Grundkurs Mathematik Analysis Funktionsuntersuchungen

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1 Grundkurs Mathematik Analysis Funktionsuntersuchungen

2 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite Inhalt 1. Zeichnerisches Differenzieren. Berechnung der Steigung in einem Punkt 4. Formel für die Ableitung, die Ableitungsfunktion 6 4. Die Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x n 8 5. Die Ableitung zusammengesetzter Funktionen 9 6. Übungen zum Bilden der Ableitung 9 7. Markante Punkte im Graph, Steigen, Fallen und Krümmung Die Ableitungskurve 1 9. Ableitung und Monotonie: Der globale Monotoniesatz Ableitung und markante Punkte a. Relative Extrema und Bedingungen b. Wendepunkte und Bedingungen Eine ausführliche Funktionsuntersuchung 7 1. Fernverhalten 0 1. Grad der Funktion und Anzahl markanter Punkte Funktionstypen. Grades und 4. Grades 15. Aufgaben (Parameter, Extremwert, Funktionenscharen) 4

3 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite Ausgangsfrage der Analysis: Wie kann bei krummlinigen Graphen die Steigung gemessen werden? Problembeschreibung: - Die Steigung bei krummlinigen Graphen ist nicht konstant. - Es gibt also nicht die (eine)steigung des gesamten Graphen wie bei den linearen Funktionen. - Es kann also nur für jeden Punkt des Graphen eine eigene Steigung geben. - In einem einzelnen Punkt kann aber keine eindeutige Gerade gezeichnet werden. 1. Zeichnerisches Differenzieren Definition Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. Damit ist die Steigung einer Kurve in einem Punkt auf die Steigung einer bestimmten zu diesem Punkt gehörenden Gerade zurückgeführt. Anmerkung: Wie bei Geraden gilt nun auch: - Geht ein Graph im Punkt P bergauf, so ist Tangente und damit der Graph dort steigend. - Geht ein Graph im Punkt P bergab, so ist Tangente und damit der Graph dort fallend. - Ist die Tangente in einem Punkt waagerecht, so ist die Steigung dort 0. Beispiel Bestimmung der Steigung eines Graphen in einem Punkt P. Die Tangente wird nach Augenmaß möglichst genau an den Graphen im Punkt P(/1) gezeichnet. Aus dem Steigungsdreieck PAB liest man dann die Steigung m der der Tangente und damit die Steigung des Graphen im Punkt P ab. m=. Allgemeines Vorgehen beim zeichnerischen Differenzieren: 1. Man zeichnet die Tangente an den Graphen im Punkt P, d. h. eine Gerade, die sich in P an den Graphen möglichst gut anschmiegt.. Man bestimmt die Steigung der Tangente, z. B. mit Hilfe eines geeigneten Steigungsdreieckes

4 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 4. Berechnung der Steigung in einem Punkt Das zeichnerische Differenzieren wird nun durch ein rechnerisches Verfahren zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt präzisiert. Dazu betrachten wir das folgende Beispiel: Berechnung der Steigung im Punkt P(1/1) der Normalparabel f x x 1. Man wählt eine Folge von Punkten P 1 (/4), P (1,5/,5), P (1,/1,69) usw., die auf G f liegen und immer näher (beliebig nahe) an den Punkt P heranrücken. Durch P und einen weiteren Punkt wird jeweils eine Gerade, also eine Sekante, gezeichnet.. Die Steigungen m dieser Sekanten werden nun mit der Steigungsformel berechnet: y y1 m = x x a. b. 1 m PP 1 = m PP = 4 1 = 1,5 1 1,5 = =,5 1,5 1 0, 5 e. f. d. m PP 4 = m PP 5 = 1,44 1 1, 1 1,1 1 1,1 1 = = 0,44 =, 0, 0,1 0,1 1, ,105 m PP 6 = = 1,05 1 0, 05 g. usw =,1 =,05 c. m PP = 1,69 1 1, 1 = 0,69 =, 0,

5 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 5. Man sieht nun: Je näher der zweite Punkt an den Punkt P heranrückt, desto näher liegt der Wert der berechneten Steigung m bei der Zahl. 4. Um diesen Sachverhalt allgemein zu untersuchen, berechnen wir die Sekantensteigung mit Hilfe des Differenzenquotienten: Verläuft die Sekante durch P(1/1) und P x (x /x ) (x 1), so muss man rechnen: y y1 f (x) f (1) x m PP x = = = 1, für x 1. Setzt man für die Differenz x x 1 = x x1 x 1 x 1 h, so ergibt sich der Term y y1 f (1 + h) f (1) (1 + h) m PP x = = = 1, für h 0. x x h h 1 ACHTUNG: In diese Formel kann für x nicht 1 eingesetzt werden, bzw. für h nicht 0 eingesetzt werden, da dann durch 0 dividiert würde. Wäre x=1, dann wäre der zweite Punkt gleich dem ersten und es könnte keine Gerade mehr festgelegt werden, also auch keine Steigung mehr berechnet werden. 5. Man kann genau erkennen, welchem Wert der Term sich nähert, wenn man immer näher an den Punkt P(1/1) heranrückt. Das macht die folgende Rechnung deutlich: (1 h) 1 m PP x = + (1 + h + h ) 1 h + h h ( + h) = = = = +h für h 0. h h h h Da der Nenner in diesem Term weggekürzt werden konnte, verstellt er nicht mehr den Blick dafür, was passiert, wenn h immer näher bei 0 liegt. Je näher h bei 0 liegt, desto näher liegt m bei. 6. Man legt nun fest: Die Zahl beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt P(1/1) und beschreibt damit die Steigung des Graphen im Punkt P.. PPx 7. Die auf diese Weise rechnerisch bestimmte Steigungszahl erhält nun noch einen Namen und eine Bezeichnung: Die Steigung von f an der Stelle 1 heißt (die erste) Ableitung von f an der Stelle 1 und man schreibt dafür kurz f (1) [lies: f Strich von 1]. Wir fassen zusammen: Definition Die Steigung f (1) der Funktion f: x x im Punkt P(1/1) [an der Stelle 1] ist diejenige Zahl, der sich die Sekantensteigungen eindeutig nähern und wird kurz mit f (1) bezeichnet. Bemerkungen: 1. Mit 1. bis 7. ist eine allgemeine Methode beschrieben, wie man die Steigung eines krummlinigen Graphen in einem Punkt berechnen kann.. Die Punke P 1, P usw. können auch links von P liegen. Man erhält denselben Grenzwert der Sekantensteigungen, weil sich die Rechnung nicht ändern würde.. Kann für eine Stelle a ŒD f (a) berechnet werden, so sagt man f ist differenzierbar an der Stelle a. Aufgabe 1 Bestimmen Sie genau so (Schritte 1 bis 7 von oben!) die Steigung von f(x) = x an den Stellen x = 1, x = -, und x = +.

