Lehrplan PAM-Mathematik

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1 Kantonale Mittelschule URI Lehrplan PAM-Mathematik Genehmigt vom Mittelschulrat am 23. Mai 2013, gültig ab dem Schuljahr 2013/2014 Das Fach Mathematik wird als Grundlagenfach (GL) und Schwerpunktfach, Physik und Anwendungen der Mathematik (PAM), unterrichtet. Die Richtziele gelten gemäss Rahmenlehrplan EDK/Mathematik. Der Lehrplan füllt ca. 90% der zur Verfügung stehenden Unterrichtszeit. In der verbleibenden Zeit kann die Lehrkraft eigene Schwerpunkte setzen. In[Klammern] gesetzte Themen sind optional. Sie können zur Vertiefung eingesetzt werden. Mit( ) gekennzeichnete Themen sind Elemente aus dem Grundlagenfach. Sie sind zwecks der besseren Abstimmung mit dem Fach PAM-Physik vorgezogen. Aufteilung der Lektionen Klasse GL PAM Stand: 5. Mai 2013 Seite 1/11

2 Schwerpunktfach Mathematik/4. Klasse Schwerpunktfach Mathematik Grobziele 4. Klasse 1. Algebra Der Schüler, die Schülerin ist fähig, Ungleichungen und Ungleichungssysteme aufzustellen, zu lösen und auf Sachaufgaben in Arithmetik und Geometrie anzuwenden. Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen lösen Grafische Lösungen Diskussion von Sonderfällen, z.b.: ganzzahlige oder mehrdeutige Lösungen Lineare Optimierung WIRTSCHAFT: Ertrag Einsatz Tabellenkalkulation Begriffe: Ungleichungssystem, Halbebene, Zielfunktion, Nichtnegativitätsbedingung 2. Analysis (a) Folgen und Reihen( ) Der Schüler, die Schülerin ist fähig, spezielle Abfolgen von Zahlen zu erkennen und sie zu summieren. Arithmetische Folgen und geometrische Folgen Geometrische Reihe Grenzwert, Limesbegriff Summenzeichen Σ, Rechenregeln [Harmonische Reihe] a n = a 1 +(n 1) d a n = a 1 q n 1 a n = a 1, q < 1 1 q n=1 Schreibweise: lim n a n = a a n afür n Begriffe: Folge, Reihe, Summenzeichen, Limes, Konvergenz, rekursive und explizite Darstellung Stand: 5. Mai 2013 Seite 2/11

3 Schwerpunktfach Mathematik/4. Klasse (b) Differenzialrechnung ( ) Der Schüler, die Schülerin ist fähig, Grundfunktionen abzuleiten und den Kurvenverlauf zu diskutieren. Ableitungsbegriff und seine Bedeutungen wie Änderungsrate, Tangentensteigung. Ableitung durch Ausführen des Grenzwertprozesses für folgende Funktionen: x ax n (n N), 1 ax+b, ax+b Polynom, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion Tangenten- und Normalengleichung Produktregel Quotientenregel Kettenregel Kurvendiskussion mit Polynomen Polynomdivision Bezeichnungen:y := dy dy, ẏ := dx dt PHYSIK Geschwindigkeit y y = lim x 0 x p(x), sin(x), cos(x), e x,ln(x) y = tan(x) = sin(x) cos(x) Extrempunkte, Sattelpunkte, Symmetrie, Wendepunkte, Nullstellen HORNER-Schema, Faktorisieren von Polynomen, Fundamentalsatz der Algebra Begriffe: Differenzenquotient, Steigung einer Kurve, Ableitung, Sekante, Tangente, Normale, Polynom, notwendige und hinreichende Bedingung, Produkt-, Quotienten-, Kettenregel, Faktorisieren (c) Integralrechnung ( ) Der Schüler, die Schülerin kennt den Integralbegriff in seinen verschiedenen Erscheinungsformen und kann ihn anwenden. Berechnung eines bestimmten Integrals durch Ausführen des Grenzwertprozesses für einfache Potenzfunktionen Stammfunktion und unbestimmtes Integral z.b.:y = ax 2 Stand: 5. Mai 2013 Seite 3/11

