Wintersemester 2013/14. Torsten Schreiber

Transkript

1 Mathematik BW8

2 Wintersemester 0/ Torsten Schreiber

3 Mathematik ist begreibar...

4 ... und macht sogar Spaß!

5 Methodik meiner Veranstaltung WarmUp n-sandwich Theorie Beispiel Augaben

6 Mathematik BW8 Lernziele / Kompetenzen Die Studierenden haben einen sicheren Umgang mit algebraischen Termen und können lineare und quadratische Gleichungen und Ungleichungen sicher lösen. Sie kennen wichtige mathematische Funktionen und ihre Eigenschaten; sie beherrschen deren Dierentiation und Integration. Themengebiete Zahlen, Potenzen, Eponenten, Terme, Identitäten, Umormungen, Brüche Gleichungen und Ungleichungen lineare, quadratische Lineare-, Potenz- und Eponentialunktionen Dierentiation Eigenschaten von Funktionen Integration

7 Die Klausur Theorie der schönen Zahlen Taschenrechner brauchen wir nicht! Bücher gehören in die Bibliothek Alles was ich geschrieben habe, dar ich auch nutzen.

8 Literaturverzeichnis Bereich Autor Titel Zusatz Verlag ISBN Algebra Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band Harri Deutsch Algebra Papula Mathematik ür Ingenieure Band Vieweg Algebra Teschl Mathematik ür Inormatiker Band Springer Analysis Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band Harri Deutsch Analysis Papula Mathematik ür Ingenieure Band Vieweg Augaben Papula Mathematik ür Ingenieure Augabensammlung Vieweg Mathematik Hartmann Mathematik ür Inormatiker Lehrbuch Vieweg Formelsammlung Bartsch Mathematische Formeln Taschenbuch Harri Deutsch Formelsammlung Papula Mathematische Formelsammlung Formeln Vieweg Grundlagen Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band Harri Deutsch Grundlagen Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band Harri Deutsch Grundlagen Schwarze Mathematik ür Wirtschatswissenschatler Augabensammlung NWB Grundlagen Schwarze Mathematik ür Wirtschatswissenschatler Band: Grundlagen NWB Grundlagen Schwarze Mathematik ür Wirtschatswissenschatler Elementare Grundlagen ür Studienanänger NWB Finanzmathematik Purkert Brückenkurs Mathematik Wirtschatswissenschatler Vieweg Finanzmathematik Locarek Finanzmathematik Lehr- und Übungsbuch Oldenbourg Statistik Papula Mathematik ür Ingenieure Band Vieweg Statistik Schwarze Grundlagen der Statistik Band : Beschreibende Verahren nwb Studium Statistik Schwarze Augabensammlung zur Statistik Augaben mit Lösungen nwb Studium

9 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Was sind die Objekte der Mengenlehre? Welche Darstellungsormen gibt es? Was bedeutet verbale bzw. mathematische Bedingung? Aus welchen Junktoren ist die Mengenlehre augebaut? Worin liegt der Unterschied zwischen UND und ODER? Was bedeutet die Modulo-Operation? Welche Zahlenmengen werden deiniert? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 9

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12 { Objekt} { Menge } { Element } { } Reihenolge spielt keine Rolle Unterscheidbarkeit der Objekte redundanzrei WS 0/ Torsten Schreiber

13 {,} Menge mit Objekt: Element, ; Element als Tupel mit den Koordinaten und, {{ ; } { ; } ; {,;; { } Element mit dem Wert, Menge mit Objekt: Menge mit den Elementen und Menge mit Objekt: Tupel aus und Elemente und Menge mit Objekten: Element, und sowie der Menge aus WS 0/ Torsten Schreiber

14 Auzählung: Die einzelnen Objekte werden innerhalb der Menge augeührt, wobei Platzhalter in Form von... dargestellt werden. Einschluss: Basierend au einer beliebigen Ausgangsmenge wird ein Gesetz deiniert, das die enthaltenden Objekte beschreibt. Ausschluss: Aus einer Grundzahlenmenge werden die Objekte deiniert, die nicht enthalten sein düren. Beispiel: G Ν { ;;6;8;... } { Ν mod 0} G Ν Mengen der geraden, natürlichen Zahlen { Ν mod 0} G Ν \ <> Ν WS 0/ Torsten Schreiber

15 Die Modulo-Funktion entspricht einem Restwertoperator, d.h. bei einer ganzzahligen Division wird der Rest als Ergebnis dargestellt. Beispiel: X mody Zähler Nenner Divisor Restwert 5 mod, denn 5 Rest mod 5, denn 5 Rest R Teilbarkeit: Restwert muss 0 ergeben mod 7 0 mod <> 0 ist teilbar durch 7 ist nicht durch teilbar ungerade Zahl WS 0/ Torsten Schreiber 5

16 N Natürliche Zahlen { ;;... } Z Ganze Zahlen {... ; ;0;;... } Q a Rationale Zahlen ; a Z b Z \ { 0} b Endliche Nachkommastellen, Periode R Reelle Zahlen { } π ;e; ;... Unendliche Nachkommastellen C Komplee Zahlen z a b i i WS 0/ Torsten Schreiber 6

17 Junktoren entsprechen Verbindungen / Operatoren die beliebige Objekte miteinander verknüpen können Artithmetik:, -, *, :. UND A B : Das Objekt der Lösung gehört gleichzeitig zu den Menge A und B. Durchschnitt Beispiel: Primzahl gerade, natürliche Zahl { } ODER A B : Das Objekt der Lösung gehört zur Menge A oderb oder zu A undb. Vereinigung Beispiel: ungerade Zahl gerade, natürliche Zahl Ν NICHT A \ B : Das Objekt der Lösung gehört zur Menge A aber nichtzu B. Dierenz Beispiel: natürliche Zahl \ gerade, natürliche Zahl ungerade Zahl WS 0/ Torsten Schreiber 7

18 Gegeben sind die olgenden Mengen: A Berechnen Sie: A B C B C \ A { ;;6;8;0 } B { ;; } C { ;;5;7; } A B C A A \ B C Über die Anzahl nder Elemente in der Untermenge A, B und C einer Menge mit 00 Elementen ist olgendes bekannt: n A 70 n B 0 n C 90 n A B 50 n A C 0 n B C n A B C 0 Wie groß ist die Anzahl der Elemente in den olgenden Mengen? n A B n A B C n A B C n A B C 0 WS 0/ Torsten Schreiber 8

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20 Im Bereich der Mengenlehre ist darau zu achten, dass sich alle vorhandenen Objekte unterscheiden, d.h. sind. Wird eine Menge mittels Eigenschaten beschrieben, so unterscheidet man zwischen einer mathematischen und Bedingung. Gehören einzelne Elemente nicht zu der gesuchten Menge, so werden diese mittels aus der Welt herausgenommen. Beim werden die gesuchten Zahlen konkret deiniert, wobei beim aus der maimalen Zahlenmenge die nicht dazugehörigen abgezogen werden. Um einen Zahlenbereich Mittels Oder wird der Bereich zwei Zahlen zu deinieren, so nimmt man die Und-Verbindung. der Zahlen beschrieben. Die Modulo-Operation ist eine, d.h. man kann die Teilbarkeit einer Zahl beweisen, in dem man bei dem Modulo-Term au vergleicht. Die kleinstmögliche Zahlenmenge sind die Zahlen. Handelt es sich um die Menge der rationalen Zahlen, so kann man diese Zahlen auch als darstellen. WS 0/ Torsten Schreiber 0

