Alternierende Differentialformen

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1 Altd Dfftalfom Soll multla Mthod d la Algba mt Mthod d Aalyss vküft wd, so st st Schtt d Vwdug vo Dfftalfom. S sd vaat ggüb Koodatwchsl, mss Läg, Fläch, Voluma, Kümmug tc. S vfach d Rchaufwad hblch, lass sch sh gut auf Magfaltgkt (kumml Koodat übtag. S sd d allgmst Fomulug fü Dfftalglchug dwd At. S utschd sch doch vo sogat Stöm, d ads Tasfomatosvhalt hab. Stöm sl d Physk goß Roll ud sd ut ad vo d Mtk, sbsod Otug abhägg. H s u Hma Wyl, Gogs d Rham ud Wllam Vallac Douglas Hodg wäht. Nb ds atülch auch Hma Gaßma, oh dm ds Tho mals tstad wä, w duch Él Josh Cata kat ud wt twcklt wud, obwohl Loold Kock s bkämft. Ds Stöm kö auch duch Dfftalfom bschb wd ud wd d Tho d Dstbuto gbttt. A ds Stll fag ch mch mm: Sollt Stom d Physk mathmatsch Stom s od sollt Stom aus d Aschauug tsth, wob w d mst Fäll m Modll glaub Stom vo us zu hab. Schö wä s, w bds übstmmt, was d Tat fast all Fäll auch so st. D Tho d Fom ud Stöm müdt d Homolog ud Kohomolog. Dfftalfom ud Stöm kö lcht auf vktowtg vallgmt wd. Dss st st Schtt ud ka wt zu Obkt ausgbaut wd, d d Koffzt Dfftalfom bzw. Stöm sd. Ich hab h Auszüg aus m Volsug Dffzba Magfaltgkt tomm, obwohl ch hut Klgkt äd wüd. Nmals wüd ch doch auf d koodatf Bschbug vzcht ud d abwtzg Schbws d Physk butz. E solch Bschbug füht cht zu Escht, sod zu Vwug. Solch Bmkug w: W woll doch Physk btb, lkt u vo d g Uzuläglchkt ab. Dazu ghö auch Matz, d fach so hgschb wd ud Tso hß. Ich wüsch guts Vsth ud vl Efolg. Gt Hllbadt PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

2 Motvato duch fühd Bsl Es s A d dmsoal aff Raum. Koodat, d.h. (,,, π bzch d Pokto auf d t π x x x = x ud st folgdss Lafom, w w d Puktaum auch als Vktoaum tt. Nu glt fü la Abbldug λ L ( E; F vo Baachäum ( düf. Da d Koodat mst mt x, y, z,... od 3 3 λ = λ, so dass w dπ = π suggstv tt 3 x, x, x,... bzcht wd, hat sch z.b. dπ = dz= dx =... duchgstzt. Dfftal, auch kovaat Vkto gat, lb Kotagtaläum ud mss auf Tagtaläum. Tagtalvkto hß auch kotavaat Vkto. Ds st ab u möglch, w d zu btachtd Stll übstmmt. Btacht w fü d Tagtalaum d Abltug s dffzba Fuktoals T Rchtug ds Vktos = ( v v v v a d Stll. Es st D f = d dt( f ( + t v v = ( f. v = Jd Rchtugsabltug st folglch Lakombato d atll Abltug. Itt w d Vkto v als Tagtalvkto, so st = = v v. D atll Abltug wd dmzufolg als Bassvkto od las Ezugdsystm od la Rahm ds Tagtalaums aufgfasst. Jtzt muss u och utsucht wd, w sch ds Rahm ut Abbldug zwsch Räum ud d Tagtaläum tasfomt, sbsod, w gmss wd. Wg ( v ( also dx ( v = dx = dx v = v dx = vδ = = = = = δ sd dx, ud, fü N dual zuad. Es daf auch f : = x gstzt wd. Bsl. Es s A aff Eb. Bch fü das aff Koodatsystm {(,,(,,(3, 4 } d Zahl ( dx dy ( dx dy( (,,(,,(3, D zugd Vkto sd duch v=, 3 4 = + v = = + 4 ggb. W bch ( ( : = dx+ dy dx dy = dx dy. D Auswtug lft α ( v v dx dy( v v ( dx( v dy( v dy( v dx( v = ( 4 3 = ( a α, =, = = 4. PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

