Zentralabitur 2012 Mathematik Grundkurs Aufgaben Erwartungshorizonte

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1 LAND BRANDENBURG Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Zentralabitur 01 Aufgaben Erwartungshorizonte

2 LAND BRANDENBURG Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Erwartungshorizonte Die Beschreibungen der erwarteten Leistungen enthalten keine vollständigen Lösungen, sondern nur kurze Angaben. Hier nicht genannte, aber gleichwertige Lösungswege sind gleichberechtigt. Die aufgeführten Lösungswege zeigen immer nur eine Variante auf. Für andere Lösungswege oder Lösungsansätze, die logisch dargestellt werden und zu richtigen Zwischen- oder Endergebnissen führen, sind die vorgesehenen Bewertungseinheiten (BE) entsprechend zu vergeben. Wird jedoch der dargestellte Lösungsweg vom Prüfling verwendet, so sind die BE in der angegebenen Weise aufzuteilen. Damit die Möglichkeit besteht, den eigenen didaktischen Aspekten bei der Bewertung genug Raum zu geben, werden in der Regel die BE nicht kleinschrittig zugeordnet. Die Summe der BE pro z. B..1 a) ist verbindlich. Sind Zwischenergebnisse nicht korrekt ermittelt worden und die sich auf diesen Zwischenergebnissen aufbauenden weiteren Lösungswege schlüssig und nicht mit neuen Fehlern versehen, so sind die BE entsprechend zu erteilen (Folgefehler). Dieses Vorgehen ist nicht anzuwenden, wenn eine offensichtlich nicht sinnvolle Lösung unkommentiert bleibt oder der Lösungsweg durch den Fehler erheblich einfacher geworden ist. Die Verwendung von entsprechenden Operatoren in den Aufgabenstellungen erfordert vom Prüfling schriftliche Erläuterungen seiner Überlegungen. Bei der Bewertung dieser Erläuterungen, auf deren Darstellung im Erwartungshorizont weitgehend verzichtet wird, kann die Lehrkraft ihren pädagogischen Spielraum nutzen und sich an ihrer bisherigen Unterrichtspraxis orientieren. Im Erwartungshorizont wird teilweise auf formale mathematische Vollständigkeit verzichtet, wenn diese vom Schüler in der Regel nicht unbedingt zu erwarten ist. Seite von 19 1_Ma_LH_G

3 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Aufgabe 1.1: Sonnenblumen 1 Gegeben ist die Funktion h mit h( t) = t + t + 1t + 10; t IR. Sie beschreibt ab dem Zeitpunkt t = 0 für einen gewissen Zeitraum die Höhe einer Sonnenblume, wobei t in Wochen nach Beobachtungsbeginn und h(t) in cm angegeben werden. a) Berechnen Sie die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von h und bestimmen Sie deren Art. Skizzieren Sie den Graphen von h mindestens für 6 t 9 in ein geeignetes Koordinatensystem. Erläutern Sie, in welchem Intervall von t der Graph von h sinnvolle Werte für das Wachstum der Sonnenblume liefert. b) Geben Sie die Höhe der Sonnenblume zu Beginn des Beobachtungszeitpunktes in Zentimetern an. Ermitteln Sie die durchschnittliche Wachstumsrate im Zeitraum von t = 1 bis t = 6 sowie die momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt t = 6. c) Ermitteln Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt eine momentane Wachstumsrate cm von 15 erreicht ist. Woche d) Ein Verkäufer wirbt mit dem Versprechen: Meine Pflanzen erreichen eine Wachstumsrate von 7 cm pro Woche. Da können Sie beim Wachsen zusehen!. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die versprochene Wachstumsrate erreicht werden kann, indem Sie die größte erreichte momentane Wachstumsrate der Pflanze ermitteln. e) Von einer zweiten Sonnenblumenart ist nur die Funktion v der momentanen Wachstumsrate bekannt. Ihre Gleichung lautet v ( t) = t + t + 5, wobei t in Wochen und cm v(t) in angegeben werden. Zum Zeitpunkt t = ist eine Sonnenblume dieser Art Woche 10 cm hoch. Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Funktion g, die die Höhe dieser Sonnenblume in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt (mit t in Wochen und g(t) in cm ). Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die n a) b) c) d) e) Summe BE Seite von 19 1_Ma_LH_G

