Didaktik der Stochastik

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1 Didaktik der Stochastik. Didaktik der Stochastik

2 Didaktik der Stochastik. Inhaltsverzeichnis Didaktik der Stochastik Ziele und Inhalte Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 Beurteilende Statistik

3 Didaktik der Stochastik. Didaktik der Stochastik Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung

4 Didaktik der Stochastik.4 Inhaltsverzeichnis Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung. Experimente. Stochastik und Tabellenkalkulation. Grundbegriffe für diskrete Zufallsexperimente.4 Was ist Wahrscheinlichkeit?.5 Mehrstufige Zufallsexperimente.6 Kombinatorik.7 Bedingte Wahrscheinlichkeit

5 Didaktik der Stochastik.5 Didaktik der Stochastik Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung. Experimente

6 Didaktik der Stochastik.6 Noten würfeln? Eikenbusch & Leuders: Lehrer-Kursbuch Statistik. Cornelsen Scriptor, 004, S. 49ff Häufigkeit Zensur

7 Didaktik der Stochastik.7 Noten würfeln? Eikenbusch & Leuders: Lehrer-Kursbuch Statistik. Cornelsen Scriptor, 004, S. 49ff Augensumme

8 Didaktik der Stochastik.8 Noten würfeln? Normalverteilung

9 Didaktik der Stochastik.9 Noten würfeln? Normalverteilung Eikenbusch & Leuders: Lehrer-Kursbuch Statistik. Cornelsen Scriptor, 004, S. 4 70

10 Didaktik der Stochastik.0 Noten würfeln reale Ergebnisse Eikenbusch & Leuders: Lehrer-Kursbuch Statistik. Cornelsen Scriptor, 004, S. 49ff

11 Didaktik der Stochastik. Zufallsgeräte

12 Würfeln mit einem LEGO-Stein Didaktik der Stochastik

13 Didaktik der Stochastik. Würfeln mit einem LEGO-Stein H: absolute Häufigkeit kh: kumulierte absolute Häufigkeit h: relative Häufigkeit

14 Didaktik der Stochastik.4 Würfeln mit einem LEGO-Stein

15 Didaktik der Stochastik.5 Didaktik der Stochastik Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung. Stochastik und Tabellenkalkulation

16 Stochastik und Tabellenkalkulation Didaktik der Stochastik.6 Darstellende Statistik Diagramme dynamische Variation Zufallsexperimente auswerten simulieren Vierfeldertafeln (vgl..7 Bedingte Wahrscheinlichkeit) Baumdiagramme Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren variieren (Abhängigkeit von den Parametern)

17 Stochastik und Tabellenkalkulation Didaktik der Stochastik.7 Mittelwerte Modalwert Median arithmetisches Mittel geometrisches Mittel Mittelwerte Modalwert() Median() Mittelwert() Geomittel() Streuungsmaße Spannweite Quartilsabstand mittlere lineare Abweichung Varianz Standardabweichung Streuungsmaße Max() Min() Quartile( ;) Quartile( ;) Mittelabw() Varianzen() GG bzw. Varianz() SP Stabwn() GG bzw. Stabw() SP

18 Stochastik und Tabellenkalkulation Didaktik der Stochastik.8 Zufallszahl aus [0;[ Zufallszahl aus einem Bereich Wenn, dann, sonst Anzahl bestimmen Anzahl eines best. Wertes Zufallszahl() Taste F9 Zufallsbereich(von; bis) ganze Zahlen (Excel 007) Wenn(Bedingung; dann; sonst) Anzahl(Bereich) Zählenwenn(Bereich;Wert)

19 Didaktik der Stochastik.9 Stochastik und Tabellenkalkulation

20 Didaktik der Stochastik.0 Stochastik und Tabellenkalkulation

21 Didaktik der Stochastik. Stochastik und Tabellenkalkulation

22 Didaktik der Stochastik. Stochastik und Tabellenkalkulation

23 Didaktik der Stochastik. Didaktik der Stochastik Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung. Grundbegriffe für diskrete Zufallsexperimente