3 ( v v = ( + + = ( + ( = α (, = ( b α, α,3 4 4 α, 3 α, = 4. Wlch d bd Rchug bvozugt wd, st Gschmackssach.. Es s d -Dfftalfom α : = ydx xdy+ dz, ω : = α vdu üb 3 R ggb. Zg S, dass u ud v vo z uabhägg s müss ud + DvD u DvDu = Du Dv = D u D v füllt s muss, damt ω gschloss st. Lösug H ght s um lokal xstd Stammfukto ξ mt dξ= ω. Voausstzug sd dω = ud ω dω=. W fd dω= dα dv du mt dα= dx dy ud du= Dudx + Dudy+ D3udz sow ( ( ( dv du= D vd u D vd u dx dy+ D vd u D vd u dy dz+ D vd u D vd u dz dx Haus folgt F folgt aus + D vd u D vd u=, D vd u D vd u=, D vd u D vd u= ( = ω dω= α vdu dω ( ( = DvD u DvDu x D3vD u DvD 3u y DvD3u D3vDu vd3u dx dy + + dz och vd3u=. Ds hat mt v zu Kosquz, dass D3u= ud damt u uabhägg vo z st. Damt duz sch d Glchug auf + D vd u D vd u=, D vd u=, D vd u= D vd u D vd u xd vd u yd vd u= 3 3 ud w k, dass u cht vo x ud y uabhägg s ka, da. Ego: u st auch uabhägg vo z. Aus thm w ( ( dξ= ω Dξdx+ Dξdy+ Dξdz= y vd u dx x+ vd u dy+ dz 3 ( Dξ= y vd u, Dξ= x+ vd u, Dξ= 3 ξ (,, ζ(, x y z = x y + z. I d Tho d Magfaltgkt sd auch vktowtg Dfftalfom vo Bdutug. Btacht w d vktowtg Dfftalfom : = dy dz + dz dx dx dy + y. z κ Es hadlt sch um Vkto, d Koffzt Dfftalfom sd. Fü PD D.. at. habl. Gt Hllbadt 3

4 gbt sch duch Auswt. 3 a = a + x a + y a ud z 3 b = b + x b + y b z = + + y z ( a, b dy dz( a, b dz dx( a, b dx dy( a, b κ ( a b a b ( a b a b ( a b a b = + + y z Das Kuzodukt st atülch sofot zu k. Das Kuzodukt odt zw Vkto, d Eb aufsa, dazu skcht Vkto zu. Es ght auch oh Koodat. Dazu s µ d omt Volumfom (Dtmatfom. W df da st als Bsl 3, wob ι µ (, : = µ (,, = x x κ : = ι µ a b a b, 3 3 (, a, b = (, a + a + a, b + b + b y z y z 3 3 = µ (, a + a, b + b y z y z 3 3 = a bµ (,, + a bµ (,, y z z y 3 3 = ( a b a b µ (,, µ µ 3 3 ( a b a b = so dass κ wd das Kuzodukt dastllt., y z E dtt Möglchkt st duch Abbldug # ( dx ( a b # ( ( κ3, : = ι b ιµ a = ggb. stllt auch das Kuzodukt da. Ist Mtk vohad, so st ds zu bückschtg. H ght s u um d Motvato. Vktowtg Dfftalfom wd auch va (altd Blafom vküft. H wd sbsod auch Mtk btachtt. Btacht w mal a κ ( κ, b c. Duch Nachch zg w ( g( g( a κ b, c = a, c b a, b c κ Hb st g Mtk, also lokal Skalaodukt. D Alttht ds vktowtg Dfftalfom st offschtlch! 4 PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

