Funktionentheorie I - Formelsammlung

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1 Funktionentheorie I - Formelsammlung von Julian Merkert, Skript Dr. Herzog Komplexe Zahlen R 2 = {(x, y) : x, y R}: Vektorraum der Dimension 2 über R Körper C der komplexen Zahlen: (R 2, +, ) mit... (i) Addition: (x, y) + ( x, ỹ) = (x + x, y + ỹ) (ii) Skalare Multiplikation: λ(x, y) = (λx, λy) (iii) Neu: Multiplikation: (x, y) ( x, ỹ) := (x x yỹ, xỹ + xy) Imaginäre Einheit: (0, ) =: i, i 2 = C := {x + iy : x, y R} x =: Re z: Realteil von z C y =: Im z: Imaginärteil von z C Konjugiert komplexe Zahl: z := x iy Betrag von z C: z := x 2 + y 2 (i) z 0, z = 0 : z = 0 (ii) λ z = λ z (λ R, z C) (iii) z + z 2 z + z 2 -Ungleichung Rechenregeln: (i) z z = z 2 (ii) z z 2 = z z 2, z + z 2 = z + z 2 (iii) z R : z = z Polarkoordinaten von z = x + iy: z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = z (cos ϕ + i sin ϕ) ϕ heiÿt ein Argument von z, ϕ = arg z ϕ ( π, π] mit z = z (cos ϕ + i sin ϕ) heiÿt Hauptwert des Arguments, ϕ = Arg z Formel von de Moivre: Für z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gilt: z k = r k (cos(kϕ) + i sin(kϕ)) Topologische Begrie Konvergenz eine Folge (z n ) in C gegen z C: ε > 0 n 0 : n n 0 : z n z < ε (Re z n ) und (Im z n ) sind konvergent in R mit lim n Re z n = Re z und lim n Im z n = Im z (z n ) ist Cauchyfolge bzw. (Re z n ) und (Im z n ) sind Cauchyfolgen Cauchyfolge: ε > 0 n 0 N : a n a m < ε n, m n 0 Oene Kreissscheibe um z 0 mit Radius r: K(z 0, r) := {z C : z z 0 < r} Oenheit von M C: zu jedem z M r > 0 mit K(z, r) M M = Ṁ M M =

2 Abgeschlossenheit von M C: C\M ist oen M = M M M (z n ) Folge in M, z n z z M und C sind oen und abgeschlossen Inneres Ṁ von M C: Vereinigung aller oenen Teilmengen von M Abschluss M von M C: Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von M Rand von M C: M := M\Ṁ Beschränktheit von M C: es existiert ein r > 0 mit M K(0, r) Kompaktheit von M C: jede Überdeckung von M durch oene Mengen O j (d.h. M j J O j) besitzt eine endliche Teilüberdeckung O j,..., O jm (d.h. M n k= O j k ) M ist abgeschlossen und beschränkt jede Folge in M hat eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in M M C zusammenhängend (zsh): es gibt keine zwei abgeschlossenen Mengen A, A 2 mit... (i) M = (M A ) (M A 2 ) (ii) M A, M A 2 (iii) M A A 2 = M C wegzusammenhängend: zu je zwei Punkten z, z 2 M gibt es eine stetige Funktion : [0, ] M mit (0) = z und () = z 2 Metrik d: Abbildung d : X X R mit... (x, y, z X, X Menge) (i) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y (ii) d(x, y) = d(y, x) (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Metrischer Raum: (X, d) Konvergenz einer Folge (x n ) in X : ε > 