Strömungslehre 2. Strömungen - Fluide in Bewegung. Inkompressible Strömungen. Kompressible Strömungen. Grundgleichungen für Newtonsche Fluide

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1 Strömungslehre 2 Strömungen - Fluide in Bewegung Inkompressible Strömungen Kompressible Strömungen Grundgleichungen für Newtonsche Fluide Numerische Strömungsberechnung Aufgaben Anhang

2 Inhaltsverzeichnis Übersicht Strömungen - Fluide in Bewegung Einleitung Beschreibung von Strömungen Inkompressible Strömungen Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung Energiegleichung Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung Impulssatz Drehimpulssatz Ähnlichkeitsgesetze Grundformen reibungsbehafteter Strömung Strömung in Rohren Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren Turbulente Strömung in kreisförmigen Rohren Strömung in Gerinnen Umströmung von Körpern Tragflügel Kompressible Strömungen Thermodynamische Eigenschaften des idealen Gases Grundgleichungen Rohrströmung Ausströmvorgänge Grundgleichungen für Newtonsche Fluide Lokale Massenbilanz Lokale Impulsbilanz Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordinaten Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen Eindimensionale Beispiele Laminare Gerinneströmung Wirbelgleichung Numerische Strömungsberechnung Diskretisierung Modellierung der Turbulenz Das Simulationsprogramm Femlab Beispiel: Zweidimensionale Rohrströmung Beispiel: Dreidimensionale Strömung durch einen Winkel Aufgaben Aufgabe 1 Lösung von Aufgabe 1 Aufgabe 2 Lösung von Aufgabe 2

3 Aufgabe 3 Lösung von Aufgabe 3 Aufgabe 4 Lösung von Aufgabe 4 Aufgabe 5 Lösung von Aufgabe 5 Aufgabe 6 Lösung von Aufgabe 6 Aufgabe 7 Lösung von Aufgabe 7 Aufgabe 8 Lösung von Aufgabe 8 Aufgabe 9 Lösung von Aufgabe 9 Aufgabe 10 Lösung von Aufgabe 10 Aufgabe 11 Lösung von Aufgabe 11 Aufgabe 12 Lösung von Aufgabe 12 Aufgabe 13 Lösung von Aufgabe 13 Aufgabe 14 Lösung von Aufgabe 14 Aufgabe 15 Lösung von Aufgabe 15 Aufgabe 16 Lösung von Aufgabe 16 Aufgabe 17 Lösung von Aufgabe 17 Aufgabe 18 Lösung von Aufgabe 18 Aufgabe 19 Lösung von Aufgabe 19 Aufgabe 20 Lösung von Aufgabe 20 Aufgabe 21 Lösung von Aufgabe 21 Aufgabe 22 Lösung von Aufgabe 22 Aufgabe 23 Lösung von Aufgabe 23 Anhang Literatur Nachweise Exkurs: Herleitung der lokalen Drehung

4 Strömungen - Fluide in Bewegung Einleitung Beschreibung von Strömungen

5 Einleitung Strömungen in Natur und Technik: Luftströmungen in der Athmosphäre Wasserströmungen im Ozean Plasmaströmungen im Sterninneren

6 Blutströmung in den Gefäßen Strömungen um ein Flugzeug Gemischströmungen im Otto-Motor Luftströmungen im Lüfterrad einer Kettensäge

7 Unterschiedliche Strömungsformen: gleichmäßige Strömung durch ein Rohr Überschallströmung über einer Tragfläche

8 Wirbel hinter einem umströmten Zylinder Unterteilung nach Art des Fluids: Newtonsches Fluid linearer Zusammenhang zwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgradient = dw/dz dynamische Viskosität viele Gase, Wasser Nicht-Newtonsches Fluid sehr verschiedenartige Eigenschaften möglich Joghurt, Zahnpasta, Mörtel,... hier nicht weiter betrachtet Unterteilung nach Verhalten der Dichte: inkompressibel Dichte konstant in Wasser und vielen anderen Flüssigkeiten in Gasen bei niedrigen Geschwindigkeiten (z.b. w < 0.2 c) kompressibel Dichte veränderlich zusätzliche Gleichung für nötig thermodynamische Beziehungen berücksichtigen Unterteilung nach Zeitabhängigkeit: zeitunabhängig (stationär) Strömungsbild zeitlich unveränderlich manchmal nur erfüllt in größeren Skalen (quasistatisch) zeitabhängig (instationär) i.a. komplizierte Bewegungsformen schwierig zu visualisieren Unterteilung nach Strömungsform laminar Teilchen bewegen sich längs nur langsam veränderlicher Stromfäden Schichtenaufbau der Strömung keine Vermischung der Schichten

9 turbulent Teilchen bewegen sich auf unregelmäßigen Bahnen starke Schwankungen in Querrichtung tritt auf bei höherer Geschwindigkeit oder niedrigerer Viskosität

10 Beschreibung von Strömungen Strömungsfeld : Strömung = (u, v, w) gegeben durch Geschwindigkeit der Teilchen am Ort = (x, y, z) zur Zeit t = (, t) in Koordinaten u = u(x, y, z, t) v = v(x, y, z, t) w = w(x, y, z, t) Eulersche Beschreibung Darstellung durch Richtungspfeile (für jede Zeit t) bezogen auf ein Koordinatensystem, z.b. ortsfest mit konstanter Geschwindigkeit mit Körper mitbewegt (z.b. Flugzeug) stationäre Strömung: hängt nicht von t ab Teilchenbahn: Weg eines Fluidteilchens oder kleinen Fluidvolumens in der Strömung experimentell: Teilchen anfärben oder Testteilchen einbringen (Aluminiumflitter) und lange belichten Bahnkurve bestimmt durch Anfangsort 0 zur Zeit t 0 (t) = (t; 0, t 0 ); beschreibt die Strömung vollständig (Lagrangesche Beschreibung) Geschwindigkeit der Teilchen (, t) = d /dt Berechnung der Teilchenbahnen: Differentialgleichungen für bei gegebenem in Koordinaten dx/dt = u(x, y, z, t)

11 dy/dt = v(x, y, z, t) dz/dt = w(x, y, z, t) Anfangsbedingung wählt ein Teilchen aus 0 = (t 0 ) Stromlinien: Richtungsfeld von zu einer bestimmten Zeit t Bild ändert sich mit der Zeit t daher Stromlinien i.a. verschieden von Bahnlinien Berechnung in 2 Dimensionen: (x, y) = (u, v) dy/dx = v/u experimentell: viele Markierungsteilchen, kurze Belichtungszeit Streichlinien: experimentell: an fester Stelle 0 werden ständig Markierungsteilchen hinzugefügt (Farbe, Rauch)

12 Streichlinie = Verbindungslinie dieser Teilchen zur Zeit t gegeben durch (t 0 ) = (t; 0, t 0 ); Parameter der Kurve ist t 0 = Zeit, zu der Teilchen eingesetzt wurde Stromfadentheorie: Stationäre Strömung Bahnlinie = Stromlinie = Streichlinie Näherung: Größen hängen nur von der Koordinate längs ihrer Stromlinie ab Bündel aus vielen Stromlinien: Stromröhre, ganz dünn: Stromfaden Stromlinien = Bahnlinien kein Stofftransport durch die Mantelfläche einer Stromröhre Aufgaben: Aufgabe 1

13 Inkompressible Strömungen Grundgleichungen Ähnlichkeitsgesetze Grundformen reibungsbehafteter Strömung Strömung in Rohren Strömung in Gerinnen Umströmung von Körpern Tragflügel

14 Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung Energiegleichung Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung Impulssatz Drehimpulssatz

15 Kontinuitätsgleichung Massenerhaltung: betrachten inkompressible stationäre Strömung Stromröhre als Kontrollvolumen Zustrom von Masse durch A 1 in Zeit dt dm 1 = A 1 ds = A 1 w 1 dt Abstrom von Masse durch A 2 in Zeit dt analog dm 2 = A 2 w 2 dt stationär dm 1 = dm 2 A 1 w 1 = A 2 w 2