5 κ (, = κ (, κ (, a κ b c a b c ( a a a, ( b c b c ( b c b c x y z x y ( b c b c z ( ( = κ = a b c b c a b c b c a ( b c b c a ( b c b c y a ( b c b c a ( b c b c z 3 3 = 3 3 a c b + a c b a b c a b c a c b a c b a b c a b c + y a c b a c b a b c a b c + z = ( a c a c a c b ( a b a b a b c ( a c + a c + a c b ( a b + a b + a b c y ( a c + a c + a c b ( a b a b a b c + + z ( a c a c a c b ( a b a b a b = ( a, c b g(, = g a b c Schö zu k st, dass κ (, = κ (, = κ (, = κ (, c a b c a c b b c a c b a glt. Es κ κ κ κ hadlt sch folglch wd um vktowtg Dfftalfom. E wt Awdug st d Tho d Dfftalglchug.. Btacht w d Dfftalglchug xɺ = x dx = xdt, xɺ = x dx = xdt so ka dafü dx x dx x = dt= x dx x dx = x x = kostat gschb wd. D Takto (Bahkuv, Phaskuv sd Hybl. D Fukto d ds Glchug d Takto füll hß Est Itgal, auch Votgal gat. D Glchug hßt das Chaaktstsch Systm. dx x dx = x H sd s d Hyblfukto sh ud cosh, d d Afagsbdgug halt w als Lösug d Dfftalglchug x ( t = x ( cosh( t + x (sh( t, x ( t = x (sh( t + x ( cosh( t. cosh ( at sh ( at =. Mt Ds Glchug ka auch va ds Dffomohsmus» y = x + x, y = x x «, also PD D.. at. habl. Gt Hllbadt 5

6 yɺ = y dy= ydt ydy+ ydy = yy = kostat yɺ = y dy = ydt x dx y dy x dx y dy od auch othogoal Takto» = = «glöst wd. Ds lft y dy + y dy = y y = kostat. Auch h lg Hybl vo. Est Itgal sd duch Mt d Afagsbdgug fd w αt αt a b = ab = ab ggb. y ( t = y (, t y ( t = y (. D Rücktasfomato ds Dffomohsmus x( t = y( t + y( t, x( t = y( t y( t lft d obg Lösug. ( ( ( ( ( ( ( ( x dx x dx = y + y d y + y y y d y y = y dy + y dy =, y dy + y dy = x + x d x x + x x d x + x = x dx x dx =. t. S d Dfftalglchug xɺ = x dx = xdt xɺ = x dx = xdt ggb. S sht schba fach aus. W halt x dx + x dx = x + x = kostat. Ds sd koztsch Ks, wd folglch duch d Ksfukto a cos( ω t ud a s( ω t glöst. Mt d Afagsbdgug folg x ( t = x (cos( t + x (s( t, x ( t = x (s( t + x ( cos( t. D othogoal Takto sd mt d tgd Fakto y y ( = = kostat od y ( y dy y dy y y dy y dy y od y y y = = kostat. S stll Gad duch d Usug da ay = by. D zughög Dfftalglchug lautt dy y dy y = dt yɺ = y y = y = dt ɺ mt d Lösug y ( t = y (, y ( t = y (. t t 6 PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

7 Natülch glt solch Aussag auch fü Patll Dfftalglchug. 3. Ggb s folgd atll Dfftalglchug. dx dt = f ( x S ϕ : I U E, U off m Baachaum E, I R Lösug. E C -Fukto Ψ : U F, wob F Baachaum st, hßt sts Itgal od Votgal, w ( t Ψ ϕ ( = kostat st. D Zuodug x= ϕ( t dft Takto. Mt ad Wot: E sts Itgal st auf d Takto kostat. Ds folgt aus ( ( t ( t = ( x f ( x = Ψ ϕ ϕ Ψ, da ϕ ( t = f ( ϕ( t. Im -dmsoal Raum glt Ψ Ψ ( x f ( x = f( x,, x =. = Das chaaktstsch Systm st da ggb duch dx dx ( ( = = f x f x. Bsl Ggb s folgd atll Dfftalglchug. Gsucht sd all st Itgal. Das chaaktstsch Systm st x f f x y y f + = mt f ( x, y dx dy df x = y =. f W fd sh schll uabhägg st Itgal Umgbug vo ( a, b, c mt a. dx dy y dx df f x = y ydx+ xdy= x = k, x = fdx+ xdf = x = k f f y Folglch sd x, x st Itgal. Dah st ( y f x, y = xψ ( x, wob Ψ blbg C -Fukto st. Wt Awdug fd w b Extma mt Zwagsbdgug (Multlkato vo Lagag. A ds Stll bd ch d Motvato, obwohl och chts üb d goß Bdutug d Dfftalgomt gsagt wud, vls üb Dfftaloato w d Gadt, d Rotato od d Dvgz och gsagt wd köt. All sd vo Mtk abhägg. Dshalb ghö s cht lada Aalyssvolsug. PD D.. at. habl. Gt Hllbadt 7

