aufgabe 3: Streckenmessung 6 5 Aufgabe 4: Spurensuche 7 6 Aufgabe 5: Vermessung einer Geraden und einer vorgegebenen Strecke 8 7 Beiblatt: Interface-Beschaltung Spurensucher 9 IT-V1-1

6 1 Ziel des Versuchs 1.1 Einleitung In den folgenden Versuchen soll mit Hilfe eines Fischertechnik-Modells ein Fahrzeug gebaut und programmiert werden, welches einer vorgegebenen Spur folgt und diese zusätzlich noch vermisst. 1.2 Motivation Bei diesem Versuch wird der Versuchsaufbau nicht zur Verfügung gestellt. Das Fahrzeug muss vom Studenten aufgebaut und danach getestet werden. Für die Steuerung des Fahrzeuges steht ein Kleinrechner zur Verfügung. Durch die Kapazität von 2 Flash Speichern, einem RAM Speicher und zusätzlichen analogen und digitalen Ein- und Ausgängen, können mit Hilfe des Interfaces auch komplizierte und sehr vielseitige Automatisierungsaufgaben gelöst werden. Die mitgelieferte Bedienungssoftware besitzt, passend zur Kapazität des Interface, alle Eigenschaften zur Realisierung auch komplexer, autonomer Steuerungsanwendungen. Ebenso ist die Implementierung paralleler, unabhängig voneinander ablaufender Steuerungen möglich. Eine Einführung in die Programmierung wird zu Anfang des Praktikums gegeben. Die Anwendung standardmäßiger industrieller Steuerungen würde hier einen viel höheren verbindungstechnischen Aufwand erzeugen und wäre für ein Einführungspraktikum deutlich zu aufwendig. Aus diesem Grunde wurde das sehr weit verbreitete Fischertechnik- System gewählt. IT-V1-2

7 2 Aufgabe 1: Modellbau Abbildung 1: Spurensucher Fahrzeug 1. Es ist das Fischertechnik-Modell, wie im ausgelegten Bauplan und Abbildung 1 dargestellt, aufzubauen. Beim Bau der Modelle ist folgendes zu beachten: a. Die Teile lassen sich mehr oder minder leicht zusammenstecken. Gewalt ist auch hier keine Lösung. b. Es ist genau auf den Bauplan zu achten! Es ist wichtig, dass verschiedene Blöcke in der richtigen Lage zusammen geschoben werden, da unter Umständen nachher noch Teile von außen angebaut werden müssen, was bei mangelnder Genauigkeit dann nicht mehr möglich ist. Aktoren und Sensoren anschließen! Hier ist besonders darauf zu achten, dass die Fotodioden mit der richtigen Polarität angeschlossen werden. Der rote Stecker gehört auf den rot markierten Anschluss der Diode. Die grünen Stecker werden jeweils in die obere Anschlusszeile gesteckt. Siehe auch Abbildung 2. Abbildung 2: ROBO-Interface IT-V1-3

8 3 Aufgabe 2: Interface- und Fahrzeugtest Es ist ein Interface- und Fahrzeugtest durchzuführen. Zu diesem Zweck wird das ROBO- Interface per USB an den PC angeschlossen und folgend der Interface-Test der ROBOPro- Software verwendet. 1. Es sollen die Reaktionen von Aktoren und Sensoren auf verschiedene Eingaben getestet werden. Dazu sind die folgenden Fragen zu beantworten: a. Wenn sich beide Motoren laut Programm nach "`rechts"' drehen, laufen dann beide Räder in die selbe Richtung? Sollte dies nicht der Fall sein, polen Sie einen Motor um, damit die Programmierung übersichtlich wird! b. Fährt das Modell vorwärts oder rückwärts, wenn sich beide Motoren nach "rechts" drehen? c. Wie reagieren die Fotodioden, wenn man sie in das Licht hält? Mit einer 1 am Ausgang (entspricht Haken im Interfacetest), oder mit einer 0 am Ausgang? (Hinweis: Nehmen Sie die Lampe ab und halten Sie diese vor die Fotodiode. Die Beleuchtung des Praktikumraums könnte nicht ausreichend sein.) d. Das Modell ist auf weißes Papier zu stellen. Wie reagieren die Sensoren auf ein- bzw. ausgeschaltetes Licht? IT-V1-4

9 2. Es sollen zwei Ablaufprogramme zur Motorensteuerung entworfen und skizziert werden. a. Das Fahrzeug soll sich zunächst vorwärts und dann nach 3 Sekunden rückwärts bewegen. b. Das Fahrzeug soll sich im Kreis bewegen. Die Lösungen sind hier einzutragen: zu 2(a): zu 2(b):

10 4 Aufgabe 3: Streckenmessung 1. Das Programm für die Vorwärtsfahrt ist so zu erweitern, dass der Roboter genau 40 Impulse, gemessen mit Taster 1, geradeaus läuft. Welche Einstellung der Tasterabfrage ergibt die größte Genauigkeit? Begründen Sie die Antwort und verwenden Sie diese Einstellung für die folgenden Versuche! 2. Führen Sie den Versuch 3 Mal durch und messen Sie jeweils die zurückgelegte Strecke. Versuch 1 40 Versuch 2 40 Versuch 3 40 Anzahl Impulse Strecke Strecke pro Impuls 3. Wie viele Impulse werden pro Radumdrehung erzeugt? Damit ist der Umfang des Rades zu bestimmen. IT-V1-6

11 5 Aufgabe 4: Spurensuche Es ist ein Programm zu erstellen, das sicherstellt, dass das Fahrzeug einem vorgegebenen schwarzen Strich folgt! Hierzu sind die in Aufgabe 2 gesammelten Erkenntnisse über die Fotodioden anzuwenden. Tipps: 1. Die angebaute Lampe muss die Fahrbahn beleuchten, da sonst dauerhaft ein dunkler Untergrund erkannt wird und somit keine Steuerung möglich ist. 2. Die Lampe und die Dioden müssen richtig ausgerichtet sein, damit der Unterschied zwischen schwarzem Strich und weißem Papier ausreichend gut gemessen werden kann. 3. Am Anfang sollte eine sehr kleine Geschwindigkeit der Motoren eingestellt werden, da es bei hohen Geschwindigkeiten sein kann, dass die Regelung trotz erkanntem hell-dunkel Übergang, nicht schnell genug reagieren kann, bevor das Fahrzeug die Spur ganz verliert. IT-V1-7

12 6 Aufgabe 5: Vermessung einer Geraden und einer vorgegebenen Strecke 1. Das Programm aus Aufgabe 4 ist so zu erweitern, dass nun zwei Zähler im Online- Modus die Impulse an den Tastern mitzählen können. Hierfür ist im Programm eine Variable zu implementieren. 2. Vermessen der Gerade! a. Wie viele Impulse hat das Programm gezählt? b. Wie lang ist damit die Strecke? 3. Vermessen der Acht! Wie lang ist eine Runde? IT-V1-8

13 7 Beiblatt: Interface-Beschaltung Spurensucher IT-V1-9

14 Versuch IT-V2: Autonomes Fahrzeug Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Versuchs Vermeidung einer Kollision Prinzip der Hinderniserkennung mit Fotodioden Aufgabe 1: Grundlegende Überlegungen Fragen zur Konstruktion Kalibrierung der Fotodioden Analoge Betrachtung der Fotodioden Aufgabe 2: Vorgegebene Bewegung mit autonomer Hinderniserkennung 6 4 Aufgabe 3: Autonome Bewegung 7 5 Beiblatt: Interface-Beschaltung Autonomes-Fahrzeug 8 IT-V2-1

15 1 Ziel des Versuchs Im folgenden Versuch soll für ein vorgegebenes Fahrzeug eine Ablaufsteuerung entwickelt werden, die es dem Fahrzeug ermöglicht, sich autonom zu bewegen. In der ersten Aufgabe soll das Fahrzeug eine vorgegebene Bewegung durchführen und in der Lage sein, autonom Hindernisse zu erkennen. Im letzten Teil soll sich das Fahrzeug vollständig autonom bewegen. 1.1 Vermeidung einer Kollision Um zu verhindern, dass das Fahrzeug gegen eine Wand fährt, bzw. in einer Ecke hängen bleibt, sind am Fahrzeug Lampen und die zugehörigen Lichtsensoren angebracht. Es gibt allerdings auch andere Sensoren, die man anbringen könnte, die hier kurz erwähnt werden sollen. 1. Taster: Taster kann man sicher nicht verwenden, um eine kollisionsfreie Bewegung in einem Raum zu erreichen. Dennoch reichen die Taster aus, um eine Bewegung im Raum zu schaffen, die ein Festfahren verhindert. 2. Ultraschall: Ultraschallsensoren sind sicher für Anwendungen in teuren Modellen, beispielsweise Automobilen, angebracht und eine der besten Möglichkeiten den Abstand zu einer Wand oder einem Hindernis genau zu messen. Jedoch ist hier keine genaue Messung notwendig, die den Preis für die Ultraschallausrüstung rechtfertigen würde. 1.2 Prinzip der Hinderniserkennung mit Fotodioden In unserem Versuch werden, wie schon erwähnt, Lichtsensoren und zugehörige Lampen verwendet. Dieses Messprinzip soll im Folgenden kurz erläutert werden: Vom Prinzip her, funktioniert die Hinderniserkennung bei diesem Fahrzeug ähnlich wie die Spurensuche im ersten Versuch. Sobald eine Fotodiode dem Hindernis zu nahe kommt, wird das Licht der Lampe am Hindernis so stark reflektiert, dass die Fotodiode am digitalen Eingang ihren Zustand ändert und somit das Hindernis erkennt. In diesem Versuch wird zusätzlich ein analoger Eingang verwendet, dem im Programm ein Grenzwert zur genaueren Abstandsmessung zugewiesen werden kann. IT-V2-2

16 Allerdings sind beim Fischertechnik-Modell einige Besonderheiten zu beachten, die bei dieser Erkennung Schwierigkeiten hervorrufen können. 1. Man kann bei der Lampe verschiedene Helligkeiten einstellen, welche stark beeinflussen, unter welchen Bedingungen das Hindernis erkannt wird. Stellt man eine starke Helligkeit ein, kann es passieren, dass ein Hindernis erkannt wird, obwohl das Fahrzeug noch weit vor dem Hindernis ist und noch gar nicht reagieren müsste. Im anderen Fall kann es bei geringen Helligkeiten passieren, dass ein Hindernis u. U. gar nicht erkannt wird und es zu einer Kollision kommt. 2. Die Fotodioden müssen richtig ausgerichtet sein. Sind sie etwas verschoben, oder haben einen bestimmten Winkel zur Lampe, kann es passieren, dass das Licht gar nicht auf die Fotodiode fällt und somit eine Hinderniserkennung unmöglich ist. 3. Die Batteriespannung ist nicht konstant! Mit zunehmender Betriebsdauer wird die Batteriespannung abnehmen und somit auch die Stärke des Lichts. Dies hat zur Folge, dass Hindernisse später nicht mehr erkannt werden. Dieser Punkt muss bei der späteren Programmierung unbedingt berücksichtigt werden. ACHTUNG: Die Unterlagen und Ergebnisse aus dem 1.Versuch müssen mitgebracht werden, um diese Aufgaben in angemessener Zeit lösen zu können. IT-V2-3

17 2 Aufgabe 1: Grundlegende Überlegungen 2.1 Fragen zur Konstruktion Diese Aufgaben sind in Vorbereitung auf das Praktikum zu lösen! Bevor das Fahrzeug seine ersten autonomen Bewegungen im Raum bzw. im vorgegebenen Versuchsbereich ausführt, müssen zuerst die Lampen und Fotodioden so angebracht und ausgerichtet werden, dass das Fahrzeug nachher sicher gegen Kollisionen geschützt ist. 1. Ihnen stehen 3 Lampen und Fotodioden zur Vermeidung von Kollisionen zur Verfügung. Skizzieren Sie wo die betreffenden Lampen und Dioden am Rahmen des Fahrzeuges anzubringen sind. Es ist dabei zu bedenken, dass das Fahrzeug in diesem Versuch nur vorwärts fahren muss und somit gewisse Teile des Fahrzeuges nicht mit der Wand kollidieren können. 2. Wie wären die Sensoren anzubringen, wenn 7 Lampen, und Fotodioden zur Verfügung ständen? (Skizze) 3. Was wäre, wenn das Fahrzeug auch rückwärts fahren könnte und somit eine Kollision am Heck möglich wäre? (Skizze für 4 und 8 Sensoren) IT-V2-4