16 Energiegleichung Energien bei der Stromröhre: betrachten stationäre reibungsfreie Strömung im Gravitationsfeld auftretende Energieformen E pot = m g z E kin = 1/2 m w 2 E druck = p V = m p / E druck = verrichtete Arbeit, um Masse m mit Volumen V gegen den Druck p durchzuschieben (Volumenänderungsarbeit) keine Änderung der inneren Energie (keine Reibung, Temperatur konstant) keine zusätzliche äußere Arbeit Gesamtenergie an jedem Querschnitt A konstant E = E pot + E kin + E druck = m g z + 1/2 m w 2 + m p / = const. mit /m multiplizieren Dimension des Drucks g z + p + /2 w 2 = const (Bernoulli-Gleichung) grafische Darstellung

17 Technische Arbeit W t12 : extern am Fluid geleistete Arbeit z.b. Pumpe (W t12 > 0) oder Turbine (W t12 < 0) spezifische technische Arbeit w t12 = W t12 /m Bernoulli-Gleichung bei technischer Arbeit zwischen Punkt 1 und 2 g z 2 + p 2 + /2 w 2 2 = g z 1 + p 1 + /2 w w t12 Staudruck: durch die Strömung verursachter dynamischer Druck /2 w 2 wirkt nur in Strömungsrichtung kann z.b. bei der Umströmung eines Körpers gemessen werden

18 Grundprinzip des Prandtl-Rohrs zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit Ausfluss aus einem Behälter: Flüssigkeit laufe reibungsfrei aus einem Gefäß Bernoulli-Gleichung am oberen Wasserspiegel und an Austrittsöffnung Drücke gleich dem Außendruck p 1 = p 2 = p a Zusammenhang zwischen w 1 und w 2 aus der Kontinuitätsgleichung w 1 A 1 = w 2 A 2 w 1 in Bernoulli-Gleichung einsetzen und nach w 2 auflösen mit der Höhendifferenz h = z 1 - z 2 für A 2 << A 1 gilt näherungsweise die Ausflussformel von Torricelli Hydrodynamisches Paradoxon: Flüssigkeit fließe aus einem Rohr zwischen zwei parallele Platten, dort radial nach außen

19 Größen am äußeren Rand p a etc. Größen irgendwo im Innenbereich der Platten p i etc. aus Bernoulli-Gleichung folgt durchflossener Zylindermantel im Innern kleiner als außen w nimmt nach außen ab w a < w i p a > p i Außendruck p a gegen untere Platte drückt Platte gegen das Rohr Strahlpumpe: waagerechte Rohrleitung wird verengt an der Verengungsstelle wird ein Steigrohr angebracht Geschwindigkeit w 2 an der Verengungsstelle mit Kontinuitätsgleichung w 1 A 1 = w 2 A 2 A = d 2 /4 w 2 = w 1 d 1 2 /d 2 2 > w 1 Druck p 2 mit Bernoulli-Gleichung p 1 + /2 w 1 2 = p 2 + /2 w 2 2 p 2 = p 1 - /2 (w w 1 2 ) = p 1 - /2 w 1 2 (d 1 4 /d 2 4-1) Geschwindigkeit w im Saugrohr bei maximaler Steighöhe h nahezu 0 bei Außendruck p 0 ergibt Bernoulli p 2 + g h = p 0 h = (p 0 - p 2 )/( g) häufiges Prinzip zum Pumpen oder Mischen, z.b. Wasserstrahlpumpe

20 Zerstäuber Vergaser in der Praxis erhebliche Verluste durch Reibung und Turbulenz beim Mischen Aufgaben: Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6

21 Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung Strömung durch gekrümmtes Rohr: Fluidelement der Größe dr ds db Zentrifugalkraft auf Kreisbahn mit Winkelgeschwindigkeit df Z = dm r 2 = dr ds db r 2 = dr ds db w 2 /r mit der Strömungsgeschwindigkeit w = r Kraft aufgrund des Druckunterschieds df p = (p + dp) ds db - p ds db = dp ds db Kräftgleichgewicht df Z = df p Beispiel Rohrkrümmer: Annahme: w = Z/r (drallfreie Strömung) damit dp/dr = w 2 /r = Z 2 /r 3 integrieren von Innenwand bis Außenwand

22 Impulssatz Kräfte bei einer Stromröhre: Newton: Summe aller Impulsänderungen + Summe aller äußeren Kräfte = 0 auftretende Kräfte Volumenkräfte durch äußere Felder (z.b. Schwerkraft) Druckkräfte auf Oberflächen Reaktionskräfte von festen Oberflächen Impulsänderung im Fluid speziell für stationäre inkompressible Strömungen: d /dt = = positives Vorzeichen: in das Kontrollvolumen hineinfließende Impulsströme Kräfte auf das Fluid Kraft auf ein gekrümmtes Rohr: Strömung durch gebogenes Rohr, Ablenkungswinkel Durchmesser d = const. Geschwindigkeit = const. kein Gefälle, keine Reibung p = const. Kräfte auf Fluid am Eingang (senkrecht zur Querschnittsfläche nach innen) Druckkraft p1 = -p 1 Impulskraft i1 = 1 = - 1 w 2 Gesamtkraft: 1 = - 1 (p + w 2 ) analog am Ausgang (senkrecht zur Querschnittsfläche nach außen) Gesamtkraft: 2 = - 2 (p + w 2 ) Gesamtkraft = = - (p + w 2 )( )

23 1 + 2 = 2 A sin( /2) F = 2 A (p + w 2 ) sin( /2) = Kraft von Fluid auf Wand gleichgroße Gegenkraft - der Wand bewirkt Richtungsänderung des Fluids Stoß auf ebene Wand: Flüssigkeitsstrahl stoße frei auf senkrechte Wand Näherung in der Nähe des Auftreffpunkts: Flüssigkeit läuft senkrecht ab keine Änderung des Betrags der Geschwindigkeit Stoßkraft auf die Wand F = = A w 2 Schaufelkraft im ebenen Schaufelgitter: Strömung durch eine Reihe von Profilen in gleichem Abstand t, Breite b

24 y-achse in Richtung des Gitters, x-achse senkrecht in Strömungsrichtung Kontrollfläche um ein Profil Volumenstrom = t b w x Berechnung der Schaufelkraft mit Impulssatz in x-richtung w 1x (w 1x t b) + p 1 t b - w 2x (w 2x t b) - p 2 t b = R x in y-richtung w 1y (w 1x t b) - w 2y (w 2x t b) = R y Kontinuitätsgleichung w 1x t b = w 2x t b w 1x = w 2x Energiebilanz p 1 + /2 (w 2 1x + w 2 1y ) = p 2 + /2 (w 2 2x + w 2 2y ) p 1 - p 2 = /2 (w 2y 2 - w 1y 2 ) = /2 (w 2y - w 1y ) (w 2y + w 1y ) mit dem Mittel aus Zu- und Abströmgeschwindigkeit = ( )/2 folgt p 1 - p 2 = - (w 1y - w 2y ) also R x = t b (p 1 - p 2 ) = - b y t (w 1y - w 2y ) = - b y y ebenso mit der Abkürzung := t (w 1y - w 2y )

25 R y y = x t b (w 1y - w 2y ) = b x Damit erhält man für das Skalarprodukt = R x x + R y y = - b x y + b x y = 0 Die Schaufelkraft (Schaufelauftrieb) Strömungsgeschwindigkeit. Betrag der Schaufelkraft steht senkrecht auf der mittleren

26 Drehimpulssatz Drehimpuls bei Schaufelrädern: Newton: Summe aller Drehimpulsänderungen + Summe aller äußeren Momente = 0 beim stationären inkompressiblen Fluid zerlegt in Radialteil w r und Tangentialanteil w t Anwendung beim Laufrad einer Kreiselpumpe: Gesamtgeschwindigkeit gegeben durch = + : Relativgeschwindigkeit, durch Schaufelform gegeben : Umfangsgeschwindigkeit, u = r Gesamtgeschwindigkeit zerlegt in Radialteil c r und Tangentialteil c t vom Schaufelrad übertragenes Moment M S = (r 2 c 2t - r 1 c 1t ) (Eulersche Hauptgleichung für Turbomaschinen) Leistung der Pumpe P = M S Aufgaben: Aufgabe 7

