MATHEMATIK Leitprogramm technische Mathematik Gleichungen

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1 INHALT: 4. GLEICHUNGEN, BEGRIFFE LÖSEN VON GLEICHUNGEN UND FORMELN SPEZIELLE GLEICHUNGEN 04 Information Ein sehr wichtiger Aspekt aller technikorientierter Berufe ist das Umgehen mit Formeln. Dabei sind Formeln genau gleich zu behandeln wie die im Mathematikunterricht meist ausführlich behandelten. Sie lernen hier, wie Formeln nach Unbekannten Grössen umzustellen sind, um sie mittels bekannten Grössen zu berechnen. Besonders wichtig ist, dass Ihnen das Umformen geläufig wird, denn es stellt den Schlüssel zur Lösung von sehr vielen elektrotechnischen und physikalischen Problemen dar. Es dürfte Sie interessieren, dass sehr viele der aufgeführten in dieser Unterlage tatsächlich Formeln aus der Berufskunde sind. Sie werden im Verlauf der Ausbildung deren Bedeutung kennen lernen. Die Bearbeitung des Abschnitts Spezielle ist fakultativ. Lernziele Nach dem Durcharbeiten können Sie: Lösungsverfahren für Formeln kennen und anwenden einheitliche Darstellungsart für Operationen anwenden berufsbezogene lösen...und los geht's! Seite 8

2 4., Begriffe Bis jetzt hatten Sie in den vorangegangenen Kapiteln jeweils einen mathematischen Ausdruck (sog. Term) auf einer Seite des Gleichheitszeichens gesehen. Ihre Aufgabe bestand meist darin, den Term zu vereinfachen oder umzuformen. Dieses Kapitel behandelt den Fall, wenn ein Ausdruck links und rechts des Gleichheitszeichens steht. Das sind die. Eine Definition aus einem Bertelsmannlexikon: Eine Gleichung ist die durch das Gleichheitszeichen symbolisierte Gleichheitsbeziehung zwischen mathematischen Ausdrücken (Termen) und Grössen. Man könnte auch als Aussagen definieren, die wahr oder falsch sind, bzw. die man wahr oder falsch machen kann. 4 = 5 ist eine falsche Aussage 4 + x = 5 ist eine Aussage, der man keinen Wahrheitsgehalt zuordnen kann, solange man für die Variable x keinen Wert bestimmt. Definition Eine Gleichung ist nur richtig, wenn beide Seiten wertmässig gleich sind! Sie haben bereits auf frühsten Schulstufen mit gearbeitet, ohne allerdings den Begriff Gleichung einzuführen. Das wäre auf dieser Stufe wohl auch kaum sinnvoll. Was musst du denn zu 4 dazuzählen damit 5 herauskommt? ist ganz klar eine Gleichung und würde im Mathematikheft der. Primarschule etwa so aussehen: 4 + = 5. Dass gleich eins ist, wird auch ein Kind der.schulstufe lösen können. Auch das Waagemodell wird häufig verwendet. Seite 83

3 Wie viele Kugeln müsen Sie auf die linke Seite auflegen, damit die Waage im Gleichgewicht ist? + = 5 werden unterschieden nach dem Grad der Unbekannten..Grades mit Unbekannten, so genannte lineare Beispiel : ax + b = c.grades mit Unbekannten, so genannte quadratische Beispiel : ax + bx = c Wir beschäftigen uns im Berufskundeunterricht vorwiegend auf ersten Grades und quadratische bei denen b = 0 ist (so genannte reinquadratische ) Formeln sind mathematisch gesehen nichts anderes als. Sie werden deshalb Formeln genannt, weil sie hauptsächlich aus physikalischen Grössen bestehen. Ausserdem legen sie einen konkreten Zusammenhang von Naturvorgängen dar. Beispiel: F = m g Diese Formel erlaubt die Berechnung von F (Gewichtskraft) sofern die Grössen m (Masse) und g (Fallbeschleunigung) bekannt sind. In der Regel können die Rechenergebnisse von Formeln mit einem Messgerät in der Realität überprüft werden. Darum beneiden uns die reinen Mathematiker. Ein Unterschied zwischen Formeln und besteht ferner darin, dass bei mathematischen oft die Unbekannte x gesucht wird. Bei Formeln ist aber nicht immer klar, welches die bekannte und welche die gesuchte Grösse ist. Seite 84

