Funktionentheorie I. Kurzskript der Vorlesung vom Sommersemester 2009

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1 Funktionentheorie I Kurzskript der Vorlesung vom Sommersemester 2009 Dieses Skriptum enthält alle numerierten Definitionen, Aussagen und Beispiele der Vorlesung, sowie einige weitere Begriffsklärungen. Es fehlen sämtliche Beweise, Rechnungen, Kommentare und zusätzliche Beispiele und Bemerkungen, die in der Vorlesung dargestellt werden. Allerdings wurden Schaubilder, ein Index und Querverweise hinzugefügt. Ich bedanke mich herzlich bei Esther Bleich für ihre Unterstützung bei der Erstellung des Skriptums. Karlsruhe, 3. März 2011 Roland Schnaubelt

2 Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Differenzierbarkeit Grundlegendes Elementare Funktionen Der Integralsatz von Cauchy Das komplexe Kurvenintegral Integralsatz und -formel für sternförmige Gebiete Weitere Hauptsätze über holomorphe Funktionen Isolierte Singularitäten Klassifikation und Laurentreihe Der Residuensatz und reelle Integrale Das Argumentprinzip Ergänzungen Die homotope Version des Cauchyschen Integralsatzes Die Laplace-Transformation Index 39 1

3 Kapitel 1 Komplexe Differenzierbarkeit 1.1 Grundlegendes Vorbemerkungen zu C (vergleiche Analysis I+II) Man definiert den Körper C, indem man Elemente z = (x, y) und w = (u, v) aus R 2 wie folgt verknüpft: ( ) ( ) x + u xu yv z + w =, z w = zw =. y + v yu + xv Dabei fasst man R als Teilmenge von C R 2 auf, indem x R und (x, 0) R 2 identifiziert werden. Insbesondere gilt für das Element i := (0, 1), dass ( (0,) 1) (0, 1) = ( 1, 0), also x dass i 2 = 1. Wir schreiben nun z = x + iy C statt z = R y 2. Dann ergibt sich aus i 2 = 1, dass zw = (x + iy) (u + iv) = xu yv + i (yu + xv), wobei w = u + iv und x, y, u, v R. Man definiert weiter den Realteil Re z := x, den Imaginärteil Im z := y und das konjugiert Komplexe z = x iy von z = x + iy C mit x, y R. Dann gelten Re z = 1 2 (z + z), Im z = 1 (z z), z + w = z + w und z w = z w. 2i Ferner ist z = x 2 + y 2 = (x, y) 2 der Betrag von z = x + iy C, der gleich der Euklidischen Norm auf R 2 ist. Es gelten z 2 = zz = x 2 + y 2 und für alle z = x + iy C. Weiter erhält man Re z, Im z z 2 max { Re z, Im z } (1.1) z 0; z = 0 z = 0; wz = w z, w + z w + z für alle z, w C. Für φ R setzt man e iφ = (cos φ, sin φ) = cos φ + i sin φ. Dann gelten e iφ e iψ = e i(φ+ψ), e i0 = 1, e i(φ+2πk) = e iφ, e iφ = 1 2

4 für alle φ, ψ R und k Z. Somit erhalten wir die Polarkoordinatendarstellung von z C \ {0} durch z = re iφ mit r := z und { sign(y) arccos x φ = arg z :=, z C \ R r, π, z (, 0). ( ) ( ) x 1 Dabei ist das Argument arg z ( π, π] der Winkel zwischen und, wobei y 0 x = Re z und y = Im z. Für komplexe Zahlen z = re iφ und w = se iψ mit s, r 0 und φ, ψ R ergibt sich also zw = rse i(φ+ψ). Damit ist die Abbildung D w : z wz eine Drehstreckung. Eine n-te Einheitswurzel ist eine Zahl z C mit z n = 1, wobei n N. Das sind genau die n Zahlen z k = e i 2πk n mit k = 0, 1,..., n 1. 3

5 Für M C und f : M C schreiben wir x = Re z und y = Im z, sowie u (x, y) = Re f(x + iy) und v (x, y) = Im f(x + iy). Damit betrachten wir M als ( Teilmenge ) von R 2 u und u, v als Abbildungen von M R 2 nach R, wobei f = u + iv =. v Der komplexe Betrag ergibt den gleichen Konvergenzbegriff auf C wie die 2-Norm auf R 2, nämlich z n z : z n z 0 Re z n Re z und Im z n Im z (für n + ). Weiter haben wir die gleichen offenen und abgeschlossenen Kugeln B(z 0, r) = {z C : z z 0 < r}, B(z 0, r) = {z C : z z 0 r} für alle z 0 C und r > 0. Alle Aussagen über Konvergenz, Stetigkeit, Offenheit und Kompaktheit übertragen sich demgemäß von R 2 auf C. Im Folgenden sei stets D C offen und nichtleer. Für z C oder z 0 C impliziert die Schreibweise z = x + iy oder z 0 = x 0 + iy 0 stets, dass x, y R oder x 0, y 0 R. Definition 1.1. Eine Funktion f : D C heißt (komplex) differenzierbar in z 0 D, wenn der Grenzwert 1 lim (f(z) f(z z z 0 )) =: f (z 0 ) 0 z z z D\{z 0 } 0 in C existiert. In diesem Fall ist f (z 0 ) die (komplexe) Ableitung von f bei z 0. Wenn f für alle z 0 D in diesem Sinne differenzierbar ist, dann nennen wir f holomorph auf D und schreiben f H(D). Iterativ definiert man die höheren Ableitungen f (m) für m N. Bemerkung 1.2. a) Offenbar sind die Funktionen f(z) = 1 und g(z) = z auf C holomorph, wobei f (z) = 0 und g (z) = 1 für alle z C. b) Wenn f, g : D C in z D differenzierbar sind und α, β C, dann sind αf + βg, fg und (falls f(z) 0) 1 in z differenzierbar und es gelten f (αf + βg) (z) = αf (z) + βg (z), (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z), ( ) 1 (z) = f (z) f f 2 (z). Wenn ferner U C eine offene Umgebung von f(z) = w ist, und h : U C bei w differenzierbar ist, dann ist h f bei z differenzierbar, und es gilt (h f) (z) = h (f(z))f (z). c) Folglich sind Polynome p auf C und rationale Funktionen f = p auf {z C : q(z) q 0} holomorph (wobei q 0 ein Polynom ist). Dabei gelten die aus dem Reellen bekannten Formeln für p und f. Seien c C und a n C für jedes n N 0 gegeben. Dann konvergiert die Potenzreihe f(z) = a n (z c) n n=0 4

6 ( ) 1 n für z B(c, ρ) und divergiert für z / B(c, ρ), wobei ρ = lim sup an [0, + ] n der Konvergenzradius ist. Wir schreiben auch B(c, + ) anstelle von C. Satz 1.3. Sei f(z) = n=0 a n (z c) n für z B(c, ρ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ > 0. Dann ist f H(B(c, ρ)) und es gilt f (z) = na n (z c) n 1 n=1 für alle z B(c, ρ), wobei die Potenzreihe f (z) den gleichen Konvergenzradius ρ besitzt. Iterativ folgt f (m) (z) = n (n 1)... (n m + 1) a n (z c) n m n=m für alle z B(c, ρ) und m N. Beispiele mit ρ = + : e z = exp(z) = sin(z) = cos(z) = n=0 n=0 n=0 z n n!, exp = exp, ( 1) n (2n + 1)! z2n+1, sin = cos, ( 1) n (2n)! z2n, cos = sin. Seien f : D C bei z 0 = x 0 + iy 0 D differenzierbar und u = Re f, v = Im f. Dann gilt 1 z z 0 f(z) f(z 0) f (z 0 )(z z 0 ) = f(z) f(z 0 ) f (z 0 ) z z 0 0 für z z 0. Ferner betrachten wir die Zahl f (z 0 ) C als C-lineare Abbildung w f (z 0 )w auf C. Diese Abbildung ist dann auch R-linear auf R 2 und wird somit durch eine reelle 2 2 Matrix ( dargestellt. ) Wenn wir nun D als Teilmenge von R 2 betrachten, ist die u Funktion f = : D R v 2 bei z 0 = (x 0, y 0 ) reell differenzierbar. Gemäß Analysis II existieren dann die partiellen Ableitungen von u und v in (x 0, y 0 ) und es gilt f (x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) v x (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) v. y (x 0, y 0 ) Satz 1.4. Seien f : D C und z 0 = x 0 + iy 0 D. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. a) f ist in z 0 komplex differenzierbar. 5