4 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.1: Sonnenblumen a) Ableitungen: h ( t) = t + t + 1 und h ( t) = t + Notwendige Bedingung für Extremstellen: h ( t) = 0 t + t + 1 = 0 ; t = ± + 1 ; t =, t = 7 1, 1 Hinreichende Bedingung für Extremstellen: h ( t) = 0 h ( t) 0 h ( ) = 10 > 0 ; h hat bei t = ein relatives Minimum. h ( 7) = 10 < 0 ; h hat bei t = 7 ein relatives Maximum. y-koordinaten: h ( ) = 6 und h ( 7) = 10, 7 Der Tiefpunkt lautet T ( 6) und der Hochpunkt lautet H 7 10,7. ( ) Graph unter Verwendung weiterer Punkte: Der Graph von h liefert nur für 0 t 7 sinnvolle Werte, da das Wachstum erst ab t = 0 beginnt und ab dem Zeitpunkt t = 7 die Funktionswerte wieder kleiner werden. Dies würde bedeuten, dass die Pflanze schrumpft, was nicht sinnvoll erscheint. b) Höhe der Sonnenblume zu Beobachtungsbeginn: h 0 = ; zu Beginn ist die Sonnenblume 10 cm hoch. 1 ( ) 10 Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsrate: h(6) h(1) 16 cm,7 cm cm = 0, Wochen Woche Die durchschnittliche Wachstumsrate beträgt zwischen den cm Zeitpunkten t = 1 und t = 6 ca. 0,7. Woche Die Funktion h gibt die momentanen Wachstumsraten an. h ( 6) = 9. Zum Zeitpunkt t = 6 beträgt die momentane Wachstumsrate cm 9. Woche Seite von 19 1_Ma_LH_G

5 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 c) Lösen der Gleichung h ( t) = 15 nach t : t + t + 1= 15 ; t 1, = ± + 6; t1 = 10 1,, t = , t 1 entfällt, da t 0. Somit wird die genannte Wachstumsrate zum Zeitpunkt t 5, Wochen erreicht. d) Die maximale Wachstumsrate wird dort erreicht, wo die Ableitungsfunktion von h ihr Maximum hat. h ( t) = 0 ; t + = 0 ; t = ; h ( ) = < 0 Die Wachstumsrate beträgt dort: h ( ) = 5. cm Die größte Wachstumsrate beträgt 5. Somit wird der vom Woche Verkäufer angegebene Wert nicht erreicht. Das Versprechen ist falsch. e) Da v die Ableitung der gesuchten Funktion g ist, muss die zum Anfangswert passende Stammfunktion von g gefunden werden. g t = ( ) v( t) dt = ( t + t + 5) dt = t + t + 5t + c Zur Bestimmung von c wird die Anfangsbedingung hinzugezogen: g ( ) = c = + c = 10 ; c = 6 Somit lautet die gesuchte Funktion: g ( t) = t + t + 5t + Summe der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 0 Seite 5 von 19 1_Ma_LH_G

6 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Aufgabe 1. : Vereinsemblem Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Gleichungen 1 und g( x) = x + x 5x ; x IR. f ( x) = x e x ; x IR a) Ermitteln Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte des Graphen von g und zeigen Sie, dass einer dieser Punkte auch zum Graphen von f gehört. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Tangenten an die beiden Graphen im Punkt O (0 0) einschließen. x [Kontrollergebnis: f ( x) = e ( x 1) ] b) Zeigen Sie, dass die beiden lokalen Tiefpunkte der Graphen von f und g auf einer gemeinsamen Parallelen zur y-achse liegen und geben Sie die Koordinaten dieser Tiefpunkte an. Hinweis: Auf den Nachweis des Minimums mithilfe eines hinreichenden Kriteriums kann verzichtet werden. c) Jeder der Graphen von f und g besitzt genau einen Wendepunkt. Diese Wendepunkte sind diagonal gegenüberliegende Eckpunkte eines Rechtecks, das symmetrisch bezüglich der y-achse liegt. Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und ermitteln Sie die Koordinaten aller Eckpunkte des Rechtecks. d) Die Fläche, die von den beiden Graphen und der Geraden x = 1, 5 im IV. Quadranten eingeschlossen wird, soll als Vorlage für das Vereinsemblem eines Angelvereines dienen. Weisen Sie nach, dass die Funktion x F : F( x) = ( x + 1) e eine Stammfunktion von f ist. Berechnen Sie die Größe der Fläche, die für das Emblem vorgesehen ist. e) Ein Angelsportfreund schlägt vor, die obere Begrenzung des Emblems in Form einer quadratischen Parabel zu gestalten. Diese Parabel soll den gleichen Tiefpunkt und den gleichen Schnittpunkt mit der y-achse haben wie der Graph von f. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE Seite 6 von 19 1_Ma_LH_G

