Aufgabenblatt 1 S. 1 WS07/08

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1 Aufgabenblatt 1 S. 1 WS07/08 A1: Lösen Sie das folgende Gleichungssystem, wenn es lösbar ist. 4 x + 12 y 6 z = 26 2 x 8 y 6 z = 17 2 x + 9 y + 15 z = 19 A2: Untersuchen Sie die beiden folgenden Gleichungssysteme auf Lösbarkeit. Geben Sie, wenn möglich, an, wie man beliebig viele Lösungen erzeugen kann und schreiben Sie dann vier konkrete Lösungen auf. Beachten Sie, dass die linken Seiten der Gleichungssysteme die gleichen sind! 2 x 4 y + z + 4 u 5 w = 1 3 x 6 y + z + 5 u v 8 w = 1 x + 2 y z 3 u v + w = 3 4 x + 8 y z 6 u + 2 v + 11 w = 1 2 x 4 y + z + 4 u 5 w = 0 3 x 6 y + z + 5 u v 8 w = 1 x + 2 y z 3 u v + w = 4 4 x + 8 y z 6 u + 2 v + 11 w = 3 A3: Zeigen Sie, dass Zeilenvertauschungen auch durch die beiden anderen elementaren Zeilentransformationen realisierbar sind. (Nur für die, die Spaß am Knobeln haben) A4: Ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Unbekannten hat entweder gar keine oder unendlich viele Lösungen. Begründen Sie diese Aussage! Lässt sich etwas Vergleichbares über ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten sagen? Wie ist es bei drei Gleichungen und zwei Unbekannten? A5: Zur Wiederholung der Kovarianz. In einer Stichprobe aus 10 Männern und 20 Frauen hat sich für zwei Variablen X und Y in beiden Teilstichproben eine Korrelation von 1/3 ergeben. Gefragt ist nach der Korrelation in der Gesamtstichprobe. Es ist zusätzlich bekannt, dass die Mittelwerte von X und Y bei den Männern beide gleich 10 sind, während sich bei den Frauen Mittelwerte von 13 und 7 ergeben haben. Die (deskriptiven) Streuungen der beiden Variablen waren bei den Männern 6 und 1 und bei den Frauen 1 und 6. Hinweis: Machen Sie den Umweg über die Kovarianzen und rekapitulieren Sie notfalls geeignete Kovarianzformeln. In diesem speziellen Fall reicht

2 Aufgabenblatt 1 S. 2 WS07/08 übrigens die Bestimmung der Kovarianz zur Antwort aus. Wenn Sie nicht weiterkommen, werfen Sie einen Blick auf Aufgabe 6. Zusatzfrage: Kennen Sie einen Sachverhalt, der eine strukturelle Ähnlichkeit mit der Situation dieser Aufgabe hat? A6: Allgemein gilt für Situationen wie in Aufgabe 5 folgende Beziehung: Sind in J Teilstichproben zwei Variablen X und Y erhoben worden, hat die j-te Teilstichprobe den Umfang n j, und sind die Kennwerte für die Mittelwerte und die (deskriptive) Kovarianz in der j-ten Teilstichprobe M (j) X, M (j) Y und Kov (j) X,Y, so gelten mit n j = N und h j = n j /N für die Mittelwerte M X, M Y und die Kovarianz Kov X,Y in der Gesamtstichprobe die Formeln M X = h j M (j) X, M Y = h j M (j) Y und Kov X,Y = h j Kov (j) X,Y + ( ) ( ) h j M (j) X M X M (j) Y M Y. Die Gesamtkovarianz ist also die Summe eines gewichteten Mittels der Einzelkovarianzen und einer Art Kovarianz der Mittelwerte. Wenn Sie den Spezialfall X = Y betrachten, so müsste Ihnen die Beziehung bekannt sein. Woher? Aufgabe eher nur für Fortgeschrittene: Zeigen Sie die Formeln. A7: Man könnte in der Situation von Aufgabe 5 auf die Idee kommen, dass die Unterschiedlichkeit zwischen der Korrelation in der Gesamtpopulation und den Korrelationen in der Teilpopulationen nur daher kommt, dass sich die Mittelwerte der Teilpopulationen unterscheiden. Benutzen Sie die Formel aus Aufgabe 6, um nachzuprüfen, ob dies richtig ist nehmen Sie also an, dass die Mittelwerte von X und Y sich bei Männern und Frauen nicht unterscheiden, während die restlichen Angaben gleich bleiben. Nehmen Sie diese Aufgaben zum Anlass, über die Aussagekraft von Korrelationen nachzudenken. Zum Trost: Rechnen Sie die Aufgabe noch einmal, wobei Sie jetzt zusätzlich zu der Gleichheit der Mittelwerte in den Teilstichproben auch die Gleichheit der Streuungen der Variablen annehmen. A8: Kodieren Sie das Geschlecht in Aufgabe 5 in der Variable Z mit den Werten 1 für Männer und 0 für Frauen. Errechnen Sie die Kovarianzmatrix der Variablen X, Y und Z. Man könnte die Hoffnung haben, dass die gemeinsame Korrelation in den Teilpopulationen mit der Partialkorrelation beim

3 Aufgabenblatt 1 S. 3 WS07/08 Herauspartialisieren von Z übereinstimmt. Prüfen Sie nach, ob dies der Fall ist. Wer sich daran stört, dass hier mit dem Geschlecht korreliert wird, kann sich die Variable Z auch als Anzahl der Y-Chromosomen vorstellen dann hat man bestes Skalenniveau (Absolutskala kleiner Scherz). Verallgemeinerung nur für Fortgeschrittene: In einer Stichprobe werden zwei Variablen X und Z erhoben, von denen Z nur wenige Werte annimmt. Die Stichprobe wird in Teilstichproben zerlegt, die sich dadurch definieren, dass Z jeweils einen seiner Werte z j annimmt. Bekannt seien die Mittelwerte M j und die deskriptiven Varianzen S 2 j in den Teilstichproben, die die Umfänge n j haben. Setzen Sie n j = N und h j = n j /N und geben Sie Formeln für die Varianzen von X und Z und für die Kovarianz von X und Z an. Sie können Aufgabe 6 benutzen. Wer besonders fortgeschritten ist und eigenständig weiterdenken will, kann sich an folgender Frage versuchen: Welches sind Zusatzbedingungen, die gewährleisten, dass in einer Situation, in der zwei Variablen X und Y für mehrere Werte einer Variablen Z mehrfach erhoben worden sind, und in der für alle durch jeweils einen konstanten Wert von Z definierten Teilstichproben die Korrelationen von X und Y gleich demselben Wert r sind, dass also in einer solchen Situation r mit der Partialkorrelation von X und Y übereinstimmt, wenn man Z herauspartialisiert?