27 Ähnlichkeitsgesetze Dimensionsanalyse: Ausgangspunkt: funktionale Abhängigkeit zwischen n physikalischen Größen f(a 1, a 2,.., a n ) = 0 Größen a i haben Einheiten können durch m Grundeinheiten beschrieben werden (3 bei Mechanik, 4 incl. Thermodynamik) -Theorem: Funktion f umschreibbar mit n - m dimensionslosen Kombinationen (Kennzahlen) der a i F( 1, 2,..., n-m ) = 0 Beispiel "Erzwungene Schwingung": Grundgleichung m + + k x = A cos( t) Einheiten der Größen j a i [a i ] m kg kg s -1 k kg s -2 A kg m s -2 s -1 2 dimensionslose Kennzahlen Vergleich mit den üblichen Größen bei der erzwungenen Schwingung K 1 = 0 / K 2 = 2 / 0 = 2 D Beispiel Rohrströmung: Strömung durch ein kreisrundes Rohr

28 beschrieben durch Beziehung f( p/l, d,,, ) = 0 zwischen den Größen a i [a i ] Bedeutung p/l kg m -2 s -2 Druckabfall/Rohrlänge d m Rohrdurchmesser m s -1 kg m -3 mittlere Strömungsgeschwindigkeit Dichte des Fluids kg m -1 s -1 Viskosität des Fluids Kennzahl K = Potenz der Größen mit Einheit 1, also Vergleich der Exponenten von kg, m, s liefert + + = 0 (1) = 0 (2) = 0 (3) Wähle = 1, = 0 (1) = -1 (3) = -2 (2) = 1 : Rohrreibungszahl Wähle = 0, = 1 Re: Reynoldszahl Reynolds-Zahl: wichtigste Kennzahl reibungsbehafteter Strömungen Definition Re := w L / = w L / L: charakteristische Länge : kinematische Viskosität Verhältnis von kinetischer zu Reibungsenergie charakterisiert Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung

29 Froude-Zahl: Kennzahl von Strömungen unter Schwerkraft (Gefälle, Oberflächenwellen) Definition Verhältnis von kinetischer und potentieller Energie ebenfalls Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit zu Geschwindigkeit von Oberflächenwellen charakterisiert Grenze zwischen gleichmäßig strömender (ruhiger Fluss) und schießender Bewegung (Sturzbach) Anwendung "Modellbau": gleiche Strömungsverhältnisse bei gleichen Kennzahlen und ähnlicher Geometrie erlaubt Untersuchung von Strömungen mit Modellen (Wasser-, Windkanal) Übereinstimmung aller Kennzahlen nicht immer erreichbar, z.b. bei Oberflächen-Rauheit

30 Grundformen reibungsbehafteter Strömung Strömung im Rohr: kritische Reynoldszahl Re krit = d / = 2320 mit mittlerer Strömungsgeschwindigkeit = /A laminare Strömung für Re < 2320 parabolische Geschwindigkeitsverteilung Rohrreibungsverlust hängt nicht ab von der Rauheit der Rohrwand turbulente Strömung für Re > 2320

31 Geschwindigkeitsverteilung wesentlich flacher starke Änderung nahe der Rohrwand Rohrreibungsverlust abhängig von der Rauheit der Rohrwand quasistationär: Schwankungen von mittlerer Geschwindigkeit überdeckt Umströmung einer Kugel: schleichende Umströmung bei Re < 1000 Strömung schließt sich hinter der Kugel keine Wirbel hohe Widerstandskraft unterkritische Strömung bei 1000 < Re <

32 laminare Grenzschicht um Kugel Grenzschicht löst sich nahe der dicksten Stelle großes Wirbelgebiet hinter der Kugel (Totwassergebiet) mittlere Widerstandskraft überkritische Strömung bei Re > turbulente Grenzschicht Grenzschicht löst sich hinter der Kugel kleines Totwassergebiet sehr niedrige Widerstandskraft Aufgaben: Aufgabe 8 Aufgabe 9 Aufgabe 10

33 Strömung in Rohren Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren Turbulente Strömung in kreisförmigen Rohren

34 Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen Energiebilanz mit Reibung: betrachten stationäre Strömung im Gravitationsfeld Vergleich der spezifischen Energien an Punkten P 1 und P 2 einer Stromröhre g z 1 + 1/2 w p 1 / = g z 2 + 1/2 w p 2 / + e Dissipation vorgegebener Volumenstrom = A w w ändert sich nicht Reibungsverlust äußert sich als Druckverlust e Dissipation = p V / Reibungsverlusthöhe h V : Definition h V = p V / g Division der Energiebilanz durch g im Bild Größen der Dimension Länge h V = zusätzlich benötigte Höhe für gleichen Druck wie ohne Reibung h V = Verringerung der Förderhöhe einer Pumpe durch Reibung Widerstandszahl : häufig Dissipationsenergie proportional zur kinetischen Energie Proportionalitätskonstante e Dissipation = w 2 /2 Druckverlust p V = e Dissipation = /2 w 2 Widerstandszahl für viele Rohrleitungselemente tabelliert oft nur leichte Abhängigkeit von Reynoldszahl und Wandrauheit Dissipation eines Rohrsystems = Summe der Dissipationen der Elemente

35 Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren Geschwindigkeitsprofil im Rohr: Geschwindigkeit an der Rohrwand = 0 (Haftbedingung) laminare Strömung achsenparallele Schichten w hängt nur vom Radius r ab Schubspannung aufgrund unterschiedlicher Geschwindigkeit = - dw/dr entsprechende Reibungskraft am Zylinder F R = A = 2 r l (- dw/dr) äußere Druckkraft auf Zylinder F p = r 2 (p 1 - p 2 ) Kräftegleichgewicht Integrieren Integrationskonstante aus Randbedingung w(r 0 ) = 0 maximale Geschwindigkeit bei r = 0: Bestimmung des Volumenstroms: Strom durch dünnen Zylinderring

36 d = da w(r) = w(r) 2 r dr Integrieren Mittlere Geschwindigkeit : definiert durch = A mit Hagen-Poiseuille Druckabfall: mit r 0 = d/2 = folgt aus Hagen-Poiseuille setzt man noch = d 2 /4 ergibt sich p 1 - p 2 = 32 l /d 2 Dimensionslose Form: dimensionslose Rohrreibungszahl

37 nach p 2 - p 1 auflösen und einsetzen Aufgaben: Aufgabe 11

38 Turbulente Strömung in kreisförmigen Rohren Turbulenz im Rohr: ab Re > 2320 bei fast allen praktischen Rohrströmungen Reibungsverluste durch Schubspannungen und durch turbulente Vermischung Unebenheiten in der Rohrwand sehr wichtig Wandrauheit k: angegeben als durchschnittliche Höhe der Unebenheiten statt natürlicher Unregelmäßigkeit bezogen auf eine "gleichmäßig rauhe" Oberfläche (Sandrauheit) einige typische Werte (nach [1] Tafel 31) Material Zustand k/[mm] gezogenes Metallrohr neu Gummischlauch neu Gusseisen neu leicht angerostet Betonrohr neu damit 3 dimensionslose Kennzahlen der Rohrströmung: Re k/d Geschwindigkeitsverteilung: grundsätzliches Verhalten

39 in der Nähe der Rohrwand (r = d/2 =: r 0 ) w(r 0 ) = 0 Re klein in direkter Nähe zur Wand laminare Strömung in der Grenzschicht parabolisches Geschwindigkeitsprofil halbempirische Beziehung für die Dicke l (Prandtl) Näherung für w(r) im turbulenten Bereich w(r)/w max = (1 - r/r 0 ) 1/n Exponent n hängt von Re und k/d ab, wächst mit k/d bei glatten Rohren (k/d klein) erhält man n aus dem Bild

