Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.1 Arithmetik und Algebra Grundlagen

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1 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3. Arithmetik und Algebra Grundlagen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut, 8772 Nidfurn Ausgabe: Februar 2009

2 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 2 Inhaltsverzeichnis 3 Mathematik 3 Mathematik 3. Arithmetik und Algebra Grundlagen 3.. Vorwort 3..2 Einteilung der Zahlen 3..3 Zahlenstrahl, Zahlengerade 3..4 Massvorsätze 3..5 Das griechische Alphabet 3..6 Prozent- und Promille 3..7 Mathematische Zeichen 3..8 Das Einmal-Eins der Zahlen 3..9 Lampeneinteilung in einem Raum 3..0 Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse 3.. Natürliche Zahlen und Bruchzahlen 3..2 Zahlengrössen 3..3 Symbole für Zahlen 3..4 Grafische Darstellungen 3..5 Mittelwerte 3..6 Proportionen 3..7 Absoluter Betrag 3..8 Zahlenbereiche

3 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 3 3. Arithmetik und Algebra Grundlagen 3.. Vorwort Die Mathematik besteht aus Teilgebieten. Die drei wichtigsten sind:. Arithmetik (Lehre von den Zahlengrössen) 2. Algebra (Lehre von den Gleichungen) 3. Geometrie (Lehre von den Raumgrössen) Unser heutiges technisches Zeitalter wäre ohne die Mathematik nicht denkbar, deshalb ist sie die Grundlage für alle technischen Berufe. Die Lehre von den Zahlengrössen (Arithmetik) gliedert sich in:. das Rechnen mit bestimmten Zahlen, die im allgemeinen durch die arabischen Ziffern dargestellt werden (; 2; 3; 4;...) 2. das Rechnen mit Variablen, die üblicherweise durch Buchstaben dargestellt werden (a; b; c;...) Die Lehre von den Raumgrössen gliedert sich in:. Die Lehre von den ebenen Flächen (Planimetrie) 2. Die Lehre von den Körpern (Stereometrie) 3. Die Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken (Trigonometrie) Die Grundlage dieses Gebäudes ist die menschliche Vernunft; das heisst, die Mathematik baut auf Grundsätzen (Axiome) auf, die beweislos vorausgesetzt werden. Einige lauten:. Jede Grösse ist sich selbst gleich. 2. Werden gleiche Grössen gleich behandelt, so ergeben sich gleiche Grössen. 3. Sind zwei Grössen einer dritten gleich, so sind sie auch untereinander gleich. Alle anderen mathematischen Aussagen (Lehrsätze) müssen bewiesen werden, d.h. man muss sie auf bekannte Lehrsätze oder Grundsätze zurückführen.

4 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Einteilung der Zahlen Zahlen werden in der Mathematik folgendermassen eingeteilt. Zahlen Imaginäre Zahlen Reelle Zahlen Rein komplexe Zahlen j = z = j Rationale Zahlen Irationale Zahlen Ganze Zahlen Bruch Irationale Zahlen Transzendent iationale Zahlen Echter Bruch Unechter Bruch Stammbruch Dezimalbruch 3 2 =, 42 3 =, π = 3,42 e = 2,7 8. Wie werden die Zahlen 3, 7, -2 und -6 bezeichnet: 2. Zu welchen Zahlen behören 2,3 und 5,2:

5 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Zahlenstrahl, Zahlengerade Unter Zahlengerade versteht man in der Mathematik die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Im Bild wurden die Orte der Punkte der ganzen Zahlen durch senkrechte Striche hervorgehoben. Die Zahlengerade ist eine Veranschaulichung des eindimensionalen euklidischen Vektorraums. Die Darstellung verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen R eine geordnete Menge ist. Die Zahlengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden. Die Zahlengerade kann auch für die Addition und Subtraktion von Zahlen oder Stecken verwendet werden. Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt werden =

6 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 6 3 ZAHLENSTRAHL, ZAHLENGERADE 2 Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt werden = Folgende Aufgabe soll mit Hilfe des Zahlenstrahls dargestellt werden =