7 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Erwartungshorizont zu Aufgabe 1.: Vereinsemblem a) Achsenschnittpunkte des Graphen von g: y ( 0 0) Sx 1 S =, S ( + 0), S ( 0) x x Nachweis, dass S auch auf dem Graphen von f liegt: f ( 0) = 0 y 5 Berechnung der Winkelgröße zwischen den Tangenten: ( x) = x + 5 g x f x ( x) = e ( x 1) m ( 0) = 5, m = ( 0) = 1 = g f t G t K α 101,, α = 15, ϕ, 7 tg t K Der Schnittwinkel der beiden Tangenten hat eine Größe von rund,7. b) Ermitteln der Tiefpunkte: ( x) =, x = 1, = 5 g x g () 1 =, TG 1 ( x) = 0, = 1 f x 1 1 f () 1 =, TK 1 e e Beide Tiefpunkte haben die Abszisse 1 und liegen damit auf der Geraden mit der Gleichung x = 1, die parallel zur y-achse verläuft. 1 c) Ermitteln der Wendepunkte: g ( x) = x + ( x) = 0, x = g, 6 g ( ) =, 6 W G f x ( x) = e ( x), ( x) = 0, x = f, f () = e, W K e 6 Seite 7 von 19 1_Ma_LH_G

8 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 noch c) Skizze des Sachverhaltes: Weitere Eckpunkte des Rechtecks: 6 P ; Q e d) Nachweis der Stammfunktion: F x x x ( x) = e + ( x + 1) e ( 1) = x e = f ( x) A = 1,5 1 ( dx x ( f x) g( x) ) dx = x e x x + 5x 0 1,5 0 = 1 1 x ( x + 1) e x + x x,5 FE 5 1,5 0 e) Ermitteln der Parabelgleichung: p x = ax + bx + c, p x = ax + ( ) ( ) b Aus ( 0 0) S erhält man c = 0. y 1 Aus T K 1 erhält man e das Gleichungssystem I 1 = a + b e II 0 = a + b 1 e e Parabelgleichung: p( x) = x x Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 0 Seite 8 von 19 1_Ma_LH_G

9 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Aufgabe.1: Flug in die Wolken Ein Flugzeug befindet sich um 0.1 Uhr in der Position P ( 1 1,5) in einer Höhe von 1,5 km und eine Minute später im Punkt Q (1 7 1,8) in einer Höhe von 1,8 km (1 LE = 1 km). Das Flugzeug bewegt sich geradlinig von P nach Q und ändert seine Geschwindigkeit nicht. a) Geben Sie den Betrag des Vektors PQ an. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des km Flugzeugs in. Geben Sie eine Geradengleichung für die Flugbahn g an, auf der das h Flugzeug fliegt. b) Im Punkt W (8 19,) befindet sich um 0.15 Uhr ein senkrecht aufsteigender Wetterballon. Prüfen Sie, ob der Punkt W auf der Flugbahn des Flugzeugs liegt. Entscheiden Sie begründend, ob das Flugzeug mit dem Wetterballon zusammenstößt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes R, in dem das Flugzeug seine Reiseflughöhe von 10,5 km erreicht. c) In der Ebene durch die Punkte A (10 0,65), B (0 0,65) und C (0 0,565) verläuft die untere Grenzschicht einer Wolkendecke. Bestätigen Sie, dass durch n = 1 ein Normalenvektor für E ABC gegeben ist. 00 Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes, in dem das Flugzeug in die Wolkendecke eintritt. d) Die Sichtweite in der Wolkendecke beträgt 1, km. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes T auf der vorausliegenden Flugbahn des Flugzeugs, der bei Eintritt in die Wolkendecke gerade noch gesehen werden kann. Berechnen Sie, wie viele Meter über der unteren Grenzschicht der Wolkendecke sich das Flugzeug im Punkt T befindet. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) Summe BE Seite 9 von 19 1_Ma_LH_G