6 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 6. Formel für die Ableitung, die Ableitungsfunktion Da die Berechnung für die Ableitung immer nach demselben Schema verläuft, kann die Berechnung durch eine Formel abgekürzt werden. Wir betrachten dazu den allgemeinen Fall: Gegeben ist die Normalparabel f: x x und der allgemeine Punkt P (a /y). Wir berechnen die Näherung für die Tangentensteigung: m (a + h) h a = (a + ah + h h ) a = ah + h h h (a + h) = h = a+h (h 0) Dabei ist wieder h eine Zahl nahe 0. Je näher h an Null liegt, desto genauer liefert m die Steigung des Graphen an der Stelle a. Man sieht, dass nur die Zahl a als Steigung in Frage kommt und legt daher fest: f (a) = a Mit der Formel f (a) = a kann nun die Steigung der Normalparabel in jedem beliebigen Punkt des Graphen berechnen, ohne dass jedes Mal der Differenzenquotient neu gebildet werden muss. Es ist f (1) =, f () = 4, f (-1) = -, f (-) = - 6, f (5) = 10. Mit f (a) = a ist auch der Term für eine neue Funktion f (x) = x definiert. Ihr Graph heißt der Ableitungsgraph und wird mit G f bezeichnet. Zusammenfassung: Gegeben ist die Normalparabel f: x x. - Der Ableitungsgraph G f ist durch f (x) = x gegeben. - Die Funktion f heißt die erste Ableitung von f. - Mit Hilfe von f (x) kann man die Steigung von f an jeder Stelle x, also in jedem Punkt P(x/y) berechnen. Aufgabe Bestimmen Sie mit Hilfe der Ableitung: f ( -) = f (-4) = f (5) = f (-8) = f (1) = f (b) =

7 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 7 Graphische Veranschaulichung: Aufgabe a) Zeichen Sie in das obige Bild die Tangente an den Graph von f an der Stelle x = -1 ein. b) Beschreiben Sie die Besonderheit der Parabel und der Ableitungsfunktion an der Stelle x=0!

8 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 8 4. Die Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x n Das Pascalsches Dreieck und Binome Es gilt der folgende Zusammenhang: Das Pascal sche Dreieck Binome 1 (x+h) 0 = (x+h) 1 = x + h 1 1 (x+h) = x + xh + h 1 1 (x+h) = x + x h + xh + h (x+h) 4 = x 4 + 4x h + 6x h +4xh + h (x+h) 5 = x 5 + 5x 4 h + 10x h + 10x h + 5xh 4 + h (x+h) 6 = Aufgabe 4 : Ergänzen Sie die letzte Zeile entsprechend! Die Überlegungen zur Ableitung der Normalparabel können mit Hilfe des Pascal schen Dreiecks auf alle Potenzfunktionen übertragen werden: Zum Beispiel f(x) = x Man berechnet die Steigung von f an der Stelle a, indem wieder so vorgeht: f (a + h) f (a) m h = a + ah +h = (a + h) h a = (a + a h + ah h + h ) a = a h + ah h + h Dabei ist wieder h eine Zahl nahe 0. Je näher h an Null liegt, desto genauer liefert m die Steigung des Graphen an der Stelle a. Man sieht, dass nur die Zahl a als Steigung in Frage kommt und legt daher als Ableitungsfunktion fest: f (x) = x. Aufgabe 5 Führen Sie dieselbe Berechnung durch für f(x) = x 4 f(x) = x 5 f(x) = x Trägt man die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen, so erkennt man leicht eine allgemeine Formel: f(x) x x x x 4 x 5 x n f (x) 1 x x 4x 5x 4 Aufgabe 6 Ergänzen Sie die allgemeine Ableitungsregel in der Tabelle! Aufgabe 7 Ergänzen Sie die Tabelle: f(x) x 4 x 10 x 7 x -1 x k f (x)

9 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 9 5. Die Ableitung zusammengesetzter Funktionen Die Faktorregel: Aufgabe 8 Bestimmen Sie mit Hilfe der Sekantensteigungen (siehe oben Schritte 1 bis 7!) jeweils die Ableitungsfunktion a) f(x) = x ; b) f(x) = - x c) f(x) = x ; d) f(x) = -x 4 e) Bestätigen Sie die Regel: Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten. Die Summenregel: Aufgabe 9 Bestimmen Sie mit Hilfe der Sekantensteigungen (siehe oben Schritte 1 bis 7!) jeweils die Ableitungsfunktion a) f(x) = x + x; b) f(x) = x + x c) f(x) = x 4 x e) Bestätigen Sie die Regel: Summen werden summandenweise abgeleitet. 6. Übungen zum Bilden der Ableitung Mit Hilfe der genannten Regeln läßt sich für eine Vielzahl von Funktionen die Ableitzung bilden und damit die Steigung des Graphen in beliebigen Punkten ermitteln. Aufgabe 10 Bestimmen Sie jeweils direkt die Ableitungsfunktion: a) f (x) = x 4 + x + x + b) f (x) = x 4 - x + 1 f (x) = f (x) = c) f (x) = -x x + x + x d) f (x) = x x 5 + x f (x) = f (x) = e) f (x) = x - a x + x + a, a Œ R f) f (x) =, 4 x 4 b ; b ŒR 4 f (x) = f (x) = Aufgabe 11 Bestimmen Sie jeweils die Steigung des zu f gehörenden Graphen in den Punkten P 1 (1/y), P (/y), P (-1/y) und P 4 (-/y) a) f(x) = x + x b) f(x) = 1 x x f (x) = f (x) = f (1) = f (1) = f () = f () = f (-1) = f (-1) = f (-) = f (-) =

10 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 10 Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f: x 1 x + x a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion. b) Bestimmen Sie die Ableitung und berechnen Sie die Nullstellen der Ableitung Skizzieren Sie anschließend den Ableitungsgraph. c) Skizzieren Sie qualitativ G f! Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f: x - x - x Gehen Sie wie in Aufgabe 5 vor und skizzieren G f 1 Aufgabe 14 Gegeben ist die Funktion f: x x - x 4 Berechnen Sie Nullstelle der Tangente an den Graph im Punkt P(/y). Überprüfen sie ihr Ergebnis mit Hilfe einer qualitativen Skizze! 7. Markante Punkte im Graph, Steigen, Fallen und Krümmung Der Verlauf eines Funktionsgraphen ist durch markante Punkte, Steigen, Fallen und Krümmung gekennzeichnet. Zur Beschreibung der Krümmung stellen wir uns vor, dass der Graph eine Straße darstellt, die wir von links nach rechts befahren. Befinden wir uns dabei in einer Rechtskurve, so ist der Graph rechtsgekrümmt, befinden wir uns in einer Linkskurve, so ist der Graph linksgekrümmt. Aufgabe 15 Beschreiben Sie möglichst präzise mit Worten die markierten Punkte und ergänzen Sie die folgenden Sätze! a) einen Hochpunkt erkennt man daran, dass... b) einen Tiefpunkt erkennt man daran, dass... c) einen Wendepunkt erkennt man daran, dass... d) einen Sattelpunkt erkennt man daran, dass.