4 Beispiel: Im oberen Beispiel war F = m g. Es könnte nun aber sein, dass F bekannt ist (weil z.b. diese Grösse gemessen werden konnte) aber die Masse m gesucht wird (g ist die Fallbeschleunigung). Die Formel ist also zunächst so umzustellen, dass die unbekannte Grösse isoliert steht: F = m g / ---- g F m g ---- = g kann man kürzen g g F ---- = m g Wir haben nun durch Umstellen eine neue Gleichung zur Bestimmung von m gefunden. Wir sagen diesem Vorgang: ''Die Formel nach m auflösen' oder ''Die Formel nach m umformen'. Hinweis Sie haben bemerkt, dass die gesuchte Grösse rechts des Gleichheitszeichens steht. Vielleicht waren Sie es sich gewohnt, stets die Unbekannte links zu schreiben. Da es sich um eine Gleichung handelt, beide Seiten also Wertmässig gleich sind, ist es unerheblich, ob die gesuchte Grösse links oder rechts des Gleichheitszeichens steht. Sie dürfen die Gleichung so darstellen wie Sie die Darstellung für sich als geeignet erachten bzw. wie es sich aus dem Lösungsverfahren ergibt. Seite 85

5 5. Lösen von und Formeln Methoden: Da Formeln auch sind, können wir dieselben Methoden anwenden, um sie in eine gewünschte Form zu bringen. Sie haben im letzten Beispiel auch gesehen, wie eine Gleichung oder Formel aufzulösen oder umzustellen ist. Alles was Sie im Folgenden über lernen, gilt auch für Formeln. Eine Gleichung wird aufgelöst, indem auf beiden Seiten dieselben Operationen durchgeführt werden, bis die Unbekannte alleine steht (isoliert ist). Die jeweilige Operation wird durch das Zeichen ' gekennzeichnet. ' rechts neben der Gleichung Die Schwierigkeit besteht manchmal darin, geeignete Operationen zu finden, die zur Lösung führen. Oft können gar keine Operationen gefunden werden, ohne dass zunächst der Ausdruck bearbeitet wurde. Beispiel: W = m g ( ) h h Aufgabe: Isolieren Sie die Unbekannte h, d.h. formen Sie um nach h Es ist nicht möglich, eine Operation zu finden, die uns direkt zum Ziel führt. Zunächst müssen wir den Ausdruck bearbeiten: Die Klammer, in der die Unbekannte steht, muss ausmultipliziert werden: W = m g h m g h In dieser Form ist die Formel nun bereit für die Auflösung nach der gesuchten Grösse h : W m g h m g + m g h = h W + m g h W + m g h m g = m g h = h m g Seite 86

6 Aufgaben Lösen Sie nach x auf: 5.. (3x - 4) + 7 = 7 x = x - 3 = 7(x - 9) x = (x - ) - 5x = (6 - x) + 7 x = ( - 3 x) = 9 x - 3(3 - x) x = (x - 3) + 4(x - 4) + 5 (x - 5) = 4x - x = 6 Umgang mit Brüchen: Manchmal erschweren uns Brüche, eine Gleichung direkt aufzulösen. Es empfiehlt sich, zunächst die Gleichung frei vom Nenner zu machen und erst dann die gesuchte Grösse zu isolieren. Beispiel: ( l l ) R = ρ + A Aufgabe: Formen Sie um nach l Wie schon in den vorangegangenen Aufgaben, steht die gesuchte Grösse in einer Summe mit anderen Grössen. Zusätzlich liegt diese Summe in einem Bruch. Es soll zunächst die Seite mit der Unbekannten frei vom Nenner gemacht werden: ( l l ) R = ρ + A A R A = ρ ( l + l ) Nun kann die Formel weiter bearbeitet werden wie in vorherigen Beispielen und Aufgaben. Wieder ist zunächst auszumultiplizieren und hernach die Unbekannte zu isolieren: R ρ l A = ρl + ρl ρl + R A = ρ l R A l + = ρ l ρ Seite 87