10 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Erwartungshorizont zu Aufgabe.1: Flug in die Wolken a) Berechnung von PQ = 1 1 PQ = 7 1 = 6 und von 1,8 1,5 0, ,09 = 180,09 1, s Geschwindigkeit v = mit s = PQ 1, km und t = 1min : t v 1, km 1min = 1, 60 km h km 805 h 1 Gleichung der Flugbahn g : x = 1 + t 6 1,5 0, b) = + 1t t = Punktprobe für W: 19 = 1 + t 6 19 = 1+ 6t t =, 1,5 0,, = 1,5 + 0,t t = Also liegt W auf g. Da t = die Bedeutung von min hat, erreicht das Flugzeug den Punkt W um.16 Uhr und kollidiert nicht mit dem Wetterballon, weil dieser sich dort um.15 Uhr befand und inzwischen weiter aufgestiegen ist. Die Betrachtung der z-koordinate ergibt 10,5 = 1,5 + t 0, t = 0. Mit t = 0 folgt Punkt R ( ,5). c) Berechnung von z. B. AB = 0 und AC = 0 und Probe, 0 0,1 dass n AB n AC gilt: n AB = 0 n AC = 0 ; also ist n Normalenvektor für E ABC. Die Stelle, an der das Flugzeug in die Wolkendecke eintritt, ist der Schnittpunkt von g und E. Aufstellen einer Ebenengleichung für ABC E ABC, z. B. 1 x 69 = 0, und Einsetzen des Geradenterms 00 liefern t 69 = 0 t = 5 ; Schnittpunkt S (6 1 ). 6 Seite 10 von 19 1_Ma_LH_G

11 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 d) Da das Flugzeug in einer Minute 1, km zurücklegt, benötigt es für 1 m 0,1 min: 6 1 6, x T = 1 + 0,1 6 = 1,6, T (6, 1,6,0) 0,,0 Senkrecht unter T befindet sich ein Punkt der Wolkendecke mit denselben x- und y-koordinaten wie T: 6, 1 1,6 69 = 0 9,8 + 00z 69 = 0 z =, z Die Differenz zur z-koordinate von T beträgt 9 m, also befindet sich das Flugzeug dort 9 m über der unteren Wolkengrenze. Summen der BE in den Anforderungsbereichen 1 1 Summe der BE 0 Seite 11 von 19 1_Ma_LH_G

12 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Aufgabe.: Rhombus In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Ebene 1 1 E : x = + r + s 5 ; r, s IR gegeben. 8 8 a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E an und bestimmen Sie die Koordinaten ihrer Achsenschnittpunkte. 1 1 b) Ermitteln Sie die Lagebeziehung der Geraden g : x = 5 + t 1 ; t IR zu der Ebene E. 0 0 Ermitteln Sie die Lagebeziehung der Ebene F : x + y 0,5 z = zur Ebene E. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen E und F. c) Die Punkte A ( 0 0), B ( 0 0) und ( 0 0 8) C sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Zeigen Sie, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt und berechnen Sie die Größe des Winkels ACB. Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes Q, der das Dreieck zu einem Rhombus (Raute) ergänzt. d) In den Rhombus soll ein möglichst großer Kreis einbeschrieben werden. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunktes an. Ermitteln Sie den Radius des Kreises. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) Summe BE Seite 1 von 19 1_Ma_LH_G

13 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Erwartungshorizont zu Aufgabe. : Rhombus a) Koordinatengleichung von E: x + y + z = 8 Achsenschnittpunkte: S ( 0 0 ); S ( 0 0 ); S ( 0 0 8) x y z b) Lagebeziehung der Geraden g zur Ebenen E: g E ergibt ( 1 t ) + ( 5 + t ) = 8 t t = 8 8 = 8 8 = 8 ist eine wahre Aussage, d. h. die Gerade g liegt in der Ebene E. Lagebeziehung der Ebenen E und F: E F ergibt r = s. Die Ebenen E und F schneiden sich. Einsetzen von r = s in die Gleichung von E liefert eine Gleichung der Schnittgeraden: 1 x = 5 + s c) Nachweis der Gleichschenkligkeit: AC = CB = 5 LE Bestimmung von Winkel ACB = β : 0 CA CB CA = 0 ; CB = ; cos β = ; β 6, CA CB 5 Ergänzung des Dreiecks durch den Punkt Q zu einem Rhombus: 0 OQ = OA + CB = 0 + = Der Punkt ( 8) Q ergänzt das Dreieck ABC zum Rhombus. Seite 1 von 19 1_Ma_LH_G