0 n 0 n n 0 : d(x n, x) < ε Vollständigkeit eines Metrischen Raums X : Jede Cauchyfolge in X konvergiert Stetigkeit von f in x 0 (Räume (X, d ), (Y, d 2 )): ε > 0 δ > 0 x M : d (x, x 0 ) < δ d 2 (f(x), f(x 0 )) < ε Reihe: n= a n mit (a n ) C Folge Absolute Konvergenz: Konvergenz von n=0 a n (i) Sind n=0 a n und n=0 b n (absolut) konvergent, so auch n=0 λa n (λ C) und n=0 (a n + b n ) und es gilt: n=0 λa n = λ n=0 a n n=0 (a n + b n ) = n=0 a n + n=0 b n (ii) n=0 a n absolut konvergent n=0 a n konvergent und n=0 a n n=0 a n (iii) Sind n=0 a n und n=0 b n absolut konvergent, so ist n=0 ( n k=0 a kb n k ) absolut konvergent mit Wert ( n=0 a n) ( n=0 b n) Cauchy-Kriterium: (a n ) ist konvergent : (a n ) ist eine CF Quotientenkriterium: Sei (a n ) eine Folge in R und a n 0 a n N. α n = an+ a n β := lim inf(α n ) und α := lim sup α n () Ist β > n= a n divergiert (2) Ist α < n= a n konvergiert absolut (3) Ist α = β =, so ist keine allgemeine Aussage möglich. a n N. Es sei α n beschränkt, 2

3 Wurzelkriterium: Sei (a n ) eine Folge und α = lim sup n a n (α = ist zugelassen). () Ist α < n= a n konvergiert absolut (2) Ist α > n= a n divergiert (3) Ist α =, so ist keine allgemeine Aussage möglich Majorantenkriterium: Gilt a n b n a n N und ist n= b n konv. n= a n konvergiert absolut Minorantenkriterium: Gilt a n b n 0 a n N und ist n= b n divergent n= a n ist divergent. Dirichlet'sches Kriterium: n=0 a nb n mit a n C, b n 0 konvergiert, falls M 0 existiert mit n k=0 a n M und (b n ) eine fallende Nullfolge ist. In diesem Fall gilt k=n+ a kb k 2Mb n+ Die Riemann'sche Zahlenkugel Vollebene: Ĉ = C { } Riemann'sche Zahlenkugel: S = { (x, x 2, x 3 ) R 3 : x 2 + x (x 3 2 )2 = 4 Abbildung der Gauÿ'schen Ebene (= C) per stereographischer Projektion ( Abbildungsvorschrift: g(z) := Re z Im z + z, 2 + z, 2 ) z 2 + z 2 Geometrische Eigenschaften der stereographischen Projektion: Kreise auf S werden auf Kreise oder Geraden in C abgebildet. Die Bilder von z und z sind Antipoden auf S Chordaler Abstand von z und w: χ(z, w) = g(z) g(w) R 3 = } z w + z 2 + w 2 Funktionen und Stetigkeit in C Funktionen f : D C (Re f)(z) := Re f(z) (Im f)(z) := Im f(z) f (z) := f(z) Stetigkeit in z 0 : ε > 0 δ > 0 : f(z) f(z 0 ) < ε z U δ (z 0 D) Re f und Im f sind in z 0 stetig für jede Folge (z n ) in D mit z n z 0 : f(z n ) f(z 0 ) Komplex dierenzierbare Funktionen Komplexe Dierenzierbarkeit von f : D C in z 0 : lim z z0 f(z) f(z 0) z z 0 =: f (z 0 ) f = u + iv mit u, v : D R ist komplex dierenzierbar in z 0 : u, v sind in z 0 = (x 0, y 0 ) reell dierenzierbar und die Cauchy-Riemann'schen Dierentialgleichungen gelten in z 0 = (x 0, y 0 ) Cauchy-Riemann'sche Dierentialgleichungen: u x = v y, u y = v x Ableitung: f (z 0 ) = u x (z 0 ) + iv x (z 0 ) = v y (z 0 ) iu y (z 0 ) Holomorphie in D C: f ist in jedem z 0 D komplex dierenzierbar H(D) := {f : D C : f ist holomorph in D} 3