11 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite Aufgabe 16 Zeichnen Sie jeweils einen Graphen! a) mit einem Sattelpunkt und einem Hochpunkt. b) mit einem Wendepunkt, einem Sattelpunkt und einem Tiefpunkt. Aufgabe 17 Geht das? Probieren sie aus!! a) Ein durchgezeichneter Funktionsgraph hat zwei Hochpunkte und keinen Wendepunkt. b) Ein durchgezeichneter Funktionsgraph hat einen Hochpunkt, einen Tiefpunkt und einen Sattelpunkt. c) Ein durchgezeichneter Funktionsgraph hat zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt. d) Ein durchgezeichneter Funktionsgraph hat einen Hochpunkte, einen Tiefpunkt und keinen Wendepunkt. Aufgabe 18 Markieren und benennen Sie in den folgenden Graphen alle markanten Punkte! a) b)

12 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 1 8. Die Ableitungskurve Kann man zu einer Funktion die Ableitung berechnen, so gehört dazu auch ein Ableitungsgraph. Trägt man nun die Steigungswerte an denselben Stellen (x-werten) in ein (genau darunterliegendes) Koordinatensystem ein, so erhält man den zur Funktion f gehörenden Ableitungsgraphen G f Zur Konstruktion des Ableitungsgraphen verwendet man am Besten markante Punkte und verbindet diese sinngemäß. Beispiel:

13 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 1 Aufgabe 19 Zeichnen Sie jeweils den zum Funktionsgraphen gehörenden Ableitungsgraphen in das darunter liegende Koordinatensystem! a) Funktionsgraph G f Ableitungsgraph G f

14 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 14 b) Funktionsgraph G f Ableitungsgraph G f

15 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 15 c) Funktionsgraph G f Ableitungsgraph G f

16 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 16 d) Funktionsgraph G f Ableitungsgraph G f

17 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 17 Aufgabe 0 Kurvenmemory Gegeben sind jeweils Ausschnitte aus einem Funktionsgraphen G f und aus einem Ableitungsgraphen Funktionsgraph G f. Welche Ausschnitte gehören zusammen? Ausschnitte aus einem Funktionsgraph G f : f 1 f f f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 zugehörige Ausschnitte aus einem Ableitungsgraph G f : f 1 f f f 4 f 5 f 6 f 7 f 8

18 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 18 Aufgabe 1 Verkehrsdichte An einer bestimmten Stelle der Autobahn wird den ganzen Tag über registriert, wie viele Autos von Tagesbeginn an bis zu der Zeit t die Autobahn passiert haben. Das Schaubild gibt qualitativ die registrierten Zahlen wieder. a) Warum beginnt der Graph im Ursprung? b) Warum hat der Graph weder Hoch- noch Tiefpunkt? c) Wie kann die mittlere Verkehrsdichte zwischen 6.00 Uhr und bestimmt werden? d) Was kann über die Verkehrsdichte um 6.00 Uhr oder um 1.00 Uhr gesagt werden? e) Könnte ein Sattelpunkt entstehen? f) Welche Bedeutung haben die Wendepunkte für die Verkehrsdichte zu der Zeit t? g) Versuchen Sie eine Begründung für den Verlauf des Graphen anzugeben. h) Zeichnen Sie den Ableitungsgraph. Was bedeutet er in diesem Zusammenhang? Aufgabe Stausee Ein Stausee hat einen Zufluss und einen Abfluss. Zu jeder Zeit kann die Wassermenge im See gemessen werden. Der Graph G f zeigt die gemessene Wassermenge im Zeitverlauf. a) Interpretieren Sie den Verlauf des Graphen: Was bedeutet ein fallender bzw. Steigender Graph für Zufluss/Abfluss? Was bedeuten in diesem Fall Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt? b) Kann der Graph auch unter 0 fallen? c) Skizzieren Sie qualitativ G f Welche Bedeutung hat G f in diesem Fall?

19 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 19 Aufgabe Hafen In der nebenstehenden Skizze ist eine Insel mit parabelförmigem Uferverlauf dargestellt. Die Parabel hat die Funktionsvorschrift f: 1 x 4 +. Das Inselufer liegt dem geradenförmigen Festlandufer gegenüber. Funktionsterm der Geraden: g(x) = x 1. Auf der Insel soll nun für einen Fährbetrieb ein Hafen H gebaut werden. a) In welchem Punkt H(x/y) der Parabel muss der Hafen liegen, damit die Strecke zum Festland am kürzesten ist? b) Wie lang ist diese Strecke? Hinweise zu a) Hinweise zu b) Aufgabe 4 Schachtel Aus einem quadratischen Stück Eisenblech der Größe 1 Quadratmeter soll nach nebenstehender Skizze ein Behälter entstehen. Die Frage ist nun, wie x gewählt werden muss, damit das Volumen des Behälters möglichst groß wird. Hinweise:

20 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 0 9. Ableitung und Monotonie: Der globale Monotoniesatz Die Frage, wie man von der Ableitung f'(x) einer Funktion auf das Monotonieverhalten von f(x) schließen kann ist schon an vielen Beispielen betrachtet worden. Wir fassen dies im sogenannten globalen Monotoniesatz zusammen: Satz: (globaler Monotoniesatz) Gegeben sei eine Funktion f und das Intervall [a; b] D. Für alle x ]a; b[ existiere die Ableitung f'(x). Es gelten dann die folgenden Implikationen: a) Wenn für alle x ]a; b[ gilt: f.' (x) > 0; dann gilt: f ist auf [a; b] streng monoton steigend. b) Wenn für alle x ]a; b[ gilt: f'(x) < 0; dann gilt: f ist auf [a; b] streng monoton fallend. Wichtige Bemerkung: Die Umkehrung des Satzes (Vertauschung von Wenn und dann ) gilt nicht! Gegenbeispiele: zu a) f(x) = x mit einem beliebigen Intervall um den x-wert 0. Es gilt f (0) =0, obwohl der Graph von f streng monoton steigend ist. zu b) f(x) = x mit beliebigem Intervall um den x- Wert 0. Es gilt f (0) = 0 (also nicht kleiner als 0), obwohl der Graph von f streng monoton fallend ist.

21 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 1 Zeichnung zum globalen Monotoniesatz Zeichnung aus Reiner Winter: Grundkurs Differentialrechnung, Unterrichtsskript Abendgymnasium Düsseldorf

22 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 10. Ableitung und markante Punkte Wir beschreiben die oben betrachteten markanten Punkte in nun präziser Form a) relative Extrema: Definition und Kriterien Definition lokale (relative) Extrema a) Ein Punkt H(x 0 / f(x 0 )) einer Funktion f ist ein lokaler (relativer) Hochpunkt von f, wenn es eine Umgebung U(x 0 ) gibt, in der alle Funktionswerte kleiner oder gleich f(x 0 ) sind. Den y Wert f(x 0 ) nennt man auch lokales (relatives) Maximum von f. b) Ein Punkt T(x 0 / f(x 0 )) einer Funktion f ist ein lokaler (relativer) Tiefpunkt von f, wenn es eine Umgebung U(x 0 ) gibt, in der alle Funktionswerte größer oder gleich f(x 0 ) sind. Den y Wert f(x 0 ) nennt man auch lokales (relatives) Minimum von f. Der Oberbegriff zu "lokales Maximum" und "lokales Minimum" heißt lokales Extremum (Plural: lokale Extrema). Die entsprechenden Punkte heißen lokale Extrempunkte. Anmerkungen: 1. Eine Umgebung U(x 0 ) ist ein offenes Intervall ]a; b[ mit x 0 als Mittelpunkt.. lokal oder relativ bedeutet hier, dass das Extremum nur in Bezug auf einen kleinen Ausschnitt (Umgebung von x 0 ) es Graphen bestehen muss, es aber anderswo größere (bzw. kleinere) Funktionswerte geben kann.. Den größten (kleinsten) Funktionswert der gesamten Funktion (bzw. des gesamten Definitionsbereiches) nennt man globales oder auch absolutes Maximum (Minimum).