14 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 d) Der Mittelpunkt des Kreises entspricht dem Schnittpunkt der Diagonalen des Rhombus und somit dem Mittelpunkt der Strecke AB. ( 0) M AB Der Radius des Kreises entspricht dem Abstand des Mittelpunktes zu einer Seite des Rhombus. Berechnung des Abstandes von g AC 1 : x = 0 + r 0 0 Hilfsebene H senkrecht zu M AB zu AC: g AC durch M AB : 1 H : x 0 = 0 g AC H ergibt r 0 Durch Einsetzen von r in = 5 18 g AC erhält man L ML,7 LE Summen der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 0 Seite 1 von 19 1_Ma_LH_G

15 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Aufgabe.1: Zwei Zufallsgeräte Die beiden Zufallsgeräte Würfel (W) und Quader (Q) tragen nur die Augenzahlen 1, und 5; dabei zeigen gegenüberliegende Seiten die gleichen Augenzahlen. W Q W ist ein Laplace-Würfel. Q ist ein Quader mit zwei quadratischen Seitenflächen (diese zeigen die Augenzahl ), die anderen vier Seitenflächen sind nicht quadratisch. Die durch sehr häufiges Werfen dieses Quaders ermittelten relativen Häufigkeiten können als Wahrscheinlichkeiten verwendet werden: Augenzahl 1 5 relative Häufigkeit bei Q 1 % 18 % 1 % a) Die beiden Zufallsgeräte werden je einmal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A 1 : Die Augenzahl bei W ist nicht 5. A : Die Augenzahl bei Q ist nicht 5. A : Die Summe der Augenzahlen von W und Q hat genau den Wert 6. b) Das Zufallsgerät Q wird 10-mal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: B 1 : Die Augenzahl tritt genau dreimal auf. B : Die Augenzahl tritt mindestens dreimal auf. c) Olga und Max vereinbaren folgendes Spiel: Olga wirft den Würfel W zehnmal. Sie gewinnt, wenn sie genau dreimal die Augenzahl erzielt. Falls dies nicht der Fall ist, wirft Max den Quader Q zehnmal. Er gewinnt nur dann, wenn er dabei genau einmal die Augenzahl erzielt hat. Sonst endet das Spiel unentschieden. Ermitteln Sie, wer die besseren Gewinnchancen hat. [Kontrollergebnis: P( Olga gewinnt ) 6 %] d) Die Wahrscheinlichkeit P für das k-malige Auftreten der Augenzahl bei 10 Würfen ist für eines der beiden Zufallsgeräte teilweise graphisch dargestellt (s. Anlage). Entscheiden Sie begründet, zu welchem Zufallsgerät die Darstellung passt. Bestimmen Sie den in der Zeichnung verwendeten Maßstab. Ergänzen Sie die Achseneinteilung der P-Achse und vervollständigen Sie das Diagramm für k = 1 und k =. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die n a) b) c) d) Summe BE Anlage Seite 15 von 19 1_Ma_LH_G

16 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Anlage zu Aufgabe.1: Zwei Zufallsgeräte P k Seite 16 von 19 1_Ma_LH_G

17 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Erwartungshorizont zu Aufgabe.1: Zwei Zufallsgeräte a) P ( A1) = P ( A ) = 0,1+ 0,18 = 0,59 A tritt ein bei den Ergebnissen ( ), (1 5) und (5 1). Es ergibt sich z. B. anhand eines reduzierten Baumdiagramms 1 P A ) = 1 0, ,1+ 0,1 0,. ( b) Es liegt eine Bernoulli-Kette zum Treffer Augenzahl vor mit n = 10 und p = 0, 18 ; X gibt die Trefferanzahl an P ( B1) = P( X = ) = 0,18 0,8 0, 17 ( ) P ( B ) = 1 P X = 1 0,18 0, ,18 0,8 + 0,18 0,8, also P( B ) 0,6. c) Olgas Gewinnchancen: Es liegt eine Bernoullikette zum Treffer Augenzahl mit n = 10 und 1 p = vor; X gibt die Trefferanzahl an. Olga gewinnt mit der 10 1 Wahrscheinlichkeit P( X = ) = 0,60. Max Gewinnchancen werden anhand eines -stufiger Pfades berechnet: 1. Stufe: Olga gewinnt nicht mit der Wahrscheinlichkeit 0,70.. Stufe: Bernoullikette zum Treffer Augenzahl mit n = 10, p = 0,18 ; X gibt die Trefferanzahl an. Max gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 0,70 P( X = 1) 0,70 0, 0 0,. Olgas Gewinnchancen sind etwas höher. d) X gibt die Anzahl der Dreien an. Zufallsgerät Q: P ( X = ) 0,98 und P ( X = ) 0,17; Zufallsgerät W: P ( X = ) 0,195 und P ( X = ) 0,60. Die Darstellung passt nur zum Zufallsgerät Q. Ergänzung mit den Werten P ( X = 1) 0,0 und P ( X = ) 0,067 und Anwendung des vorgegebenen Maßstabes 1 cm für 0,05 auf der P-Achse. 7 Summe der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 0 Seite 17 von 19 1_Ma_LH_G