18 2.2 Kalibrierung der Fotodioden Wie in der Einleitung erwähnt, können die Lampen in ihrer Lichtstärke variiert werden, um den Abstand von der Wand einzustellen, bei der die Fotodiode ihren Zustand wechselt und somit das Hindernis erkennt. 1. Es ist eine Lampe und die dazugehörige Fotodiode am Fahrzeug anzubringen und an das ROBO-Interface anzuschließen. Die Fotodiode wird mit einem digitalen Eingang verbunden. Der Interfacetest wird gestartet und die Lampe eingeschaltet. Mit einem weißen Blatt Papier als Reflektor wird der Abstand zwischen Lampe und Fotodiode verkleinert. Der Abstand, bei dem die Fotodiode ihren Zustand wechselt, ist für verschiedene Lichtstärken zu messen. Das Ergebnis ist in folgender Tabelle zu notieren. Lichtstärke Abstand bei Zustandswechsel [in cm] Welche Einstellung ist ihrer Meinung nach für den Versuch am besten? Dabei ist zu beachten, dass eine gewisse Robustheit bezüglich des Umgebungslichts und der Spannungsschwankungen während des Betriebs gegeben sein sollte. Begründung! 2.3 Analoge Betrachtung der Fotodioden Um eine genauere Abstandsmessung zu erreichen kann die Fotodiode nicht nur digital sondern auch analog betrieben werden. Dazu muss die Fotodiode entweder an den Eingang AX oder AY auf dem ROBO-Interface angeschlossen werden. Eine genauere Beschreibung der analogen Eingänge ist im ROBOPro Handbuch zu finden. Es ist mit Hilfe des Interface Test eine Tabelle und eine Kennlinie aufzunehmen, die den Zusammenhang zwischen dem Abstand von der Wand und dem Signal am analogen Eingang zeigt! Diese Daten werden später zur Hinderniserkennung gebraucht. IT-V2-5

19 3 Aufgabe 2: Vorgegebene Bewegung mit autonomer Hinderniserkennung In diesem Teilversuch soll das Fahrzeug von einer klar definierten Startposition beginnend, auf einem in Abbildung 1 spezifizierten Weg fahren und dann in einem definierten Zielbereich wieder anhalten. Hierbei soll die Bewegung im Programm vorgeschrieben sein, aber die Hinderniserkennung autonom ablaufen. Abbildung 1: Fahrweg Die Hinderniserkennung ist hier mit den vorhandenen Sensoren und Anschlüssen zu realisieren. Es bleibt dabei den Praktikumsteilnehmern überlassen, ob die analogen oder digitalen Eingänge oder auch beide genutzt werden. Bei dieser Aufgabe ist zu beachten, dass ein beträchtlicher Steuerungsanteil realisiert werden muss, da jede einzelne Drehung fest einprogrammiert werden muss. Außerdem ist darauf zu achten, dass das Fahrzeug nicht zu nah an die Ränder fährt, da ansonsten keine Drehung mehr ausgeführt werden kann. IT-V2-6

20 4 Aufgabe 3: Autonome Bewegung Das Fahrzeug soll eine völlig autonome Bewegung durchführen. Das heißt, es soll sich möglichst kollisionsfrei innerhalb der Box bewegen. Der Weg ist dabei völlig unerheblich. Es ist jedoch besonders darauf zu achten, dass sich das Fahrzeug auf keinen Fall in einer Ecke festfährt. IT-V2-7

21 5 Beiblatt: Interface-Beschaltung Autonomes-Fahrzeug IT-V2-8

22 Î Ö Ù Á̹ΠÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÒÐ ØÙÒ ¾ ¾ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ¾ ¾º½ Ë Ò ÐÑÓ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ñ Ø ÞÛ Å ÖÓ ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ï Ò Ö ÐØ Ö ÙÒ ÆÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÔØ Ú ÁÊ Ï Ò Ö ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÄÅ˹ ÙÒ ÆÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÓÑ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÖ ØÞ Ø¹ ÒÛ Ò ÙÒ º½ Ëȹ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÎÓÒ Ë ÑÙÐ Ò ÞÙ ¹ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Ñ Á Ä Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ù Ò ½¾ º½ ÎÓÖ Ö Ø Ò Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ Å Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ä Ø Ö ØÙÖÚ ÖÞ Ò ½ Á̹Π¹ ½

23 ½ ÒÐ ØÙÒ ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ù Ò ÇÖØ Ò Ö Ó Ö Ñ Ö Ö Ö Ù Ø Ö ÉÙ ÐÐ Ò ÞÙ ÒØ Þ Ö Òº ÉÙ ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ò Ò Ñ Ù Ø Ö Ø Ö Ò Ò Ê ÙÑ Û Þº º Ò ÏÓ ÒÞ ÑÑ Ö Ó Ö Ò ÖÓÖ ÙÑ Ó Ö Ñ Ö Ð Ò Ò ÛÓ Ò Ó Ö ÒÙÖ Û Ò Ê Ü ÓÒ Ò Ù ØÖ Ø Òº ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÒØ Ñ Ø ÞÙ Û Ø Ö Ò ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ê ØÙÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÞÙ Ú Ö ÓÖ Òº Å Ø Ò Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ù ÞÛ Ó Ö Ñ Ö Å ÖÓ ÓÒ Ò Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ýµ ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Ö Ë Ò ÐÚ Ö Ö ØÙÒ Û Ö Ñ Ð Ò Ö ÙÑÖ ØÙÒ Ò ÑÔ Ò Ð Ø Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý ÞÙ Ö Ð Ö Òº À ÖÑ Ø ÒÒ ÔÖ ÒÞ Ô ÐÐ Ò Ó ÑÔ Ò Ð Ø Ò Ê ØÙÒ Ò Ö Ó Ö Ñ Ö Ö Öµ Û Ò Ø Ö ÉÙ ÐÐ Ò Ò Ø ÐÐØ Û Ö Ò Û Ö Ò Ù Ø ËØ ÖÕÙ ÐÐ Ò Ù Ò Ö Ò Ò ÐÐ Ö ØÙÒ Ò ÑÔ Ø Û Ö Òº Î ÖÛ Ò ÙÒ ÚÓÒ Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý Û Ö Ò ÙÐ Ù Ð ¹ Ñ ÓÖÑ Ö Þ Ò Ø Û Ð Ö ÒÒ Ð Ð Ò ËØÖ Ð Ù Ø Ö ÑÔ Ò Ð Ø Ò Ò Ê ÙÑ Ø Ù ÖØ Û Ö Ò ÒÒº Ê ØÙÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÒÒ Ö ÞÙÖ ÔØ Ú Ò ËØ Ù ÖÙÒ Ñ ÓÖÑ Ö Ò ØÞØ Û Ö Òº ÁÒ Ñ Î Ö Ù Û Ö Ò Ë Ñ Ø Ò ÖÙÒ ÔÖ ÒÞ Ô Ò ÙÒ À Ö Ù ÓÖ ÖÙÒ Ò Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ü ÓÒ Ö Ö ÙÒ Ò Ö Ü ÓÒ Ø Ø Ö ÍÑ ÙÒ Ú ÖØÖ ÙØ Ñ Òº Ë Ð ÖÒ Ò Ò ÓÒ Ö Ø Î Ö Ö Ò ÞÙÖ ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÒÒ Òº ÁÑ Î Ö Ù Û Ö Ò Ë Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÒ Ø Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÑ ÙÒ Ë ÑÙÐ Ò ÖØ Ø ÐÐ Ò ÙÒ ÙÒØ Ö Ù Ò ÚÓÖ Ë Ò ÒÒ Ò Ç Ø¹ Ó Ö ØÞ Ò Ù Ò Ò Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ð ØÞ ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ø Òº ¾ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ¾º½ Ë Ò ÐÑÓ ÐÐ Ð ½ Þ Ø ÅÓ ÐÐ Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÁÒ Ò Ñ Ê ÙÑ Ò Ø Ò Ö ËØ ÐÐ r s Ò ÉÙ ÐÐ Ö Ò Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ö Ø ÖØ Ö Ë ÐÐ ÚÓÒ M Å ÖÓ ÓÒ Ò Ù ÒÓѹ Ñ Ò Û Ö º Ë Ò Ð Ò Ð Å ÖÓ ÓÒ m ÖÖ Ø ÒÒ Ð Þ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐØ Û Ö Ò y m (t) = a m (t) s 0 (t). ½µ À Ö Þ Ò Ø s 0 (t) ÉÙ ÐÐ Ò Ò Ð Û Ñ ÇÖØ Ö ÉÙ ÐÐ Ù Ò Ø Û Ö ÙÒ a m (t) Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÚÓÑ ÇÖØ Ö ÉÙ ÐÐ ÞÙÑ Å ÖÓ ÓÒ mº Ê ÙÑ Ñ¹ ÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Û Ö Ö Ñ Ø Ñ ÉÙ ÐÐ Ò Ò Ð ÐØ Ø ÇÔ Ö ØÓÖ µ ÙÒ ÑÓ ÐÐ ÖØ Ö ÐØ ÖÙÒ Û Ð ÉÙ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÖÙÒ Ö Ê ÙÑÖ Ü ÓÒ Ò Ù Ñ Ï ÞÙÑ Å ÖÓ ÓÒ Ö Öغ Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ø Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò ÐÐ Ò Þ ØÚ Ö Ð Ö Ú ÖÒ ÖØ Û ÒÒ Ô Ð Û ÉÙ ÐÐ Û Øº ÁÑ ÓÐ Ò Ò Ò Û Ö ÚÓÒ Ø Ø Ø Ò Ë Ò Ð Ò Ù ÙÒ Ö ØÞ Ò Ö ÓÒØ ¹ ÒÙ ÖÐ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÖ Ö Ø Ø Ø Ò Î Ö ÓÒ Òº Ô Ð Û ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò Û Ö Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÙÖ Ò Ò Î ØÓÖ Ö ÄÒ L º º a m = (a m (0), a m (1),..., a m (L 1)) T, ¾µ ÛÓ a m (k) Ø Ø Ø Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÞÙÑ Ö Ø Ò ØÔÙÒ Ø k/f A Þ Ò Ø f A Ø Ø ØÖ Ø ÙÒ Ó Ø ÐÐØ T ÒÒÞ Ò Ø ÌÖ Ò ÔÓÒ ÖÙÒ Î ØÓÖ º Á̹Π¹ ¾

24 r s r 1 Ö Ø ÐÐ Ê Ü ÓÒ Ò r m r M e y e x Ð ½ Ë Ò ÐÑÓ ÐÐ Ò Ö Ö Ü ÓÒ Ø Ø Ò ÍÑ ÙÒ º Ö m¹ø Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð ÐØ ÒØ ÔÖ Ò y m (k) = a T ms 0 (k) µ s 0 (k) = (s 0 (k), s 0 (k 1),..., s 0 (k L 1)) T. µ ¾º¾ ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ñ Ø ÞÛ Å ÖÓ ÓÒ Ò Ï Ö Ò Å ÖÓ ÓÒ Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò ÐÐ Ð Ñ Ê ÙÑ Ú ÖØ ÐØ Ò Ö Ò ØÖ ¹ Ø Ò Û Ö Ñ ÓÐ Ò Ò Ò ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò ÖÖ Ý Ø Ò Ù M = 2 Å ÖÓ ÓÒ Ò Û Ð ÞÙ ÑÑ Ò Ñ Ø Ö ÉÙ ÐÐ Ò Ö ÙÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ò e x ÙÒ e y Ù Ô ÒÒØ Ò Ò Ð ½µ Ð Òº Ê Ü ÓÒ ÖÑ ÍÑ ÙÒ Ê Ü ÓÒ ÖÑ ÍÑ ÙÒ Ò Û Þº º Ù Ò Ñ Ò Ø Ò Û Ø Ò Ð Ù ØÖ Ø Ò Û Ö Ò Ù Ú Ö Ò Ò Ð Ö Ü ÓÒ Ö Ò ÒÓÑÑ Òº ØÖ ØØ Ö ÒÙÖ Ö Ø ÐÐ Ù º ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ø Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ a m Ò Î ÖÞ ÖÙÒ τ m ÙÒ Ò ÑÔ ÙÒ b m Ù ÖÙÒ Ø Ò Å ÖÓ ÓÒ ÚÓÒ Ö ÉÙ ÐÐ ÞÙ Ø Ò ÓÑÑØ y m (k) = b m δ(τ m ) s 0 (k) µ = b m s 0 (k τ m ). µ ÁÒ ÓÒ Ö ØÖ ØØ Ö Ò ÐØ ÖÛ Ö ÙÒ Ù ÖÙÒ ÚÓÒ Ê Ü ÓÒ Ò Ù º Á Ø Ñ Ò ÓÒ Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý Û ÒØÐ Ð Ò Ö Ð Ò Ø Ò ÞÙÖ Ë ÐÐÕÙ ÐÐ Ó ÒÒ Ñ ÖÖ Ý Ò ÓÑÑ Ò Ï ÐÐ Ò ÖÓÒØ Ò ÖÙÒ Û Ð Ò Ï ÐÐ Ò ÖÓÒØ ØÖ Ø Ø Û Ö Ò Á̹Π¹