21 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Was sind Zusammenhänge zwischen Menge, Welt und dem Nichts? Welche Gesetze eistieren in der Mengenlehre? Was versteht man unter einer Inklusion? Welche Symmetriearten gibt es? Was bedeutet eine Zerlegung bzw. Klasseneinteilung? Was ist eine Potenzmenge? Wie bildet man das kartesische Produkt? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber

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23 Kommutativgesetz: A B B A A B B A Assoziativgesetz: A B C A B C A B C A B C Distributivgesetz: A B C A B A C A B C A B A C De Morgan: Komplement: A B A B A B A B A A { } A A Ω Absorption: A A B A A A B A Zusammenhänge zwischen A; { }; Ω : A A A A Ω A A { } { } : A A A A Ω Ω A { } A Neutrales Objekt: A Ω A A { } A WS 0/ Torsten Schreiber

24 Beweisen Sie die olgenden Ausdrücke unter Benennung aller angewandten Gesetze Das Absorptionsgesetz A A B A Das De Morgangesetz A B A B mittels Komplement Vereinachen Sie die Robbinsgleichung: A B A B WS 0/ Torsten Schreiber

25 Soern die Ausgangsmenge ein Teil oder komplett innerhalb einer weiteren Menge vorhanden ist, so spricht man von einer Teilmengenbeziehung bzw. von einer Inklusion. Methodik: Streichen der Mengenklammer bei der Ausgangsmenge Jedes Objekt muss bzgl. Wert und Format in der. Menge autauchen { a} Alphabet a Alphabet Eigenschaten: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge { } A releiv: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst A A transitiv: logische Schlussolgerungen sind zugelassen A B B C A antisymmentrie: Beweisprinzip der Etensionalität A B B A A B C WS 0/ Torsten Schreiber 5

26 Ω Symmetrie: Zu jedem Punkt gehört ein Spiegelpunkt. Asymmetrie: Zu keinem Punkt eistiert ein Spiegelpunkt. Antisymmetrie: Zu keinem Punkt eistiert ein Spiegelpunkt aber mindestens ein Punkt au der Spiegelachse. Sind mehrere Symmetrievarianten vorhanden, so kann keinerlei Aussage über das Symmetrieverhalten getroen werden. WS 0/ Torsten Schreiber 6

27 Man spricht von einer Klasseneinteilung, soern sicher gestellt werden kann, dass jedem Objekt aus der deinierten Welt einer Klasse Untermenge zugeordnet werden kann. UND-Verknüpung: Die UND-Verbindung zwischen jeder Klasse muss jeweils die leer Menge als Lösung haben. Man spricht dann von disjunkten Mengen. ODER-Verknüpung: Die ODER-Verbindung zwischen allen Klassen muss zu einer Menge ühren, die alle Objekte der deinierten Ausgangsmenge enthält. Beispiel: UND-Verknüpung: ODER-Verknüpung: Alphabet Konsonat Vokal Konsonat Vokal { } Alphabet WS 0/ Torsten Schreiber 7

28 Eine Potenzmenge ist eine Ansammlung von allen möglichen Teilmenge basierend au einer beliebigen Menge A. Da jedes Objekt der Ausgangsmenge zwei Möglichkeiten besitzt, nämlich zu der Teilmenge zu gehören oder nicht, besteht jede Potenzmenge aus Untermengen. n Die Teilmengen eistieren von der Länge Null leere Menge bis zu der Länge n Anzahl der Objekte in der Ausgangsmenge. Beispiel: { } d c b a A ; ; ; { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } d c b a d c b d c a d b a c b a d c d b c b d a c a b a d c b a A P ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6 n Untermengen WS 0/ 8 Torsten Schreiber

29 Das kartesische Produkt wird mittels Kreuzprodukt aus beliebigen Mengen gebildet, wobei jedes Objekt der linken Menge mit jedem weitern Objekt übrigen Mengen kombiniert wird. Als Ergebnis entsteht ein n-dimensionales Tupel X,,...,., Die entstehende geordnete Punktmenge ist nicht kommutativ. Der Euklidische Vektorraum lässt sich als kartesische Produkt somit wie olgt R R RR,, darstellen: Beispiel: A { a; b; c} B { ;; } AB { a, ; a, ; b, ; b, ; c, ; c, ;} BA {, a ;, b ;, c ;, a ;, b ;, c ;} n WS 0/ Torsten Schreiber 9

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32 { { } { } Gegeben sei die Menge A ; ; y,. Welche der olgenden Aussagen sind wahr bzw. alsch Begründung? a A b { ; y} A c d { } A e A { } A g { } A h { } A i { } A j { } A A Welche der olgenden Aussagen über eine Potenzmenge P A und einer Menge A sind wahr bzw. alsch Begründung? a e A P A b A P A c { } P A d { } P A { A} P A { A} P A g { } P A h { } P A { } Bilden Sie die Potenzmenge basierend au der Menge A ; ; ;π. WS 0/ Torsten Schreiber

33 { } { } { } Gegeben sei die Menge A ;a; ; ;5; 5. Welche der olgenden Untermengen sind Zerlegungen von ABegründung? a { a} ;{ ; }; { }; { 5 } b { a} ;{ ; }; { }; { 5; { 5 } c { a; { ; }; { }; { 5; { 5 } d { a} ;{ ; }; { }; { 5 }; { 5 } e { 5; a; { ; }; { }; { 5 } 5 { } { } { } Gegeben sei die Menge A α ; β; ε, B I; V und die Menge C ; y. a Bilden Sie das kartesische Produkt ABC. b Bilden Sie das Kreuzprodukt aus AB sowie aus CAgraische Darstellung. 6 Ermitteln Sie die geragten Lösungsmengen augrund des gegebenen Venn schen Diagramms. a A C b c A \ B C A C B C A B C A B \ A C C A B C d \ e A C B WS 0/ Torsten Schreiber

34 Treen in der Mengenlehre zwei Junktoren aueinander müssen zwingend Klammern gesetzt werden. Diese können dann mittels dem augelöst werden. Werden komplette Terme, so muss das de Morgan Gesetz angewandt werden, d.h. man kehrt die vorhandenen Mengen und den um. Im werden Zusammenhänge zwischen einer Menge, der leeren Menge und der über dem Und- bzw. Oder-Operator deiniert. Ein neutrales Objekt verändert die Ausgangssituation niemals, d.h. in der Mengenlehre ist neben der bzw. der Welt stets die Menge selbst neutral. Die Inklusion beschreibt die zweier Mengen, wobei die Teilmenge releiv, und antisymmetrisch ist. Die Antisymmetrie eistiert dann, wenn eine mit mindestens einem Pasch vorhanden ist. Man spricht von einer Zerlegung, soern die vorhandenen Klassen zueinander sind und die Oder-Verknüpung wieder die erzeugt. WS 0/ Torsten Schreiber

35 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Wann sprechen wir von einer kompleen Zahl? Was ist der Real-und der Imaginärteil? Wie bestimmt man den Betrag bzw. das Argument? Wie werden komplee Zahlen addiert bzw. multipliziert? Was ist eine konjugiert komplee Zahl? Wie unktioniert das Pascal sche Dreieck? Welche Darstellungsormen gibt es? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 5

36 z a b i; i Realteil Imaginärteil Imaginärteil b a/b 0 n i EXP mod 0 i n i i n n i i EXP mod EXP mod EXP mod Realteil a Beispiel: i 7 5i 7 5 i 0 i i 7 5i 7 5i i 7 i 5i 5i i 0i i i i i 9 i i i 5 i 0i WS 0/ Torsten Schreiber 6

37 a / b r / α Imaginärteil b r α a Ankathete b Gegenkathete Realteil a r Hypothenuse a > 0 b > 0 0π Betrag: r a b Argument: b α arctan a a > 0 b < 0 π a < 0 b > 0 π a < 0 b < 0 π WS 0/ Torsten Schreiber 7