24 Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln Begriff Beispiel Ergebnismenge Ereignis Ereignismenge Elementarereignis Sicheres Ereignis Unmögliches Ereignis Unvereinbare Ereignisse = {(,); (,); (,); (,); (,); (,); (,4); (,); (,); (4,); (,5); (,4); (,); (4,); (5,); (,6); (,5); (,4); (4,); (5,); (6,); (,6); (,5); (4,4); (5,); (6,); (,6); (4,5); (5,4); (6,); (4,6); (5,5); (6,4); (5,6); (6,5); (6,6)} E( Augensumme 4 ) = {(,); (,); (,)} Potenzmenge ( ) := Alle Teilmengen von {(6,4)} E( Augensumme (AS) größer ) = E( AS ) = = { } {(,)}, {(6,6)} mit {(,)} {(6,6)} = Gegenereignis Ē( AS kleiner ) := \E( AS kleiner ) = {(6,6)} Und-Ereignis E( Mindestens eine ) E( AS 4 ) = {(,); (,)} Oder-Ereignis E( AS ) E( AS ) = {(,); (,); (5,6); (6,5)} Jürgen Roth Didaktik der Stochastik.4

25 Didaktik der Stochastik.5 Grundbegriffe Begriff Ergebnismenge eines diskreten Zufallsexperiments Ereignis Ereignismenge Elementarereignis Sicheres Ereignis Unmögliches Ereignis Unvereinbare Ereignisse Gegenereignis des Ereignisses E Definition Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments Teilmenge E Potenzmenge ( ) Einelementige Teilmenge { } E = E = E, E mit E E = Ē := \E, das Komplement von E Und-Ereignis zweier Ereignisse E, E Durchschnitt E E Oder-Ereignis zweier Ereignisse E, E Vereinigung E E

26 Didaktik der Stochastik.6 Aus einer Urne mit zwei roten und drei schwarzen Kugeln wird zweimal nacheinander gezogen. Ergebnisraum vergröbern und verfeinern Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 997, S. 4 Mögliche Ergebnismengen (-räume): Die Reihenfolge der gezogenen Kugeln interessiert. s r r s s = {(r,r); (r,s); (s,r); (s,s)} Es interessiert nur die Farbe der gezogenen Kugeln, aber nicht deren Reihenfolge. = {rr; rs; ss} Anmerkung: Ein weiteres Kriterium für die Art der Darstellung eines Ergebnisraumes kann die Frage sein, ob die resultierenden Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sein sollen oder nicht.

27 Didaktik der Stochastik.7 Ergebnisraum vergröbern und verfeinern Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 997, S. 4 s r r s s r r r s s r s s r r r s s s

28 Didaktik der Stochastik.8 Verknüpfung von Ereignissen Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 997, S. 7

29 Didaktik der Stochastik.9 Verknüpfung von Ereignissen Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 997, S. 7

30 Didaktik der Stochastik.0 Rechengesetze der Mengenalgebra Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 997, S. 8

31 Didaktik der Stochastik. Rechengesetze der Mengenalgebra Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 997, S. 8

32 Didaktik der Stochastik. Schulbücher Vogel et al. (Hrsg.): Formel 0 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 00, S. 9

33 Didaktik der Stochastik. Schulbücher Vogel et al. (Hrsg.): Formel 0 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 00, S. 9

34 Didaktik der Stochastik.4 Didaktik der Stochastik Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung.4 Was ist Wahrscheinlichkeit?

35 Subjektive Wahrscheinlichkeit intuitives Empfinden subjektives Vertrauen Beispiele: GAU Größter anzunehmender Unfall Wie wahrscheinlich ist ein GAU? Bayern München Schalke 04 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Schalke 04 gewinnt? Schalke-Fan 0 In der Praxis wird häufig eine Wahrscheinlichkeit angegeben (Medien, Versicherungen), ohne die Möglichkeit, sich auf Erfahrungswerte oder Berechnungen stützen zu können. Einschätzungen von Experten sind subjektiv und können sehr danebenliegen, sind aber dennoch wertvoll, da Experten alle verfügbaren Informationen einbeziehen und ihre Einschätzung auch revidieren können, wenn neue Informationen vorliegen. Jürgen Roth Didaktik der Stochastik.5

36 Frequentistische Wahrscheinlichkeit Didaktik der Stochastik.6 relative Häufigkeit als Schätzwert für die objektive Wahrscheinlichkeit Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Mit wachsender Anzahl der Versuche stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines beobachteten Ereignisses. Beispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt bei diesem Lego-Würfel die sechs? Im Jahr 99 hatte Richard Edler von Mises die Idee die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses über den Grenzwert der relativen Häufigkeit h n (E) des Ereignisses für n (n: Anzahl der Versuche) zu definieren. Dies musste allerdings scheitern. (Es gibt kein n ε ab dem h n (E) immer in einer ε-umgebung von P(E) liegt!)

37 Frequentistische Wahrscheinlichkeit Didaktik der Stochastik.7 Problem: Es gibt kein n ε ab dem h n (E) immer in einer ε-umgebung von P(E) liegt!