4 Ableitungsregeln: (i) (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ) (ii) (f g) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) (iii) ( f g ) (z 0 ) = f (z 0)g(z 0) f(z 0)g (z 0) (g(z 0)) 2 (iv) (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ) Potenzreihen Potenzreihe: n=0 a n(z z 0 ) n (a n C) Konvergenzradius: R := lim sup n n a n Satz von Cauchy-Hadamard: Für z z 0 < R ist die Potenzreihe konvergent und für z z 0 > R divergent. Weiter konvergiert sie gleichmäÿig auf jedem Kreis K(z 0, r) mit 0 < r < R. Satz: Sei f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n eine Potenzreihe mit R > 0. Dann ist f H(K(z 0, r)) mit f (z) = n= na n(z z 0 ) n. Diese Potenzreihe hat ebenfalls den Konvergenzradius R. Satz von Abel: Es sei f(z) := n=0 a nz n, a n R und a n 0(n ). Dann konvergiert die Potenzreihe für alle z mit z, z. Stammfunktionen Stammfunktion von f : D C: jede Funktion F H(D) mit F (z) = f(z) (z D) Gebiet: oene und zusammenhängende Teilmenge von C Satz: Ist G C ein Gebiet und f H(G) mit f (z) = 0 z G, so ist f konstant Satz: Es sei f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n eine Potenzreihe mit R > 0. Dann ist F (z) = Stammfunktion von f n=0 a n n+ (z z 0) n+ eine Die Funktionen e z, log z, z q Exponentialfunktion: e z := exp(z) = n=0 zn n! (i) exp(z) H(C) und exp (z) = n= zn (n )! = exp(z) z C (ii) e z = e Re z (iii) e iz = cos z + i sin z (iv) e z 0 (v) exp besitzt die Periode 2πi Additionstheorem: e z+w = e z e w z = x + iy e z = e x e iy = e x (iy) n n=0 n! = e x (cos y + i sin y) Cosinus: cos z := 2 (eiz + e iz ) cos z = z2n n=0 ( )n (2n)! Sinus: sin z := 2i (eiz e iz ) sin z = z2n+ n=0 ( )n (2n+)! 4

5 Cosinus-Hyperbolicus: cosh z := 2 (ez + e z ) Sinus-Hyperbolicus: sinh z := 2 (ez e z ) Tangens: tan z := sin z cos z Logarithmus von w C: jedes z C mit e z = w Schreibweise: log : C\(, 0] C log z = z e z = w k Z : z = log w +i Arg w + 2kπi }{{} reeller Log. Potenz einer komplexen Zahl: a b := e b log a Möbiustransformationen Möbiustransformation: T : Ĉ Ĉ, a, b, c, d C deniert durch... az+b cz+d z C\ { } d c (i) falls c 0: T (z) := z = d c z = (ii) falls c = 0: T (z) := a c { d M := {T : T Möbiustransformation} (az + b) z C z = Satz: Die Möbiustransformationen bilden bezüglich Komposition eine (nicht abelsche) Gruppe Spezialfälle von Möbiustransformationen: Drehstreckung: T (z) = az (a 0) Translation: T (z) = z + a Inversion: T (z) = z Satz: jede Möbiustransformation lässt sich als Produkt der Spezialfälle darstellen. Verallgemeinerter Kreis