Statistik 1. Wahrscheinlichkeitstheorie Experimente Anhang...32

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1 tatstk. Wahschlchktstho..... Boull-Emt..... Bomal-Vtlug Absolut- ud Rlatv- Häufgkt ttlwt (Ewatugswt) omalvtlug (Gaußvtlug) osso-vtlug Ch-Quadat-Tst ( χ² - Tst )...3. Emt...6. Galto-Btt Radoaktv Zfall Ehfst'schs l: "Glchgwcht" Ukotollt chwakugsvogag Ukotollt chwakugsvogag mt Wchslwkug Alls od chts Comutsmulato ds Chmsch Glchgwchts Ahag...3

2 . WAHRCHEILICHKEITTHEORIE.. Boull-Emt Zufallsmt mt u vschd möglch Ausgäg (Egbss) füh zu Bomal-Vtlug. B m solch Emt ttt Egs A (Efolg) mt d Wahschlchkt ud das zu A komlmtä Egs B (ssfolg) mt d Wahschlchkt q. Ds glt auch fü jd Wdholug ds Emts d. h. das Egs A ttt b jd Duchfühug ds Emts mt d glch ud somt kostat Wahschlchkt. a bzcht Emt ds At, b d u vschd sch ggstg ausschlßd Egss mt kostat Wahschlchkt tt kö, als Boull- Emt. Bsl Bm Wuf homog üz sd u d bd sch ggstg ausschlßd Egbss A : Zahl ud B : Kof möglch. tt b jdm Wuf mt d Wahschlchkt ½ ud q ½ auf... Bomal-Vtlug B m hstufg-emt, dass aus -fach Ausfühug s Boull- Emts mt d möglch Egss A ud B bstht, stz w voaus, dass das Egs A jd d Tlmt mt d glch Wahschlchkt (A) cost. ttt ud d Egbss d zl tuf voad uabhägg sd. Btacht w z.b. d Wuf s atzs vo üz, was m -stufg- Boull-Emt tscht. Bm Wuf jd zl üz sd u Egbss möglch, dah wd bm Wf s atzs vo üz L Egbss möglch s vo d s tatsächlch aufttt. D Wahschlchkt, dass blbg üz Zahl zgt st, d Wahschlchkt, dass s Kof zgt st q. Da all üz uabhägg vo ad sd kö w d Wahschlchkt fü das Auftt bstmmt Vtlug (Kofguato) b d üz Zahl ud Kof zg, duch d folgd Ausduck agb:

3 3 w( ) q q q q q q L ( ) ( q q q) q 443 Fakto 443 L Fakto () wob st. E Zustad b d üz Zahl zg, ka jdoch omalws auf vl At alst wd. D altatv öglchkt fü Bsl mt 3 üz, vo d Zahl zg, auf Fld mt 3 tll st folgd Tabll aufgfüht. () () (3) Z Z K Z Z K Z K Z Z K Z K Z Z K Z Z Tab.. I ds Tabll sd all möglch Aodug vo 3 vschd üz, vo d Zahl zg, aufgfüht. D üz, d Zahl zg, sd duch Z bzw. Z dagstllt. D Wahschlchkt fü jd Aodug st ²q. W ab d üz dtsch sd, so sd Etagug, d sch u duch d Idzs utschd, äquvalt, d.h. d Tabll thält also mal zu vl Etagug. Bzch w d st üz d Zahl zgt mt Z ud d zwt mt Z, so ka Z a 3 vschd tll ds Flds sth. B jd möglch latzug vo Z ka Z da a jd d übg tll sth. D möglch Azahl vo dutg Etagug halt w w w d Azahl d möglch latzug vo Z ud Z mtad multlz (sh Abb. ). D möglch Aodug fü üz st dah ( ( )( ) L ( )( ) L )( ) L ( ) ( ) L ( ) Fü 3 üz b d Zahl zg st folglch d Azahl d latzug glch 3 6 od mt d Foml ( ) 3 ( 3 ) 6

4 4 Abb.. D möglch Aodug vo 3 üz vo d Zahl ud Kof zg. D wß Ks symbols d üz, d Zahl zg, ud d gau Ks, d üz, d Kof zgt. D st üz ka auf d 3 vschd tll ds Flds vtlt wd (s.. alt). D zwt üz ka auf d übg lätz vtlt wd (s.. alt). D ltzt üz d Kof zgt ka auf m latz, d auf dm Fld übg blbt latzt wd (s. 3. alt). omt st h d Azahl d vschd Aodug glch a ka ab lcht k, w d üz ud dtsch sd, dass sch d Azahl d vschd Kofguato vo 6 auf 3 duz. Da all üz dtsch sd (cht utschdba) so gbt jd Vtauschug vo Z ud Z k u Aodug somt duzt sch d Azahl d Kofguato vo 6 auf 3. Da d Azahl d möglch mutato glch st, gbt sch fü d Azahl möglch Kofguato b d üz Zahl zg : C( ) () ( ) D gsucht Wahschlchkt (), dass üz Zahl zg halt w dm w d Wahschlchkt w() b d üz Zahl zg summ, d.h., dm w C() mt w() multlz (Gl.() ud Gl.()). W halt somt: ( ) q ( ) (3) Ds Wahschlchktsvtlug wd Bomal-Vtlug gat. W kö ds Glchug auch als Fukto vo ud schb: q (, ) (4) All möglch Aodug vo 3 cht utschdba üz ud d Wahschlchkt, d duch Bomal-Vtlug bschb wd, sd d folgd Tabll aufgfüht.