7 b) f ist in z 0 reell differenzierbar und es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen In diesem Fall gelten Beispiel 1.5. u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). (CR) f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ), (1.2) f (z 0 ) = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). (1.3) a) Die Funktion f(z) = z ist für kein z C komplex differenzierbar. b) Die Funktion f(z) = z 2, z C, ist nur in z = 0 komplex differenzierbar. c) Die Funktion f(z) = 1 z = z 2 ist auf C \ {0} komplex differenzierbar. z Bemerkung 1.6. Sei f : D C in z = x + iy D komplex differenzierbar. Dann gilt u u v (x, y) (x, y) (x, y) A := f (z) = x y u u = y v (x, y) x v v. (1.4) (x, y) (x, y) (x, y) (x, y) y x x y Daraus folgt, dass det A 0 und dass genau dann det A > 0 gilt, wenn f (z) 0. Ferner ist A T A = (det A) I. Sei nun f (z) 0. Dann ist 1 det A A orthogonal. Weiter seien γ j C 1 (( 1, 1), R 2 ) Kurven mit γ j (0) = (x, y) und γ j(0) = v j R 2 \{0}. Dann ist der Winkel zwischen v 1 und v 2 gleich dem Winkel zwischen Av 1 und Av 2, wobei Av j = (f γ j ) (0) der Tangentialvektor der Bildkurve f γ j bei f(x + iy) ist. Somit ist f bei z winkeltreu (oder konform). Da det A > 0, ist f bei z auch orientierungstreu. Definition 1.7. Seien U, V C offen und nichtleer. Eine bijektive Abbildung f : U V mit f H(U) und f 1 H(V ) heißt biholomorph (U und V heißen dann auch konform äquivalent). Satz 1.8. a) Seien U, V C offen und nichtleer, sowie f : U V biholomorph. Dann gelten f (z) 0 und (f 1 ) 1 (w) = für alle z U und w V. f (f 1 (w)) b) Seien f H(D) C 1 (D, R 2 ) und z 0 D mit f (z 0 ) 0. Dann existieren offene, nichtleere Mengen U D und V C mit z 0 U, sodass f : U V biholomorph ist. Insbesondere ist Teil a) für alle z U und w = f(z) V anwendbar. Eine Funktion u C 2 (D, R) heißt harmonisch, wenn für alle (x, y) D. u(x, y) := 2 u x (x, y) + 2 u (x, y) = 0 2 y2 Satz 1.9. a) Sei f H(D) C 2 (D, R 2 ). Dann sind u = Re f und v = Im f auf D harmonisch. b) Sei u C 2 (D, R) auf D harmonisch und B 0 =B((x 0, y 0 ), r) D für ein r > 0. Dann gibt es eine Funktion f H(B 0 ) mit u = Re f. 6

8 1.2 Elementare Funktionen A. Möbiustransformationen ( ) a b Für eine gegebene Matrix A = M c d 22 (C) mit det A = ad bc 0 definieren wir die Möbiustransformation m A H(D A ) durch m A (z) = az + b cz + d für z D A = { C \ { d c }, c 0, C, c = 0. Eigenschaften. Sei A M 22 (C) invertierbar. Dann gelten: a) m A (z) = z für alle z D A A = αi für ein α C \ {0}. b) m βa = m A für alle β C \ {0}. c) Sei B M 22 (C) invertierbar. Dann gilt m A (m B (z)) = m AB (z) für alle z C, für die diese Gleichung definiert ist. d) Es gilt m A 1 = (m A ) 1, sowie m A (D A ) = D A 1 und m A 1(D A 1) = D A. e) Es sei J(z) = 1, z C\{0}, die Inversionsabbildung. Für jede Möbiustransformation z m A gibt es affine Abbildungen A 1 und A 2, sodass m A = A 2 J A 1 gilt. Definition Wir setzen C = C { }, wobei das neue Element den folgenden Gesetzen genügen soll: z + = + z =, z = z =, Verboten: z 0 z = 0 für alle z C, = für alle z C \ {0}.,, 0, 0. Ferner schreiben wir z n (n + ), wenn z n C und z n + für n +. Wir setzen nun m A stetig auf C fort, indem wir { a m A ( ) = c, c 0, ( und m A d ) =, c = 0, c setzen. Dann ist m A : C C bijektiv. Sei M = {m A : C C, A GL(2, C)}. Dann ist M eine Gruppe bezüglich der Komposition und Φ : GL(2, C) M, A m A, ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern {αi, α C \ {0}}. Wir fassen eine Gerade in C als Kreis in C auf, der durch verläuft. Ein verallgemeinerter Kreis K ist also entweder eine gewöhnliche Kreislinie B(c, r) für gewisse c C und r > 0 oder eine Gerade. Man beachte, dass ein verallgemeinerter Kreis K C durch die Lage dreier verschiedener Punkte z 1, z 2, z 3 K eindeutig bestimmt ist. 7

9 Wir setzen speziell S = B(0, 1). Eigenschaft f) Jede Möbiustransformation bildet verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerte Kreise ab. ( ) 1 i Beispiel Sei C =. Die Abbildung m 1 i C (z)= z i heißt Cayleytransformation. Sei H + = {z C : Im z > 0} die obere Halbebene und D = {z C : z < 1} z + i die offene Einheitskreis. Dann ist m C : H + D biholomorph. Geraden der Form x + ib, x R (mit festem b > 0), werden auf Kreise in D abgebildet, die symmetrisch zur x-achse sind und durch 1 und b 1 ( 1, 1) verlaufen. b + 1 B. Potenzen und Wurzeln Sei n N. Mit n x wird stets die reelle n-te Wurzel bezeichnet. Für θ (0, π] definieren wir den (offenen) Sektor Σ θ = {z C \ {0} : arg z < θ}. Speziell sind C + := Σ π/2 = {z C : Re z > 0} die rechte Halbebene und Σ π = C \ R die geschlitzte Ebene. Die Abbildung P n (z) = z n = r n e iφn (z C) bildet den Halbstrahl {re iφ, r > 0} mit φ ( π, π] bijektiv auf den Halbstrahl {se iφn, s > 0} mit n-fachem Winkel nφ ab. Sei p n die Einschränkung von P n auf Σ π/n. Dann ist p n : Σ π/n Σ π bijektiv. Man beachte, dass P n schon auf Σ π/n nicht mehr injektiv ist, z. B. gilt P 2 (i) = P 2 ( i) = 1 für n = 2. Weiter bildet P 2 Geraden der Form Re z = a > 0 auf nach links offenen Parabeln mit Scheitel (a 2, 0) ab und Geraden der Form Im z = b > 0 auf nach rechts offenen Parabeln mit Scheitel ( b 2, 0). 8

10 Definition Für n N heißt r n = p 1 n Man schreibt w 1 n := r n (w) für w Σ π. :Σ π Σ π/n Hauptzweig der n-ten Wurzel. Es gelten r n (z n ) = z für alle z Σ π/n und r n (w) n = w für alle w Σ π, sowie r n (se iφ ) = n s e iφ/n (1.5) für alle s > 0 und φ ( π, π). Somit erhalten wir r n (x) = n x für alle x > 0. Da p n(z) = nz n 1 0 für alle z Σ π/n, sind nach Satz 1.8 die Funktionen p n : Σ π/n Σ π und r n : Σ π Σ π/n biholomorph. Weitere Zweige der Wurzel Für α, β ( π, π] setze E β = {te iψ : t > 0, ψ (β, β + 2π)} und W α,n = {se iφ : s > 0, φ ( ) α, α + 2π n }. Sei zunächst n = 2. Die Einschränkungen p 2 und p u 2 von P 2 auf W β 2,2 bzw. W β π,2 sind Bijektionen 2 p 2 : W β 2,2 E β, p u 2 : W β 2 π,2 E β. Ihre Umkehrabbildungen r2 = (p 2) 1 : E β W β 2,2 und ru 2 = (p u 2) 1 : E β W β 2 zwei Zweige der Quadratwurzel auf E β. Dabei gelten r 2(te iψ ) = te iψ/2, r u 2 (te iψ ) = t e iψ/2 e iπ π,2 sind für alle t > 0 und ψ (β, β + 2π). Ebenso findet man n Zweige der n-ten Wurzel auf E β. C. Exponentialfunktion und Logarithmus Seien z, w C und x = Re z, y = Im z. Dann gelten exp(z + w) = exp(z) exp(w), exp( z) = 1 exp(z), (1.6) exp(z) = e x (cos y + i sin y) 0, (1.7) exp(z) = exp(z + 2πi), (1.8) exp(z) = 1 z = 2πik, k Z. (1.9) 9

