OBERFLÄCHE UND VOLUMEN VON KÖRPERN*
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- Hansl Gerber
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1 OBERFLÄCHE UND VOLUMEN VON KÖRPERN* In dieser Phase des Unterrichts lernst Du, mit dem Volumen und der Oberfläche von Körpern wie Prismen, Pyramiden, Kegeln, Zylindern und Kugeln umzugeben. Die Aufgabenkarten findest Du am Pult, ebenso die Lösungs- und teilweise auch Hilfekarten. Für die Studientage, kannst Du Karten mit nachhause nehmen oder auf meiner Seite herunterladen. Die Lösungskarten verbleiben bitte immer am Pult, so dass die Aufgaben auch dort kontrolliert werden. Wer seine SOMI-Note verbessern möchte (oder auch einfach so), kann Aufgaben vorrechnen. Zu jedem der Körper (1) bis (4) müssen jeweils mindestens drei Aufgaben, zur Kugel mindestens zwei erledigt werden. Mindestens eine davon sollte immer den Schwierigkeitsgrad xxx haben. Die Aufgaben werden zunächst in Einzel- und Partnerarbeit absolviert. Trage in den folgenden Tabellen ein, welche Aufgaben du gelöst hast. (1) Volumen Prisma 15 Karteikarten (2) Volumen Zylinder 18 Karteikarten (3) Volumen Pyramide 10 Karteikarten (4) Volumen Kegel 10 Karteikarten (5) Volumen Kugel 5 Karteikarten Name (1) Volumen Prisma Nr. Schwierigkeit Thema bearbeitet am 1 x Trapez- und Dreiecksprisma 2 xx Metallschiene 3 x Prismen 4 xx Petras Milchmädchenrechnung 5 xxx Alteisen 6 x Planierraupe 7 xxx Container 8 xxx Treppe 9 xxx Säulen 10 xxx Durchbohrter Würfel 11 xx Tabelle 12 xxx Haus 13 xxx Der Zimmermann 14 xxx Formeln 15 xx Formelsalat * aus einer Examensarbeit von Ulrike Brasseler
2 10 Üben x Volumen Prisma 1 Trapez- und Dreiecksprisma Berechne das Volumen (Maße in cm)! 10 Lösung x Volumen Prisma 1 a) G = 99 cm² V = 2475 cm² b) G = 60 cm² V = 1080 cm²
3 10 Üben xx Volumen Prisma 2 Metallschiene a) Berechne den Rauminhalt der Metallschiene. g b) Die Dichte des Metalls beträgt 7,8 3 cm. Berechne das Gewicht. 10 Lösung xx Volumen Prisma 2 a) V : 5500 cm³ b) Gewicht: g = 42,9 kg
4 10 Üben x Volumen Prisma 3 Prismen Berechne das Volumen der abgebildeten Körper (Maße in cm)! 10 Lösung x Volumen Prisma 3 a) V = 57, 6 cm³ b) V = 40,8 cm³
5 Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 10 Üben xx Volumen Prisma 4 Petras Milchmädchenrechnung Petra aus Sankt Augustin wollte ihre Mathematik-Künste praktisch ausprobieren. Sie nahm ein Lineal und eine Milchpackung zur Hand und begann zu schreiben: a = 9,6 cm b = 16,6 cm c = 6,2 cm 1. Rechne nach: Ergibt sich ein Liter Milch? 2. Petra öffnete die Packung und staunte noch mehr. Die Milchpackung war noch nicht einmal bis oben gefüllt, die Milch stand einen Zentimeter unter dem Rand... Ihre Familie braucht jede Woche zehn Packungen Milch. 3. Erste Fehlerquelle: Petra hat z. B. immer 1 mm zu wenig gemessen. Was käme dann bei den Außenabmessungen heraus? 4. Überlege weitere Fehler. aus: Stiftung Warentest 4/81 Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 10 Lösung xx Volumen 4 1. V = a b c V = 9,6 cm 16,6 cm 6,2 cm = 988,032 cm 3 0,988 l 2: V = 9,6 cm 15,6 cm 6,2 cm 928,5 cm³ Wenn in all diesen Packungen so wenig drin ist, wundert sich Petra, geht uns fast ein Dreiviertelliter verloren (715 cm³). 3. V = 9,7 cm 16,7 cm 6,3 cm = 1020,537 cm 3 1,02 l 4. Ist das erlaubt? wollte Petra von der STIFTUNG WARENTEST wissen. Petra hatte bei ihrer Rechnung einen kleinen Denkfehler gemacht. Sie hatte übersehen, dass Milch nicht in einem starren, sondern in einem dehnbaren Behälter verkauft wird. Man kann den Inhalt nicht allein nach den Außenmaßen berechnen, denn die elastische Packung verändert sich ganz leicht. Nur ein Millimeter mehr für die Linie c würde bedeuten, dass mehr als ein Liter Milch in der Packung sein kann. Die Milch wird außerdem nicht in der Packung abgemessen, sondern schon vor dem Einfüllen in der Milch-Abfüll-Maschine. In der Fertigpackungsverordnung ist ganz genau festgehalten, wie genau fertig verpackte Waren gemessen und gewogen sein müssen. Eine Meierei zum Beispiel muss für 50 Einliter-Packungen Milch wirklich 50 Liter abfüllen, ganz gleich, ob in einer Packung zehn Millimeter mehr oder weniger drin sind. So hat der Kunde einmal etwas weniger und ein anderes Mal etwas mehr, und der Verlust gleicht sich wieder aus.