4 Aufgabenblatt 2 S. 1 WS07/08 A1: Gegeben sind die folgenden Vektoren a 1 = ( ) 1 2, a 2 = ( ) 2 1, a 3 = ( ) 3 1 Addieren Sie die ersten beiden Vektoren und verdeutlichen Sie sich das Ergebnis geometrisch in einem Koordinatensystem! Bilden Sie die Linearkombination dieser Vektoren mit den Koeffizienten 2, 3, 1. Die Linearkombination kann man auch in der Form Vektoren-Matrix mal Koeffizientenvektor schreiben. Tun Sie dies und überzeugen Sie sich, dass das Ergebnis das gleiche ist. A2: Welchen Winkel schließen die Vektoren (1, 3) und (2, 2) ein? Rechnen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts und messen Sie nach! A3: Gegeben sind folgende Matrizen A = 2 1, B = Geben Sie die Transponierten der beiden Matrizen an! Berechnen Sie die Matrix (2A B). Überzeugen Sie sich davon, dass man das Bilden von Linearkombinationen mit dem Transponieren vertauschen kann, dass das Ergebnis der letzten Rechnung also auch gleich 2A B ist.. A4: Gegeben sind folgende Matrizen ( ) 1 2 A = 2 4, B = ( ) Berechnen Sie AB und BA. Was fällt auf? Vergleichen Sie (BA) mit A B. A5: Gegeben sind folgende Matrizen A = ( ) , B = ( 2 1 ) , C = Bilden Sie alle möglichen Produkte von je zwei dieser Matrizen. Was fällt auf?

5 Aufgabenblatt 3 S. 1 WS07/08 A1: Schreiben Sie das Gleichungssystem von Aufgabe 1 in Aufgabenblatt 1 in Matrixform hin. A2: Gegeben sind die folgenden Vektoren: a 1 = 2, a 2 = 2, a 3 = 3, x 1 = 5, x 2 = 3, x 3 = Welche Vektoren x i sind Linearkombinationen der a i? Welches sind gegebenenfalls die Koeffizienten? Sind diese eindeutig? A3: Prüfen Sie mit den Matrizen aus Aufgabe 5 in Aufgabenblatt 2 die Assoziativität der Matrizenmultiplikation (AB)C = A(BC) nach. A4: Gegeben sind zwei Vektoren a = (1, 2, 3) und b = (1, 0, 1). Berechnen Sie ab und b a. Verifizieren Sie, dass die Spuren dieser beiden Matrizen übereinstimmen. Berechnen Sie ebenso aa und a a und vergleichen Sie wieder die Spuren. Kann es einen Vektor x geben mit x x < 0? A5: Gegeben seien die Matrizen 1 1 A = 3 4 und B = 1 2 ( 1 2 ) Verifizieren Sie am Beispiel, dass die Spur von AB gleich der Spur von BA ist. Berechnen Sie auch die Spuren von AA und A A. Beschreiben Sie in Worten die Spur von AA für eine beliebige Matrix A, und begründen Sie, warum das Ergebnis nicht negativ sein kann. Überprüfen Sie ihre Formulierung auch am gerade gerechneten Beispiel. A6: Leiten Sie die etwas komplexere Regel ( ) ( ) A (C ) AC AD D = B BC BD aus den elementareren her und verifizieren Sie sie an dem Beispiel , wobei Sie die erste Matrix nach der zweiten Zeile und die zweite nach der zweiten Spalte trennen..

6 Aufgabenblatt 3 S. 2 WS07/08 A7: Verifizieren Sie mit den Beispielmatrizen aus Aufgabe 6 eine Regel über das Multiplizieren partitionierter Matrizen, indem Sie jetzt die erste Matrix nach der zweiten Spalte und die zweite nach der zweiten Zeile teilen.

7 Aufgabenblatt 4 S. 1 WS07/08 A1: Zeigen Sie, dass sich die (empirische) Kovarianz von zwei Variablen X und Y auch als Kov X,Y = 1 n x i (y i ȳ) n schreiben lässt. Benutzen Sie beispielsweise die Darstellung mit Hilfe der Zentriermatrix. Gibt es eine weitere analoge Formel? A2: An 4 Personen wurden die Variablen X und Y erhoben und lieferten die Werte 1, 2, 4, 5 bzw. 3, 7, 3, 7. Geben Sie die Datenmatrix an. Berechnen Sie Mittelwertvektor und Kovarianzmatrix wie gewohnt. Bestimmen Sie auch die zentrierten Datenvektoren und die SSCP-Matrix. Wie sieht die Zentriermatrix hier aus? Rechnen Sie die erhaltenen Ergebnisse (ausnahmsweise) mit den Formeln mit der Zentriermatrix nochmal aus und überzeugen Sie sich, dass die Ergebnisse gleich bleiben. Berechnen Sie aus der Kovarianzmatrix die korrigierte Stichprobenkovarianzmatrix und die Korrelationsmatrix der Daten. A3: Ein Statistikdozent denkt sich Aufgaben aus, in denen eine Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors der Länge 2 vorkommt. Ihm fallen sofort die folgenden Matrizen ein: ( ) ( ) ( ) ( ) Nach diesem Kreativitätsschub gerät der Dozent ins Grübeln: Sind dies wirklich mögliche Kovarianzmatrizen? Helfen Sie ihm! Hinweis: Die Antwort dürfte bei den ersten beiden Matrizen leicht fallen. Berechnen Sie bei der dritten die Korrelation und die Varianz der Differenz der beiden Variablen welcher Begriff fällt Ihnen hier ein? Bei der vierten wird Ihnen die Antwort schwer fallen. Wenn Ihnen keine einfällt, registrieren Sie nur das Problem und warten Sie den weiteren Verlauf der Veranstaltung ab. A4: Zeigen Sie, dass man bei der Multiplikation von zwei Diagonalmatrizen (natürlich gleicher Größe) die Reihenfolge der Faktoren vertauschen kann. Wie sieht das Ergebnis aus? A5: Formen Sie um, so dass keine Klammern stehen bleiben: ((A + B) C). A6: Gegeben sind folgende Vektoren: a 1 = (1, 1, 2), a 2 = (2, 2, 0). Geben Sie einen Vektor an, der auf diesen beiden Vektoren senkrecht steht. Veranschaulichen Sie sich Ihre Lösung in Gedanken in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, um zu prüfen, ob sie wohl richtig ist. i=1

8 Aufgabenblatt 4 S. 2 WS07/08 A7: An einer Stichprobe von 10 Personen sind für drei Variable folgende Werte erhoben worden: Berechnen Sie Mittelwertsvektor, SSCP-Matrix, Kovarianzmatrizen und Korrelationsmatrix! Können Sie die Korrelationsmatrix eigentlich auch aufgrund der SSCP-Matrix oder der korrigierten Stichprobenkovarianzmatrix ausrechnen?

9 Aufgabenblatt 5 S. 1 WS07/08 A1: Gegeben seien zwei Zvan X und Y, deren Kovarianzmatrix K gleich ( ) sei. Es werden nun die Linearkombinationen U = X Y und V = 2X + Y gebildet. Berechnen Sie die Kovarianz von U und V und machen Sie sich klar, dass das Ergebnis gleich a Kb ist, wo a = (1, 1) und b = (2, 1) die Koeffizientenvektoren von U und V sind. Überzeugen Sie sich allgemeiner, dass man die Kovarianzmatrix der zu einem Zufallsvektor zusammengefassten Variablen U und V als Produkt geeigneter Matrizen schreiben kann, und prüfen Sie beim Berechnen die Assoziativität der Matrizenmultiplikation nach. A2: Die Werte x 1 und x 2 in einem Leistungstest vor und nach einem Training und drei Intelligenzvariablen y 1, y 2 und y 3 haben die folgende Matrix der Kovarianzen: ( ) Es werden nun aus den Leistungsvariablen der Mittelwert u 1 und die Differenz u 2 gebildet, bei den Intelligenzvariablen die Summe v 1 aller drei und die Summe v 2 der ersten beiden Variablen. Bestimmen Sie die Matrix der Kovarianzen der zu Vektoren u und v zusammengefassten neuen Variablen. Berechnen Sie zur Kontrolle die Kovarianz von u 1 und v 1 nach den bekannten Formeln aus dem Grundstudium. Überlegen Sie sich, welchen inhaltlichen Sinn die Bildung der neuen Variablen haben könnte. A3: Ein in der Beratung tätiger Psychologe benutzt immer einen Intelligenztest, der aus drei Teilen besteht, von denen der erste eher verbale Fähigkeiten testet, während die beiden anderen eher rechnerische Fähigkeiten erfassen. Als Ergebnis erhält er die Scores in den drei Untertests, die in einem Vektor x der Länge 3 zusammengefasst seien. Der Psychologe möchte die Daten etwas reduzieren und entschließt sich, einen Gesamtscore zu bilden, der aus der Summe der drei Einzelergebnisse besteht, sowie einen zweiten Wert, der ihm angeben soll, ob die Begabung des Probanden eher auf sprachlichem oder auf rechnerischem Gebiet liegt; diesen zweiten Wert bildet er, indem er die Summe der Ergebnisse in den beiden rechnerischen Teilen von dem Ergebnis in dem verbalen Teil abzieht. Der Psychologe mag keine negativen Zahlen und addiert daher zu der Differenz immer noch 20 dazu. Die beiden neuen Werte werden nun zu einem Vektor y zusammengefasst.