11 Also bildet exp die Gerade Im z = b (b R fest) auf den Halbstrahl e x (cos b + i sin b), x R, bijektiv ab. Die Gerade Re z = a (a R fest) wird (nicht injektiv) auf den Kreis B(0, e a ) abgebildet. Somit gelten: exp : S r (a 1, a 2 ) := {z C : a 1 < Re z < a 2 } B(0, e a 2 ) \ B(0, e a 1 ), (surjektiv, nicht injektiv), exp : S i (b 1, b 2 ) := {z C : b 1 < Im z < b 2 } {z C, θ 1 < arg z < θ 2 }, (bijektiv). Dabei sind a 1 < a 2, 2kπ π b 1 < b 2 2kπ + π für ein k Z und θ j = b j 2kπ für j = 1, 2. Speziell sei S i :=S i ( π, π). Dann ist exp Si : S i Σ π bijektiv. Definition Der (Hauptzweig des) Logarithmus ist log = (exp Si ) 1 :Σ π S i. Bemerkung: Die Einschränkung von exp auf S i ( π + α, π + α) für α R liefert weitere Zweige des Logarithmus. Mit ln wird stets der reelle Logarithmus ln : (0, ) R bezeichnet. Die Definition des Logarithmus impliziert, dass log(exp z) = z für alle z S i und exp(log w) = w für alle w Σ π. Aus Satz 1.8 und exp (z) = exp(z) 0 für alle z C folgt weiter, dass die Abbildungen exp :S i Σ π und log : Σ π S i biholomorph sind, sowie log (w) = 1 w für alle w Σ π. Für w = re iφ mit r > 0 und φ ( π, π) gilt ferner log w = ln r + iφ. (1.10) Beispiel: log r = ln r, log i = i π 2. 10

12 Vorsicht. Das Logarithmusgesetz gilt im Allgemeinen nicht. Beispiel: deswegen Seien φ, ψ ( π, π) mit φ + ψ > π. Dann gilt φ + ψ 2π ( π, π) und log(e iφ e iψ ) = i (φ + ψ 2π) iφ + iψ = log e iφ + log e iψ. Definition Seien z = re iφ Σ π, r > 0, φ ( π, π), w = x + iy C und x, y R. Dann definieren wir die Potenz z w := exp(wlogz) = r x e yφ e i(xφ+y ln r). Beispiel: i i = e π/2. Bemerkung Seien z und w wie in Definition 1.14, k Z, n N und w j = x j + iy j mit x j, y j R für j = 1, 2. Dann gelten a) z k in Definition 1.14 stimmt mit der üblichen Definition überein. b) z w 1+w 2 = z w 1 z w 2. In den Definitionen 1.12 und 1.14 stimmen z 1 n überein. c) d dz zw = wz w 1, d dw zw = log(z)z w. d) z w = z Re w e Im(w) arg(z) z Re w e π Im(w). D. Sinus und Kosinus Seien z, w C mit z = x + iy. Aus den Reihendarstellungen von sin und cos folgen sin( z) = sin(z), cos( z) = cos(z), (1.11) exp(iz) = cos(z) + i sin(z), cos 2 (z) + sin 2 (z) = 1, (1.12) cos(z) = 1 2 (exp(iz) + exp( iz)), sin(z) = 1 (exp(iz) exp( iz)), (1.13) 2i cos(z) = cos(x) cosh(y) i sin(x) sinh(y), (1.14) sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y). (1.15) Dabei sind cosh(x) = 1 2 (ex + e x ) und sinh(x) = 1 2 (ex e x ) die hyperbolischen Funktionen. Somit sind die komplexen Funktionen sin und cos in imaginärer Richtung y ± unbeschränkt! Weiter gilt ( ) ( ) z + w z w cos(z) cos(w) = 2 sin sin. (1.16) 2 2 Es folgen weiter cos ( z + π 2 ) = sin(z), sin ( z + π 2 ) = cos(z), sin(z) = sin(z + 2π) und cos(z) = cos(z + 2π) für alle z C, und wir erhalten sin und cos haben auf C nur die bekannten reellen Nullstellen und Periodizitäten. (1.17) 11

13 Wenn der reelle Sinus bzw. Kosinus auf (a, b) injektiv ist, dann ist der komplexe Sinus bzw. Kosinus auf S r (a, b) injektiv. (1.18) Der Kosinus bildet die Gerade z = x + ib, x R (b R fest), auf die Ellipse mit dem Mittelpunkt 0 und den Scheiteln (± cosh(b), 0), (0, ± sinh(b)) ab. Für x (0, π) ergibt sich dabei als Bild der obere Bogen, falls b < 0, sowie der untere Bogen, falls b > 0. Somit ist cos : S r (0, π) D := C \ {(, 1] [1, + )} biholomorph. Wir definieren den Hauptzweig des Arcuscosinus durch arccos = ( cos Sr(0,π)) 1 : D Sr (0, π). Dieser ist biholomorph. Durch Verschiebung sieht man, dass biholomorph mit der Inversen arcsin ist. sin :S r ( π 2, π 2 ) D 12

14 Kapitel 2 Der Integralsatz von Cauchy 2.1 Das komplexe Kurvenintegral Es sei f : [a, b] C stückweise stetig (d. h., f besitzt bei jedem t [a, b] den rechtsund linksseitigen Grenzwert und diese beiden stimmen bis auf endlich viele t überein). Somit sind die Funktionen Re f, Im f : [a, b] R messbar und beschränkt. Also existiert das komplexwertige Integral fdt = b a f(t)dt := Weiter setzen wir f 1 = b f(t) dt. a b a Re f(t)dt + i b a Im f(t)dt. Eigenschaften: Es seien f, g : [a, b] C stückweise stetig, c R, und α, β C. Dann gelten (vergleiche Analysis 3) die folgenden Aussagen. a) Re b f(t)dt = b Re f(t)dt, Im b f(t)dt = b Im f(t)dt, a a a a b) b f(t)dt b a f(t) dt (b a) f a. b a f(t)dt = b a f(t)dt. c) b (αf + βg) (t)dt = α b f(t)dt + β b g(t)dt, a a a c f(t)dt + b f(t)dt = b f(t)dt. a c a d) Seien h n : [a, b] C stückweise stetige Funktionen, die gleichmäßig auf [a, b] gegen ein stückweise stetiges h : [a, b] C konvergieren. Dann gilt b a h(t)dt b a h n (t)dt (b a) h h n 0, n +. Eine Funktion f : [a, b] C heißt differenzierbar in t 0 [a, b], wenn 1 lim (f(t) f(t 0 )) =: f (t 0 ) t t0 t t 0 in C. Dies ist genau dann der Fall, wenn u = Re f und v = Im f bei t 0 differenzierbar sind; und dann gilt f (t 0 ) = u (t 0 ) + iv (t 0 ). Wenn f bei allen t [a, b] differenzierbar ist 13

15 und die Ableitung f : [a, b] C stetig ist, so schreiben wir f C 1 ([a, b], C). In diesem Fall gilt b Falls g : [a, b] C stetig ist, so existiert d dt t a a f (t)dt = f(b) f(a). (2.1) g(s)ds = g(t) für jedes t [a, b]. (2.2) Schließlich seien f C 1 ([a, b], C) und φ C 1 ([α, β]) mit φ([α, β]) [a, b]. Dann gilt die Substitutionsregel φ(β) φ(α) f(t)dt = β α f(φ(s))φ (s)ds. (2.3) Beispiel 2.1. Es gilt b ( a ezt dt = 1 z e zb e za) für jedes z C \ {0}. Definition 2.2. Das Bild einer stetigen Abbildung γ : [a, b] C heißt stetige Kurve oder Weg von γ (a) nach γ (b) mit Parametrisierung γ. Die Kurve heißt geschlossen, wenn γ (a) = γ (b), und einfach, wenn γ auf [a, b) injektiv ist. Die Kurve C heißt stückweise C 1, wenn γ C([a, b], C) und es Zahlen a = t 0 < t 1 <... < t m = b gibt, sodass die Einschränkung γ k von γ auf [t k 1, t k ] stetig differenzierbar für jedes k = 1,..., m ist. Wir setzen dann γ (t) = γ k (t) für t k 1 t < t k und k {1,..., m}, sowie γ (b) = γ m (b). Wenn zusätzlich jedes γ k eine affine Funktion ist, so heißt Streckenzug. Im Folgenden bezeichnet stets eine Kurve, die stückweise C 1 ist, und γ ist ihre Parametrisierung (soweit nichts anderes gesagt wird). Beispiel 2.3. a) Die einfach im Gegenuhrzeigesinn durchlaufene Kreislinie = B(c, r) hat z. B. die Parametrisierungen γ(t) = c + re it mit t [0, 2π] und γ 1 (t) = c + re 2it mit t [0, π]. Sie ist einfach und geschlossen. b) Sei m N mit m 2. Die m-fach durchlaufene Kreislinie = B(c, r) hat die Parametrisierung γ(t) = c + re it mit t [0, 2πm]. Sie ist geschlossen, aber nicht einfach. c) Die Strecke wz von w nach z hat die Parametrisierung γ(t) = w + t(z w) mit t [0, 1]. d) Gegeben seien stückweise C 1 Kurven 1 und 2 mit Parametrisierungen γ j C([a j, b j ], C), wobei j = 1, 2 und γ 1 (b 1 ) = γ 2 (a 2 ). Dann hat der Summenweg = die Parametrisierung { γ1 (t), a γ(t) = 1 t b 1, γ 2 (t b 1 + a 2 ), b 1 t b 1 + b 2 a 2. Er ist auch stückweise C 1 und verläuft von γ 1 (a 1 ) nach γ 2 (b 2 ). 14

