Aufgaben und Lösungen 2. Runde 2000

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1 udswttbwb Mathmat Wssschaftsztum, Postfach 4 48, 544 o Fo: , Fax: , -mal: fo@budswttbwb-mathmat.d Kotuommsso Kal Fgt Aufgab ud Lösug. ud Stad: 6. Otob

2 WM II Lösugsbspl Aufgab : Ggb st Satz vo Gwchtsstüc >) mt d Mass,,,..., Gamm. Ma bstmm all Wt vo, fü d Zlgug d Hauf glch Mass möglch st. Zu lcht Lsbat wd d Fomulug tlws d Ausduc "Gwchtsstüc mt Mass Gamm" stzt duch d Zahl ""; bso "Maßzahl d Mass" duch "Mass". E Zlgug ds Satzs d Hauf glch Mass hß zulässg. Atwot: E solch Zlgug st gau da möglch, w Dst od Dst hat. ws: Tl : D dgug st otwdg: Tlt ma d Satz d Hauf glch Mass auf, so hat jd zl Hauf d Mass ). Als Summ gaz Zahl muss ds Ausduc gazzahlg s. Notwdg hfü st ) ud, da Pmzahl st, soga od ). Tl : D dgug st hchd: Vaat vollstädg Iduto ach d Gsamtzahl d Gwchtsstüc): Idutosafag: Fü 5 bzw. 6 ds sd d lst Zahl > mt Dst bzw. Dst ) sd offschtlch {,4}, {,}, {5} bzw. {,6}, {,5}, {,4} Zlgug Hauf glch Mass. Idutosvoausstzug: S fü ggbs > mt Dst bzw. Dst Zlgug d Hauf glch Mass möglch. Idutosschluss vo auf ; damt wd all Zahl > mt Dst od Dst cht): W zlg zuächst d Satz {,,...,} zulässg Ws d Hauf ds st ach Idutosvoausstzug möglch), d w A, ud C, wob o..d.a. d Hauf A das Gwchtstüc thalt soll. Haus ostu w zulässg Zlgug vo {,,...,,,, }: Dm Hauf A füg w das Stüc hzu ud thm glchztg das Stüc ; dss füg w zusamm mt dm Stüc dm Hauf hzu. Das ltzt übg Stüc ommt zum Hauf C. Damt hat d Mass jds Haufs um gau Gamm zugomm; d d Hauf hab also mm och glch Mass. Vaat : vollstädg Iduto ach d Gsamtzahl d Gwchtsstüc): Idutosafag: Fü 5, 6, 8 bzw. 9 ds sd d lst Zahl > mt m Schsst aus {,,, 5}) sd {,4}, {,}, {5} bzw. {,6}, {,5}, {,4} bzw. {,5,6}, {,,7}, {4,8}, bzw. {,6,8}, {,4,9}, {,5,7} zulässg Zlgug. Idutosvoausstzug: S fü ggbs > mt m Schsst aus {,,, 5} zulässg Zlgug möglch. Idutosschluss vo auf 6; damt wd all Zahl > mt Dst od Dst cht): Aus d ach Idutosvoausstzug xstd) zulässg Zlgug ds Satzs {,,...,} ostu w zulässg Zlgug fü {,,...,,,,..., 6}: Em Hauf füg w d Stüc ud 6 hzu, dm ächst d Stüc ud 5 ud dm ltzt d Stüc ud 4. Damt hat d Mass jds Haufs um gau 7 Gamm zugomm; d d Hauf hab also mm och glch Mass. Vaat : Es wd Kostutosvfah aggb, mt dm d Satz {,,..., } d Hauf glch Mass zlgt wd a; dab gügt s zu ch, dass davo zw Hauf d Mass S) : hab: I d st Hauf hm w zuächst d h ach d schwst Stüc,,,..., ; s voläufg Mass bzch w mt T). Dab wähl w so, dass S) gad och cht cht st, d. h. dass T) < S) T). Evtl. st d Hauf ach dsm Schtt och l.) Zu gwüscht Mass S) fhlt damt Stüc d offschtlch gazzahlg