25 r s c T d ò y 2 (k) y 1 (k) Ð ¾ Ì Ñ Ð Ý Ç ÖÖ Ú Ð Ì Ç µ T ÙÒØ Ö ÖÒ Ð ÒÒ Ñ º c Þ Ò Ø Ë ÐÐ ¹ Û Ò Ø Ò ÄÙ Ø ÙÒ d Ò Ø Ò Ö Å ÖÓ ÓÒ º s 0 (k) y 1 (k) T e(k) y 2 (k) Ð ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ü ÓÒ ÖÑ Ö ÍÑ ÙÒ º Ö ÐÓ Ì Ø ÐÐØ Ò Ò Ø ÐÐ Ö Î ÖÞ ÖÙÒ Ð Ñ ÒØ Öº ÖÒ Ð ÒÒ Ñ Ð ¾µº Ù Ö Ñ Û Ö Ú Ö Ò Ò Ò ÒÓÑÑ Ò ÑÔ¹ ÙÒ Ø ÖÑ Ö Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ð ÖÓ Ò b 1 = b 2 µº ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ê ÙÑÖ ØÙÒ θ Ù Ö Ò Ë ÐÐÕÙ ÐÐ Ù Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý ØÖ ÐØ Ö Ø ÓÒ Ç Ö¹ Ö Ú Ð Ç µ Ø ÑÔÐ Þ Ø Ñ Ä Ù Þ ØÙÒØ Ö Ì Ñ Ð Ý Ç ÖÖ Ú Ð Ì Ç µ ÞÛ Ò Ò Ë Ò Ð Ò Ò Å ÖÓ ÓÒ ½ ÙÒ ¾ ÒØ ÐØ Òº Ë ÒÒ ÒÒØ Ñ Ì Ç ÙÒ ÒÒØ Ñ Å ÖÓ ÓÒ Ø Ò d Ö Ò Ø Û Ö Ò º ÚÓÖ Ö Ø Ò Ù Òµº ÁÑ Ö Ü ÓÒ Ö Ò ÐÐ ÒÒØ Ð Ó Ñ Ø Ò Ñ Ú Ö Ð Ò Î ÖÞ ÖÙÒ Ð T Î ÖÞ ÖÙÒ ÖÑ ØØ ÐØ Û Ö Ò Ö Ä ØÙÒ Ö ÒÞ Ò Ð Ö Å ÖÓ ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Û Ö Ð Ó Ø Ø Ð ÞÛ Ò Ò Ë Ò Ð Ò ÚÓÖÐ Ò Î ÖÞ ÖÙÒ ÚÓÐÐ ØÒ ÓÑÔ Ò ÖØ Û Ö Ð µº Ù Ö Ó ÖÑ ØØ ÐØ Ò Ì Ç Û Ö ÒÒ Ç θ ÖÖ Ò Øº Á̹Π¹

26 s 0 (k) y 1 (k) w e(k) y 2 (k) Ð ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ü ÓÒ Ø Ø Ö ÍÑ ÙÒ º Ò Ø ÐÐ Ò Î ÖÞ ÖÙÒ Ð Ñ Ò¹ Ø Ö ÒØ Ö ÒØ Ö Ñ Ó Ö Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò ÐØ Ö w Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò ÔØ Ú Ó Ò Ø ÐÐØ Û Ö Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ð Ö ÞÛ Ò Ó Ö Ò ÙÒ ÙÒØ Ö Ñ È Ñ Ò Ñ Ð Û Ö º Ê Ü ÓÒ Ø Ø ÍÑ ÙÒ ÁÒ Ò Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ø Ö Ð Ø Ö Ò Ö Ü ÓÒ Ø Ø ÍÑ ÙÒ ÒÞÙÒ Ñ Òº ÁÒ Ñ ÐÐ ÒØ ÐØ Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ù Ö Ñ ÓÑ Ò Ö Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ú Ö¹ Þ ÖØ ÙÒ Ð ÖØ Û Ñ Ö Ü ÓÒ ÖÑ Ò Ðе ÒÙÒ Ù Ê ÙÑÖ Ü ÓÒ Òº Ö Ð ÖØ Ò Ò Î ÖÞ ÖÙÒ Ð Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ö Ò º ËØ ØØ Ò Û Ö Û Ò Ð Ö Ø ÐÐØ Ò ÐØ Ö Ó ÔØ ÖØ Ñ ØØÐ Ö Û ÙÒ ÞÛ Ò Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ò Ñ Ð Ø Ð Ò Û Ö º ÐØ Ö ÑÓ ÐÐ ÖØ Ö Ö Ð Ø Ú Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ð Ó Ò ÍÒØ Ö Ö Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ò Ò Ò ÇÖØ Ò Ö Å ÖÓ ÓÒ º ÈÓ Ø ÓÒ Å Ü ÑÙÑ Ò Ö ØÞØ Ò Ö Ð Ø Ú Òµ ÁÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÐØ Ö Ø ÑÑØ ÒÙÒ Ò Ì Ç ÙÒ Û Ö Û ÞÙÚÓÖ Ò Ò Ù Ø Ò Ï Ò Ð θ ÙÑ Ö Ò Øº ÁÑ ÐÐ Ò Ö Ö Ü ÓÒ Ö Ò ÍÑ ÙÒ Û Ö Ò ÓÐ ÔØ Ú ÐØ Ö Û Ö ÞÙ Ò Ñ Ú ÖÞ ÖØ Ò ÙÒ Ð ÖØ Ò Ò Ø ÑÔÙÐ ÓÒÚ Ö Ö Òº ÓÔØ Ñ Ð ÔØ ÓÒ Ö ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò w Ö ÓÐ Ø Þº º Ñ Ø Ñ Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö ÄÅ˵ Î Ö Ö Ò Û Ð Ò Ò ÓÐ Ò Ò Ò ØØ Ò Ò ÖØ Û Ö º ¾º Ï Ò Ö ÐØ Ö ÙÒ ÆÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö ËØ Ö Ò Ð¹ ÙÒ Æ ÐÐÖ Ù Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ù Ø Ò Ó ÓÑÔ Ò¹ Ø ÓÒ Ò ÐØ Ò Ò Ö Ñ Ã ÖÒ ÔØ Ú ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Öº ÔØ Ú ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö Ø Ù Ò Ò Ò Ð ÐØ Ö Ó ÞÙ Ú ÖÒ ÖÒ ÙÒØ Ö ÓÖØÐ Ù Ò Ö ÒÔ ÙÒ Ò Ë Ò Ð Ø Ø Ø Ö Ð Ö ÞÛ Ò Ñ Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ñ Ê Ö ÒÞ Ò Ð Ñ Ò Ñ ÖØ Û Ö º Ò ØÐ Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö ÓÔØ Ñ Ð ÐØ Ö Ø Ö Ø Ø ÓÒÖ Ë Ò Ð Ò Ö Ä Ø Ö ØÙÖ Ð Ï Ò Ö ÐØ Ö ÒÒØ Þº º ̺ à ½ º Ò ÖÙÒ ØÞÐ Ò Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð Ö ÐØ Ö ÓÒ Ö Ð ÒØ Ñ Ø À Ð Ï Ò Ö ÐØ Ö Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Û Ö Ð Ù Ò ÔÙÒ Ø Ò ØØ ÞÙÒ Ø ÁÊ Ï Ò Ö ÐØ Ö ØÖ Ø Øº Ö Ò Ò Ð Ò ÓÐ Ø Ò Ù ÓÒ ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ µ ÙÒ ÆÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÆÓÖÑ Ð Þ Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ µº Á̹Π¹

27 x(k) ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö w e(k) ˆd(k) d(k) Ð ÈÖ ÒÞ Ô ÞÞ ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö º Ê Ö ÒÞ Ò Ð Ø Ñ Ø d(k) Þ Ò Øº ÈÖ ÒÞ Ô ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö ÁÒ Ð Ø Ö Ë Ò Ð Ù ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö ÞÞ Öغ Ò Ò Ò Ð x(k) ÚÓÒ Ñ Ò ÒÓÑÑ Ò Û Ö Ò Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò ÙÒ Ñ ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ò Ù ÐÐ ÔÖÓÞ Ö Ð ÖØ ÓÐÐ Ó ÐØ ÖØ Û Ö Ò ÐØ ÖØ Ë Ò Ð ˆd(k) Ñ Ê Ö ÒÞ Ò Ð d(k) Ñ Ë ÒÒ Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö E { e 2 (k) } { ( = E d(k) ˆd(k) ) } 2 µ Ñ Ð Ø ÒÐ Û Ö º Ö ÒÙÒ Ö ÃÓ Þ ÒØ Ò ØÖ Ø Ø Û Ö Ò Áʹ ÐØ Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Æº Ù Ò Ò Ð ÐØ Ö Ø ÒÙÒ ÙÖ Ò Ð ËÙÑÑ N d (k) = w(i)x (k i) = w T x (k) µ Ò ÛÓ ÙÒ i=0 w = (w(0), w(1),..., w(n)) T x(k)= (x (k),x (k 1),...,x (k N)) T Î ØÓÖ Ò Ö ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò ÞÛº Ö Ø ØÛ ÖØ Ò Ò Ò Ð Þ Ò Òº ÃÓ Þ ÒØ Ò Ï Ò Ö ÐØ Ö Ö ÐØ Ñ Ò Ù Ö Å Ò Ñ ÖÙÒ Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö ¹ Ø Ò Ð Ö µº À ÖÞÙ Û Ö Ñ ÓÐ Ò Ò Ö Ñ ØØÐ Ö ÕÙ Ö Ø Ð Ö µ Ò Ò ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò Ö ÒÞ ÖØ ÙÒ Ð ØÙÒ Ò Ð ÆÙÐÐ ØÞØ w(i) E{(d(k) ˆd(k)) 2 } = 0 E{(d(k) ˆd(k))x(k i)} = 0 j w(j)e{x(k j)x(k i)} = E{d(k)x(k i)} µ ½¼µ Á̹Π¹