7 Aufgaben 5.6. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Seite 88

8 sowie Technische Mathematik für Metallberufe, Seite 46, Kapitel Aufgaben, Umstellen von Formeln, Nr. 8: Seite 89

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11 Lösungen: Seite 9

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19 Umgang mit Potenzen und Wurzeln:, die Potenzen und Wurzeln enthalten, sind genau gleich umzuformen wie die bisherigen Beispiele und Aufgaben. Wichtig ist, dass Sie die Rechenregeln aus Kapitel genau beachten. Oft wird z.b. vergessen, dass eine Wurzel auch wie eine Klammer wirkt. Beispiel: a = c b Aufgabe: Die Gleichung soll nach b aufgelöst werden.. Schritt: beide Seiten werden mit potenziert, d.h. 'quadriert'. Hinweis: In Anlehnung an die Taschenrechnerfunktion für das quadrieren x schreiben wir diese Operation auch so an, obwohl in dieser Gleichung x gar nicht vorkommt und auch nicht gesucht ist. a = c b x sprich: 'beide Seiten quadrieren' ergibt: a = c b und NICHT etwa: a = (c - b) = oder ähnliches. Schritt: wir haben nun eine einfache Gleichung aus Summanden, die wir bequem nach jeder gewünschten Grösse umstellen können. a = c b + b a + b = c a 3. Schritt: Wiederum die Wurzel ziehen. Aber Achtung: Die Funktion auf beiden Seiten Wurzel ziehen bedeutet die GANZE Seite unter das Wurzelzeichen zu stellen und nicht etwa jeden Summanden separat. b = c a x sprich: 'beide Seiten Radizieren' oder 'Wurzel ziehen' b = c a und NICHT etwa: b = c a oder ähnliches. Seite 00

20 Ein weiteres Beispiel: T = Π L C Aufgabe: Die Gleichung soll nach C aufgelöst werden. T = Π L C x T = 4 Π L C 4 Π L T 4 Π L = C Hinweis Mathematisch gesehen, ergibt die Quadrierung einer Grösse eigentlich zwei Lösungen. Z.B. die Gleichung a = 44 lässt zwei Lösungen zu, nämlich und -. Für unsere Zwecke reicht jeweils die positive Lösung aus; zudem ergibt das negative Resultat oft technisch keinen Sinn. Seite 0

21 Lernkontrolle Die folgenden Aufgaben sollten Sie innert 5 Minuten mit max. Fehlern lösen. Wenn Sie mehr Fehler haben, arbeiten Sie den Abschnitt nochmals durch. Ansonsten gehen Sie weiter zu den Kapiteln Spezielle.. Stimmt folgende Aussage: Eine Gleichung wird aufgelöst, indem auf beiden Seiten dieselben Operationen durchgeführt werden bis die Unbekannte alleine steht (isoliert ist).. Antwort: ja. x + 30 = x = x = 4 x = 4 5 Die Formeln sind nach den einzelnen Grössen umzustellen: 4. l = l + l a l = l - l a l a = l - l 5. U = d U U d = = d 6. s s v = s = v t t = t V 7. U = (l + b) U U l = b b = l 8. D + d U U U = D = d d = D Seite 0