3 WM II Lösugsbspl Mass p : S)T). Aus obg Glchug folgt sofot < S)T) T)T) ), also gbt s ut d och vollstädg vohad Stüc,,...,, solchs. W füg s zum st Hauf hzu, d damt d gwüscht Mass S) hat. Es gügt u, aus dm Hauf {,,..., } \ { p } mt p ) Hauf d Mass S) auszuwähl. W ob stz w h zuächst aus d schwst Stüc,,..., zusamm vtl. fhlt ds h das Stüc p) ud such da och ggts ltzts Stüc q. Nu gbt s zw Möglcht: Fall.: p q; d.h. ut d stlch Stüc st solchs Stüc q vohad: W füg s dm zwt Hauf hzu, ds hat da bfalls das Gwcht S). Fall.: p q; d.h. ut d stlch Stüc st solchs Stüc q cht vohad: Da ch w, dass d zwt Hauf d Mass S) hält, dm w Stüc w folgt umtausch: Fall..: p q W füg statt ds Stücs q d bd sch vschd ud och cht vwdt) Stüc q ud hzu. Fall..: p q W stz m zwt Hauf das Stüc duch das Stüc ud füg das Stüc hzu. Ds Umtausch st auch möglch: Wä ämlch ds bd Stüc dtsch, also 4, so wä vo dm Umtausch all Stüc auß ud m d bd Hauf zugtlt. Da d zwt Hauf och zu gg Gsamtmass hat, hat d stlch zu goß; damt wä S) < 4, also S) <, also 4, wg > also 4. Ds stht m Wdspuch zu Tatsach, dass d Dst od d Dst hat. Fall..: p q Da stz w m zwt Hauf das Stüc duch das Stüc ud füg das Stüc hzu. Auch ds Umtausch st möglch: Wä ämlch ds bd Stüc dtsch, also, so wä vo dm Umtausch all Stüc auß m Hauf zugtlt. Damt wä S) < 6, also m Wdspuch zu dgug >. mug : Hat d Dst, so st Auftlug Hauf möglch, b d d zl Hauf cht u d glch Mass hab, sod auch d glch Azahl vo Gwchtsstüc. mug : Zu m ggb Gwchtssatz gbt s. A. mh zulässg Zlgug. Aufgab : Ma bws: Fü jd gaz Zahl ) gbt s vschd atülch Zahl mt d Egschaft, dass fü gd zw ds Zahl a ud b d Summ ab duch d Dffz ab tlba st. W bzch Zahl,,..., ) als zulässg, w s d dgug d Aufgab füll ud daüb haus glt: Fü < j st auch < < j,j {,,..., }). ws vollstädg Iduto ach ): Fü sd z.. ud zulässg Zahl, da < < ud ) Tl vo ) st. Nachsthd wd w zg, dass sch aus ) voggb zulässg Zahl,,..., stts zulässg Zahl s, s,..., s ostu lass. D Aussag d Aufgab folgt damt sofot duch vollstädg Iduto. S also zulässg Zahl,,..., ggb. Fü,,..., st ) stts tlba duch ), damt sd d Zahl :,,,..., zwa cht zulässg, wl cht all postv, s füll ab all ad Zulässgts-Kt. Fü voggbs A dft ma Zahl s : A s s j A j A j,,,..., ); da st fü all j,,j,,,...,. Da d s s j j j j cht uch ach Voausstzug gaz st, sd d Zahl s da zulässg, w A postv gaz

4 WM II Lösugsbspl A ud so gwählt wd a, dass j tlws offschtlch Möglcht: gaz st fü all j,,j,,,...,. Hfü gbt s mh, Vaat : Jds gmsam Vlfach d Dffz j, also A : j ) gv ) j< Vaat : j< j od A :. Ma bacht, dass j gschloss st; damt thält das Podut cht u all Dffz j, sod auch d Zahl slbst als Fato.) Jds gmsam Vlfach d, also A : od A : ) gv od A :!) gügt soga scho: Da st fü all j < < also!) d Zahl j A bso. Damt tstht d Zahl j j A j A A : gaz, ) ) j j A duch Addto ud Multplato gaz Zahl, st somt bfalls gaz. j mug : Fü d Aussag d Aufgab st s uhblch, ob ma d "" zu d atülch Zahl ghög btachtt od cht. Dagg st b d h aggb Kostuto d s d dgug, dass