10 Aufgabenblatt 5 S. 2 WS07/08 Zeigen Sie, dass man y mit Hilfe einer affinen Transformation (y = Ax+b) aus x erhält; wie sehen die Matrix A und die Verschiebung b aus? Welche Werte erhält ein Proband in den neuen Variablen, falls die Ergebnisse in den drei Tests gleich 7, 6, und 2 waren? (Berechnen Sie dies zur Kontrolle auch ohne Matrizenschreibweise!) Nun sei der Erwartungswertvektor von x bekannt: E(x) = (10, 8, 6), ebenso die Kovarianzmatrix V(x) = Welches sind E(y) und V(y)? Falls Sie von der Richtigkeit der Matrizenformeln noch nicht überzeugt sind, rechnen Sie zur Kontrolle auf die traditionelle Art! A4: Nach einiger Zeit findet der Psychologe aus Aufgabe 3 seine beiden neuen Variablen unpraktisch und beschließt, in Zukunft stattdessen deren z- Transformierte zu verwenden (Vorteil?). Die beiden z-transformierten fasst er wieder zu einem Vektor z zusammen. Zeigen Sie, dass man z aus y durch eine affine Transformation erhält und geben Sie die zugehörige Matrix und den Verschiebungsvektor an. Berechnen Sie zur Kontrolle Erwartungswert und Kovarianzmatrix von z. Nachdem er längere Zeit x zuerst in y und dann y in z umgerechnet hat, wird dem Psychologen klar, dass er hier einen Umweg macht, und dass er direkt z aus x ausrechnen kann. Bei genauerem Hinsehen findet er, dass auch dies mit Hilfe einer affinen Transformation möglich ist - wie sieht diese aus? (Hinweis: Setzen Sie den Ausdruck für y aus der Aufgabe 3 in die Transformation dieser Aufgabe ein und gruppieren Sie nach den Regeln der Matrizenrechnung um!) A5: Die Kovarianzmatrix der personenweise zentrierten Daten in der Varianzanalyse mit Messwiederholung hat die interessante Eigenschaft, dass die Zeilen- und Spaltensummen alle 0 sind. Warum? Hinweis: Fassen Sie das personenweise Zentrieren als affine Abbildung auf und drücken Sie dann die Kovarianzmatrix der transformierten Daten mit Hilfe der Originalkovarianzmatrix aus. Wie erhält man die Datenmatrix der personenweise zentrierten Werte aus der Datenmatrix der Originalwerte? Zur Bestimmung der Kovarianzmatrix benutzt man oft die variablenweise zentrierten Daten. Nun kann man eine Datenmatrix erst personenweise und

11 Aufgabenblatt 5 S. 3 WS07/08 dann variablenweise zentrieren oder umgekehrt. Ist das Ergebnis das gleiche? Wenn man zuerst personenweise und dann variablenweise zentriert, kann man sich fragen, ob sich beim erneuten personenweisen Zentrieren noch etwas ändert. Könnte das sein?

12 Aufgabenblatt 6 S. 1 WS07/08 A1: Zeigen Sie, dass die Summe zweier positiv semidefiniter Matrizen wieder positiv semidefinit ist. A2: Zeigen Sie: Ist A quadratisch, so ist A+A symmetrisch. Ferner: Ist B eine Matrix, so ist BB symmetrisch, ebenso B B. A3: Es seien x und y unkorrelierte Zufallsvektoren der gleichen Länge und c ein konstanter Vektor. Berechnen Sie die Kovarianzmatrix von ax + by + c, ebenso den Erwartungswertvektor. Wenden Sie das Ergebnis auf den Spezialfall x y an. A4: Überlegen Sie sich für Ihnen bekannte inhaltliche faktorenanalytische Modelle, wie dort die Modellgleichungen zu interpretieren sind. Halten Sie die Voraussetzungen für erfüllt? A5: Ist es bei der Faktorenanalyse möglich, die Werte, die eine Person auf den Faktoren hat, aus ihren Werten in den beobachtbaren Variablen zu rekonstruieren (die Ladungsmatrix sei bekannt!)? Beachten Sie, dass auch die Fehler unbekannt sind, und überlegen Sie sich, dass es hier um die Frage nach der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems geht. Welches sind die Unbekannten, welches die Koeffizientenmatrix, was steht auf der rechten Seite? Ist das Gleichungssystem immer lösbar, gibt es unter Umständen unendlich viele Lösungen, für welche der Unbekannten kann man in diesem Fall beliebige Werte vorgeben? A6: Die folgende Aufgabe ist etwas schwieriger. Wenn Sie sie nicht in vertretbarer Zeit herausbekommen, so warten Sie auf die Lösungen. Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen positiv semidefinit sind: ( 1 ) 2 ( 1 ) Hinweis: Wenn Sie eine Matrix A untersuchen, so benutzen Sie die Definition der positiven Semidefinitheit mit dem allgemeinen Vektor x = (x 1, x 2 ), rechnen Sie das Produkt x Ax aus (dies ist ein Polynom in x 1 und x 2 ) und erinnern Sie sich an die binomischen Formeln, um dieses Produkt so umzuschreiben, dass man sofort sieht, ob es negativ werden kann.