40 Mittlere Geschwindigkeit : durch den Volumenstrom gegeben als = / A = /( r 0 2 ) Integrieren des Volumenstroms über dünne Zylinderschalen wie beim laminaren Fall liefert: Einsetzen des Potenzansatzes ergibt partielle Integration (oder eine Integraltafel) liefert schließlich einige Werte n w/w max Druckabfall: direkt aus der Definition der Rohrreibungszahl grundlegende Beziehung = (Re, k/d) graphisch

41 Einige halbempirische Beziehungen für verschiedene Bereiche hydraulisch glatte Rohre (Re k/d < 65) hydraulisch rauhe Rohre (Re k/d > 1300) Übergangsbereich (65 < Re k/d < 1300) Aufgaben: Aufgabe 12 Aufgabe 13

42 Strömung in Gerinnen Hydraulischer Durchmesser d h : bei beliebiger Querschnittsform, auch mit offener Oberfläche Gleichgewicht zwischen Druckkraft und Reibungsverlust an der Wand U l = p V A p V = beim Kreisrohr l U/A Vergleich mit der Beziehung = 2 /8 Beziehung für Schubspannung gelte für beliebige Profile mit dem hydraulischen Durchmesser d h := 4 A / U Beziehungen für bei turbulenter Strömung bleiben in guter Näherung richtig mit Rauheit = k/d h, Re = d h / Hydraulisch optimales Profil: bei gegebenem und Querschnitt A Reibung verringern durch Kanalform mit möglichst großem d h, also möglichst kleinem U z.b. bei rechteckigem Querschnitt, Breite b, Tiefe t A = b t U = b + 2t = A/t + 2t minimal für

43 für ein optimales Rechteck ergibt sich also beim Halbkreis (optimaler Querschnitt) ist Geschwindigkeitsprofil bei offener Oberfläche: häufig sehr hohe Rauhigkeit (z.b. Flussboden mit Geröll) Verluste an der Oberfläche durch Reibung mit der Luft Oberflächenwellen Geschwindigkeitsverteilung auch höhenabhängig Fließformel: betrachten gleichmäßige Strömung bei Gefälle

44 Energiebilanz eines Stromfadens bei konstanter Fließgeschwindigkeit und konstantem Druck (Luftdruck) p V = g (z 1 - z 2 ) = l/d h /2 2 daraus Kanalgefälle J J := sin = (z 1 - z 2 )/l = 2 /(2 g d h ) empirische Beziehung für bei Kanalströmung Aufgaben: Aufgabe 14

45 Umströmung von Körpern Strömungsbilder umströmter Körper: stark abhängig von der Form Geschwindigkeitsverteilung w = 0 am Staupunkt S w = 0 an der Körperoberfläche (Haftbedingung) w = w weit weg vom Körper Übergang in Schicht um den Körper (Grenzschicht) Grenzschicht sehr dünn bei nicht zu starker Reibung (etwa für Re > 10 4 ) Eigenschaften der Grenzschicht: w hinter S klein laminar w steigt längs des Körpers an Umschlag in Turbulenz dickere Grenzschicht dw/dy kleiner geringere Wandspannung Geometrie der Grenzschicht Koordinate x folgt der Körperform Dicke Umschlagspunkt etwa bei wobei Re krit = (formabhängig) Geschwindigkeitsprofile

46 Beispielwerte für Auto in Luft, l = 1 m, w = 20 m/s Re Re krit 10 6 x U l t 0.7 m 4 mm 16 mm Widerstandskräfte: Fluid übt längs Körperlinie y K (x) Kräfte auf Körper aus Resultierende zerlegen Widerstand = parallel zur Strömung Auftrieb = senkrecht zur Strömung Widerstand = Summe von Druck- und Reibungswiderstand F w = F wd + F wr Ansatz: F w proportional zu Staudruck und Stirnfläche F w = c w /2 w 2 A St Widerstandsbeiwert c w abhängig von Form des Körpers Reynoldszahl Rauigkeit der Oberfläche c w bei umströmter Kugel (Re mit Kugeldurchmesser d)

47 c w bei vielen Körperformen (etwa beim Auto) nahezu unabhängig von Re Reibungswiderstand: Summe der Wandspannung längs der Körperoberfläche Vereinfachung: konstante Breite b Reibungsbeiwert c wr analog zu c w, bezogen auf umströmte Fläche A F wr = c wr /2 w 2 A F wr = 0 bei reibungsloser Strömung (Re ) Druckwiderstand: Kraft längs der Oberfläche aufsummieren für reibungslose Strömungen ist p = const Druckwiderstand vollständig umströmter Körper verschwindet in reibungsfreier Strömung (d Alembertsches Paradoxon) Aufteilung des Widerstands verschiedener Körper

48 Widerstandsbeiwert einer längs umströmten Platte: nur Reibungswiderstand abhängig von Re und Rauheit k S /l kritische Reynoldszahl R krit ähnliches Diagramm wie bei Rohrströmung semi-empirische Beziehungen für verschiedene Bereiche rein laminare Grenzschicht (1) rein turbulent, hydraulisch glatt (2) laminar + turbulent (3a) rein turbulente Strömung bei kleinem Re z.b. durch Rauhigkeiten an der Vorderkante

49 Ablösung: große Krümmung (insbesondere Kanten) Teilchen folgen nicht mehr der Kontur (Ablösung der Grenzschicht) stehende bis gegenläufige Bewegung im "Windschatten" (Totwassergebiet) an Kanten Ablösen von Wirbeln (Karmansche Wirbelstraße) Ursache Druck in der Grenzschicht nimmt hinter dem Staupunkt zunächst ab hinter Verdickung steigt der Druck wieder an Teilchen werden dort gebremst zu hohe Reibungsverluste Teilchen bleiben stehen oder laufen zurück Ablösung erhöht den Druckwiderstand (größere effektive Stirnfläche) turbulente Grenzschicht höherer Impulsübertrag von außerhalb der Grenzschicht spätere Ablösung geringerer Druckwiderstand Erklärung für kleines c w bei großem Re bei umströmter Kugel Aufgaben: Aufgabe 15 Aufgabe 16

50 Tragflügel Geometrie von Tragflächen: speziell geformter Umströmungskörper wichtig z.b. bei Flugzeugen Turbinenschaufeln Umlenkrädern Oberseite stärker gekrümmt als Unterseite Querschnittsfläche mit Profilsehne, Länge l (Profillänge) Mittellinie (Skelettlinie) Winkel zwischen Profilsehne und Strömung (Anstellwinkel ) Breite b Strömung um eine Tragfläche: Geschwindigkeit oben größer als unten Bernoulli Druck oben niedriger als unten Druckunterschied zum Druck p in der ungestörten Strömung, bezogen auf Staudruck Nettoeffekt: Auftriebskraft Kräfte am Tragflügel: Auftrieb senkrecht zur Strömung, beschrieben durch

51 Flügelfläche A Fl l b Widerstand F w in Strömungsrichtung wie oben c a, c w hängen ab von Reynoldszahl Oberflächenrauhigkeit (besonders an der Flügelnase) Tragflügelprofil Anstellwinkel Abhängigkeit vom Anstellwinkel Störungen der Strömung: Abriss an der Oberseite zu geringer Druck Ablösen der Grenzschicht geschieht u.a. bei zu großem Anstellwinkel begrenzt c a ( ) Kavitation (bei Flüssigkeitsströmung) großer Unterdruck Entstehen von Dampfblasen Ablösen der Strömung Dampfblasen fallen in höherem Druck zusammen starke Schläge mechanische Schäden Beschreibung der Strömung: Überlagerung aus reibungsloser Parallelströmung Wirbel um die Tragfläche (Zirkulationsströmung) Stärke des Wirbels (Zirkulation) Wert vom Abstand zum Körper unabhängig (Potentialwirbel) bei Vernachlässigung von Reibung und ggf. Ablösung

52 F A = w b (Satz von Kutta-Joukowsky) Zirkulation entsteht als Gegenwirbel zum Anfahrwirbel Aufgaben: Aufgabe 17

53 Kompressible Strömungen Thermodynamische Eigenschaften des idealen Gases Grundgleichungen Rohrströmung Ausströmvorgänge