all postv sd, wstlch. mug : D Dfto s A, s A A j j A.,,..., ). füht bfalls zu Kostuto vo zulässg Zahl; bso - w zusätzlch A > gfodt wd - d Dfto s A, s : A - mug : E xplzt Dastllug vo Zahl mt d gfodt Egschaft st cht bat. Aufgab : Duch jd Ec s cht otwdgws gulä) Ttads ud d Mttlput d d vo ds Ec ausghd Kat wd Kugl glgt. Ma bws, dass s Put gbt, d auf all v Kugl lgt. W düf als bat voausstz, dass b ztsch Stcug das ld Kugl wd Kugl st ud dass jds Ttad dutg bstmmt Umugl bstzt. Es wd gzgt, dass d Mttlput auf all v Kugl lgt. D Ec ds Ttads s E 4 mt E bzcht, d Mttlput d Kat E E j mt M j, d Kugl duch E ud d Mtt d davo ausghd Kat mt M 4,j,,,4; <j). M 4. ws: D Mttlput d M 4 U Umugl s mt U bzcht, h adus mt. Damt hab d Stc UE, UE, UE, UE 4 all U d glch Läg. D Mtt d E Stc UE s mt U bzcht, M M damt hab d Stc U E ud U U d Läg ½, bso E M E U M s st als Mttlpaalll m Dc E UE halb so lag w UE ) ud aalog U M ud U M 4. Also st U d Mttlput vo ud U lgt auf ds Kugl. Aalog tachtug füh zu U,,,4). 4

5 WM II Lösugsbspl. ws mt zt. Stcug): Offschtlch wd duch d ztsch Stcug SE ;) d v Put E, M, M, ud M 4 d v Ecput ds Ttads E E E E 4 übgfüht, bso d Kugl d Umugl ds Ttads E E E E 4. Damt wd d Mttlput vo sts auf d Mttlput d Umugl abgbldt, adsts - da d Stcfato btägt ud das Stcztum auf lgt - auf Put auf. Also lgt d Mttlput d Umugl auf. Ds Üblgug glt aalog fü SE ;) SE ;) ud SE 4 ;), also lgt d Mttlput d Umugl ds Ttads auf all 4 Kugl,,,4).. ws mt Satz ds Thals): Ma btacht blbg d 4 Kugl, z... E st Edput s Duchmss vo ; dss vo E vschd Edput auf bzch w mt U. E d Halbs üb dm Duchmss E U thält M ; ach dm Satz ds Thals st also E M U 9. Damt lgt U auf Mttlscht vo E E, st also glch wt vo E ud E tft. Mt aalog Schlussws ma stz M duch M bzw. M 4 ) folg w, dass d Etfug vo U zu all 4 Ec glch sd. Damt st d Put U d Umuglmttlput ds Ttads E E E E 4. Aalog tachtug füh fü jd d v zu btachtd Kugl zum glch Egbs. 4. ws vtoll, dab wd d gff "d zum Otsvto x ghöd Put X" vüzt zu "Put x".): Ma lgt das Ttad mt Ec, z.. mt E d Uspug, d Mttlput s Umugl s mt U bzcht. U hat zu all Ec d glch Etfug, also st u )² u )² u 4 )² u )². Äquvalt Umfomug gbt mt u u u 4 u u u u, dass zu, 4, ds sd d Mttlput d vo E ausghd Kat!) ud E d glch Etfug hat w zu U. Also st u d Mttlput d Kugl ud U. Aalog tachtug ma lgt d Ec E bzw. E bzw. E 4 d Uspug) gb U, U ud U 4. mug : All v d Aufgab ggb Kugl hab d glch adus! mug : Im zwt ws füht SE ;,5) ltztlch zum glch Egbs. mug : D ws, ud 4 vwd ltztlch all d d Ählcht d Ttad E E E E 4 ud E M M M 4 bzw. d ztsch Stcug, d bd aufad abbldt. mug : Es st off Fag, ob d Aussag ds Satzs gültg blbt, w ma astatt d Mttlput d Ttadat blbg Tlput auf d Kat wählt. Jdfalls st d aalog Satz d Eb gültg Satz vo Mqul): Wählt ma auf d St C, AC, bzw. A s Dcs AC j Tlput T