in Ĉ: Kreis oder Gerade in Ĉ = Kreis auf S Satz: Jedes T M bildet verallgemeinerte Kreis auf verallgemeinerte Kreise ab. Doppelverhältnis von z, z 2, z 3, z 4 C: DV (z, z 2, z 3, z 4 ) := z z 3 z z 4 z 2 z 3 z 2 z 4 = (z z3)(z2 z4) (z z 4)(z 2 z 3) Sind drei der Variablen z,..., z 4 verschieden, so ist das Doppelverhältnis eine Möbiustranformation bezüglich der vierten. Möbiustransformation: T (z) := (z z3)(z2 z4) (z z 4)(z 2 z 3) Satz: Sind z 2, z 3, z 4 Ĉ verschieden, so existiert genau ein T M mit T (z 2) =, T (z 3 ) = 0, T (z 4 ) = Spiegelpunkt von z an Kreis oder Gerade K: z = T (T (z)) Es gilt: (z ) = z Spiegelpunkte sind invariant unter Möbiustransformationen 5

6 Das Wegintegral Weg: stetige Abbildung : [α, β] C (t) := ( t) falls : [0, ] C ssd Träger eines Wegs : := [α, β] Geschlossenheit eines Weges : (α) = (β) Stückweise stetig dierenzierbar (ssd): α = t 0 < t <... < t n = β, [tk,t k ] C Wegintegral von f über ssd: f(z) dz := β α f((t)) (t) dt Länge eines Wegs : L() := β α (t) dt Satz: f(z) dz f L() mit f = max z f(z) Satz: Es sei : [α, β] C ssd, f : C stetig, Ω := C\ und g : Ω C deniert durch g(z) := dξ. Dann gilt: Ist K(z 0, r) Ω, so ist g auf K(z 0, r) als Potenzreihe mit KR r darstellbar. Insbesondere also g H(Ω). Insbesondere gilt: g (n) (z 0 ) = n! f(ξ) (ξ z 0) n+ dξ Zusammenhangskomponente von Ω := C\ : Ω z := {ω Ω : Es existiert ein Weg in ω der z und w verbindet} Umlaufzahl: ind (z) := dξ 2πi ξ z (i) ind (Ω) Z (ii) ind (z) = 0 auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von Ω (iii) ind ist auf jeder Zusammenhangskomponente von Ω konstant f(ξ) ξ z Der lokale Cauchy'sche Integralsatz Satz: Sei Ω C oen, F H(Ω), F stetig in Ω und : [α, β] C ssd und geschlossen. Dann ist F (z) dz = 0. Cauchy'scher Integralsatz für Dreiecke (Lemma von Goursat): Sei = (a, b, c) ein Dreieck in der oenen Menge Ω C, p Ω, f : Ω C stetig und f H(Ω\ {p}). Dann gilt: f(z) dz = 0. f(z) dz = [a,b] f(z) dz + [b,c] f(z) dz + f(z) dz ( = (a, b, c)) [c,a] Cauchy'scher Integralsatz für konvexe Mengen: Sei Ω C oen und konvex, p Ω, f : Ω C stetig, f H(Ω\ {p}). Dann existiert ein F H(Ω) mit F (z) = f(z), insbesondere ist f(z) dz = 0 für jeden ssd geschlossenen Weg in Ω. Cauchy'sche Integralformel für konvexe Mengen: Sei Ω C oen und konvex, f H(Ω) und ein ssd geschlossener Weg in Ω. Dann gilt für z Ω\ : f(z) ind (z) = f(ξ) 2πi ξ z dξ Satz: Sei Ω C oen und f H(Ω). Ist K(z 0, R) Ω, so ist f auf K(z 0, R) durch eine Potenzreihe mit KR R darstellbar. Korollar: Ist f H(Ω), so ist f H(Ω) Satz von Morera (Umkehrung des Cauchy'schen Integralsatzes): Sei Ω C oen, f : Ω C stetig und f(z) dz = 0 für jedes Dreieck Ω. Dann ist f H(Ω). Eigenschaften holomorpher Funktionen Satz: Sei Ω C ein Gebiet, f H(Ω) und Z(f) := {a Ω : 0 = f(a)}. Dann ist entweder Z(f) = Ω oder Z(f) hat keinen Häufungspunkt in Ω. Dann gilt: zu jedem a Z(f) existiert genau ein m = m(a) N so dass ein g H(Ω) existiert mit g(a) 0 und f(z) = (z a) m g(z) 6