54 Thermodynamische Eigenschaften des idealen Gases Zustandsgleichungen: thermisch p = R i T kalorisch du = c V dt c V von T unabhängig (perfektes Gas) u = c V T (bei geeignetem Nullpunkt für u) Isentrope Zustandsänderung: keine Wärmeübertragung Isentropengleichungen Adiabatenkoeffizient := c p /c V außerdem beim idealen Gas c p - c V = R i Enthalpie: definiert als H := U + p V spezifische Enthalpie mit Gasgleichung h = u + p/ = u + R i T für perfektes Gas h = c V T + (c p - c V ) T = c p T Schallgeschwindigkeit a: Schall: schnelle Druckänderung, adiabatisch Schallgeschwindigkeit allgemein gegeben durch Isentropengleichung beim idealen Gas

55 Machzahl Ma := w / a

56 Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung: Masse-Zustrom in Zeit dt durch Stromröhre des Querschnitts A 1 dm 1 = 1 * A 1 * w 1 dt Abstrom am anderen Ende, Querschnitt A 2 dm 2 = 2 * A 2 * w 2 dt stationär dm 1 = dm 2 A 1 * 1 * w 1 = A 2 * 2 * w 2 Energiegleichung: keine explizite Energiezufuhr Berücksichtigung der Reibung als innere Energie beim idealen Gas beim perfekten Gas wegen u = c V T daher g z + c p T + w 2 /2 = const. oder mit der Enthalpie g z + h + w 2 /2 = const.

57 Rohrströmung Druckabfall am Rohr: mit Rohrreibungszahl Gasgleichung Kontinuitätsgleichung + konstanter Rohrquerschnitt damit Druckabfall Druckabfall bei isothermer Strömung: langsame Strömung durch nichtisolierte Rohrleitung T = const z.b. Ferngasleitung ändert sich ändert sich ändert sich Re ändert sich ändert sich Gleichung für Druckabfall nur numerisch lösbar Integration einfach für Näherung: = const Druckabfall bei adiabatischer Strömung: thermisch isoliertes Rohr z.b. Fernwärmeleitung (Dampf) Integration für = const Aufgaben: Aufgabe 18

58 Ausströmvorgänge Ausströmen aus einem Kessel: adiabates Ausströmen von perfektem Gas Anfangsgeschwindigkeit w 0 = 0 Ausgangsdruck p gegeben Dichte und Temperatur mit Adiabatengleichung Geschwindigkeit nach dem Energiesatz Maximalgeschwindigkeit graphisch für Luft ( = 1.4)

59 Machzahl: in Abhängigkeit von p graphisch für = 1.4 Strömung "näherungsweise kompressibel" für Ma < 0.3

60 p/p 0 > 0.93 / 0 > 0.95 Dichteänderung kleiner 5% kritischer Druck p* bei Ma = 1 Werte der anderen Größen beim kritischen Druck sofort durch Einsetzen bei Luft p*/p */ T*/T w*/w max Massenstromdichte j: Masse pro Zeit und Querschnittsfläche gegeben durch J = w Abhängigkeit vom Druck graphisch Maximum bei p*/p 0, also Ma = 1 für Luft j*/( 0 w max ) = Strömung bei veränderlichem Querschnitt: Kontinuitätsgleichung

61 j A = const. Querschnitt wächst Stromdichte sinkt und umgekehrt wegen Maximum von j(p) verschiedenes Verhalten für Ma > 1 bzw. Ma < 1 z.b. bei wachsendem Querschnitt Unterschallströmung (Ma < 1) Stromdichte sinkt Druck steigt Dichte und Temperatur steigen Geschwindigkeit sinkt Überschallströmung (Ma > 1) Stromdichte sinkt Druck sinkt Dichte und Temperatur sinken Geschwindigkeit steigt Lavaldüse: zur Erzeugung einer Überschallströmung Funktionsweise erst Verengung Geschwindigkeit steigt dünnste Stelle: w = a (Ma = 1) Verbreiterung w steigt weiter Druckverlauf

62 Außendruck p 2 < p 2,ob reine Unterschallströmung (Venturirohr) Außendruck p 2 = p 2,un kritischer Druck an engster Stelle (*) Überschallströmung entsteht Außendruck p 2 < p 2,un Druck bei (*) auch nur p* Stromdichte bleibt konstant (sinkt nicht ab) Nachexpansion am Düsenende Zwischenbereich p 2,ob > p 2 > p 2,un Verdichtungsstoß, nicht adiabatisch zusammengefasst Aufgaben: Aufgabe 19

63 Grundgleichungen für Newtonsche Fluide Bewegungsgleichungen für Fluide: Grundgesetze der Bewegung (wie F = ma) partielle Differentialgleichungen Herleitung aus Bilanzen für kleines (differentielles) Kontrollvolumen Einschränkungen im folgenden: Newtonsches Reibungsgesetz inkompressibel stationär zweidimensional Lokale Massenbilanz Lokale Impulsbilanz Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordinaten Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

64 Lokale Massenbilanz Kontrollvolumen: Längen dx, dy und b (feste Höhe) kleine Geschwindigkeitsänderungen Gesamtmasse im Kontrollvolumen: ändert sich durch Ein- und Ausströmen der Fluidteilchen Skalarprodukt: Komponente der Geschwindigkeit senkrecht zur Fläche zählt Vorzeichen: Einströmen negativ, Ausströmen positiv Bilanz für das Kontrollvolumen Inkompressible Strömung: Masse im Kontrollvolumen konstant d = 0 damit Kontinuitätsgleichung

65 Lokale Impulsbilanz Gesamtimpuls im Kontrollvolumen: ändert sich durch Ein- und Ausströmen der Fluidteilchen in Komponenten auftretende Kräfte Volumenkraft F K Druckkraft F p Reibungskraft F R Impulsänderung = Summe der angreifenden Kräfte Impulsänderung: x-komponente Vernachlässigen von Termen höherer Ordnung wegen der Kontinuitätsgleichung analog y-komponente Volumenkraft F K : proportional zum Volumen beim Kontrollvolumen d K = dx dy b z.b. für Schwerkraft (unten = -y-richtung) k x = 0 k y = - g Druckkraft F p :

66 bei kleiner Fläche d d p = p d x-komponente beim Kontrollvolumen analog y-komponente Reibungskraft F R : betrachten reine Schichtströmung u = u(y), v = 0 damit x-komponente von F R für Newtonsches Fluid somit bei beliebiger Strömung zusätzlich Normalspannungen dafür erhält man (mit einiger Mühe) Navier-Stokes-Gleichungen: ergeben sich sofort beim Zusammensetzen aller Teile zusammen mit Kontinuitätsgleichung 3 Gleichungen für u, v, p wesentlich: Randbedingungen (z.b. Haftbedingung an Wänden) nichtlinear analytisch (meistens) nicht lösbar numerische Lösung z.t. sehr aufwändig

67 Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordinaten Rotationssymmetrische Strömung: z.b. für Rohre Koordinaten x längs des Rohrs r senkrecht zum Rohr Drehung längs Rohrumfang Komponenten der Geschwindigkeit u in x-richtung v in r-richtung keine Bewegung in -Richtung Rotationssymmetrie alle Größen unabhängig von Gleichungen für u, v, p: dreidimensionale Gleichungen in Zylinderkoordinaten umrechnen Unabhängigkeit von ausnutzen Ergebnis

68 Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen Eindimensionale Beispiele Laminare Gerinneströmung Wirbelgleichung

69 Eindimensionale Beispiele Ruhende Flüssigkeit im Schwerefeld: Geometrie keine Strömung u = v = 0 Schwerkraft k y = - g Gleichung NS2 Integrieren p(y) = - g y + C Randbedingung p(h) = p 0 p(y) = p 0 + g (h - y) hydrostatischer Druck Reibungsloser Stromfaden: keine Reibung = 0 keine Volumenkräfte k = 0 Stromröhre in x-richtung u = u(x) damit wird Gleichung NS1 Bernoulli-Gleichung