5 5 () () (3) C() () Z Z Z 3 /8 Z Z K Z K Z 3 3/8 K Z Z Z K K K Z K 3 3/8 K K Z K K K 3 /8 Tab.. All möglch Vtlug vo 3 dtsch symmtsch üz. üz, d Zahl zg sd mt Z, ud d Kof zg sd mt K bzcht. D Azahl d Egbss mt Zahl st ut ud d mt Kof st ut aggb. D Azahl d möglch Kofguato stht ut C(). D ltzt alt gbt d Wahschlchkt fü das Auftt jd Kofguato a..3. Absolut- ud Rlatv- Häufgkt Wdholt ma Zufallsmt mal ( Vsuch) ud ttt dab das Egbs gau ) mal, so glt dftosgmäß: ( Absolut Häufgkt : Rlatv Häufgkt : ( ) od f ( ) ( ) D umm all absolut Häufgkt st glch d Gsamtzahl d Vsuch: ( ), wob ( ) d Azahl d vschd Häufgktsklass agbt. D umm all latv Häufgkt st glch : ( ) f ( ) t zuhmd Azahl d Vsuch wd sch d f ) Wt stabls ud d thotsch Wahschlchkt ds Emts ) aäh: s glt wt : ( ) lm ( ) (5) f ( ) lm ( ) (6) ( (

6 6 Bmkug E Zufallsmt ka aus tuf od mh tuf bsth. Dagg bzch w h mt d Gsamtzahl d Vsuch solch Zufallsmt. Bsl B Wüf vo 4 dtsch ud symmtsch üz (4-stufgs Emt) m Vsuch gab s folgd Egbss: (): () 8, (), () 4, (3) 8, (4) t () bzch w d Azahl d Vsuch mt dm Egbs. Bm Wuf vo 4 üz wat w ach d Tho, folgd Wahschlchkt (thotsch latv Häufgkt): () : () /6, () 4/6, () 6/6, (3) 4/6, (4) /6 () 6 /6 4 /6 /6 3 4 Abb. Bomalvtlug fü 4 üz, w q / st. Aus d Abbldug ka d Wahschlchkt (), dass üz Kof zg, abgls wd. t als d Gsamtzahl d Vsuch, kö w schb: Dvdt ma bd t ds Glchug duch so hält ma: wob lg. f ( ) d latv Häufgkt sd, d Wt zwsch ud t zuhmd Azahl d Vsuch ( ) wd sch d Wt fü f () stabls ud d thotsch Wahschlchkt () aäh.

7 7.4. ttlwt (Ewatugswt) D ttlwt fü ssug mt d sswt,, K, st K (7) a ka d ttlwt d Zufallsvaabl auch mt d latv Häufgkt ausch ( ) ( ) ( ) (8) Dfto ds ttlwts D ttlwt d Zufallsvaabl mt d Wahschlchkt () st: ( ) (9) Bsl Duchschttsot Klass mt tudt: Ahad folgd Tabll bstmm w d ttlwt d ot (Duchschttsot). ot,3 3 3,3 4,7 5 3,3 6, ,7 3,3 od ot Azahl vo tudt,3 3,7 4 3, ,9,79 od

8 8,79 7,9 ) 4 3 3,7 (, Dfto d Vaaz s² D Vaaz σ² st d Ewatugswt d Zufallsvaabl ( )², duch d d mttl quadatsch Abwchug vom ttlwt bschb wd ( ) ( ) σ () Häufg wd d tadadabwchug σ als tumaß vwdt. bschbt d mttl Abwchug d Zufallsvaabl vom ttlwt ud hat d glch Dmso ud Eht w d ttlwt. Vaaz d tchob d d Azahl d Vsuch kl, so st d Vaaz ggb duch: ( ) σ () Fü goß ght ds Foml d o.g. Foml üb Bws: Da K st, glt : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 od σ d. Zl wud fü goß d m vachlässgt.

9 9.5. omalvtlug (Gaußvtlug) B goß (mt,,,, ) scht d Bchug d Foml fü d Bomal- Vtlug cht schwg zu wd. Fü d Fall, w q / st, kö gwss ähugsmthod butzt wd mt d () sch stak vfacht ud duch d Gauß-Vtlug bschb wd ka [ ] ( ) () π σ σ wob σ² q d Vaaz ud d ttlwt sd Abb.3 Ds Gafk zgt d Bomal-Vtlug fü 3 ud q ½. D Wahschlchkt () st b dm ttlwt / ( 5) am höchst HL..8.6 HL Abb. 4 Gaußvtlug fü 3 bzw. 3. a ka sh, dass das amum bd Kuv bm ttlwt / lgt. Fü göß wd das amum mm schäf.

10 ttlwt ud Vaaz Bomal-Vtlug ud Gauß-Vtlug D Ausduck fü d omal-vtlug kö w zu Bchug vschd ttlwt hazh. tatt umm ausch zu müss kö w das tschd Itgal auswt. Da () sch vom gazzahlg Wt vo zum ächst kaum ädt, ka d umm duch Itgal stzt wd. ( ) ( ) d [ ] q π q d Zu Vfachug wud d Itgatosbch vo bs dft. Das kö w mt sh gut ähug tu, wl () b auschd goßm ( ) ohh vachlässgba gg wd. t d ubsttuto y ud /(q) α folgt π q ( ) ( α y y ) dy π q π q y α y dy α y α π α α y dy Das st Itgal st aus ymmtgüd glch ull ud das zwt Itgal hat d Wt (π/α). t d Rücksubsttuto halt w da π q π q Fü d Vaaz gbt sch aalog σ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) q π q q d d

11 .6. osso-vtlug I vl Awdug tt Egbss vo Boull-Emt sh slt, d.h. mt u gg Wahschlchkt auf. E Bsl fü solchs Egbs lft d adoaktv Zfall s chmsch Elmts, b d d zl Atomk mt kl Wahschlchkt zfall d.h. d Azahl d o kud zfalld Atomk st sh gg m vglch zu goß Azahl d sgsamt vohad K. Ds Egbss d also latv slt auftt güg d osso-vtlug : ( ) ( ) K,,, (4) wob glch dm ttlwt d Vaabl st. D osso-vtlug lässt sch aus d ähug fü d Bomal-Vtlug, w d Wahschlchkt d Efolgsgss sh kl ( ) ud d Azahl d Emt sh goß ( ) sd, hlt. Dab wd voausgstzt, dass d ttlwt. kostat blbt (s. Ahag). st glch dm ttlwt d Vaabl ( ) Bws ach d Dfto ds ttlwts glt ( ) W w d umm auf d Bch ausdh, st d Fhl sh kl, da () fü goß Wt vo vachlässgba kl wd ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j I d voltzt Zl wud st d ummd duch j stzt, ud so stllt d ltzt umm d Rhtwcklug d Eotalfukto da. D Bws ka auch mt d amum-lklhood-thod duchgfüht wd (s. Ahag).