28 Ö Ø Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø N + 1 Ð ÙÒ Ò N w(i) r xx (j i) = r dx (j), j = 0,...,N, i=0 Û Ð Ò Ú ØÓÖ ÐÐ Ö Ë Ö Û Ò ÓÖÑ Ö Å ØÖ Þ Ò Ð ÙÒ R xx w o =p ½½µ Ö Ø ÐÐØ Û Ö Ò ÒÒº R xx Þ Ò Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ë Ò ÐÚ ØÓÖ x(k) R xx = E { x (k)x T (k) } = r xx (0) r xx (1) r xx (N) r xx (1) r xx (0) r xx (N 1) r xx (N) r xx (0) ÙÒ p Ò ÃÖ ÙÞ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú ØÓÖ ÞÛ Ò Ñ Ê Ö ÒÞ Ò Ð d(k) ÙÒ Ñ Ë Ò ÐÚ ØÓÖ x(k) ½¾µ p= E {d (k)x(k)} = (r dx (0),r dx (1),...,r dx (N)) T. ½ µ ÓÔØ Ñ Ð Ò ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò w o Ö ÐØ Ñ Ò ÓÑ Ø ÙÖ ÁÒÚ Ö ÓÒ Ö ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ¹ ØÖ Ü R xx w o = R 1 xx p. ½ µ ¾º ÔØ Ú ÁÊ Ï Ò Ö ÐØ Ö Ö ÒÙÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò ÁÊ ÐØ Ö Ò Ð ÙÒ ½ ØÞØ Ã ÒÒØÒ Ö Ë Ò Ð¹ Ø Ø Ø Ò ÓÖÑ Ö ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü R xx ÙÒ ÃÖ ÙÞ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú ØÓÖ p ÚÓÖ Ù º Ò Ò Ö Ê Ð Ó Ò Ø ÔÖ ÓÖ ÒÒØ ÙÒ Ñ Ò Ú ÖÒ ÖÐ Ö Ë Ò Ð¹ Ø Ø Ø ÓÖØÐ Ù Ò ØÞØ Û Ö Òº Ï ÒÒ Ë Ò Ð ÙÖÞÞ Ø Ø Ø ÓÒÖ ÙÒ Ö Ó Ò ÒÒ Ë Ò Ð Ø Ø Ø Ù ØÑ ØØ ÐÛ ÖØ Ò Ö ÕÙ ¹ Ø Ø ÓÒÖ Ë Ò Ð Ò ØØ Ø ÑÑØ Û Ö Òº Ò ÓÒ Ö ØØÖ Ø Ú Î Ö Ö Ò ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ Ö ÐØ Ö Ó Þ ¹ ÒØ Ò Ø ÙÖ Ò ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Òº Ö ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò ÖØ Ø Ö Ø Ú Ó Ò ÜÔÐ Þ Ø Ø ÑÑÙÒ Ö ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü R xx ÙÒ ÃÖ ÙÞ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú ØÓÖ p Ñ Ï Ò Ö ÐØ Ö Òº Ï Ò Ò Ö Ò Ò Ê Ò Ù Û Ò ÙÒ Ò Ö ÊÓ Ù Ø Ø Ò Ö ËØ ÖÙÒ Ò Ø Ö ÚÓÒ ÓÒ Ö Ö ÙØÙÒ Ö ÙÒ º ¾º ÄÅ˹ ÙÒ ÆÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò ÞÙÖ Å Ò Ñ ÖÙÒ Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö Ò Ð ÙÒ ÒÒ Ò Þ ÒØ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ö Ø Ú Ò Ö ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø ÑÑØ Û Ö Òº Ö Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ µ ÔÔÖÓÜ Ñ ÖØ Ò Ö ÒØ Ò Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö ÙÖ Ò Ö ÒØ Ò ØÙ ÐÐ Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö e 2 (k) ÙÒ ÔØ ÖØ ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò Ò Ê ØÙÒ Ò Ø Ú Ò ØÞØ Ò Á̹Π¹

29 Ö ÒØ Òº Ö Ò ÁÊ ÐØ Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ N Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ø Ñ ØÙ ÐÐ Ò ØÞØ Ò Ð Ö Ö ÒØ Ò grad ( e 2 (k) ) = 2e (k)x(k) ½ µ ÃÓ Þ ÒØ ÒÖ ÙÖ ÓÒ ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ w (k + 1) = w (k) + αe (k)x(k), ½ µ ÛÓ α Ë Ö ØØÛ Ø Þ Ò Øº ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö ÐØ Ö Ó ¹ Þ ÒØ Ò Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò ÃÓ Þ ÒØ ÒÚ ØÓÖ Ø ÒÙÖ ÒÒ ÚÓÒ ÆÙØÞ Ò Û ÒÒ Ù Ö Ñ ØØÐ Ö ÕÙ Ö Ø Ð Ö Ò Ñ Ò Ð Ò Ñ Ð Ø Ð Ò Ò Ï ÖØ ÞÙ ØÖ Øº Ö Ù¹ Ú ÖØ ÐØ ÙÒ Ñ ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ø ÒÚ ØÓÖ Ò x(k) Û Ö Ö ÃÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ò Ïº Ñ Ø Ñ Ð Ò Ø Ò Ï ÖØ α Ò Ò Ö Ð ÙÒ α = 2 N λ i (1 αλ i ) 1 i=0 ½ µ Ö ÐÐØ ÛÓÖ Ù Ð ÙÒØ Ö Ë Ö Ò Ö Ñ Ü Ñ Ð Ï ÖØ Ö Ë Ö ØØÛ Ø Ö ËØ Ð ØØ ÞÙ α = 2 3 spur (R xx ) Ö Øº λ i Þ Ò Ò ÒÛ ÖØ Ö ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü R xx º Þ Ø ÐÐ Ö Ò Ù Ë Ö Ò ÞÙ ÖÓ Ò ØÞØ Øº ÁÑ ÔÖ Ø Ò Ò ØÞ ÑÙ Ö ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Ð Ò Ö Ë Ö ØØÛ Ø ØÖ Ò Û Ö Òº ÆÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö ÃÓÒÚ Ö ÒÞ Ö ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø Ò Ð ÙÒ ½ ÚÓÒ Ö Ä ØÙÒ Ë ¹ Ò Ð x (k) Ò º Ö ÆÓÖÑ Ð Þ Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÆÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ µ w (k + 1) = w (k) + α x T (k)x(k) e (k)x(k) ÒÒ Ð Ò ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ñ Ø Ù Ò Ö Ë Ò ÐÚ ØÓÖ x T (k)x(k) ÒÓÖÑ ÖØ Ö Ë Ö ØØÛ Ø Ù Ø Û Ö Òº Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò ÓÒÚ Ö ÖØ Ö 0 α 2 ÙÒ ÙÚ ÖØ ÐØ Ñ ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ø ÒÚ ØÓÖ Ò x(k) Ò ÓÔØ Ñ Ð Ï Ò Ö ÐØ Öº Ö ÃÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ø ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Ä ØÙÒ Ë Ò Ð x (k)º Ë Ö ØØÛ Ø Ò Ò Ö ÒÞ Ò 0 α 2 Ö Ð Ø Ú ÖÓ Û ÐØ Û Ö Ò ÒÒ ÓÒÚ Ö ÖØ Ö ÆÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒØ Ö ÍÑ ØÒ Ò Ò ÐÐ Ö Ð Ö ÄÅ˹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ º ½ µ ½ µ ÎÓÑ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÖ ØÞ Ø¹ ÒÛ Ò ÙÒ Ð Þ Ø Ò ÒØÛÙÖ ÔÖÓÞ Ò Ñ Ö ÚÓÖÐ Ò Î Ö Ù ÓÖ ÒØ Öغ Æ Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Á ÙÒ Ò Ø Û Ö ÞÙÒ Ø Ù Ö Î Ö ÐØ Ò ÙÒØ Ö Ò ÞÙ Á̹Π¹

30 À Ð Ñ ØØ Ð Ð ÓÖ Ø ÑÙ È Ô Ö ËØ Ø ÃÓÔ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ë ÑÙÐ Ò Å ÌÄ ¹ Ó Ç Ø¹ Ó Ù Ö Ö Ö Ó ÓÑÔ Ð Ö ÙÒ Ä Ò Ö Þº º Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó Ëȹ Ó Ö ÈÖÓ ÓÒ Ð Ù Ó Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ã Ø ÄÝÖØ Ð ÒØÛÙÖ ÔÖÓÞ ÚÓÑ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÑ ØÞ Ø Ò ÈÖÓ Ö ÑѺ ÖÛ ÖØ Ò Ò Ê Ñ Ò Ò ÙÒ Ò Ú Ö Ö Ò Ë Ò Ð Ò Ø Ò Î Ö Ø ÓÒ Ö Ð ÓÖ Ø ¹ Ñ ÒÔ Ö Ñ Ø Öµ Ò ÙÒØ Ö Ù Øº Ö Ë Ö ØØ Û Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÑ ÙÒ ÚÓÐÐÞÓ Ò Û Þº º Ë ÑÙÐ Ò Å ÌÄ µº ÐÐ Ò Ø Û Ö Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ú Ö Ò ÖØ Ó Ö Ú ÖÒ ÖØ ÙÒ ÖÒ ÙØ ÑÙÐ Öغ À Ø Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ò Ø Î Ö ÐØ Ò Û Ò ÒÒ ÚÓÒ Ë ÑÙÐ Ò Ù ÃÒÓÔ ÖÙ ÙØÓÑ Ø Ö ÒØ ÔÖ Ò ¹ Ó Ò Ö ÖØ Û Ö Òº Å Ø Ò Ñ ÓÑÔ Ð Ö Û Ö Ö Ö ØÞØ ÙÒ Ñ Ø Ò Ñ Ä Ò Ö Ç Ø¹ Ø Ò ÞÙ Ò Ñ Ù Ö Ö Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ú Ö ÙÒ Òº Û Ö ÒÒ Ù ÐÔÐ ØØ ÓÖÑ ÖÙÒØ Ö Ð Ò Ù Ö Ùº ºµ Ö Ø Ð Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ Ëȵ ÓÛ ¹ ÙÒ ¹Ï Ò Ð Ö Ò Òº Æ Ì Ø ØÞ ØÚ Ö ÐØ Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø ÙÒØ Ö ÍÑ ØÒ Ò ÒÓØÛ Ò ÖÒ ÙØ Î ÖÒ ÖÙÒ Ò Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÚÓÖÞÙÒ Ñ Ò ÙÑ Ó Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ò Ö Û Ø Ö Ò ÁØ Ö Ø ÓÒ ÞÙ Ú Ö Ò ÖÒº Ö Ø Ò Ë Ö ØØ º º ÒØÛ ÐÙÒ Ò Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ò¹Á ÙÒ Ö Ò ÍÑ ØÞÙÒ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ø Ö Ò ÚÓÖÐ Ò Ò Î Ö Ù Û Ø Ø Ò Ö Ë ÚÓÖ Ö Ø Ø ÞÛº ÐÓ Òº Á Ö Ù Ø Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÞÙ Ú ÖÚÓÐÐ ØÒ Ò ÞÙ ÙÒØ Ö Ù Ò ÙÒ Ð Ð Ò Ò ØÞ Ø ÈÖÓ Ö ÑÑ ÞÙ Ö ØÞ Ò Û Ð Ð Ò Ù Ëȹ Ó Ö ÖÙÒØ Ö Ð Ò ÙÒ Ø Ø Ø Û Ö º ÓÐ Ò Ò ÍÒØ Ö Ò ØØ Ö Ò Ò Ëȹ Ó Ö Ò ÒÓØÛ Ò Ò Ë Ö ØØ ÞÙÖ Ò Ö ÖÙÒ ¹ Ó Ö ØÞÙÒ ÙÒ Ä Ò Ò ¹ Ó ÙÒ À ÖÙÒØ ÖÐ Ò Ù Ö Ö Ò ÈÖÓ Ö ÑÑÓ Ù Ëȹ Ó Ö º Á̹Π¹