38 Darstellung einer kompleen Zahl: Kartesische Darstellung: z a b i Trigonometrische Darstellung: z r cos α i sin α Eponentielle Darstellung: z r e iα Beispiel: z i r 5 5 α arctan cos07 sin07 z 5 i z 5e i07 WS 0/ Torsten Schreiber 8

39 Die konjugiert komplee Zahl: Um den Imaginärteileiner kompleen Zahl zu beseitigen, wird mittels des. Binoms der Ausdruck erweitert konjugiert kompleen Zahl. b a b a i b a bi a bi a bi a z z bi a z bi a z Betrag: i i z z r i z i z WS 0/ 9 Torsten Schreiber Division: i i i i i i i i i i i,5,

40 Berechnen Sie die olgenden Terme und geben Sie die Lösung mittels kartesischer Form an. Bestimmen Sie zusätzlich den Betrag und das Argument. i [ i i 6 i] i i i i i i i WS 0/ Torsten Schreiber 0

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42 Durch die Deinition der Zahlen wird die bisherigen Zahlen durch eine Achse ergänzt. Dies bedeutet, dass eine komplee Zahl aus einem - und einem besteht. Augrund des entstehenden rechtwinkligen Dreiecks kann zum einen der der kompleen Zahl mittels Pythagorassatz und zum anderen das sprich der Winkel durch den berechnet werden. Dadurch sind drei verschiedene Darstellungsormen möglich: trigonometrisch Innerhalb der Berechnungen kann das i auch als normale Variable mit der VariableWurzel- behandelt werden. Steht beim dem Imaginärteileine im Eponenten, so kann eine Vereinachung mittels der Berechnung erolgen. Für die zweier kompleer Zahlen muss stets der Nenner mit dem erweitert werden. Der zweite Teil des Binoms wird auch als komplee Zahl bezeichnet. Das Dreieck nutzt man, sobald eine komplee Zahl hoch zwei genommen wird. WS 0/ Torsten Schreiber

43 Berechnen Sie die olgenden Terme und geben Sie die Lösung mittels kartesischer Form an. Bestimmen Sie zusätzlich den Betrag und das Argument. [ ] 6 0 7i i 5i i i i i i [ ] i i i 5i [ ] i i 5 i i 5i i 7 i i 5i 5 WS 0/ Torsten Schreiber

44 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Augaben und Übungen zu den kompleen Zahlen. Wie unktioniert das Pascal sche Dreieck? Wann sprechen wir von einem Potenzausdruck? Was verstehen wir unter der Schreiber schen Pyramide? Was ist ein Polynom vom Grade n? Was passiert bei einem negativen Eponenten? Wie kann der Grad einer Wurzel dargestellt werden? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber

45 EXP a 5 * : - WS 0/ Torsten Schreiber 5

46 Wichtige Zusammenhänge ür die Potenzberechnung mit rationalem Eponenten: Wurzel: Der Grad einer Wurzel steht immer im Nenner des Eponenten n n Beispiel: Brüche: Ein negativer Eponent wird durch einen Positionswechsel positiv n n Beispiel: Polynom: Der höchste natürliche Eponent bestimmt den Grad des Polynoms 0... z a n n 5 Beispiel: Polynom vom Grade 5 WS 0/ 6 Torsten Schreiber

47 Vereinachen Sie die olgenden Ausdrücke mittels der Potenzgesetze z y z y k k k k k k k a a a a : 8 8 w v u t s r t s r w v u 5 n n n : 5 y c b a y c ab 6 5 a 0 5 b 5 0, 6 c 9 I 8 5 g II h III Berechnen Sie olgende Ausdrücke und geben die Lösungsmenge an. Geben Sie bei olgenden Funktionen den Deinitions- und Wertebereich an. WS 0/ 7 Torsten Schreiber

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49 Ein sogenannter Potenzausdruck liegt dann vor, wenn die in der Basis steht. Um Potenzen zu, muss man die Eponenten addieren. Steht im Eponent ein, so steht der ür den Grad der Wurzel und handelt es sich im Eponenten um einen Ausdruck, so wird dieser positiv, in dem man einen Wechsel vom in den oder umgekehrt vornimmt. Will man Potenzterme vereinachen, so wandelt man diesen im ersten Schritt in einen reinen um und asst diesen mittels der zusammen. NEU noch nicht besprochen!: Durch eine Gegenoperation wird immer ein erzeugt. Dieses ist im Bereich der Potenzrechnung im die Eins. Der Deinitionsbereich eines Terms wird immer au der abgetragen. Es ist darau zu achten, dass man nicht gegen ein der Mathematik verstößt: Nicht durch. Keine ziehen Der Logarithmus eistiert nur ür Zahlen. Der ist immer die y-achse. Diesen erhält man, in dem man den Term an den des Deinitionsbereichs untersucht. WS 0/ Torsten Schreiber 9

50 Vereinachen Sie die olgenden Ausdrücke mittels der Potenzgesetze. a y a b a a a 8a 9 b y n 5 n 0 n : n 6n n n n6 n Berechnen Sie olgende Ausdrücke und geben die Lösungsmenge an. 6 a 6 6 b 5 5 c 8 5 Geben Sie bei olgenden Funktionen den Deinitions- und Wertebereich an. I II g 7 5 WS 0/ Torsten Schreiber 50

51 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Wie wenden wir Operation und Gegenoperation sinnvoll an? Wie sehen die Graphen einacher Potenzunktionen aus? Was verstehen wir unter dem Deinitions- bzw. Wertebereich? Woür benötigt man den Logarithmus? Welche Arten von Logarithmen eistieren Deinition? Gesetze der Logarithmen-Rechnung. Wie kann man durch den Logarithmus au die Basis schließen? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 5

52 Im Bereich der Arithmetik wird durch Bildung der abhängigen Gegenoperation stets das neutrale Element erzeugt Multiplikation: und Addition: 0. Lineare Gleichung: Mittels einacher Gegenoperationen und den zugehörigen neutralen Elementen wird eine Gleichung nach der Unbekannten reigestellt Beispiel: : Potenzgleichung: Nach Überührung des Terms in einen reinen Potenzausdruck wird der Eponent mittels elementarer Umormungen zum neutralen Element umgewandelt. 8 6 ± Beispiel: WS 0/ 5 Torsten Schreiber

53 Achsensymmetrie Punktsymmetrie Ganzrationales Polynom Grad Ganzrationales Polynom Grad WS 0/ Torsten Schreiber 5

54 Achsensymmetrie Hyperbelunktion Punktsymmetrie Wurzelunktion WS 0/ Torsten Schreiber 5

55 Deinitionsbereich: Alle Zahlen, die in einem Ausdruck/ Term eingesetztwerden düren, werden mittels Mengeneigenschaten in Abhängigkeit der zugehörigen Variablen beschrieben. Ein Polynomvom Grade n ist stets ür alle reellen Zahlen deiniert. Eine Wurzel dar nun aus positiven Termen inkl. der NULL gezogen werden. Bei Brüchenist darau zu achten, dass der Nenner nicht NULL wird. Beispiel: ; D { R } g ; D R \ { } Wertebereich: Die Zahlen, die durch einen Ausdruck/ Term berechnet werden können, ergeben den Wertebereich einer Funktion y-achse. Mit geradem Eponenten können nicht alle reellen Zahlen abgebildet werden. Mit ungerademeponenten werden alle reellen Zahlen erreicht. Bei Brüchen/ Wurzeln muss au Ausnahmen geachtet werden Deinitionsbereich. Beispiel: { y R } ; W y g ; W R WS 0/ Torsten Schreiber 55 \ { 0}