7 x 0 Häufungspunkt: Folge (x n ) mit x n x 0 m heiÿt die Ordnung der Nullstelle a von f Identitätssatz: Ist Ω C ein Gebiet, f, g H(Ω) und hat {z Ω : f(z) = g(z)} einen Häufungspunkt in Ω so gilt f = g. Isolierte Singularität von f im Punkt a Ω C oen : f H(Ω\ {a}) Hebbare Singularität von f: f kann zu einer holomorphen Funktion auf Ω fortgesetzt werden Riemann'scher Hebbarkeitssatz: Sei Ω C oen, a Ω, f H(Ω\ {a}) und es existiert ein r > 0 mit: f ist beschränkt auf K(a, r)\ {a}. Dann ist a eine hebbare Singularität. Klassikation isolierter Singularitäten: Sei Ω C oen, a Ω, f H(Ω\ {a}). Dann liegt genau einer der drei folgenden Fälle vor: (i) f hat in a eine hebbare Singularität (ii) a Pol der Ordnung m: Es gibt c,..., c m C, m N mit c m 0, so dass f(z) m in a eine hebbare Singularität hat. Dann: f(z) (z a) k= c k (z a) k (z Ω\ {a}) (iii) a wesentliche Singularität: Ist K(a, r) Ω, so ist f(k(a, r)\ {a}) dicht in C (Satz von Casorati-Weierstraÿ) Cauchy'sche Integralformel für Ableitungen: Sei Ω C oen und konvex, f H(Ω) und ein ssd geschlossener Weg in Ω. Dann gilt n N 0 : f (n) (z) ind (z) = n! f(ξ) 2πi (ξ z) dξ (z Ω\ ) n+ Cauchy'sche Ungleichungen: Sei f H(K(z 0, R)) und f(z) M (z K(z 0, R)). Dann gilt: f (n) (z 0 ) n!m R n Ganzheit einer Funktion f: f ist auf C holomorph Satz von Liouville: Ist f H(C) beschränkt, so ist f konstant Hauptsatz der Algebra: Sei n N und p(z) = z n + a n z n a z + a 0, a 0, a,..., a n C. Dann hat p genau n Nullstellen z,...z n in C und es gilt: p(z) = (z z )... (z z n ) Satz von der Gebietstreue: Sei Ω C ein Gebiet und f H(Ω). Dann ist entweder f(ω) ein Gebiet oder f ist konstant Maximumprinzip: Sei Ω C ein Gebiet und f H(Ω). Hat f in Ω ein lokales Maximum, so ist f konstant Minimumprinzip: Ist f(z) 0 (z Ω) und hat f ein lokales Minimum in Ω, so ist f konstant Korollar: Ist Ω C ein beschränktes Gebiet und f : Ω C stetig und holomorph in Ω. Dann gilt: max z Ω f(z) = max z Ω f(z) Schwarz'sches Lemma: Sei f H(K(0, )), f(0) = 0, f(z) (z K(0, )). Dann gilt: (i) f(z) z (z K(0, )) und f (0) (ii) f(z) = z für ein z K(0, )\ {0} g.d.w. f(z) = cz mit c = (iii) f (0) = g.d.w. f(z) = cz mit c = Das lokale Abbildungsverhalten Satz: Sei Ω C oen, ϕ H(Ω), z 0 Ω und ϕ (z 0 ) 0. Dann existiert eine oene Menge V Ω mit z 0 V, so dass gilt: (i) ϕ ist injektiv auf V (ii) W := ϕ(v ) ist oen (iii) Ψ : W V deniert durch Ψ(ϕ(z)) = z (Umkehrfunktion von ϕ V ist aus H(W ) und Ψ (z) = ϕ (Ψ(z)) 7