16 Beispiele: Dreiecksweg z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 für beliebige z 1, z 2, z 3 C oder Kreis mit Griff B (0, 1) + [1, 2]. e) Der Rückwärtsweg wird durch ˆγ(t) = γ(b t + a) mit t [a, b] parametrisiert. Er ist auch stückweise C 1 und verläuft von γ(b) nach γ(a). Definition 2.4. Seien eine stückweise C 1 (komplexe) Kurvenintegral durch Kurve und f C(, C). Dann wird das fdz = f(z)dz := b a f(γ(t))γ (t)dt definiert. 15

17 Bemerkung 2.5. Es seien f, g C(, C) und α, β C. Dann gelten a) (αf + βg) (z)dz = α f(z)dz + β g(z)dz, b) f(z)dz l(γ) max f(z), wobei z die Kurvenlänge von ist. l(γ) = b a γ (t) dt c) Es sei = der Summenweg aus Beispiel 2.3 d), dann gilt f(z)dz = f(z)dz + 1 f(z)dz. 2 Speziell folgt: f(z)dz = m k=1 mit den Bezeichnungen aus Definition 2.2. tk t k 1 f(γ(t))γ (t)dt d) Für den Rückwärtsweg aus Beispiel 2.3 e) gilt f(z)dz = f(z)dz. e) Das Kurvenintegral ist invariant unter orientierungserhaltenden Transformationen φ von. Das heißt: Wenn φ C([a, b]) strikt wachsend und auf jedem der Intervalle [t k 1, t k ] aus Definition 2.2 stetig differenzierbar ist, dann ist γ := γ φ 1 auf [α, β] := φ([a, b]) stückweise C 1 und es gilt: b a f(γ(t))γ (t)dt = β f) Seien u = Re f und v = Im f. Dann gilt ( ) u fdz = d (x, y) + i v α f( γ(s)) γ (s)ds. ( v u wobei rechts reelle Kurvenintegrale zweiter Art stehen. ) d (x, y), Beispiel 2.6. a) Sei = B(c, r) m-fach durchlaufen, wobei c C und r > 0. Dann gelten z c k dz dz = 0 für jedes k Z \ { 1}, sowie z c = 2πim. b) Seien = 0w und w Σ π. Dann gilt z dz = 3 w

18 Satz 2.7. Seien f n C(, C) für n N. a) Wenn f n gegen f gleichmäßig konvergiert, dann folgt f n (z)dz f(z)dz l(γ) f f n 0 für n +. b) Sei h C(D, C). Dann ist die Abbildung z h(z, w)dw von D nach C stetig. c) Wenn n 1 f n(z) gleichmäßig in z konvergiert, dann gilt f n (z)dz = n=1 n=1 f n (z)dz. d) Es sei h C(D, C), sodass für jedes w die Abbildung z h(z, w) von D nach C differenzierbar ist und h C(D, C). Dann existiert z d h(z, w)dw = dz h(z, w)dw. z Erinnerung. Eine Teilmenge M eines normierten Vektorraums X heißt zusammenhängend, wenn für alle offenen Teilmengen O 1, O 2 X aus M O 1 O 2, M O 1 und M O 2 stets folgt, dass M O 1 O 2. Bild einer unzusammenhängenden Menge: Eine offene und zusammenhängende Menge heißt Gebiet. Stetige Bilder zusammenhängender Mengen sind zusammenhängend. Da Intervalle in R zusammenhängend sind, sind also stetige Kurven zusammenhängend. (Stetige Kurven und Streckenzüge in X definiert man wie im Fall X = C.) Satz 2.8. Es seien X ein normierter Vektorraum und M X. a) Für alle x, y M gebe es einen stetigen Weg M von x nach y. Dann ist M zusammenhängend. 17

19 b) Es sei M = D offen und zusammenhängend. Dann gibt es für alle x, y D einen Streckenzug M von x nach y. Bemerkung 2.9. Seien D eine offene Teilmenge eines normierten Vektorraums X und y, z D. Die Menge D(y) = {x D : Streckenzug D von x nach y} heißt Zusammenhangskomponente von D (bei y). Sie ist offen, zusammenhängend und in D abgeschlossen. Es gelten weiter: a) D(y) = D(z) Streckenzug D von y nach z. b) D(y) D(z) = Streckenzug D von y nach z. Also sind alle verschiedenen Zusammenhangskomponenten von D schon disjunkt. Satz Sei D C ein Gebiet und f H(D) mit f = 0. Dann ist f konstant. Bemerkung: Der Satz ist falsch, wenn D nicht zusammenhängend ist. Definition Sei D C ein Gebiet und f C(D, C). Eine Funktion F H(D) mit F = f heißt Stammfunktion von f auf D. Beispiel. Polynome, exp, sin, cos haben Stammfunktionen auf C, f(z) = 1 z Stammfunktion log auf Σ π. hat die 18

20 Bemerkung Sei F eine Stammfunktion von f auf einem Gebiet D. Dann sind alle anderen Stammfunktionen von f auf D von der Form F + c für eine Konstante c C. Satz Seien D C ein Gebiet und f C(D, C). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. a) f besitzt eine Stammfunktion F auf D. b) Für alle z, w D und alle Kurven 1, 2 D von z nach w gilt f(z)dz = f(z)dz. 1 2 c) Für alle geschlossenen Kurven D gilt f(z)dz = 0. In diesem Fall folgt für jede Kurve 0 D von z nach w, dass 0 f(z)dz = F (w) F (z). Beispiel a) Sei eine Kurve von z 1 nach z 2. Dann gilt cos(z)dz = sin(z 2) sin(z 1 ). b) Sei ε (0, π) und ε eine Kurve in Σ π von e i( π+ε) nach e i(π ε). Dann gilt dz ε = z 2i (π ε). Ferner gilt dz = 2πi, sodass die Funktion f(z) = 1 keine Stammfunktion D z z auf C \ {0} besitzt. Definition Sei C eine geschlossene Kurve und z C \. Dann heißt n(, z) = 1 dw 2πi w z die Windungszahl (oder Index) von bei z. Bemerkung: C \ hat genau eine unbeschränkte Zusammenhangskomponente. 19

21 Satz Seien C eine geschlossene Kurve und z C\. Dann gelten die folgenden Aussagen. a) n(, z) Z. b) Die Abbildung z n(, z) ist konstant auf jeder Zusammenhangskomponente von C \. c) n(, z) = 0 für alle z in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von C \. d) n(, z) = n(, z). e) Seien 1 und 2 geschlossene Kurven in C mit = Dann gilt n(, z) = n( 1, z) + n( 2, z). Beispiel Sei die m-fach durchlaufene Kreislinie B(c, r). Dann gilt { m, z B(c, r), n(, z) = 0, z B(c, r). Bemerkung Es seien eine geschlossene Kurve und z C \. Es sei L ein Halbstrahl {z + te iφ, t 0}, der nur endlich oft schneidet. Dann ist n(, z) gleich der Anzahl der Schnittpunkte, bei denen den Strahl L im Gegenuhrzeigersinn schneidet, minus der Anzahl der Schnittpunkte im Uhrzeigersinn. Berührpunkte (bei denen auf einer Seite von L bleibt) werden dabei nicht mitgezählt. 2.2 Integralsatz und -formel für sternförmige Gebiete Satz 2.19 (Goursat). Seien D C offen, w D, f C(D, C) H(D \ {w}) und D ein abgeschlossenes Dreieck. Dann gilt f(z)dz = 0. 20

22 Definition Sei M C. Die Menge M heißt konvex, wenn für alle w, z M auch wz in M liegt. Die Menge M heißt sternförmig mit Zentrum z 0 M, wenn für alle w M auch z0 w in M liegt. Bemerkung: Jede konvexe Menge ist sternförmig. Jeder Sektor Σ φ ist sternförmig mit Zentrum 1, aber nur für 0 < φ π/2 konvex. Theorem 2.21 (Cauchys Integralsatz für sternförmige Gebiete). Seien D C ein sternförmiges Gebiet, f H(D) und D eine geschlossene Kurve. Dann gilt f(z)dz = 0. Insbesondere hat f eine Stammfunktion auf D. Beispiel a) D dz z + 2 = 0. 21