13 Aufgabenblatt 7 S. 1 WS07/08 A1: Drei Forscher sind der Ansicht, dass die drei Persönlichkeitsvariablen Fleiß, Ordnungsliebe und Sauberkeit ensprechend dem Modell der Faktorenanalyse auf zwei Faktoren zurückzuführen sind. Sie unterscheiden sich allerdings in den Modellen. Zwar gehen alle drei von unkorrelierten Faktoren der Varianz 1 aus, über das Wesen der Faktoren (und damit über die Ladungsmatrizen) haben sie jedoch deutlich verschiedene Ansichten. Hier sind die von den dreien vermuteten Ladungsmatrizen: , , Die Persönlichkeitsvariablen sind alle standardisiert, haben also Varianz 1. Berechnen Sie mit diesen Informationen die Kovarianzmatrizen (dies sind gleichzeitig die Korrelationsmatrizen - warum?) der drei Persönlichkeitsvariablen, die sich aus den Ansätzen der drei Forscher ergeben. Wie groß sind jeweils die Kommunalitäten und die Fehlervarianzen? Als Ergebnis sollten Sie dreimal die gleiche Matrix erhalten, wobei bei zwei Forschern zusätzlich die Kommunalitäten übereinstimmen. Berechnen Sie auch die Maße für die Bedeutung der jeweiligen Faktoren im Sinne der Varianzaufklärung. Ziehen Sie nun Schlussfolgerungen: Kann auf empirischem Weg zwischen den drei Modellen entschieden werden? Können wenigstens die Kommunalitäten ermittelt werden? (Beachten Sie: Die einzige Hoffnung, an die theoretischen Ladungsmatrizen heranzukommen, besteht darin, sie aufgrund einer gut geschätzten empirischen Korrelationsmatrix irgendwie ermitteln zu können - die empirische und die theoretische Korrelationsmatrix sind sozusagen die einzigen beiden Punkte, an denen Empirie und Theorie sich berühren.) A2: In der Situation von Aufgabe 1 ist ein vierter Forscher zu einem weiteren Modell gelangt, bei dem aber im Gegensatz zu den drei anderen nicht vorausgesetzt wird, dass die Faktoren unkorreliert sind (Faktoren und beobachtbare Variablen haben aber auch bei ihm Varianz 1). Vielmehr beträgt bei ihm die Korrelation der Faktoren.6. Seine Ladungsmatrix ist

14 Aufgabenblatt 7 S. 2 WS07/08 Berechnen Sie auch hier wieder die vorhergesagte Korrelationsmatrix der drei empirischen Variablen. Bestimmen Sie dabei auch die Kommunalitäten. Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der vorigen Aufgabe. Berechnen Sie auch die Matrix der Korrelationen zwischen den empirischen Variablen und den Faktoren. Vergleichen Sie die Matrix der Ladungen und die der Korrelationen. Wieso ergeben sich (zumindest oberflächlich) Schwierigkeiten bei der Interpretation der Faktoren? (Erinnern Sie sich an die Begriffe Faktormuster und Faktorstruktur!) Berechnen Sie formal die Maße für die Bedeutsamkeit der Faktoren und überzeugen Sie sich, dass dies hier nicht besonders sinnvoll ist. A3: In einem faktorenanalytischen Modell ist (bei unkorreliert vorausgesetzten Faktoren) die Ladungsmatrix gleich Wie sieht die Interkorrelationsmatrix der beobachtbaren Variablen aus? Ein Forscher ist der Auffassung, dass sich hinter den hier betrachteten Variablen nur ein Faktor verbirgt. Können Sie eine Ladungsmatrix mit einem Faktor finden, die zur selben theoretischen Korrelationsmatrix der beobachtbaren Variablen führt? Hinweis: Setzen Sie für die Elemente der Ladungsmatrix zunächst Unbekannte ein, berechnen Sie dann die Interkorrelationen der beobachtbaren Variablen in terminis dieser Unbekannten, setzten Sie gleich und lösen Sie dann das entstehende Gleichungssystem. Überlegen Sie nun, ob es auch in den vorigen Aufgaben eine Einfaktorlösung gibt. Hinweis: Achten Sie auf die Vorzeichen! A4: Eine etwas schwierigere Aufgabe, warten Sie auf die Lösung, wenn Sie die Aufgabe nicht in vertretbarer Zeit herausbekommen. Nehmen Sie die Aufgabe 3 zum Anlass, sich zu überlegen, welches im Falle einer Korrelationsmatrix von drei beobachtbaren Variablen, bei der der Einfachheit halber alle Korrelationen von 0 verschieden sind, die Bedingungen dafür sind, dass es eine exakte Lösung mit einem Faktor gibt. Hinweis: gehen Sie so vor wie in Aufgabe 3 und drücken Sie die Kommunalitäten, die sich bei einer Einfaktorlösung ergeben würden, mit Hilfe der Korrelationen aus. Leiten Sie dann aus der Tatsache, dass Kommunalitäten höchstens gleich 1 sein können, eine Bedingung an die Korrelationen her.

15 Aufgabenblatt 7 S. 3 WS07/08 Zusatz: Überzeugen Sie sich davon, dass diese Bedingung für ziemlich viele Korrelationsmatrizen von drei Variablen erfüllt sein sollte. Was bedeutet dies für Faktorenanalysen für drei Items im Hinblick auf die Interpretierbarkeit? A5: Wie Sie vielleicht wissen, werden in der Praxis der Faktorenanalyse die Werte, die Personen auf den hypothetischen Faktoren haben, aus ihren Werten in den Items oft in folgender Weise rekonstruiert (bis auf lineare Transformationen): Man schaut in der Ladungsmatrix spaltenweise nach, wo betragsmäßig große Ladungen sind, und addiert dann die Werte in den zugehörigen Items auf, wobei bei negativen Ladungen zuvor mit 1 multipliziert wird. Items, deren Ladungen klein sind, werden weggelassen. Die Frage ist nun, wieviel dieser Versuch taugt; sinnvollerweise fragt man genauer nach der Korrelation der wahren Faktorwerte mit den rekonstruierten. Machen Sie sich klar, dass der Vektor g der auf diese Weise rekonstruierten Faktorwerte aus dem Vektor der Itemergebnisse durch eine affine Transformation hervorgeht und beschreiben Sie den Aufbau der Transformationsmatrix A. Setzen Sie zum Beispiel voraus, dass Sie sogar die wahre Ladungsmatrix Λ kennen, die so aussehen soll: Wie sieht in diesem Fall die Matrix A aus, wenn Sie Werte dann als groß ansehen, wenn sie betragsmäßig mindestens gleich.5 sind? Geben Sie nun die Matrix der Korrelationen zwischen g und den im Vektor f zusammengefassten wahren Faktorwerten an. Setzen Sie dabei voraus, dass die Faktoren unkorreliert sind. Die Streuungen der Rohwerte mögen.8, 1,.5 und 1 betragen. Hinweis: In einem ersten Schritt sind die Rohwerte aus den standardisierten Werten, die ja die Komponenten von x sind, zu berechnen. Zeigen Sie, dass Sie den Vektor der Rohwerte aus x mit einer affinen Transformation erhalten, deren Matrix D die Diagonalmatrix der Streuungen ist (der Verschiebungsvektor ist zum späteren Bilden der Kovarianzen irrelevant). Den

16 Aufgabenblatt 7 S. 4 WS07/08 Vektor g erhalten Sie aus dem Rohwertvektor durch eine weitere Transformation, wie oben geschildert. Die Hintereinanderausführung der beiden Transformationen ist wieder eine affine Transformation (sie führt von x zu g), bei der die Matrix gleich dem Produkt AD ist (warum?). Jetzt können Sie die Matrix der Kovarianzen zwischen g und f bestimmen. Was Sie eigentlich interessiert, sind jedoch die Korrelationen und nicht die Kovarianzen. Wenn Sie nun die Komponenten von g so reskalieren, dass ihre Varianz 1 ist, so stimmen die Kovarianzen der reskalierten Variablen mit den Faktoren mit den entsprechenden Korrelationen überein, da die Faktoren ja Varianz 1 haben. Die Reskalierung können Sie auch wieder mit einer geeigneten affinen Transformation erreichen, zu der Sie nur die Streuungen der Komponenten von g brauchen. Diese bekommen Sie aber, indem Sie die Kovarianzmatrix von g berechnen, was Sie können, da g aus x durch eine affine Transformation hervorgeht. Wie bewerten Sie das Ergebnis? A6: Machen Sie sich die folgende Skizze einer alternativen Argumentation dafür klar, dass die Spur der Kovarianzmatrix der durchschnittliche quadrierte Abstand vom Zentroid ist (vergegenwärtigen Sie sich insbesondere die verwendeten Umformungsregeln): Der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Zentroid ist gleich ( ) 1 1 n Spur(ẊẊ ) = Spur nẋ Ẋ = Spur(S).