31 º½ Ëȹ Ó Ö Ñ Ö Ò Î Ö Ù ÒÙØÞØ Ò Ëȹ Ó Ö Ò ÐØ ÙÑ ÈÖÓ ÓÒ Ð Ù Ó Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ã Ø È Ãµ Ö ÖÑ ÄÝÖØ º Ó Ö Ú Ö Ø Ö ÓÐ Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò º Ð µ ÈÖÓÞ ÓÖ Ò ËÈ Ì Ü ÁÒ ØÖÙÑ ÒØ ¼¼¼µ ÌÅË ¾¼ ¾ ¼¼¹ÅÀÞ È ¾Ë ¼ ËÔ Ö Ð ½ Å Ë Ê Å ½¾ Å ÁÒÔÙØ»ÇÙØÔÙØ ÁÒØ Ö ¾ È Å ½¼ Î Ö Ò Ð ¾ Ø» ¹ÍÑ ØÞ Ö ½ ¾ ÀÞ ¾ È Å ½¼ Î Ö Ò Ð ¾ Ø» ¹ÍÑ ØÞ Ö ½ ¾ ÀÞ ËÊ ½ ¾ ½ ÝÒ Ñ ÙÑ Ò ½ ½»½ ½ Ø ØÖ Ø Ò¹ÍÑ ØÞ Ö ÃÓ Ü Ð ÙÒ ÓÔØ Ë»È Á Ø Ð Á»Ç Ö Ø ØÖ Ø Ò ÞÙ ½ ¾ ÀÞ Ê˹¾ ¾ Í ÊÌ Ä ÙÒ ÁÈ¹Ë ÐØ Ö ÏÓÖ ¹ ÐÓ ¹ÁÒØ Ö À ¹ Ô ÍË ¹ÔÓÖØ ÅÁ Á ÁÆ ÇÍÌ ÙÒ ÌÀÊÍ ÔÓÖØ Ö Ò ÐÓ Ò Ò Ö ÐÐ Ñ Ò Û º¾ ÎÓÒ Ë ÑÙÐ Ò ÞÙ ¹ Ó Ö Ê Ð¹Ì Ñ ¹ÏÓÖ ÓÔ ÙÒØ Ö Ë ÑÙÐ Ò ÖÐ Ù Ø Ù Ò ÚÓÒ Ò Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÙØÓÑ Ø ¹ Ó ÞÙ Ò Ö Ö Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ØØ ÅÓ ÐРРغ ÁÑ ÓÐ Ò¹ Ò Û Ö Ò Ò Ø ÐÐÙÒ Ò ÖÐÙØ ÖØ ÖÞÙ ÒÓØÛ Ò Ò º ÙÒ Ø ÑÙ Ò ÅÓ ÐÐ Ò Ë ÑÙÐ Ò Ö Ø ÐÐØ Û Ö Òº ÁÒ Ñ ÅÓ ÐÐ Ñ Ò ÐÐ Ö Ò Î Ö Ù Ù Ù Û Ø Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ Ð Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÐØ Ø Û Ö Ò Î Ö Ù Ö ÙÒ µº Ï Ö Ò Ò Ò Ñ Ö Ø Ò Î Ö Ù Ø Ð Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð ÞÙÒ Ø Ò Å ØÐ ÑÙÐ ÖØ Û Ö Ò º º Ó Ò Ò Ð Ò Û Ö Ò Ò Ö ÙÖ Ö Ð Ò Ë Ò Ð ÞÙ Ö ØÞ Ò Ö» ¹Ï Ò Ð Ö Ð Öغ ÒØ ÔÖ Ò ÓÐÐØ Ë ÑÙÐ Ò ¹ ÅÓ ÐÐ Ö ÙÒ Ò Ö» ¹ ÙÒ» ¹µ Ï Ò Ð Ö ÒØ ÐØ Ò Ö Ö ØÞÙÒ ÅÓ ÐÐ Ò Ù Ö Ö Ò ¹ Ó Ñ Ò Òº» ¹ ÞÛº» ¹ Ð Ð Ò Ò Ö Ð ÓØ ÁÃ È Ã ÚÓÖ Û Ð Ñ Ä Ö ÖÝ ÖÓÛ Ö ÚÓÒ Ë ÑÙÐ Ò Ò Øº Ï ÒÒ ÐÐ Ð Ö ØÞ Ø¹ ÒÛ Ò ÙÒ Û Û Ò Ø Ú Ö ÐØ Ø ÙÒ ÐÐ È Ö ¹ Ñ Ø Ö ÓÖÖ Ø Ò Ø ÐÐØ Ò ÒÒ Ñ Ø Ñ Ê Ð¹Ì Ñ ÏÓÖ ÓÔ ÚÓÒ Å ÌÄ Ù Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÉÙ ÐÐÓ ÞÙ ÖÞ Ù Òº Ö Ó Û Ö Ò Ò Ö Öغ Á̹Π¹ ½¼

32 Ð ËÝ Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Î Ö Ù Ú ÖÛ Ò Ø Ò Ëȹ Ó Ö º Á̹Π¹ ½½

33 º Ñ Á Ä Ò Å ÌÄ ¹ ÖÛ Ø ÖÙÒ Ñ Á Ä Ò Ú Ö Ò Ø Å ÌÄ ÙÒ Ë ÑÙÐ Ò Ñ Ø Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó ÚÓÒ Ì Ü ÁÒ ØÖÙÑ ÒØ Ò Ö ÒØÛ ÐÙÒ ¹ ÙÑ ÙÒ Ö» º Å Ø Ð Ñ Á Ä Ò Ø Ñ Ð Ù Ë ÑÙÐ Ò Ö Ù ÙØÓÑ Ø ¹ Ó ÞÙ Ò Ö Ö Ò Ò Ò Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó ÞÙ Ö ØÞ Ò ÞÙ Ò Ò Ò Ù Ö Ö Ò Ó Ù Ó Ö ÖÙÒØ ÖÞÙÐ Ò ÙÒ Ð Ð Ù ÞÙ Ö Òº ÍÑ Ñ Á Ä Ò Ò Ò Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÞÙ ÒÙØÞ Ò ÑÙ Ñ Ò Ò Û Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ò Ì Ö Ø ÈÖ Ö Ò ÐÓ Ò Òº ËÓÐ Ð Ò Ø Ñ Ò Ñ Ë ÑÙÐ Ò Ä Ö ÖÝ ÖÓÛ Ö Ò Ñ Å Ò Ì Ö Ø ËÙÔÔÓÖØ È Ì º Ö Ò Ñ Î Ö Ù ÒÙØÞØ ËÈ Ó Ö Ø Ö Ö ¾ È Ã ¹ ÐÓ ÞÙ ÒÙØÞ Òº Ï ÒÒ Ò ÓÐ Ö ÐÓ Ò Ñ Ë ÑÐ Ò ÅÓ ÐÐ Ò Ø Û Ö Ñ Á Ä Ò ÙØÓÑ Ø ÞÙÖ Ó ¹ ÖÞ Ù ÙÒ ÒÙØÞغ ÍÑ Ã ØØ ÚÓÒ ÙØÓÑ Ø ÖØ Ò Ö Ø Ö ØØ Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ¹ Ó Ç Ø¹ Ó Ù Ö Ö Ö Ó À ÖÙÒØ ÖÐ Ò Ù Ó Ö Ù Ö Òµ ÞÙ ÖÑ Ð Ò ÑÙ Ö È Ñ Ø Ñ Ëȹ Ó Ö Ö Ò Ò Ó Ò ÒÒØ Ò ÂÌ ¹ ÑÙÐ ØÓÖ ÓÑÑÙÒ Þ Ö Ò ÒÒ Òº ÏÓÖØ ÂÌ Ø Ø Ö ÂÓ ÒØ Ì Ø Ø ÓÒ ÖÓÙÔº Ö Ø Ö ÂÌ ¹ ÑÙÐ ØÓÖ Ë ½¼ÍË Ø Ò Ñ ÂÌ ÈÓÖØ Ëȳ Ù Ñ Ó Ö Ù Ö Ò Ò Ë Ø ÙÒ Ñ È Ú ÍË ¾º¼ Ù Ö Ò Ö Ò Ë Ø Ú Ö ÙÒ Òº Ò Ò ËØ Ò Ö ÙÒ Ò Ù ÒÙØÞØ Î Ö Ö Ò ÞÙÑ Ì Ø Ò ÙÒ ÞÙÖ Ð Ö Ù Ò Ò Ö À Ö Û Ö º ÙÑ Ô Ð ÖÐ Ù Ø Ö ÂÌ ¹ ÑÙÐ ØÓÖ Ñ Ð Ù Ò Ò ØÞ Ø ØÖ Ê Ø ÖÛ ÖØ ËÈ Ó Ö ÈÖÓ Ö ÑÑÚ Ö Ð Ò Ù ÞÙÐ Òº ÒÒ Ò ÒÒ Ñ Ø Ö Ò ËÓÐÐÛ ÖØ Ò Ú Ö Ð Ò Û Ö Òº Ù Ò º½ ÎÓÖ Ö Ø Ò Ù Ò ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ü ÓÒ ÖÑ Ö ÍÑ ÙÒ ¼º½ Ä Ø Ò Ë ÓÖÑ Ð Ö Ñ Ø Ö Ù Ñ Ì Ñ Ð Ý Ç ÖÖ Ú Ð Ì Ç µ T Ñ Å ÖÓ ÓÒ Ø Ò d ÙÒ Ö Ë ÐÐ Û Ò Ø Ò ÄÙ Ø c Ö Ò ÐÐ Û Ò Ð θ Ø ÑÑØ Û Ö Ò ÒÒ Ö Ø ÓÒ Ç ÖÖ Ú Ð Ç µ Ð ¾º Á̹Π¹ ½¾

34 ¼º¾ Ò Ë ÚÓÒ Ò Ñ Þ Ø Ö Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ù Ø Ø Ö ÕÙ ÒÞ f A = 32 ÀÞµ º º Î ÖÞ ÖÙÒ Þ Ø Ò T ÒÒ Ò ÒÙÖ ÒÞÞ Ð Î Ð Ø Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÒ ¹ Ñ Òº Ï Ð Ï Ò Ð ÒÒ Ò ÐÓ Ð ÖØ Û Ö Ò d = 0.24 Ñ c = 343 Ñ» µ ÁÒ Û Ð Ñ Ï Ò Ð Ö Ø Ù ÙÒ Ð Ò Ö Ò ÖÖ Ý Ó Ò ØÐ Ñ Ø Ò º¾ Å Ù Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÙÒØ Ö Ë ÑÙÐ Ò ÁÑ Ö Ø Ò Ù ÒØ Ð Û Ö Ö ÄÓ Ð ÖÙÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒØ Ö Ë ÑÙÐ Ò ÙÒØ Ö Ù Øº Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Û Ö Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ØÐ Ò Ö Öغ ÙÖ Ù ÖÙ Ö Å ÌÄ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ë Ò Ð µ ÒÒ Ò ÞÛ Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ò Ö ÖØ Û Ö Ò ÙÑ Ñ ÑÙÐ ÖØ Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð ÒØ ÔÖ Ò Ø Ô ÒÒ ÞÙ Ò Ò Ö Ú ÖÞ ÖØ Ò º À Ð ÞÙ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÐØ Ò Ë Ò Ù ÖÙ ÚÓÒ ÐÔ Ò Ö Ø Ë Ò Ð º ½º½ ËØ ÖØ Ò Ë Å ØÐ Î Ö Ò Ô ÙÒ Ù Ñ ØÓÔµ ÙÒ Ò Ö Ö Ò Ë ÞÛ ÑÙÐ ÖØ Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ö Ò Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð ÚÓÒ ¼ Ö º Ö Ò Ë ÖÞÙ ÙÒØ Ö Å ØÐ ÓÐ Ò Ò Ë Ö ØØ ÙÖ Î ± ËÖ ÔØ ØÞØ Ò È Ö Ñ Ø Ö Û ÚÖ ³Ñ ÒÒºÛ Ú³µ ± Ë Ò Ð ÚÓÒ ÈÐ ØØ Ð Ò Ñ ÈÓ ºÜ ¼ ¼º¾ ± Ü Ý ¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Å ÖÓ ÓÒ ½ Ò Ñ Ñ ÈÓ ºÝ ¼ ¼ ± Ü Ý ¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Å ÖÓ ÓÒ ¾ Ò Ñ Ø Ø ¼ ± ÑÙÐ ÖØ Ö Ò ÐÐ Û Ò Ð Ò Ö Ý Ò Ö Ø Ë Ò Ð Ñ ÈÓ Ø Ø µ ± Ý ÞÛ Ò Ð Ë Ò Ð Ö Ø ÐÐ Ò Ë ÙÒØ Ö Å ØÐ Ò Ò Ö Ô Ò Ö Ò ÑÙÐ ÖØ Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Å ØÐ ÙÖ ÔÐÓØ Ö µº Ä Ò Ë Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ë Ò Ð Ò ØØ Ò Ì Ç Ð ÒÞ Ð Ø ØÛ ÖØ º Ï Ð Ö Ø ÒØ ÔÖ Ø f A = 32 ÀÞµ Ê Ò Ò Ë Ñ Ø Ð Ö ÓÖÑ Ð Ù Ò ÚÓÖ Ö Ø Ò Ò Ù Ò Ò ÖÑ ØØ ÐØ Ò Ì Ç Ò Ò Ò Ï Ò Ð ÙѺ Ö ÐÖ Ò Ë Û ÖÙÑ Ö Ö Ò Ø Ï Ò Ð Ò Ø Ü Ø Ò ÑÙÐ ÖØ Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð ÚÓÒ θ = 30 Ö Ö Øº ½º¾ ËØ ÖØ Ò Ë ÒÙÒ Ë ÑÙÐ Ò ÙÒ Ò Ò Ë ÅÓ ÐÐ ÄÓ Ð ÖÙÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Î Ö Ù Î ½ºÑ к Ë Ð Ò Ë Ò Ò Ù Ò Ì Ç ÒÓ ÒØ ÖÔºµ Ò ÒÞ Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÖØ Ò Ë Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÒ ÖÔÖ Ò Ë Ó Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ì Ç ÓÖÖ Ø ØÞØ Ö ÙÒØ Ö ½º½ ÑÔÐ Þ Øµ Ò Ø ÐÐØ ÛÙÖ º Æ Ñ ËØ ÖØ Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ö Ò ÞÛ Ò Ø ÖÒ Ö ØÖ Ò Ö ËÔ ØÖ Ò Ö Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ò Þ Øº ÁÒ Ò Ñ Û Ø Ö Ò Ò Ø Ö Û Ö ÔØ Ö ÙÒØ Ö ½º µ Ö ØÞØ Ò ÐÐ Û Ò Ð Ñ ØØ Ð Ò Ö ÙÑ Ò Ï Ò Ð ÔÔØ Ò Ö Ò ÐÐÙ ØÖ Öغ Ö Ì Ð Ø ÚÓÖÐÙ ÒÓ Ò Ø Ú Ö ÐØ Øº ½º Ñ ÚÓÖÐ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÐØ ÍÑÖ ÒÙÒ ÚÓÑ ØÞØ Ò Ì Ç ÞÙÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ò Ï Ò Ð º ÚÓÖ Ö Ø Ò Ù Òµº Ê Ð Ö Ò Ë Ò Ì Ð Ò ÓÖÑ ÚÓÒ Ë ÑÙÐ Ò ¹ Ð Ò Ë Ò Ö ÒÒÞ Ò Ø Ò ËØ ÐÐ Ñ ÅÓ ÐÐ Ò Ù Òº ÖÔÖ Ò Ë Ò Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÐÐ Û Ò Ð ÚÓÒ ¼ Ö ÓÖÖ Ø ØÞØ Û Ö º Á̹Π¹ ½