23 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite Satz (notwendige Bedingung für lokale Extrema) Wenn eine differenzierbare Funktion f an einer Stelle x 0 ein lokales Extremum hat, dann gilt immer f (x 0 )= 0. Dasselbe mit anderen Worten: Kann die Ableitung an der Stelle x 0 gebildet werden, so gilt: - Für ein lokales Extremum an der Stelle x 0 ist es notwendig; dass f'(x 0 ) = 0 gilt. ODER: - Ohne dass f (x 0 ) = 0 gilt, kann es kein lokales Extremum geben. ODER: - Höchstens dort, wo f (x 0 ) = 0 gilt, kann es ein lokales Extremum geben. Achtung! Die Umkehrung des Satzes gilt nicht! Dazu ein Gegenbeispiel: f(x) = x hat an der Stelle x 0 = 0 zwar eine waagerechte Tangente (f'(0) = 0), aber dort liegt kein lokales Extremum vor! Bedeutung der notwendigen Bedingung: Mit Hilfe der notwendigen Bedingung kann man bei differenzierbaren Funktionen alle diejenigen x-werte aufspüren (berechnen), die für Extremstellen in Frage kommen, denn höchstens dort, wo f (x 0 ) = 0 gilt, können überhaupt Extrema vorkommen. Damit schränkt man die Suche auf nur wenige Werte ein. Andererseits kann man aber nicht sicher sein, dass an den so gefundenen Stellen auch tatsächlich Extrema vorliegen (siehe Gegenbeispiel!). Also muss die Suche noch präzisiert werden. Satz (hinreichende Bedingung für lokale Extrema: das Vorzeichenwechselkriterium) Eine Funktion f sei in einer Umgebung der Stelle x 0 differenzierbar. Dann gilt: a) Wenn (1) f (x 0 ) = 0 () f hat an der Stelle x 0 einen Vorzeichenwechsel +/, dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales Maximum [ (x 0 /f(x 0 ) ist Hochpunkt] b) Wenn (1) f (x 0 ) = 0 () f hat an der Stelle x 0 einen Vorzeichenwechsel /+, dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales Minimum [ (x 0 /f(x 0 ) ist Tiefpunkt] Die Zeichnung auf Seite 5 verdeutlicht diesen Zusammenhang! Satz (hinreichende Bedingung für lokale Extrema: das Vorzeichenkriterium der. Ableitung) Eine Funktion f sei an der Stelle x 0 zweimal differenzierbar. Dann gilt: a) Wenn (1) f (x 0 ) = 0 () f (x 0 ) < 0 dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales Maximum [ (x 0 /f(x 0 ) ist Hochpunkt] b) Wenn (1) f (x 0 ) = 0 () f (x 0 ) > 0, dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales Minimum [ (x 0 /f(x 0 ) ist Tiefpunkt] Bemerkung 1: Beide hinreichenden Bedingungen müssen nicht notwendig erfüllt sein, damit f an der Stelle x 0 ein Extremum hat. Mit anderen Worten: Es gibt Funktionen f, die an einer Stelle x 0 ein lokales Extremum haben, aber es kann weder ein Vorzeichenwechsel festgestellt werben, noch ist f (x 0 ) ungleich Null. Aber bei den von uns betrachteten einfachen Funktionen greift das Vorzeichenwechselkriterium immer.

24 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 4 Aufgabe 5 An welchen Stellen hat der Graph der Funktion f eine waagerechte Tangente? An welchen dieser Stellen liegen tatsächlich Extrema vor, an welchen nicht? Wie lauten die Koordinaten der Extrempunkte? 1 a) f(x) = x 1 x b) f(x) = x 1 + x 1 +x c) f(x) = x x 8 Aufgabe 6 Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Vorzeichenwechselkriterium Bestimmen Sie f und die Nullstellen von f und prüfen Sie, ob f an den Nullstellen einen Vorzeichenwechsel hat. Geben Sie gegebenenfalls den Hoch- oder Tiefpunkt an! a) f(x) = x 6x b) f(x) = x 4 8x + 4 c) f(x) = 1 x 1 x -x 1 d) f(x) = x 4 1 x x e) f(x) = x 5 5x f) f(x) = x + x 4 1 g) f(x) = x 4 x 1 h) f(x) = x x -8x + 16 Aufgabe 7 Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit dem Kriterium der. Ableitung Bestimmen Sie f und f, die Nullstellen von f und prüfen Sie, ob f an den Nullstellen von f einen positiven oder einen negativen Wert hat. Geben Sie gegebenenfalls den Hoch- oder Tiefpunkt an! a) f(x) = x + 6x b) f(x) = x 4 + 8x 4 c) f(x) = x x -6x d) f(x) = 1 1 x x 1 x b) Wendepunkte: Definition und Kriterien Wenn der Verlauf eines Funktionsgraphen G f an einer bestimmten Stelle x 0 von einer Links- in eine Rechtskurve übergeht (oder umgekehrt), so nennt man diese Stelle eine Wendestelle der Funktion und den dazugehörigen Punkt W(x 0 / f(x 0 )) einen Wendepunkt des Funktionsgraphen. Dies ist gleichbedeutend damit, dass die die Steigung im Wendepunkt lokal am größten (bzw. am kleinsten) ist. Daher legen wir fest:

25 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 5 Definition Wendepunkt 1) Eine Punkt (x 0 /f(x 0 )) ist eine Wendepunkt der Funktion f, wenn die 1. Ableitung f' an der Stelle x 0 ein lokales Extremum hat. ) Die Tangente von G f im Wendepunkt heißt Wendetangente. ) Hat die Wendetangente die Steigung 0, so nennt man den Wendepunkt auch Sattelpunkt. Nach dieser Definition ist es nun so, dass die Wendepunkte einer Funktion genau dort zu finden sind, wo die Ableitung Extremstellen hat. Damit können nun entsprechend den Kriterien für Extrema auch Kriterien für Wendepunkte formuliert werden, die inhaltlich genauso lauten wie die Kriterien für Extrema, nur jeweils auf eine Ableitung höher zurückgreifen müssen. Satz (notwendige Bedingung für Wendestellen) f sei an der Stelle x 0 zweimal differenzierbar. Wenn f an einer Stelle x 0 einen Wendepunkt hat, dann gilt immer f (x 0 )= 0. Dasselbe mit anderen Worten: Kann die Ableitung an der Stelle x 0 zweimal gebildet werden, so gilt: - Für einen Wendepunkt an der Stelle x 0 ist es notwendig; dass f ' (x 0 ) = 0 gilt. ODER: - Ohne dass f (x 0 ) = 0 gilt, kann es keinen Wendepunkt geben. ODER: - Höchstens dort, wo f (x 0 ) = 0 gilt, kann es Wendepunkte geben. Achtung! Wie bei den lokalen Extrema gilt auch hier: Die Umkehrung des Satzes gilt nicht! Dazu ein Gegenbeispiel: Für f(x) = x 4 hat ist f (0) = 0, aber dort liegt kein Wendepunkt vor! Bedeutung der notwendigen Bedingung: Die Anmerkung zu den Extrema gilt hier entsprechend! Satz (hinreichende Bedingung für Wendepunkte, Vorzeichenwechselkriterium) Eine Funktion f sei in einer Umgebung der Stelle x 0 zweimal differenzierbar. Dann gilt: Wenn (1) f (x 0 ) = 0 () f hat an der Stelle x 0 einen Vorzeichenwechsel dann hat f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt. Aufgabe 8 Der Satz kann dahingehend präzisiert werden, dass man zwischen RL- und LR- Wendepunkten unterscheidet. Formulieren Sie diese Präzisierung! (Tipp: Benutzen Sie zur Unterscheidung Minimum und Maximum in der ersten Ableitung!) Satz (hinreichende Bedingung für lokale Extrema: das Vorzeichenkriterium der. Ableitung) Eine Funktion f sei an der Stelle x 0 dreimal differenzierbar. Dann gilt: Wenn (1) f (x 0 ) = 0 () f (x 0 ) 0 dann hat f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt.