7 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Massvorsätze Zur Vereinfachung der Schreibweise werden folgende Vielfache und Bruchteile von Dekaden verwendet. Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Vorsatz Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Vorsatzzeichen Zehnerpotenz Vorsatzzeichen Zehnerpotenz Abgeänderte Basis-Einheiten Ausser den unter den Basisgrössen aufgeführten Einheiten sind auch weitere - verkleinerte oder vergrösserte - Einheiten gesetzlich erlaubt. Längen Zeit Strom Gewicht

8 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Das griechische Alphabet Das griechische Alphabet umfasst 24 Buchstaben. Grossbuchstaben Kleinbuchstaben Transliteration Name. Α a 2. Β b 3. Γ g 4. d 5. Ε e 6. Ζ ζ z Zeta 7. Η ë (gespr. Ä) 8. th 9. Ι ι i Iota 0. Κ κ k Kappa. Λ l 2. Μ m 3. Ν ν n Ny 4. Ξ ξ x Xi 5. Ο ο o Omikron 6. Π p 7. Ρ r 8. s 9. Τ t 20. Υ υ y (gespr. ü) Ypsilon 2. ph (gespr. f) 22. Χ χ ch Chi 23. Ψ ψ ps Psi 24. õ Geschichte unserer Buchstaben Das lateinische Alphabet wurde, über Vermittlung der Etrusker, aus dem westgriechischen Alphabet entlehnt. Das archaische lateinische Alphabet bestand aus 2 Buchstaben: A B C D E F Z H I K L M N O P Q R S T V X. Im deutschen Alphabet kommen noch die Buchstaben Ä ä, Ö ö und Ü ü sowie außer in der Schweiz und Liechtenstein der Kleinbuchstabe ß hinzu. In zahlreichen Sprachen wurde das lateinische Alphabet um diakritische Zeichen ergänzt (z. B. å, é, ï, ò, û), um weitere sprachspezifische Laute darstellen zu können. Der Buchstabe A ist der erste Buchstabe des Alphabets. Bei den Griechen hieß dieser Buchstabe Alpha. Der zweite Buchstabe des Alphabets hieß Beta. Aus diesen beiden Buchstabennamen ist das Wort Alphabet zusammengesetzt. Das moderne lateinische Alphabet enthält 26 Zeichen. Diese sind (in Großbuchstaben): A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z; Und in Kleinbuchstaben: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z;

9 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Prozent- und Promille Prozentwert Der Prozentwert wird immer als Faktor vom Ganzen (00%) berechnet. Differenzwert G W % Grundwert G ist der angenommene 00%-Wert Wert der mit dem Grundwert verglichen wird. Wieviel in absolutem Betrag ist dieser Wert vom Grundwert w Prozentsatz [%] P Promillsatz [ ] w Differenzwert Wieviel in relativem Betrag ist dieser Wert vom 00%-Wert w % Prozentsatz der Differenz [%] Praxisbeispie Beispiel Wirkungsgrad - Motorleistung P V = P P 2 P M PAb η % = 00% P Auf Differenzwert -Leistung P P P P 2 % = P 2 00% Beispiel 2 Differenzwert - Spannungsabfall I UL VL RL U V V2 U2 RV RL VL Bild.7. UL Achtung Negativer Endwert bedeutet eine Abnahme gegenüber dem Grundwert. Positiver Endwert entsteht bei einer Zunahme des Grundwertes (Beispiele: Leistungszunahme, Spannungszunahme und Temperaturzunahme). U U 2 u % = 00% U Beispiel 3 Differenzwert -Temperatur ϑ ϑ ϑ% = 20 00% ϑ 20 ϑ = ϑ 20 C ϑ ϑ R Bild.2. Rϑ R R20 R Rϑ ϑ ϑ20 ϑ ϑ P Anfangsleistung [ W] P Endleistung [ W] 2 P Leistungsverluste [ W] V U Anfangsspannung [ V] U Endspannung [ V] 2 u Spannungsabfall [ V] ϑ Anfangstemperatur [ C] ϑ Endtemperatur [ C] 2 ϑ Temperaturdifferenz [ C]