8 . Dfftalfom Baachäum DEFINITION. Es s E ud F zw Baachäum. E -la Abbldug α L ( E; F, hßt altd, w < < < <, E ( = (,, = α. I Wot: Stmm zw d Vkto d F -wtg -Lafom üb, so st d zugodt Vkto stts ull. Aus -la Abbldug α L ( E; F ka duch Atsymmtsug altd -la Abbldug stllt wd, d fü α A ( E; F w d Idttät wkt. Kostu S ds! Bg S mt =,3,4,... D Mg d F -wtg altd -Lafom wd mt A ( E; F, bzcht. W stz och A ( E F = F ud ( E F = ( E F ; : Isbsod st A ( E; F Tlvktoaum vo ( E; F A ; : L ;, um Fallutschdug zu vmd. L. Es s u U E off. E Abbldug ω : U A ( E; F hßt F-wtg -Dfftalfom d Klass C, w ω U dffzba ud sttg st. Mth sch w kuz vo vktowtg Dfftalfom. D zughög Vktoaum d F-wtg -Dfftalfom d Klass, C, bzch w mt ( U ;F Ω. W stz och fü d Gad dg( ω : =. DEFINITION. Es s u L ( F, G; H Blafom mt Wt m Baachaum H. Es s U E off. Das äuß Podukt vo α Ω ( U ;F ud ( U;G wtg ( + q -Dfftalfom ( ;H + q U β Ω bzüglch : F G H st d H- α β Ω dft duch q (( α β( x ( + q : = sg( σ α ( ( x ( σ( σ(, β( x ( σ( + σ( + q σ S + q σ( < < σ( σ( + < < σ( + q Da ( α β( x offschtlch -la H-wtg Fom d Klass C st, blbt zu vfz, dass ( α β( x auch altd st. Dazu s =, < ud S q d Tasosto mt τ + τ ( = ud τ ( k = k fü all k {,,, +,,, +, + q}. Es st sg( τ =. Ist σ( < σ( < σ( < σ( od σ( + < σ( < σ( < σ( + q, so st ach Voausstzug chts zu zg. S dah ach Pmutato ud Umbug oh Eschäkug = + sow σ( < σ( < σ( ud σ( + < σ( + < σ( + q, da glt fü ds ds σ : ( x ( σ( σ( x ( σ( + σ( + q σ τ ( x ( στ ( στ ( x ( στ( + στ ( + q sg( σ α(,,, β(,, + sg( sg( α(,,, β(,, = ud folglch fü + = d Dfftalfom ( ( ( (,, + q α β x = damt altd. 8 PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

9 DEFINITION.3 W df u fü ( U α Ω ;F Dfftalfom dα Ω ( U od äquvalt dazu + ;F ( = ( ( α ( ( ˆ dα( x,, : ( x,,,, = ( γ ( α ( (( ( ( dα(,, : sg( ( γ γ,, γ γ S + γ( < < γ( x = x. Vfz S w ob, dass dα( x wklch altd st. KOROLLAR.4 Fü α Ω ( U ; F, st ( d dα =., Dfftal gat. BEWEIS x x = mt + Nach Dfto st d( dα ( (,, ( ( ( ( ( ˆ + = dα,, + Folglch st ( dα ( x ( (,, ˆ,, ( ( ( (, ( ˆ ˆ + = α x,, + = + ( ( α ( x (, (,, ˆ ˆ + = + ( ( dα ( x ( (,, ˆ,, + + ( ( dα ( x ( (,, ˆ,, ( ( α ( x (, (,, ˆ,, ˆ,, + ( ( α ( x (, (,, ˆ,, ˆ,, ( ( α ( x (, (,, ˆ,, ˆ,, + + ( ( α ( x (, (,, ˆ,, ˆ,, + + = + = = = + = Zu dm fd w gau LEMMA.5 Es s F= F d Poduktaum vo Baachäum ( = g : U F Abbldug, d Abbldug ω : U G dft, d Ist soga : U ( F F ; G x U, E + + mt α ( (, α ( (, F x x =. ud : F G -la. Es s U off, dffzba st. Duch ω : = g st x U dffzba st. Da glt ω x x x x x x. (L ( ( g( g ( ( g ( g (,. g ( = = L vo d Klass = C, so glt daüb haus ω ( x = ( x ( x + ( x ( x,, ( x,, ( x. (L ( ( g ( g g g Im Folgd lass w d Stll x d Efachht halb wg. = PD D.. at. habl. Gt Hllbadt 9