26 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 6 Aufgabe 9 Die beiden Sätze können dahingehend präzisiert werden, dass man zwischen RL- und LR- Wendepunkten unterscheidet. Formulieren Sie jeweils diese Präzisierungen! (Tipp für den. Satz: Benutzen Sie f (x 0 )>0 bzw. f (x 0 )< zur Unterscheidung!) Aufgabe 0 Hat der Graph der Funktion f einen Wendepunkt? Wie lauten die Koordinaten? 1 a) f(x) = x 1 x b) f(x) = x 1 + x +x c) f(x) = 1 x x 8 Aufgabe 1 Geben Sie Sie f und f an und bestimmen Sie die Wendepunkte! a) f(x) = x 6x b) f(x) = x 4 8x + 4 c) f(x) = 1 x 1 x -x 1 d) f(x) = x 4 1 x x e) f(x) = x 5 5x f) f(x) = x + x 4 1 g) f(x) = x 4 x 1 h) f(x) = x x -8x + 16 Aufgabe Bestimmung Sie die Wendepunkte! a) f(x) = x + 6x b) f(x) = x 4 + 8x 4 c) f(x) = x x -6x d) f(x) = 1 1 x x 1 x Aufgabe Prüfen Sie die folgenden Behauptungen! Begründen Sie oder geben Sie Gegenbeispiele an! a) Ein Wendepunkt kann nie gleichzeitig ein Extrempunkt des Graphen sein. b) Nur monoton steigende Funktionen haben Wendepunkte. c) Eine durchgehende Funktion mit zwei Extrempunkten hat immer mindestens einen Wendepunkt. d) Ein durchgehender Graph mit zwei Wendepunkten hat immer mindestens einen Extrempunkt zwischen den Wendepunkten.

27 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite Eine au sführliche Funktionsuntersuchung Nun soll anhand eines Beispiels exemplarisch und ausführlich der Verlauf des Graphen einer Funktion aus der Kenntnis des Funktionsterms bestimmt werden. 1 Gegen ist die Funktion f: x x 4 x Maximaler Definitionsbereich (D max ) Da in f(x) alle Werte einsetzbar sind, gilt D max =. Symmetrieverhältnisse Da in f(x) ausschließlich gerade Exponenten hat, gilt stets f(x) = f(-x). Damit ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-achse.. Schnittpunkte mit den Achsen i. y-achsenabschnitt Es gilt f(0) =. Damit schneidet der Graph die y-achse im Punkt (0/). ii. Nullstellen f(x) = 0 allgemeine Nullstellenbedingung 1 x 4 x + = 0 4 (Normierung) 4 x 4 8x +8 = 0 x = z (Substitution biquadratische Gleichung) z 8z + 8 = 0 p-q-formel z 1, = 4 ± 16 8 vereinfachen 4. Ableitungen z 1, = 4 ± 8 z = x (Substitution biquadratische Gleichung) x = x = 4-8 Quadrat auflösen x 1, = ± x,4 ± 4 8 Wurzeln berechnen (Taschenrechner) x 1,6 x -,6 x 1,1 x 4-1,1 Damit sind vier verschiedene Nullstellen ermittelt f(x) = 4 1 x 4 x + f (x) = x 4x f (x) = x 4, f (x) = 6x 5. Extrempunkte i. Notwendige Bedingung: f (x) = 0 x 4x = 0 faktorisieren x(x 4) = 0 faktorisieren x(x -)(x+) = 0 Produktsatz x = 0 x = x = - Höchstens an den Stellen -, 0 und sind Extremstellen von f.

28 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 8 ii. Hinreichende Bedingung: f (x) = 0 f (x) 0 Zu untersuchen ist noch 1. f (0) = -4 < 0 f hat HP an der Stelle 0. f (1) = 8 > 0 f hat TP an der Stelle und TP an der Stelle - (Symmetrie) iii. Koordinaten Einsetzen der x-werte in f(x) f(-) = 4 1 (-) 4 (-) + = = - f(0) = f() = - (Symmetrie) (- / -) ist ein TP des Graphen. (0 / ) ist ein HP des Graphen. (- / -) ist ein TP des Graphen. 6. Wendepunkte i. Notwendige Bedingung f (x) = 0 x 4 = 0 : (normieren) x 4 = (Quadrat isolieren) x = 4 Quadrat auflösen x 1, = ± 4 Höchstens an den Stellen ± 4 sind Wendepunkte von f. ii. Hinreichende Bedingung: f (x) = 0 f (x) 0 Zu untersuchen ist noch f ( ) = 6 < 0 f hat WP an den Stellen ± iii. Koordinaten Einsetzen der x-werte in f(x) f(- f( ) = (- ) 4 (- 4 4 ) = 9 4 ) = + = (- ( 4 / - ) ist ein WP. 9 4 / - ) ist ein WP. 9

29 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 9 7. Zeichnung Die Ergebnisse werden nun in einer Zeichnung zusammenfassend dargestellt: Übrigens: Mathematik als schöne Kunst Seien Sie einmal ehrlich: Haben Sie irgendetwas vom Mathe -Unterricht der Schulzeit behalten, was über die Grundrechenarten hinausgeht? Offensichtlich braucht man die Mathematik nicht, um sein tägliches Leben zu fristen. Vielleicht so, wie die Beschäftigung mit Lyrik zwar einige Menschen fasziniert, aber viele völlig kalt lässt. Das ist eigentlich schade, denn fast alles, was man nicht wirklich braucht, macht Spaß. Die Mathematik ist - übrigens wie auch die Lyrik - eine Kulturtechnik, bei der die Ästhetik eine große Rolle spielt. Bruno Kehrein, Rheinische Post, Aufgabe 4 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen ausführlich: a) f: x 1 x x b) f: x 1 x x c) f: x 1 x +x d) f: x 1 x e) f: x x 4 9x f) f: x 8 1 x x 1 g) f: x x 4 4 x +x 1 h) f: x x 5 x 4 0

