Klaus Schilling, Marion Patyna. Mathematik. für Fachoberschulen in Hessen. Ausbildungsabschnitt I Jahrgangsstufe Auflage. Bestellnummer 11494

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1 Klaus Schilling, Marion Patyna Mathematik für Fachoberschulen in Hessen Ausbildungsabschnitt I Jahrgangsstufe. Auflage Bestellnummer 494

2 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine an 494 Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Bildungsverlag EINS GmbH Sieglarer Straße, 584 Troisdorf ISBN Copyright 00: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf Das Werk und seine Teile einschließlich der CD/DVD sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Vorwort Vorwort Das vorliegende Schulbuch entspricht den Rahmenvereinbarungen der KMK zur Fachoberschule und zur Fachhochschulreife, die in dem Lehrplan Fachoberschule Allgemein bildender Lernbereich Mathematik vom Hessischen Kultusministerium (008) umgesetzt worden sind. Die verbindlichen Themenfelder des Lehrplans für den Ausbildungsabschnitt I (Funktionale Zusammenhänge und beschreibende Statistik) der Fachoberschule werden vollständig abgedeckt und durch einige fakultativ vorgegebene Inhalte ergänzt. In dem Lehrplan wird als Leitgedanke vorgegeben: Die Schülerinnen und Schüler erwerben am Ende der Fachoberschule eine umfassende Handlungskompetenz, verstanden als die Bereitschaft des Einzelnen, sich in gesellschaftlichen, beruflichen und privaten Handlungssituationen sachgerecht, durchdacht und sozialverantwortlich zu verhalten. Sie entfaltet sich in den Dimensionen Fachkompetenz, Personalkompetenz, Sozialkompetenz, Methodenkompetenz und Lernkompetenz. Um diesen Ansprüchen gerecht zu werden, enthält der vorliegende Band zahlreiche anwendungsbezogene Problemstellungen. Die Darstellung der mathematischen Inhalte in diesem Schulbuch folgt dem Primat einer für Schülerinnen und Schüler möglichst anschaulichen und verständlichen Form. Auf diese Weise wird eigenverantwortliches und selbstständiges Lernen durch die Schülerinnen und Schüler ermöglicht. Die mit ausführlichen Lösungen versehenen Handlungssituationen sind mit dem nebenstehenden Puzzle-Symbol in einem blauen Balken versehen. Die zahlreichen Übungsaufgaben zu jedem Abschnitt werden durch das Verzahnungssymbol in einem grünen Balken kenntlich gemacht. Dieses Schulbuch enthält eine CD-ROM mit GeoGebra-Dateien, mit denen sich wichtige Zusammenhänge der Analysis im Unterricht dynamisch visualisieren lassen. Sehr gut geeignet sind die GeoGebra-Dateien auch, um die Schülerinnen und Schüler entdeckend lernen zu lassen. Das GeoGebra-Symbol verweist auf die jeweiligen Dateien auf der beiliegenden CD-ROM. Dieser Band wird ergänzt durch einen zweiten Band, der die Inhalte des Ausbildungsabschnittes II beinhaltet. Wir wünschen allen Schülerinnen und Schülern, Lehrerinnen und Lehrern, die mit diesem Buch arbeiten, viel Erfolg und Freude an der Mathematik. Über Rückmeldungen, Verbesserungsvorschläge und die Mitteilung entdeckter Fehler über die -Adresse @bv-.de würden wir uns freuen. Die Autoren

4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Mathematische Zeichen und Symbole... 6 Aufbau des Zahlensystems... 8 Funktionale Zusammenhänge Funktionen Bedeutung von Funktionen Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen..... Fachbegriffe bei Funktionen Lineare Funktionen Von der Realsituation zur Funktionsgleichung (Bedeutung von m und b in f (x) =mx + b) Von der Gleichung zum Graphen (Konstruktion des Funktionsgraphen einer linearen Funktion) Vom Graphen zur Gleichung (Bestimmung der Funktionsgleichung) Weitere Anwendungsbeispiele Lagebeziehung von zwei Geraden (Schnittpunkt, Parallelität, Identität, Orthogonalität) Schnittwinkel von Geraden Abstandsbestimmungen (Punkt Punkt, Punkt Gerade, parallele Geraden) Isokostengerade und Bilanzgerade als weitere Anwendungsbeispiele Quadratische Funktionen Über- und unterproportionale Entwicklung der Funktionswerte Normalparabel und ihre Symmetrieeigenschaft Scheitelpunktform (Öffnung, Dehnung/Stauchung und Verschiebung der Normalparabel) Nullstellenberechnung Darstellungsformen quadratischer Funktionen (Faktorform, Normalform, Scheitelpunktform) Lagebeziehung Parabel Gerade Weitere Anwendungsbeispiele