38 Eigenschaften der relativen Häufigkeit Didaktik der Stochastik.8 Bei m-maliger Durchführung eines Zufallsexperiments mit Ergebnismenge gilt für die relativen Häufigkeiten: () Für alle E gilt: 0 h m (E) Nichtnegativität () h m ( ) 0 und h m ( ) Normiertheit () Für alle E gilt: h m (Ē) h m (E) (4) Für alle E, E mit E E gilt: h m (E E ) h m (E ) + h m (E ) Additivität (5) Für alle E gilt: h m (E E ) h m (E ) + h m (E ) h m (E E ) Speziell gilt: h m (E) E h m ({ }) und h m ( ) h m ({ })

39 Didaktik der Stochastik.9 Laplace-Wahrscheinlichkeit Laplace-Annahme: Alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich. E Anzahl der Elemente von E P( E) : Anzahl der Elemente von "günstige" "mögliche" Beispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt beim Spielwürfel die sechs?? Beim Werfen einer normalen Münze räumt man dem Auftreten von Kopf und von Zahl aus Symmetriegründen gleiche Chancen ein. Diese Idee geht auf den französischen Mathematiker und Physiker Pierre Simon Laplace (749-87) zurück, der darauf aufbauend Regeln für das Gewinnen von Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Zufallsexperimente (Laplace-Experimente) aufstellte. Seine 8 veröffentlichte Theorie Analytique des Probabilités fasste das stochastische Wissen seiner Zeit zusammen und baute die Wahrscheinlichkeitstheorie maßgeblich aus.

40 Eigenschaften der Laplace- Wahrscheinlichkeit Für Ereignisse eines Laplace-Experiments mit endlicher Ergebnismenge {,, n } gilt: Jürgen Roth () Für alle E gilt: 0 P(E) Nichtnegativität () P( ) 0 und P( ) Normiertheit () Für alle E gilt: P(Ē) P(E) (4) Für alle E, E mit E E gilt: (5) Für alle E gilt: Speziell gilt: P(E E ) P(E ) + P(E ) Additivität P(E E ) P(E ) + P(E ) P(E E ) P(E) E P({ }) und P( ) P({ }) Didaktik der Stochastik.40

41 Axiomatische Wahrscheinlichkeit Didaktik der Stochastik.4 Axiomensystem von Kolmogorov im endlichen Fall Ein Wahrscheinlichkeitsraum (, P) ist ein Paar bestehend aus einer nichtleeren endlichen Menge {,, n } und einer Funktion P: ( ) R mit den Eigenschaften () Für alle E gilt: P(E) 0 Nichtnegativität () P( ) Normiertheit () Für alle E, E mit E E gilt: P(E E ) P(E ) + P(E ) Additivität Alexander Kolmogorov (90-987) hat in seinem Buch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (9) die Wahrscheinlichkeit als normiertes Maß definiert. (vgl. Maße wie Länge, Volumen, )

42 Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Didaktik der Stochastik.4 Für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (, P) gilt: a) P( ) 0 b) Für alle E gilt: P(E) c) Für alle E gilt: P ( ) = ( ) E d) Für alle E, E gilt: P(E E ) P(E ) + P(E ) P(E E ) e) Speziell gilt: P(E) E P({ }) E P i P( ) P({ }) ({ } ) P E i P ({ } ) i i

43 Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Didaktik der Stochastik.4 Für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (, P) gilt: a) P( ) 0 Beweis: ( ) P( ) P P( ) 0 ( ) () P # ( ) + ( ) P () + P( ) b) Für alle E gilt: P(E) c) Für alle E gilt: P ( E) ( ) P E Beweis: ( ) P( ) P( E) und ( ) ( ) P E E P P ( ) ( ) E ( ) + ( ) E P P E E ( ) P( E) #

44 Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Didaktik der Stochastik.44 d) Für alle E, E gilt: ( ) P E E P( )+ P( ) P E E ( ) E E E E Beweis: P ( ) ( ) ( ) E E P P ( ( ) ) E \ ( ) + ( ) ( ) P E \ E P E E + P ( ) + ( ) ( )+ P E + ( ) E E E E E \ E \ E P E E P E \ E + P( ) P E ( ) E E E \ E # P ( ) ( ) E E P E E

45 Axiomatische Wahrscheinlichkeit Didaktik der Stochastik.45 Axiomensystem von Kolmogorov im abzählbar unendlichen Fall Ein Wahrscheinlichkeitsraum (, P) ist ein Paar bestehend aus einer nichtleeren abzählbaren Menge {,,, } und einer Funktion P: ( ) R (Wahrscheinlichkeitsverteilung) mit den Eigenschaften () Für alle E gilt: P(E) 0 Nichtnegativität () P( ) Normiertheit () Für abzählbar viele paarweise disjunkte E i gilt: P U E i i i P ( ) E i σ-additivität

