Zur Erklärung menschlicher Verhaltensweisen oder allgemeiner sozialer Phänomene ist häufig eine Vielzahl von Einflussfaktoren zu berücksichtigen.

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1 4.3 Faktorenanalyse Problemstellung Zur Erklärung menschlicher Verhaltensweisen oder allgemeiner sozialer Phänomene ist häufig eine Vielzahl von Einflussfaktoren zu berücksichtigen. Je größer jedoch die Zahl der berücksichtigten Erklärungsvariablen wird, umso weniger ist gesichert, dass diese auch tatsächlich alle unabhängig voneinander zur Erklärung des Sachverhalts notwendig sind. Problem der Multikollinearität. Mit der Faktorenanalyse soll zum einen die eventuell recht hohe Dimensionalität eines Datenbestandes reduziert werden: Datenreduktion Datenverdichtung Zum anderen versucht man, die den einzelnen Variablen übergeordneten Dimensionen zu entdecken: Hypothesengenerierung Vorgehensweise 1

2 Stilisierte Vorgehensweise der Faktorenanalyse bei Q = 2 Faktoren F1, F2 und J = 5 zu erklärenden Variablen X 1, X 2,..., X 5 Kommunalität: In welchem Ausmaß sind die Variablen X 1 - X 5 durch die Faktoren aufgeklärt bzw. erfasst. Die Kommunalität erklärt den Anteil der gemeinsamen Varianz, ist somit ein Maß für den Grad des Zusammenhangs einer Variablen mit allen anderen Variablen. 1. Variablenauswahl Qualität der Ausgangsdaten Relevanz der Untersuchungsmerkmale Homogenität der Stichprobe Standardisierung der Ausgangsdaten Erleichterung der Rechenschritte Erleichterung der Interpretation Vergleichbarkeit der Variablen Faktoren repräsentieren den Zusammenhang zwischen den untersuchten Variablen Korrelationen Prüfkriterien für die Eignung der Ausgangsdaten: (a) Zusammenhang zwischen den Ausgangsvariablen (Korrelationsmartrix) (b) Signifikanzniveau der Korrelationen (c) Inverse der Korrelationsmatrix : Eignung, wenn Inverse nahe Diagonalmatrix 2

3 (d) Bartlett-Test (Test auf Sphärizität) H 0 : Variablen x 1 -x J sind unkorreliert Test unterstellt Normalverteilung (e) Anti-Image-Kovarianzmatrix Anti-Image: Anteil der variablenspezifischen Varianz (Streuung, die mit anderen Variablen unkorreliert ist) (f) Kaiser-Meyer-Olkin-Kriterium Analog zu 4. bezogen auf Korrelationsmatrix 2. Extraktion der Faktoren Wie können die Faktoren rechnerisch aus den Variablen ermittelt werden? Fundamentaltheorem der Faktoranalyse Korrelationskoeffizient r x1,x 2 = K (x k1 x 1 )(x k2 x 2 ) k=1 K (x k1 x 1 ) 2 k=1 Cov(x 1, x 2 ) = 1 K 1 K (x k2 x 2 ) 2 k=1 K (x k1 x 1 )(x k2 x 2 ) k=1 = Cov(x 1, x 2 ) S x1 S x2 x k = x k x = x k1 x 1. x kj x J Abweichungen vom Mittelwert der k-ten Beobachtung J Variablen 3

4 Kovarianzmatrix: V = V ar(x 1 ) Cov(x 1, x J ) Cov(x 1, x 2 )..... Cov(x 1, x J ) V ar(x J ) = 1 K 1 K k=1 x k x k = 1 K 1 X X X = x 1 x 2. x K = x 11 x 1J x 21 x 2J. x K1 x KJ Standardisierung: z kj = x kj x j Z = S j z 11 z 1J. z K1 z KJ Korrelationsmatrix: 1 r xj,x 1 R = r x1,x r x1,x J 1 = 1 K 1 Z Z Fundamentaltheorem: Jeder Beobachtungswert einer Ausgangsvariablen x j oder der standardisierten Variablen z j lässt sich als eine Linearkombination mehrerer (hypothetischer) Faktoren beschreiben Q Faktoren: Z kj = a j1 P k1 + a j2 P k2 + + a jq P kq = Q a jq p kq q=1 4

5 }{{} Z = P A wobei P = K J P 11 P 12 P 1Q. P K1 P K2 P KQ K Q }{{} A = J Q a 11 a 1Q.. a J1 a JQ Matrix der Faktorladungen Wir wissen: R = 1 K 1 Z Z = 1 K 1 (P A ) (P A ) = 1 K 1 (A P P A ) = 1 = A ( K 1 P P ) A }{{} Korrelationsmatrix C der Faktoren in P da alle standardisiert R = A C A Faktoren unkorreliert (orthogonal): C = I Q, R = A A 5

6 Grafische Interpretation von Faktoren: Der Informationsgehalt einer Korrelationsmatrix lässt sich auch grafisch in einem Vektordiagramm darstellen: Variablen als Vektoren Korrelationskoeffizienten als Winkel zwischen zwei Vektoren Faktoren als resultierende Vektoren (bei Unabhängigkeit orthogonal zueinander) Vektordarstellung einer Korrelation zwischen zwei Variablen: 6

7 Extraktion der Faktoren F1: 1. Resultante von x 1 -x 3 Schwerpunkt aller aus den Variablen gebildeten Faktoren F2: Orthogonal zu F 1 2. Resultante der Differenzen x j -a 1j F 1 Faktorenanalyse: Möglichst gering dimensionaler Raum ˆ= Möglichst wenige Faktoren (maximale Anzahl ist Rang von R) 7