22 A B = A = (5 B) B D D D = C C = B= (5 + B) C. a = 9 a = 3. B = 5 B = 5 3. A + c = 36 c = ( 36 A) A = 36 - c 4. A = a A a = d A 4 A = d = Seite 03

23 6. Spezielle Das Kapitel Spezielle ist freiwillig und wird nicht geprüft. Proportionen: Gewisse haben die Form: a c = b d Man spricht bei dieser besonderen Form von einer 'Verhältnisgleichung ' oder auch 'Proportion'. Natürlich kann sie wie jede andere Gleichung mit den bisher bekannten Methoden bearbeitet werden. Besonders einfach aber wird die Auflösung indem man beide Seiten mit beiden Nennern multipliziert: a c = bd b d a d = b c In dieser Form kann die Gleichung nun einfach nach einer Variablen oder Grösse umgeformt werden. Beispiel: a c = b x Aufgabe: Lösen Sie nach x auf a c = x b b x a x = b c a b c x = a Das gezeigte Beispiel lässt schliessen, dass die Behandlung derartiger Proportionen nach festen Regeln erfolgen kann. Seite 04

24 Tatsächlich ist dem so. Oft wird die 'Klammerregel' zur Lösung dieser Probleme herangezogen (das Wort 'Klammerregel' ist kein definierter math. Begriff sondern eine Gedankenstütze). Sie besteht aus der Darstellung des Bruchs in der von uns nicht mehr verwendeten Darstellung mit dem Divisionszeichen. Wir wollen hier und nur hier das Divisionszeichen wieder einführen um die 'Klammerregel' zu erklären. a c anstatt = schreiben wir b x a : b = c : x Für beide Schreibweisen kann man sagen:' a verhält sich zu b wie c zu x' Die Klammerregel sieht nun wie folgt aus: a : b = c : x Definition Klammerregel: Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Aussenglieder. Also: a x = b c Man hat also bereits die gewünschte Produkteform gewonnen ohne vorher Umformungen durchzuführen (siehe vorheriges Beispiel). Erstellen Sie eine 'Klammerregel' für die bei uns übliche Darstellung der Division mit einem Bruchstrich. Geben Sie Ihrer Regel einen eigenen Namen. Seite 05

25 Anwendungen finden Proportionen oder Verhältnisgleichung bei dem so genannten Dreisatzrechnen, welches Sie sicher bereits aus der Sekundarschule kennen. Zum richtigen Aufstellen der Verhältnisgleichung ist es wichtig aus dem Zusammenhang der Aufgabe heraus zu verstehen, ob es sich um eine direkte Proportion handelt oder um eine indirekte Proportion: Definition Direkte Proportion: Zusammenhang: Je mehr a desto mehr b a b Verhältnisgleichung: = a b Indirekte Proportion Zusammenhang: Je mehr a desto weniger b a b Verhältnisgleichung: = a b Beispiel : Ein Eisenprofil mit der Länge l =40m wiegt m =300 kg. Wie viel wiegt ein Profil mit der Länge l =5m? Lösung: Je länger ein Profil ist desto schwerer ist es. Das Verhältnis der Massen ist also wie das Verhältnis der Längen. (Direkte Proportion) Die Gleichung lautet also: m l = m l Mithilfe unserer Regel ergibt sich: m l = m l l m l und schliesslich = m l 300kg 5m/ =, 5kg 40m/ Seite 06

26 Beispiel : Eine Batterie speist insgesamt n =5 Notlampen eines Kinos. Die Energie der Batterie reicht für t =0 Stunden. Nun werden an diese Batterie n =0 Notlampen angeschlossen. Wie lange reicht nun die Energie? Lösung: Je mehr Lampen angeschlossen werden desto weniger lange reicht die Energie der Batterie. (Indirekte Proportion) Die Gleichung lautet also: n = n t t Mithilfe unserer Regel ergibt sich: n t = n t n n t uns schliesslich = t n 5 0h =. 5h 0 Aufgaben Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit Hilfe der Klammerregel und Ihrer eigenen Regel: = x = 75 x 6.. x : 3 = 35 : 9 x = : x = : x = Seite 07