46 Axiomatische Wahrscheinlichkeit Didaktik der Stochastik.46 Axiomensystem von Kolmogorov (allgemein) Ein Wahrscheinlichkeitsraum (,, P) ist ein Tripel bestehend aus einer nichtleeren Menge, einer σ-algebra von Teilmengen von und einer Funktion P: [0; ] (Wahrscheinlichkeitsverteilung) mit den Eigenschaften () Für alle E gilt: P(E) 0 Nichtnegativität () P( ) Normiertheit () Für abzählbar viele paarweise disjunkte E i gilt: P U E i i i P ( ) E i σ-additivität

47 Perspektiven bzgl. Wahrscheinlichkeit Büchter, Hußmann, Leuders & Prediger: Den Zufall im Griff Stochastische Vorstellungen fördern. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 47. Jg., August 005, Heft 4, S. -7 Fachliche Perspektive Lernerperspektive Aufmerksamkeit auf lange Sicht Aufmerksamkeit auf Einzel-Ergebnis Beispiel:Würfeln mit Würfeln Möglichkeiten zählen Ich habe mich für die 7 entschieden, weil es hier sechs Möglichkeiten gibt. Bei den anderen gibt es nur fünf oder noch weniger Möglichkeiten (Je mehr Möglichkeiten, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit.) Jürgen Roth Beispiel:Würfeln mit Würfeln Bedeutsamkeitsansatz Ich habe im zweiten Spiel mehrmals die 8 geworfen und weiß auch warum. Ich bin am geboren. Didaktik der Stochastik.47

48 Didaktik der Stochastik.48 Leitideen für den Stochastikunterricht Büchter, Hußmann, Leuders & Prediger: Den Zufall im Griff Stochastische Vorstellungen fördern. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 47. Jg., August 005, Heft 4, S. -7 Alltagsvorstellungen ernst nehmen und zum Ausgangspunkt des Lernens machen erfordert Situationen die dies ermöglichen Erfahrungsmöglichkeiten durch Experimente schaffen Erfahrungen aus Experimenten systematisch reflektieren mitgebrachte Vorstellungen überdenken individuelle & fachliche Vorstellungen gegenüberstellen Ursachen für Diskrepanzen finden notwendige Perspektivwechsel explizit machen

49 Didaktik der Stochastik.49 Schulbücher Vogel et al. (Hrsg.): Formel 0 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 00, S. 0

51 Didaktik der Stochastik.5 Didaktik der Stochastik Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung.5 Mehrstufige Zufallsexperimente

52 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.5

53 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.5 6 A Gewinner: 5 5 A B 6 A 6 A B Der Würfel A gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den Würfel B.

54 Pfadregeln beim Baumdiagramm Didaktik der Stochastik.54 Produktregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm. Summenregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind. Verzweigungsregel Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen ist immer. A B 6 A Gewinner 6 A A B

55 Chinesische Würfel Der Würfel A gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den Würfel B A A A B B B A A A B B B A A A B B B A A A B B B 6 A A A A A A 6 A A A A A A Jürgen Roth P(Würfel A gewinnt) = 4 6 Didaktik der Stochastik.55

56 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.56 5 B Gewinner: B C B B C Der Würfel B gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den Würfel C.

57 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.57 Der Würfel B gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den Würfel C B B C C C C B B C C C C B B C C C C 5 B B B B B B 5 B B B B B B 5 B B B B B B P(Würfel B gewinnt) = 4 6

58 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik C Gewinner: D C D Der Würfel C gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den Würfel D.

59 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.59 Der Würfel C gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den Würfel D. 0 D D D D D D 0 D D D D D D 4 C C C C C C 4 C C C C C C 4 C C C C C C 4 C C C C C C P(Würfel C gewinnt) = 4 6

60 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.60 D Gewinner: 6 D A A Der Würfel D gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den Würfel A.

61 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.6 Der Würfel D gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von gegen den Würfel A. 6 6 D D D D A A D D D D A A D D D D A A D D D D A A D D D D A A D D D D A A P(Würfel D gewinnt) = 4 6

62 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.6 gewinnt gegen mit Wahrscheinlichkeit / Die Relation gewinnt gegen mit Wahrscheinlichkeit / ist auf der Menge dieser Würfel nicht transitiv. Man findet zu jedem Würfel einen besseren. Der Spieler der die zweite Wahl hat ist im Vorteil!