70 Laminare Gerinneströmung Strömung im Kanal: Neigungswinkel konstante Wassertiefe h Breite b >> h Seitenwände vernachlässigbar Koordinaten x längs des Gefälles y senkrecht zum Gefälle Schwerkraft k x = g sin k y = - g cos Höhenprofil der Geschwindigkeit: keine Variation in der Breite unabhängig von x (ausgebildete Strömung) Ableitungen nach x verschwinden partielle Ableitung nach y = gewöhnliche Ableitung Kontinuitätsgleichung dv/dy = 0 v = const. v = 0 am Boden v = 0 überall wegen v = 0 wird NS2 dp/dy = - g cos Lösung (wie beim hydrostatischen Druck) p = p 0 + g (h - y) cos aus NS1 wird Integration du/dy = -B y + C 1 Randbedingung: keine Reibung an der Oberfläche (Luftreibung und Oberflächenwellen vernachlässigt)

71 (y=h) = 0 du/dy(y=h) = 0 du/dy = B (h - y) nochmals integrieren und Haftbedingung u(0) = 0 u = B y (h - y/2) Geschwindigkeit an der Oberfläche maximal u max = u(h) = h 2 B/2 Reibungszahl : aus Gleichgewicht zwischen Druckabfall und Reibungsverlust an der Wand folgte Schubspannung am Boden mittlere Geschwindigkeit damit als Funktion von Re: Reynoldszahl bei offener Strömung war dazu hydraulischer Durchmesser damit somit ähnlich zum Hagen-Poiseuille-Gesetz der Rohrströmung Aufgaben: Aufgabe 20

72 Wirbelgleichung Drehung : Definition anschaulich: Drehgeschwindigeit eines kleinen Teilchens in der Strömung z.b. bei starrer Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit genauere Herleitung aus Zerlegung der Strömung in kleinen Verzerrungs- und Drehanteil (s. Anhang) Eulersche Bewegungsgleichungen: reibungslose Strömung ( = 0) keine Volumenkräfte (k x = k y = 0) damit aus NS1 und NS2 Wirbeltransportgleichung: Druck aus den Euler-Gleichungen eliminieren EU1 nach y ableiten, EU2 nach x ableiten, beides subtrahieren Klammern = 0 wegen Kontinuitätsgleichung Definition von einsetzen Helmholtzscher Wirbelsatz: Änderung der Wirbelstärke längs einer Stromlinie

73 wegen der Wirbeltransportgleichung für reibungslose stationäre Strömung folgt Drehung der Fluidteilchen längs ihrer Bahn ist konstant Spezialfall homogene Anströmung bleibt wirbelfrei Aufgaben: Aufgabe 21

74 Numerische Strömungsberechnung Diskretisierung Modellierung der Turbulenz Das Simulationsprogramm Femlab Beispiel: Zweidimensionale Rohrströmung Beispiel: Dreidimensionale Strömung durch einen Winkel

75 Diskretisierung Grundprinzip zur Lösung der Bewegungsgleichungen: kontinuierlicher Raum (x,y) Gitter (x i, y i ) (endlich viele Punkte) Differentialgleichung L(u) = 0 algebraische Gleichung A(u i ) = 0 Lösung liefert Näherungswerte an Gitterpunkten Zwischenwerte durch Interpolation (FDM, FVM) oder Ansatzfunktionen (FEM) Finite-Differenzen-Methode (FDM): Raum zerlegt in gleichmäßiges Gitter, kleine Gitterweite h Ableitungen ersetzt durch Differenzen aus Taylor-Entwicklung, z.b. algebraische Gleichungen numerisch lösen Vorteile von FDM relativ einfache Programmierung mathematisch gut zu analysieren Nachteile von FDM schwierig an komplizierte Geometrie anzupassen gleiche Genauigkeit im ganzen Raum Finite-Elemente-Methode (FEM): Raum zerlegt in kleine Teilvolumina V i (Elemente) einfache Basisfunktionen N i (x,y) in den Elementen (meist linear)

76 Ansatz: Lösung ist Linearkombination der Basisfunktionen Einsetzen von u in Differentialgleichung Fehlerterm R L(u) = R Koeffizienten c i finden, so dass R "im Mittel möglichst klein" gewichtete Mittelwerte des Fehlers sollen verschwinden Gewichtsfunktionen = Basisfunktionen N i bei gegebener Differentialgleichung und Basisfunktion R als Funktion der Koeffizienten c i bekannt Integrale über die (einfachen) N i bekannt (riesiges) lineares Gleichungssystem für c i dafür viele gute numerische Verfahren Vorteile von FEM verschiedene Formen für Grundelemente möglich sehr gut anpassbar an beliebige Geometrie Verfeinerung an kritischen Stellen problemlos Nachteile von FEM Erhaltungssätze nicht respektiert Finite-Volumen-Methode (FVM): Raum zerlegt in Zellen (meist viereckig in 2d, sechsseitig in 3d) Werte definiert in den Mittelpunkten der Zellen Ableitungen und Werte an Zellenberflächen mit Interpolation und Taylor (ähnlich FDM) Bilanzgleichungen für Masse und Impuls für jede Zelle algebraische Gleichungen für die Werte an Zellen-Mittelpunkten Zeitabhängigkeit: Integration über die Zeit mit Standard-Verfahren (z.b. Runge-Kutta)

77 Vorteile von FVM Erhaltungssätze erfüllt selbst bei geringer Rechengenauigkeit gut anpassbar an beliebige Geometrie Verfeinerung an kritischen Stellen möglich Nachteile von FVM nicht ganz so flexible Zellen wie bei FEM mathematisch noch nicht so weit analysiert wie FDM und FEM

78 Modellierung der Turbulenz Grundproblem: viele kleine Wirbel und ggf. Grenzschichten bei turbulenter Strömung beeinflussen mittleres Strömungsfeld sehr hohe Raum- und Zeitauflösung für Numerik nötig riesiger Speicher- und Rechenbedarf selbst mit heutigen Superrechnern oft nicht machbar Lösungsansatz: Aufteilen der Größen in Mittelwerte und kleine Schwankungen (Turbulenzanteil) Mittelwerte beschrieben durch Navier-Stokes-Gleichungen + zusätzliche Turbulenzterme Turbulenz wirkt wie zusätzliche Schubspannung t Turbulenzterme durch empirische Ansätze modellieren Turbulente Viskosität t : häufige Grundannahme (Boussinesq): t ähnlich wie bei Newtonschem Fluid ergibt z.b. zusätzlichen Term in NS1 t abhängig von allen Mittelwerten (u, v, p, etc.) Form von t aus empirischen Modellen (Turbulenzmodelle) gelten i.a. nur für spezielle Bereiche Konsequenz für die Numerik noch kompliziertere Gleichungen geringere Raum- und Zeitauflösung nötig mit heutigen Rechnern häufig zufriedenstellende Ergebnisse in akzeptabler Zeit aber: gute Kenntnisse (Gültigkeitsbereiche etc.) beim Anwender unverzichtbar! k- -Modell: beschreibt t mit kinetischer Energie k und Dissipationsrate der Turbulenz k und selbst beschrieben durch komplizierte Differentialgleichungen mit u, v, p etc. in vielen Anwendungsfällen sehr gute Genauigkeit modifizierte Versionen für spezielle Situationen Aufgaben: Aufgabe 22

79 Das Simulationsprogramm Femlab Eigenschaften: flexibles Programm zur Simulation partieller Differentialgleichungen (PDEs) Hersteller Comsol (deutsche Vertretung) basiert auf Matlab von The MathWorks Inc. (deutsche Vertretung) verwendet FEM zur Lösung viele vordefinierte PDEs für verschiedene Anwendungsbereiche erlaubt Definition eigener PDEs keine vorgefertigten Turbulenzmodelle Vorgehensweise: Definition der Geometrie (Draw Mode) Festlegen der Randbedingungen (Boundary Mode) Eingabe von Materialkoeffizienten und Anfangsbedingungen (PDE Mode) Erzeugen des Gitters (Mesh Mode) Lösen der Gleichungen (Solve Mode) Darstellen der Ergebnisse (Plot Mode) Starten einer Strömungs-Simulation: Aufruf femlab in Matlab liefert Auswahlfenster Auswahl der Dimension (z.b. 2d) Auswahl der Grundgleichungen (jeweils durch Doppelklick): Physics modes Incompressible Navier-Stokes Stationary graphische Oberfläche von Femlab erscheint