18 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Aufgabe.: Kurswahl Im Abiturjahrgang 010 belegten im Land Brandenburg die Schülerinnen und Schüler jeweils zwei Leistungskurse: Deutsch belegten 5 %, Englisch 6 % und 5 %. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse. A: Ein zufällig befragter Schüler belegt den Leistungskurs Englisch und den Leistungskurs. B: Von fünf nacheinander befragten Schülern belegen nur der zweite und der fünfte Schüler einen Leistungskurs. C: Unter zehn befragten Schülern befinden sich höchstens acht Schüler, die einen Leistungskurs Deutsch belegen. b) Es werden 5 Schüler befragt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 15 und höchstens 17 Schüler einen Leistungskurs belegen. c) Ermitteln Sie, wie viele Schüler mindestens befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens einen Schüler zu finden, der einen Leistungskurs belegt. d) Bestimmen Sie den Anteil der Schüler, die einen Leistungskurs Physik belegen, wenn folgendes bekannt ist: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zwei befragten Schülern keiner einen Leistungskurs Physik belegt, beträgt 90,5 %. e) An einem Gymnasium sind 6 der 75 Schüler des Abiturjahrgangs männlich. 5 Schüler und Schülerinnen belegen den Leistungskurs. Die Anzahl der Jungen, die nicht den Leistungskurs belegen, ist doppelt so groß wie die Anzahl der Mädchen, die den Leistungskurs belegen. Ermitteln Sie die Anzahl der Jungen und Mädchen des Leistungskurses. Verteilung der Bewertungseinheiten (BE) auf die Aufgabenteile Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe BE Seite 18 von 19 1_Ma_LH_G

19 Zentrale schriftliche Abiturprüfung 01 Erwartungshorizont zu Aufgabe.: Kurswahl a) ( A) = 0,6 0,5 = 0, 16 ( B) = 0,65 0,5 0,65 0,65 0,5 0, 06 P P X: Anzahl der Schüler, die einen Leistungskurs Deutsch belegen X ist (näherungsweise) B10;0, 5 -verteilt. P P ( C) = P( X 8 ) = 1 P( X = 9) P( X = 10) ( C) = 1 0,5 0,8 0,5 0,8 0, 985 b) Y: Anzahl der Schüler, die einen Leistungskurs belegen Y ist (näherungsweise) B5;0, 5 -verteilt. P ( 15 Y 17) = P( Y = 15) + P( Y = 16) + P( Y = 17) 5 = 0, , , , , , , , ,05 = 0,177 5 c) Y ist (näherungsweise) Bn;0, 5 -verteilt. P ( Y 1 ) = 1 P( Y = 0) > 0, 95 n 1 0,65 > 0,95 ; n ln 0,65 < ln0, 05 ; n > 6, 95 Es müssen mindestens 7 Schüler befragt werden. 6 d) Z: Anzahl der Schüler, die einen Leistungskurs Physik belegen Z ist (näherungsweise) B ; p -verteilt. P 0 0 ( Z = 0) = p (1 p) = 0, p = 0,95 ; p 1 = 0, 05, p = 1, 95 entfällt, da p > 1. Der Anteil beträgt 5 %. 5 e) Lösung z.b. über Vierfeldertafel LK Ma nicht LK Ma männlich 5-x x 6 weiblich x 9-x z.b. 5 x + x = 6 x = 11 ; 5 11 = 1 Es sind 1 Jungen und 11 Mädchen im Leistungskurs. Summe der BE in den Anforderungsbereichen Summe der BE 0 Seite 19 von 19 1_Ma_LH_G