10 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 0 6 PROZENTRECHNEN Srassensteigung Eine Strasse steigt auf einer Länge von 2,68 km um 25 m. Wie gross ist die Steigung in Prozent und Promille? 8,02% 80,2 2 Spannungsverbrauch Auf einer mit Gleichspannung betriebenen Leitung ist der Spannungsverbrauch 23 V.Wie gross ist der Spannungverbrauch in %, wenn die Spannung am Leitungsanfang 230 V beträgt? 23 % Analoges Voltmeter

11 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 6 PROZENTRECHNEN 3 Versicherungskosten Nach der Lehre mieten Sie sich eine Wohnung. Die Wohnungseinrichtung (Möbel, TV, PC, CD s,.) hat einen Wert von Fr. 25' Wie viel Versicherungsprämie müssen Sie jährlich zahlen, wenn die Prämie auf 3,5 des Wertes festgelegt ist? 87,5Fr 4 Prozent- oder Promillewerte Berechnen Sie die entsprechenden Werte der nachfolgenden Aufstellung (Rechnungsweg muss ersichtlich sein). 2,5% von Fr ,25Fr. 996 l 400 Fr. 30 m 83 % von '200l 0,8 von Fr. 500 ' von 2 '000m

12 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 2 6 PROZENTRECHNEN 5 Grundwert Berechnen Sie den jeweiligen Grundwert dabei muss der Berechnungsweg ersichtlich sein. 53 %, W = 350 g 660,4 g 0 '000Fr. 9 '200V 2 %, W = Fr , W = 230V 6 Prozentsatz Berechnen Sie den jeweiligen Prozentsatz dabei muss der Berechnungsweg ersichtlich sein. G = 2 kg, W = 750 g 6,25% 40 % 25 % G = Fr. 75., W = Fr. 30 G = 20 l, W = 5dl

13 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 3 6 PROZENTRECHNEN 7 Prozenwerte aus Brüchen Wandeln Sie die nachfolgenden Brüche in Prozentwerte um. (z.b. ½=50%) = 4 3 = 4 = 5 3 = 5 = 8 = 25 2 = 00 = Farbe mischen Ein Maler will ein Zimmer mit weisser Farbe, welche einen leichten Orangeton aufweisen soll, streichen. Nach Herstellerangaben muss er,5% rote Farbe zur weissen dazumischen. Wie viel rote Farbe in ml wird benötigt, wenn er 2 Liter weisse Farbe verwendet. 30 ml

14 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Mathematische Zeichen (nach DIN 302) Beschreibung Beispiel + plus, und = 7 - minus, weniger 5 3 = 2 x mal, multipliziert 2 6 = 2 2 : geteilt durch, dividiert = 4 3 = gleich = identisch gleich 5 5 ungleich, nicht gleich 5 7 nahezu gleich, rund, etwa 0, unendlich = 0 < kleiner als 5 < 8 kleiner als oder gleich a b > grösser als 7 > absoluter Betrag 7 =ˆ entspricht cm = ˆ 500N (z.b. in einer Zeichnung) Wurzel aus 9 = 3 Summe ai = a + a2 + a3 + a4 4 i=

15 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Das Einmal-Eins der Zahlen Kopfrechnen EINMALEINS Serie Kopfrechnen Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des Einmaleinstrainings in 0 Minuten zu lösen : : 2 320: : : 80: : :4 450: : :8 240: : :6 540: : :3 80: : :2 480: : : :5 560: :8 300: :0 20:7 320: : 720: :60 480: :5 63:9 560: : :3 350: : :5 99: 780: :0 58: :2 49: :5 980: : :3 6:4 700: : : : : 5 50:2 53: : : : :3 333: : 90:30 222: :20 90: :5 2 2

16 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 6 8 EINMALEINS DER ZAHLEN Kopfrechnen EINMALEINS Serie 2 Kopfrechnen Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des Einmaleinstrainings in 0 Minuten zu lösen : :4 320: : : 80: : :4 450: : :8 240: : :6 540: : :3 80: : :2 480: : : :5 560: :8 300: :0 20:7 320: : 720: :60 480: :5 63:9 560: : :3 35: : :5 99: 780: :0 58: :2 49: :5 980: : :3 6:4 700: : : : :5 50:2 5: : : : :3 333: : 90:30 222: :20 90: :5 2 2