4 Schwerpunktfach Mathematik/4. Klasse Integralbegriff Flächen- und Volumenberechnungen Integration von Polynomen Partielle Integration Substitution [Partialbruchzerlegung] Unbestimmtes und bestimmtes Integral, Parameterintegral (Flächeninhaltsfunktion) Berechnung einfacher Rotationskörper wie Kegel, Kugel, etc.[und der Pyramide] b a f(u(x))u (x)dx = u(b) u(a) f(z)dz Begriffe: Bestimmtes und unbestimmtes Integral, Stammfunktion, Parameterintegral, Substitution, partielle Integration (d) [Vollständige Induktion] Der Schüler, die Schülerin kennt das Beweisverfahren der vollständigen Induktion und kann es anwenden. Beweisführung Begriffe: Verankerung, Induktionsschritt 3. Trigonometrie Die Schülerin, der Schüler kennt die Winkelfunktionen und benutzt sie zu Berechnungen im allgemeinen Dreieck. Sinus- und Cosinussatz Additionstheoreme Diskussion von y = a sin(bx+c) Trigonometrische Gleichungen Darstellung in Polarkoordinaten exemplarisch herleiten PHYSIK: Schwingungen Begriffe: Periodizität, Bogenmass, Polarkoordinaten Stand: 5. Mai 2013 Seite 4/11

5 Schwerpunktfach Mathematik/4. Klasse 4. [Numerik,Algorithmik] Der Schüler, die Schülerin kann Informatikhilfsmittel zur Lösung mathematischer Probleme aus der Algebra einsetzen. Iterative Lösung von Gleichungen NEWTON Verfahren Rekursive Berechnung von Fakultäten, HERONsche Wurzelberechnung, FIBONACCI-Zahlen Begriffe: Rekursion, Iteration Stand: 5. Mai 2013 Seite 5/11

6 Schwerpunktfach Mathematik/5. Klasse Grobziele 5. Klasse 1. Analysis (a) Differenzialrechnung ( ) Der Schüler, die Schülerin kennt die Ableitungsregeln und kann sie anwenden. Kurvendiskussion Exponential-, Logarithmusfunktion Extremalaufgaben Partielle Ableitung Einfache, gebrochenrationale Funktionen, [schiefe Asymptote] y = e αx,y = ln(x) Geometrische Interpretation PHYSIK: Ungenauigkeit von Messergebnissen Begriffe: Pol, Asymptote, partielles Differenzial, Symmetrie (b) Differenzialgleichungen Der Schüler, die Schülerin kennt den Begriff der Differenzialgleichung und kann ihn zur Beschreibung einfacher dynamischer Vorgänge anwenden. Natürliche Wachstums- und Zerfallsprozesse Charakterisierung von Differenzialgleichungen Separierbare Differenzialgleichungen max. 2. Ordnung Homogene und inhomogene Differenzialgleichungen Heuristischer Lösungsansatz [Charakteristisches Polynom] Numerische Lösung y = ky PHYSIK: Radioaktivität, Laden und Entladen eines Kondensators BIOLOGIE: Bakterienwachstum Ordnung, Homogenität, etc. Allgemeine und spezielle Lösung, Anfangs- und Randwertprobleme EULER Verfahren, Tabellenkalkulation, [RUNGE-KUTTA Verfahren] Stand: 5. Mai 2013 Seite 6/11

7 Schwerpunktfach Mathematik/5. Klasse Begriffe: Differenzialgleichung, Separation, Homogenität, Anfangs- und Randwertproblem, heuristisch (c) Komplexe Zahlen Der Schüler, die Schülerin erkennt die komplexen Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen und kann sie anwenden. Rechtwinklige Form Polarform Grundoperationen Potenzieren, Radizieren Geometrische Deutung der Operationen in der GAUSSschen Zahlenebene Gleichungen im Bereich der komplexen Zahlen C EULERscheFormel a+ib r (cos(ϕ)+i sin(ϕ)) PHYSIK: Impedanz Spule und Kondensator Spezielle Kreisteilungsgleichung und quadratische Gleichungen e iϕ = cos(ϕ)+i sin(ϕ) Begriffe: imaginäre Einheit i, konjugiert komplexe Zahl, rechtwinklige Form, Polarform (d) Integralrechnung ( ) Der Schüler, die Schülerin kennt den Integralbegriff in seinen verschiedenen Erscheinungsformen und kann ihn anwenden. Erweiterung der Integralrechnung anhand von Flächen- und Volumenberechnungen Berechnung von Rotationskörpern (e) [TAYLORPolynom] Der Schüler, die Schülerin kann Funktionen durch Polynome approximieren. TAYLOR-Entwicklung Linearisierung, Ungenauigkeit Begriffe: Approximation Stand: 5. Mai 2013 Seite 7/11