6 10 Üben xxx Volumen Prisma 5 Alteisen Beim Abriss eines alten Schuppens sind mehrere T-Träger aus Eisen übrig geblieben. Jan, Willi und Hannelore überlegen, was man beim Schrotthandel dafür bekommen wird. Den Preis für 1 kg Alteisen berechnen sie mit 0,10. Die Dichte von Eisen beträgt 7,8 kg pro dm³. 10 Lösung xxx Volumen Prisma 5 G = 63 cm² V = 1,89 dm³ Dichte: 14,74 kg Preis: 1,47
7 10 Üben x Volumen Prisma 6 Planierraupe Die Schaufel einer Planierraupe hat nebenstehende Seitenlänge und ist 3,20 m breit. Wie viel m³ Erde kann die Schaufel laden, wenn sie gestrichen voll ist. 10 Lösung x Volumen Prisma 6 G = 1,18 m² V = 3,77 m³
8 10 Üben xxx Volumen Prisma 7 Container Zur Beseitigung von Bauschutt werden Container benutzt. Von der Seite sieht man diese Fläche: Der Container ist 1,60 m breit. a) Wie viel Kubikmeter Bauschutt fasst der Container, wenn der ganz gefüllt ist? b) Um wie viel m³ verringert sich das Fassungsvermögen, wenn der nur bis zur Höhe von 1,20 m gefüllt wird? 10 Lösung xxx Volumen Prisma 7 a) G = 3,48 m² + 1,97 m² = 5,45 m² V = 8,72 m³ b) Verringerung um 3,152 m³
9 10 HINWEIS xxx Volumen Prisma 7 HINWEISKARTE
10 10 Üben xxx Volumen Prisma 8 Treppe Ein Würfel mit der Kantenlänge 5 cm wird in 2 treppenförmige Prismen zersägt. Berechne: a) das Volumen, b) die Oberfläche der Prismen! 10 Lösung xxx Volumen Prisma 8 a) G 1 = 15 cm² G 2 = 10 cm² V 1 = 75 cm² V 2 = 50 cm² b) O 1 = 130 cm² O 2 = 100 cm²
11 10 Üben xxx Volumen Prisma 9 Säulen Berechne den Rauminhalt der Säulen. 10 Lösung xxx Volumen Prisma 9 a) G = 5² - 3² = 16 V = 16 cm² 30 cm = 480 cm³ b) G 10² = 82 V = 1640 cm³ c) G = 7² - 5² = 24 V = 360 cm³
12 10 Üben xxx Volumen Prisma 10 Durchbohrter Würfel Durch einen Holzwürfel mit der Kantenlänge 6 cm werden von allen Seiten quadratische Löcher mit der Seitenlänge 3 cm herausgefräst. a) Zeichne ein Schrägbild des bearbeiteten Würfels. b) Berechne die Oberflächen des ursprünglichen Würfels und des durchlöcherten Würfels. c) Vergleiche das Volumen der beiden Körper. 10 Lösung xxx Volumen Prisma 10 O 1 = 6 6² cm² = 216 cm² O 2 = 162 cm² cm² = 270 cm² V 1 = 216 cm³ v 2 = 108 cm³
13 10 Üben xx Volumen Prisma 11 Tabelle Volumen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche 10 Lösung xx Volumen Prisma 11
14 10 Üben xx Volumen Prisma 12 Haus 10 Lösung xx Volumen Prisma 12
15 10 Üben xxx Volumen Prisma 13 Der Zimmermann b) berechne das Volumen. Das Haus ist 8 m hoch. 10 Lösung xxx Volumen Prisma 13 a) 1. Berechne die Fläche des "Außen"-Rechtecks. A = a b = (2,90 + 4,15 + 2,60) (2,20 + 4,60) m² = 9,65 6,8 m² = 65,62 m² 2. Ziehe die Flächen 1 bis 4 ab. Fläche 1: A = a b = 2,90 1,10 m² = 3,19 m² Fläche 2: A = g h = 2 2,60 2,20 2 m² = 2,86 m² Fläche 3: A = a b = (4,50 + 1,65) 0,80 m ² = 4,92 m² Fläche 4: A = g h 1,65 1,25 = m² = 1,03125m² 2 2 A ges = 65,62 m² - (3,19 m² + 2,86 m² + 4,92 m² + 1,03125 m²) = 53,61875 m² 53,62 m² b) V = G h = 53,62 8 m = 428,96 m²