30 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 0 1. Fernverhalten Unter Fernverhalten versteht man den qualitativen Verlauf des Graphen einer Funktion für große Werte von x, also für große positive Werte (rechts außen) und große negative Werte (links außen). Grundregel Bei ganzrationalen Funktionen bestimmt der höchste Exponent das Fernverhalten. Begründung am Beispiel: Betrachtet man die Funktion f: x x 4 +x +x x, so gilt: f(x) = x 4 +x +x x = x (1 + + x x ) x An dem rechten Term erkennt man nun, dass für immer größer werdende positive (negative) Werte von x (z. B. für x= 1 Mio, x = 10 Mio) der Wert des Terms immer weniger vom Wert von x 4 abweicht, also der Graph von f sich immer weniger vom Graph von f: x x 4 unterscheidet. In der Tabelle sind die verschiedenen Fälle und Schreibweisen zusammengestellt: Vorzeichen und Exponent des höchsten Exponenten Graphik (qualitativ) Schreibweise lim f (x) x = + + x gerade lim f (x) = + x lim f (x) x = + x ungerade lim f (x) = + x lim f (x) x = - x gerade lim f (x) = x lim f (x) x = + - x ungerade lim f (x) = x Beschreibung in Worten Für kleine Werte von x (links außen) fällt der Graph im positiven Bereich aus beliebig großer Höhe. Für große Werte von x (rechts außen) wächst der Graph im positiven Bereich steigend über alle Schranken. Für kleine Werte von x (links außen) steigt der Graph im negativen Bereich aus beliebig großer Tiefe. Für große Werte von x (rechts außen) wächst der Graph im positiven Bereich steigend über alle Schranken. Für kleine Werte von x (links außen) steigt der Graph im negativen Bereich aus beliebig großer Tiefe. Für große Werte von x (rechts außen) fällt der Graph im negativen Bereich unter alle Schranken. Für kleine Werte von x (links außen) fällt der Graph im positiven Bereich aus beliebig großer Höhe. Für große Werte von x (rechts außen) fällt der Graph im negativen Bereich unter alle Schranken.

31 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 1 1. Grad der Funktion und Anzahl markanter Punkte Aus der Betrachtung verschiedener Beispiele erkennt man, dass bei den hier betrachteten ganzrationalen Funktionen die Anzahl der markanten Punkte von der Höhe des höchsten Exponenten abhängt. Bezeichnung: Der Wert des größten Exponenten einer ganzrationalen Funktion heißt der Grad der Funktion. Regel 1: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Beispiel: f: x x 4 +x +x hat höchstens 4 Nullstellen, weil der Grad der Funktion 4 ist. Begründung: Nullstellen erkennt man u. a. durch die Faktorisierung eines Terms. Gäbe es bei einem Grad von 4 mehr als 4 Nullstellen, so könnte man den Term in 5 Faktoren zerlegen: f (x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e) = 0. Ausmultipliziert würde dieses Produkt aber den Grad 5 ergeben, was nicht sein kann. Hinweis: Hinter der hier knapp und vereinfacht dargestellten Begründung steht ein komplizierterer mathematischer Sachverhalt, der an dieser Stelle nicht vertieft werden kann. (z. B. ist die Frage nicht geklärt, ob f(x) in jedem Fall auch in ein solches Produkt zerlegbar ist!) Aus der Regel 1 ergeben sich nun Folgerungen für die Anzahl der Extrem- und Wendepunkte: Regel : Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat a) höchstens n-1 Extrempunkte. b) höchstens n- Wendepunkte. Beispiel: f: x x 4 +x +x hat höchstens Extrema und höchstens Wendepunkte. Begründung: Die Regel ergibt sich aus der Regel 1, der notwendigen Bedingung für Extrempunkte (Wendepunkte), wonach höchstens die Nullstellen der 1. Ableitung (. Ableitung) zu Extrempunkten (Wendepunkten) führen. Hinzu kommt die Potenzregel, nach der beim Ableiten jeweils der Grad um 1 vermindert wird.

32 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite Aus dem Fernverhalten kann man nun noch eine weitere Folgerung für die Anzahl der Extrema ziehen: Regel : Ist der Grad einer Funktion f a) gerade, so ist die Anzahl der Extrema ungerade. b) ungerade, so ist die Anzahl der Extrema gerade. Beispiel: f: x x 4 +x +x hat entweder 1 oder Extrema. Begründung für den Fall +x gerade (siehe oben!) Die Graphen aller ganzrationalen Funktionen können in einem Zug (ohne Absetzen) durchgezeichnet werden. Verfolgen wir den Verlauf des Graphen: 1. Der Graph fällt links außen und steigt rechts außen. Also muss dazwischen mindestens ein Tiefpunkt vorhanden sein.. Von links kommend kann der erste Extrempunkt nur ein Tiefpunkt sein, weil der Graph fallend ist.. Nach dem Tiefpunkt kann höchstens ein Hochpunkt folgen, da der Graph nach dem Tiefpunkt steigend ist. 4. Nach dem HP ist der Graph wieder fallend und es muss nun zu dem HP mindestens ein weiterer Tiefpunkt folgen, da der Graph rechts außen steigend ist. 5. usw.: zu jedem weiteren HP muss ein weiterer TP folgen. 6. Es gibt also mindestens einen Tiefpunkt und darauf folgend höchstens weitere Pärchen von Hoch- und Tiefpunkt. 7. Damit ist die Anzahl der Extrempunkte in jedem Fall ungerade. Aufgabe 5 Formulieren Sie entsprechende Begründungen für die anderen Fälle! Aufgabe 6 Kann man eine entsprechende Aussage auch über die Anzahl der Wendepunkte treffen? Aufgabe 7 Treffen Sie jeweils ohne ausführliche Berechnungen Aussagen über das Fernverhalten und die Anzahl der besonderen Punkte. Welche Graphenverläufe wären jeweils möglich? Aufgabe 8 Stellen Sie auf Grund der Regeln typische Fälle für Funktionen. Grades zusammen! Skizieren Sie jeweils typische Vertreter! Aufgabe 9 Stellen Sie auf Grund der Regeln typische Fälle für Funktionen 4. Grades zusammen! Skizieren Sie jeweils typische Vertreter!

33 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 14. Funktionstypen. und 4. Grades Varianten der hier dargestellten Fälle ergeben sich durch Verschiebungen (in x- oder y- Richtung) sowie durch Streckungen oder Stauchungen oder durch Spiegelungen an den Achsen. 1. Grad f( x) = x kein Extremum, 1 SP kein Extremum, 1 WP zwei Extrema, 1 WP. Grad 4 f( x) = x 4 1 Extremum, kein WP 1 Extremum, WP (1 WP kann auch SP sein) Extrema, WP Extrema, WP, achsensymmetrisch

34 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite Aufgaben Aufgabe 40: Ganzrationale Funktionen. Grades: f: x x + t 1 x +t x Zeichnen Sie mit dem Funktionsplotter verschiedene Graphen zu jedem der unten angegebenen Funktionenscharen und beschreiben Sie diese qualitativ und stellen Sie anhand von typischen Vertretern die Besonderheiten der Funktionenschar vor. Aspekte: - Gemeinsamkeiten und Unterschiede aller Graphen der Schar. (Aspekte: Symmetrie, Nullstellen, Extrema, weitere besondere Punkte?...) - Wie wirkt eine Veränderung von t auf den Verlauf der Graphen? - Gibt es wesentliche Unterschiede für bestimmte Werte von t (etwa positiv, negativ)? a) Schar 1: f: x x + t x mit t. b) Schar : f: x x + t x mit t. c) Schar : f: x x + t x + x mit t. d) Schar 4: f: x x + x + t x mit t. e) Schar 5: f: x x + mit t. Wählen Sie hier selbst eine Schar! Aufgabe 41: Ganzrationale Funktionen 4. Grades: f: x x 4 + t 1 x + t x +t x Gehen Sie wie in Aufgabe 44 vor. Wählen Sie sich selbst eine Funktionsschar, untersuchen sie diese und beschreiben Sie deren Eigenschaften! Schar : f: x x 4 + mit t. Aufgabe 4: Funktionsbestimmung Gegeben sind hier verschiedene Funktionsgraphen. Was können Sie über den Funktionsterm aussagen? Suchen Sie einen Funktionsterm mit Hilfe des Funktionsplotters! y y y x x x y y y x x x