56 Berechnen Sie olgende Ausdrücke und geben die Lösungsmenge an. 6 a 6 6 b 5 c Geben Sie bei olgenden Funktionen den Deinitions- und Wertebereich an. I II g 7 5 WS 0/ Torsten Schreiber 56

57 Der Logarithmus dient zur Berechnung eines variablen Ausdrucks im Eponenten. Es gilt: a b log b a logb log a 0er-Logarithmus: Ein Logarithmus ohne Angabe einer Basis ist immer zur Basis 0. Beispiel: log0.000 log 0 Logarithmus naturalis: Der Logarithmus zur Basis e ist der natürliche Logarithmus. Beispiel: 0 ln log,77 e log log0 ln log e Logarithmus dualis: Ein Logarithmus zur Basis nennt man dualis. 5 Beispiel: ld log 5 ld log WS 0/ Torsten Schreiber 57

58 LOG log log log 6 a log log log log 6 * : 8 log 8 log log log - WS 0/ Torsten Schreiber 58

59 Die zu einem Logarithmusausdruckzugehörige Gegenoperation ist stets ein Eponentialoperator, wodurch sich beide neutralisieren. Die Zusammenhänge ergeben sich wie olgt: log0 0 Ψ log Ψ Ψ ln e e Ω ln Ω Ω ld Θ ldθ Θ Augrund dieser Vereinachungen, muss die zugehörige Basis bzw. der Eponent im ersten Schritt mittels eponentieller/ logarithmischer Gesetze passend umgeormt werden. Beispiel: log 000 ln e ld6 0, log 0,5 e ln 8 ld log0 ln e ld 0 log e ln ld WS 0/ Torsten Schreiber 59

60 Vereinachen Sie olgende Ausdrücke soweit als möglich. log y log y log y log 5 y y ln ln ln ln ln a b c d 5 6 ld.000 log e ln 5 ln e log 00 ld 8 6 ld ln log e 0,ld 0 log ,0 6ln 6 e WS 0/ Torsten Schreiber 60

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62 Steht die Variable im Eponenten, so handelt es sich um eine. Möchte man nun nach dem Ausdruck im Eponenten aulösen, so nutzt man den. Je nachdem wie die vorhandene deiniert ist unterscheidet man: LD: Basis ist zwei LN: Logarithmus naturalis : 0er Logaithmus Wenn eine andere Basis vorhanden ist, so nutzt man den und setzt die benötigte Basis direkt ein. Die Gesetze der kann man aus der Hierarchie-Pyramide nach Schreiber entwickeln. Dabei ist darau zu achten, dass man sich von bewegt. Wenn z.b. ein Produkt aus Zahl und Logarithmus vorhanden ist, so wandert der vor dem Logarithmus in den des Terms der hinter dem Logarithmus steht. Treen bei einem Term der und die zugehörige Eponentialunktion mit gleicher aueinander, so eliminieren sich die Operation und Gegenoperation. Diese Tatsache nutzt man, in dem man die konvertiert. Dies geschieht im Wesentlichen dadurch, in dem Sie zuerst und danach die Logarithmengesetze anwenden. WS 0/ Torsten Schreiber 6

63 Vereinachen Sie olgende Ausdrücke soweit als möglich. log 00 e ln ld ld0,5 00 log ln e 0,5ld6 e ln 8 ld 6ln e ld6 log 000 e ln 7 e ln 9 00 log 6 ld log 0,00 ln e ld 56 WS 0/ Torsten Schreiber 6

64 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Wie lösen wir eine Logarithmengleichung? Wie nutzen wir das Operations-/ Gegenoperationsverahren? Welche Eigenschaten hat eine Logarithmusunktion? Welche Bedeutung hat die Umkehrunktion ür den Logarithmus? Wie bestimmt man den Deinitions- bzw. Wertebereich? Welche Verahren eistieren ür eine quadratische Gleichung? Was verstehen wir unter einer Parabel? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 6

65 I. Bestimmen Sie bei den olgenden Ausdrücken die Lösungsmenge. 8 9 log56 log 0,5 log,5 log9 log log ln ln ln ln 0,5 ln6 ln II. Berechnen Sie bei den olgenden Funktionen den Deinitions- und Wertebereich ln 8 g log h ln 5 WS 0/ Torsten Schreiber 65

66 Soern eine reine Logarithmengleichungeistiert kann man diese mit der olgenden Methodik lösen, wobei primäres Ziel eine Isolierung des Logarithmus au beiden Seiten der Gleichung ist: Methodik:. Die Faktoren vor dem Logarithmus in den Eponenten verschieben.. Alle positiven Terme über den Bruchstrich, alle negativen darunter schreiben.. Streichen der Logarithmen au beiden Seiten.. Lösen der Gleichung. Beispiel: log log log log log log log 8 8 log log 6 log 6 log log WS 0/ Torsten Schreiber 66

67 Positiver Logarithmus: Negativer Logarithmus: Ausschließlich positive Steigung Ausschließlich negative Steigung Gemeinsamer Punkt: /0 Je größer die Basis, desto lacher ab Je größer die Basis, desto steiler vor WS 0/ Torsten Schreiber 67

68 Deinitionsbereich: Wie man schon durch die Funktionsgraphen erkennen kann, dar man einen Logarithmus nur von positiven Zahlen ziehen. { R > } R D 0, da 0 > 0 log > 0 gilt. Beispiel: ln 5 6 y 5 6 > 0 D { R > < } Wertebereich: Augrund der Funktionsgraphen ist ersichtlich, dass ein Logarithmus alle reellen Werte annehmen kann. W y R > 0 0, da 0 > 0 gilt. Beispiel: ln 5 y ] ; [ R W y R WS 0/ Torsten Schreiber 68

69 I. Bestimmen Sie bei den olgenden Ausdrücken die Lösungsmenge. log log log 6 log 7 log log 6 6 ln 0,5 ln ln8,5 ln 8ln ln II. III. Berechnen Sie bei den olgenden Funktionen den Deinitions- und Wertebereich. ln g log 5 h 5 ld 6 Vereinachen Sie olgende Ausdrücke soweit als möglich. log 000 ln e 6 ld e ln log 0 ld log ln 5 5 ld 6 log 0 ln 0, ld e e 00 WS 0/ Torsten Schreiber 69

70 Eine quadratische Gleichung/ Funktion stellt graphisch gesehen immer eine Parabeldar p q 0. Um eine quadratische Gleichung lösen zu können, bringt man diese au die sogenannte Nullorm. Die Lösungen dieser Gleichung Schnittpunkte mit der -Achse erhält man durch die olgenden Lösungsverahren: Quadratische Ergänzung: a b 0 S a; b p-q-formel: / p ± p q Satz von Vieta: p q a b 0 WS 0/ Torsten Schreiber 70

71 Um die p-q-formel zu beweisen, nutzt man das Verahren der quadratischen Ergänzung au die allgemeine quadratische Gleichung der Form. Es ist darau zu achten, dass zum einen durch elementare Umormungen die NULL-Formder Gleichung entsteht und zum anderen kein Faktor vor dem autauchen dar. Beweis: 0 q p 0 q p 0 q p p Wurzel Halbierung Subraktion des Quadrats q p p q p ; p q p p ± / Augabe: Entwickeln Sie die Mitternachtsormel basierend au 0 c b a WS 0/ 7 Torsten Schreiber

72 ; 0 ± ± quadratische Ergänzung 0; p q / ± ± p-q-formel 0 0 Satz von Vieta WS 0/ Torsten Schreiber 7