17 Aufgabenblatt 8 S. 1 WS07/08 A1: Machen Sie sich im Fall UF klar, dass man in einer Ladungsmatrix einige oder alle Spalten mit 1 multiplizieren kann und damit eine weitere mögliche Ladungsmatrix erhält, die zu der gleichen reduzierten Korrelationsmatrix führt. Dies ist ein Beispiel für die fehlende Identifizierbarkeit, allerdings in einem trivialen Fall. Was bedeutet die Abänderung inhaltlich? Ist diese Art fehlender Identifizierbarkeit kritisch? A2: Betrachten Sie den allereinfachsten Fall eines Faktorenmodells mit zwei beobachtbaren Variablen. Zeigen Sie, dass hier (auf theoretischer Ebene) immer eine Lösung mit einem Faktor existiert. Da hier die Ladungsmatrix aus nur zwei Elementen besteht, kann man die möglichen Ladungmatrizen durch Punkte in einem Koordinatensystem repräsentieren. Welche Punkte genau entsprechen bei dieser Darstellung möglichen Ladungsmatrizen? Wo liegen alle Punkte, die zur gleichen Korrelationsmatrix der beobachtbaren Variablen führen, beispielsweise zu einer Korrelation von.5? Wo liegen die Ladungsmatrizen, die zu gleichen Kommunalitäten führen? A3: Schreiben Sie für den Fall eines Faktorenmodells von fünf beobachtbaren Variablen und drei möglicherweise korrelierten Faktoren die Gleichung hin, die ρ 12 mit Hilfe der Parameter des Modells ausdrückt. Wieviele derartige Gleichungen müsste man simultan lösen, wenn man die Parameter auf der Basis der wahrem Iteminterkorrelationen bestimmen wollte? Wieviele Unbekannte haben diese Gleichungen? Wieviele Ungleichungen müssten durch die Lösungen zusätzlich erfüllt werden?

18 Aufgabenblatt 9 S. 1 WS07/08 A1: Wann ist ein System aus nur einem Vektor l.u. bw. l.a.? A2: Sind die Spalten der folgenden Matrix linear abhängig? Falls ja, stellen Sie den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination der Spalten dar, wenn es geht, auf zwei unterschiedliche Weisen! Untersuchen Sie für alle Teilsysteme von drei Spalten, ob diese linear abhängig oder linear unabhängig sind! Wie groß ist der Rang dieser Matrix? Welche der Spaltenvektoren können als Linearkombinationen der übrigen geschrieben werden? Kann ein Zeilenvektor als Linearkombination der übrigen geschrieben werden? Sie beobachten, wie ein Kollege diese Matrix mit elementaren Spaltenumformungen so umformt, dass nur zwei Spalten übrigbleiben, die nicht nur aus Nullen bestehen. Was halten Sie davon? A3: Zeigen Sie, dass eine Teilmenge von linear unabhängigen Vektoren wieder linear unabhängig ist. Gilt eine ähnliche Aussage für linear abhängige Vektoren? (Stichwort: Obermenge.) Sie können nun in Aufgabe 2 leicht für alle Teilmengen von Spalten angeben, ob sie linear unabhängig oder linear abhängig sind.

19 Aufgabenblatt 10 S. 1 WS07/08 A1: Welche der folgenden Matrizen sind invertierbar? Machen Sie gegebenenfalls die Probe, ob tatsächlich Multiplikation mit der gefundenen Inversen von links und von rechts zur Einheitsmatrix führt! ( ), , A2: Es seien A eine (3 2)-Matrix und B eine (2 3)-Matrix. Kann das Produkt AB invertierbar sein? A3: Jemand kommt auf die praktische Idee, die Inverse einer partitionierten Matrix ( A ) 0 0 B einfach so zu bilden: ( ) A B 1 Geht das, und wenn ja, unter welchen Voraussetzungen? A4: Zeigen Sie: Die Inverse einer invertierbaren symmetrischen Matrix ist symmetrisch. A5: Zeigen Sie: Ist A invertierbar und a 0, so ist auch aa invertierbar und die Inverse ist (1/a)A 1. A6: Häufig wird die Faktorenanalyse bei der Fragebogenkonstruktion in der Situation benutzt, in der man mit mehreren Items dasselbe Merkmal erfassen will. Um zu untersuchen, ob tatsächlich alle Items dasselbe erfassen, wird der Fragebogen einer Faktorenanalyse unterzogen. Es wird dann erwartet, dass sich nur ein Faktor findet. Rechtfertigen Sie dies Verfahren! Zeigen Sie also, dass unter geeigneten Voraussetzungen (siehe unten) tatsächlich das Modell der Faktorenanalyse mit einem Faktor gilt. Setzen Sie die Voraussetzungen zur klassischen Testtheorie in Beziehung. Was haben hier die Ladungen mit den Reliabilitäten der Einzelitems zu tun? Welche besondere Form hat die Ladungsmatrix im Fall schwach paralleler Items? Hinweis: Bezeichnet man das Merkmal mit m und die Werte in den Items mit y i, so ist es nach dem Muster der KTT naheliegend, sich die Werte der Items zusammengesetzt zu denken aus einem Merkmalsanteil und einem Fehleranteil (mit Erwartungswert 0), der mit m unkorreliert ist. Außerdem wird man voraussetzen, dass die Fehler verschiedener Items unkorreliert.

20 Aufgabenblatt 10 S. 2 WS07/08 sind (dies ist die kritische Voraussetzung, die durch die Faktorenanalyse dann auch einer gewissen Prüfung unterzogen wird). Da damit zu rechnen ist, dass die Items unterschiedlich skaliert sind, ist für das i-te Item das Modell y i = a i m + b i + g i angemessen, wobei der Fehler zunächst mit g i bezeichnet wird und b i eine Konstante ist. Dies reicht an Voraussetzungen. Beachten Sie, dass das Modell der Faktorenanalyse mit standardisierten Variablen und Faktoren rechnet. Diese Standardisierungen von m und den y i müssen als erstes erledigt werden; dabei soll die Standardisierung von m den Faktor f ergeben und die Standardisierungen der y i die Variablen z i. A7: Aufgabe für Spezialisten (nicht klausurrelevant). Bestimmen Sie den Winkel, unter dem man vom Schwerpunkt eines Tetraeders aus je zwei Eckpunkte sieht. Wie groß ist der Abstand des Schwerpunktes zu einer Ecke, wenn die Kantenlänge 1 ist? Ein Tetraeder ist ein regelmäßiger Körper mit 4 Seitenflächen, die jeweils gleichseitige Dreiecke sind, und der (folglich) gleich lange Kanten hat. Binden sich an Kohlenstoff 4 Reste (beispielsweise Wasserstoffatome, was Methan ergibt), so macht man sich das wohl näherungsweise korrekte Modell, dass die Reste an den Ecken eines Tetraeders ansetzen, in dessen Zentrum sich das Kohlenstoffatom befindet. Hinweis für das Vorgehen: Positionieren Sie den Tetraeder in einem Koordinatensystem. Wählen Sie beispielsweise als erste Kante den ersten Einheitsvektor (1, 0, 0). Legen Sie dann die nächste Ecke in die von den ersten beiden Achsen aufgespannte Ebene. Zum Finden der Ecken benutzt man beispielsweise einerseits die Kenntnis der Winkel zwischen 2 Kanten (60 ) und andererseits die Tatsache, dass die Kantenlängen alle 1 sind. Rechnen Sie mit Wurzeln, nicht mit gerundeten Zahlen! Das Ergebnis ist krumm, nicht aber sein Kosinus! Sie können außerdem noch feststellen, dass zwei gegenüberliegende Kanten (die sich nicht schneiden, also beispielsweise die Verbindungen der Ecken 1 und 2 und der Ecken 3 und 4) einen rechten Winkel bilden (sofern man eine der Kanten parallel verschiebt, so dass sich ein Schnittpunkt ergibt). A8: Aufgabe für Spezialisten (nicht klausurrelevant), Beispiel für homogene Gleichungssysteme. In der Chemie trifft man immer wieder auf Situationen, in denen man die Edukte und die Produkte einer Reaktion kennt, nicht aber die Mengenverhältnisse. Die bekommt man meist leicht durch Probieren heraus, aber geht es auch anders? Beispielsweise reagieren Kohlenstoffdisulfid (CS 2 ) und Chlor (Cl 2 ) zu Tetrachlorkohlenstoff (CCl 4 ) und

