b) P( Schüler/in ist in Sek I) c) P( Schüler/in ist in Sek II und ein Mädchen)

Transkript

1 R. Brinkmann Seite Lösungen Relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit II en: A1 A1 Über die Zusammensetzung der Schülerschaft eines Gymnasiums ist bekannt: In der Sek. I befinden sich 340 Jungen und 320 Mädchen. In der Sek. II befinden sich 150 Jungen und 190 Mädchen. a) Stellen Sie eine Vierfeldtafel auf und berechnen Sie die relativen Häufigkeiten. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Schüler/in in der Sek. I? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person in der Sek. II und ein Mädchen? en a) J M Summe J M Summe SI SI 0,340 0,320 0,660 SII SII 0,150 0,190 0,340 Summe Summe 0,490 0, b) P( Schüler/in ist in Sek I) = 0,66 c) P( Schüler/in ist in Sek II und ein Mädchen) = 0,19 Gewinnwahrscheinlichkeit und Gewinnchancen. a) Bei einem Zufallsversuch sind die Chancen für einen Gewinn: (1) 1 zu 3 (2) 1 zu 1 (3) 2 zu 3 (4) 4 zu 3 (5) a zu b. Wie groß ist jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeit in den genannten Fällen? b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist: 1 3 c () 1 ( 2 ) 0,6 ( 3 ) 40% ( 4 ) ( 5 ) 3 4 d Wie stehen in jedem einzelnen Fall die Chancen? Erstellt von Rudolf Brinkmann p9_stoch_032_e.doc :33 Seite: 1 von 5

2 R. Brinkmann Seite A3 a) Unter der Gewinnchance 1 zu 3 kann man sich ein Urnenexperiment vorstellen. In der Urne befinden sich 1 rote Kugel (Gewinn) und 3 schwarze Kugeln (Nieten). Es wird nun einmal gezogen. Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen ist in diesem Fall 0, () 1 Chance 1 zu 3 bedeutet Gewinnwahrscheinlichkeit = = 0, ( 2 ) Chance 1 zu 1 bedeutet Gewinnwahrscheinlichkeit = = 0, ( 3 ) Chance 2 zu 3 bedeutet Gewinnwahrscheinlichkeit = = 0, ( 4 ) Chance 4 zu 3 bedeutet Gewinnwahrscheinlichkeit = 0, a ( 5 ) Chance a zu b bedeutet Gewinnwahrscheinlichkeit a + b b) 1 1 () 1 p = = Gewinnchance 1 zu ( 2 ) p = 0,6 = = = Gewinnchance 3 zu ( 3 ) p = 40% = 0,4 = = = Gewinnchance 2 zu ( 4 ) p = = Gewinnchance 3 zu c c ( 5 ) p = = Gewinnchance c zu d c d c+ d c ( ) In einer Urne befinden sich drei schwarze, sieben blaue und sechs rote Kugeln. Sven zieht eine Kugel. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel rot oder blau? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz oder rot? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel nicht rot? Erstellt von Rudolf Brinkmann p9_stoch_032_e.doc :33 Seite: 2 von 5

3 R. Brinkmann Seite A3 en s schwarz b blau r rot damit wird E = s;s;s; b;b;b;b;b; b; b;r; r;r;r;r;r P( s ) = P( b ) = P() r = a) Pr ( b) = Pr ( ) + Pb ( ) = + = = 0, b) P( s r) = P( s) + P( r) = + = = 0, c) 6 P() r = nicht rot bedeutet Gegenereignis von rot Pr () = 1 Pr () = 1 = = = 0, { } Eine Umfrage an einer Schule mit insgesamt 1250 Schülerinnen und Schüler hat ergeben, dass 4,4 % der Mädchen und 6,4% der Jungen Nichtschwimmer sind. Insgesamt ergab sich ein Anteil von 5,2% Nichtschwimmern an der Schule. a) Entwickeln Sie anhand der gegebenen Daten je eine Vierfeldtafel mit den absoluten und mit den relativen Häufigkeiten. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person ein Mädchen? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person ein Junge, der schwimmen kann? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person ein Mädchen, das nicht schwimmen kann? Erstellt von Rudolf Brinkmann p9_stoch_032_e.doc :33 Seite: 3 von 5

4 R. Brinkmann Seite a) M J Summe J bedeutet Jungen S M bedeutet Mädchen N S bedeutet Schwimmer Summe 1250 N bedeutet Nichtschwimmer 5,2% Nichtschwimmer an der Schule bedeutet ,052 = 65 Nichtschwimmer befinden sich an der Schule. Damit gibt es = 1185 Schwimmer an der Schule. Die Anzahl der Jungen und der Mädchen an der Schule sei x + y = 1250 Die Anzahl der Nichtschwimmer an der Schule ist demnach 0,044x + 0,064y = 65 (zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten) x y y = : y = x = x = : x = An der Schule befinden sich II I 750 Mädchen und 500 Jungen ,4% der Mädchen sind Nichtschwimmer, das sind 750 0,044 = 33 6,4% der Jungen sind Nichtschwimmer, das sind 500 0,064 = 32 Mit den nun bekannten Werten wird die Vierfeldtabelle vervollständigt. M J Summe S N Summe M J Summe S = 0,5736 = 0,3744 = 0,948 N = 0,0264 = 0,0256 = 0,052 Summe = 0,6 = 0,4 = 1 b) P (A) = 0,6 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer zufälligen Auswahl ein Mädchen zu wählen. c) P (B) = 0,3744 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer zufälligen Auswahl einen Jungen zu wählen, der schwimmen kann. Erstellt von Rudolf Brinkmann p9_stoch_032_e.doc :33 Seite: 4 von 5

5 R. Brinkmann Seite d) P (C) = 0,0264 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer zufälligen Auswahl ein Mädchen zu wählen, das nicht schwimmen kann. In einer Urne befinden sich 3 rote, 5 grüne und 4 schwarze Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Folgende Ereignisse sind definiert: A: Es wird eine grüne Kugel gezogen. B: Es wird eine rote Kugel gezogen. C: Die gezogene Kugel ist nicht grün. D: Die gezogene Kugel ist nicht rot. E: Die gezogene Kugel ist weder grün noch ist sie rot. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der oder Verknüpfung der Ereignisse A und B. Wie lautet dieses Ereignis in Textform? c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von E. Wie lautet dieses Ereignis in Textform? a) E = r; r;r; g;g;g;g; g; s;s;s;s P( A ) = P( B ) = = P( C) = 1 P( grün) = 1 P( A) = 1 = P( D) = 1 P( rot) = 1 P( B) = 1 = PE ( ) = Pschwarz ( ) = = 12 3 b) P( A B) = P( A) + P( B) = + = Ereignistext: Die gezogene Kugel ist grün oder rot. c) 1 2 PE ( ) = 1 PE ( ) = 1 = 3 3 Ereignistext: Die gezogene Kugel ist nicht schwarz. Erstellt von Rudolf Brinkmann p9_stoch_032_e.doc :33 Seite: 5 von 5