2. Aufgabensammlung (1. Teil) 1.1 Gegeben ist die Funktion f (x) 2x 2

Transkript

1 Hinweise zum hilfsmittelfreien Test 0 (. Teil). Vorwort In Vorbereitung auf die Implementation des weiterentwickelten Lehrplans in Mathematik und auf die geplante Einführung von Computeralgebrasstemen (CAS) an Gmnasien, beruflichen Gmnasien, Spezialgmnasien, Kollegs und Gesamtschulen soll ein neuer hilfsmittelfreier Test (ohimi-test) im zweiten Kurshalbjahr der Qualifikationsphase geschrieben werden. Der neue ohimi-test wird erstmals in der Woche vom und in allen weiteren Jahren jeweils im Mai durchgeführt. Inhaltlich orientiert sich der Test an den Zielen und inhaltlichen Orientierungen für die Qualifikationsphase der gmnasialen Oberstufe (009), am Thüringer Lehrplan für das Gmnasium (999) und an den Nationalen Bildungsstandards. Die kompetenzorientierten Aufgaben des Tests sowie der Aufgabensammlung (Siehe.) sollen das Niveau des geplanten hilfsmittelfreien Teils im Abitur 04, welcher die Lehrplaninhalte der gesamten gmnasialen Oberstufe umfasst, widerspiegeln. Mit dem neuen ohimi-test werden mathematische Grundkenntnisse bis zur 0. Klasse, schwerpunktmäßig die allgemeinen mathematischen Kompetenzen (K K6) und die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen aus dem Lernbereich Analsis der Klassenstufe überprüft. Die nachfolgende Aufgabensammlung (Siehe.) dient der inhaltlichen Orientierung für den Test. Um eine Vielzahl von Übungsmöglichkeiten anzubieten, sind die vorliegenden Aufgaben stärker strukturiert als die Teilaufgaben im ohimi-test. Die Anzahl der Aufgaben im Test ist der Arbeitszeit (40 Minuten) entsprechend angepasst. Die Korrektur und die Rückmeldung der Ergebnisse an die Fachberater 4 erfolgen durch die Mathematiklehrer. Eine Nutzung der Ergebnisse zur Leistungsbewertung obliegt der jeweiligen Schule. Die Auswertung der Rückmeldungen wird durch die Fachberater Mathematik der Gmnasien durchgeführt. Für den Test sind keine Hilfsmittel außer einem Zeichendreieck o. Ä. zugelassen. Die Benutzung eines Taschenrechners und des Tafelwerks sind nicht erlaubt! Zusätzliche Übungsangebote sind z. B.: D. Brandt/G. Reinelt: LS Gesamtband Oberstufe mit CAS, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 007, S. 44, S. 74, S. 0, S. 78, S. 6. H. Bossek/R. Heinrich (Hrsg.): Lehrbuch Analsis Gmnasiale Oberstufe, Duden Paetec Schulbuchverlag, Berlin, 006, S. 68 ff., S. 90 ff. H. Griesel/A. Gundlach/H. Postel/F. Suhr (Hrsg.): Elemente der Mathematik, Schroedel, Braunschweig, 006. (innerhalb der Übungsaufgaben) (Prüfungsaufgaben von Mecklenburg Vorpommern) (Prüfungsaufgaben von Sachsen). Aufgabensammlung (. Teil). Gegeben ist die Funktion f () mit R. Vgl. Sekretariat der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der BRD (Hrsg.) (004 b): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den mittleren Schulabschluss Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4..00, München, Wolters, Kluwer. Vgl. Ziele und inhaltliche Orientierungen für die Qualifikationsphase der gmnasialen Oberstufe in Mathematik, S. 9 f. Ebenda S. 0/. 4 Personenbezeichnungen stehen für beide Geschlechter.

2 Zeigen Sie, dass f () 8 gilt! b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion! c) Ermitteln Sie die Gleichungen derjenigen Tangenten an den Graphen der Funktion f, die parallel zur Geraden verlaufen! d) Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt ;4 R. Geben Sie den Funktionswert an der Stelle an! e) Berechnen Sie die Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der -Achse im. Quadranten vollständig begrenzt wird! f) Die Punkte 0;0 O P u;0 und Qu;f (u) bilden ein Dreieck 0 u. Ermitteln Sie u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maimal wird! g) Überprüfen Sie, ob die Gerade g mit g() den Graphen der Funktion f berührt!. Gegeben sind die Funktionen () a mit R; a R; a 0 f a. Untersuchen Sie, ob es eine Zahl a gibt, für die die Funktion f a () im Koordinatenursprung den Anstieg m hat! b) Geben Sie für a 0 ohne weitere Rechnung die möglichen Etremstellen der Stammfunktion F a von fa an! c) Begründen Sie, dass die Wendestellen von F a () von a unabhängig sind!. Gegeben ist die Funktion f mit f (). Geben Sie den Definitionsbereich der Funktion f an! b) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen! c) Zeigen Sie, dass gilt! d) Geben Sie die Gleichungen aller Asmptoten an! e) Skizzieren Sie mit Hilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse den Verlauf des Graphen von f in einem geeigneten Intervall! gilt! f) Begründen Sie, dass näherungsweise f () d. Eine Firma verkauft monatlich 4000 Stück eines Produktes zum Stückpreis von 0. Es wurde festgestellt, dass sich der durchschnittliche monatliche Absatz bei jeder Stückpreissenkung von einem Euro um jeweils 50 Stück erhöhen würde. Ermitteln Sie den Stückpreis, für den die monatlichen Einnahmen am größten sind!