16 10 Üben xxx Volumen Prisma 14 Formeln 10 Lösung xxx Volumen Prisma 14
17 10 Üben xx Volumen Prisma 15 Formel-Salat Ordne Namen, Formeln und Abbildungen einander zu. Schreibe sie geordnet ins Heft. 10 Lösung xx Volumen Prisma 15 (2) Volumen Zylinder
18 Nr. Schwierigkeit Thema bearbeitet am 1 xxx Ring 2 xx Konserven 3 xxx Formeln 4 xx Messzylinder 5 xxx Gold-Draht 6 xx Volumengleiche Zylinder 7 xx Zylinder-Tabelle 8 xx Hubraum 9 xxx 1-Liter-Verpackung 10 xx Werkstücke 11 xx Autos 12 xxx Tunnel 13 xx Stein 14 xx Verpackungen 15 xx Getränkedosen 16 xx Dosen 17 xxx Würstchen 18 xx Drehkörper
19 10 Üben xxx Volumen Zylinder 1 Ring Berechne das Volumen und die Größer der Oberfläche des Rings. r a = 27 cm r i = 16 cm h = 12 cm 10 Lösung xxx Volumen Zylinder 1 G a - G i = 2290,22 cm² - 804,25 cm² = 1485,98 cm² V = G h = 17831,76 cm³ O = 2 G + h V a + h V i O 2971,96 cm² ,75 cm² ,37 cm² = 6214,08 cm²
20 10 Üben xx Volumen Zylinder 2 Konserven Auf Konservendosen für Nahrungsmittel ist stets eine genormte Dosengröße angegeben. Überprüfe die Volumenangaben durch Rechnung. Was stellst du fest? 10 Lösung xx Volumen Zylinder 2 a) 849,82 ml b) 575,63 ml c) 417,2 ml d) 423,44 ml e) 313,50 ml f) 205,89 ml Alle Volumenangaben sind aufgerundet worden.
21 10 Üben xxx Volumen Zylinder 3 Formeln Welche Formeln kannst du bei der Berechnung dieses Zylinders benutzen? 10 Lösung xxx Volumen Zylinder 3 G = r² A o = r² U = r 2 U = d M = u h M = r 2 h M = d h V = G h V = r² h
22 10 Üben xx Volumen Zylinder 4 Messzylinder An einem Messzylinder mit dem genormten Innendurchmesser von 86 mm sollen Messstriche angebracht werden. a) Berechne, in welchem Abstand sich die Markierungen für jeweils 50 cm³ befinden müssen. b) In welcher Höhe liegt die Messstrich für 1 Liter? 10 Lösung xx Volumen Zylinder 4 a) gegeben: r = 43 mm = 4,3 cm V = 50 cm³ gesucht: h G = 58,08 cm² h = V = 0,86 cm G Die Messstriche befinden sich in einem Abstand von 0,86 cm. b) gegeben: r = 4,3 cm V = 1 l = 1 dm³ = 1000 cm³ gesucht: h h = 17,2 cm
23 10 Üben xxx Volumen Zylinder 5 Gold-Draht Bei der Herstellung von integrierten Schaltkreisen werden extrem dünne Drähte aus Gold verwendet. Der bisher dünnste Draht hat einen Durchmesser von 0,01 mm. a) Berechne das Volumen des Drahtes bei einer Länge von 1000 km. b) Berechne die Masse von 1000 km Draht (19,1 g/cm³). c) Wie viel m Draht kann man aus 1 cm³ Gold herstellen? Achtung: Maßeinheiten!!! 10 Lösung xxx Volumen Zylinder 5 a) d = 0,01 mm r = 0,005 mm h = 1000 km = mm V = mm³ = ,82 mm³ = 78,53982 cm³ b) Masse = V 19,1 g/cm³ 9 = 78,53982 cm³ 19,1 3 cm = 1500,1 g c) V = 1 cm³ r = 0,005 mm gesucht: h G = 0, mm² h = V G = mm 0, mm 2 = mm = ,396 m