35 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 5 Aufgabe 4: Straßenbau Zwei parallel verlaufende Straßenstücke sollen durch ein Zwischenstück verbunden werden. a) Beschreiben Sie den Verlauf des Verbindungsstückes mit Hilfe einer Funktion. Grades. f: x a x + b x + c x + d; a, b, c, d R Hinweise: b) Beschreiben Sie den Verlauf des Verbindungsstückes mit Hilfe einer Funktion 5. Grades. f: x a x 5 + b x 4 + c x + d x + e x+ f, a, b, c, d, e, f R Hinweis: c) Vergleichen Sie die Lösungen aus a) und b)! Was schlagen Sie vor? Aufgabe 44: Weinglas Ein Werkstück ( Weinglas ) hat die nebenstehende Form. Der Übergang von Glas zu Stiel soll geglättet werden (siehe Skizze an der linken Glasseite!). Der Kelch hat die Form einer Parabel mit der Gleichung y = ¼ x. Beschreiben Sie die neue Form mit Hilfe von stückweise definierten Funktionen. Hinweise:

36 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 6 Kommentar zu den beiden vorherigen Aufgaben Die beiden Aufgaben stellen mathematische Anforderungen aus verschiedenen Bereichen: 1. Mathematisches Modellieren einer Sachsituation.. Berechnungen mit Hilfe mathematischer Techniken durchführen.. Lösung überprüfen Insbesondere der 1. Teil bereitet häufig Schwierigkeiten. Es ist der bei weitem anspruchvollere Teil dieser Aufgaben, weil die Sachsituation mit den bekannten mathematischen Modellen und Methoden so in Verbindung zu bringen ist, dass eine erfolgreiche Bearbeitung des Problems möglich wird. Dabei können folgende Fragen hilfreich sein: - Wie sollte Sinnvollerweise das Koordinatensystem gelegt sein? - Kann Symmetrie ausgenutzt werden? - Welche Informationen über Punkte und besondere Punkte (Extrema/ Wendepunkte) des Graphen gibt es? - Welchen Grad sollte /muss die gesuchte Funktion haben? (ergibt sich evtl. aus den Extrema und Wendepunkten) - Welche Gleichungen ergeben sich? Der. Teil erfordert dann ein sicheres Beherrschen der Algorithmen und Methoden, wobei insbesondere bei den Algorithmen auch auf maschinelle Hilfe zurückgegriffen werden kann (Taschenrechner, Plotter, Lösung von Linearen Gleichungssystemen) Im. Teil muss das Ergebnis noch überprüft werden. Das kann auf verschieden Arten geschehen: - Überprüfen mit Hilfe eines Plotters - Rechnerische Überprüfung: o o Sind die geforderten Extrema/ Wendepunkte tatsächlich vorhanden Gibt es unerwünschte Nebeneffekte? (ungewünschte weitere Extrema/Wendepunkte o. ä.) Aufgabe 45 Ortschaft Waldesruh Die Ortschaft Waldesruh wird durch starken Ortsdurchgangsverkehr aus der Ruhe gebracht und hat eine Umgehungsstraße mit Hilfe einer ganzrationalen Funktion geplant. vorher: nachher (Angaben in km) Welchen Term hat die Funktion?

37 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 7 Aufgabe 46 Ein Metallstab mit rechteckigem Querschnitt ist auf der einen Seite waagerecht eingespannt und liegt auf der anderen Seite lose auf. Durch Belastung wird der Stab so gebogen, dass sein tiefster Punkt den Abstand 10,5 cm von der Biegelinie hat. a) Begründen Sie, dass es vernünftig ist anzunehmen, dass die Krümmung an der Einspannstelle den Wert 0 haben muss. b) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion, die die Biegelinie möglichst genau beschreibt. Aufgabe 47 Bestimmen Sie jeweils eine ganzrationale Funktion. Grades mit den folgenden Eigenschaften: a) P(0/0) G f, W(/4) G f ist Wendepunkt mit der Tangentensteigung -. b) W(0/0) G f ist Wendepunkt und an der Stelle liegt ein HP und P(1/) G f. c) H(0/0) ist Hochpunkt. ist Wendestelle, die Tangente an dieser Stelle hat die Steigung 4. Aufgabe 48 Bestimmen Sie jeweils eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit den folgenden Eigenschaften: a) S(0/) G f ist Sattelpunkt und in P(/0) liegt eine waagerechte Tangente b) T(/4) G f ist Tiefpunkt, W(0/0) ist Wendepunkt und die Wendetangente hat die Steigung 1 c) H(0/0) ist Hochpunkt. ist Extremstelle und W(1/11) ist Wendepunkt.

38 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 8 Aufgabe 49 Bestimmen Sie jeweils eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit den folgenden Eigenschaften: a) Der Graph ist achsensymmetrisch, P(0/0) G f, ist Nullstelle und die Tangente hat hier die Steigung -48. b) Der Graph ist achsensymmetrisch, P(0/0) G f, An der Stelle 1 ist die Steigung der Tangente 1 und ist Extremstelle. c) Der Graph ist achsensymmetrisch, W(1/) G f ist Wendepunkt, die Wendetangente hat hier die Steigung -. d) Der Graph ist achsensymmetrisch, W(/6) G f ist Wendepunkt, die Wendetangente hat hier die Steigung 4. e) Der Graph ist achsensymmetrisch, E(/4) G f ist Hochpunkt und 1 ist Wendestelle. Aufgabe 50 Bestimmen Sie jeweils eine ganzrationale Funktion. Grades mit den folgenden Eigenschaften: a) 0 und - sind Nullstellen, H(/-6) ist Tiefpunkt. b) H(-1/) ist relativer Hochpunkt und W(0/ 1 ) ist Wendepunkt. c) P(0/0) G f, P(1/7) G f, und - sind relative Extremstellen. d) An der Stelle 1 hat die Tangente die Steigung 4, eine relative Extremstelle ist 5, eine 10 Wendestelle ist und 0 ist Nullstelle. e) W(1/ ) ist Wendepunkt des Graphen, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung - und ist Extremstelle.