73 Bei einer Parabel handelt es sich um die graphische Darstellung einer quadratischen Funktion. Die relevanten Punkte bzw. der Verlau kann bereits im Voreld näher bestimmt werden. Allgemeine Form: α β γ Verlau: gestreckt α > bzw. gestaucht α < nach oben geönet α > 0 bzw. nach unten α < 0 Achsenschnittpunkte: y-achse: S 0 / γ bzw. -Achse: 0 p-q-formel y Scheitelpunkt: Symmetrie: Scheitelpunktorm: α a b S a; b Tiepunkt α > 0 bzw. Hochpunkt α < 0 Achsensymmetrie α γ Sonst Symmetrie zur parallelen zum Scheitelpunkt WS 0/ Torsten Schreiber 7

74 Funktionsgleichung: 6 Verlau: Schnittpunkte: Scheitelpunkt: gestreckt, da α > nach unten geönet, daα < 0 S y 0;6 S : 0 8 S ;0; S ;0 8 8 Scheitelpunkt Hochpunkt: S;8 Symmetrie: Achsensymmetrie zur Parallelen durch WS 0/ Torsten Schreiber 7

75 n Eine Bi-Quadratische Gleichung p q 0 ist dann vorhanden, wenn zwei Eponenten im Verhältnis : stehen und eine weitere Konstante eistiert. Nach der Substitutionder Variablen stehen die bekannten Lösungsverahren zur Verügung und man erhält nach Resubstitution die Lösungsmenge. n Beispiel: Substitution: z z z 7 z 6 6 z z 6 z 0 Resubstitution: ± z / ± 6 ± / ± ± WS 0/ Torsten Schreiber 75

76 I. Bestimmen Sie bei den olgenden Ausdrücken die Lösungsmenge. 0,5 8 0,5 0 Wenden Sie je ein Verahren an II. Bestimmen Sie alle relevanten Eigenschaten der gegebenen Parabeln. 5 6 g h 00 Verlau Achsenschnittpunkte Scheitelpunkt Symmetrie III. Bestimmen Sie die Lösung olgender Bi-Quadratischen Gleichungen WS 0/ Torsten Schreiber 76

77 WS 0/ Torsten Schreiber 77

78 Handelt es sich um eine Logarithmengleichung, so muss man im ersten Schritt den bestimmen. Es ist dabei darau zu achten, dass der Ausdruck hinter dem Logarithmus immer sein muss. Bei der Lösung der Gleichung bringen Sie zuerst die vor dem Logarithmus weg, assen dann die Logarithmenterme zusammen und zum Schluss mittels der zugehörigen Gegenoperation den Logarithmus. Sollte in der Gleichung ein Ausdruck ohne Logarithmus vorhanden sein, so müssen wir au einer Seite der Gleichung alle stehen haben und au der anderen Seite alles ohne. Eine Logarithmenunktion kann durch ein Minus LOG an der -Achse gespiegelt werden. Durch Negierung des Terms dem Logarithmus wird die Funktion an der y-achse gespiegelt. Eine quadratische Funktion ist graisch gesehen immer eine und kann im Voreld bereits anhand des Verlaus, der mit den Achsen und der Symmetrie beschrieben werden. Jede Parabel ist immer zur zury-achse, die durch den Scheitelpunkt verläut, symmetrisch. Ist der Faktor vor dem, so ist die Parabel nach unten geönet und der Scheitelpunkt stellt einen dar. Zur Lösung einer quadratischen Gleichung nutzen wir eins der olgenden Verahren: Satz von Vieta Eine Gleichung kann mittels Substitution und anschließender zu einer reinen quadratischen Gleichung umgewandelt werden. WS 0/ Torsten Schreiber 78

79 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Warum sind Ungleichungen geährlich? FREPL-Methodik ür Ungleichungen. Woür ist eine Fallunterscheidung gut. Was versteht man unter einer Betragsunktion. Vorgehensmethodik bei Bruchungleichungen Ungleichungen eines Polynom vom Grade >. Wie sehen Ungleichungen graisch aus? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 79

80 I. Bestimmen Sie bei den olgenden Ausdrücken die Lösungsmenge Wenden Sie je ein Verahren an II. Bestimmen Sie alle relevanten Eigenschaten der gegebenen Parabeln. 8 5 g 0 Verlau Achsenschnittpunkte Scheitelpunkt Symmetrie III. Bestimmen Sie die Lösung olgender Bi-Quadratischen Gleichungen WS 0/ Torsten Schreiber 80

81 Beim Lösen einer beliebigen Gleichung kann abgesehen von der Fallunterscheidung F stets mit olgender Methodik gearbeitet werden: Fallunterscheidung: Je nach Augabenstellung muss deiniert werden, ür welchen Bereich die Betrachtung gilt. Rechnung: Die zugrundeliegende Gleichung wird mittels elementarer Umormungen gelöst. Ergebnis: Durch die Berechnungen ergeben sich eine oder auch mehrere Ergebnisse. Probe: Mittels Probe bzw. Abgleich mit dem Deinitionsbereich wird der Ergebnisraum untersucht. Lösung: Augrund er Probe kann nun die Lösungsmenge angegeben werden. WS 0/ Torsten Schreiber 8

82 Da es sich bei dem Betrag einer Zahl um die reine positivedarstellung handelt, wird sie graphisch als sogenannte V-Funktion dargestellt. Die Betragsstrichekönnen weggelassen werden, in dem man den negativen Bereich mit einem zusätzlichen Minus vor dem Term versieht. Beispiel: < Augrund der Knickstelle ist die Betragsunktionan der Schnittstelle mit der X-Achse nicht dierenzierbar, d.h. es kann keine Steigung berechnet werden. WS 0/ Torsten Schreiber 8

83 Ungleichungen, die au einer Betragsunktionbasieren, können auch mittels FREPL-Methodik gelöst werden. Beispiel: 8 > 6 > 8 > 6 8 > 6 Fallunterscheidung 8 > 6 > 7 > 8 > 6 < > Rechnung > 7 < > > 6 Ergebnis Probe L { R > 7 < } Lösung Durch Multiplikation / Division mit negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um. WS 0/ Torsten Schreiber 8

84 I. Skizzieren Sie olgende drei Betragsunktionen g 7 h cos II. Geben Sie den zugehörigen Lösungsbereich der olgenden Ungleichungen an. 5 < > 8 WS 0/ Torsten Schreiber 8

85 Ungleichungen, die au einem Bruchbasieren, können ebenalls mittels FREPL gelöst werden. Da ür gewöhnlich im ersten Rechenschritt mit dem Nenner multipliziert wird, muss an dieser Stelle die Fallunterscheidung genutzt werden, um die Multiplikation mit einem negativen Ausdruck mathematisch korrekt darstellen zu können. Beispiel: > Umkehrung des Ungleichheitszeichen > > < < Fallunterscheidung > 6 > < 6 < Rechnung > < Ergebnis 0 > > 5 8 Probe L { R > < } Lösung WS 0/ Torsten Schreiber 85

86 Handelt es sich um ein Polynom vom Grade >, so werden im ersten Schritt die Nullstellen der Gleichung bestimmt. Diese geundenen Ergebnisse repräsentieren die Intervallgrenzen der Ungleichung, wodurch mittels Probe einer Zahl aus dem Intervall die Lösungsmenge bestimmt werden kann REPL-Methodik. Beispiel: 0 8 > 0 Polynomdivision lieert: > 0 Rechnung ,5 5: < 0 0:0 0 0 > 0,5:,5,5,5 < 0 : > 0 { R > < > } L alsch richtig alsch richtig Ergebnis Probe Lösung WS 0/ Torsten Schreiber 86