24 10 Üben xx Volumen Zylinder 6 Volumengleiche Zylinder Jeder der abgebildeten Zylinder hat ein Volumen von 144 cm³. Berechne jeweils den Zylinderradius. 10 Lösung xx Volumen Zylinder 6 a) r = 1,12 cm b) r = 2 cm c) r = 4 cm d) r = 6 cm e) r = 12 cm
25 10 Üben xx Volumen Zylinder 7 Zylinder-Tabelle Berechne die fehlenden Angaben des Zylinders. (Angaben in cm, cm², cm³) 10 Lösung xx Volumen Zylinder 7 a) u = 28,9 cm b) u = 84,82 cm c) G = 301,72 cm M = 338,16 cm² G = 572,56 cm² u = 61,58 cm G = 66,48 cm² h = 7,13 cm O = 471,11 cm O = 1750,12 cm² h = V = 310 cm G V = 777,82 cm³ V = 4082,35 cm³ M = 191,14 cm² O = 794,58 cm² d) G = 76,14 cm² e) G = 47,86 cm" f) Tipp: r² = G r = G = 4,92 cm r² = G r = G = 3,9 cm V r r h r M r 2 h 2 u = 30,93 cm u = 24,52 cm r = 3,20 cm M = 312,40 cm² M = 1200,72 cm² G = 32,17 cm² O = 464,69 cm³ O = 1296,44 cm² h = 17,40 cm O = 414,35 cm²
26 10 Üben xx Volumen Zylinder 8 Hubraum Bei Verbrennungsmotoren bewegen sich Kolben in zylinderförmigen Verbrennungskammer auf und ab und geben ihre Bewegung an die Kurbelwelle weiter. Berechne den Hubraum eines vierzylindrigen Pkw-Motors genau, wenn sein Kolbendurchmesser d = 80 mm und der Kolbenhub h = 88 mm betragen 10 Lösung xx Volumen Zylinder 8 r = 40 mm h = 88 mm G = 5026,55 mm² V = ,26 mm³ 442,34 cm³ 4 V = 1796,36 cm³
27 10 Üben xxx Volumen Zylinder 9 1-Liter-Verpackung Ein neues Getränk soll in 1-Liter-Verpackungen auf den Markt gebracht werden. Bestimme die Abmessungen von 3 verschiedenen Verpackungsmöglichkeiten. Nenne Vor- und Nachteile der gewählten Verpackungsformen! Vergleiche den Materialverbrauch! 10 Lösung xxx Volumen Zylinder 9
28 10 Üben xx Volumen Zylinder 10 Werkstücke Berechne den Rauminhalt der Werkstücke. Maße in mm Die Werkstücke werden aus Eisen hergestellt. Berechne ihr Gewicht. g (Eisen: 7,7 3 cm ) 10 Lösung xx Volumen Zylinder 10 a) 160,730 mm³, Gewicht: 1253,85 g b) ,7 mm³, Gewicht: 595,45 g
29 10 Üben xx Volumen Zylinder 11 Autos Der Hubraum eines Motors ist abhängig von der Anzahl der Zylinder, dem Durchmesser des Zylinders (d) und dem Weg des Kolbens Hub k). Berechne den Hubraum für die Autotypen und fülle die Tabelle aus. 10 Lösung xx Volumen Zylinder cm³ 3837 cm³ 602 cm³ 2787 cm³ 2790 cm³
30 10 Üben xxx Volumen Zylinder 12 Tunnel Ein 120 m langer Tunnel soll gebaut werden. a) Wie viel m³ Gestein müssen beim Bau des Tunnels ausgebohrt werden? b) Ein Lastwagen kann durchschnittlich 5 m³ Gestein laden. Wie viele Lastwagen füllt das ausgebohrte Gestein? c) Berechne die im Tunnel zu teerende Fläche. ( Boden!!!) 10 Lösung xxx Volumen Zylinder 12 a) G = 49,13 m² V 5896 m³ b) 1180 Lastwagen c) A = 840 m²