12 Bsl Bm adoaktv Zfall st d Zufallsvaabl ( Azahl d Atomk d m bstmmt Zttvall zfall) osso-vtlt mt dm aamt. Ds gbt dab a, w vl Atomk duchschttlch o kud zfall. B m szll äaat zfall m ttl o ut 3 K. W goß st d Wahschlchkt dafü, mt m Zählgät mh als 3 Zfäll o ut zu gst? Im ttl zfall o ut 3 Atomk. omt st 3 ud d Wahschlchktsfukto d osso-vtlt Zufallsvaabl lautt dah: 3 3 ( ) (,,, K ) D Wahschlchkt fü das Egs > 3 st: ( > 3) [ 3 4,5 4,5 ] () Abb. 5. D ossovtlug () als Fukto vo fü d ttlwt 3.

13 3.7. Ch-Quadat-Tst ( c² - Tst ) D Emtato hat d Vmutug, dass d mttlt Häufgkt bstmmt Egss m Emt bstmmt Vtlug (z.b. Gaußvtlug, Bomalvtlug, ossovtlug, ) ghoch. D χ² - Tst dt zu Übüfug ds Hyoths. th ( ) mt als d Gsamtzahl d Vsuch d ach d agomm Vtlug () watt Häufgkt, ud d mtll aufgtt Häufgkt. Da stllt d Göß χ² aß fü d Abwchug zwsch d mtll ud d watt Häufgkt da: th ( ) th χ (5) wob ( ) d Azahl d vschd Häufgkt agbt. laug ud Duchfühug ds Ch-Quadat-Tsts. a stllt d Hyoths auf, dass d mtll Egbss gwss Vtlug () ghoch, d duch d hysk ds Emts ahglgt wd.. D aufgud d Hyoths watt Häufgkt (thotsch Häufgkt) wd bcht. th ( ) 3. Aus d thotsch bcht Häufgkt mttlt Häufgkt wd χ bcht. th ud d mtll 4. a lgt kl gfkaz-zahl α fst ( d as mst α, od α,5) ud bstmmt da ktsch Gz c,so hab d Wt vo χ², d uthalb ds ktsch Gz lg, d Wahschlchkt α. omt glt : (χ² c) α D ktsch Gz c tlt dab das Itvall χ² cht-ktsch ud ktsch bch ud lässt sch mt Hlf d Tabll d Ch-Quadat- Vtlug lcht bstmm. 5. a mttlt d Zahl d Fhtsgad f t s, wob t d Azahl d vschd Häufgktsklass ud s d Zahl d ubkat aamt d Vtlugsfukto () agbt. D Zahl d Fhtsgad wd och um s vgt, wl d schäkd Bdgug bstht.

14 4 6. a vglcht d sch aus d mtll Dat gbd χ -Wt mt dm Wt χ α c, d ma fü d gwählt Wt vo α ud d sch gbd Wt fü d Fhtsgad f vo d Tabll m Ahag tmmt. 7. chlussfolgug: Lgt d bcht Tst- od üfwt χ uthalb d ktsch Gz c,d.h. glt χ χα c, so wd d Hyoths agomm, asost zugust ad Hyoths abglht. D gwählt gfkatzahl α st dab d Itumswahschlchkt, d.h. d Wahschlchkt dafü, a sch chtg Hyoths abzulh. Amkug d od mh aamt d Vtlugsfukto ubkat, so muss zuächst d ähugswt ds aamt bstmmt wd (z. B. mt Hlf d amum-lklhood- thod s. Ahag). f(χ²) c Abb. 6 Vlauf d omt Dchtfukto Ch-Qudat-Vtlug. D Fläch ut d Fukto f(χ²) st glch. Rchts vo c lgt d ktsch Bch. D Fläch ut d Kuv st vo bs c glch α ud vo c bs glch α. (Qull: of. Uch s ag Kyoto Uvsty )

15 5 Bsl E Emtato hlt b Wüf mt m homog Wüfl folgd Egbss (Häufgktsvtlug d 6 möglch Augzahl): Augzahl Absolut Häufgkt t dm Ch-Quadat-Tst soll u übüft wd, ob d Hyoths, dass all 6 möglch Augzahl glchwahschlcht sd, agomm wd ka.. ach us Aahm sd all Augzahl glch. omt st: () /6 (fü,,,6). D Thotsch Häufgkt sd: th ( ) (fü,,,6) 6 3. Aus d thotsch bcht Häufgkt ud d mtll mttlt Häufgkt aus d Tabll wd χ bcht. χ 6 th ( ) 4 th ,5 4. Als gfkaz-zahl α (Itumswahschlchkt) wähl w α,5. 5. D Vtlugsfukto () /6 thält k aamt. Folglch st d Zahl d Fhtsgad glch: f t s Aus d Tabll m Ahag hält ma mt f 5 ud α,5 fü d ktsch Gz: c χ,7 α 7. Da ( 5,5) ( χ,7) χ α st, so st das mtll Egbs ut Bückschtgug d gwählt gfkaz-zahl mt d gwählt Hyoths vtäglch.

16 6. Emt. Galto-Btt Das Galtobtt bstht aus glmäßg Aodug vo Hdss (tuf), a d Kugl jwls ach chts od lks aball ka. ach dm ass d Hdss wd d Kugl Bhält aufgfag. Das Btt st so kostut, dass d Ablkug, d d Kugl vo d zl Hdss ach chts od lks fäht, cht davo bflusst wd, ob s a dm vohghd Hds ach chts od lks abglkt wod st. B jdm Aufall Kugl a m Hds gbt s Egbss: Ablkug ach chts ( X ) Ablkug ach lks ( X l ) Ist das Btt symmtsch aufgstllt so glt: Wahschlchkt fü Ablkug ach chts ½ Wahschlchkt fü Ablkug ach lks q ½ Ist das Btt usymmtsch aufgstllt so st ½ ud atülch wth q. Abb. 7. D Abbldug zgt Galto-Btt mt 4 tuf ud 5 Bhält. (Qull: Wkda.og) Ahad s Bsls dskut w das oblm, w Kugl m symmtsch Btt mt 4 wagcht Rh vo Hdss bstmmt Bhält fällt. Es gbt u öglchkt ( Wg), dass Kugl d st Bhält (. ) fällt. D Kugl muss auf jd tuf ach lks ablkt wd: (l, l, l, l) Es gbt 4 vschd Wg fü d Kugl um d zwt Bhält (. ) zu glag. D Kugl muss mal ach chts ud 3 mal ach lks aball: (, l, l, l), (l,, l, l), (l, l,, l), (l, l, l, )