63 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.6 A B C D A 5 9 B 4 9 C D Tabelleneinträge: Wahrscheinlichkeit, dass Zeile gegen Spalte gewinnt.

64 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.64 Neues Spiel: Die beiden Spieler wählen je einen Würfel aus und spielen anschließend fünf Runden. Gewonnen hat der Spieler, der die meisten Runden gewonnen hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der mit dem besseren bzw. der mit dem schlechteren Würfel gewinnt?

65 Chinesische Würfel p p= P( A gewinnt ) A 5 = p p n=5 k A p B p A p B p ( ) p ( p) 64 8 p = A 5 k 5 k k 0,79 B p p A p B p = B p A p B p A B p p p p p p p p p p p p p p p p A B B B B A B B A B B A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B Jürgen Roth Didaktik der Stochastik.65

67 Didaktik der Stochastik.67 Schulbücher Vogel et al. (Hrsg.): Formel 0 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 00, S.

70 Didaktik der Stochastik.70 Didaktik der Stochastik Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung.6 Kombinatorik

71 Didaktik der Stochastik.7 Produktregel fundamentales Zählprinzip Zählprinzipien Hefendehl-Hebeker & Törner: Über Schwierigkeiten bei der Behandlung der Kombinatorik. In: Didaktik der Mathematik, (984)4, S Summenregel Regel des getrennten Abzählens Prinzip der Schäfer Hilfsstrategien zum Prinzip der Schäfer Einführung & Rücknahme von Anordnungen Einführung & Rücknahme von Unterscheidungen

72 Didaktik der Stochastik.7 Zahlenschloss Wie viele Möglichkeiten gibt es bei einem Zahlenschloss eine vierstellige Zahl aus den Ziffern bis 6 zu bilden? Zählprinzip:. Stelle: 6 Möglichkeiten. Stelle: 6 Möglichkeiten. Stelle: 6 Möglichkeiten 4. Stelle: 6 Möglichkeiten Anzahl der Möglichkeiten: = 6 4 = 96

73 Gemischtes Eis Jürgen Roth Wie viele Möglichkeiten gibt es aus sieben Eissorten ein gemischtes Eis mit drei verschiedenen Kugeln zusammenzustellen? Zählprinzip:. Kugel: 7 Möglichkeiten. Kugel: 6 Möglichkeiten. Kugel: 5 Möglichkeiten Anzahl der Möglichkeiten: = 7! = 00 7! Didaktik der Stochastik.7

74 Didaktik der Stochastik.74 Pferderennen n k n! n k! n! Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Pferderennen eine Teilmenge der drei erstplatzierten Pferde aus der Menge der 5 startenden Pferde auszuwählen? Zählprinzip:. Pferd: 5 Möglichkeiten. Pferd: 4 Möglichkeiten. Pferd: Möglichkeiten Die Permutationen der drei Plätze dürfen nur einmal gezählt werden! Anzahl der Möglichkeiten: 5 = 5! 5!! = 5 4! = 455

75 Didaktik der Stochastik.75 Beispiel Wie viele verschiedene Worte mit zehn Buchstaben kann man aus den Buchstaben des Wortes Missisippi bilden? Anzahl der möglichen Anordnungen von zehn Buchstaben auf zehn Stellen: = 0! Dabei wurden aber alle Vertauschungsmöglichkeiten für die vier i (4!), die drei s (!) und die zwei p (!) mitgezählt. Da diese nicht unterscheidbar sind und folglich nicht zu verschiedenen Worten führen, ergibt sich als Lösung der Aufgabe: 0! 4!!! = = 600

76 Zellenproblem Jürgen Roth Auf wie viele Arten kann man k nicht unterscheidbare Kugeln auf n Zellen verteilen, wenn eine Zelle bis zu k Kugeln aufnehmen kann? Beispiel: Kugeln und Zellen Drei Zellen können durch zwei Trennstriche realisiert werden. Kugeln & Trennstriche benötigen zusammen fünf Plätze. Verteilung der Kugeln durch Platznummer der Trennstriche bestimmt Anzahl der Auswahlmöglichkeiten der zwei Trennstrichplätze aus den fünf Plätzen: k + n k = + = + = 5 = 0 Didaktik der Stochastik.76

77 Didaktik der Stochastik.77 Kombinatorik: Überblick Beachtung der Reihenfolge Auswahl von k Elementen aus einer n-menge Bsp.: Auswahl von Elementen aus der -Menge {; ; } mit mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge Wiederholung > > k-tupel (k = < n) k-kombination (k = < n) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ohne Wiederholung Anzahl k n (;) (;) (;) (;) (;) (;) ohne Anzahl n + k k Wiederholung k-permutation (k n) k-teilmengen (k n) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Anzahl n! (n k)! {;} {;} {;} Anzahl n! (n k)! k! n = k