31 10 Üben xx Volumen Zylinder 13 Stein Um das Volumen eines Steines zu bestimmen, legt man ihn in ein zylinderförmiges Messglas mit einem Durchmesser von 12 cm. Wie groß ist das Volumen des Steines? 10 Lösung xx Volumen Zylinder 13 V = 452,39 cm³
32 10 Üben xx Volumen Zylinder 14 Verpackungen Die Abbildungen zeigen eine zylinder- und zwei quaderförmige Verpackungen. a) Wie viel Material wird jeweils für die Herstellung der Verpackung benötigt? b) Wie unterscheidet sich das Fassungsvermögen dieser drei Verpackungen? c) Welche Verpackung bietet bei geringstem Materialbedarf das größte Fassungsvermögen? 10 Lösung xx Volumen Zylinder 14 a, b) 1900 cm² 5000 cm³ 1900 cm² 4200 cm³ 1900 cm² 5989 cm³ c) Der Zylinder
33 10 Üben xx Volumen Zylinder 15 Getränkedosen Limonaden und Biere werden in zylindrischen 0,33 l- und 0,5 l-dosen verkauft. Beide Dosenformen haben einen Durchmesser von 6,4 cm. Wie hoch ist jede Dose? 10 Lösung xx Volumen Zylinder 15 h 1 = 10,26 cm h 2 = 15,54 cm
34 10 Üben xx Volumen Zylinder 16 Dosen In Flugzeugen werden Limonaden auch in kleineren 150 ml-dosen angeboten. Diese Dosen sind 7,6 cm hoch. Wie groß ist der Durchmesser der Dose? 10 Lösung xx Volumen Zylinder 16 d 5 cm
35 10 Üben xxx Volumen Zylinder 17 Würstchen Eine Würstchendose soll ein Volumen von 900 cm³ fassen und wegen der Würstchenlänge 18 cm hoch sein. a) Welchen Radius wird sie erhalten? b) Wie viel Blech braucht man insgesamt, wenn der Verschnitt bei der Herstellung nicht berücksichtigt wird? 10 Lösung xxx Volumen Zylinder 17 a) r 4 cm b) A = 552,92 cm²
36 10 Üben xx Volumen Zylinder 18 Drehkörper Dreht man ein Rechteck um eine Seite, so entsteht ein Zylinder. Es gibt zwei Möglichkeiten (Bild). Berechne in beiden Fällen Oberfläche und Volumen des Zylinders. 10 Lösung xx Volumen Zylinder 18 a) V = ,67 cm³ O = 9424,78 cm² b) V = ,11 cm³ O = 6283,19 cm²
37 (3) Volumen Pyramide Nr. Schwierigkeit Thema bearbeitet am 1 xxx Quadratische Pyramide 2 xxxx Oktaeder 3 xxxx Körper im Körper 4 xx Pyramide mit rechteckiger Grundfläche 5 xx Pyramide mit trapezförmiger Grundfläche 6 xx Dreiecks-Pyramide 7 xx Brunnen 8 xxx Cheops-Pyramide 9 xx Rechteckige Pyramide 10 xx Pyramide
38 10 Üben xxx Volumen Pyramide 1 Quadratische Pyramide Wie verändert sich das Volumen einer quadratische Pyramide, wenn... a) die Höhe verdoppelt wird, b) die Seitenlänge der Grundfläche verdoppelt wird, c) die Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe verdoppelt wird, d) der Flächeninhalt der Grundfläche verdoppelt wird? 10 Lösung xxx Volumen Pyramide 1 Das Volumen wird a) zweimal b) viermal c) achtmal d) zweimal so groß.