17 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 7 8 EINMALEINS DER ZAHLEN Kopfrechnen EINMALEINS Serie 3 Kopfrechnen Es sind die nachfolgenden 200 Aufgaben des Einmaleinstrainings in 0 Minuten zu lösen : :2 320: : : 80: : :4 450: : :8 240: : :6 540: : :3 80: : :2 480:80 000: : :5 560: :8 3000: :0 20:7 3200: :0 720: :60 480: :5 63:9 560: : :30 350: : :5 990: 780: :0 580: :2 490: :5 980: : :3 60:4 700: : : : :5 500:2 53: : : : :30 333: : 90:30 222: :20 90: :5 2 2

18 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Lampeneinteilung in einem Raum

19 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Umrechnung der Längen, Flächen und Volumenmasse

20 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Natürliche Zahlen und Bruchzahlen Geschichte unserer Ziffern Der deutsche Gelehrte Gerbert de Aurillac (945 geboren) rechnet als erster mit arabischen Ziffern, die er in der spanischen Grenzmark kennengelernt hat also mit den Zahlen Westarabiens. Diese fanden sehr schnell Eingang in die europäischen Gelehrtenstuben die Null wurde erst im 2. Jahrhundert in die westliche Mathematik eingeführt ( Null oder leer ist die arabische Übersetzung des (indischen) Sanskritwortes sunya, welches die gleiche Bedeutung hat). Kurz nach der Übernahme durch Gerbert starb die westarabische Schreibweise der Ziffer aus und wir sind auf der ostarabischen Schreibweise der Ziffern sitzengeblieben. Die Synthese griechischer und indischer Wissenschaft (mit babylonischen Erkenntnissen gewürzt) legte den Grundstein der arabischen Gelehrsamkeit und Wissenschaft, die in der Zeit vom 8. bis zum 2. Jahrhundert die glänzenste Periode erlebte. Das arabische Reich teilte sich im 3. Jahrhundert in zwei Teile der ostarabische Teil mit seinem Zentrum Bagdad und Damaskus und der westarabische Teil mit seinem kulturellem Zentrum in Cordova. So nahmen auch die Zahlen zwei unterschiedliche Entwicklungen. Die westarabische Ausprägung und die ostarabische Ausprägung.. Mit Hilfe der zehn kann man alle natürlichen Zahlen darstellen. 2. Zum Zählen benutzt man. 3. Jede Zahl besteht aus einer oder mehreren. 4. Schreiben Sie die zehn arabischen Ziffern nebeneinander auf. 5. Man nennt die Zahlen, die man zum Zählen der Dinge benutzt Zahlen. 6. Natürliche Zahlen sind immer Zahlen. 7. Buchstaben sind natürlichen Zahlen. 8. Buchstaben sind, Platzhalter für Grössen. 9. Der Ausdruck 0,25 ist natürlichen Zahlen, sondern ein. 0. Die Zahl 29 ist natürlichen Zahlen, und besteht aus zwei.. Der Ausdruck 5 6 ist keine Zahlen, sondern ein. 2. Der Wert 570 ist eine Zahl.. 3. Welche nachfolgenden Zahlen sind 5 0,3; 2; ; 2 ; ; 3; 5600 natürliche Zahlen

21 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 2 NATÜRLICHE ZAHLEN UND BRUCHZAHLEN 4. Welche Zahlen der folgenden Zahlenreihe sind keine natürlichen Zahlen und wie werden alle acht Zahlen bezeichnet? Zahl Antwort Antwort , π 5. Bezeichnen Sie die Grössen eines Bruches: Brüche mit dem Zähler eins sind. 7. Schreiben Sie Stammbrüche auf: 8. Eine bildliche Darstellung von Zahlen nennt man auch.