78 Didaktik der Stochastik.78 Referatsthemen Hefendehl-Hebeker & Törner: Über Schwierigkeiten bei der Behandlung der Kombinatorik. In: Didaktik der Mathematik, (984)4, S Die Schüler Tobias, Alexander und Stefan erhalten je eines von fünf zum Referat anstehenden Büchern. Auf wie viele Arten ist eine solche Verteilung möglich? Ansatz : Stufung über die Personen Verteilungsprozess in drei Stufen, entsprechend den drei Personen, wobei nacheinander 5, 4 bzw. Bücher zur Verfügung stehen. Anzahl der Möglichkeiten: 5 4 = 60

79 Didaktik der Stochastik.79 Referatsthemen Hefendehl-Hebeker & Törner: Über Schwierigkeiten bei der Behandlung der Kombinatorik. In: Didaktik der Mathematik, (984)4, S Die Schüler Tobias, Alexander und Stefan erhalten je eines von fünf zum Referat anstehenden Büchern. Auf wie viele Arten ist eine solche Verteilung möglich? Ansatz : Stufung über die Bücher. Buch wird verteilt mögliche Adressaten. Buch wird verteilt mögliche Adressaten. Buch wird verteilt möglicher Adressat Verteilungsvorgang ist mangels weiterem Adressat beendet. Anzahl der Möglichkeiten: = 6 Problem: Es wurden nur Bücher verteilt, die erst aus den fünf Büchern ausgewählt werden müssen! 5 Anzahl der Möglichkeiten: 5! = 5 4 = 60

94 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.94 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn alle vier Würfel geworfen werden? P( B gewinnt ) = P( C gewinnt ) = 9 P( A gewinnt ) = P( D gewinnt ) = 9

95 Chinesische Würfel Didaktik der Stochastik.95

96 Didaktik der Stochastik.96 Didaktik der Stochastik Kapitel : Wahrscheinlichkeitsrechnung.7 Bedingte Wahrscheinlichkeit

97 Didaktik der Stochastik.97 Umfrage Tomlinson & Quinn: Bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen. In: Stochastik in der Schule, 8(998), S Linda ist eine Jahre alt und Single. Sie unterhält sich gerne über Themen wie Abrüstung oder Gleichberechtigung. Welche der folgenden Behauptungen ist dann eher wahrscheinlich? A) Linda ist Bankkauffrau. B) Linda ist Bankkauffrau und aktiv in der feministischen Bewegung.

98 Didaktik der Stochastik.98 Bedingte Wahrscheinlichkeit Gardner: The Unschooled Mind. Basic Books, New York, 99 Intuitive Urteile wie beim Linda -Problem sind nach Gardner (99) mit optischen Täuschungen vergleichbar und unvermeidbar können durch Metakognition (z. B. den bewussten Gebrauch von mathematischen Werkzeugen) überwunden werden Solches sekundäres Denken muss entwickelt werden. Geeignete Aktivitäten: Experimentieren und Spiele durchführen Computersimulationen einsetzen graphische Darstellungen nutzen Ziel: Intuitives Verständnis für mathem. Argumente aufbauen verbessert die Fähigkeit rational zu denken hilft stochastische Situationen zu beurteilen

99 Didaktik der Stochastik.99 Beispiel: Es werden nacheinander zwei Karten aus einem verdeckten Kartenstapel mit Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ein As ist unter der Bedingung, dass die erste Karte ein Bube ist? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein As ist unter der Bedingung, dass die zweite Karte ein Bube ist? Bedingte Wahrscheinlichkeit Bender, P.: Grundvorstellungen & Grundverständnisse für den Stochastikunterricht. In: Stochastik in der Schule, 7 (997), S. 8-

100 Didaktik der Stochastik.00 Bedingte Wahrscheinlichkeit Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A B) ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, wenn man weiß, dass B eingetreten ist. ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Bedingung, dass das Ereignis B (bereits) eingetreten ist. Sprechweise Der senkrechte Strich ist als unter der Bedingung/Voraussetzung zu lesen. Man sagt auch, P(A B) ist die Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B.

101 Didaktik der Stochastik.0 Unabhängige Ereignisse Beispiele Die Wahrscheinlichkeit für Regen ist unabhängig von unseren Wünschen. Die Zahl der Leute, die mit einem Regenschirm aus dem Haus gehen ist abhängig von der Wettervorhersage. Zwei Ereignisse A und B sind (stochastisch) unabhängig, wenn sie sich in Hinblick auf die Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens nicht beeinflussen. P(A) = P(A B) bzw. P(B) = P(B A) P(A Definition B) = P(A) P(B) Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt P(A B) = P(A) P(B).