17 7 Es gbt 6 vschd öglchkt um d dtt Bhält (. ) zu glag. D Kugl muss mal ach chts ud mal ach lks abglkt wd: (,, l, l), (l,,, l), (l, l,, ), (l,, l, ), (, l,, l), (, l, l, ) Es gbt 4 Wg um d vt Bhält (. 3) zu glag. Es gbt u Wg um d füft Bhält (. 4) zu glag. Isgsamt sd s also 6 vschd Wg, d all glch wahschlch sd. A jd tuf st d Wahschlchkt ach chts od ach lks abglkt zu wd glch ½. omt st d Wahschlchkt fü Ablkug a 4 tuf ggb duch: 6 Folglch sd d Wahschlchkt, dass Kugl d vschd Bhält ladt ggb duch: Bhält- umm Azahl d Wg um Bhält zu glag D Wahschlchkt, dass Kugl d Bhält fällt Lässt ma u glch Kugl vo ob duch das Btt fall so ka ma thotsch folgd Azahl vo Kugl jdm Bhält wat: Bhält : /6 6,5 (d.h. 6 bs 63 Kugl) Bhält : 4/6 5 Bhält : 6/6 375 Bhält 3 : 4/6 5 Bhält 4 : /6 6,5 Jd Aufall Kugl auf Hds st Boull-Vsuch, da das Btt aus mh tuf (Hdsh) bstht, hadlt s sch um mhstufg Boull- Vsuch. Aus dm Bsl ds Galto-Btt mt 4 tuf ka ma lcht k, dass d Wahschlchkt fü das Glag Kugl bstmmt Bhält duch Bomalvtlug bschb wd ka. E aalog Üblgug fü Btt mt tuf gbt:

18 8 ( k) ( k) k k (,,, K, ) wob d Zahl d tuf ud d Zufallsvaabl k d Bhält-umm agbt. Abb. 8. B u m Hds A st d Wahschlchkt / fü lks ud fü chts, od, ads fomult, m ttl fällt d Hälft all Kugl ach chts ud d Hälft ach lks. Damt tfft jwls d Hälft d Kugl auf B ud d ad Hälft auf C, wo s sch wd mt glch Wahschlchkt / ach lks ud chts auftl. Damt fällt ab u och (/) (/) /4 d Kugl a B ach lks, /4 a C ach chts, ud jwls /4 vo lks ud vo chts d Zwschaum zwsch B ud C. H add s d Wahschlchkt also, ud /4 /4 /4. Ahad d Abbldug ka ma wt vfolg, w d tom d Kugl sch a jd Hdsh auftlt. Im Bsl hab all ds Wahschlchkt d 6, da s 4 Rh vo Hdss sd (6 4 ). D Zähl gb sch duch Add d Zähl d Rh daüb, was d Vgug d Kuglstöm d Zwschäum tscht. (Qull: Wkda.og) Vallgmug B m mhstufg Zufallsmt st d Wahschlchkt s Egbsss glch dm odukt d zl Wahschlchkt tlag ds zughög fads. omt st z.b. d Wahschlchkt, dass Kugl m 4 stufg Btt d Bhält. (k ) fällt glch q 4 (s. Abb.).D Wahschlchkt fü d Ablkug ach chts bzch w mt ud fü lks mt q. Hat u das Btt tuf, so st d Wahschlchkt, dass Kugl tlag s fads (Wgs) blbg Bhält k fällt glch: k k q. D um d k-t Bhält zu glag muss d Kugl b m -stufg Emt k mal ach chts ud k mal ach lks abglkt wd. Es gbt u mh öglchkt d Bhält, d cht am lk od cht Rad sth, zu glag. Aus d folgd Abbldug ka ma sh, dass s z.b. 4 vschd Wg (fad) gbt, um d Bhält. (k ) zu fall (od sh das Bsl ob).

19 9 Es st zu k, dass d Azahl d Wg zu d Bhält, duch d Bomal- Koffzt k ( k ) k (,,, K, ) bschb wd ka. Um d Wahschlchkt, dass Kugl bstmmt Bhält fällt, zu bch, müss d Wahschlchkt tlag d vschd Wg addt wd. Ds gbt: k k ( k) q k K k ( k) (,,,, ) W das Btt usymmtsch stht da sd ud q cht mh glch ½. q 3 4 Abb. 9. E Galto-Btt mt 4 tuf, (d Hdss sd duch gau Ks ud d Bhält sd duch Quadat dagstllt). Es gbt 4 vschd Wg um d Bhält k zu ch, d.h. d Kugl muss mal ach chts ud 3 mal ach lks aball. D Wahschlchkt a jd tuf st fü lks q ud fü chts. Folglch sd d zl Wahschlchkt tlag d vschd fad zum Bhält k ggb duch: (qqq, qqq, qqq, qqq) (q³, q³, q³, q³). Um d Wahschlchkt fü das glag d Bhält k zu bch, müss ds 4 Wahschlchkt mt ad addt wd. Ds gbt: (k ) 4 q³.

20 Emt mt dm Galto-Btt Aufgab Es st duch Emt fstzustll, ob ggbs -stufgs Galtoschs Btt Egbss lft, d mt Bomalvtlug bschb wd kö (Tst Hyoths). Dazu lässt ma z.b. Kugl ( Emt mt j Kugl) duch das Galto- Btt lauf, ott d Zahl { m ; m ; m ; K ; m k ; K ; m } d Kugl d zl Bhält. B Emt hält ma ätz vo Zahl{ m ; m ; m ; K ; m }. a summt d zl mk -Wt ud hält schlßlch atz { ; ; ; K ; k ; K ; }. Auswtug Es lg u Dat vo (tchobgbss), d aalyst wd soll, ob s mt m -stufg Boul-Vsuch vtäglch sd od cht (d.h., ob s mt Bomalvtlug bschb wd kö od cht). D Aufgab wd mt dm sogat "χ²-güt d Aassug" Tst glöst. th k, wob d Gsamtzahl d Kugl st.) (Hws: ( ) k mulato s Galtosch Btts Aufgab Es st ogamm zu schb, mt dss Hlf sch Emt auf dm Galto-Btt smul lass. Es sd mulato duchzufüh. D Egbss sd d m vohghd Abschtt gschldt Ws auszuwt. mulato folgd Emt sd auszufüh: a) Kugl lauf üb Galto-Btt mt 8 Hdsh. Es wd agomm, dass das Btt "fa" st, d.h. dass a jdm Hds d Kugl mt glch Wahschlchkt ach chts (,5) od ach lks ( q,5) abglkt wd. Es fd Duchläuf statt. Das hßt, d mulato lauf 56 Kugl - mal duch das Galto-Btt. b) Kugl lauf üb Galto-Btt mt 8 Hdsh. Es wd agomm, dass das Btt cht "fa" st. A jdm Hdss wd d Kugl mt d Wahschlchkt,45 ach chts ud mt d Wahschlchkt q,55 ach lks abglkt. Es fd Duchläuf statt. Das hßt, d mulato lauf 65 Kugl mal duch das Galto-Btt. Das ogamm st m Flussdagamm dazustll. E "Lstg" ds "ouc-fl" st dm Assstt vozulg.