22 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Zahlengrössen 9. Zahlen in Verbindung mit Einheiten heissen 20. Das Ergebnis einer Grösse besteht aus Teilen: 3 Kilogramm 3 kg + = 2. Die Grösse 7 kg hat die Einheit. 22. Die Grösse 30 Fr. hat den Wert. 23. Bei der Grösse 2,7 min. ist die Einheit und der Zahlenwert. 24. Die natürlichen Zahlen und die positiven Bruchzahlen nennt man zusammen Grössen entstehen durch Messen, z.b.: 5 cm, 2 kg, 20 min., 5m und Welche der folgenden Angaben sind durch Messen entstanden: 8 Tische 2 5dm. 3 4m 3 Planeten 7 m 24 Ω 9 Bücher 36 V 6,5kg 2 Leitern 284 K. 26. Welches der nachfolgenden Werte sind gleichartige Grössen, die zusammengefasst werden können? 7 Fr. 45 K 5 kg 25 kg 7 c m 200 g 6 kg 20 mg 205 C MΩ Zusammenfassung:

23 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 23 2 ZAHLENGRÖSSEN 27. Die Angabe Zahl Grösse 3 ist eine: 2 Gemischte Zahl Echter Bruch Dezimalbruch Positive rationale Zahl Stammbruch Bestimmte Zahl Unechter Bruch 28. Ist 7 cm eine Zahl oder eine Grösse? 29. Unterscheiden Sie zwischen Grössen und Zahlen bei den nachfolgenden Angaben: Werte Zahl Grösse 0, 2 2 9cm 3 min Fr., 2 273,4 K 200

24 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Symbole für Zahlen. Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen, werden immer Länge und Breite miteinander multipliziert. Diese Gesetzmässigkeit kann man auch durch Symbole, z.b. Buchstaben, ausdrücken: a Länge [ m ] b Breite [ m ] 2 A Fläche [ m ] Berechnung in Worten. Formelgleichung 2. Wie nennt man die Buchstaben in Gleichungen:. 3. In Zukunft werden wir diese Buchstaben nennen. 4. Die Zahlen, 4 min., 5,6 cm, 6 heissen Zahlen Die Buchstaben a, b, c, d, x, y, usw. nennt man. 6. Welche der folgenden Angaben sind Variablen? 4 Fr. 0, 2 5 a 2 4m β 3 P x 7. Für den Rauminhalt eines Zimmers gilt: l Länge [ m ] b Breite [ m ] h Höhe [ m ] 3 V Volumen, Rauminhalt [ m ] Berechnung in Worten. Die gegebene Gesetzmässigkeit soll durch Variablen ausgedrückt werden und dabei sollen in der Endformel folgende Platzhalter verwendet werden: l, b, h und V Formelgleichung

25 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 25 3 SYMBOLE FÜR ZAHLEN 8. Berechnen Sie die Fläche A eines Dreiecks für: c = 5cm h C = 6cm h C c Grundseite [ m ] h Höhe auf der Seite c ] C [ m A Fläche 2 [ m ] 9 Variablenwerte einsetzen Berechnen Sie die Masse m der folgende algebraische Gleichung a + b + ) durch einsetzen der Variablenwerte: a = 5kg, b = 6kg und ( c c = 8kg.

26 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 26 3 SYMBOLE FÜR ZAHLEN 0 Einsetzen von mehreren Werten in Variablen Berechnen Sie die nachstehende Aufgabe indem Sie für x = 5, 3 a = 4, y 0 und z = 7 einsetzen. 2 = y, = x + y + a + x + z + y2 =

27 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Grafische Darstellungen Die Basis aller grafischen Darstellungen ist die Wertetabelle. Aus der Wertetabelle wird anschliessend ein Diagramm erstellt. Die drei wichtigsten Diagrammtypen sind nachfolgend anhand je eines Beispiels dargestellt. Liniendiagramm Balken- / Säulendiagramm S [km] v = s t t Durch Liniendiagramme können Funktionen und Messungen veranschaulicht werden. [h] Ein Säulendiagramm (vertikal) oder ein Balkendiagramm (horizontal) wird meistens für einfache Vergleiche verwendet. Tortendiagramm Sankey-Diagramm Ein Sankey-Diagramm ist eine graphische Darstellung von Mengenflüssen. Anders als beim Flussdiagramm werden die Mengen durch mengenproportional dicke Pfeile dargestellt. Sankey-Diagramme sind wichtige Hilfsmittel zur Visualisierung von Energie- und Materialflüssen sowie von Ineffizienzen und Einsparpotenzialen im Umgang mit Ressourcen. Energiekonzept für ein Gebäude Tortendiagramme dienen zum Aufzeigen der prozentualen Verteilung ausgehend vom Grundwert (00%).