80 Grundfunktionen der Oberfläche: Toolbar-Leiste mit wichtigen Funktionen Datei-Funktionen Cut-and-Paste, Auswahl Anzeigebereich (Lupenfunktion) Auswahl des Modes umfangreiche Online-Hilfe Definition der Geometrie (Draw Mode): Zeichenobjekte rasten (normalerweise) an Gitterpunkten ein dazu Achsen und Gitter wählen Options Axis/Grid Settings xmin/xmax/ymin/ymax: dargesteller Bereich X/Y spacing: Abstände der Gitterlinien Extra X/Y: zusätzliche Gitterlinien Werkzeugleiste links

81 Einfügen eines Objekts (Rechteck, Kreis, Linie,...) Verändern eines Objekts (Verschieben, Drehen, Skalieren) Zusammenfassen von Objekten (Vereinigung, Durchschnitt,...) wesentlich umfangreicher und komplizierter für 3d-Modelle Festlegen der Randbedingungen (Boundary-Mode): Eingabe unter Boundary Specify Boundary Conditions jeweils für jeden Randabschnitt wichtigste Möglichkeiten Werte für u und v (Einlass) Werte für p (Auslass) u = v = 0 (Wand) Eingabe von Materialkoeffizienten und Anfangsbedingungen (PDE-Mode): Eingabe unter PDE PDE Specification...

82 Werte für Druck Viskosität äußere Kräfte Erzeugen des Gitters (Mesh-Mode): Toolbar-Funktionen einfaches Startgitter globale Verfeinerung Verfeinerung von ausgewählten Bereichen Elemente müssen möglichst gleichseitig sein Ausgleichen des Gitters nach lokalen Verfeinerungen Mesh Jiggle Mesh Lösen der Gleichungen (Solve-Mode): Anfangsbedingungen für zeitabhängige Probleme oder als Startwert für Iterationen festlegen mit Solve Specify Initial Cond s... zahllose Parameter zur Kontrolle des Solvers ( ) besonders wichtig für Navier-Stokes-Gleichungen "Streamline Diffusion" an (default) "Highly Nonlinear Problem" auf Blatt "Nonlinear" anklicken! Starten des Solvers ( ) Darstellen der Ergebnisse (Plot-Mode): viele verschiedene Darstellungstypen Auswahl der darzustellenden Größen und Darstellungstypen mit Plot-Parametern ( ) z.b. Surface-Plot

83 darzustellende Größe als Farbcode ggf. weitere Größe als Höhe Beispiel: Geschwindigkeit als Farbcode, Druck als Höhe

84 Beispiel: Zweidimensionale Rohrströmung Modell: Rechteck der Länge 2.4 und der Breite 0.1 ("Rohr") Randbedingungen oben und unten u = v = 0 (Wand) links u = 1, v = 0 (Einlass) rechts p = 0 (Auslass) Materialgrößen (PDE-Parameter) = 1000 = 100/Re (zunächst Re = 500) keine Volumenkräfte Anfangsbedingungen (Ausgangspunkt für nichtlinearen Solver) u = 1 v = 0 p = 0 Laminar, mit geringer Auflösung: verwendet Anfangsgitter (136 Elemente) und Re = 500 Solver-Parameter "Highly nonlinear problem", sonst Fehlermeldung: "Stepsize too small" Geschwindigkeitsverlauf nach kurzer Einlaufphase konstante Strömung bis kurz vor Auslauf Druckverlauf

85 Längsschnitt, durch geeignete 3d-Ansicht nach Einlaufphase fast bis zum Schluss linear Geschwindigkeitsverlauf im Querschnitt schöne Darstellung bei geeigneten Pfeil-Parametern

86 nahezu linear, sollte aber quadratisch sein Erklärung: nur ein Gitterpunkt im Innern der Platte! Laminar, mit höherer Auflösung: Gitter zweimal verfeinern (2176 Elemente, 7 Punkte im Innern) Rechenzeit nun 3 Minuten (Zeiten auf PentiumIII/800MHz, 256MB) Druckverlauf noch länger linear Geschwindigkeit im Querschnitt parabolisch

87 weitere Verfeinerung des Gitters Rechenzeit von 12 Minuten fast identische Ergebnisse Turbulente Strömung: Re = gleiches Gitter wie eben bricht ab mit "Stepsize too small" Grundproblem: Randbereich ist sehr wichtig bei Turbulenz wesentlich höhere Auflösung nur im Grenzbereich (7896 Elemente) damit Geschwindigkeitsverteilung wie bei hoher Turbulenz erwartet

88 Detail der Randzone bessere Darstellung mit speziellen Matlab-Befehlen Druckverlauf längs des Rohrs

89 Geschwindigkeit an drei Querschnitten Turbulent, mit adaptivem Solver: Solver verfeinert Gitter selbsttätig an "kritischen Stellen" Ergebnis bei normalem Gitter ohne Rand-Verfeinerung

90 berechnete Randschicht viel zu groß Verfeinerungen nur im Einlass- und Auslassbereich Fazit: Ergebnisse von Strömungsberechnungen müssen kritisch gesichtet werden Rechnungen sinnlos ohne Kenntnisse des Benutzers

91 Beispiel: Dreidimensionale Strömung durch einen Winkel Modell: Strömung durch ein abgeknicktes Rohr mit quadratischem Querschnitt turbulent (Re = 50000) niedrige Auflösung einfachstes Gitter (911 Elemente) keine Randschichten modelliert konvergiert nicht Ergebnisse sind höchstens grobe Näherung Darstellung der Daten (Visualisierung): Grundproblem bei 3d ganzer Raum voll Daten man kann nicht "hindurchsehen" viele Techniken, z.b. Schnittebenen

92 Isoflächen Stromlinien

93 Aufgaben: Aufgabe 23

94 Aufgaben Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Aufgabe 10 Aufgabe 11 Aufgabe 12 Aufgabe 13 Aufgabe 14 Aufgabe 15 Aufgabe 16 Aufgabe 17 Aufgabe 18 Aufgabe 19 Aufgabe 20 Aufgabe 21 Aufgabe 22 Aufgabe 23

95 Aufgabe 1 Gegeben sei das zweidimensionale stationäre Strömungsfeld = (u, v) = (-y, x) 1. Stellen Sie die Strömung graphisch dar. 2. Berechnen Sie die Bahnlinien. 3. Bestimmen Sie die Stromlinien. 4. Am Punkt 0 = (1, 0) werden Markierungsteilchen eingeleitet. Bestimmen Sie die entstehende Streichlinie. Lösung

96 Aufgabe 2 In einem Autoreifen, der unter einem Druck von 2.2 bar steht, befindet sich ein kleines Loch. Der Außendruck beträgt 1 bar, die Temperaturen sind außen und innen gleich 20 C. Mit welcher Geschwindigkeit strömt die Luft aus? Hinweis: Vernachlässigen Sie die Strömungsgeschwindigkeit im Reifen und nehmen Sie an, die Dichte der ausströmenden Luft sei direkt am Innenrand des Lochs noch so groß wie im Innern des Reifens. R i = J/(kg K) Lösung

97 Aufgabe 3 Ein zylindrischer Wasserbehälter mit einer Querschnittsfläche von 1200 cm 2 sei 50 cm hoch mit Wasser gefüllt. Er werde durch eine Bodenöffnung mit 4 cm 2 entleert. Wie lange dauert die Entleerung? Hinweise: Die Wasserstandshöhe z nimmt in der kurzen Zeit dt ab um dz = - w 1 dt Benutzen Sie die Formel für die Ausflussgeschwindigkeit, um daraus eine Differentialgleichung für z(t) zu erhalten. Lösen Sie diese durch Trennung der Variablen und setzen Sie die gegebenen Werte ein. Lösung