21 Aufgabenblatt 10 S. 3 WS07/08 Dischwefelchlorid (S 2 Cl 2 ). Durch Probieren kommt man schnell auf die fehlenden Zahlen (1, 3, 1, 1) in der Reaktionsgleichung: CS Cl 2 CCl 4 + S 2 Cl 2. Zeigen sie, dass man diese Zahlen (bis auf Vielfache) auch systematisch mit Hilfe eines homogenen Gleichungssystems ermitteln kann. Dabei ist zu berücksichtigen, dass für jedes Element auf beiden Seiten des Gleichungssystems die gleiche Menge stehen muss (Massenerhaltungsgesetz).

22 Aufgabenblatt 11 S. 1 SS08 A1: Betrachten Sie die Gleichungssysteme aus Aufgabe 2 in Aufgabenblatt 1. Welche Dimension hat das Erzeugnis der Spalten der Koeffizientenmatrix? Geben Sie hierfür eine Basis an! Versuchen Sie die Basis so zu wählen, dass Sie einem gegebenen Vektor möglichst schnell ansehen können, ob er in dem Erzeugnis liegt, und welches dann seine Koordinaten bezüglich der von Ihnen gewählten Basis sind! Untersuchen Sie die beiden Vektoren auf den rechten Seiten in den Originalgleichungen in dieser Hinsicht! A2: Finden Sie eine Basis des R 3, deren erste beiden Vektoren (1, 2, 3) und (3, 2, 1) sind. A3: Betrachten Sie den Unterraum, der durch die beiden Vektoren aus Aufgabe 2 erzeugt wird. Welche der folgenden Vektoren liegen in diesem Unterraum: (1, 1, 1), (1, 0, 0), (5, 6, 7)? A4: Zeigen Sie, dass zwei Vektoren, die nicht auf einer Geraden liegen, linear unabhängig sind. A5: Betrachten Sie die Gleichungssysteme aus Aufgabe 2 in Aufgabenblatt 1. Welche Dimension hat der Unterraum aller Lösungen des Systems, das entsteht, wenn Sie die rechte Seite gleich 0 setzen? Geben Sie eine Basis dieses Unterraums an. Der Vektor ( 2, 1, 4, 1, 1, 0) ist eine Lösung des Systems. Geben Sie eine Darstellung dieses Vektors als Linearkombination der Basiselemente. A6: Die beiden Vektoren (2, 2) und (3, 2) bilden eine Basis des R 2 (warum?). Mit welcher Matrix rechnen Sie für einen gegebenen Vektor die Koordinaten bezüglich dieser Basis aus? Welche Koordinaten haben die Vektoren (8, 2) und (1, 6) bezüglich der neuen Basis? Welche Vektoren haben bezüglich der neuen Basis die Koordinaten (1, 1) und ( 1, 2)? Überprüfen Sie ihre Rechnungen an einer Zeichnung! A7: Gegeben sei folgende Basis des R 3 : , 1, (a) Welche Koordinaten besitzt der Vektor (4, 3, 2) bezüglich dieser Basis? (b) Welcher Vektor hat bezüglich der neuen Basis den Koordinatenvektor (1, 2, 3)?

23 Aufgabenblatt 12 S. 1 SS08 A1: Geben Sie eine Matrix an, die bei jedem 3-Vektor die erste und dritte Komponente vertauscht (Multiplikation Matrix mal Vektor soll den Vektor mit den vertauschten Komponenten ergeben). A2: Zeigen Sie, dass ein affiner Unterraum genau dann ein linearer Unterraum ist, wenn er die Null enthält. Zeigen Sie darauf aufbauend, dass ein affiner Unterraum U + x genau dann linearer Unterraum ist, wenn x U gilt. A3: Es sei U der von den Vektoren (1, 2, 3) und (1, 1, 1) erzeugte Unterraum. Liegt der Vektor (1, 1, 2) in U + (1, 0, 0)? A4: Jemand berichtet über drei Variablen X, Y und Z, dass die Korrelationen von X mit Y bzw. Z gleich.8 und.7 sind, während Y und Z unkorreliert sind. Warum kann das nicht stimmen? Zwischen welchen Werten muss vielmehr die Korrelation zwischen Y und Z liegen, wenn die beiden anderen Angaben korrekt sind? A5: Für zwei Variablen findet man in einer Stichprobe den Zentroid (2, 4) und die folgende Kovarianzmatrix: ( ) Wo liegen alle Ergebnisvektoren dieser Stichprobe? (Beachten Sie den Rang!) A6: Ein faktorenanalytisches Modell mit zwei unkorrelierten Faktoren und 5 beobachtbaren Variablen x i sei gegeben durch die Ladungsmatrix a) Repräsentieren Sie die Faktoren und die reduzierten Variablen ˆx i in einem geeigneten Koordinatensystem b) Berechnen Sie die Kommunalitäten und verifizieren Sie die Beziehung zwischen Kommunalitäten und Länge der die reduzierten Variablen repräsentierenden Vektoren! c) Berechnen Sie die Korrelation zwischen ˆx 1 und ˆx 2 und verifizieren Sie den Zusammenhang zwischen Winkel und Korrelation!