28 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Mittelwerte Atithmetische Mittelwert Merke: Praktische Anwendung Mittlerer Durchmesser einer Spule dm Arithmetrisches Mittel di da Geometrische Mittelwert Merke: Geometrisches Mittel Nr. f 995 H z f 300 Hz = f 2 = 3' 300 Hz Telefonübertragungsbereich in logarithmischer Einteilung. Die Mittenfrequenz ist 995 Hz. Der Abstand von 300 Hz bis 995 Hz ist gleich dem Abstand von 995 Hz bis 3300 khz. Der Frequenzbereich 300 Hz bis 3,3 khz ist die Bandbreite der Übertragung von 3 khz. Manchmal geht der Telefonbereich sogar bis 3,4 khz. 0 = Praktische Anwendung Nr. Als Beispiel wurden hier die Grenzfrequenzen einer Telefonübertragung vorgegeben: f = 300 Hz und f2= 3300 Hz, wobei die richtige Mittenfrequenz f0 = 995 Hz als geometrisches Mittel ist und nicht die 800 Hz der Berechnung des arithmetischen Mittels. Was für ein Unterschied! Nr. 2 f = 20 Hz f, 5 Hz f2 = 20' 000Hz 0 = 632 Hörbereich in logarithmischer Einteilung. Der Abstand von 20 Hz bis 632 Hz ist gleich dem Abstand von 632 Hz bis 20 khz. Siehe die angegebenen Punkte. Praktische Anwendung Nr. 2 Der Hi-Fi-Hörbereich ist von f = 20 Hz und f2 = Hz angegeben, wobei die richtige Mittenfrequenz f0=632,5 Hz - als geometrisches Mittel ist und nicht die 0,00 khz aus der Berechnung des arithmetischen Mittels. Dieses ist häufig nicht klar!

29 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Proportionen Merke: Das Produkt der äusseren Glieder einer Proportion ist gleich dem Produkt der innenren Glieder. Man zerlege die Zahl 63 in zwei Teile, die sich zueinander wie x : y = 6 : 8 verhalten. x = 27 Y = 36

30 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 30 6 PROPORTIONEN 2 Die Differenz aus 2 und einer Zahl verhält sich zur Summe aus 8 und der gleichen Zahl wie 3 4 :. Wie heisst die Zahl x? 3 Die Luft besteht aus Sauerstoff und Stickstoff, und zwar im Gewichtsverhältnis von 24 : 76. Wieviel Gramm beider Gase sind in 4 kg Luft enthalten?

31 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 3 6 PROPORTIONEN 4 Wieviel wiegt ( m O, m N ) der in einem Zimmer von l = 4, 5m Länge, b = 3, 5m Breite und h = 4m Höhe enthaltene Sauerstoff ( O ) und der Stickstoff ( N ), wenn das Gewicht von l Luft m L ' =, 3 g / l beträgt und das Gewichtsverhältnis von Sauerstoff zu Stickstoff den Wert 24 : 76 hat? 5 Ein Behälter enthält l 450 Wasser und wird bei geöffnetem Hahn in 2 Minuten gefüllt. Wieviel Liter Wasser waren in dem Behälter nach 7 Minuten?