35 Ó Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ Ø ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÑÙÐ ÖØ Ö Ï Ò Ð Ó Ø Ø Ö Ì Ç ØÞØ Ö Ï Ò Ð ØÞØ Ö Ï Ò Ð θ Ö Ø ØÛ ÖØ ˆθ Ö ˆθ Ö ½ ¾¼ ¾ ¼ ¼ Ì ÐÐ ½ Ì ÐÐ ÞÙ Ò Å Ù Ò ½º ÙÒ ½º º ½º ÁÒ Ö ÚÓÖ Ö Ø Ò Ò Ù ¼º¾ Ò Ë Ö Ø Ò Ï Ò Ð Ø ÑÑØ ÚÓÒ Ñ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒØ Ö Ò Ò Ò È Ö Ñ Ø ÖÒ ÓÖÖ Ø ÐÓ Ð ÖØ Û Ö Ò ÒÒ Òº ÖÔÖ Ò Ë Á Ö Ê ÒÙÒ Ò Ñ Ë Ö Ò Ò Ö Ì ÐÐ ½ Ù ÖØ Ò Ï Ò Ð Û Ð Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Û ÙÒØ Ö ½º½ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ò Ð Ò Ò Ì Ç ÙÒ Ò ÐÓ Ð ÖØ Ò Ï Ò Ð Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÖÑ ØØ ÐÒº Ø Ò Ë Ö Ù ËÝ Ø Ñ Ò ÛÙÒ Ò Ø Û ÒÒ Ë Ï ÖØ Ð Òº ÌÖ Ò Ë Ë ÑÙ¹ Ð Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ø Ò Ò ËÔ ÐØ Ò Ö Ì ÐÐ Ò Ó Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ µº ÍÑ Ò Ò Ö Ï Ò Ð Ù ÙÒ Ö Ð Ö Ò ÞÙ ÒÒ Ò ÑÙ Ó Ò ØÐ ÉÙ ÒØ ¹ ÐÙÒ Ö Ì Ç ¹Ï ÖØ Ú ÖÖ Ò ÖØ Û Ö Òº Ø Ð Ð Ò Ö ÓÑ ØÖ ÖÖ Ý ÙÖ Ò Ö Ò Ö Ø ØÖ Ø Ñ Ð º Å Ò Ñ Û Ö Ó Ò Ò ÖÙÒ Ö À Ö Û Ö Ö ÓÖ ÖÒ Ò ÐÐ Ö ¹ÍÑ ØÞ Öµº ËØ ØØ Ò Ò Ø Ö Ò Ú Ö ÖØ Ï Ò Ð Ù ÙÒ Û ÒÛ ÖØ Ò Ö ØÞØ Ò ÁÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÞÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ö Òº ËÓ ÒÒ Ö Ì Ç ÞÓ Ò Ù ÙÖ ÔÖ Ò Ð Ø ØÖ Ø ÚÓÒ f A = 32 ÀÞ Ò Ø ÒÙÖ ÒÞÞ Ð ÓÒ ÖÒ Ù ÖÓ Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ï ÖØ ÒÒ Ñ Òº ÞÙ Ö Ò ÚÓÑ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÖÑ ØØ ÐØ Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð Þ Ò ÒÒ Ò Ò Ö ØÙ ÙÒ Ð Ó Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº Î Ö Ö Ò Ø Ñ ÚÓÖÐ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ö Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖØ ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò Ì Ç ¹Ï ÖØ Ø Ò Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò Ì Ç ÒØ ÖÔºµ ÞÙÖ Î Ö ÙÒ º ½º Ë ÐØ Ò Ë Á Ö Ò ÐÓ Ö Ö ÒÙÒ Ò ÐÐ Û Ò Ð Ù Ñ Ì Ç Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò Ì Ç ¹ Ù Ò º Ò Ö Ö Ò Ë ÖÒ ÙØ Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ö Ò Ì ÐÐ ½ Ò Ò Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð Ö Ò Ë Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù ÙÒ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ö Ò Ë ÒÙÒ Ñ Ø ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ØÞØ Ò Ï Ò Ð Ò ÛÙÒ Ò Ñ ËÝ Ø Ñµ Ò Ì ÐÐ ½º ½º Ò Ò Ë Ò Ð Ö θ = ˆθ θ Ö Ï Ò Ð ØÞÙÒ Ò Ö µ Ó Ò ÞÛº Ñ Ø ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ö ÁÑÔÙÐ ÒØÛÓÖغ Î Ö Ð Ò Ë Ö Ò Ë Ñ Ø ÙÒ Ó Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ö ÐØ Ò Òº Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ì Ø Ö ØÞ Ø ÒÛ Ò ÙÒ ÁÑ ÞÛ Ø Ò Ù ÒØ Ð Û Ö Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ö ÄÓ Ð ÖÙÒ Ò ØÞ Ø Ò Ó ÙÑ Û Ò ÐØ Ö ØÞØ ÙÒ Ù Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö ÖÙÒØ Ö Ð Òº Á̹Π¹ ½

36 ¾º½ Ë Ò Ë Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ñ Ø Ð Ç Þ ÐÐÓ ÓÔ Òº ËØ ÐÐ Ò Ë Ò Å ÖÓ ÓÒÚ Ö ØÖ Ö Ó Ò Ë Ò Ð Ð Î Ö ØÖ ÙÒ Ö Ö Ò ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ð ÙØ Ñ ÔÖ Ò ÑÔÐ ØÙ Ò ØÛ ¼º Î ÖÖ Òº Ë Ð Ò Ë ÒÒ Ò Ú Ö ØÖ Ø Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ð ½ ÙÒ ¾ Ö Ò ÐÓ ÁÒÔÙØ Ëȹ Ó Ö Òº ¾º¾ Ä Ò Ë ÒÙÒ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Î Ö Ù Î ¾ºÑ Ð Û Ð Ò Ì Ç Ó Ò ÁÒØ Ö¹ ÔÓÐ Ø ÓÒ ØÞغ Ö ÒÞ Ò Ë ÅÓ ÐÐ Û ÞÙÚÓÖ Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÒØ Ö Ë ÑÙÐ Ò ÙÑ Á Ö ÍÑÖ ÒÙÒ Ì Ç Ò Ò Ò Ï Ò Ðº ÙÖ ØØ Ò Ö Ì Ø Ò ÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ ËØÖ ¹ Û Ö ÒÒ Ö Ò Ò ØØ Ö Ò ÈÖÓÞ Ù Ð Ø Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ¹ Ó ÙÑ ØÞØ Û Ö Ö Ò Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó Ö ØÞØ ÙÒ ÙÒ Ò Û Ö ÙÒ Ð Ð Ù Ö Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ Ù Ó Ö ÖÙÒØ Ö Ð Ò ÙÒ Ø ÖØ Ø Û Ö º À Ö Ø Ö ÓÖ ÖÐ Ë Ò È ÞÙ Ö Ð ÓØ Ò Ò Ò Û Ö Ò Ö ØÞ Ò ÙÒ Ò Ò Ö Ù Ø Û Ö Òº ËÓ Ð Ë ÞÙ Ù ÓÖ ÖØ Û Ö Ò Ò Ë È Ñ Ø Ð Ö Ù Ñ ØÓÔ Ð Ø Ò Î Ö Ò Ô ÙÒ Ò Ä ½ Ä ¾ ËÝ Ø ÑÈ Ø Òº Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Ú Ö Ø Ö Ò ÒÞ Ñ Ð Øº ÍÑ ÒÒÓ Ò Ö Ø¹ Þ ØÙÑ ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ò ØÞØ Ò Ï Ò Ð ÞÙ Ò Ð ÞÙ Ñ Ò Û Ö ÚÓÑ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ë ÒÙ ¹Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ó ÒÙ ¹Ë Ò Ð ÞÙÖ Î Ö ÙÒ Ø ÐÐØ Ò È ÒÐ Ö ØÞØ Ï Ò Ð θ غ Ë Ø Ò Ò Ò Ò Ð Ò ½ ÙÒ ¾ Ö Ò ÐÓ ÇÙØÔÙØ Ëȹ Ó Ö ÞÙ Î Ö ÙÒ º Ï Ö Ò Ò Ë Ò Ð Ò Ç Þ ÐÐÓ ÓÔ Ñ Üݹ ØÖ Ò Ó Þ Ø Ù Ñ Ð ÖÑ Ò ÙÑ Ò Ï Ò Ð θ ÔÔØ Ö ÓÑ Ø Û ÞÙÚÓÖ Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò ÙÐ ÖØ ÙÒ Ï Ò ØÞØ Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð ÐÐÙ ØÖ Öغ ¾º Ë Ð Ò Ë Ç Þ ÐÐÓ ÓÔ Ñ Üݹ ØÖ Ò Ò Ù Ò ½ ÙÒ ¾ Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Òº ÔÖ Ò Ë Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý Ò Ù Ö Ò Ñ Ø Ò Ó ÖÒ Ð Ò¹ Ò Ñ Ò ÙØ Ö Æ ÖÙÒ Ö ÐÐØ Øº Î Ö Ö Ò Ë Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð Ð Ò Ñ ÚÓÒ θ = 90 Ö 0 Ö º Ï Ú Ð Ö Ø Ï Ò Ð ÔÖ Ò Û Ö Ò Ö Ø Î Ö Ð Ò Ë Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Ò Ï ÖØ Ú Ö Ð ÚÓÖ Ö Ø Ò Ù ¼º¾µº ¾º Ë Ð Ò Ë ÒÙÒ Ò Ø ÐÐ Ö Ò Ø ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò Ì Ç ¹Ï ÖØ Ò Ï Ò Ð Ö ÒÙÒ Ò ÙÒ Ø Ø Ò Ë ÈÖÓ Ö ÑÑ ÖÒ Ùغ Ë ÓÐÐØ Ò ÒÙÒ Ù Ñ Ç Þ ÐÐÓ ÓÔ Ò Ö Ó Ø Ò ÒÒ Ò Û Ø Ù Ö Ò Ö ËÔÖ Ò Ñ Ø Û ÒÒ Ë ÖÖ Ý Ù Ò Ñ Ò ÖÒ Ò Ï Ò Ð ÔÖ Òº Ù Ò Ñ Ð Ø Ò Ñ Ð Ù Ò Ò ØÖ Ò ÂÌ ¹ ÑÙÐ ØÓÖ ÒÒ Ò Î Ö Ð ÒÛ ÖØ Ñ Ð Ù Ò Ò ØÖ Ù Ñ Ëȹ Ó Ö Ù Ð Ò ÙÒ Ò Þ Ø Û Ö Òº Ù Ò ¹Å Ð Ø Û Ö Ò Ë ÒÙÒ ¹ Ð Ò ÒÒ Ò Ð ÖÒ Òº Î Ö Ò Ò Ë Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Î Ö Ù Î ¾ºÑ Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò Ì Ç ¹ Ù Ò ÒÙÒ Ù Ñ Ø Ò Ñ Ù Ò ¹ÈÓÖØ º Ë ÑÙÐ Ò Ä Ö ÖÝ ÖÓÛ Ö Ë Ò µ ÙÒ Ò Ë Ñ Ò Ò Ò ÙØ Ò Æ Ñ Ò Ò Ë ÔØ Ö Ñ ¹ÉÙ ÐÐÓ Û Ö Ò Ò Û Ö Òº Á̹Π¹ ½