21 Auswtug d mulato: D mulato lft d Vtlug d. 56 Kugl auf d 9 Bhält. D Egbss d mulato (a) ud (b) sd jwls m Hstogamm dazustll. I das Hstogamm st auch d auf d Gudlag d Bomalvtlug watt Vtlug d Kugl zuzch. Fü bd mulato st χ²-tst mt α,5 duchzufüh. t Hlf ds χ²-tsts st zu zg, dass das Egbs vo mulato (a) cht vtäglch st mt d Hyoths Bomalvtlug mt,45 (q,55). t Hlf ds χ²-tsts st zu zg, dass das Egbs vo mulato (b) cht vtäglch st mt d Hyoths Bomalvtlug mt q,5. Fü jd d Duchläuf d mulato (a) od (b) st d ttlwt k < k > sow d Vaaz σ² < ( k < k >)² >, D ttlwt sd m Hstogamm dazustll, bso d Vaaz. Wlch Vtlug ghoch d ttlwt, bzw. d Vaaz?.. Radoaktv Zfall Aufgab I adoaktv ubstaz sd aufad folgd Zttvall d Läg t d Zahl d Zfäll o Zttvall zu mss. Es st fstzustll, ob d mtll Egbss duch osso-vtlug bschb wd kö. Dazu st d χ²-tst zu vwd. Auswtug Zu mttl st d Zahl d Emt mt Zfäll m Zttvall t D zu tstd Vtlugsfukto: ( ) thält aamt dss Wt cht gau bkat st. D Wt dss aamts zu mttl. Aschlßd st χ²-tst duchzufüh.

22 .3. Ehfst'schs l: "Glchgwcht" D m folgd bschb Kuglsl, d vo. Eg ud R. Wkl hm Buch "Das l" dskutt wd, hab das Zl, Eblck g statstsch ozss zu gb, d d hyskalsch Chm Roll sl. Fü dss l sth zu Vfügug: quadatschs lfld mt 6 6 Fld ( 36) (D t d lfläch sd mt Zahl vsh, um d Koodat d zl Fld fstzulg.) 36 gü ud 36 glb Kugl Wüflaa (bzw. Taschch) zu Ezugug vo Zufallszahl, um d Fld d quadatsch Fläch zu wüfl Ehfst'schs l k : Dffz zwsch d Zahl d gü Kugl auf dm Btt ud d Halbbstzug d Fld mt gü Kugl (k /) : Zahl d Fld auf dm Btt lgl Zu lbg (d.h., all st Gu) wd d 36 Fld mt gü Kugl bstzt. Da wd gwüflt. D Kugl, d sch auf dm wüflt Fld bfdt, wd hausgomm ud duch Kugl d ad Fab aus dm Rsvo stzt. ach jdm Wuf wd d aktull lstad ott, dm d Dffz k zwsch d Zahl d gü Kugl auf dm Btt ud d Halbbstzug d Fld mt Kugl (k /) mttlt wd. D lvlauf wd gahsch dagstllt, dm d Zahl k als Fukto d Zahl d Wüf w aufgtag wd. ach 5 Wüf wd das l wllkülch utboch. D zu dsm Ztukt vohad Vtlug vo gü ud glb Kugl st d Ausgagsstuato fü das ächst l. (Jd aktkatgu slt l mt 5 Wüf.)

23 3 tatstsch Aalys ds Glchgwchtszustads Bzch w d Azahl d gü Kugl mt ud d glb mt, da das Btt Fld bstzt, glt mm : D Wahschlchkt, dass blbgs Fld auf dm Btt mt gü Kugl bstzt st bzch w mt ud das s mt glb Kugl bstzt st mt q. Da mt ds Fab all öglchkt schöft sd bsagt d omugsbdgug, dass q D Wahschlchkt fü das Auftt bstmmt Vtlug auf dm Btt, dass Kugl gü ud Kugl glb sd, st ggb duch: ( ) ( q q q) q 443 Fakto 443 L Fakto E Zustad, b dm das Btt mt gü Kugl ud glb bstzt st, ka jdoch omalws auf vl At alst wd. D Altatvmöglchkt fü Bsl mt sgsamt 4 Fld sd d folgd Abbldug aufgfüht. Abb. D Vtlug vo 4 Kugl auf 4 lätz. D gü Kugl sd duch gau Ks ud d glb duch wß Ks dagstllt. D Azahl d Kofguato C() mt gü Kugl ( ) st am höchst (C() 6).

24 4 t dal cht-dtsch Wüfl, d u zw t hab (z.b. zw uglchüz) ka ma 4 vschd Zahl-Kombato, ämlch (,), (,), (,), ud (, ) zug, d all mt d glch Wahschlchkt vokomm. omt st d Chac jds Fld zu tff glch. Folglch wd d Vtlug d Kugl auf dm Btt Bomalvtlug s. E ählch Üblgug fü Btt mt 36 Fld ud dal cht-dtsch Wüfl mt jwls 6 t füht zum glch Rsultat. Also st d gsucht Wahschlchkt ggb duch: ( ) ( ) q wob d Vaabl d Zahl d gü Kugl ud d Gsamtzahl d Fld agbt. Da d Wahschlchkt gü od glb zu bkomm glch st glt : q ½ omt gbt sch ( ) ( ) I dsm Vsuch tss w us fü d Dffz zwsch d Zahl d gü Kugl ud d Halbbstzug d Fld / k / omt st ( k) k k Es st lcht zu k, dass das amum (k), d.h., d Wahschlchst tuato b k lgt. Aufgab. D 36 Fld ds lbtts wd tschd dm lstad ds vohghd ls (d vohghd aktkatgu) mt gü ud glb Kugl bstzt. (Ausahm: all st Gu, sh vo ut lgl"). Das l wd duch 5 Wüf wtgfüht. ach jdm Wuf st d Dffz k zwsch d Zahl d gü Kugl auf dm Btt ud d Halbbstzug / d Fld zu mttl ud gahsch dazustll. (k /)