23 b) Der Integralsatz ist falsch auf D = C \ {0}, da dz D z = 2πi 0. Theorem 2.23 (Cauchys Integralformel für sternförmige Gebiete). Seien D C ein sternförmiges Gebiet, f H(D) und D ein geschlossener Weg. Dann gilt n(, z)f(z) = 1 f(w) dw für jedes z D \. (CIF) 2πi w z Für = B(z 0, r) D (einfach im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen) und z B(z 0, r) folgen f(z) = 1 f(w) dw, (2.4) 2πi w z f(z 0 ) = 1 2π B(z 0,r) 2π 0 f(z 0 + re it )dt. (2.5) Definition Eine Funktion f : D C heißt analytisch, wenn es für jedes z D ein r(z) > 0 gibt, sodass für alle w B(z, r(z)) die Funktion f durch eine Potenzreihe f(w) = n=0 a n(z) (w z) n dargestellt wird. Nach Satz 1.3 ist eine analytische Funktion auf D beliebig oft differenzierbar und insbesondere holomorph. Eine auf C holomorphe Funktion heißt ganz. Theorem 2.25 (Entwicklungssatz). Sei f H(D). Dann ist f analytisch. Seien ferner z 0 D, r > 0 mit B(z 0, r) D, n N und z B(z 0, r). Dann gelten die Cauchyschen Formeln f (n) (z) = n! f(w) n+1 dw (2.6) 2πi (w z) und die Cauchyschen Abschätzungen B(z 0,r) Weiter gilt für R(z 0 ) := sup{s > 0 : B(z 0, s) D}, dass f(z) = n=0 (z z 0 ) n 1 2πi f (n) (z 0 ) n! max f(w) (2.7) r n w B(z 0,r) B(z 0,r) f(w) (w z 0 ) dw = n+1 n=0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n (2.8) n! für alle z C mit z z 0 < R(z 0 ) und r (0, R(z 0 )). Die Potenzreihe konvergiert absolut und gleichmäßig auf allen Kreisscheiben B(z 0, r ) mit r (0, R(z 0 )). Wenn f ganz ist, dann gibt es a n C, sodass f(z) = n=0 a nz n für alle z C. Beispiel a) Auf R gibt es differenzierbare Funktionen, deren Ableitung nicht einmal stetig ist. Ferner gibt es Funktionen f C (R), die nicht analytisch sind. b) Sei α R. Die Funktion f(z) = (1 + z) α ist auf D = C \ (, 1] holomorph. Somit konvergiert ihre Potenzreihe (die Binomialreihe aus Analysis I) mit Entwicklungspunkt z 0 = 0. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist ρ = 1. Korollar Gegeben sei eine Borelmenge X R d (z. B. ein offenes oder abgeschlossenes X) und eine Funktion h : D X C mit den folgenden Eigenschaften. 22

24 a) Für jedes z D ist die Abbildung x h(z, x) auf X integrierbar. b) Für jedes x X ist die Abbildung z h(z, x) auf D holomorph. c) Es existiert eine integrierbare Funktion g : X R +, sodass h(z, x) g(x) für alle z D und x X gilt. Dann ist die Funktion z h(z, x)dx auf D holomorph und es gilt X ( ) n d n h(z, x)dx = h(z, x)dx, für alle n N. dz X X zn Beispiel 2.28 (Laplace-Transformation). Sei f : R + C messbar (z. B. stetig), sodass f(t) ce ωt für alle t 0 und Konstanten c > 0 und ω R. Dann existiert die Laplace-Transformierte ˆf(λ) = 0 e λt f(t)dt für alle λ C mit Re λ > ω, und sie ist dort holomorph und besitzt die Ableitungen ( ) n d ( ) ˆf(λ) = ( 1) n t n e λt f(t)dt für jedes n N. dλ 0 Korollar 2.29 (Morera). Sei f C(D, C), so dass fdz = 0 für jedes abgeschlossene Dreieck D. Dann ist f auf D holomorph. Theorem 2.30 (Satz von Liouville). Eine beschränkte ganze Funktion ist konstant. Korollar 2.31 (Fundamentalsatz der Algebra). Ein komplexes Polynom vom Grad n hat genau n (eventuell mehrfach gezählte) Nullstellen. Definition Seien U R l offen und f, f n : U R k für n N. Man sagt, dass f n gegen f kompakt (oder gleichmäßig auf Kompakta) konvergiert, wenn für jede kompakte Menge K U gilt, dass sup f n (x) f(x) 2 0, n +. x K Bemerkung a) Wenn in der Situation von Definition 2.32 f n gegen f kompakt konvergiert und alle f n stetig sind, dann ist f stetig. Andererseits gibt es f n C ([ 1, 1]), die gleichmäßig gegen ein f C([ 1, 1]) konvergieren, welches nicht differenzierbar ist. b) Die Partialsummen einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z 0 und Konvergenzradius ρ > 0 konvergieren kompakt auf B(z 0, ρ), aber unter Umständen nicht gleichmäßig auf B(z 0, ρ). Theorem 2.34 (Konvergenzsatz von Weierstraß). Gegeben seien Funktionen f n H(D), die kompakt auf D gegen ein f C(D, C) konvergieren. Dann ist f auf D holomorph und die Ableitungen f n (j) konvergieren für n + auf D kompakt gegen f (j), wobei j N. 23

25 2.3 Weitere Hauptsätze über holomorphe Funktionen Theorem 2.35 (Identitätssatz). Seien D C ein Gebiet und f H(D). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. a) f = 0 auf D. b) Es gibt ein z 0 D mit f (k) (z 0 ) = 0 für alle k N 0. c) Die Menge N = {z D : f(z) = 0} hat einen Häufungspunkt z 0 D, d. h.: Es gibt z n D \ {z 0 }, sodass f(z n ) = 0 für alle n N und z n z 0 für n +. Somit sind zwei Funktionen g, h H(D) gleich, sobald sie auf einer Folge (z n ) D \{z 0 } übereinstimmen, die den Grenzwert z 0 D hat, oder sobald g (k) (z 0 ) = h (k) (z 0 ) an einer Stelle z 0 D für alle k N 0 gilt. Insbesondere sind die Koeffizienten einer Potenzreihe eindeutig bestimmt. Korollar 2.36 (Nullstellensatz). Seien D C ein Gebiet, f H(D), f 0 und f(z 0 ) = 0 für ein z 0 D. Dann gibt es m N und r > 0 mit B(z 0, r) D, sowie eine Funktion g H(B(z 0, r)), sodass f(z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (m 1) (z 0 ), f (m) (z 0 ) 0, g(z 0 ) 0 und f(z) = (z z 0 ) m g(z) für alle z B(z 0, r). (Dabei heißt m N die Ordnung oder Vielfachheit der Nullstelle z 0 von f.) Korollar Seien D C ein Gebiet, f H(D), f nicht konstant und c C. Dann ist die Menge N c = {z D : f(z) = c} diskret, d. h.: Für alle z N c gibt es ein r(z) > 0, sodass B(z, r(z)) N c = {z}. Korollar 2.38 (Holomorphe Fortsetzung). Seien f H(D) und U C ein Gebiet mit D U. Dann gibt es höchstens ein g H(U) mit g D = f. Beispiel a) Die Funktion f 0 : R R mit f 0 (x) = exp ( 1x ), x > 0, und f 2 0 (x) = 0 für x 0 ist beliebig oft differenzierbar, besitzt aber keine holomorphe Fortsetzung auf ( ein Gebiet U R. Seien θ 0, π ), D =Σ θ ( Σ θ ) und f(z) = exp ( 1z ) für z Σ 2 2 θ und f(z) = 0 für z Σ θ. Dann hat f keine holomorphe Fortsetzung auf ein Gebiet U, das 0 und D enthält. Die Einschränkung f 1 von f nach Σ θ hat die eindeutige holomorphe Fortsetzung g(z) = exp ( 1z ) auf U = C \ {0}. 2 b) (Gammafunktion) Für z C mit Re z > 0 existiert das Integral (z) = 0 t z 1 e t dt und die Abbildung z (z) ist auf C + holomorph. In Analysis I wurde gezeigt, dass (x + 1) = x(x), also (x) = (x + 1), für alle x > 0. x Somit kann man zu (genau) einer holomorphen Funktion g auf U = {z C \ {0} : Re z > 1} fortsetzen. Wenn wir (z) = g(z) für z U setzen, erhalten wir ferner (z+1) = z(z) für z U. Iterativ erhält man eine eindeutige Fortsetzung H(C\Z ) mit (z + 1) = z(z) für alle z C \ Z, wobei Z = {0, 1, 2,...}. 24