87 I. Lösen Sie die olgenden Gleichungen und geben die Lösungsmenge an. 5 > 5 6 > 8 > 0 > WS 0/ Torsten Schreiber 87

88 WS 0/ Torsten Schreiber 88

89 Wenn wir von einer sprechen, dann handelt es sich um einen Vergleich von zwei Termen, die über eine größer/ kleiner Beziehung in Verbindung stehen. Wichtig ist, dass durch oder Division mit einer negativen Zahl das herumdreht. Im Allgemeinen erzeugen Sie immer zuerst die der Ungleichung und lösen anschließend nach au. Graisch wird dadurch ein Bereich gesucht, in dem die Funktion oberhalb oder unterhalb von der verläut. Als allgemeines Lösungsverahren ür Ungleichungen können wir die -Methode anwenden. Diese zerlegt sich in die olgenden Hauptpunkte: In der Probe setzen wir eine Zahl aus dem berechneten Intervall ein. Trit die Behauptung der Ungleichung zu, so ist das Intervall eine anderenalls scheidet der Bereich aus. Als besondere Ausdrücke haben wir die und die besprochen. Da der Betrag einer Zahl immer ist, muss hier eine Fallunterscheidung durchgeührt werden, um die Betragsstriche im negativen Bereich durch ein zu ersetzen. Da wir bei einer Bruchungleichung mit dem Nenner wollen, müssen wir auch hier den positiven und negativen Fall berücksichtigen, denn es könnte ich ja das umkehren. WS 0/ Torsten Schreiber 89

90 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Was verstehen wir unter einem Grenzwert? Was ist die Epsilon-Umgebung? Einache Methodik zur Grenzwertbestimmung. Welche speziellen Grenzwerte gibt es eemplarisch? Wie unktioniert die Regel von L Hospital? Wie können uns Linearaktoren helen? Was verstehen wir unter dem Dominazprinzip? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 90

91 I. Lösen Sie die olgenden Gleichungen und geben die Lösungsmenge an. Skizzieren Sie erner die Graphen und kennzeichnen Ihre Ergebnisse. 6 < 5 < 7 < 5 WS 0/ Torsten Schreiber 9

92 Wird der Grenzwert LIMES einer Funktion an eine deinierte Zahl angenähert und ist das entstehende Ergebnisinnerhalb einer kleinstmöglichen Umgebung konstant, so eistiert der Grenzwert und die Funktion konvergiertgegenteil: divergiert. Es wird unterschieden, ob man sich der Unendlichkeit oder einer Konstanten annähert: Unendlichkeit: Konstant: [ 0] lim e limln lim α n Annäherung Funktion Grenzwert Je nachdem von wo man sich einer Konstanten nähert wird dies durch ein /- im Eponenten der Annäherungszahl dargestellt Ladung von Ionen, gleiches gilt ür den erreichten Grenzwert. Vom Positiven rechts: lim n α Der Grenzwert wird von unten angesteuert Vom Negativen links: lim n α Der Grenzwert wird von oben angesteuert WS 0/ Torsten Schreiber 9

93 Da es verschiedene Möglichkeiten der Grenzwertbestimmung gibt, ist es wichtig die einachste eizienteste Regel zur Lösung der Augabe anzuwenden. Die im Folgenden beschriebenen Schritte haben sich bewährt:. Bekannte Zusammenhänge: Ist ein spezieller bzw. bekannter Grenzwert vorhanden? lim k sin 0 α lim lim α e lim lim q 0 0; q <. Faustregel: Trit Unendlichkeit / Null au eine Konstante? k lim Ausdruck 0 k lim Ausdruck 0 0 Konstant durch unendlich ist Null Konstant durch Null ist unendlich WS 0/ Torsten Schreiber 9

94 . Gebrochen-Rationaler Ausdruck: a Grad Zähler/m > Grad Nenner/n: b Grad Zähler/m < Grad Nenner/n: c Grad Zähler/m Grad Nenner/n: 5 5 lim 5 5 lim lim 7 5 lim 5 7 lim 5 7 lim Polynom vom Grade m / Polynom vom Grade n Grenzwert ist konstant Grenzwert ist Null Grenzwert ist unendlich Ausklammern des größten Potenzausdrucks Entstehende Nullolgen allen weg! WS 0/ 9 Torsten Schreiber

95 . Gebrochen-Rationaler Ausdruck: Polynom vom Grade m / Polynom vom Grade n k d unabhängig vom Grad des Zählers / Nenners: lim 6 0 lim lim Faktorisierung des Polynoms 0 Sollte nicht als erstes Zwischenergebnis heraus kommen, 0 greit die Fausregelormel unter Punkt. Kürzen des Linearaktors WS 0/ Torsten Schreiber 95

96 . Erweiterung: 5. Substitution: 8 6 lim lim lim lim Mittels.Binom erolgt die Vereinachung Ersetzung, um au einen bekannten Ausdruck zu kommen sin lim 0 0 sin lim 0 γ γ γ 0 : γ γ Substitution: WS 0/ 96 Torsten Schreiber

97 6. Regel von L Hospital: lim k g ' lim k g' Bei 0/0 geht man ins Krankenhaus sin lim 0 lim k [ sin ]' [ ] ' cos lim 0 7. Dominanzprinzip: Undendlich trit au Null: Der Stärkere gewinnt Mittels. Ableitung wird die Steigung ermittelt und augrund derer Klassiizierung die dominanten Funktion / Ausdruck bestimmt. 0 0 : lim e k : lim e e e : lim e 0 eponentiell Funktion ist stärker als Potenzunktion WS 0/ Torsten Schreiber 97

98 I. Geben Sie zu den olgenden Augaben den Grenzwert an. lim 0,5 lim 5 7 lim lim 8 e lim 6 ln lim WS 0/ Torsten Schreiber 98

99 WS 0/ Torsten Schreiber 99

100 Bei einem Grenzwert handelt es sich um einen an einer bestimmten Stelle oder in der Unendlichkeit. Dieser wird dadurch berechnet, dass wir die Funktion an der gegebenen Stelle untersuchen. Sie sollten natürlich den nur dort berechnen abgesehen von dem Verlau im Unendlichen -, wo die Funktion nicht deiniert ist. Wir sagen auch, dass wir den Ausdruck hinter dem Limes an den des Deinitionsbereich betrachten. Durch ein im Eponenten kann zum einen gesteuert werden, von wo wir uns einer Zahl nähern rechts/ links beziehungsweise von wo wir uns dem annähern oben / unten. Sollte es zu dem Fall Null dividiert durch Null kommen, haben Sie immer drei Möglichkeiten den Grenzwert zu berechnen: Sie Faktorisieren soweit als möglich und kürzen dann den raus. Sie erweitern den Bruch mit dem und können dann den Linearaktor kürzen. Sie wenden den Satz von an, bilden von Zähler und Nenner die erste Ableitung und berechnen dann erneut den Grenzwert. Durch das sogenannte wird erklärt, dass die stärkere Funktion immer den Grenzwert estlegt. Das sieben-schritte Rezept deiniert nicht nur die wesentlichen Rechnungen einer, sondern beschreibt auch die Methode, mit der wir mit rationalen Termen umgehen sollten. WS 0/ Torsten Schreiber 00

101 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Was ist eine Näherungsgerade? Wann haben wir eine behebbare Lücke? Wie erhalten wir eine diagonale Asymptote? Wie können wir einen Graphen zeichnen? Was bedeutet eine stetige Funktion? Wie beweist man die Dierenzierbarkeit? Wie zeigt man Punkt-/ Achsensymmetrie Kurvendiskussion? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 0