5 Inhaltsverzeichnis Beschreibende Statistik Datenerhebung Datenauswertung und Datendarstellung Grundlagen Arithmetisches Mittel, Varianz und Standardabweichung BoxPlot (Quartile, Spannweite) Klassenbildung Vermischte Anwendungen Kritische Beurteilung der Datendarstellung Grafische Darstellungsarten Einfluss der Darstellungsart auf die Dateninterpretation Einfluss der Berechnungsart auf die Dateninterpretation Vermischte Anwendungen... 7 Sachwortverzeichnis... 4 Bildquellenverzeichnis

6 . Funktionen Suchen Sie für jedes Gefäß den zugehörigen Füllgraphen (der bei konstanter Wasserzufuhr die Füllhöhe beschreibt). 4 Zu welchem Rundkurs gehört der Graph? 5 Eine Kerze ist zu Beginn 0 cm hoch und nach 5 Stunden abgebrannt. Veranschaulichen Sie, wie sich die Höhe h (in cm) der brennenden Kerze im Zeitablauf x (in Std.) verändert... Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen Situation Eine Ware kostet je Kilogramm,50 EUR. a) Welche Möglichkeiten gibt es, die Umsatzerlöse ) E in Abhängigkeit von der verkauften Warenmenge x darzustellen? b) Welche Vor- und Nachteile haben die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten? ) Umsatzerlöse (kürzer auch: Umsätze oder Erlöse) entstehen durch den Verkauf der produzierten Güter oder Dienstleistungen. Berechnung: Umsatzerlöse = verkaufte Menge eines Produktes (= Absatz) multipliziert mit dem Verkaufspreis je Stück.

7 Funktionale Zusammenhänge Lösung a) Tabelle: Graph: Gleichung: Warenmenge (x) inkg 0 4 Erlöse (E) ineur 0,00,50,00 4,50 6,00 E ( x) E (x) =,5 x 4 5 x b) Tabelle Graph Gleichung Vorteil Numerisch Genaue Berechnungen, Anschaulich, genaue Zahlen- auch von Zwischenübersichtlich, paare werten, möglich Nachteil Nur wenige Nur ungenaues Zahlenpaare, Abstrakte, wenig an- Ablesen mög- Zwischenwerte schauliche Darstellung lich fehlen In den folgenden Abschnitten werden unterschiedliche Funktionen aus verschiedenen Funktionsklassen vorgestellt. Eine der Hauptaufgabenstellungen wird dabei durchgängig sein, aus jeweils einer Darstellungsform einer Funktion in die jeweils andere(n) zu transformieren. Dadurch können dann jeweils die Vorteile der verschiedenen Darstellungsformen genutzt werden, um Probleme der realen Welt mit mathematischen Hilfsmitteln zu lösen. Darstellungsformen von Funktionen Verbale Beschreibung Gleichung Tabelle Graph 4

8 . Funktionen Übungsaufgabe Die Produktionskosten K einer Ware in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x werden berechnet mithilfe der Gleichung: K (x) = x +. Dabei werden die Kosten K in Geldeinheiten (GE) und die Produktionsmenge x in Mengeneinheiten (ME) angegeben. Die Erlöse E steigen in glei- chem Maße wie die Produktionsmengen x. Der Gewinn eines Betriebes wird berechnet, indem von den Erlösen die Kosten subtrahiert werden: G = E K. Veranschaulichen Sie die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion des Betriebes jeweils in den drei Darstellungsformen einer Funktion. (Die Erlöse und Gewinne werden ebenfalls in GE angegeben.).. Fachbegriffe bei Funktionen Situation 4 Ein Betrieb der chemischen Industrie produziert Säuren. Die variablen Kosten ) für die Produktion einer bestimmten Säure betragen Geldeinheiten (GE) je Mengeneinheit (ME). Es können maximal 5 ME pro Periode produziert werden. a) Erstellen Sie eine Tabelle, die zu jeder produzierten Menge x die variablen Produktionskosten K v angibt. b) Zeichnen Sie mithilfe der Tabelle aus Teilaufgabe a) den Graphen, der die variablen Produktionskosten K v in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x veranschaulicht. c) Wie lautet die Gleichung, mit der die variablen Produktionskosten K v berechnet werden können? Verwenden Sie die Fachbegriffe, die bei der Beschreibung/Untersuchung von Funktionen von Bedeutung sind. ) Variable Kosten (auch: veränderliche Kosten) sind der Teil der Gesamtkosten, der von der Produktionsmenge abhängig ist. Z. B.: Materialkosten, Fertigungslöhne etc. Wird nichts produziert, fallen auch keine variablen Kosten an. 5