37 Ò Ë Ò Ò Û Ø Ö Ò Ù Ò ¹ÈÓÖØ Ò Á Ö Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ò ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë Ò Ñ Ø Ö ÚÓÑ ÐÓ ¹ÄÅË ØÞØ Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ù Ò ÏØ ÐÓ ¹ÄÅ˹ ÐØ Ö µº Þ Ò Ò Ë Ù Ò ÈÓÖØ Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø Ö Ø Ò Æ Ñ Òº Ò Ë ÒÒ ÙÒÑ ØØ Ð Ö ÚÓÖ Ò Ù Ò ¹ÈÓÖØ Ò Ò ÐÓ ÞÙÖ ÃÓÒÚ ÖØ ÖÙÒ Ø ÒØÝÔ Ø ÌÝÔ ÓÒÚ Ö ÓÒ µº ËØ ÐÐ Ò Ë Ò ÓÔÔ Ð Ð Ù Ò ÐÓ Ò Ò Ù Ò Ø Ò Ø ÒØÝÔ Ù Ò Ð º À ÖÑ Ø Û Ö Ò Ë Ò Ð Ò Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÙ Ð ÔÖ ÓÒ ÚÓÖÐ Ò Øµ ÞÙ Ò Ð ÔÖ ÓÒ ¾ ص Ñ Ù Ò ÐÓ ÓÒÚ ÖØ Öغ Ö Ë Ö ØØ Ø ÒÓØÛ Ò Û Ð Û Ö ÙÒ ÔØ Ö Ö Ð Ø Ú Ê ÙÑ Ñ¹ ÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ö Ô ÒÞ Ò Ð Ò ÛÓÐÐ Ò Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó Ö ÒÙÖ Ø ÒØÝÔ Ò ÞÙ ¾ Ø Ö Ø Ö Ô Ö Ø ÐÐ Ò ÒÒº ËÔ ÖÒ Ë ÅÓ ÐÐ ÙÒ Ð Ò Ë ÙÖ ØØ Ò Ö Ì Ø Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ ËØÖ ¹ ÖÒ ÙØ Ò Ù Ö Ö Ò Ó Ö ØÞ Ò ÙÒ Ù Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Ð Òº ÈÖÓ Ö ÑÑ ÓÐÐØ Û Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò º Ç Þ ÐÐÓ ÓÔµº º½ ËÙ Ò Ë Ñ ¹ÉÙ ÐÐÓ Ñ ØØ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Óµ Ò Á Ö Ñ ÞÙÚÓÖ Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ì Ç Ú Ö Ò Ò Þ ¹ Ò Öº ËÙ Ò Ë ÙÒØ Ö Ò ËÙ Ö ÙÐØ Ø Ò Ó Þ Ð Ö Ù Ò Ö Á Ö Ñ ÞÙÚÓÖ ÒÞÙ Ø Ò Ù Ò ¹ÈÓÖØ Ö Ï ÖØ Ö Ì Ç ¹Ë ØÞÙÒ ÞÙ Û Ò Û Ö º Å Ö Ö Ò Ë Ò Ö ËØ ÐÐ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑÓ Ö Î Ö Ð Ò Ð Ð Ñ ÚÓÖ¹ Ò Ø Ñ Î Ö Ù Î ¾ º º È Ö Ö Ø Ñ Å Ù Ð ØÓ Ï Ø Ï Ò ÓÛ ÒÒ Ò Ë Ò Ï ÖØ Ö Î Ö Ð Ò ÒÞ Ò Ð Òº ÙÖ ØÙ Ð ÖÙÒ Ö ÒÞ Û Ð Ò Ë Ù Ñ Ï Ø ¹ Ò Ø Ö Ô Ö Ö Ø Ñ Å Ù Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ê Ö º ÔÖ Ò Ë ÖÖ Ý ÙÒ Ó Ø Ò Ë Ö Ò ÖÙÒ Ù Ñ Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Ö Ò Ø Ò Ì Ç ¹Ï ÖØ º º¾ ÁÑ Ð ØÞØ Ò Ù ÒØ Ð ÛÓÐÐ Ò Û Ö ÙÒ Ö Ð Ø Ú Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÞÛ Ò Ò Å ÖÓ ÓÒ Òµ ÒÞ Ò Ð Òº ËÙ Ò Ë ËØ ÐÐ Ñ ÉÙ ÐÐÓ Ò Ö Á Ö Ñ ÞÙÚÓÖ Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ù Ò ¹ÈÓÖØ Ï ÖØ ÐÓ ¹ÄÅ˹ ÐØ Ö Ò Ò Ö Ë Ð Ö ½¾ Ï ÖØ ÞÙ Û Ò Û Ö Òº Ä Ò Ë Ö Ð Ø Ú Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ñ Ï Ø ¹ Ò Ø Ö ÒÞ Òº Ö Ø Ò Ë ÒÙÒ ÒÞ Ò Ö Ô Ò ÚÓÖ Ò Ñ Ë Ñ Å Ò Î Û Ö Ô Ì Ñ» Ö ÕÙ Òݺºº ÒÛ Ð Òº Ö ÒØ Ò Ø Ö Ö Ô ÈÖÓ¹ Ô ÖØÝ ÐÓ º ÌÖ Ò Ë Ö Ò ËÔ Ö¹ËØ ÖØ Ö ÖÖ Ý Ò Ñ Ï Ø ¹ Ò Ø Ö ÒØÒ Ñ Ò ÒÒ Ò Ø Ò Ë Ù Ö Ò Ò Ò ¼Ü ÞÙÖ Ã ÒÒÞ ÒÙÒ Ò Ö Ü Þ Ñ Ð Ò Ðµº Ö Ò Ò Ø Ò ÓÐÐØ Ò Û ÓÐ Ø Ò Ø ÐÐØ Ò Á̹Π¹ ½

38 ÔÐ Ý ÌÝÔ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ö Ë Þ ÁÒ Ü ÁÒÖ Ñ ÒØ ÔÐ Ý Ø Ë Þ ËÈ Ø ÌÝÔ Ë ÑÔÐ Ò Ê Ø ÀÞµ ÙØÓ Ð Å Ü ÑÙÑ ¹Ú ÐÙ Ì Ñ ÔÐ Ý ÍÒ Ø Ë Ò Ð Ì Ñ ½¾ ½ ½¾ ¾¹ Ø Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ ½ Ó ¼º½ ÑÔÐ Æ ØØ ÙÒ ÙÖ ÃÐ Ù Ç Û Ö Ò ½¾ ÃÓ Þ ÒØ Ò Ö Ö Ð Ø Ú Ò Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ö Ô Ö Ø ÐÐØ ÙÒ Ë ÙÒ ØÙ Ð Öغ ÃÓѹ ÑÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Ø Ò ÔÖÙ Ø ÙÒ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Û Ö Ò Ù Ð Ò Ò ÐØ Ò Û Ö Ò ÑÙ Ö ÖØ ÄÓ Ð Ø ÓÒ ØÛ ØÖ Ö Ð ÞÙÚÓÖº ÔÖ Ò Ë ÖÖ Ý Ù ÙÒØ Ö Ð Ò Ê ÙÑÖ ØÙÒ Ò ÙÒ Ó Ø Ò Ë Ë ØÞÙÒ Ö Ö Ð Ø Ú Ò Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖغ ÏÓ ÒØ Ø Ø Å Ü ÑÙÑ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Û ÒÒ ÖÖ Ý ÖÓÒØ Ð ÔÖÓ Ò Û Ö Ï ÖÙÑ Ä Ø Ö ØÙÖ Ìº à ½ ̺ Ã Ð Ø Ä ØÙÖ ÓÒ Ï Ò Ö Ò Ã ÐÑ Ò ÐØ Ö Ò º ÁËÅ ÓÙÖ Ò Ä ØÙÖ ÆÓº ½ ¼º ËÔÖ Ò Ö ½ ½º Ϻ Ϻ Ö Ò Ö Ä ÖÒ Ò Ö Ø Ö Ø Ó ËØÓ Ø ¹ Ö Òع ÒØ Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Ò Ö Ð ËØÙ Ý Ò ÐÝ Ò Ö Ø ÕÙ º Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò ½ ˺ ½½ ½ º Á̹Π¹ ½

39 Versuch IT-V4: Auditive virtuelle Umgebungen Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften einer auditiven virtuellen Umgebung Möglichkeiten zur Auralisierung Authentische und plausible auditive virtuelle Umgebung Berücksichtigung perzeptiver Parameter in vorhandenen Modellen Bedeutung früher Rückwürfe bei der Hörereignisbildung Künstlicher Nachhall Perzeptive Anforderungen an einen Hallgenerator Perzeptiver Vergleich von Kamm- und Allpassfiltern Schroeders parallele Kammfilterstruktur Feedback Delay Networks (FDN) Statistische Modelle Winkelkontinuierliche Bestimmung Kopfbezogener Impulsantworten Definition der kopfbezogenen Impulsantworten Iterative Berechnung mit dem LMS Algorithmus Die Echtzeit Anwendung Simulink Blockdiagramme Real-Time Workshop JACK Audio Connection Kit Von Simulink zum C-Code Vom C-Code zum echtzeitfähigen Programm Versuchsdurchführung Simulationsumgebung Bestimmung der HRIRs Aufbau des Simulink-Modells für die HRIRs Festlegung der Simulationszeit Aufbau der Auditiven Virtuellen Umgebung Simulation Untersuchungen mit der Auditiven Virtuellen Umgebung IT-V4 1

40 5.6.1 Bestimmung der HRIRs für den Direktschall Frühe Rückwürfe und später Nachhall Echtzeit-Anwendung Graphische Benutzeroberfläche Aufgaben: Echtzeit-Anwendung Echtzeit-Anwendung: AVE Presenter Demonstration Aufgabe IT-V4 2

41 1 Eigenschaften einer auditiven virtuellen Umgebung 1 Die Aufgabe auditiver virtueller Umgebungen besteht darin, Schallereignisse zu erzeugen, die zu Hörereignissen führen, die vom Hörer zumindest als plausibel akzeptiert werden. Hierzu ist es erforderlich, ein Modell der Umgebung zu erstellen, in die der Hörer versetzt werden soll; dieses Modell enthält auch die Gesetzmäßigkeiten, die die Herstellung des Schallfeldes bestimmen (z. B. Nachbildung der Naturgesetze der Schallausbreitung in realen Umgebungen). Für die zur Synthese des Schallfeldes notwendigen Berechnungen sind hierbei grundsätzlich zwei Verfahren denkbar: der wellentheoretische Ansatz und die geometrische Akustik. Vorteil der geometrischen Akustik ist der erheblich geringere Rechenzeitbedarf. Beim gegenwärtigen Stand der Technik ist allein mit diesem Ansatz die Implementierung eines realzeitfähigen und somit interaktiven Systems möglich. Hierbei werden der Wellencharakter bei der Schallausbreitung vernachlässigt und Reflexionen mit Hilfe virtueller Schallquellen nachgebildet. Die geometrischen Orte dieser virtuellen Schallquellen werden mit Hilfe des Spiegelschallquellen- oder eines Strahlverfolgungsverfahrens aus dem Ort der primären Schallquelle und der geometrischen Beschreibung der reflektierenden Flächen berechnet. Der Ort des Empfängers muss berücksichtigt werden, um zu entscheiden, ob ein gültiger geometrischer Schallweg zwischen Quelle und Empfänger existiert, d. h. ob diese virtuelle Schallquelle einen Beitrag zur Schallfeldsynthese liefert. Das Signal der virtuellen Schallquelle ergibt sich dabei aus dem Originalsignal unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Übertragungsstrecke, die diesen Schallweg beschreibt. Dabei müssen folgende Elemente berücksichtigt werden: Abstrahleigenschaften der Quelle (z. B. Richtcharakteristik) Übertragungseigenschaften des Mediums (z. B. in Abhängigkeit von der Luftfeuchtigkeit) Übertragungseigenschaften der reflektierenden Flächen (in Abhängigkeit von Einfallswinkel und Frequenz, z. B. geometrische und diffuse Reflexionen) Empfangseigenschaften des Empfängers (z. B. Außenohrübertragungsfunktionen) Zur Berechnung des Signals werden diese Elemente als kausale lineare zeitinvariante Systeme angenommen, die sich durch FIR-Filter beliebig gut approximieren lassen; die Übertragungsfunktionen dieser Teilsysteme werden entweder berechnet oder durch Messung bestimmt und in entsprechenden Datenbanken im Simulationssystem abgelegt. Die Auswahl der Filter erfolgt anhand der Parameter des gerade betrachteten Schallweges (z. B. Abstrahlrichtung, Länge des Schallweges, Reflexionswinkel, Einfallsrichtung). Der Übergang zum interaktiven Realzeitsystem erfolgt durch die Betrachtung diskreter Zeitabschnitte, für die das Gesamtsystem wiederum als linear und zeitinvariant angenommen wird. Der Übergang zwischen einzelnen Zeitabschnitte stellt eine eigene Problemstellung dar, für die unterschiedliche Lösungen vorgeschlagen wurden (z. B. Output crossfading oder Parameter Tracking; [2]). 1 Der Abschnitt 1 ist [1] entnommen IT-V4 3