8 Schlichtheit von f: f H(Ω injektiv auf Ω C Gebiet Satz: Sei Ω C ein Gebiet, f H(Ω) nicht konstant und z 0 Ω sei eine Nullstelle m-ter Ordnung von f(z) f(z 0 ). Dann existiert eine oene Menge U Ω mit z 0 U und eine Kreisscheibe K(0, r) und eine holomorphe Funktion g : U K(0, r) mit: (i) f(z) = f(z 0 ) + (g(z)) m (z U) (ii) g : U K(0, r) ist bijektiv (iii) Für jedes w f(u), w f(z 0 ) gibt es genau m Urbilder z,..., z m U Folgen holomorpher Funktionen Kompakte Konvergenz von (f n ) Folge in H(Ω), Ω C oen gegen f : Ω C: zu jeder kompakten Teilmenge K von Ω und jedem ε > 0 existiert ein n 0 = n 0 (K, ε) mit: f n (z) f(z) < ε (z K, n n 0 ) Konvergenzsatz von Weierstraÿ: Es sei Ω C oen, (f n ) Folge in H(Ω) und (f n ) konvergiere kompakt gegen f : Ω C. Dann gilt: f H(Ω) und (f n) konvergiert kompakt gegen f. Der globale Cauchy'sche Integralsatz Kette: Γ := 2... n mit M f(z) dz := n j=,.., n : ssd Wege M := 2... n = Γ j f(z) dz Zwei Ketten Γ, Γ 2 sind gleich wenn Γ = Γ 2 und Γ f(z) dz = Γ 2 f(z) dz f C(Γ, C) Γ : ersetze jedes j durch j Γ f(z) dz = f(z) dz Γ Kette in Ω: Kette in Ω C oen und M Ω Zykel: Kette Γ mit Darstellung Γ = 2... n, so dass alle j geschlossen sind Umlaufzahl eines Zykels Γ für α / Γ : ind Γ (α) = dz 2πi z α ind Γ (α) = n j= ind j (α) Γ Addition von Ketten: Γ = Γ Γ 2 Γ f(z) dz = Γ f(z) dz + Γ 2 f(z) dz Cauchy'scher Integralsatz: Sei Ω C oen, f H(Ω) und Γ ein Zykel in Ω mit ind Γ (α) = 0 (α C\Ω). Dann gilt: (i) f(z) ind Γ (z) = f(w) 2πi Γ w z dw (z Ω\Γ ) und f(z) dz = 0 Γ (ii) Sind Γ, Γ 2 Zykel in Ω mit ind Γ (α)ind Γ2 (α) (α C\Ω), so gilt: Γ f(z) dz = Γ 2 f(z) dz Bestimmung der Umlaufzahl: zerlege einen positiv orientierten Kreis in zwei Gebiete K l und K r. Dann gilt: ind (z l ) = ind (z r ) + (z l K l, z r K r ) 8

9 Einfach zusammenhängende Gebiete Homotopie von 0, : [0, ] C in A C: stetige Funktion H : [0, ] 2 C mit... (i) H([0, ] 2 ) A (ii) H(s, 0) = 0 (s), H(s, ) = (s), H(0, t) = H(, t) (t, s [0, ]) Nullhomotopie von 0 in A: 0 und homotop in A und konstant Ω C einfach zusammenhängend: Ω C Gebiet und jeder geschlossene Weg in Ω ist nullhomotop in Ω Satz: (i) Es seien 0, : [0, ] C ssd geschlossene Wege, α C und (s) 0 (s) < α 0 (s) (s [0, ]). Dann gilt ind (α) = ind 0 (α) (ii) Sei Ω C ein Gebiet und 0, : [0, ] C ssd geschlossene Wege und homotop in Ω. Dann gilt ind (α) = ind 0 (α) (α C\Ω) (iii) Ist Ω C ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so gilt für jeden geschlossenen ssd Weg in Ω: ind (α) = 0 (α C\Ω) Satz: Sei Ω C ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann gilt für jedes f H(Ω) und jeden ssd geschlossenen Weg in Ω: (i) f(z) dz = 0 (ii) ind (z) f (k) (z) = k! f(ξ) 2πi (ξ z) k+ dξ (z Ω\, k N 0 ) Der Residuensatz Meromorphie von f auf Ω C oen: Menge