25 5 3. Wähd s ls mt 5 Wüf st fstzustll, w oft k d Wt ; ± ; ± ; ; ±8 ammt. 4. ach 5 Wüf st d Bstzug jds zl d 36 Fld mt gü ud glb Kugl fstzustll ud zu ot (Ausgagszustad fü d ächst Gu). 5. D Egbss d Aufgab 3 ud 4 sd Lst zutag, d bm btud Assstt auslg. Auswtug Fü d Auswtug st d Gsamtht () d d Lst aufgfüht lgbss m statoä Zustad zu vwd. Zu bch sd:. d ttlwt k < k > ud d Vaaz σ² < ( k < k >)² >,. d Wahschlchkt (k) fü das Auftt vo k-wt ; ± ; ± ; ; ±8, 3. d latv Häufgkt d k-wt ; ± ; ± ; ; ±8 a Had d gsamt volgd lgbss (latv Häufgkt: Zahl d Wüf mt dm Egbs k dvdt duch Gsamtzahl d Wüf ). D latv Häufgkt sd als Fukto vo k gahsch dazustll. Außdm zuzch st d auf Gud Gaußvtlug zu watd Vtlug d k-wt um < k >. 4. t Hlf ds χ²-tsts st zu übüf, ob d mtll gfud Häufgkt d k-wt mt Bomalvtlug bschb wd kö. Bmkug Das Ehfst'sch l st ggt, chwakug um chmsch Glchgwchtszustad zu smul (sh dazu "Comutsmulato ds Chmsch Glchgwchts"). ot blau F gü ( b F g) mt g b Um zu zg, dass chwakug um Glchgwchtszustad sch uabhägg vo d Zahl d Tlchsot, d a dm chmsch Glchgwcht btlgt sd, vhalt, ka das l mt v Fab duchgfüht wd. Fü ds lvaat wd och dtt Wüfl bötgt: Ttad-Fabwüfl (blau, glb, gü, ot). Ds Wüfl bstmmt, duch wlch Fab d jwls wüflt Kugl stzt wd soll.

26 6.4. Ukotollt chwakugsvogag Das Ehfst'sch l zgt, dass chwakug um Glchgwchtszustad slbstguld Chaakt hab. D Rückstllug ds Glchgwchts wd um so wahschlch, j wt sch das ystm vom Glchgwcht tft. Das l, das jtzt gschldt wd soll, smult völlg cht-dtmt chwakugsozss. Es stllt l oh lbstgulug da. Da utschdt s sch vom Ehfst'sch l. Fü dss l sth zu Vfügug: quadatsch Fläch vo 6 Fld (4 4) ("dal") Wüfl 6 gü ud 6 glb Kugl lgl Zu Bg ds ls (all st aktkatgu) wd d Hälft d lfläch blbg mt 8 gü Kugl bstzt; d ad lhälft mt 8 glb Kugl. Da wd gwüflt. Wd gad Zahl wüflt, so wd blbg gü Kugl duch glb Kugl aus dm Voat stzt. Wd ugad Zahl wüflt, so wd blbg glb Kugl duch gü Kugl stzt. ach sgsamt 5 Wüf wd das l wllkülch utboch. D zu dsm Ztukt vohad Zahl vo gü ud glb Kugl st d Ausgagsstuato fü wt l. d auf dm lbtt gdwa u och Kugl Fab übg gblb, ud ma soll bm ächst Wuf och Kugl dslb Fab dazu tu, so st ds has ds ls auf Btt mt 6 Kugl d ad Fab zu "sg" ud dot wtzusl. Das hßt, das l wd "zyklsch" gslt ud somt sd d Kofguato: all glb" ud all gü" als äquvalt zu btacht. Aufgab. D 6 Fld sd blbg Ws mt gü ud glb Kugl zu bstz. D Zahl d gü bzw. glb Kugl st vom Assstt zu fah, d d Vsuch btut.. Es sd 5 Wüf auszufüh. 3. ach jdm Wuf wd das Vhälts γ d Zahl d gü Kugl zu Zahl glb Kugl auf dm Btt mttlt. γ /

27 7 4. ach jdm d 5 Wüf st fstzustll, w oft d Vhältss γ /5, /4, 3/3,, 5/, 6/ ( /6) aufgtt sd. 5. ach dm 5.Wuf st d Zahl d gü ud glb Kugl gsodt zu ot. Das ächst l bgt mt ds Zahl vo gü ud glb Kugl. Das Egbs d Aufgab 4 ud 5 st Lst zutag, d bm Assstt auslgt. Auswtug Fü d Auswtug st d Gsamtht () d d Lst aufgfüht lgbss zu vwd. Bch a Had d lgbss d Wahschlchkt fü das Auftt d vschd Vhältss γ, vglch das Egbs mt dm d Tho. D Tho fodt, dass jd Abwchug vo d Glchvtlug ( /, : Zahl d Fld) glch wahschlch st.

28 8.5. Ukotollt chwakugsvogag mt Wchslwkug Fü dss l sth zu Vfügug: quadatsch Fläch vo 6 Fld (4 4) ("dal") Wüfl 6 gü ud 6 glb Kugl lgl D Hälft d lfläch wd mt 8 gü Kugl bstzt ud d ad lhälft mt 8 glb Kugl. Da wd gwüflt. Wd gad Zahl wüflt, so wd blbg gü Kugl duch glb Kugl aus dm Voat stzt. Wd ugad Zahl wüflt, so wd blbg glb Kugl duch gü Kugl stzt. Es wd Zusatzgl gfüht, d Wchslwkug zwsch bachbat, glchfabg Kugl smult: glb Kugl (gü Kugl) d vollstädg vo gü Kugl (glb Kugl) umgb sd, wd duch gü Kugl (glb Kugl) stzt. Ut "achba" sd u d v ächst othogoal "achba" zu vsth. ach jdm Wuf wd d Lag d Kugl auf dm Fld ut dm Gschtsukt d Zusatzgl utsucht. D aktkat soll sch slbst wt svoll Zusatzgl fü d "achba" d Kugl am Rad ds lflds ausdk. Das l st zu Ed, w Kuglsot ausgstob st, d jd u s l kommd Kugl ds ot st da automatsch vo Kugl d ad t umgb. Ds lvaat soll zg, w aus kooatv Wchslwkug zusammhägd has tsth kö. Aufgab. Das l st bs zum Ed duchzufüh.. D Zahl d Wüf, d fü d Bdgug ds ls bötgt wd, st Tabll zutag, d bm Assstt auslgt. Außdm st d Fab d Kugl zu ot, d am ld d Fld bstz. 3. D Zusatzgl fü d Kugl am Rad ds lflds st m g otokoll zu vmk ud zu bgüd.