8 Schwerpunktfach Mathematik/5. Klasse 2. Stochastik ( ) Der Schüler, die Schülerin kennt verschiedene Verteilungen der Statistik und kann sie anwenden. Zufallsvariable Erwartungswert, Streuung, Varianz Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Normalverteilung Lineare und nichtlineare Regression BERNOULLI-Experiment, Urnenmodell, Ziehen mit Zurücklegen Ziehen ohne Zurücklegen PHYSIK: Auswertung von Versuchen, Bedeutung des Korrelationskoeffizenten, nichtlineare Regression auf lineare rückführbar Begriffe: Grundgesamtheit, Stichprobe, Zufallsvariable, Erwartungswert, Streuung, Varianz, Regression 3. [Numerik,Algorithmik] Der Schüler, die Schülerin kann Informatikhilfsmittel zur Lösung mathematischer Probleme aus der Analysis und Statistik einsetzen. Probleme aus der Analysis numerisch lösen Numerische Integration mittels der Trapezregel Differenzialgleichungen Anwendung auf die GAUSS- Dichtefunktion Begriffe: Iteration Stand: 5. Mai 2013 Seite 8/11

9 Schwerpunktfach Mathematik/6. Klasse Grobziele 6. Klasse 1. Algebra Der Schüler, die Schülerin kennt den Matrizenbegriff und kann ihn auf Gleichungssysteme anwenden. Lineare Gleichungssysteme Grundoperationen mit Matrizen [Eigenvektoren] [Abbildungen] [Stochastische Prozesse] Koeffizientenmatrix, Determinante (max. 3x3), Rang und Lösbarkeit (CRAMER Regel), inverse Matrix (max. 3x3), transponierte Matrix charakteristisches Polynom, Eigenwert Drehung, Spiegelung MARKOV-Ketten Begriffe: Matrix, Determinante, Rang, inverse und transponierte Matrix. Eigenvektor, Eigenwert, MARKOV-Ketten 2. Analysis Integralrechnung Der Schüler, die Schülerin kann die Integralrechnung auf ausgewählte Probleme anwenden. Volumen von Rotationskörpern Parameterdarstellung [Bogenlänge] Rotation um die y-achse Polarkoordinaten Begriffe: Rotationskörper, Parameterdarstellung, Polarkoordinaten, Bogenlänge Stand: 5. Mai 2013 Seite 9/11

10 Schwerpunktfach Mathematik/6. Klasse 3. Vektorgeometrie Der Schüler, die Schülerin kann die Vektorrechnung auf ausgewählte Probleme anwenden. Abstandsprobleme [Spatprodukt] [Kreis-, Kugelgleichung] [Parametergleichung der Ebene] HESSEsche Normalform V a, b, c = ( a b) c, Determinante Begriffe: Spatprodukt, Determinante, Parametergleichung 4. Stochastik Der Schüler, die Schülerin kann ausgewählte Aufgabenstellungen mittels der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandeln. Abhängige und unabhängige Ereignisse. Anwendung der Verteilungen in der Statistik Bedingte Wahrscheinlichkeit, Pfadregeln, totale Wahrscheinlichkeit Testen von Hypothesen (Signifikanztest), Vertrauensintervall, Signifikanzniveau, Fehler1.und 2. Art PHYSIK: Ungenauigkeit beim Messen Begriffe: Vertrauensintervall, Signifikanzniveau, Satz von BAYES 5. [Numerik,Algorithmik] Der Schüler, die Schülerin kann Informatikhilfsmittel zur Lösung mathematischer Probleme aus der Analysis und Stochastik einsetzen. Simulation, bzw. Modellbildung stochastischer Vorgänge Differenzialgleichungen Arbeit mit PC Analysis 5. Kl. PAM Begriffe: Iteration Stand: 5. Mai 2013 Seite 10/11

11 Schwerpunktfach Mathematik/6. Klasse 6. Praktikum Selbstständiges Erarbeiten eines grösseren Themas Aneignen einer geeigneten Experimentiertechnik Verfassen eines logischen und folgerichtigen Berichts Interdisziplinäre Arbeit mit PHYSIK Begriffe: Messen, Ungenauigkeit, Auswertung 7. Repetition Wiederholung ausgewählter Kapitel Vernetzte Aufgaben lösen Stand: 5. Mai 2013 Seite 11/11