A Ω mit... (i) A hat keinen Häufungspunkt in Ω (ii) f H(Ω\A) (iii) jedes a A ist ein Pol von f Hauptteil von f in a A: Q(z) = m k= c k(z a) k Residuum von f in a A: Res (f, a) := c Für Zykel gilt: 2πi Q(z) dz = 2πi Γ Γ c z a dz = Res (Q, a) ind Γ(a) Residuensatz: Sei Ω C oen, f meromorph auf Ω und A die Menge der Pole von f. Ist Γ ein Zykel in Ω\A mit ind Γ (α) = 0 (α C\Ω), so gilt: 2πi Γ f(z) dz = a A Res (f, a) ind Γ(a) Sei Ω C ein Gebiet, ein ssd geschlossener Weg in Ω, ind (α) = 0 (α C\Ω) und ind (α) {0, } (α Ω\ ). Sei Ω := {z Ω : ind (z) = }. Für jedes f H(Ω) sei N f die Anzahl der Nullstellen von f in Ω einschlieÿlich ihrer Vielfachheit. (i) Argumentprinzip: Ist f H(Ω) und 0 / f( ), so gilt N f = 2πi (ii) Satz von Rouché: Sind f, g H(Ω) und ist f(z) g(z) < f(z) (z ), so gilt N g = N f. Berechnung uneigentlicher Integrale: Es sei R(z) = P (z) Q(z) eine rationale Funktion mit grad Q grad P + 2 und Q(x) 0 (x R). Dann gilt: R(x) dx = 2πi z:im z>0 Res (R, Z) f (z) f(z) dz 9

10 Laurent-Reihen Ringgebiet: K(z 0, r, R) = {z C : r < z z 0 < R} Entwicklungssatz von Laurent: Sei 0 r < R und f H(K(z 0, r, R)). Dann ist f eindeutig in eine Laurentreihe f(z) = n= a n(z z 0 ) n entwickelbar, wobei n=0 a n(z z 0 ) n auf K(z 0, R) und n= a n(z z 0 ) n auf {z : z z 0 > r} kompakt. konvergieren. Dabei gilt: a n = f(ξ) 2πi (ξ z 0) dξ (n Z, (t) = ϱe it + z n+ 0 (t [0, 2π]), r < ϱ < R) z 0 ist hebbare Singularität a n = 0 (n ) z 0 ist Pol m-ter Ordnung a m 0 und a n = 0 (n < m) z 0 ist wesentliche Singularität {n Z : n < 0, a n 0} ist endlich Hauptteil von f: n= a n(z z 0 ) n Res (f, z 0 ) = a Residuensatz für Laurent-Reihen: Sei Ω C oen, A Ω, A hat keinen Häufungspunkt in Ω und f H(Ω\A). Ist Γ ein Zykel in Ω\A mit ind Γ (α) = 0 (α C\Ω), so gilt: 2πi Γ f(z) dz = a A Res (f, a) ind Γ(a) Eine Anwendung des Schwarz'schen Lemmas Blaschkefaktor: Möbiustransformation ϕ a (z) := z a az (a C, a < ) Automorphismen des Einheitskreises: Es sei f H(K(0, )), f(k(0, )) = K(0, ) und f injektiv. Es sei a das Urbild der 0, d.h. f(a) = 0. Dann existiert ein c mit c =, so dass f(z) = cϕ a (z) gilt. Harmonische Funktionen Laplace-Operator: u := u xx + u yy u : Ω R harmonisch: Ω C oen, u zweimal stetig db mit u = 0 Konjugiert harmonische Funktion: v : Ω R mit f(z) = u(z) + iv(z) holomorph auf Ω C Gebiet Poisson'sche Integralformeln für f(z) = u(z) + iv(z): f : K(0, ) C stetig, f H(K(0, )), z = re iϕ, r [0, ), ϕ [0, 2π]: (i) u(z) = 2π 2π u(e it r ) 2 0 +r 2 2r cos(ϕ t) dt (ii) v(z) = 2π 2π u(e it r sin(ϕ t) ) 0 +r 2 2r cos(ϕ t) dt Satz: Sei h : K(0, ) R stetig und f : K(0, ) C deniert durch f(z) = Dann ist f H(K(0, )) und Re f auf K(0, ) stetig. { 2π e it +z 2π 0 e it z h(eit ) dt z < h(z) z =. 0