102 I. Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen an den Grenzen des Deinitionsbereichs, interpretieren Sie Ihre Ergebnisse, berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen und ertigen eine grobe Skizze an II. Geben Sie zu den olgenden Augaben den Grenzwert an. 8 lim 8 8 lim 5 9 sin lim 6 0 Berechnung au Arten! WS 0/ Torsten Schreiber 0

103 Eine Asymptote ist ein Näherungsgraph, an die sich die untersuchte Funktion unendlich nahe anschmiegt, d.h. der Abstand zwischen Funktion und Asymptote ist nahezu Null. Sie werden dadurch berechnet, in dem man die zugehörigen Grenzwerte an den Rändern des Deinitionsbereich bestimmt. Es unterscheiden sich augrund der Möglichkeiten bei der Grenzwertbetrachtung olgende Arten: Waagerechte Asymptote: Im Unendlichen nähert sich die Funktion einem konstanten Wert an. Senkrechte Asymptote: Bei Annäherung an eine Konstante verläut der Graph im Unendlichen. Diagonale Asymptote: Im Unendlich nähert sich die Funktion der Unendlichkeit an. Behebbare Lücke: Bei Annäherung an eine Konstante nähert sich der Graph einer Konstanten. lim k lim k lim lim k k WS 0/ Torsten Schreiber 0

104 Beispiel A: D R \ { ; ;} lim lim lim lim lim e 0 e Ersatzunktion lim 0 e lim - - lim 0 lim lim behebbare Lücke senkrechte Asymptote waagerechte Asymptote WS 0/ Torsten Schreiber 0

105 Funktionsgraph zu Beispiel A: Behebbare Lücke -/ Senkrechte Asymptote: - Behebbare Lücke /,5 Waagerechte Asymptote: y WS 0/ Torsten Schreiber 05

106 8 Beispiel B: D R \ { } lim 0 5 lim lim lim [ ] ; lim diagonale Asymptote Senkrechte Asymptote Achsen- Schnittpunkte WS 0/ Torsten Schreiber 06

107 Funktionsgraph zu Beispiel B: Senkrechte Asymptote: 0 / / 0 / 0 Diagonale Asymptote: y WS 0/ Torsten Schreiber 07

108 Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen an den Grenzen des Deinitionsbereichs, interpretieren Sie Ihre Ergebnisse, berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen und ertigen eine grobe Skizze an I WS 0/ 08 Torsten Schreiber

109 Eine Funktion wird über ihren Deinitionsbereichals stetigbezeichnet, soern man sie in einem durchzeichnen kann, d.h. man dar den Stit nicht vom Blatt nehmen, um die Funktion zeichnen zu können. Es gilt: lim α lim α α Daher ist eine Untersuchung u.a. primär bei olgenden Funktionen durchzuühren: Gesplittete Funktion Gauß-Funktion Abrundung Gebrochenen Funktionen Sgn-Funktion Vorzeichen WS 0/ Torsten Schreiber 09

110 Eine Funktion wird über ihren Deinitionsbereichals dierenzierbar bezeichnet, wenn Sie stetig ist undsoern man sie ohne Pause durchzeichnen kann, d.h. der Graph der Funktion dar keinerlei Ecken besitzen. Es gilt: lim α ' lim α ' ' α Daher ist eine Untersuchung u.a. primär bei olgenden Funktionen durchzuühren: Gesplittete Funktion Lineare Betragsunktion Gebrochenen Funktionen Trigonometrische Betragsunktion WS 0/ Torsten Schreiber 0

111 Gegeben sei die olgende gesplittete Funktion. Wie sind die Parameter a und b zu wählen, damit die Funktion stetig und dierenzierbar ist? stetig: dierenzierbar: R < b a b a, ; ; ; b b a a lim lim a b < ; ; ' b b b ' lim ' ' lim b a b a b b WS 0/ Torsten Schreiber

112 Durch die Parameter a und b, ist die Funktion stetig und dierenzierbar? Funktionsgraph: < ; ; b a WS 0/ Torsten Schreiber

113 Gegeben seien die olgenden gesplitteten Funktionen. Berechnen Sie die Parameter aund b, so dass die Funktion stetig und dierenzierbar sind und ertigen Sie eine Skizze der zugehörigen Graphen an. Untersuchen Sie die gegebene Funktion au Stetigkeit und Dierenzierbarkeit. R < a a ; ; ; R < b a a b a, ; ; ; > 9; ; WS 0/ Torsten Schreiber

114 WS 0/ Torsten Schreiber

115 Wenn Sie einen Grenzwert bestimmt haben, dann können Sie diesen auch darstellen und interpretieren. Das machen wir, in dem wir eine zeichnen, an der sich der Funktionsgraph beliebig nahe anschmiegt. Eine derartige Annäherung bezeichnen wir auch als. Es kann drei Arten von Asymptoten geben: Asymptote: Sie eistiert dann, wenn der Grenzwert gegen eine unendlich groß wird. Bei der rechts-beziehungsweise linksseitigen Näherung können wir diese Asymptote auch als mit oder ohne Vorzeichenwechsel bezeichnen. Asymptote: Ist der Grenzwert gegen eine konstante Zahl, so haben wir eine waagrechte Annäherung. Je nachdem was ür ein Vorzeichen der des Grenzwerts hat, nähern wir uns von oben oder unten der Asymptote. Asymptote: Wenn der Grenzwert gegen die Unendlichkeit wieder ist, so erhalten wir diese diagonale Annäherung. Die zugehörige Funktion berechnen wir durch eine bei der wir den entstehenden Restwert ignorieren. Für den Fall, dass bei der Grenzwertbestimmung gegen eine Konstante Zahl entsteht, dann können Sie den zugehörigen kürzen. Sie erhalten dadurch die Ersatzunktion und es entsteht graisch gesehen eine. Wenn Sie den Grenzwert mathematisch interpretieren möchten, dann ührt dies zu den beiden Eigenschaten die Funktion hat keine Sprungstellen und die Funktion hat keine Knickstellen. Der Beweis erolgt über den -und Grenzwert der Funktion bzw. der. WS 0/ Torsten Schreiber 5

116 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Was die Tangen- was die Sekantensteigung? Was ist der Dierenzenquotient? Was lieert uns die erste/ zweite Ableitung? Aus welchen Schritten besteht die Kurvendiskussion? Wie leitet man eine Potenz ab? Wann nutzen wir die Produktregel? Wie unktioniert die Quotientenregel? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 6

117 Ist eine gegebene Funktion au deren Deinitionsbereich stetigals auch dierenzierbar, kann u.a. mittels der Ableitungen deren Verlau näher beschrieben werden. Die olgenden Zusammenhänge sind bzgl. Funktion und Ableitung gültig: Ausgangsunktion: y-koordinate siehe Achsenschnittpunkte. Ableitung: Steigung Etremstellen. Ableitung: Krümmung Wendestellen Eine Kurvendiskussion besteht daher im Wesentlichen aus den olgenden Schritten:. Deinitions- und Wertebereich. Grenzwertbestimmung. Symmetrieverhalten Achsen-/ Punktsymmetrie. Achsenschnittpunkte -/ y-achse 5. Etremstellen Hoch-/ Tiepunkte 6. Wendestellen 7. Funktionsgraph WS 0/ Torsten Schreiber 7

118 WS 0/ Torsten Schreiber 8 Handelt es sich um ein ganzrationalespolynom, eine einache n-te Wurzel oder ein einaches hoch n im Nenner, so werden die Ableitungen mittels olgendem Gesetz gebildet: Im ersten Schritt muss der Ausdruck in einen reinen Potenzausdruck umgewandelt werden Ganzrationales Polynom: N-te Wurzel: Einacher Bruch: ' n n n α α ' 9 ' '