32 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 32 6 PROPORTIONEN 6 Ein Verkehrsflugzeug mit 420 km / h legt einen Weg in 55 min. zurück. Wieviel Zeit braucht eine neuzeitliche Reisemaschine mit 850 km / h für diesen Weg? 7 Für 00 g Lot braucht man 90 g Zinn und 0 g Blei. Wieviel g Zinn und Blei sind in 4,5 kg Lot enthalten? Lötzinn mit Sn/Pb- Verbindung Lötkolben

33 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 33 6 PROPORTIONEN 8 Die Drehzahl zweier Riemenscheiben A und B verhalten sich wie 204 zu 286. Welches Verhältnis steht zwischen den Durchmessern? Wie gross ist der Durchmesser von A, wenn der von B 240 mm beträgt? 9 Ein Elektromotor mit einer Drehzahl von 400 / min und einer Riemenscheibe von 20 mm treibt eine Bohrmaschine mit einer Riemenscheibe von 340 mm. Wieviel Umdrehungen macht der Bohrer? Einzelteile der Ständerbohrmaschine Fuß, Arbeitstisch 2 höhenverstellbarer Bohrtisch 3 Feststellhebel für die Höhenverstellung 4 Maschinenschraubstock 5 Bohrer 6 Bohrfutter alter Art (spannen mit Bohrfutterschlüssel) 7 Vorschubhebel 8 Elektromotor 9 Spannvorrichtung für die Keilriemen 0 Gehäuse mit "Gangschaltung" aus verschieden großen Riemenscheiben grün: einschalten rot: ausschalten 2 Tiefenanschlag NIN Wenn der Nottaster nicht an der Maschine vorhanden ist, sollte die Stromzufuhr an anderer Stelle in der Nähe der Bohrmaschine mit einem Nottaster unterbrochen werden können

34 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 34 6 PROPORTIONEN 0 Ein Elektromotor mit einer Drehzahl von 440 / min soll eine Schleifscheibe von 60 mm antreiben. Die Schleifscheibe soll laut Angaben auf dem Pappring eine Umfangsgeschwindigkeit von 30 m / s haben, ihre Riemenscheibe hat 40 mm. Welchen Durchmesser muss die Riemenscheibe des Motors erhalten? Ein Elektromotor mit min / 960 hat ein Zahnrad mit 30 Zähnen. Über ein zweites Zahnrad mit 300 Zähnen treibt er eine Kurbelwelle an. Das Zahnrad auf der Kurbelwelle hat 48 Zähne. Wie hoch ist die Drehzahl der Kurbelwelle? Wie gross ist das Gesamtübersetzungsverhältnis?

35 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 35 6 PROPORTIONEN 2 Auf einer Zeichnung mit dem Massstab : 20 werden folgende Masse gemessen: 3,4cm, 5,6 cm, 2 mm und 5,8 cm. Wie gross sind die Masse in Wirklicheit? 3 Ein Tauchsieder erzeugt bei einer Stromstärke von I = 2 A eine Wärmemenge Q = 3433J. Berechnen Sie die Qärmemenge Q 2, die ein Tauchsieder bei einer Stromstärke I 2 = 4, 5 A erzeugt. (Bei gleichem Widerstand ist die in einem Leiter erzeugte Wärmemenge 2 2 dem Quadrat der Stromstärke verhältnisgleich: Q : Q = I : ) 2 I 2

36 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Absoluter Betrag Unter dem absoluten Betrag einer Zahl a versteht man ihren Wert ohne Rücksicht auf das Vorzeichen, geschrieben a Rechenregeln a) a ± b a + b b) a ± b a b c) a b a b a b a ± b a ± b a + b d) a b = a b e) a a = b b

37 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite Zahlenbereiche

38 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 38 8 ZAHLENBEREICHE Beispiel Durch x < 3 wird verlangt, dass x nur Werte zwischen -3 und +3 annehmen darf (Intervall): 3 < x < 3 Beispiel 2 Durch x a Umgebung des Wertes a (Punktes a) gekennzeichnet. ε wird ein abgeschlossenes Intervall der Breite 2ε in der Beispiel 3 Die Gleichung a b a b + + wird auch als Dreiecksungleichung bezeichnet. Sie besagt, dass die Summe zweier Dreiecksseiten stets grösser als die dritte Seite ist.

39 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 39 8 ZAHLENBEREICHE Beispiel 4 Gesucht ist die grafische Darstellung von: x + y 4 Y X

40 TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Seite 40 8 ZAHLENBEREICHE Beispiel 5 Gesucht ist die grafische Darstellung von: y = 2 x Y X