26 Lemma Seien f H(D), B =B(z 0, r) und r > 0 mit B D und f(z 0 ) < min z B f(z). Dann hat f eine Nullstelle in B(z 0, r). Theorem 2.41 (Gebietstreue). Seien D C ein Gebiet und f H(D) nicht konstant. Sei U D offen (bzw. ein Gebiet). Dann ist f(u) offen (bzw. ein Gebiet). Speziell ist f(d) ein Gebiet. Bemerkung: Seien X, Y normierte Vektorräume und D X. Eine Abbildung f : D Y heißt offen, wenn für jede in D offene Teilmenge U D die Bildmenge f(u) in Y offen ist. Theorem 2.41 zeigt also die Offenheit aller nichtkonstanten, holomorphen Funktionen auf einem Gebiet D C. Theorem 2.42 (Maximumsprinzip). Seien D C ein Gebiet und f H(D) nicht konstant. a) Dann hat die Funktion z f(z) auf D kein lokales Maximum. b) Sei ferner f C(D, C) und D beschränkt. Dann gilt max f(z) = max f(z). z D z D Bemerkung: In b) kann auf die Beschränktheit von D im Allgemeinen nicht verzichtet werden; Beispiel: { D = z C : π 2 < Im z < π }, f(z) = exp(exp(z)). 2 Beispiel (Potenzreihenentwicklung der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen) Seien D C ein Gebiet, a, b H(D) und u 0, u 1 C gegeben. Wir suchen eine holomorphe Lösung des Anfangswertproblems u (z) + b(z)u (z) + a(z)u(z) = 0, z D, u(0) = u 0, u (0) = u 1. (2.9) Wähle R > 0, sodass B(0, R) D. Setze und wähle M = max { a(z), b(z) } z R { } 1 0 < r < min R, 1,. 2M Dann existiert genau eine Lösung u H(B(0, r)) von (2.9). Nach Theorem 2.25 hat diese eine Potenzreihe u(z) = c n z n für z B(0, r), (2.10) n=0 wobei u(0) = c 0 = u 0 und u (0) = c 1 = u 1. 25

27 Beispiel: (Hermitesche Differentialgleichung) Seien α, β R gegeben und λ R ein Parameter. Wir betrachten das Anfangswertproblem u (x) 2xu (x) + λu(x) = 0, x R, u(0) = α, u (0) = β. (2.11) Hier gilt a(z) = λ und b(z) = 2z für z C, und (2.11) hat eine Lösung u H(B(0, r)) für ein r > 0. Aus (2.10) und (2.11) folgt ((n + 1) (n + 2) c n+2 2nc n + λc n ) z n = 0. n=0 Wegen Theorem 2.35 sind die Koeffizienten c n durch die Rekursion c n+2 = 2n λ (n + 1) (n + 2) c n (n N 0 ), c 0 = α, c 1 = β, gegeben. Diese bricht ab (d. h. c n = 0 für alle n > m), wenn λ = 2m für ein m N und wenn β = 0, falls m gerade, oder wenn α = 0, falls m ungerade. Die ersten dieser polynomialen Lösungen sind u 0 (x) = α (λ = 0, m = 0, β = 0), u 1 (x) = βx (λ = 2, m = 1, α = 0), u 2 (x) = α(1 2x 2 ) (λ = 4, m = 2, β = 0), u 3 (x) = β(x 2 3 x3 ) (λ = 6, m = 3, α = 0). 26

28 Kapitel 3 Isolierte Singularitäten 3.1 Klassifikation und Laurentreihe Definition 3.1. Eine Zahl z 0 C heißt isolierte Singularität von f H(D), wenn es ein r > 0 gibt, sodass D 0 = B(z 0, r) \ {z 0 } D. Für eine isolierte Singularität z 0 von f unterscheiden wir die folgenden 3 Fälle. a) z 0 heißt hebbar, wenn f D0 eine holomorphe Fortsetzung f H(B(z 0, r)) besitzt. b) z 0 ist ein Pol, wenn f(z) für z z 0 und z D; d. h.: Aus z n z 0 und z n D folgt stets f(z n ) + für n +. c) z 0 heißt wesentlich, wenn es weder hebbar noch ein Pol ist. Beispiel 3.2. a) 0 ist keine isolierte Singularität von f(z) = log z für z D =Σ π. b) 0 ist eine hebbare Singularität von f(z) = sin(z) für z D = C \ {0}. z c) 0 ist ein Pol von f(z) = z m für z D = C \ {0} und ein festes m N. d) 0 ist eine wesentliche Singularität von f(z) = e 1 z für z D = C \ {0}. Theorem 3.3. Sei z 0 C eine isolierte Singularität von f H(D). Dann gelten die folgenden Äquivalenzen. a) ( Riemannscher Hebbarkeitssatz) z 0 ist genau dann hebbar, wenn es ein r 1 > 0 gibt, sodass D 1 = B(z 0, r 1 ) \ {z 0 } D und f auf D 1 beschränkt ist. b) Es sind äquivalent: (1) z 0 ist ein Pol. (2) Es gibt Zahlen r 2 > 0, c 2 c 1 > 0 und m N, sodass D 2 = B(z 0, r 2 ) \ {z 0 } D und c 1 z z 0 m f(z) c 2 z z 0 m für alle z D 2 gilt. (3) Es gibt Zahlen r 3 > 0 und m N und eine Funktion g H(B(z 0, r 3 )), sodass D 3 = B(z 0, r 3 ) \ {z 0 } D, g(z 0 ) 0 und f(z) = (z z 0 ) m g(z) für alle z D 3 gilt. (4) Es gibt ein r 4 > 0, sodass D 4 = B(z 0, r 4 ) \ {z 0 } D, f(z) 0 für alle z D 4 und die Funktion h 0 = 1 H(D f 4) eine holomorphe Fortsetzung h H(B(z 0, r 4 )) besitzt, für die z 0 eine m-fache Nullstelle ist. 27

29 Die Zahl m N stimmt in (2), (3) und (4) überein und heißt Ordnung des Poles z 0. c) ( Casorati-Weierstraß) z 0 ist genau dann wesentlich, wenn für alle r > 0 mit D 0 = B(z 0, r) \ {z 0 } D die Bildmenge f(d 0 ) dicht in C ist. Beispiel 3.4. a) 0 ist ein Pol zweiter Ordnung von f(z) = (1 cos z) 1 für z D = B(0, π/2) \ {0}. b) Sei k N fest und f(z) = z k sin 1 für z D = C \ {0}. Dann ist 0 eine wesentliche z Singularität von f, obwohl f(x) 0 für x 0 und x R. c) 0 ist ein Pol erster Ordnung von f(z) = cot(z) = cos(z) sin(z) für z D = C \ {kπ, k Z}. Theorem 3.5. Sei D C ein Gebiet und f H(D) injektiv. Dann ist f : D f(d) biholomorph. Bemerkung: a) Man kann in Theorem 3.5 auf die Voraussetzung des Zusammenhangs verzichten. b) Im Reellen ist die Funktion f : R R, f(x) = x 3, bijektiv und beliebig oft differenzierbar, aber ihre (stetige) Umkehrfunktion f 1 (x) = sign(x) 3 x ist bei 0 nicht differenzierbar. Seien a n C für n Z und z 0 C gegeben. Wir sagen, dass die Laurentreihe + n= a n (z z 0 ) n für ein z C konvergiert, wenn ihr regulärer Teil und ihr singulärer Teil + n=0 + k=1 a n (z z 0 ) n a k (z z 0 ) k konvergieren. Entsprechen definiert man die absolute und die gleichmäßige Konvergenz (auf Kompakta) einer Laurentreihe. Theorem 3.6 (Laurent). Seien f H(D), R > 0 und z 0 C mit D 0 = B(z 0, R) \ {z 0 } D. Für ρ (0, R) setze K ρ = B(z 0, ρ) und a n = 1 f(w) n+1 dw für alle n Z. (3.1) 2πi (w z 0 ) Dann gilt f(z) = K ρ + n= a n (z z 0 ) n für alle z D 0, (3.2) wobei die Laurentreihe absolut und kompakt in D 0 konvergiert. Die Koeffizienten a n in (3.2) sind dabei eindeutig bestimmt (und insbesondere unabhängig von ρ (0, R)). 28