10 SATZ.6 Mt DEFINITION. ud LEMMA.5 (L glt mt α Ω ( U ;F ud ( U;G ( F, G; H L d Glchug BEWEIS Es st ach LEMMA.5 (L Mt DEFINITION.3 folgt Damt st alls gzgt. KOROLLAR.7 Es s u : U ( F, G; H ( dg( α d( α β = dα β+ α dβ. ( α β = α β+ α β ( dg( α dg( β = α β+ β α ( = dg( α dg( β + β α dg( α dg( β + dg( α ( dg( β + = dα β+ ( d( α β dα β d ( = dα β+ L vo d Klass dg( α α dβ α dβ C. Da glt ach LEMMA.4 (L ω ( x = ( x ( x + ( x ( x,, ( x,, ( x. ( ( g ( g g g = β Ω sow Folglch st da ( α β = α β+ α β+ α β zu vwd. Damt kogt sch m SATZ.6 zusätzlch χ S + q+ χ( < χ( + q sg χ α β ( χ( χ( + q. χ( Bacht w och, dass d -Dffalfom mt Wt ( F, G; H DEFINITION.8 Es s ( F F G ( gad( α d( α β = dα β+ α dβ+ α β. d L st, so folgt L,, ; sttg k-lafom mt Wt m Baachaum G. Es s ( F α Ω k U;, k Dfftalfom. Duch ( + + σ (( ( σ σ ( x ( σ σ + + (( α α ( x : = sg α ( x α ( k k ( ( k ( k ( k σ S + k wob σ( < < σ(,, σ k σ + + Dfftalfom mt Wt G dft., wd ( ( < < ( + + k q k PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

11 Sd F = K, k ud st K d Kö d ll bzw. komlx Zahl, so st fach das k-fach Podukt. I dsm Fall schb w kuz α α. k D Bws st gauso zu füh w Dfto.4.. Sd F = G, k, so ka α αk w folgt dft wd. H fü k = 3. ( α α α ( x : = (( α α ( x α ( x 3 3 Vmög ds Dfto halt w Algba. Zg S dafü ( α α ( x α ( x : = α ( x ( α α ( x. 3 3 Fü d sogat Dfftal df w szll Dfftalfom. DEFINITION.9 Es s U E off ud ω : U A ( E; F F -wtg -Dfftalfom d Klass E= G G k ud ι : U E d kaosch Ebttug. Fü ds N, k s U kaosch Pokto, also π ι : U G dft duch ( : = U st dπ : U A ( G G ; G chts ads als d ( ( g g : = g Es s u ( G,, G ; F k π x x mt = (,, k k C. Es s π d x x x. Da π = π. π x, d ( ( x L sttg cht ausgatt vktowtg -Lafom ud π A ( E F, wob dπ d : U ; E= G G k st, da ( (,, : sg ( λ ( ( λ(,, ( ( λ( = λ S ι U ( d d d d π π x π x π x. Da gbt s dutg bstmmt w,, : U F d Klass C,, so dass ω= π π < < w,, d d. Ds Dastllug w kaosch Dastllug d F -wtg -Dfftalfom. Sd E = E = = E = K ud K { RC, } Ist F { RC, } d Kö d ll bzw. komlx k Zahl, so st das gwöhlch Podukt vo Zahl. Ds Dastllug w d kaosch Dastllug d Dfftalfom. Ist E k-dmsoal, so daf ds E ud w schb dx : = dπ. Mt.6.6 st u also K agsh wd. Da st das gwöhlch Podukt ( ( x( ( λ ( x( λ( ( x ( λ( = λ S π π,, : sg π,, π, d d d d ( x( = w ( x( d d (,, ω π π = < < ( ( x sg ( λ π ( x( λ π ( x( λ,, ( ( < < λ S w d d PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