27 Textaufgaben: In der Technik gelten bestimmte Gesetze und Abhängigkeiten, die in (Formeln) festgelegt sind. Dennoch stellt uns der Alltag viele Aufgaben, die zuerst in die geeignete mathematische Zahlensprache übersetzt werden müssen. Dadurch entsteht zunächst folgendes Problem: Erstellung einer geeigneten Zahlengleichung, welche die bekannten Grössen und die unbekannte Zahl oder das, wonach gefragt wird, enthält. Die Lösung einer Textgleichung zerfällt in folgende vier Teile:. Wahl der Unbekannten (x). Aufstellung der Gleichung 3. Auflösung der Gleichung 4. Probe, d.h. Kontrolle, ob die gefundene Zahl der Aufgabe genügt. Beispiel Teilt man eine Zahl durch 7 und fügt noch 6 hinzu, so erhält man eben soviel, wie wenn man den 5. Teil der Zahl um 4 vermehrt. Welche Zahl ist es? Lösung: x Die gesuchte Zahl sei x. Gesuchte Zahl durch 7 teilen und 6 dazu zählen den 5. Teil der gesuchten Zahl um 4 vermehrt x Beides soll gleich sein x = x Lösung der Gleichung x x + 6 = x + 0 = 7x + 40 x = 70 Die Gesuchte Zahl heisst 35 x = 35 Seite 08

28 Probe gemäss Text = = (Die Zahl 35 ist richtig) Beispiel Zwei Züge fahren in gleicher Richtung. Der erste Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h und der zweite Zug 5 Minuten später mit 80 km/h. Nach welcher Zeit wird der erste Zug eingeholt? Lösung : Die Fahrzeit des ersten Zuges sei x Minuten. Weg von Zug =Weg von Zug, wobei gilt km Weg (km) = Zeit (min)* Geschwindigkeit min x = x = 3 80 ( x 5) 60 min 3 Nach 3 / 3 Minuten wird der erste Zug überholt. Seite 09

29 Beispiel 3 Die Widerstände in nachstehender Schaltung sind alle gleich gross. Welchen Wert weist ein einzelner Widerstand auf, wenn der Gesamtwiderstand dieser Kombination 40 Ω beträgt? Lösung : x x + + x = x 40 3 x = 60 R X = 60 Ω Aufgaben 6.4. Auf einer Breite von 9,5m sollen 9 Holzbalken gleichmässig verteilt werden, so dass die Abstände zwischen den Balken und die Endabstände gleich gross werden. Die Balkenbreite beträgt cm. Wie gross werden die Abstände? 84, cm 6.5. In einer Turnhalle von 4m Länge sollen 7 Beleuchtungskörper gleichmässig in einer Reihe verteilt werden. Der Abstand der ersten und letzten Leuchte von der Wand soll halb so gross sein wie derjenige von Leuchte zu Leuchte. Wie gross werden die Leuchtenabstände? 3,43 m Seite 0

30 6.6. Die Summe dreier Zahlen ist 00. Die erste ist um 9, die zweite um 7 grösser als die dritte Zahl. Wie heissen die Zahlen? 37, 35, Von zwei Orten deren Entfernung 3,5km beträgt, gehen zwei Freunde A und B einander entgegen und treffen sich nach ¾Stunden. A legt pro Minute 4m mehr zurück als B. Welchen Weg legt jeder in der Minute zurück? A = 5m/min B = 48m/min Kapiteltest Wenn Sie sich sicher fühlen, lesen Sie nochmals die Lernziele am Anfang dieses Kapitels. Überprüfen Sie, ob Sie nach eigenem Ermessen die Ziele erreicht haben und melden Sie sich dann zum Kapiteltest bei Ihrer Lehrperson. Seite