9 Funktionale Zusammenhänge Lösung a) xk v Die variablen Kosten K v der Produktion werden berechnet, indem jeweils die Produktionsmenge x mit den Kosten je Liter (= ) multipliziert wird. Eine Tabelle, in der die zugeordneten Größen einer Funktion aufgeführt werden, heißt Wertetabelle oder Wertetafel. Die Ausgangsmenge D (Zahlen in der ersten Spalte) wird bei Funktionen Definitionsbereich oder auch Definitionsmenge genannt und mit D abgekürzt. Die dazugehörige Zahlenmenge W (Zahlen in der zweiten Spalte) heißt bei Funktionen Wertebereich oder auch Wertemenge und wird mit W symbolisiert. b) Aus der in Teilaufgabe a) angelegten Wertetabelle ergeben sich 6 Zahlenpaare (0; 0), (; ), (; 4), (; 6), (4; 8) und (5; 0). Die grafische Darstellung der Zahlenpaare sind Punkte im Koordinatensystem: P (0/0), P (/), P (/4), P 4 (/6), P 5 (4/8), P 6 (5/0). Die jeweils erste Koordinate eines Punktes heißt Abszisse und wird auf der Abszissenachse (horizontale Achse) abgetragen. K v (x) (Ordinatenachse) Funktion Graph der Funktionsterm. Quadrant K(x) = x 0 Funktionsgleichung 8 W(K v ) 6 4. Quadrant Funktionswert K v () Stelle x =. Quadrant 4 D(K v ) x (Abszissenachse) 4. Quadrant Die jeweils zweite Koordinate eines Punktes heißt Ordinate und wird auf der Ordinatenachse (vertikale Achse) abgetragen. Bei Funktionen wird die Abszisse auch Stelle und die Ordinate Funktionswert genannt. I. d. R. wird auf der Abszissenachse die unabhängige Variable (hier: x) und auf der Ordinatenachse die von x abhängige Variable (hier: K v (x)) abgetragen. Die eingetragenen Punkte kann man zu einer Geraden verbinden, weil auch für Produktionsmengen, die nicht ganzzahlig sind, variable Kosten entstehen, die zwischen den berechneten Werten liegen (Interpolation ) ). Das dadurch ent- ) Interpolation (lat.) = Das Berechnen von Werten, die zwischen bekannten Werten einer Funktion liegen. 6

10 . Funktionen standene Schaubild der Funktion heißt Funktionsgraph oder Graph der Funktion K v. In unserem Beispiel liegt die Gerade im. Quadranten des Koordinatensystems. Rein theoretisch kann man die Gerade auch noch nach links und rechts verlängern (Extrapolation ) ). Dies ist jedoch in unserem Fall nicht sinnvoll, da einerseits negative Produktionsmengen nicht möglich sind und andererseits laut Aufgabenstellung maximal 5 ME produziert werden können. Somit beginnt die Gerade bei x = 0 und endet bei x =5. Damit ist der Definitionsbereich D der Funktion K v festgelegt. Man schreibt: D (K v )=[0;5] und liest: Der Definitionsbereich der Funktion K v ist das (geschlossene) Intervall von einschließlich 0 bis einschließlich 5. K v ist in unserem Fall der Name der Funktion. Der Definitionsbereich D ) besteht aus den reellen Zahlen von einschließlich 0 bis einschließlich 5, die die unabhängige Variable (hier x) annehmen kann. Im Schaubild findet man diese Zahlen auf der horizontalen Achse (Abszissenachse). Aus dem Definitionsbereich ergibt sich der Wertebereich W der Funktion K v : W (K v )=[0;0]. Der Wertebereich einer Funktion besteht aus den Funktionswerten, die die Funktion annehmen kann. Im Schaubild finden wir diese Zahlen auf der vertikalen Achse (Ordinatenachse). c) Wie aus der Lösung der Teilaufgabe a) ersichtlich, berechnen sich die variablen Kosten nach der Gleichung: K v = x. Um die Abhängigkeit der variablen Kosten K v von der Menge x auszudrücken, schreibt man bei Funktionen die Funktionsgleichung: K v (x) = x (gelesen: K v von x gleich mal x). Die rechte Seite der Gleichung ist der Funktionsterm: x, mit dessen Hilfe die Funktionswerte berechnet werden können. Will man z. B. ausdrücken, dass bei der Produktionsmenge x = die variablen Kosten 4 betragen, schreibt man verkürzt: K v ()= =4 Weil K v von x abhängig ist, sagt man: K v ist die abhängige Variable und x ist die unabhängige Variable. ) Extrapolation (lat.) = Bestimmung von Funktionswerten außerhalb eines Intervalls aufgrund der Kenntnis von Funktionswerten innerhalb dieses Intervalls. ) Zu jeder Funktion gehört ein Definitionsbereich. Wenn der Definitionsbereich nicht explizit angegeben ist, dann ist der maximal mögliche Definitionsbereich zu betrachten, d. h. die Menge aller Zahlen, für die Funktionswerte berechnet werden können. Grundsätzlich legen wir in diesem Buch als Zahlenbereich die Menge der reellen Zahlen r oder eine echte Teilmenge von r zugrunde. 7