119 Bilden Sie zu den olgenden Funktionen die. und. Ableitung. Prüen Sie erner ob eine Achsen-/ Punktsymmetrie vorliegt. 6 0, WS 0/ Torsten Schreiber 9

120 Handelt es sich bei der abzuleitenden Funktion um ein Produkt, das aus mindestens zwei verschiedenen Funktionen besteht, ist die Produktregel anzuwenden. g h ' g' h g h' Es empiehlt sich die Funktionen des Produkts zuerst separatabzuleiten und anschließend die Formel mit den Zwischenergebnissen zu üllen. Beispiel: sin g sin h g ' cos h' ' cos sin WS 0/ Torsten Schreiber 0

121 WS 0/ Torsten Schreiber Handelt es sich bei der abzuleitenden Funktion um einen QutientenBruch, der aus mindestens zwei verschiedenen Funktionen besteht, ist die Qoutientenregel anzuwenden. Es empiehlt sich die Funktionen des Nenners bzw. des Zählers zuerst separatabzuleiten und anschließend die Formel mit den Zwischenergebnissen zu üllen. Beispiel: ' ' ' h h g h g h g cos cos g h cos sin ' sin ' g ' h

122 WS 0/ Torsten Schreiber Bilden Sie zu den olgenden Funktionen die. Ableitung und bestimmen jeweils den zugehörigen Deinitionsbereich. cos 5 sin 5 cos

123 Bestimmen Sie die beiden Parameter so, dass die Funktion überall stetig und dierenzierbar ist. a b ; ; a, b R 6a 0; < Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen olgender Funktionen. 5 a 5 b Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten und die Wendepunkte der olgenden Funktion. a 5 0 b 0,5 8 Bilden Sie die erste Ableitung der olgenden Funktionen. a cos b WS 0/ Torsten Schreiber

124 WS 0/ Torsten Schreiber

125 Die Steigung zwischen zwei Punkten bezeichnen wir auch als. Wir berechnen sie mit dem Grenzwert des. Die Ableitung einer erhalten wir, in dem wir den Eponenten nach vorne bringen und ihn anschließend um eins. Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, dann brauchen wir die und ür eine Division die. Die einer Funktion berechnen Sie, in dem Sie die erste Ableitung gleich Null setzen. Die Überprüung erolgt dann entweder, in dem Sie Werte von der Etremstelle einsetzen und den Monotonieverlauinterpretieren oder durch in die zweite Ableitung. Ist die zweite Ableitung größer Null, dann haben wir einen. Einen haben wir demzuolge dann, wenn die zweite Ableitung kleiner ist als Null. Mit der zweiten Ableitung kann zusätzlich noch die einer Funktion berechnet werden. In ihr ändert die Funktion ihr Krümmungsverhalten. WS 0/ Torsten Schreiber 5

126 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Was versteht man unter den Additionstheoremen? Welche Symmetrieeigenschaten besitzen Sinus und Cosinus? Wie verändert man die Periode? Was ist eine Phasenverschiebung? Wie können Sie eine trigonometrische Funktion skizzieren? Wie unktioniert die Kettenregel? Was sind höhere Funktionen Kondomunktionen? Augaben und Übungen zu den benannten Themen. WS 0/ Torsten Schreiber 6

127 I. Bilden Sie zu den olgenden Funktionen die. und. Ableitung. h ln k ,5 cos l e II. Bestimmen Sie zu der gegebenen Funktion die Gleichung der Wendetangenten WS 0/ Torsten Schreiber 7

128 Für die Sinus/ Cosinus-Funktion sind im Bereich der Addition der Argumente zwei Additionstheoremedeiniert, wodurch stets bei rechtwinkliger Konstellation entweder ein Sinus oder ein Cosinus aus der Funktion enternt werden kann. sin a ± b sin a cos b ± sin b cos a π sin π sin π π sin cos sin cos sin 0 cos cos 90 Phasenverschiebung der Sinusunktion Cosinusunktion cos a ± b cos a cos b m sin a sin b cos π cos π cos π cos sin π sin 0cos sin sin 70 Phasenverschiebung der Cosinusunktion -Sinusunktion WS 0/ Torsten Schreiber 8

129 Eine rein trigonometrische Funktion sinus/ cosinus stellt eine Schwingung innerhalb einer bestimmbaren Periodeund eines konstanten Wertebereichs dar, die ür alle reellen Zahlen deiniert ist. a sin b c d Die vier Parameter in der Funktion beziehen sich zum einen au die Verschiebung und zum anderen au die Streckung/ Stauchung in der -Achsen bzw. y-achsen-richtung: a: Amplitudenaktor Streckung/Stauchung in y-achsen-richtung b: Periodenaktor Streckung/Stauchung in -Achsen-Richtung c: Phasenverschiebung Verschiebung in -Achsen-Richtung d: Wertebereichverschiebung Verschiebung in y-achsen-richtung Symmetrie: SIN: Punktsymmetrie sin sin COS: Achsensymmetrie cos cos Bei dem Periodenaktor gilt ür die neue Periode: P NEU P ALT b WS 0/ Torsten Schreiber 9

130 Anhand der olgenden Viereldertaelkönnen die grundlegenden Eigenschaten einer trigonometrischen Funktion direkt abgelesen werden. Es wird dabei davon ausgegangen, dass es sich um eine Standardunktion in der Form oder handelt. Viereldertael $% & 0; 0; ; ; WS 0/ Torsten Schreiber 0

131 WS 0/ Torsten Schreiber Beispiel: Vereinachung: Wertebereich: Periode: sin π sin cos sin cos sin π π [ ] [ ] [ ] ;7 ; ; y W π π π P NEU sin cos 0 sin cos sin cos sin sin sin π π π π

132 Beispiel: Symmetrie: Skizze: sin [ ] Punktsymmetrie sin sin [ ] sin sin WS 0/ Torsten Schreiber

133 Vereinachen Sie die olgenden Funktionen mittels der Additionstheoreme und bestimmen Sie den Wertebereich, das Symmetrieverhalten und ertigen Sie eine Skizze an. sin 5π 5 g sin π 5 h [ cos π ] k 5 cos π WS 0/ Torsten Schreiber

134 Soern die Ableitung von einer höherwertigen Funktion gebildet werden soll, muss die Kettenregel angewandt werden. Diese besagt, dass man mit der äußersten Ableitung beginnt und sich anschließend mittels Produkt Stück ür Stück via Ableitungen zu der innersten Funktion nähert. Beispiel: [ ] [ ] ' ' ' h h g h g [ ] [ ] cos ' cos ' cos ' sin e e e e e e e [ ] cos sin α α [ ] α α e e [ ] n n n α α WS 0/ Torsten Schreiber

135 Eine Kondom-Funktionhöherwertige Funktion ist dann vorhanden, wenn eine Funktion über eine andere Funktion gestülpt wird. siehe Kettenregel. Potenzunktion: Trigonometrieunktion: [ ] [ ] ' ' g g n g n n [ ] ' [ ] ' cos ' sin g g g [ ] cos0,5 0,5 cos0,5 ' sin0,5 [ ] ' sin ' cos g g g [ ] sin sin ' cos WS 0/ 5 Torsten Schreiber

136 Logartihmusunktion: ln g ' lncos ' cos g' g cos [ cos ] sin tan Eponentialunktion: e g ' e g g' e ' e [ ] e Diese vier Funktionsklassen repräsentieren nahezu alle höherwertige Funktionen, wobei auch bei einer Verschachtelung von mehrerer dieser Funktionen immer die Kettenregel anzuwenden ist. WS 0/ Torsten Schreiber 6