29 9.6. Alls od chts Fü dss l sth zu Vfügug: quadatsch Fläch vo 36 Fld (6 6) mt Koodatbzffug ggts ("dals") Wüflaa 36 gü ud 36 glb Kugl lgl Zu lbg wd d 36 Fld gllos mt 8 gü ud 8 glb Kugl bstzt. Da wd gwüflt. D Kugl, d wüflt wd, wd vdolt. Ewüflt ma zum Bsl gü Kugl, so tft ma blbg glb Kugl ud stzt ds duch gü Kugl aus dm Rsvo. Es wd so lag gslt, bs all Fld twd duch gü od glb Kugl bstzt sd. I dsm l st d Glchvtlug totz glch Auf- ud Abbauchac bd Kuglfab stabl. Fluktuato vstäk sch ud füh mm zu Alls od chts-etschdug fü das Vohads d od d ad Kuglfab. Aufgab. Es sd so vl Wüf auszufüh, bs all Fld duch gü od glb Kugl bstzt sd.. ach jdm Wuf st d Dffz k zwsch d Zahl 3. d gü Kugl auf dm Btt ud d Halbbstzug Fld / (: Zahl d Fld) zu ot. 4. D lvlauf st Dagamm zutag. 5. D Zahl d Wüf bs ld ud d Fab d Kugl, mt d b ld all Fld bstzt sd, st Lst zutag, d bm Assstt auslgt. Auswtug Fü d Auswtug st d Gsamtht () d d Lst aufgfüht lgbss zu vwd.. Bch d Wahschlchkt fü d Vwklchug ds jwlg Edgbsss hschtlch d Kuglfab.. Bch s d ttlwt ud d Vaaz d Wufzahl b ld.

30 3.7. Comutsmulato ds Chmsch Glchgwchts (J.F. Cull, J. Chm. Educ. 66, 3 (989)) a dk sch ot Kugl, b blau Kugl ud g gü Kugl (zusamm Kugl) Rh agodt ud h Otskoodat vo bs duchummt. E Comut st so ogammt, dass aa vo Zufallszahl zwsch ud zugt. Ds Zahlaa wd dazu vwdt, zw Kugl aus d Rh d Kugl zu lokals. D Fab d "wüflt" Kugl wd mttlt. Dab wd folgd Rgl bachtt: Ist d Kugl ot gfäbt ud d ad Kugl blau, wd bd Kugl duch j Kugl mt gü Fab stzt. d bd Kugl gü gfäbt, wd d Kugl duch ot gfäbt ud d ad duch blau stzt. B all ad Fabkombato wd k Kuglaustausch vogomm. Dss l stllt mulato d Rakto: blau ot gü da. Glchgwchtszustad Bgt ma das l bslsws mt u gü gfäbt Kugl (z.b. g ), so cht d mulato ach gwss Alaufhas Glchgwchtszustad, d zu aalys st: ach jdm chtt m Glchgwchtszustad (od ach mh chtt) wd das folgd Vhälts gbldt: g b K g Zahl d gü Kugl b Zahl d blau Kugl Zahl d ot Kugl Es gbt sch Folg vo Wt d "Glchgwchtskostat" K, d zu aalys st. Aufgab: Rakto m Glchgwchtszustad. Bchug ds ttlwts vo K ; Bchug d latv Häufgkt d aufttd (K ± δk)-wt ; Gahsch Dastllug: (K ± δk) vsus K ; Ezch Gauß-Vtlug d gahsch Dastllug ; χ²-tst fü Gauß- Vtlug.. a stll Vsuch mt vschd Kugl-Gsamtmg (z.b. ; ; ; ) ud glch Kuglzahlvhältss a. D Utschd d Vtlug d K - Wt st zu dskut.

31 3 3. Ausghd vo vschd cht-glchgwchtszustäd (z.b. ; 3; 5; ) b g sd d Zahl d ot, blau ud gü Kugl m Glchgwcht zu mttl, außdm d Wt d Glchgwchtskostat. B ds mulato ka auch das "Lösugsmttl" daduch bückschtgt wd, dass wß Kugl (abgküzt w) gfüht wd, d a d "chmsch Rakto" cht tlhm (z.b. ; ; 4; b g w 3; ). 4. E Vschbug ds Wts d "Glchgwchtskostat" ka daduch smult wd, dass ma d lgl modfzt: Wd Kugl mt ot Fab ud mt blau Fab ausgwählt, da wd Zufallszahl m Bch bs zugt. Hat d Zufallszahl d Wt, so wd d bd Kugl duch zw gü stzt. Hat d Zufallszahl Wt vschd vo, so wd d ubsttuto cht duchgfüht. E datg mulato st duchzufüh. D Glchgwchtskostat st zu mttl. Duch ds u Rgl, d lgl modfzt, wd d Rakto b T g schwt (Ehöhug d Aktvugsg). Es st zu wat, dass d ttlwt d "Glchgwchtskostat" um d Fakto / kl als b mulato oh ds Zusatzgl st. I tschd Ws ka d Wt d "Glchgwchtskostat" auch höht wd: D Rakto b g wd schwt, dm d gschldt Zusatzgl auf lgl agwadt wd. Es st solch mulato duchzufüh.