102 Didaktik der Stochastik.0 Stochastische Unabhängigkeit Beispiele Aus einer Urne mit zwei weißen und drei schwarzen Kugeln wird zweimal hintereinander eine Kugel gezogen. Vor jedem Zug wird sorgfältig gemischt. Mit Zurücklegen: Legt man die Kugel nach dem ersten Ziehen wieder zurück, so sind die Ereignisse S : Schwarz beim ersten Zug und S : Schwarz beim zweiten Zug voneinander unabhängig. Ohne Zurücklegen: Legt man die Kugel nach dem ersten Ziehen nicht zurück, so sind die Ereignisse S : Schwarz beim ersten Zug und S : Schwarz beim zweiten Zug voneinander abhängig. Hinweis: Baumdiagramme zeichnen! w s s s w

103 Ziehen mit Zurücklegen S : Schwarz beim ersten Zug S : Schwarz beim zweiten Zug Jürgen Roth P S = 5 S S : Schwarz beim ersten und beim zweiten Zug 5. Zug. Zug s w s w s w P S S = w s s s w P S = = 5 5 = 5 P(S S ) = P(S ) P(S ) Didaktik der Stochastik.0

104 Ziehen ohne Zurücklegen S : Schwarz beim ersten Zug S : Schwarz beim zweiten Zug Jürgen Roth P S = S S : Schwarz beim ersten und beim zweiten Zug 5 5. Zug. Zug s w s w s w P(S S ) = w s s s w P S = = 6 0 = 5 P(S S ) P(S ) P(S ) Didaktik der Stochastik.04

105 Beispiel: Würfeln mit einem Würfel Didaktik der Stochastik.05 Es wird einmal mit einem fairen Würfel gewürfelt. Dabei interessieren folgende Ereignisse bzgl. der Augenzahl: X: Gerade Zahl Y: Zahl größer als Z: Primzahl Sind diese Ereignisse abhängig oder unabhängig voneinander? Wie kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass X und Y, Y und Z bzw. X und Z gleichzeitig eintreten? Gesucht sind also die Wahrscheinlichkeiten P(X Y), P(Y Z) und P(X Z).

106 Beispiel: Würfeln mit einem Würfel Tomlinson, S. & Quinn, R.: Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen. In: Stochastik in der Schule, 8 (998), S Y Y X Y X Y P(Y) P(Y) 5 5 X P(X) P(X Y) P(Y P ) (X) P(X Y) 6 X P(X) P(X Y) P(X Y) 6 X: Gerade Zahl Y: Zahl größer als Z: Primzahl Jürgen Roth unabhängig Didaktik der Stochastik.06

107 Beispiel: Würfeln mit einem Würfel Tomlinson, S. & Quinn, R.: Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen. In: Stochastik in der Schule, 8 (998), S Z Z Y Z Y Z P(Z) P(Z) 5 5 Y P(Y) P(Y Z) P(Z P ) (Y) P(Y Z) Y P(Y) P(Y Z) 6 P(Y Z) 6 X: Gerade Zahl Y: Zahl größer als Z: Primzahl Jürgen Roth unabhängig Didaktik der Stochastik.07

108 Beispiel: Würfeln mit einem Würfel Tomlinson, S. & Quinn, R.: Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen. In: Stochastik in der Schule, 8 (998), S Z Z X Z X Z P(Z) P(Z) 5 5 X P(X) P(X Z) 6 P(Z P ) (X) P(X Z) X P(X) P(X Z) P(X Z) 6 X: Gerade Zahl Y: Zahl größer als Z: Primzahl Jürgen Roth abhängig Didaktik der Stochastik.08

109 Bedingte Wahrscheinlichkeit X: Gerade Zahl Z: Primzahl Jürgen Roth 5 5 X X P(Z X) P(Z X) = 6 Didaktik der Stochastik.09 = = P(X Z ) P(X) 5 5 Z Z P(X Z ) P(X) (X P (X P = 6 = = Z ) Z )

110 Didaktik der Stochastik.0 Jürgen Roth P(Z X) = Bedingte Wahrscheinlichkeit X: Gerade Zahl Z: Primzahl X X X) (Z P = 6 X) (Z P = 6 X) (Z P = X) (Z P = Z Z

111 Didaktik der Stochastik. Bedingte Wahrscheinlichkeit Ein alter Mann wird Zeuge eines Autounfalls mit Fahrerflucht und berichtet, dass das flüchtende Auto ein blaues Taxi gewesen sei (Behauptung b). Es gibt zwei Taxiunternehmen in der Stadt, die 5 blaue (B) bzw. 85 grüne (G) Taxen hat. In der Verhandlung wird die Sehfähigkeit des Mannes geprüft und man bekommt heraus, dass er in 80 % der Fälle die richtige Farbe zuordnen kann, d. h. P(b B) = P(g G) = 0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wirklich ein blaues Taxi in den Unfall verwickelt war?