98 Aufgabe 4 In einem Vergaser wird Luft durch eine Düse beschleunigt. Durch ein kleines Loch der Querschnittsfläche 2 mm 2 in der Düse wird dabei der Kraftstoff 2 cm hochgesaugt. Wie groß muss die Geschwindigkeit der Luft in der Düse sein, wenn 7.2 l/h Kraftstoff angesaugt werden sollen? Werte Dichte der Luft: L = 1.2 kg/m 3 Dichte des Kraftstoffs: K = 840 kg/m 3 Hinweis: Stellen Sie für die einströmende Luft und den angesaugten Kraftstoff jeweils die Energiebilanz auf. Vernachlässigen Sie dabei die Anfangsgeschwindigkeit der angesaugten Luft sowie Reibungseffekte. Lösung

99 Aufgabe 5 Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr wird eine Verengungsstelle eingebaut und der Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen (Venturirohr) Wie groß ist der Wasserstrom ( = 1000 kg/m 3 ), wenn bei einer Verengung von d 1 = 80 mm auf d 2 = 60 mm der Druck um mbar absinkt? Lösung

100 Aufgabe 6 Eine Pumpe der Leistung P = 2 kw pumpt Wasser ( = 1000 kg/m 3 ) durch ein Rohr mit einem Durchmesser von 70 mm nach oben. Die Strömungsgeschwindigkeit betrage 5 m/s. Wie hoch kommt das Wasser, wenn der Druck oben und unten am Rohr gleich groß sein sollen? Lösung

101 Aufgabe 7 Eine Kreiselpumpe mit einem Laufrad-Durchmesser von 30 cm und einer Drehzahl von 3000 Umdrehungen/Minute hat am Laufradaustritt eine Ausströmgeschwindigkeit von c 2 = 45 m/s. Die Flüssigkeit tritt radial im Innern ein und strömt unter einem Winkel von 20 zur Tangentialrichtung ab. Wie groß ist die spezifische technische Arbeit w t der Pumpe (Stutzenarbeit)? Lösung

102 Aufgabe 8 Bestimmen Sie die Reynoldszahlen der folgenden Strömungen: 1. Blutfluss ( = 10 3 kg/m 3, = kg/(s m)) in den Kapillaren (d = 8 m, = 5 mm/s) und in der Aorta (d = 20 mm, = 0.3 m/s) 2. Rohrströmung, d = 10 cm, = 1 m/s, mit Wasser ( = m 2 /s), Getriebeöl ( = m 2 /s) und Luft ( = m 2 /s) Lösung

103 Aufgabe 9 Die bei Orkan an Hochspannungsleitungen auftretenden Strömungskräfte sollen in einem Wasserkanal modelliert werden. Die Werte beim Original betragen Windgeschwindigkeit Drahtdurchmesser Oberflächenrauheit v 0 = 120 km/h d 0 = 1.0 cm k 0 = 0.02 mm kinemat. Viskosität 0 = m 2 /s Das Wasser ( M = m 2 /s) fließe mit v M = 0.3 m/s. Welchen Durchmesser und welche Rauheit muss der Modelldraht haben? Lösung

104 Aufgabe 10 Eine geschickte Aufschlagtechnik im Volleyball bewirkt, dass der Ball mitten im Flug plötzlich steiler fällt. Wie schnell ist er dann? (Durchmesser d = 21 cm, Luft = m 2 /s) Lösung

105 Aufgabe 11 Durch eine Rohrleitung von 50 mm Durchmesser und 1 km Länge fließen stündlich 10 m 3 Heizöl mit = m 2 /s und einer Dichte von 900 kg/m 3. Wie groß ist der für den Transport erforderliche Druckunterschied? Lösung

106 Aufgabe 12 Durch eine horizontale Stahlrohrleitung von 2 km Länge und 50 cm Durchmesser gehen in der Stunde 1200 m 3 Wasser von 15 C. Wie groß ist der entstehende Druckverlust, wenn die Rauheit 0.1 mm beträgt? Lösung

107 Aufgabe 13 Eine horizontale, hydraulisch glatte Wasserleitung verläuft teilweise unzugänglich durch Erdreich An der unzugänglichen Stelle zwischen B und C wird ein Leck vermutet. Um den Volumenstrom und den Ort des Lecks zu bestimmen, misst man den Druck an den Stellen A, B, C und D. Man erhält folgende Werte: d = 0.05 m L 1 = L 3 = 1000 m, L 2 = 1500 m p A = 6 bar, p B = 4 bar, p C = 1.5 bar, p D = 1 bar = 1000 kg/m 3, = 10-6 m 2 /s 1. Bestimmen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeiten und die Reynoldszahlen jeweils in den Teilstücken AB und CD. Hinweis: Verwenden Sie die Formel von Blasius und prüfen Sie hinterher, ob dies gerechtfertigt war. 2. Bestimmen Sie nun den Volumenstrom des Lecks. 3. Ermitteln Sie schließlich den Ort des Lecks. Lösung

108 Aufgabe 14 Ein rechteckiger Kanal mit hydraulisch optimalem Profil soll pro Sekunde 4 m 3 Wasser ( = m 2 /s) mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s abführen. Wie groß muss das Gefälle J sein, wenn Kanalsohle und -wände aus unverputztem Beton (k = 5 mm) bestehen? Lösung

109 Aufgabe 15 Ein Auto mit dem c w -Wert 0.4 und einer Stirnfläche von 2 m 2 legt eine Strecke von 100 km mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h bzw. von 120 km/h zurück. 1. Welche Leistung muss bei Windstille zum Überwinden des Luftwiderstands jeweils aufgebracht werden? 2. Wie groß ist der daraus resultierende Energieverbrauch für die Strecke? Werte: Dichte der Luft = 1.2 kg/m 3 Lösung

110 Aufgabe 16 Eine rechteckige hydraulisch glatte Platte mit den Dimensionen 0.1 m x 0.2 m wird von Wasser mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s angeströmt. Wie groß ist die auf die Platte ausgeübte Widerstandskraft 1. bei paralleler Anströmung in Längsrichtung 2. bei paralleler Anströmung in Querrichtung 3. bei senkrechter Anströmung? Werte: = m 2 /s = 10 3 kg/m 3 c w = 1.15 bei senkrechter Anströmung Lösung

111 Aufgabe 17 Eine Boeing 747 hat die Flügelfläche A Fl = 511 m 2 und das Startgewicht m = 320 t. Beim Abheben beträgt die Geschwindigkeit w = 234 km/h, beim Reiseflug in 11 km Höhe 0.9 Mach. Wie groß ist der Auftriebsbeiwert 1. beim Reiseflug 2. beim Start? Werte: Dichte der Luft am Boden: 0 = 1.23 kg/m 3 Dichte der Luft in 11 km Höhe: 1 = kg/m 3 Schallgeschwindigkeit in 11 km Höhe: c = 295 m/s Lösung

112 Aufgabe 18 Durch eine gut isolierte Dampfleitung von 1 km Länge und 15 cm Durchmesser strömen stündlich 30 t Dampf. Die Wandrauhigkeit beträgt k = 0.05 mm. Wie groß ist der Druckverlust bei einem Anfangsdruck von 50 bar? Werte: Anfangsdichte 1 = 16.4 kg/m 3 Viskosität 1 = Pa s Adiabatenkoeffizient = 1.28 Lösung

113 Aufgabe 19 An einem Druckbehälter, in dem sich Luft unter einem Druck von 6 bar und einer Temperatur von 300 K befindet, ist eine Lavaldüse angeschlossen, deren kleinster Querschnitt 1 cm 2 beträgt. Der Außendruck sei klein genug, um eine Überschallströmung in der Lavaldüse zu erzeugen. 1. Wie groß ist der austretende Luftmassenstrom? 2. Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit w a? 3. Wie groß ist die Temperatur T a? 4. Wie groß ist die Austrittsfläche A a? Werte: R i = J/(kg K) für Luft Lösung