24 Aufgabenblatt 12 S. 2 SS08 d) Jemand schlägt vor, zur besseren Interpretierbarkeit die Faktoren durch geeignete Linearkombinationen zu ersetzen. Er will die Matrix G = (.6 ) benutzen. Sind die neuen Faktoren unkorreliert? Wie sieht die neue Ladungsmatrix aus? Zeichnen Sie die neuen Faktoren in das Koordinatensystem ein und verifizieren Sie, dass die neuen Ladungen gleich den Koordinaten der zu den ˆx i gehörenden Punkte in dem neuen Koordinatensystem sind. e) Jemand anderes ist mit diesem Vorschlag nicht zufrieden und schlägt für G die folgende Matrix vor: ( ) Sind diese neuen Faktoren unkorreliert? Repräsentieren Sie die Situation in einer neuen Zeichnung und prüfen Sie die Beziehung zwischen Winkel und Korrelation bei den neuen Faktoren nach! Berechnen Sie auch wieder die neue Ladungsmatrix und untersuchen Sie auch hier den Zusammenhang zwischen Ladungen und Koordinaten. f) Stellen Sie sich vor, dass das Modell um weitere beobachtbare Variablen erweitert wird. Kann es sein, dass solche Variablen auf dem ersten neuen Faktor (aus dem letzten Aufgabenteil) eine positive Ladung haben, mit ihm aber negativ korrelieren? Wo würden im Koordinatensystem Punkte liegen, die solche Variablen repräsentieren? g) Kann es sein, dass weitere beobachtbare Variablen in dem System der neuen Faktoren beispielsweise auf dem ersten Faktor eine Ladung besitzen, die größer als 1 ist? Wenn ja, wo liegen die Punkte, die solche Variablen repräsentieren? Wie groß kann eine solche Ladung maximal werden? h) Vielleicht gefallen Ihnen beide Rotationsvorschläge nicht. Schlagen Sie selbst auf der Basis der Zeichnung eine nicht orthogonale Rotation vor, die gute Interpretierbarkeit verspricht, was die Ladungen angeht. Geben Sie die zugehörige Matrix G an. Wie hoch ist die Korrelation zwischen Ihren neuen Faktoren? Wie sieht die neue Ladungsmatrix aus (ermitteln Sie die Ladungen als Koordinaten und wenn es geht auch durch Rechnung; geben Sie zumindest den Rechenweg an)?

25 Aufgabenblatt 12 S. 3 SS08 A7: Bisweilen hört man die Ansicht, die Anzahl der Faktoren bei einer Faktorenanalyse würde angeben, in wieviele Gruppen man die Variablen aufteilen kann; eine Lösung mit 2 Faktoren würde also beispielsweise bedeuten, dass man die Variablen in zwei Gruppen unterteilen kann. Naheliegenderweise sei diese Aussage so interpretiert, dass sich zwei Gruppen von Variablen ergeben sollen dergestalt, dass die Variablen innerhalb einer Gruppe untereinander sehr ähnlich sind, was man mit hoher Korrelation übersetzt, während sich Variablen aus verschiedenen Gruppen unähnlich sind (niedrige Korrelation). Zeigen Sie an geeigneten graphischen Darstellungen, dass diese Meinung nicht haltbar ist.

26 Aufgabenblatt 13 S. 1 SS08 A1: a) Zeichnen Sie ein Koordinatensystem, in das Sie die Vektoren (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (0, 1) und ( 1, 1) eintragen; markieren Sie dabei nur die Vektorspitzen. Betrachten Sie nun die lineare Abbildung ( ) Tragen Sie in einem zweiten Koordinatensystem die Bilder der genannten Vektoren unter dieser linearen Abbildung ein. Vergleichen Sie! Machen Sie sich die Wirkung der linearen Abbildung klar, indem Sie einige Punkte im ersten Koordinatensystem durch Linien verbinden und dann auch die entsprechenden Punkte im zweiten Koordinatensystem. Was ändert sich, was bleibt gleich? b) Tun Sie dasselbe für die lineare Abbildung ( ) 1 1, 2 2 diesmal jedoch mit den Punkten (1, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 2), (0, 1) und ( 1, 1). Zeichnen Sie diesmal aber keine Linien ein, sondern markieren Sie jeweils die Punkte, die ein gemeinsames Bild haben, und ihr Bild mit einem eigenen Symbol. Was fällt auf? c) Bestimmen Sie Kern und Bild dieser beiden Abbildungen! Zeichnen Sie Kern und Bild aus Teil b in Koordinatensysteme ein und setzen Sie diese Zeichnungen mit denen aus Teil b in Beziehung. A2: Wie groß sind die Dimensionen von Kern und Bild der folgenden linearen Abbildung? Geben Sie diese Unterräume mit Hilfe jeweils einer Basis an! ( 1 1 ) A3: Im R 3 sei ein Unterraum V durch die Basis (1, 1, 0), (1, 1, 1) gegeben. (a) Finden Sie den Punkt von V, der von (2, 4, 6) kleinsten Abstand hat; geben Sie dabei auch die Normalengleichungen an. (b) Bestimmen Sie die Abbildung, die für einen beliebigen Vektor x die Koordinaten des auf V projizierten Punktes liefert. (c) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion auf V. (d) Bestimmen Sie das orthogonale Komplement von V, geben Sie davon eine Orthonormalbasis an.

27 Aufgabenblatt 13 S. 2 SS08 (e) Zerlegen Sie (2, 4, 6) in eine Summe aus einem Vektor aus V und einem Vektor, der senkrecht zu V ist. A4: Orthonormalisieren Sie die Basis des Unterraums V aus Aufgabe 3. Wiederholen Sie dies, wobei Sie die Reihenfolge der gegebenen Basisvektoren vertauschen. A5: Geben Sie eine Matrix T an, die die Eigenschaft hat, dass die Multiplikation Tx mit einem Vektor x zu dem Ergebnis (x 5, x 3, x 2, x 4, x 1 ) führt, dass die Multiplikation also gerade eine Umordnung der Komponenten von x bewirkt. A6: Gegeben sei die folgende Matrix A: (a) Bestimmen Sie den Rang dieser Matrix! (b) Bestimmen Sie die Inverse der Matrix und die Inverse der Transponierten! (c) Berechnen Sie die Spur der Matrix! (d) Berechnen Sie die Determinante der Matrix und ihrer Inversen! A7: Prüfen Sie zeichnerisch nach, ob die Determinante der Matrix ( 2 ) der Flächeninhalt des von ihren Spaltenvektoren aufgespannten Parallelogramms ist! A8: Gelegentlich ist eine Formel für die Determinante einer (3 3)-Matrix nützlich. Die Determinante von a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ist a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a 21,

28 Aufgabenblatt 13 S. 3 SS08 was man sich leicht so merken kann: Man fügt die beiden ersten Zeilen nochmal unten an die Matrix an mit dem Ergebnis a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 und bildet nun alle Produkte von Elementen auf den schrägen Linien, wobei die Produkte auf Linien von links oben nach rechts unten mit einem Pluszeichen und die auf Linien von rechts oben nach links unten mit einem Minuszeichen versehen werden. Zeigen Sie die Richtigkeit der Formel.

29 Aufgabenblatt 14 S. 1 SS08 A1: Gegeben ist im folgenden stets eine Matrix A. Bestimmen Sie jeweils für die Matrix alle Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenräume. Prüfen Sie dabei auch die Zusammenhänge zwischen Eigenwerten auf der einen sowie Determinante und Spur auf der anderen Seite nach. ( ), ( ), ( Geben Sie bei der symmetrischen Matrix auch eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren an und finden Sie eine Matrix G, wie sie in der zweiten Alternativformulierung des Spektralsatzes beschrieben ist! A2: Welche der folgenden Matrizen sind positiv semidefinit, welche sind positiv definit? Es ist nützlich, wenn Sie sich klarmachen, dass man diese Fragen auf mehrere Arten beantworten kann - welches ist die ökonomischste? ). ( ) 1 2, 2 4 ( ) 1 2, 2 1 ( ) A3: Gegebem seien die beiden Matrizen ( ) A =, B = Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren von BA. Verwenden Sie dazu eine passende Feststellung, die diese Frage mit der entsprechenden bezüglich AB in Beziehung setzt. A4: Machen Sie sich zur Vereinfachung der Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer (2 2)-Matrix A die folgenden Sachverhalte klar: a) Ist s die Spur von A und d die Determinante, so lautet das charakteristische Polynom λ 2 sλ + d. b) Die Eigenwerte sind folglich s/2 ± s 2 /4 d. c) Sind die Eigenwerte λ i auf diese Weise bestimmt, so erhält man (meist) zugehörige Eigenvektoren aus der ersten Zeile (a 11, a 12 ) von A in der Form (a 12, λ i a 11 ) (der Ausnahmefall ist der, dass dies der Nullvektor ist; dann kann man sich jedoch oft in ähnlicher Weise mit der zweiten Zeile weiterhelfen wie?). d) Überprüfen Sie die Vorgehensweise an den Matrizen von Aufgabe 1. Bei der dritten Matrix müssen Sie die zweite Zeile benutzen.