11 Funktionale Zusammenhänge Zusammenfassung Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung in der Weise, dass jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich genau eine Zahl f(x) aus dem Wertebereich zugeordnet wird. Der Definitionsbereich einer Funktion f heißt D ( f ). Er enthält die Zahlen, die für x in die Funktionsgleichung eingesetzt werden können. Anschaulich: Der auf der Abszissenachse zu betrachtende Zahlenbereich. ) Der Wertebereich einer Funktion f heißt W (f ). Er umfasst alle Funktionswerte, die die Funktion annehmen kann. Anschaulich: Der auf der Ordinatenachse zu betrachtende Zahlenbereich. Vereinbarungsgemäß wird i. d. R. die unabhängige Variable (z.b. x) auf der Abszissenachse (= waagrechte Achse) und die abhängige Variable (f (x)) auf der Ordinatenachse (= senkrechte Achse) abgetragen. Die Funktionsgleichung einer Funktion f wird geschrieben: f (x) = x (kurz gelesen: f mit f von x gleich zwei mal x) Ausführlich ist: f : f (x) = x Der Funktionswert an der Stelle wird dann kurz geschrieben: f ()=4 Übungsaufgaben a) Der Preis p einer Ware beträgt 0,75 EUR/Stck. Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion E, die die Erlöse in Abhängigkeit von der verkauften Menge x angibt. Erstellen Sie eine Wertetafel und zeichnen Sie den Funktionsgraphen. b) Die Kosten K für die Produktion eines Gebrauchsgutes betragen 850 EUR/ Liter. Wie lautet die Gleichung der Kostenfunktion K, die die Kosten in Abhängigkeit von der produzierten Menge x angibt? Erstellen Sie eine Wertetabelle. Wie verläuft der Graph der Funktion? c) Bestimmen Sie die Gleichung und den Funktionsgraphen für die Telefonkosten eines Handytarifs, wenn 0,9 EUR je Minute und keine Grundgebühr berechnet werden. d) Bei einem Ferienjob im Einzelhandel verdient ein Schüler nur durch seine Umsatzbeteiligung von 0 %. Erstellen Sie eine Funktionsgleichung für seinen Verdienst V in Abhängigkeit vom Umsatz U und veranschaulichen Sie diesen grafisch. ) In diesem Buch ist die Ausgangsmenge für den Definitionsbereich i.d.r. die Menge der reellen Zahlen r. Eine Einschränkung des Definitionsbereiches ergibt sich häufig aus dem jeweiligen Anwendungsbezug: z.b. führt die Einschränkung der Produktionsmenge wie in Situation 4 zu D (K v )=[0;5] aus mathematischen Notwendigkeiten: In die Funktion f mit f(x) = darf die Zahl Null x nicht eingesetzt werden. Also ist D (f ) = r*, weil sonst die unerlaubte Rechenoperation Division durch Null durchgeführt werden würde. 8