3 4. Es soll eine zlinderförmige Blechdose ohne Deckel mit dem Rauminhalt V 8 Liter hergestellt werden. Bestimmen Sie Durchmesser und Höhe der Dose so, dass die gesamte Schweißnaht (Bodenrand und eine Mantellinie) minimal wird! 5. Bilden Sie jeweils die erste Ableitung folgender Funktionen! 7 f () b) f (z) 5 z z c) h() 4 d) f () 4 6. Eine Funktion f besitzt die dargestellten Ableitungsfunktionen f und f. Verwenden Sie die graphische Darstellung zur Beantwortung folgender Fragen! Bestimmen Sie die lokalen Etremstellen und Wendestellen von f! Begründen Sie Ihre Antworten! b) Geben Sie ein Intervall an, in dem f monoton steigend ist! c) Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf der Funktion f! f f 7. Berechnen Sie folgende Integrale! b) d c) 7 6 4d d 8. Gegeben ist die Funktion f mit f () 4. Ermitteln Sie diejenige Stammfunktion F von f, die an der Stelle 0 den Funktionswert 5, 5 besitzt! b) Bestimmen Sie den Anstieg dieser Stammfunktion an der Stelle 0!

4 9. In einem Eperiment wird das Wachstum einer Bakterienart untersucht. Die Masse der Bakterien beträgt mg. In 5 Minuten wächst sie um 50 %. Berechnen Sie die Masse der Bakterien nach 0 Minuten! b) Entscheiden Sie, ob sich die Masse nach einer Stunde verfünffacht! Begründen Sie Ihre Entscheidung! c) Geben Sie eine Funktionsgleichung für die Masse nach n Stunden an! 0. Eine ideale Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Wurf für das Ereignis A an! A: Es tritt Wappen und keine Sechs ein. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für drei nacheinander ausgeführte Würfe! B: Bei allen drei Würfen zeigt die Münze Wappen. C: Bei allen drei Würfen zeigt der Würfel eine ungerade Zahl.. Etwa 8 einer Bevölkerungsgruppe sind Linkshänder. Von dieser Bevölkerungsgruppe werden sechs Personen zufällig ausgewählt. Entwickeln Sie einen Lösungsansatz für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine dieser Personen Linkshänder ist!. Die Länge eines Rechtecks wird um 0 % verkleinert, die Breite um 0 % vergrößert. Ermitteln Sie, wie sich der Flächeninhalt des Rechtecks verändert!. Skizzieren Sie den Graphen einer gebrochen rationalen Funktion f mit folgenden Eigenschaften und geben Sie einen möglichen Funktionsterm an! Eine Polstelle von f ist. Eine Nullstelle von f ist. lim f ()

5 Lösungshinweise zur Aufgabensammlung (. Teil). f () ( ) ( ) Nachweis b) 0 c) t t : : 4 4 d) 4 e) 8 FE f) u g) 5 f und g berühren sich im Punkt P ; 4. () a ( ) ( ) f a a 4 b) 0; ; c) 4 0 von a unabhängig, also 4. f () R, S 0;0, S ;0, b) S 0;0 c) Nachweis d) senkrechte Asmptote: Parallele zur -Achse durch schräge Asmptote: e) Skizze 5-5 O 5 f) Begründung -5

6 . E() Bei einem Stückpreis von 8 und einer Stückzahl von 4500 ist der Gewinn am größten Für d dm und h dm ist die Schweißnaht minimal. 5. Ableitungen 4 f () 6 b) 5 f (z) z f () 6 4 c) d) f () ; 5; jeweils Nullstellen von f und f E E w b) z. B.: 5 c) Skizze (z. B. Graph der Funktion f () ² 5 ) O Integrale 4 4 b) c)

7 8. f () 4 4 F() 7 b) 9. 7 mg b) ja, 6 mg c) f (n) 8 6 n 0. b) 5 P(A) P(B), P(B) 8 P(C) P(C) 8. P(L) 7 P(0) 8 6. A 0,9 A Der Flächeninhalt wird kleiner.. Skizze (z B. Graph der Funktion f () O 5-5