39 10 Üben xxxx Volumen Pyramide 2 Oktaeder Ein Oktaeder ist eine "Doppelpyramide". Er besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken als Seitenfläche. a) Baue mit den KLICKIES einen Oktaeder. b) Berechne das Volumen des Körpers (a = 7 cm). Berechne dazu zuerst die Höhe h. Tipp 1: d = Lösung xxxx Volumen Pyramide 2 h Py = 5 cm V Py = 81,6 cm² V O = 163,2 cm³
40 10 HINWEIS xxx Volumen Pyramide 2 HINWEISKARTE Tipp 1: d =... d a a Tipp 2: d = 9,8 cm h Py a
41 10 Üben xxxx Volumen Pyramide 3 Körper im Körper In einem Würfel der Seitenlänge a = 12 cm werden die Mittelpunkte der Seitenflächen miteinander verbunden. Der entstandene Körper ist ein Oktaeder. Er besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen. Berechne das Volumen des Oktaeders. 10 Lösung xxxx Volumen Pyramide 3 b = 8,48 V Py = 144 cm³ V O = 288 cm³
42 10 HINWEIS xxxx Volumen Pyramide 3 HINWEISKARTE Tipp: a = 12 cm b
43 10 Üben xx Volumen Pyramide 4 Pyramide mit rechteckiger Grundfläche Berechne das Volumen einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche: a = 12 cm b = 8 cm h = 20 cm 10 Lösung xx Volumen Pyramide 4 V = 640 cm³
44 10 Üben xx Volumen Pyramide 5 Pyramide mit trapezförmiger Grundfläche Berechne das Volumen einer Pyramide mit trapezförmiger Grundfläche, a c: a = 28,5 cm c = 17,5 cm h a = 13,4 cm Höhe der Pyramide: h = 30 dm 10 Lösung xx Volumen Pyramide 5 V = 3082 dm³
45 10 Üben xx Volumen Pyramide 6 Dreiecks-Pyramide Berechne das Volumen einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche: g = 17,8 dm h g = 23,5 dm Höhe der Pyramide: 30 dm 10 Lösung xx Volumen Pyramide 6 V = 2091,5 dm³
46 10 Üben xxx Volumen Pyramide 7 Brunnen Auf dem Bahnhofsvorplatz in Coesfeld wurde eine pyramidenförmige Brunnenanlage errichtet. Die Ummantelung besteht aus New Indian-Granitplatten. Die Pyramide ist 2,745 m hoch und die quadratische Grundfläche hat eine Kantenlänge von 2,74 m. Wie schwer wäre das Bauwerk, wenn es ganz aus Granit wäre? (1 m³ wiegt 30 kn) 10 Lösung xxx Volumen Pyramide 7 V = 6,87 m³ Gewicht: 205,08 kn
47 10 Üben xxx Volumen Pyramide 8 Cheops-Pyramide Die größte Pyramide ist die um 2600 v. Chr. erbaute Cheops-Pyramide. Sie war ursprünglich 146 m hoch, die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche betrug ca. 233 m. a) Wie viel m³ Steine wurden verarbeitet? b) Heute beträgt die Länge der Grundseite nur noch ca. 227 m, die Höhe nur ca. 137 m. Wie viel m³ Stein sind inzwischen verwittert? 10 Lösung xxx Volumen Pyramide 8 a) , 7 m³ b) ,03 m³
48 10 Üben xx Volumen Pyramide 9 Rechteckige Pyramide a) Berechne die Kantenlänge k der abgebildeten Pyramide. b) Berechne den Rauminhalt der Pyramide. 10 Lösung xx Volumen Pyramide 9 a) k = 4,3 cm b) V = 14 cm³
49 10 Üben xx Volumen Pyramide 10 Pyramide a) Wie lang ist die Kante k einer rechteckigen Pyramide mit a = 9 cm und h = 10 cm und b = 12 cm? b) Berechne das Volumen der Pyramide. 10 Lösung xx Volumen Pyramide 12 a) k = 12,5 cm b) V = 360 cm³
50 (4) Volumen Kegel Nr. Schwierigkeit Thema bearbeitet am 1 xx Zusammengesetzter Körper 2 xxx Zusammengesetzte Körper 3 xxx Veränderung von r und h 4 xxx Radius gesucht 5 xx Höhe gesucht 6 xxx Werkstück 7 xxx Tabelle 8 xx Zylinder und Kegel (5) Volumen Kugel Nr. Schwierigkeit Thema bearbeitet am 1 xxx Steinwurf 2 xx Kupferkugel 3 xxx Hölzernes Kupfer 4 x Ballonprobleme 5 xx Größere Ballonprobleme