8 3. Bestimmung der Kommunalitäten Die Gesamtvarianz einer Variablen lässt sich aufteilen in: Kommunalität (durch die gemeinsamen Faktoren erklärt) und Einzelrestvarianz (auf spezifische Faktoren oder Messfehler zurückzuführen). Kommunalität: Q h 2 j = a 2 jq Verfahren zur Schätzung der unbekannten Kommunalitäten: q=1 (a) Annahme, dass gesamte Varianz erklärt werden soll (Kommunalitäten = 1) (b) Vorgabe eines Schätzwertes höchster quadrierter Korrelationskoeffizient einer Variable mit den anderen Variablen multiples Bestimmtheitsmaß (c) Bestimmung der Kommunalitäten durch den Iterationsprozess der Faktorenanalyse 8

9 4. Zahl der Faktoren Kaiser-Kriterium Die Zahl der zu extrahierenden Faktoren ist gleich der Zahl der Faktoren mit Eigenwerten größer eins. Eigenwerte = Summe quadrierter Faktorladungen eines Faktors über alle Variablen J (q: Faktor) j=1 a 2 jq Ein Faktor liefert Varianzerklärung von mindestens 1 Scree-Test Faktoren werden in Koordinatensystem nach abnehmender Höhe der Eigenwerte angeordnet. Man legt von rechts eine Gerade durch die sich asymptotisch der Abszisse nähernden Eigenwerte. Der letzte Punkt auf dieser Geraden bestimmt die Zahl der zu extrahierenden Faktoren. Extrahiere so lange, bis x% der Varianz erklärt sind. Extrahiere n Faktoren. Extrahiere alle Faktoren, die nach Rotation interpretierbar sind. 5. Faktorinterpretation Für die Interpretation der Faktoren werden die Faktorladungen (als Korrelationskoeffizienten zwischen Faktoren und Variablen) verwendet. Einfachstruktur: Variable lädt nur auf einem Faktor hoch. Hohe Ladungen ab 0,5. Wenn keine Einfachstruktur vorliegt: Rotation. (Es sollte immer die Varimax-Rotation angewendet werden, bei der die Unabhängigkeit der Faktoren erhalten bleibt. Grundsätzlich sind auch schiefwinklige Rotationen möglich.) 9

10 Grafische Darstellung des Rotationsproblems 10

11 6. Bestimmung der Faktorwerte Häufig interessiert man sich auch dafür, welche Werte die einzelnen Untersuchungsobjekte hinsichtlich der gewonnenen Faktoren annehmen. Z = P A + Ũ Bestimmung von P = P 11 P 12.. bei Q = 2 Faktoren P K1 P K2 Grafische Darstellung ( Mappings ). Eine Anwendung für solche Mappings ist bspw. die Positionierung von Produkten in einem zweidimensionalen Wahrnehmungsraum. Die Faktorwerte werden relativ, d.h. also als Abweichungen vom auf Null normierten Mittelwert dargestellt. 11

12 Grafische Darstellung der Faktorwerte 12

13 log: log type: D:\fitzenbe\lehre\loekr\empiwifo\Kapitel 4_stataprogramme\ Faktorenanalyse\abschnitt43_faktorenanalyse.log text opened on: 13 Nov 2008, 10:46:02. *use faktorenanalyse.dta. *save faktorenanalyse.dta, replace. list, clean. destring schmeckt leicht kalorien nahrhaft satt qualitt pause energie klebrig weich knusprig, replace schmeckt has all characters numeric; replaced as byte (5 missing values generated) leicht has all characters numeric; replaced as byte (2 missing values generated) kalorien has all characters numeric; replaced as byte (6 missing values generated) nahrhaft has all characters numeric; replaced as byte (1 missing value generated) satt has all characters numeric; replaced as byte (1 missing value generated) qualitt has all characters numeric; replaced as byte (4 missing values generated) pause has all characters numeric; replaced as byte (4 missing values generated) energie has all characters numeric; replaced as byte (3 missing values generated) klebrig has all characters numeric; replaced as byte (2 missing values generated) weich already numeric; no replace knusprig has all characters numeric; replaced as byte (1 missing value generated) 13

14 . * destring ersetzt fehlende Einträge in Daten (leere Fenster) als durch STATA erkannte missing values ".". **********************. * Korrelationanalyse *. **********************. correlate schmeckt leicht kalorien nahrhaft satt qualitt pause energie klebrig weich knusprig (obs=392) schmeckt leicht kalorien nahrhaft satt qualitt pause energie klebrig weich knusprig schmeckt leicht kalorien nahrhaft satt qualitt pause energie klebrig weich knusprig **************************. * Fatorenanalyse *. **************************. factor schmeckt leicht kalorien nahrhaft satt qualitt pause energie klebrig weich knusprig (obs=392) (principal factors; 5 factors retained) 14

15 Factor Eigenvalue Difference Proportion Cumulative Factor Loadings Variable Uniqueness schmeckt leicht kalorien nahrhaft satt qualitt pause energie klebrig weich knusprig *estat anti 15

16 . *estat kmo. **************************. * Scree Plot Eigenvalues *. **************************. * screeplot. greigen. graph export screeplot.eps, replace (file screeplot.eps written in EPS format). ********************. * Varimax Rotation *. ********************. rotate (varimax rotation) Rotated Factor Loadings Variable Uniqueness schmeckt leicht kalorien nahrhaft satt qualitt pause energie klebrig weich knusprig * Speichern und schließen 16

17 . save faktorenanalyse.dta, replace file faktorenanalyse.dta saved. log close log: D:\fitzenbe\lehre\loekr\empiwifo\Kapitel 4_stataprogramme\Faktorenanalyse\abschnitt43_faktorenanalyse.log log type: text closed on: 13 Nov 2008, 10:46:04 Screeplot 17