12 Wg (,, = stz w l : = (,,,. Da st,, k t Stll l λ ( λ ( ( x( = w ( ( ( ( ( ( (,, x sg λ d (,, d x λ x λ( ω π π = < < λ S < < = w w ( x ( δ δ,, ( x (,, l Df w w,, : U F duch ( ( ( ( w ( x : = ω x,,,,,,, so st alls gzgt. Im Folgd bschäftg w us mt Abbldug zwsch Baachäum. DEFINITION. Es s E, F, G Baachäum. Es s C +. Fü Dfftalfom α Ω ( V,G Da st f α Ω ( U,G ( f ( α β = f α f β U E off ud f : U V F Abbldug d Klass mt Wt G s f α dft duch ( f α ( (,, : = α( f ( ( f (,, f ( x x x x.. f α hßt ull back vo α duch f. Es glt ( f ( dα = d( f α ( ( f g = g f fü wt Abbldug : BEWEIS m Baachaum H. W hab zu zg, dass f α vo d Klass Also sd α f : U A ( F; G ud f vo d Kass g W U d Klass C +, C st. Zuächst st f ( ( E; F C. W H off x L ach.3.3. W stz.5 (L fü d Abltug g : U F fach g : U F mt ( g( x : = g ( x,, g ( x ud g ( = f ( mt ( f α ( (,, : = α( f ( ( f (,, f ( x x. Folglch stmmt u ω( x : = ( ( α f ( x, g( x x x x x üb. W halt also ( ( g ( g g g ω ( x = ( x ( x + ( x ( x,, ( x,, ( x = ( f x f x ( f x f x ( α f x ( f x f x f x = α ( ( (,, ( + ( (,, ( (,,, ( (# = ( f ( x f ( x ( f ( x,, f ( x ( α( f ( x ( f ( x(,, f ( x,, f ( x = α + Damt st alls gzgt. = PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

13 W bws ( f ( α β = f α f β. ( + q = α β ( + q ( f ( α β( x,, (( ( f ( x f ( x,, f ( x = = σ S + q σ( < < σ( σ( + < < σ( + q σ S + q σ( < < σ( σ( + < < σ( + q ( ( f x ( f x σ( f x σ( β( f x ( f x σ( + f x σ( + q sg σα ( (,, (, ( (,, ( ( f x ( σ( σ( f β x ( σ( + σ( + q sg σ α(,,, (,, ( + q = (( f α f β( x,, W bws ( f ( d = d( f Es st α α.,, = (,,,, ( α( x( ( ( f α x ( d f = = ( ( α ( f ( x f ( x ( f ( x,, f ( x,, f ( x = + ( α( f ( x f ( x,, f ( x(, k f ( x,, f ( x k< k t Stll + ( α( f ( f (,, f (,, f ( (, k,, f ( x x x x x < k = ( ( α ( f ( x f ( x ( f ( x,, f ( x,, f ( x = ( = dα( f ( x f ( x f ( x ( f dα x ( = (, d f ( x(, = f ( x (, ud damt k k k t Stll α( f ( x f (,, f ( ( k,,, f ( k,, f ( + ( ( f ( f (,, f (,, f ( (, k,, f ( x = x x x α x x x x x. ( blbt als Übug. PD D.. at. habl. Gt Hllbadt 3