51 10 Üben xx Volumen Kegel 1 Zusammengesetzter Körper Berechne das Volumen des abgebildeten Körpers! (Maße in mm) 10 Lösung xx Volumen Kegel 1 V = ,97 mm³
52 10 Üben xxx Volumen Kegel 2 Zusammengesetzte Körper Berechne das Volumen der abgebildeten Körper! (Maße in mm) b) Tipp: 10 Lösung xxx Volumen Kegel 2
53 10 Üben xxx Volumen Kegel 3 Veränderung von r und h Wie ändert sich das Volumen eines Kegels, wenn man... a) den Radius verdoppelt, b) die Höhe verdreifacht? Überlege dir ein Beispiel oder zeige die allgemeine Lösung durch Einsetzen in die Formel! 10 Lösung xxx Volumen Kegel 3 a) V vervierfacht sich b) V verdreifacht sich
54 10 Üben xxx Volumen Kegel 4 Radius gesucht Ein Kegel hat das Volumen V = 207,844 cm³ und die Höhe h = 5,9 cm. Welchen Radius hat seine Grundfläche? 10 Lösung xxx Volumen Kegel 4 r = 5,8 cm
55 10 Üben xx Volumen Kegel 5 Höhe gesucht Ein Kegel hat das Volumen V = 25,447 cm³ und den Radius r = 1,8 cm. Wie hoch ist der Kegel? 10 Lösung xx Volumen Kegel 5 h = 7,5 cm
56 10 Üben xxx Volumen Kegel 6 Werkstück Ein kegelförmiges Werkstück aus Stahl hat folgende Abmessungen: Durchmesser: d = 84 mm Länge der Mantellinie: s = 123 mm 1 cm³ des Stahls wiegt 8,3 g. Wie schwer ist das Werkstück? Tipp: 10 Lösung xxx Volumen Kegel 6 h = 115,6 mm V = 213,55 cm³ Gewicht: 1772,51 g
57 10 Üben xxx Volumen Kegel 7 Tabelle Berechne die für einen Kegel fehlenden Größen: 10 Lösung xxx Volumen Kegel 7 a) s = 80,2 cm; V = 2094,4 cm³ b) h = 10,9 cm; V = 285,4 cm³ c) h = 5,3 cm; s = 8 m d) r = 3 m; s = 3,6 m
58 10 Üben xx Volumen Kegel 8 Zylinder und Kegel Ein Zylinder hat die Abmessungen: r = 5 cm und h = 12 cm. Er besitzt das dreifache Volumen eines Kegels. Gib das Volumen und die (möglichen) Abmessungen des Kegels an! 10 Lösung xx Volumen Kegel 8 V = 314,15 cm³
59 Bearbeitungsblatt Name TYP: Volumen Kugel Nr. Schwierigkeit Thema bearbeitet 1 xxx Steinwurf 2 xx Kupferkugel 3 xxx Hölzernes Kupfer 4 x Ballonprobleme 5 xx Größere Ballonprobleme
60 10 Anwenden xxx Volumen Kugel 1 Steinwurf Ein gerader, zylindrischer Glasbehälter hat einen Durchmesser d = 72 mm. Er ist etwa zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Nachdem man einen Stein hineingeworfen hat, ist das Wasser um 28 mm gestiegen. Welchen Rauminhalt hat der Stein? 10 Lösung xxx Volumen Kugel 1 Volumen des Glasbehälters: V = r² h (h: Höhe) Wasservolumen: V 1 = r² h = 2 d 2 h 4 2 Wasservolumen mit Stein: V 2 = d 2 h mm d h Volumen des Steins: V Stein = V 2 - V 1 = 28 mm Falls der Stein kugelförmig ist: V Stein = 4 3 r³ r = = 3 Stein ,2 cm = 3 cm 3 3 V 3114 cm 3 2 d 2 h mm = d² 7 mm d 4 = 72² 7 mm³ = mm² 114 cm² d = 6 cm = Durchmesser des kugelförmigen Steins
61 10 Anwenden xx Volumen Kugel 2 Kupferkugel Eine Kugel aus Kupfer wiegt 45 kg. Berechne die Maße der Kugel ( = 8,9). Löse die gleiche Aufgabe für 136 kg. Dichte angeben g in 2 cm Dichte = m v 10 Lösung xx Volumen Kugel 2 = m v V = m V Kugel = 3 4 r³ m = 3 4 r³ r = 3m 3 4 m = 45 kg (= g) r = g 3 4 8,9 g cm = 10,65 cm m = 136 kg (= g) r = g cm 3 4 8,9 g = 15,4 cm