A, T, bzw. T C, so hab d d duch AT T C, T C T A bzw. DT A T C fstglgt Ks gau Put gmsam. Qull: oss Hosbg, Epsods 9th ad th Ctuy Euclda Gomty, Math. Assocato of Amca; ISN , p. 79 ff.) Aufgab 4: Ma btacht Summ d Fom. mt {, }. Gbt s solch Summ mt dm Wt, w a), b) st? Atwot: Im Fall a) gbt s solch Summ, m Fall b) cht. zu a). ws Zusammfass d Summad ud stücws Kostuto d ): W fass j zw aufadfolgd Summad zusamm ud gb h tgggstzt, stz also : a {,} {,,...,}). Damt halt w ) ) ) a ) ) ) 5

6 WM II Lösugsbspl a ) 6 ) ) ) ) ) a. Ds Gda wd w zwmal a: Mt a j a j : b j {,} j {,,...,}). sow b m b m : c m {,} m {,,...,5}) halt w ) ) ) )... b j j) 6 j) j 6 j j 48 j 8) j 5... m 48 m) 8) 48 m ) 8) m c 48 c m. 5 m j b. Z.. fü c m : ) m sd offschtlch all aus {,} ud bso offschtlch hat d ltzt Ausduc ud damt auch d btachtt Summ ) Wt Null.. ws Zlgug d Summ ud stücws Dfto d ): W spalt d Summ auf zw Summ mt glchvl Summad ud fom ach bomschm Lhsatz um: ) ) ) ) Fü blbg voggb ) ö w ch, dass d l Tlsumm d Wt Null hält, dm w df: :. Ds stz w d cht Tlsumm :.... a also da d Wt Null hab, w s fü gbt, so dass all ds Summ glchztg!) vschwd. mt {,,} ggt D Möglcht d Wahl vo ggt wst ma ach, dm ma das glch Vfah mhmals awdt zu lcht Lsbat wd Koffzt vo d Summ duch goß uchstab abgüzt, da d Wt b d Fag, ob d Summ ud damt d Gsamtausduc d Wt Null hab, uhblch st: A ) ) ) ) C ) Wd ö w fü blbg voggb ) ch, dass d cht Tlsumm d Wt Null ammt, dm w df: : ; ds stz w m stlch Tm. Aalogs Aufspalt ud Umfom lässt auch Tl d l Summ vschwd ud gbt:... A ) ) ) ).... A Wd ö w fü blbg voggb 5) ch, dass d bd cht Tlsumm d Wt Null ahm, dm w df: 5 : ; w ob fomt ma um zu 6

7 WM II Lösugsbspl 7... ) 5) 5 5 D A ) ) 5 5 E 5 F. Nu ö w fü blbg voggb 5) duch d Dfto 5 : ch, dass ds ltzt Summ ud damt d gaz Ausduc d Wt Null ammt. Zultzt wähl w blbg {, } 5); damt sd d stlch 6 ) dutg bstmmt ud s sd all {, }.. ws: Es wd allgm folgd Satz bws: ) Es s fü {,,..., } blbg voggb ud fü { m, m,..., m } m {,,,.,... }) usv duch d Dfto : m dft. Fü all,,,... glt da: fü all {,,,..., }. ws duch vollstädg Iduto ach : Idutosafag: Fü ud all {,,,..., } st offschtlch ) ). Idutosvoausstzug: Fü bstmmts s fü all {,,,..., }. Idutosschluss: Fü all {,,,..., } lässt sch ) ) ) ) ) ) ) ) ) )... ) )... Tlsumm aufspalt, vo d d st uabhägg vom Expot d Wt Null hat ud vo d d stlch ach Idutosvoausstzug all Expot d sd l od glch ) bfalls d Wt Null hab. Nu a vschd wt gschloss wd: Vaat : Ma a ) fü all {,,...,} all blbg aus {, } wähl, damt sd all ad ach ) ostut bfalls aus {, }. Mt 5 ud hat ma da w gwüscht 5. Vaat : Zuächst wd wt Hlfssatz bws: ) Fü ggts, ggt {,,...,}) ud fü all s. Da st auch ) fü all,,... ud all. D chtgt ds hauptug zgt ma w ob duch fachs Ausch: ) ) ) )... bstht aus Tlsumm, d ach Voausstzug all d Wt Null hab.