42 Die Synthese des Gesamtschallfeldes erfolgt durch Superposition der Signale sämtlicher aktiver virtueller Schallquellen. Abhängig von der Genauigkeit des geometrischen Modells des Raumes (soweit unter den Annahmen der geometrischen Akustik sinnvoll) sowie der Genauigkeit der Nachbildung der Übertragungseigenschaften der beteiligten Teilsysteme lässt sich das Schallfeld mit theoretisch beliebig hoher Exaktheit synthetisieren. Abbildung 1 zeigt im Überblick die Struktur eines Systems zur Erzeugung einer auditiven virtuellen Umgebung: Auf der statischen Ebene befinden sich Datenbanken (z. B. Außenohrübertragungsfunktionen) und während der Simulation gleich bleibende Eingangsdaten (z. B. Zuordnung von Übertragungsfunktionen zu reflektierenden Flächen). Auf der dynamischen Ebene befinden sich die veränderlichen Eingangsdaten (Quelle- und Empfängerposition), aus denen unter Berücksichtigung des geometrischen Modells die räumliche Verteilung der virtuellen Schallquellen berechnet wird. Aus den Ergebnissen dieser Berechnung ergeben sich die Signalverarbeitungsparameter: Für jede virtuelle Schallquelle wird ein individueller Signalverarbeitungspfad, benötigt. Aus der Entfernung zwischen virtueller Schallquelle VSQ i und Empfänger ergeben sich die Laufzeitverzögerung T i, die Ausbreitungsdämpfung g i und die frequenzabhängige Dämpfung M i des Mediums (ein Verfahren zur Berechnung solcher Übertragungsfunktionen des Mediums wird in [3] beschrieben). Der Abstrahlwinkel von VSQ i bestimmt die jeweilige Abstrahlrichtcharakteristik D i. Die Liste der reflektierenden Wände für diesen Schallweg ergibt die Kettenschaltung H i der entsprechenden Wandübertragungsfunktionen: Hierzu wird auf die im akustischen Modell getroffene Zuordnung von Übertragungsfunktionen zu reflektierenden Flächen zurückgegriffen. Anhand des Einfallwinkels kann die jeweilige Außenohrübertragungsfunktion HRTF(ϕ i,δ i ) für die Ohrsignalsynthese ausgewählt werden. Unter der Bedingung einer möglichst hohen Übereinstimmung des synthetisierten Schallfeldes mit dem realen Schallfeld ist somit die Voraussetzung für perzeptiv äquivalente Hörereignisse gegeben. Hierbei bleibt jedoch unberücksichtigt, inwieweit die durch Ausbreitung und Reflexionen entstehenden Änderungen des Signals durch das menschliche Gehör ausgewertet bzw. wahrgenommen werden. Wie man in Abbildung 1 erkennt, benötigt jeder Schallweg in etwa gleich viel Signalverarbeitungsresourcen: Diese konventionelle Methode der Auralisation hat daher grundsätzlich brute-force Charakter. Voraussetzung für eine effizienter implementierte auditive virtuelle Umgebung wäre jedoch die Kenntnis von Regeln oder Gesetzmäßigkeiten: Diese müssen die Zulässigkeit möglicher Vereinfachungen qualitativ oder deren Auswirkung auf die Attribute des Hörereignisses quantitativ beschreiben. Ausgangspunkt für die Implementierung einer auditiven virtuellen Umgebung ist dann die Einhaltung vorgegebener Qualitätskriterien. Diese können folglich mit weniger Signalverarbeitungsressourcen als bei der konventionellen Methode realisiert werden, bzw. mit den vorhandenen Ressourcen kann eine höhere Qualität erreicht werden. Gleichzeitig können diese Regeln aber auch zur aktiven Gestaltung auditiver virtueller Umgebungen eingesetzt werden, bei denen das Ziel nicht Authentizität, sondern Plausibilität (s. Abschnitt 1.2) ist (z. B. innerhalb einer Mensch-Maschine- Schnittstelle): Bestimmte Attribute des Hörereignisses (z. B. Ausdehnung) können dann gezielt beeinflusst werden. Diese Regeln lassen sich nur mit Hilfe psychoakustischer Untersuchungen bestimmen. Als einfache Methode bieten sich hierzu z. B. AB-Vergleiche an, wobei die Referenzstimuli mit Hilfe der konventionellen Methode erzeugt werden und die Versuchspersonen Gleich- IT-V4 4

43 Bild 1: System zur Erzeugung einer auditiven virtuellen Umgebung [1] IT-V4 5

44 oder Ungleichheit bestimmter Attribute der Hörereignisse beurteilen müssen. Eine andere Möglichkeit bieten Herstellungsmethoden, bei der die Versuchsperson aufgefordert wird, Parameter der virtuellen Umgebung so zu verändern, dass sich ein bestimmtes Hörereignis (bzw. -attribut) einstellt (z. B. Entfernungseindruck). Es ist offensichtlich, dass die so gewonnenen Ergebnisse nicht nur zur Optimierung auditiver virtueller Umgebungen eingesetzt werden können, sondern auch Schlussfolgerungen über Phänomene des Hörens ermöglichen (z. B. Präzedenzeffekt, s. Abschnitt 1.4). Es ergeben sich somit drei Anwendungsgebiete für die Ergebnisse solcher psychoakustischen Untersuchungen: optimierte Nutzung von Signalverarbeitungsressourcen neue Gestaltungsmöglichkeiten für plausible auditive virtuelle Umgebungen Erweiterung von Modellen des räumlichen Hörens in reflexionsbehafteter Umgebung Beim Entwurf eines Auditory Displays sind natürlich die Möglichkeiten zur optimalen Nutzung der Signalverarbeitungsressourcen sowie zur Gestaltung des Hörereignisses von vorrangigem Interesse. 1.1 Möglichkeiten zur Auralisierung Neben den Schallfeldmodellen sind auch die unterschiedlichen Möglichkeiten zur Auralisierung von grundlegender Bedeutung. Ziel der Auralisierung ist die Anregung des Gehörs entsprechend dem gewählten Schallfeldmodell. Letztendlich muss also ein kontrollierter Schalldruckverlauf am Trommelfell des Hörers hergestellt werden. Dieses Ziel kann sowohl mit Kopfhörer- (Ohrsignalsynthese) als auch Lautsprecherbeschallung (Schallfeldsynthese) erreicht werden. Zur Kopfhörerbeschallung wird das Signal jeder virtuellen Quelle mit einem Paar kopfbezogener Impulsantworten gefaltet, die das Übertragungsverhalten der Außenohren nachbilden (HRIR: head-related impulse response bzw. HRTF: head-related transfer function; [4]). Für jede gewünschte Schalleinfallsrichtung wird eine eigene Außenohrübertragungsfunktion sowohl für das linke als auch das rechte Ohr benötigt. Außenohrübertragungsfunktionen können entweder gemessen [5] oder modelliert werden [6, 7]. Um (sowohl unwillkürliche als auch willkürliche) Kopfbewegungen des Hörers zu berücksichtigen, ist es erforderlich, bei der Auralisierung die Position und Ausrichtung des Kopfes fortlaufend zu messen und in die Schallfeldberechnung miteinzubeziehen. Hierdurch wird das Lokalisationsvermögen des Hörers in der virtuellen Umgebung verbessert [8]. Zur Lautsprecherbeschallung sind unterschiedliche Verfahren entwickelt worden. Schroeder und Atal [9] entwickelten ein transaurales System, das mit zwei Lautsprechern realisiert wird. [10] beschreibt das Ambisonics-Verfahren, das für unterschiedliche Lautsprecherkonfigurationen geeignet ist. Gleiches gilt für das Vector Base Amplitude Panning (VBAP) Verfahren von Pulkki [11]. Die Wave Field Synthesis von Berkhout u. a. [12] benötigt eine Vielzahl von Lautsprechern zur Realisierung. Ein grundsätzliches Problem bei Lautsprecherverfahren ist die Abhängigkeit der Qualität der Darbietung (z. B. Genauigkeit der Lokalisation von Schallquellen) vom Hörerort. Ein Vergleich der Lokalisationsgenauigkeit bei Verwendung des Ambisonics- sowie des VBAP-Verfahrens wurde von Strauss und Buchholz [13] vorgenommen. IT-V4 6

45 1.2 Authentische und plausible auditive virtuelle Umgebung Die Unterscheidung zwischen authentischer und plausibler auditiver virtueller Umgebung ergibt sich aus den unterschiedlichen Zielsetzungen (auch wenn beide mit demselben Simulationsverfahren erzeugt werden können). Vereinfacht kann die authentische auditive virtuelle Umgebung auch als Spezialfall der plausiblen auditiven virtuellen Umgebung betrachtet werden. Das Ziel einer authentischen auditiven virtuellen Umgebung ist, Schallereignisse zu erzeugen, die zu Hörereignissen führen, die denen einer spezifischen, als Computermodell nachgebildeten realen Umgebung äquivalent sind. Hierbei kann es sich um eine bestehende bekannte oder um eine geplante reale Umgebung handeln. Entscheidend ist, dass ein möglichst hohes Maß an Übereinstimmung zwischen den jeweiligen Hörereignissen erreicht wird. Dies hängt natürlich nicht nur von dem Simulationsverfahren als solches ab (z. B. Berücksichtigung diffuser Reflexionen), sondern auch von der Qualität der Daten, die als Eingangsparameter dienen (z. B. Detailtreue des geometrischen Modells, Modellierung der Wandmaterialien) und die durch physikalische Messungen gewonnen werden. Ein typisches Einsatzgebiet für eine authentische auditive virtuelle Umgebung ist die raumakustische Planung; die auditive virtuelle Umgebung dient hierbei als Werkzeug zur Auralisation und zur Berechnung gewünschter Kennzahlen (z. B. Nachhallzeit). Das Ziel einer plausiblen auditiven virtuellen Umgebung ist es, Schallereignisse zu erzeugen, die zu Hörereignissen führen, von denen der Hörer annimmt, dass sie in einer ihm bekannten oder unbekannten realen Umgebung entstehen könnten, d.h. sie werden von ihm nicht als Artefakte empfunden. Aus der Art der Anwendung können sich weitere Rahmenbedingungen ergeben: Typische Einsatzgebiete für plausible auditive virtuelle Umgebungen sind Mensch-Maschine-Schnittstellen und Telekommunikationssysteme; die auditive virtuelle Umgebung dient hier zur Auralisation der Kommunikationskanäle in einer räumlichen Anordnung, um bei der Kommunikation von den Vorteilen des räumlichen Hörens zu profitieren (z. B. Cocktail-Party-Effekt). Prinzipiell besteht selbstverständlich die Möglichkeit, einen realen Raum (von dem bekannt ist, dass er für eine spezifische Anwendung gut geeignet ist, z. B. Besprechungszimmer für Teleconferencing) durch eine authentische auditive virtuelle Umgebung zu simulieren und damit ein System zu realisieren, dessen Anforderungen sich auch mit einer plausiblen auditiven virtuellen Umgebung erfüllen lassen. Davon abgesehen, dass dieser Ansatz i. a. zu einem überdimensionierten System führen wird, beraubt man sich damit auch der zusätzlichen Gestaltungsmöglichkeiten, die die virtuelle Umgebung bietet. Dies betrifft zum Einen die Anordnung der virtuellen Schallquellen (z. B. räumliche Verteilungen, die sich nicht mittels des Spiegelschallquellenverfahrens aus einer realen Raumgeometrie konstruieren lassen), zum anderen die Modellierung der durch eine virtuelle Schallquelle repräsentierten Filterwirkung (im authentischen System enthält dieser Filter die Übertragungsfunktionen der Teilsysteme, die an diesem Schallweg beteiligt sind). Hier sind ebenfalls Eigenschaften denkbar, die sich durch reale akustische Systeme nicht verwirklichen lassen, aber z. B. für ein Kommunikationssystem von Vorteil sein könnten. IT-V4 7