112 Bedingte Wahrscheinlichkeit P(b B) = 0,8 b P(B b) = 0, B P(B b) = 0,4 B b P(B) = 0,5 0, g P(B g) = 0,0 B 0,9 P(G) = 0,85 0, b P(G b) = 0,7 G 0,7 Jürgen Roth G P(B b ) P (B b) = P(b ) 0, = = 0,4 0,9 0,8 g P(G g) = 0,68 G Didaktik der Stochastik. g P(b) = P(B b) + P(G b) = 0, + 0,7 = 0,9

113 Didaktik der Stochastik. Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B A) B P(B A) A P(A B) A B P(A) P(B A) B P(B A) A P(A B) P(B) P(A) P(B A) B P(B A) A P(A B) P(B) A B P(B A) B P(B A) A P(A B)

114 Totale Wahrscheinlichkeit und die Formel von Bayes Didaktik der Stochastik.4 P(A B) P(B A) = P(B) P(B A) B P(B A) A P(A B) A B P(A) P(B A) B P(B A) A P(A B) P(B) = P(A) P(B A) P(B A) + P(B A) P(A) P(B A) A B P(B A) A P(A B) B P(B) = P(A) P(B A) P(A) P(B A) + P(A) P(B A) P(B A) P(A B) B P(B A) A Für Ω = A A und B Ω gilt: Totale Wahrscheinlichkeit von B: (B) P = P(A) P(B A) + P(A) P(B A) Formel von Bayes: (A B) P = P(A) P(B A) P(A) P(B A) + P(A) P(B A)

115 Totale Wahrscheinlichkeit und die Formel von Bayes Didaktik der Stochastik.5 Seien A, A,, A n paarweise disjunkte Teilmengen von Ω mit A A A n = Ω, dann gilt für jedes Ereignis B Ω: Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit P(B) = n i Satz von Bayes P(A B) i P(B A ) P(A n i i i ) P(B A ) P(A ) i P(B A ) P(A ) i i i A B A 5 A B A 5 B A A B A 4 B A B A 4 A Ω

116 Didaktik der Stochastik.6 Ärztliche Diagnosen medizinische Tests Pinkernell: Test positiv Diagnose negativ. Medizin. Testergebnisse richtig interpretieren. In: Mathematik lehren 8, 006, S Für die Mammographie als Diagnose-Methode für Brustkrebs sind folgende auf Grund von quantitativen Untersuchungen geschätzten Wahrscheinlichkeiten bekannt: % der weiblichen Bevölkerung einer bestimmten Altersgruppe hat Brustkrebs. (Basisrate) Die Sensitivität der Mammographie beträgt 80%. (Hat eine Patientin Brustkrebs, so kommt es in 80% der Fälle auch zu einer positiven Diagnose.) Die Spezifität der Mammographie beträgt 90%. (Hat eine Patientin keinen Brustkrebs, so kommt es in 90% der Fälle auch zu einer negative Diagnose.) Wie viel Prozent der bei einer Mammographie positiv getesteten Patientinnen sind tatsächlich krank?

117 Fachbegriffe bei medizinische Tests Didaktik der Stochastik.7 Pinkernell: Test positiv Diagnose negativ. Medizin. Testergebnisse richtig interpretieren. In: Mathematik lehren 8, 006, S Prävalenz Anteil der Erkrankten in der Bevölkerung auch: Verbreitung Sensitivität eines Tests Wahrscheinlichkeit, dass ein erkrankter Mensch positiv getestet wird auch: Empfindlichkeit, Richtigpositiv-Rate Spezifität eines Tests Positiver Vorhersagewert (ppv) eines Tests Wahrscheinlichkeit, dass ein gesunder Mensch negativ getestet wird Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getesteter Mensch tatsächlich erkrankt ist auch: Richtignegativ-Rate auch: positive predictive Value (ppv), positiver Prädiktionswert, Relevanz

118 Didaktik der Stochastik.8 Vierfeldertafel zu medizinische Tests Pinkernell: Test positiv Diagnose negativ. Medizin. Testergebnisse richtig interpretieren. In: Mathematik lehren 8, 006, S