8 WM II Lösugsbspl Zum Nachws d Aussag d Aufgab wd w zuächst ) auf, ) {, }) ud dmal htad a ud halt so d Exstz vo ggt 6 {, } {,,...,6}) mt fü all {,,,.}. Hauf wd w 4 Mal ) a ud halt w gwüscht. 4. ws: 4 ) 6 6 W zg, dass ma Koffzt {, } mt {,,...,6} so bstmm a, dass das 6 Polyom F x) : x ) ostat d Wt Null hat. Da stz w 6 : fü all {,,...,4} ud halt w gwüscht ) 4 F6) Nachws-Vaat : W ma "lcht" duch Pob fdt ud achcht, st ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) 4) 5) 6) fü all ll. E achvollzhba Dastllug ds chug ghöt zu m vollstädg ws, totzdm wd hauf a ds Stll aus Platzgüd vzchtt.) Nachws-Vaat : Ausghd vo d Futo F x) : x)³ dft ma duch d usosglchug F x) : F x) F x ) Folg vo Polyomfuto. W ut aus d Duchfühug fü,,, auch oh ots Ausmultplz schtlch st, stht auf d cht St d Dffz zw Polyom mt glchm Ltoffzt; d höchst Potz vo x fällt also haus ud d Gad vo F st l als d Gad vo F. Da F vom Gad st, st F höchsts vom Gad ud F 4 schlßlch ostat Null. Ma hält so fü ggt ds sd offschtlch all aus {, }) ud ggt gaz Zahl A,,..., G: F x) : F x) F x) x)³ x)³ x ) Ax²xC, F x) : F x) F x) x)³ x)³ [x)³ x4)³] 4 x ) Ax²xC Ax)²x)C) Dx E, F x) : F x) F x4) x)³ x)³ x)³ x4)³ [x5)³ x6)³ x7)³ x8)³] 8 x ) Dx E Dx4) E) G, F 4 x) : F x) F x8) x)³ x)³ x)³ x4)³ x5)³ x6)³ x7)³ x8)³ [x9)³ x)³ x)³ x)³ x)³ x4)³ x5)³ x6)³] 6 x ) G G. Nachws-Vaat : W ma "lcht" duch Pob fdt ud achcht, st fü {,,,}. E achvollzhba Dastllug ds chug ghöt zu m vollstädg ws, totzdm wd hauf a ds Stll aus Platzgüd vzchtt.) Wählt ma u fü {,,...,6} d {, } so, dass sg ) glch dm Vozch vo obg Summ st, so st wl jd Tlsumm ach Voausstzug vschwdt 6 F x) x ) x x x x fü all ll x

9 WM II Lösugsbspl 5. ws Kostuto ggt, ach Id vo Tmo Numa): W df voläufg : falls ugad ud : falls gad. D btachtt Summ hat da fü d gad Zahl d Wt ) ) 6 ) ) 5 ) 5 8) )) )), st also och um das Dopplt d Summ d dtt Potz d Zahl, 59,, 55, 5 ud 5 zu goß. W ö s um ds Wt vl z.. duch Äd d voläufg Dfto d fü b ds vschd gad vo ach. Damt st, falls : fü all ugad od {, 95,, 5, 5, 5} sow : fü all ad. 6. ws Kot Agab ggt ): Es s : falls {,, 5,,, 7, 6, 9, 68, 684,..., } ud : sost. Da st { } ) ) ) mug zum 5. ud 6. ws: d ltzt bd Lösug wud zu Lösugsfdug offschtlch Comput mt m ggt Suchpogamm gstzt. Sch stllt d Etwclug s solch Suchpogamms bmswt Lstug da, vo allm w dss Lösug zumutba Zt fdt. E solchs Pogamm daf auch zu Lösugsfdug bützt wd. Zu m vollstädg ws wd ab ach d Tlahmbdgug gfodt, dass "all fü d jwlg Nachws wstlch Schtt ud sultat oh [ds] Hlfsmttl achvollzhba ud übpüfba sd". Dswg st gad m Hausaufgabwttbwb ausfühlchs Voch w ob ulässlch. E bloß Hws auf d Möglcht "ds lcht ausch zu ö" gügt bso wg w das füg ds Lstgs ds Suchpogamms, s Dv-Abtsblatts od ga Excl-Tabll. 