32 3 3. Ahag a f Tab. D Tabll thält d χ² fü vschd α Wt Abhäggkt vom Fhtsgad f (Qull: guma uvsty j)

33 33 Kombatok d tll ud vschd (cht-dtsch) üz vohad, so kö w d st üz auf vschd tll latz, d. üz auf d übg tll latz usw. Dah gbt s fü d Aodug ds üz ( )( ) L öglchkt. Bsl ma ka 3 vschd Buchstab A, B, C auf 3 6 vschd At aod. A B C A C B B A C C A B B C A C B A. d vo d üz jdoch üz dtsch, so fall all j Aodug zusamm, d duch Vtauschug d glch üz utad hvogh. Ds Vtauschug sd auf vschd At möglch. Fü üz vo d dtsch sd, duzt sch also d Azahl d möglch Aodug auf : C ( ) Bfd sch ut d üz jwls K k,,, K k glch üz, wob st, so gbt sch d folgd Azahl vo vschd Aodug : C( ) L k d u tll, ud cht-dtsch üz mt < vohad, so kö w d st üz auf vschd tll, d. üz auf d übg tll, ud d -t üz auf d zultzt übg tll latz. omt st d Azahl vschd Aodug C( ) ( )( ) L ( ) ( ) m ( )( ) L ( )( ) L ( ) L wob m d Azahl d ubstzt tll st. B jd Aodug blb mm m tll ds Flds ubstzt.

34 34 d u d üz dtsch so gbt sch C ( ) ( ) m Bstz w u d m f tll mt m dtsch üz, d ab vschd vo d üz sd, so wd duch d obg Foml d möglch Azahl vschd Aodug aggb. Z Z.. Z Z Z Z Z. Z Z Z Z Z3 Z Z Z3 Z Z Z3 Z Z Z3 K4 Z Z Z3 K4 Z Z Z3 K4 Z Z K4 Z3 Z Z K4 Z3 Z Z K4 Z3 Z Z Z3 K4 K5 Z Z Z3 K5 K4 Z Z K5 Z3 K4 Z Z K4 Z3 K5 Z Z K4 K5 Z3 Z Z K5 K4 Z K5 K4 Z3 Z Z I ds Tabll sd g Aodug fü 5 vschd üz Z Z Z3 K4 K5 auf Fld mt 5 tll gtag. D st üz Z ka ma auf 5 vschd tll latz (sh. Zl d Tabll). W d lätz duch d st üz bstzt st ka d zwt üz Z auf d 4 übg tll latzt wd (sh. Zl d Tabll) usw. Dah gbt s vschd Aodugsmöglchkt. I d ltzt Zl d Tabll gb d 6 Fld auf d lk t d 6 vschd Aodugsmöglchkt w Z bzw. Z auf dm st ud zwt latz ds Flds sth. d jdoch d üz Z Z ud Z3 dtsch so duzt sch d Azahl d vschd Aodug auf (5 ) /( 3 ). d u K4 ud K5 auch mtad dtsch, so st d Azahl d vschd Aodug (5 )/ (3. ). Fü 5 üz, d all dtsch sd ab 3 davo Zahl ud Kof zg glt d glch Üblgug d.h. dsm Fall gbt s auch vschd Aodug.

35 35 osso-ähug W d Wahschlchkt sh kl wd: <<, ud so goß st, dass: <<, glt, ud Wt mttl Göß hat kö w folgd ähug fü d Bomal- Vtlugsfukto ( ) ( ) q mach. Da ( ) ( ) L ( )( ) st, gbt sch fü << folgd Bzhug: ( ) ( ) Als ächsts utsuch w d dtt Fakto d Fukto d w h mt y bzch: y q ( ) Logathm gbt: l y ( ) l( ) Da << st, gbt Taylo-Rhtwcklug um d tll folgds Egbs: l ( ) l( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) ( ) K

36 36 Wg << hab w all höh otz vo vachlässgt. Da << kö w stz. omt gbt sch fü y folgd ähugsausduck: l y y ( ) tz w d ähugsausdück * ud ** d Bomalvtlugsfukto, so gbt sch : ( ) ( ) Ds st d osso-vtlugsfukto. amum-lklhood-thod t dsm Vfah wd chätzfukto fü d ubkat aamt Wahschlchktsvtlug mttlt. X Zufallsvaabl, d Vtlugsfukto f () ubkat aamt µ thält, ud { ; ; K ; } d uabhägg tchobwt. Da all Emt d tchob dslb ozss utlgt, bstht d Lklhood-Fukto fü d Gsamtht d tchob (Vbudwahschlchkt) aus dm odukt d -Wt : Wahschlchkt fü d zl { } L( µ ) f ( ) f ( ) L f ( ) D ubkat aamt µ wd u so bstmmt, dass d Wahschlchkt amalwt ammt. Aus d otwdg Bdgug fü latvs amum: ( µ ) L µ hält ma somt d aamt µ.

37 37 Bstmmug ds ubkat aamt d osso-vtlug B osso-vtlug st d Wahschlchktsfukto mt dm ubkat aamt ud d bkat Zufallsvaabl ggb duch: ( ) ( ) K,,, D Lklhood-Fukto bstht aus dm odukt d zl Wahschlchkt s Emts, das mal wdholt wud. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L,,, ;,,,, ) ( K K L Bmkug: Es st K K wob d Gsamtzahl d Vsuch, ud d Häufgktsklass fü vschd - Wt agbt. Logathm d Lklhood -Fukto gbt: [ ] [ ] [ ] L l l l l l l l l l l ) ( l K L D Bdgug fü das gsucht amum füht auf d Glchug : L ) ( l D aamt wst sch dab als d ttlwt vo.

38 38 Bstmmug ds ubkat aamt d Bomal-Vtlug B Bomal-Vtlug st d Wahschlchktsfukto mt dm ubkat aamt ud d bkat Zufallsvaabl ggb duch: q ) ( ) ( ( ),,,, K D Lklhood-Fukto bstht aus dm odukt d zl Wahschlchkt ds Emts, das mal wdholt wud. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q L,,, ;,,,, ) ( K K L wob d Gsamtzahl d Vsuch m Emt agbt ud ) ( st. ( ) ( ) ( ) q q q q q q q q q L l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ) ( l K L m ltz chtt st q duch stzt wod. D Bdgug fü das gsucht amum füht auf d Glchug : ) ( l L ( ) ( )

39 39 ( ) ( ) ( ) omt gbt sch fü d ubkat aamt : A. ha, U. Köl, ov. 4 Ltatu Bkly hyscs Cous: tatstcal hyscs, F. Rf, cgaw-hll 965 (Dutsch Ausgab : tatstsch hysk, F. Rf, Vwg 977) athmatk fü Igu ud atuwssschaftl Bad 3, L. aula, Vwg 994 Das l,. Eg R Wkl, & Co. 975 htt:// htt://aok.s.guma-u.ac.j/cgi-bi/t.html htt://d.wkda.og/wk/galtobtt