39 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 9 Optimierungsaufgaben Beispiel 1: Balken mit maximaler Tragfähigkeit Aufgabe: Aus einem Baumstamm, der einen durchgängig gleich großen kreisförmigen Querschnitt hat, soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt von möglichst großer Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Die Tragfähigkeit ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Balkenhöhe a. Wie sind a und b zu wählen, wenn der Durchmesser des Balkens d = 6 cm beträgt? Lösung: Gegeben ist ein Baumstamm in Form eines Zylinders mit Durchmesser d. Wenn man daraus einen rechteckigen Balken sägt, dann hat dieser die Dicke b und die Höhe a. Zeichnet man sich den Querschnitt des Balkens in den kreisförmigen Querschnitt des Balkens, dann sieht man, dass a² + b² = d² zu sein hat. Anmerkung: Es wäre natürlich auch möglich kleinere rechteckige Querschnitte auszusägen, also nur a²+b² d² zu verlangen. Da aber die Tragfähigkeit zu maximieren ist, und diese mit größerem a und größerem b wächst, kommt das nicht in Betracht. Wir wollen also den Querschnitt voll ausnutzen Die Aufgabe sagt, dass die Tragfähigkeit proportional zur Breite b und proportional zum Quadrat der Höhe a ist. Ohne den physikalischen Sinn dieser Aussage zu verstehen oder diskutieren zu wollen, stellt man daraus die Extremalbedingung für die Optimierung auf, nämlich a² b soll maximal sein. Nebenbedingung: a² + b² = d² Mit der Nebenbedingung ersetzt man eine der Unbekannten in der Extremalbedingung. Ich nehme die Ersetzung von a² vor, weil ich damit Wurzeln vermeiden kann. Das ergibt die Funktion t der Tragfähigkeit in Abhängigkeit von der Breite b: Zielfunktion: t(x) = (6² - x²) x mit 0 <x < 6 Die Ableitungen von t(x) lauten: t '(x) = -x² + 6², t ''(x) = - 6x Die maximale Tragfähigkeit erhält man am Hochpunkt von t. 6 a) notwendige Bedingung: t '(x) = -x² + 6² = 0 <=> x² = 0,78 b) hinreichende Bedingung: Die zweite Ableitung ist für alle in Frage kommenden positiven Breiten negativ. Das zeigt, dass an der Nullstelle der ersten Ableitung tatsächlich ein (lokales) Maximum vorliegt. c) Höhe: Aus der Nebenbedingung errechnen wir den dazu gehörenden Wert für a² (bzw. a). 6 a² = 6² - = 6 = 864 a = 864 9,9

40 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 40 Aufgabe 51 Ertragsoptimierung Die Kosten K(x) (angegeben in 1000 Euro) einer Ziegelei bei einer täglichen Produktion von x Einheiten (jeweils in Ziegeln) können durch die Funktion K mit K(x) = 0,5x -x + 1x + 17 angegeben werden. Die Ziegel können für 0,80 Euro pro Stück verkauft werden, die maximale Tagesproduktion beträgt Ziegel. a) Zeigen Sie, dass sich der Gewinn G (in 1000 Euro) in Abhängigkeit von der Tagesproduktion x (in 1000 Stück) durch den Term G(x) = -0,5x +x -4x - 17 erfassen lässt. b) Für welche Werte von x macht die Betrachtung der Gewinnfunktion in diesem Beispiel Sinn? Geben Sie eine entsprechende Definitionsmenge für G an! c) Der angegebene Graph ist der Graph der Gewinnfunktion. a. Begründen Sie anhand des Graphen, für welche Tagesproduktionen sich die Ziegelei in der Gewinn- bzw. der Verlustzone befindet. b. Berechnen Sie mit einer Genauigkeit von 100 Ziegeln diejenige Tagesproduktion, bei der der Gewinn maximal ist.

41 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 41 Beispiel Acker neben Straße Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 100m und von B 100m. Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen? Lösung: Der Weg des Fußgängers von A nach B besteht aus zwei Teilen: Einem geraden Weg von A zu einem Punkt X auf der Straße. Dabei hat X die Entfernung x von C mit 0<=x<=100. Und als zweitem Teilstück den Weg von X nach B (auf der Straße). Der Weg von A nach X führt über den Acker. Der Weg von X nach B über die Straße. Die Länge des Weges von A nach X ist y = x (Pythagoras). Die Länge des Weges von X nach B ist 100 x. Extremalbedingung: y 40 Da A auf dem Acker nur halb so schnell vorwärtskommt wie auf der Straße, ist folgende 00 Funktion zu minimieren: f(x) = *y+(100-x) [dabei bedeutet die, dass zurückzulegende Meter 60 auf dem Acker doppelte Zeit zählen.] Mit der 0 Nebenbedingung y = x ergibt sich die Zielfunktion: f(x) = * soll minimal sein x + (100 - x) Mit dem Funktionsplotter ergibt sich der nebenstehende Graph mit einem TP bei x = 57, Also sollte vom Acker die Straße bei X= 57,74 m angesteuert werden, um am schnellsten von A nach B zu kommen x Zusatzfrage: Wie ändert sich die Lösung, wenn der Fußgänger auf der Straße dreimal so schnell [gleichschnell ] wie auf dem Acker laufen kann? Bemerkung: Mit den bisherigen Ableitungsregeln kann von der Funktion f nicht die Ableitung gebildet werden, daher bleibt hier nur de Lösung mit dem Funktionsplotter. -60 Hinweis: Die Ableitung von h(x) = x = ( x ) wird nach der Kettenregel gebildet: Kettenregel: Gilt f(x) = h(g(x)) so ist f (x) = h (g(x)) g (x), falls g, h geeignet differenzierbar sind. in knappen Worten: Ableitung = äußere Ableitung innere Ableitung Auf das Beispiel angewandt ergibt sich: h (x) = 1 1 ( 100 x ) x + x = x äußere Ableitung innere Ableitung Aufgabe: Bilden Sie die Ableitung und bestätigen Sie die graphisch ermittelten Werte!

42 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 4 Beispiel Eingeschlossene Fläche Die Funktion f(x) = - x + 4,5 schließt im ersten Quadranten ein Rechteck mit der x und y Achse ein. Für welches x wird der Flächeninhalt maximal? Lösung: Es ist ein Rechteck gesucht, dessen linke untere Ecke im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt, und dessen rechte obere Ecke auf dem Graphen der gegebenen Funktion liegt. Die rechte obere Ecke soll so gewählt werden, dass die Fläche des Rechtecks maximal wird. Diese Ecke hat die Koordinaten (x/y) mit y=-x²+ 4,5 Definitionsbereich: Weil die Funktion f(x) bei 1,5 eine Nullstelle (Schnittstelle mit der x-achse) hat, ist ein x [0; 1,5] gesucht. Extremalbedingung: Die Fläche des Rechtecks F = x y soll maximal sein. Nebenbedingung: y = f(x) = (- x + 4,5). Zielfunktion: Also ist ein Maximum der Funktion F(x) = x y = x (- x + 4,5) = -x³+4,5 x. gesucht a) notwendige Bedingung: F (x) = 0 x = 0,5) [die zweite Nullstelle ist negativ, liegt also nicht im ersten Quadranten]. b) hinreichende Bedingung: Es ist F (0,5) = 0 F (0,5) < 0. Also hat F bei x = 0,5 ein lokales Maximum. Ergebnis: An den Rändern des Intervalls, in dem x liegen muss, sind die Flächenwerte 0, darum ist bei x=0,5 ein absolutes Maximum. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist hier 0,5 F(0,5) = 0,5 4 = Aufgabe 5 Aus einem Blech der Breite 50 cm soll eine Regenrinne möglichst großem rechteckigem Querschnitt gefertigt werden. Wie ist das Blech zu biegen? Aufgabe 5 Eine runde Dose mit 650 ml [0 ml, 500 ml.] Inhalt soll eine möglichst kleine Oberfläche erhalten. Wie ist die Dose zu konstruieren? Aufgabe 54 Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Kanals soll U = 5m betragen. Wie muss das Rechteck gewählt werden, dass der Kanal möglichst viel Wasser fasst? Aufgabe 55 Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Seitenlängen 40 und 5 cm soll ein Kasten ohne Deckel mit möglichst großem Volumen gebastelt werden.

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44 WbK AG Düsseldorf Mathematik Grundkurs. Semester Seite 44