68 zu b) Vaat Wdspuchsbws duch Patätsbtachtug): E Summ aus gaz Zahl st batlch gau da gad, w d Azahl d ugad Summad gad st. Da gau da ugad st, w ugad st, a d btachtt Summ u da d gadzahlg Wt hab, w d Azahl d ugad Zahl m Itvall [,], ämlch [½)] gad st. Fü halt w ab mt [½)] ugad Azahl. 9

10 WM II Lösugsbspl Vaat Wdspuchsbws duch Patätsbtachtug): Aus folgt sofot { } { } ; damt st ud {, } gad Zahl. { } { } { } ) Adsts st batlch ; ds Ausduc st ab u da gad, w m Zähl d Klamm d Fato mdsts zwmal voommt. Da ud cht bd d Fato thalt ö, muss twd od duch 4 tlba s. Ds dgug st ab fü cht füllt. mug : Es gbt also mh, pzpll vschd Möglcht, d so zu wähl, dass d Summ vschwdt. mug : Das Zwschgbs m 4. ws bsagt: Fü postv gaz Zahl s z) d gößt Zwpotz, d l als st; f wd usv dft duch ; : z) fü {,..., }. Fü all ll Zahl ud all cht-gatv gaz Zahl st da ). Ads fomult: Vsht ma d -t Potz vo blbg ll, m Abstad aufad folgd Zahl mt d duch d,,..., ) bstmmt Vozch, so hat d Summ d Wt Null. mug : Mt dm ob vwdt wsgda hält ma 4 Es gbt {, }, sodass hat Vst od Fü all {, } st Daüb haus lass Computbchug vmut:. mt {, } hat d Vst od ud glchztg. "ws"szz: D dgug st hchd: Ma gbt zuächst ggt fü {,5, 6,9,,,4} a; ma fdt ds mt m ggt Suchpogamm auf dm Comput. Zu vollstädg wsfühug ghöt da, dass ma d agbt ud achvollzhba Ws auscht, dass d zughög Summ all d Wt Null hab. Fü 5 bzw. 6 a ma ggt auch dt aus dm Satz aus mug mt bzw. halt.) D st folgt u mt dm Satz aus mug ud vollstädg Iduto: W s fü ggt gbt, da a ma d dtt Potz d auf folgd 6 gaz Zahl zu Null omb ud zu Summ hzufüg, d hauptug glt also auch fü 6. D dgug st otwdg: Es blbt zu zg, dass fü {,4,7,8,} ggt xst; dss Egbs lft bfalls das Computpogamm. I m vollstädg ws muss gad solchs Ngatv-Egbs ds Computs achvollzhba Ws bstätgt wd. Im Ggsatz zu Vfzug d 7 Summ aus dm st Tl wd ma h auf Schwgt stoß, da ma wohl Goßtl d üb Summ "vo Had" achch muss. mug 4: I mug st ) P) fü all, wob P) d Zwst d Azahl d Es d ädastllug vo bzcht. Ld wd dss P) bfalls "Patät Zahl" gat Wsst, Ec W. "Paty" Ec Wsst's Wold of Mathmatcs. bso w "d Egschaft, gad od ugad zu s" Th Cocs Dctoay of Mathmatcs, Oxfod Uvsty Pss, Oxfod, Nw Yo 99).