14 . W komm zu d bassabhägg Dastllug. SATZ. Es s ω Ω ( ξ. Es s K { RC, } d Kö d ll od komlx Zahl. Es s τ M ud ξ dlchdmsoal Büdl üb M mt dm( τ M = sow dm( Da hat ω d Dastllug m wob ω Ω ( M K = ω= ω s, F hat ω Ω ( M d Dastllug K ω < < ξ = m. ud s Γ( ξ = ω dx dx,. wob das Podukt duktv ach DEFINITION.8 dft st. Isbsod glt mt BEWEIS Es s V β( β( dx dx = sg dx dx β ud dx dx =. β S M tvalsd Umgbug fü ξ. Nach Voausstzug xst Bassschtt Γ( ud Bassfld t t Γ( τ. Folglch st aufgud dm( s,, sm ξm ud Da ω V altd st, hat auch,, V m ( t t (,, ( ( = V t t s Γ V Γ VK m ω ω ξ = ω ( t t Γ( V V,, K. ω V fü ds m W stz ω : = ω ( t t. Es s,, dx dx Γ( τ V Bassfom, also dx ( t = δ. Es folgt ω < < ξ = m ds Egschaft. Es s u ω Ω ( M. d zu t t Γ( τ dual = ω dx dx,,, V wob dx dx dx t,, t sg σ dx dx t,, t = dx t σ ( ( ( ( ( ( σ S σ( ( < < σ Iduktv mt DEFINITION.6 4. Egschaft dft st. Isbsod glt mt Damt st d Satz bws. β( β( dx dx = sgβ dx dx ud β S dx dx =. K SATZ. Es s ω Ω ( ξ ud Zusammhag auf ξ üb M. Das Vktoaumbüdl hab d Dmso m. Es s m s Tvalsug V. Da st = ω= ω m ( ω ω d ω= d s + d s = 4 PD D.. at. habl. Gt Hllbadt

15 Isbsod fd w m Baachaum mt dm kaosch Zusammhag d Foml BEWEIS + (,, ( ( ˆ = ω,,,, dω. = W lass d Idx V d tvalsd Umgbug wg ud abt lokal m Baachaum. ( ( + (,, = ( ( ˆ ω,, d ω = + ( (,, ˆ ˆ ω,, + < + ( ( ( ˆ = ω,,,, ( ( ˆ Γ ω,,,, ( + = + ( ω(, ˆ ˆ,, + < ( + (( ω ˆ ( ( ( ˆ + Γ ω,, ( =,, = + ( ( ˆ ω,, = = + ( ω(, ˆ ˆ,, < ( ( ( + ( ( (,, ˆ,, ( ˆ ω Γ ω,, = + + = + Stz w tzt d lokal Dastllug ud bacht, dass ω glt, so folgt ach Dfto ( ˆ,, ω ( ˆ,, s = s d ω = + (,, ( ( ( ˆ ω,, = = ( = = m = (,, ˆ + ω s ( = dω s + ω ( ˆ,, Γ( s ( + ( ( ˆ ω,, d s ( + ( dω s ω d s(,, = + D Foml fü Baachaum halt w duch Gamma Γ = PD D.. at. habl. Gt Hllbadt 5

16 SATZ.3 Es s ω Ω ( M wob, ω= ω dx K dx. Da st dω= dω dx dx, = = = = ( dω Dω dx t ω dx. t,, t sd d zu dx dx dual Bassfld. BEWEIS: Da d als Dfftal K - la st, gügt s d Aussag fü ω= fdx dx zu bws. Nach Satz.4 st Es s u Γ( ( ( ( = ht, t t d zu dx,, dx dω= d fdx dx = df dx dx + f d dx dx τ M, = Offba glt ( ( dx d dx Fü = ( = ( = ( df h df t h t f = = = = = = = ( ( h t f dx t ( ( t f dx df dx dx = df dx dx dual Bassfld. W halt:. Es blbt dah zu zg, dass. Ds gschht duch Idukto ach. = st ( d dx = ach KOROLLAR.9. S u d Aussag fü bws. W fd ( ( d x dx dx = dx dx + x d dx dx = dx dx ud damt d( dx dx dd( x dx dx = = ach KOROLLAR.9. KOROLLAR.4 Es s Abltug fü ξ üb M ud α Ω ( ξ. Es s f C ( N, M. Es s Γ(. Zu dm Γ( xst Γ( mt T f ( ( Y( f (,, τ N Da glt:. ( ( τ N f = = = = y = f dx d f x d x f df dy, w Bassfld Tvalsug f ( V W M sd. m ( Y τ M f. f d α= d( f α f s + f α d f s, w ( = zuückgholt Bassschtt auf f ξ sd.. =. dx dx d zu t,, t dual dmξ = m st ud f s,, f sm d 6 PD D.. at. habl. Gt Hllbadt