12 . Funktionen Erklären Sie die Begriffe bzw. Schreibweisen: a) Wertetabelle g) Extrapolation b) Funktionsgraph h) Definitionsbereich c) Funktionsgleichung i) Wertebereich d) Stelle j) f( ) = 6 e) Funktionsterm k) Funktion f) Interpolation Bei den unten abgebildeten Funktionsgraphen sollen die Strichelungen andeuten, dass der Graph noch weiter verläuft. Die gefüllten Punkte bedeuten, dass dies der jeweilige letzte (Rand-) Punkt des Graphen ist. Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich. 4 Bestimmen Sie den Funktionsterm. a) Jedem x-wert ist ein Funktionswert zuzuordnen, der viermal so groß wie der x-wert ist. Davon ist die Zahl 4 zu subtrahieren. b) Der Funktionswert entsteht durch Quadratur des x-wertes abzüglich des dreifachen x-wertes. c) Der Funktionswert ist identisch mit dem jeweiligen x-wert. d) Der Funktionswert ergibt sich dadurch, dass jeder x-wert um verringert und die dann entstandene Zahl quadriert wird. 5 Berechnen Sie f(4) für die einzelnen Teilaufgaben der Übungsaufgabe 4. 6 Wie wird der mathematische Text in den folgenden Teilaufgaben gelesen? Geben Sie in mathematisch verkürzter Schreibweise für den Abszissenwert den jeweiligen Ordinatenwert an. a) f : f(x) =x 4; D ( f )=[ ;4) b) f : f (x) = x ; D ( f) =( ;0) c) f : f (x) =x ; D(f) =( ;] d) f : f (x) =(x +5) D(f) =r 9

13 Funktionale Zusammenhänge 7 Bestimmen Sie den mathematisch maximal möglichen Definitionsbereich. a) f : f(x) =x b) f : f (x) = x c) f : f (x) = x (x ) d) f : f (x) = x. Lineare Funktionen.. Von der Realsituation zur Funktionsgleichung (Bedeutung von m und b in f (x) =mx+ b) Die Bedeutung von m in f (x) =mx Situation Ein Händler verkauft ein beliebig teilbares Gut x zu einem Marktpreis von p = Geldeinheiten (GE) je Mengeneinheit (ME). Weil die Kapazitäten seines Lieferers begrenzt sind, kann er innerhalb einer Zeitperiode maximal ME verkaufen. a) Erstellen Sie die Wertetabelle der Erlösfunktion. (Eine Erlösfunktion ordnet jeder verkauften Menge x die entsprechenden Umsatzerlöse E zu.) b) Wie lautet die Gleichung der Erlösfunktion? Welches ist ihr Definitionsbereich, welches ihr Wertebereich? c) Zeichnen Sie den Graphen der Erlösfunktion. d) Wie würde sich der Verlauf des Graphen ändern, wenn der Marktpreis p des Gutes x nicht mehr, sondern GE je ME beträgt? Lösung a) Verkaufte Erlöse Menge x E(x) = x

14 . Lineare Funktionen b) Die Erlöse werden allgemein berechnet, indem der Marktpreis p mit den verkauften Mengeneinheiten des Gutes x multipliziert wird. Die Erlösfunktion E hat dann allgemein die Gleichung E (x) =p x und konkret E (x) = x. Ihr Definitionsbereich ist D(E) =[0;], ihr Wertebereich W ( E) =[0;6]. Begründung für die untere Grenze des Definitionsbereiches: Es sind keine negativen Verkaufsmengen möglich. Begründung für die obere Grenze des Definitionsbereiches: Es können nicht beliebig viele ME eines Gutes verkauft werden, weil jedes Unternehmen beschränkte Kapazitäten zur Produktion bzw. zum Verkauf eines Gutes hat (Kapazitätsgrenze = x Kap ). Der Wertebereich ergibt sich aus allen Funktionswerten, die die Funktion in ihrem Definitionsbereich annehmen kann. c) Der Graph der Erlösfunktion ist unter der Voraussetzung, dass das Gut beliebig teilbar ist, eine Gerade. Sie verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Mit jeder zusätzlich verkauften Mengeneinheit des Gutes nehmen die Verkaufserlöse jeweils konstant um GE zu. E (x) E(x) =x x d) Bei einem Marktpreis von p = würde die Gleichung der Erlösfunktion lauten: E (x) = x Weil jetzt mit jeder zusätzlich verkauften Mengeneinheit des Gutes die Verkaufserlöse jeweils konstant um GE zunehmen, ist die Steigung der Geraden mit E (x) = x größer als die der Geraden mit E(x) = x. E(x) E(x) =x x