30 Korollar 3.7. Seien f H(D), z 0 C und R > 0 mit D 0 = B(z 0, R)\{z 0 } D. Weiter seien a n, n Z, die Koeffizienten der Laurentreihe von f. Dann gelten die folgenden Äquivalenzen. a) z 0 ist genau dann hebbar, wenn a n = 0 für alle n 1. b) z 0 ist genau dann ein Pol m-ter Ordnung, wenn a m 0 und a n = 0 für n < m (wobei m N). c) z 0 ist genau dann wesentlich, wenn es eine Folge n j gibt mit a nj 0 für jedes j N. für z 0, wobei 0 eine wesentliche Singula- Beispiel 3.8. a) e 1/z = 0 n= rität ist. b) z 6 (cos(z) 1) = + j= 2 1 ( n)! zn ( 1) j (2j+6)! z2j für z 0, wobei 0 ein Pol vierter Ordnung ist. 3.2 Der Residuensatz und reelle Integrale Definition 3.9. Sei z 0 C eine isolierte Singularität von f H(D). Der Koeffizient a 1 der Laurentreihe von f bei z 0 heißt Residuum Res(f, z 0 ) von f bei z 0. Es gilt also für r > 0 mit B(z 0, r) \ {z 0 } D, dass Res(f, z 0 ) = 1 2πi Bemerkung: Das Residuum ist linear in f. B(z 0,r) f(w)dw. Theorem 3.10 (Residuensatz). Seien U C sternförmig und offen, A = {z 1,..., z l } U, D := U \ A, f H(D) und D eine geschlossene Kurve. Dann gilt f(z)dz = 2πi l n(,z j ) Res(f, z j ). (3.3) j=1 Lemma Sei z 0 ein Pol m-ter Ordnung von f H(D) (mit m N) und g die holomorphe Fortsetzung der Funktion z (z z 0 ) m f(z) auf einen Kreis B(z 0, r) D {z 0 }. Dann gilt Res(f, z 0 )= 1 (m 1)! g(m 1) (z 0 ) = lim z z0 1 (m 1)! g(m 1) (z). Speziell gilt für einen Pol z 0 erster Ordnung, dass Res(f, z 0 ) = lim z z0 (z z 0 )f(z). Insbesondere folgt Res(f, z 0 ) = h(z 0 ), wenn f(z) = h(z) für z D und h H(D {z 0 }). z z 0 Beispiel a) Seien g H(U), U C offen, z j U, g(z j ) 0 (j = 1, 2) und z 1 z 2. g(z) Setze f(z) = (z z 1 ) (z z 2 ) 2 für z U \ {z 1, z 2 }. Dann ist z 1 ein Pol erster Ordnung und z 2 ein Pol zweiter Ordnung. b) Es gilt Res(cot 2, 0) = 0, wobei 0 ein Pol zweiter Ordnung von cot 2 ist. 29

31 π Beispiel Für jedes a > 1 gilt Beispiel Für jedes t R gilt π R dx a + cos(x) = e itx 1 + x 2 dx = πe t. 2π a2 1. Beispiel Es gilt x x 4 dx = π 2. Beispiel: Für t R gilt R sin(x) lim R R x eitx dx = 0, t > 1, π, t = 1, 2 π, t < Das Argumentprinzip Wir bezeichnen mit N(f) die Menge der Nullstellen einer Funktion f H(D) und mit m(z) = m f (z) die Vielfachheit einer Nullstelle z von f. Theorem 3.16 (Argumentprinzip). Seien D C ein sternförmiges Gebiet, f H(D) und D eine geschlossene Kurve mit N(f) =. Dann gilt 1 f (z) 2πi f(z) dz = m(z j )n(,z j ) = n( f, 0), (3.4) z j N(f) wobei γ : [a, b] C die Parametrisierung von ist und die Kurve f die Parametrisierung f γ besitzt. Die Summe in (3.4) hat höchstens endlich viele von 0 verschiedenen Summanden. Korollar 3.17 (Rouché). Seien D C ein sternförmiges Gebiet, f H(D), g H(D) und D eine geschlossene Kurve. Weiter gelte f(z) g(z) < f(z) + g(z) für alle z. (3.5) Dann folgt m f (z j )n(,z j ) = m g (w k )n(, w k ). z j N(f) w k N(g) Beispiel Für festes λ > 1 hat die Gleichung λ = z+e z genau eine Lösung z C +. Diese ist reell. Beispiel Seien D mit D D, n N und f H(D) mit f(z) < 1 für z D. Dann gibt es genau n (mit Vielfachheiten gezählte) Lösungen der Gleichung f(z) = z n mit z D. 30

32 Für ein Polynom p(λ) = λ n + a 1 λ n a n mit reellen Koeffizienten a k setzen wir a 0 = 1, a k = 0 für k > n und ( ) 1 = a 1, 2 = a1 a 3 a 1 a 3 a 5, a 0 a 3 = 2 a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3, a 1 a 3 a 5 a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3..., n = 0 a 0 a a n 2 a n Theorem 3.20 (Routh-Hurwitz). Seien a 1,..., a n R und 1,..., n 0. Genau dann haben alle Wurzeln von p(λ) = λ n + a 1 λ n a n strikt negativen Realteil, wenn 1 > 0,..., n > 0. (3.6) Beispiel: Die Bedingung (3.6) ist äquivalent zu den folgenden Ungleichungen. Falls n = 2 : a 1 > 0, a 2 > 0. Falls n = 3 : a 1 > 0, a 3 > 0, a 1 a 2 > a 3. Falls n = 4 : a 1 > 0, a 4 > 0, a 1 a 2 > a 3, a 1 a 2 a 3 > a a 2 1a 4. Beispiel (Grundmodell der Virendynamik von Nowak und May) Es seien V (t) die Anzahl einer Virenpopulation, Z(t) die Anzahl der gesunden Zellen und I(t) die Anzahl der infizierten Zellen jeweils zur Zeit t 0. Weiter seien λ, k, r, m, µ, ν > 0 gegebene Parameter und V 0, Z 0, I 0 0 gegebene Anfangswerte. Wir betrachten das Differentialgleichungssystem V (t) = ki(t) νv (t), t 0, Z (t) = λ mz(t) rv (t)z(t), t 0, I (t) = rv (t)z(t) µi(t), t 0, V (0) = V 0, Z(0) = Z 0, I(0) = I 0. (3.7) Nach dem Satz von Picard-Lindelöf gibt es genau eine Lösung dieses Problems. Alle stationaren Lösungen in R 3 + sind 1) ( V, Z, Ī ) = 2) (V, Z, I ) = falls R := krλ mµν (0, λm, 0 ), (krankheitsfreies Equilibrium) ( (R 1) m ) r, λ mν, (R 1), (endemisches Equilibrium) mr rk > 1. (Die Konstante R heißt Reproduktionsrate von (3.7).) 31

33 Es sei R > 1. Setze f(v, Z, I) := (ki νv, λ mz rv Z, rv Z µi) und ν 0 k A := f (V, Z, I ) = rz m rv 0. rz k rv µ Es folgt p(z) = det(zi A) = z 3 + (ν + m + rv + µ)z 2 + (µ + v)(m + rv )z + µνrv. Nach Theorem 3.20 haben also alle Eigenwerte von A einen strikt negativen Realteil. Das Theorem von Lyapunov (vergleiche Analysis II) liefert dann Konstanten c, ε, δ > 0, sodass aus (V 0, Z 0, I 0 ) (V, Z, I ) 2 < δ folgt, dass (V (t), Z(t), I(t)) (V, Z, I ) 2 < ce εt für alle t 0, wobei (V, Z, I) die Lösung von (3.7) ist (die in der Tat für alle t 0 existiert). 32

34 Kapitel 4 Ergänzungen 4.1 Die homotope Version des Cauchyschen Integralsatzes Definition 4.1. Seien X ein normierter Vektorraum, D X offen und 0, 1 D stetige geschlossene Wege mit Parametrisierungen γ 0, γ 1 C([a, b], X). Die Wege 0 und 1 heißen homotop über D, wenn es eine Funktion h C([0, 1] [a, b], C) so gibt, dass h(s, t) D, h(0, t) = γ 0 (t), h(1, t) = γ 1 (t) und h(s, a) = h(s, b) für alle s [0, 1] und t [a, b]. Die Funktion h heißt dann Homotopie und man schreibt 0 1 oder D γ 0 γ 1. Falls dabei 1 = {x}, so heißt 0 nullhomotop, und man schreibt 0 0. D D Wenn alle geschlossenen Wege D über D nullhomotop sind, dann heißt D einfach zusammenhängend. Beispiel 4.2. a) Die Kreislinien j = B(0, r j ) mit 0 < r 0 < r 1 sind über D = C \ {0} homotop mit h(s, t) = (sr 1 + (1 s)r 0 )e it für s [0, 1] und t [0, 2π]. b) Jedes sternförmige Gebiet D mit Zentrum z 0 ist einfach zusammenhängend. Eine geschlossene Kurve kann dabei mittels der Homotopie h(s, t) = (1 s)γ(t)+sz 0 γ(t)z 0 D auf den konstanten Weg {z 0 } zusammengezogen werden. 33

35 c) Das Gebiet D = C \ {0} ist nicht einfach zusammenhängend. Dabei ist der Weg D über D weder zu {1} noch zu B(2, 1) homotop. ( ( d) Das Gebiet D = D\ i ( 1, 0) 1 2, 1 )) ist einfach zusammenhängend, aber nicht 2 sternförmig. Theorem 4.3 (Homotope Version des Cauchyschen Integralsatzes). Seien D C ein Gebiet, f H(D) und 0, 1 D geschlossene Kurven mit 0 D 1. Dann gilt f(z)dz = f(z)dz. 0 1 Insbesondere erhalten wir 0 f(z)dz = 0 für jede nullhomotope Kurve 0 D. Wenn D einfach zusammenhängend ist, folgt also f(z)dz = 0 für jede geschlossene Kurve. Bemerkung 4.4. Die Theoreme 2.23, 3.10, 3.16 und das Korollar 3.17 gelten für alle nullhomotopen Kurven in beliebigen Gebieten D C. 34