30 Aufgabenblatt 14 S. 2 SS08 A5: Zeigen Sie, dass die Determinante einer Kovarianzmatrix sich nicht ändert, wenn man die Variablen in eine andere Reihenfolge bringt. Berücksichtigen Sie dazu, dass das Umsortieren durch eine geeignete lineare Abbildung T bewerkstelligt werden kann (vgl. Aufgabe 5 in Aufgabenblatt 13), bestimmen Sie TT, und nutzen Sie schließlich die multiplikative Eigenschaft der Determinante aus, nachdem Sie die Kovarianzmatrix der umgeordneten Variablen mit Hilfe der ursprünglichen Kovarianzmatrix und der Matrix T ausgedrückt haben. A6: Es geht hier um Aussagen, die man auf der Basis der Determinante D einer Korrelationsmatrix von p Variablen treffen kann, für die D 0 gelten soll. Begründen Sie wenn möglich die Aussagen in den Teilen a) und b) (hier können Sie das Ergebnis von Aufgabe 5 brauchen) und benutzen Sie dann diese Aussagen für die restlichen Aufgabenteile. Mit den Determinationskoeffizienten sind die gemeint, die sich bei den Regressionen jeweils einer Variablen auf alle übrigen ergeben. a) Alle Determinationskoeffizienten sind 1 D. b) Mindestens ein Determinationskoeffizient ist 1 D 1/(p 1) c) Zusammengenommen heißt dies, dass der maximale Determinationskoeffizient zwischen 1 D 1/(p 1) und 1 D liegt. d) Was können Sie über den maximalen Determinationskoeffizienten sagen, wenn die Determinante der Korrelationsmatrix von 5 Variablen gleich.1 ist? e) Was können Sie über den maximalen Determinationskoeffizienten sagen, wenn die Determinante einer Korrelationsmatrix von 5 Variablen gleich.9 ist? f) Vier Variablen haben die Varianzen 5, 3, 8 und 2. Die Determinante ihrer Kovarianzmatrix ist 12. Können Sie auch in diesem Fall eine Aussage über den maximalen Determinationskoeffizienten treffen? A7: Zeigen Sie, dass im Falle der multivariaten multiplen Regression die Zahl Spur(Sŷ) Spur(S y ), die als der durch die Prädiktoren aufgeklärte Varianzanteil im multivariaten Sinn zu interpretieren ist, ein gewichtetes Mittel der univariat bei den einzelnen y i aufgeklärten Varianzanteile ist. Welches sind die Gewichte?

31 Aufgabenblatt 15 S. 1 SS08 A1: An fünf Personen werden je zwei Variablen erhoben. Man erhält folgende Datenmatrix X: a) Berechnen Sie den Mittelwertsvektor x und die Kovarianzmatrix S! b) Veranschaulichen Sie die Daten in einem Koordinatensystem und zeichnen Sie die Ellipse ein, die die Punktwolke charakterisiert (r 2 = 1)! c) Was können Sie theoretisch über den Anteil der Punkte sagen, die die um den Faktor 2 vergrößerte Ellipse enthält? Wie groß ist dieser Anteil tatsächlich? d) Es wird die standardisierte Linearkombination y = 0.8x x 2 gebildet. Berechnen Sie Mittelwert und Streuung dieser SLK und verdeutlichen Sie sich die im Skript beschriebenen Sachverhalte (Stichwort Projektion) anhand Ihrer Zeichnung! A2: Ein Intelligenztest besteht aus drei Untertests, von denen die ersten beiden die verbale und der letzte die räumliche Intelligenz messen. Diese Werte seien zu einem Vektor x zusammengefasst. Zur weiteren Auswertung werden aus den drei Kennwerten zwei neue gebildet, einerseits die Summe der drei Testwerte, von der noch 5 abgezogen wird, und andererseits die Differenz aus der Summe der ersten beiden Tests und dem doppelten dritten. Die neuen Werte sollen zu einem Vektor y zusammengefasst werden. a) Geben Sie zunächst die affine Transformation an, mit der y aus x berechnet wird. b) Nun werden 200 Messwerte erhoben, die in der Variable x zu einem Zentroid x = (1, 2, 3) und einer Kovarianzmatrix S x = Berechnen Sie Zentroid ȳ und Kovarianzmatrix S y von y. c) Zeichnen Sie die Ellipse, die die Verteilung von y charakterisiert. Ist diese Ellipse das Bild des die Verteilung von x charakterisierenden Ellipsoids?

32 Aufgabenblatt 15 S. 2 SS08 d) Zeichnen Sie auch das Intervall, das die Verteilung von y 2 charakterisiert; ist dieses Intervall das Bild der Ellipse unter der entsprechenden Abbildung (nämlich unter welcher)? e) Um das Wievielfache muss die Ellipse vergrößert werden, um mindestens 100 Datenpunkte der y-variablen zu enthalten? f) Um das Wievielfache muss das dreidimensionale Ellipsoid vergrößert werden, um mindestens 100 Datenpunkte der x-variablen zu enthalten? g) Um das Wievielfache muss das Intervall vergrößert werden, um mindestens 100 Datenpunkte der y 2 -Variable zu enthalten? h) Ist das Intervall, das mindestens 100 der y 2 -Werte enthält, das Bild der entsprechenden zweidimensionalen Ellipse? Wenn nein, welche der beiden Mengen ist größer? Können Sie eine Erklärung geben? i) Wie steht es entsprechend mit die Ellipse, die mindestens 100 der y- Daten enthält und dem Bild des dreidimensionalen Ellipsoids? A3: Welche inhaltliche Bedeutung hat bei der Faktorenanalyse die Spur der reduzierten Korrelationsmatrix? A4: Benutzen Sie die Vektorrepräsentation, um die folgenden Aufgaben zur multiplen Regression zu bearbeiten: (a) Wann sind bei einer multiplen Regression mit zwei Prädiktoren die Regressionsgewichte nicht eindeutig? (b) Zum Vergleich multiple Regression einfache Regression: Konstruieren Sie sich Beispiele mit zwei Prädiktoren, bei denen das Regressionsgewicht einer Variablen bei der einfachen Regression ein anderes Vorzeichen hat als bei der multiplen, oder bei der einfachen gleich Null und bei der multiplen von Null verschieden ist etc. (Es genügen grobe Beschreibungen als Antwort.) (c) Wie sehen Beispiele aus, bei denen die Determinationskoeffizienten bei den einfachen Regressionen sehr klein sind, während der bei der multiplen Regression nahe bei 1 liegt? (d) Informieren Sie sich über den Begriff der Suppressorvariablen. Veranschaulichen Sie sich die auf den ersten Blick überraschenden Phänomene und machen Sie sich klar, dass daran von dem geometrischen Gesichtspunkt aus nichts Ungewöhnliches zu finden ist. Entmystifizieren Sie also auf diese Weise den Suppressorbegriff.