62 10 Anwenden xxx Volumen Kugel 3 Hölzernes Kupfer Eine Kugel aus Holz ( = 0,8) mit einem Durchmesser d = 45 cm soll einen Mantel aus Kupfer ( = 8,9) erhalten. Berechne die Wandstärke des Mantels für ein Gesamtgewicht der Kugel von 48 kg. in 2 g cm 10 Lösung xxx Volumen Kugel 3 m ges = m Holz + m Kupfer = m m v = 3 4 r v 3 d = 45 cm r = 22,5 cm 1. m Holz = 3 cm 3 2 cm 0,8 4 22,5 g 3 = ,4 g 38,17 kg m Kupfer = 48 kg 38,17 kg = 9,83 kg mholz g V Holz = 0,8 g cm³ ,5 cm³ Holz 2. V Kupfer = mkupfer 9830 g Kupfer 8,9 g cm³ = 1104,5 cm³ 3. V ges = g 4 cm = 22,97 cm 4. Wandstärke des Mantels = r ges r Holz = 22,67 cm - 22,5 cm = 0,17 cm = 1,7 mm
63 10 Anwenden x Volumen Kugel 4 Ballonprobleme Eine wahre Geschichte: Neulich abends wir hatten uns zum Essenkochen verabredet kam Tommi, unser Mitbewohner, freudestrahlend mit einem Geschenk an: Zwei Riesenballons. Wir freuten uns natürlich. "Ich hab sie noch nicht ausgepustet, weil ich nicht gewusst habe, wie ich durch die Tür hätte kommen sollen," sagte Tommi. Es war ja toll, dass Tommi uns den Spaß des Aufblasens gelassen hat, aber... auf den Werbetrick war er trotzdem reingefallen. Warum? 10 Lösung x Volumen Kugel 4 Entscheidend für die Frage, ob Tommi mit dem Ballon durch die Tür kommt, ist der Durchmesser des Ballons, nicht der Umfang. U = d = 3,15 d d = U 180 cm d 1 = = 57,29 cm 200 cm d 2 = = 63,66 cm U 3,14 Eine Tür ist normalerweise über 80 cm breit, also kommt Tommi mit einem Ballon, der einen Durchmesser von 57,29 cm bis 63,66 cm hat, leicht durch die Tür.
64 10 Anwenden xx Volumen Kugel 5 Größere Ballonprobleme UdSSR-Ballon fiel in Kattegat Ein sowjetischer Forschungsballon, der wegen eines Fehlers im Lenkmechanismus auf Abwege geriet, plumpste am Mittwochabend in den Kattegat und wurde am Donnerstag von einem Schiff der dänischen Marine an Land gebracht. Der unbemannte Ballon hatte zwölf Kisten mit wissenschaftlichem Messgerät an Bord. Das sowjetische Außenministerium hatte die skandinavischen Länder über die Irrfahrt des Luftschiffes informiert und mitgeteilt, dass es weder explosive noch umweltschädliche Stoffe mit sich führe. Der von Kubikmeter Wasserstoff getriebene und im Durchmesser 60 Meter messende Ballon hätte am Dienstag 600 Kilometer östlich von Moskau landen sollen, trieb wegen eines defekten Lenksystems jedoch in 34 Kilometer Höher nach Westen weiter. Schließlich explodierte er im Kattegat durch einen Selbstzerstörungsmechanismus. Der Container schwebte an einem Fallschirm nieder und fiel unter scharfer Bewachung durch Hubschrauber der dänischen Luftwaffe 18 Seemeilen vor dem Mariager Fjord ins Wasser. Frankfurter Rundschau, Es gibt in dem Artikel Angaben zum Volumen und zum Durchmesser des Forschungsballons. Notiere die Daten. 2. Passen sie zueinander, falls der Ballon kugelförmig ist. a) Welcher Radius (bzw. Durchmesser) passt zum angegebenen Volumen? b) Welches Volumen passt zum angegebenen Durchmesser? Beantworte Frage 2 in einem Satz. 3. Welche Figur vermutest du tatsächlich für den Ballon. Mache eine grobe Handskizze. 10 Lösung xx Volumen Kugel 5 1. V = m²; d = 60 m und r = 30 m 2. a) 3 4 r³ = r³ = 4 r 35 Zum angegebenen (Kugel-) Volumen passt ein Durchmesser von rund m³. b) V = ³ Zum angegebenen (Kugel-) Durchmesser passt ein Volumen von rund m³. 3. I. d. R. sehen die Ballons so aus, weil sich das leichte Gas oben im Schirm sammelt. Er ist nicht kugelförmig, im oberen Teil allerdings in etwa. Deshalb passt der Radius auch in etwa, grob.
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