36 4.2 Die Laplace-Transformation Eine Funktion f : R + C heißt lokal integrierbar, wenn f messbar ist (z. B. stückweise stetig) und f auf jedem Intervall [0, b] integrierbar ist. Weiter heißt f exponentiell beschränkt, wenn es konstanten M, t 0 0 und ω R gibt, sodass f(t) Me ωt für alle t t 0 gilt. Das Infimum dieser ω heißt exponentielle Wachstumsschranke und wird mit ω(f) bezeichnet. Für die Funktion f(t) = e t2 gilt ω(f) =, für f(t) = t ist ω(f) = 0 ein echtes Infimum und f(t) = e t2 ist nicht exponentiell beschränkt. Seien f, g : R + C lokal integrierbar mit ω(f), ω(g) < +. Wie in Beispiel 2.28 ist die Laplace-Transformation L(f)(λ) = ˆf(λ) := 0 e λt f(t)dt für λ {z C : Re z > ω(f)} definiert und dort holomorph. Weiter gilt d n dλ n ˆf(λ) = ( 1) n 0 e λt t n f(t)dt = L(q n f)(λ) (4.1) für alle n N und λ mit Re λ > ω(f), wobei q n (t) = t n. Seien weiter α, β C. Dann folgt ω(αf + βg) max{ω(f), ω(g)} und L(αf + βg)(λ) = α ˆf(λ) + βĝ(λ) (4.2) für alle λ mit Re λ > max{ω(f), ω(g)}. Sei ferner f C k (R +, C) mit ω := max{ω(f (j) ), j = 0, 1,..., k} < + für ein k N. Dann gilt für alle λ mit Re λ > ω. k 1 L(f (k) )(λ) = λ k ˆf(λ) λ j f (k j 1) (0) (4.3) Für ein gegebenes reelles Polynom p(t) = a n t n a 1 t + a 0 mit a n 0 und n N, eine gegeben Funktion f C(R +, R) mit ω(f)< + und gegebene u 0, u 1,..., u n 1 R betrachten wir das Anfangswertproblem j=0 ( ) d p u := a n u (n) a 1 u + a n u = f auf R +, dt u(0) = u 0, u (0) = u 1,..., u (n 1) (0) = u n 1. (4.4) Nach Analysis II gibt es genau eine Lösung u C n (R +, R) von (4.4), die samt ihren Ableitungen bis zur Ordnung n exponentiell beschränkt ist. Setze q(λ) = n k 1 a k λ j u k j 1 k=1 j=0 für λ C. Dann folgt ˆf= pû q und somit û(λ) = 1 p(λ) ˆf + q(λ) p(λ) (4.5) für alle λ C mit Re λ > ω und p(λ) 0, wobei ω R strikt größer als die Zahlen ω(f), ω(u),..., ω(u (n) ) gewählt ist. 35

37 Beispiel 4.5. a) Seien 0 a < b + und f = 1l [a,b). Falls b = +, dann gilt ω(f)= 0 und ˆf(λ)= 1 λ e λa für Re λ > 0. Offenbar lässt sich ˆf holomorph auf C \ {0} fortsetzen. Falls b < +, dann ist ω(f) = und ˆf(λ) = 1 ( e λa e λb) für λ C \ {0} und λ ˆf(0) = b a. b) Sei n N und f(t) = t n. Dann gilt ω(f) = 0 und ˆf(λ) = n!λ (n+1) für Re λ > 0. Daher lässt sich ˆf holomorph auf C \ {0} fortsetzen. c) Für a C setzen wir e a (t) = e at. Dann gilt ω(e a ) = Re a und ê a (λ) = 1 für ein exponentiell beschränktes f : R + C die Verschiebungsregel: λ a. Weiter gilt L(e a f)(λ) = ˆf(λ a), wenn Re λ > ω(f) + Re a. (4.6) d) Seien α R fest, f(t) = cos(αt) und g(t) = sin(αt) für t a. Dann folgen ω(f) = ω(g) = 0 und L(f)(λ) = λ λ 2 + α, L(g)(λ) = α für alle λ C 2 λ 2 + α 2 +. Man kann also ˆf und ĝ holomorph auf C\ {±iα} fortsetzen. e) Seien α > 0 und f(t) = t α 1 für t > 0 und f(0) = 0. Dann ist ω(f) = 0 und ˆf(λ) = (α)λ α für alle λ C +. Diese Laplacetransformierte lässt sich holomorph auf C \ R fortsetzen. f) Es sei α > 0 und f(t) = n für n 2 t < n und n N 0. Dann ist ω(f) = 0 und ˆf(λ) = 1 λ n=1 e n2λ für alle λ C +. Diese Funktion lässt sich auf keine Umgebung eines Punktes iτ ir holomorph fortsetzen. Seien f, g : R + C messbar mit f(t) M 1 e ω1t und g(t) M 2 e ω2t für alle t 0 und Konstanten M 1, M 2 0 und ω 1, ω 2 R. Wir definieren die Faltung von f und g durch f g(t) = t 0 f(t s)g(s)ds, t 0. Dann gelten ω(f g) max {ω 1, ω 2 } und L(f g) = ˆfĝ auf {λ C : Re λ > max {ω 1, ω 2 }}. (4.7) Sei J R ein Intervall. Eine Nullmenge N J ist eine Borelmenge (z. B. offen, abgeschlossen oder abzählbarer Schnitt oder Vereinigung solcher Mengen), sodass N dx = J 1l N(x)dx = 0. Man sagt, dass zwei Funktionen f, g : J C fast überall gleich sind, wenn es eine Nullmenge N J gibt, sodass f(t) = g(t) füe alle t J \ N. Theorem 4.6. (Eindeutigkeitssatz der Laplace-Transformation) Seien f, g : R + C messbar, und es gebe Konstanten M > 0 und ω R, sodass f(t), g(t) Me ωt für alle t 0, sowie d > 0 und λ 0 d + ω, sodass ˆf(λ n ) = ĝ(λ n ) für alle λ n = λ 0 + nd mit n N 0. Dann sind f und g fast überall gleich und es gilt f(t) = g(t) an allen gemeinsamen Stetigkeitsstellen t 0 von f und g. 36

38 Lemma 4.7. Sei ϕ L 2 ([0, 1]) mit 1 0 ϕ(t)tn dt = 0 für jedes n N 0. Dann ist ϕ fast überall gleich 0. Es sei f : R + C messbar mit f(t) Me ωt für alle t 0 und Konstanten M 0 und ω R. Dann gilt ˆf(λ) M Re λ ω für alle λ mit Re λ > ω. (4.8) Lemma 4.8. Es sei q eine rationale Funktion mit grad q < grad p. Sei ω > max{re λ, λ ist p Nullstelle von p}. Dann gibt es genau eine Funktion r C(R, C) mit r(t) Me ωt für alle t 0 und eine Konstante M 0, sodass ˆr(λ) = q(λ) für alle λ mit Re λ > ω gilt. p(λ) Korollar 4.9. Es seien p(t) = a n t n a 1 t + a 0 für a 0,..., a n R mit a n 0, u 0,..., u n 1 R und f C(R +, R) mit f(t) Me ωt für alle t 0 und Konstanten M 0 und ω R. Weiter seien q wie in (4.5), sowie r und γ mit ˆr = q p und ˆγ = 1 p wie in Lemma 4.8 gegeben. Dann wird die Lösung u von (4.4) durch die Formel dargestellt. u(t) = r(t) + t 0 γ(t s)f(s)ds, t 0, Beispiel a) Seien u + 2bu + au = f für feste Zahlen a > 0 und b 0 mit b 2 < a und für eine Funktion f C(R +, R) mit ω(f)< +. Weiter sei u(0) = u 0 und u (0) = u 1 für gegeben u 0, u 1 R. Hier ist p(λ) = λ 2 + 2bλ + a und q(λ) = 2bu 0 + u 1 + λu 0. Weiter gilt 1 ( ) γ(t) = sin a b2 t e bt für t 0. a b 2 Falls u 0 = 0, so folgt weiter r = u 1 γ und u(t) = u 1 γ(t) + t 0 γ(t s)f(s)ds für alle t 0. b) Seien u + 2u + u + 2u = f mit u (0) = u (0) = u(0) = 0 und f C(R + ) mit ω(f) < 0. Hier ist p(λ) = (λ + 2) (1 + λ 2 ) und γ(t) = 1 5 e 2t 1 cos(t) + 2 sin(t) und 5 5 u(t) = t 0 γ(t s)f(s)ds, für alle t 0. Lemma Seien f : R + C messbar mit f(t) Me ω t für alle t 0 und Konstanten M 0 und ω R. Weiter seien ω > ω und ε > 0. Dann gibt es ein R = R(ω, ε) > 0, sodass ˆf(λ) ε für alle λ C mit Re λ ω und Im λ R. Theorem (Komplexe Umkehrformel) Seien f : R + C messbar mit f(t) Me ω t für alle t 0 und Konstanten M 0 und ω R. Sei ω > ω. 37