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1 Beschreibende Statistik Daten graphisch darstellen 21. April 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn Grundlagen der Schulmathematik SoSe

2 Daten graphisch darstellen warum? Die rasche und sichere Übermittlung von Daten ist in unserer vom Austausch von Informationen geprägten Welt von entscheidender Bedeutung. Umfangreiches Zahlenmaterial lässt sich graphisch einfach, übersichtlich und einprägsam vermitteln. Vorsicht: Gefahr von Fehlinterpretationen und Missverständnissen. Nur bei genauer Kenntnis alternativer Darstellungen lässt sich eine passende Darstellungsart auswählen. 2

3 Inhalt Diagrammarten Analyse von Daten mittels geeigneter Diagramme Arbeitslosendaten TV-Daten Taschengeld-Daten Glockenförmige Häufigkeitsverteilungen Manipulierte Diagramme Grundlagen der Schulmathematik SoSe

4 Umgang mit Daten und Häufigkeiten schon in der Grundschule Daten erfassen und darstellen in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen. aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen. Quelle: Das Zahlenbuch 1. Klett 2004, S. 115

5 Daten graphisch darstellen - aber wie? Am Ende der Primarstufe sollten Schülerinnen und Schüler erste Erfahrungen im Erfassen und Aufbereiten von Daten mit Strichlisten Häufigkeitstabellen, Strecken- und Streifendiagrammen besitzen Absolute Häufigkeiten Anzahl der Jungen und Mädchen in der Waldschule Quelle: Beispielaufgabe 6 aus den KMK-Bildungsstandards für die Primarstufe 5

6 Daten graphisch darstellen - aber wie? Am Ende der Sekundarstufe I sollten Schüler folgende Möglichkeiten zur grafischen Darstellung von eindimensionalen Daten kennen und in der Lage sein, angemessene grafische Darstellungen für Daten auszuwählen und in einfachen Fällen zu erstellen: Kreisdiagramm, Streckendiagramm (Stabdiagramm), Streifendiagramm (Balken- oder Säulendiagramm), Liniendiagramm (Kurvendiagramm, Streckenzug, und Bilddiagramm (Piktogramm). 6

7 Diagrammarten im Überblick 7

8 Streifendiagramm-Säulendiagramm und Balkendiagramm Eine Achse dient als Skala für die Häufigkeiten, auf der anderen Achse werden die Merkmalsausprägungen notiert. Die Abstände können beliebig, sollten jedoch gleich groß gewählt werden. Die Höhe der Stäbe oder Säulen bzw. die Länge der Balken gibt die (absolute oder relative) Häufigkeit der Merkmalsausprägung an. Die Stäbe müssen daher gleich breit sein, da das Auge die Größe der Fläche wahrnimmt. Note ,05 0,1 0,1 0,15 0,2 0,35 Die Höhen- oder Längenskala beginnt bei ,1 0,2 0,3 0,4 rel. Häufigkeit 8

9 Kreisdiagramm-Tortendiagramm Das Kreisdiagramm eignet sich zur Veranschaulichung von Häufigkeitsverteilungen. Hier werden Flächen als Mittel zur Veranschaulichung von Häufigkeiten (oder von Anteilen) verwendet: Fläche des Kreissektors ~ relativen Häufigkeit Vorsicht bei 3D- Darstellungen: Volumen (nicht die Fläche) ist das bestimmende optische Element Das Verhältnis von Sektor-Winkel α i zum Vollwinkel 360 ist hier gleich dem Verhältnis der Flächeninhalte von Sektor zu Vollkreis, und entspricht der relativen Häufigkeit der jeweiligen Merkmalsausprägung. αi 360 = h n ( a ) i 9

10 Prozentscheibe als Konstruktionshilfe 100% entsprechen 360 1% entspricht 3,6 10

11 Liniendiagramm Das Liniendiagramm eignet sich, wenn: eine große Zahl zeitabhängiger Daten visualisiert werden soll das generelle Verhalten (der Trend) und nicht das absolute Ausmaß betont werden soll verschiedene Beobachtungsreihen miteinander verglichen werden sollen. Prognosen und Interpolationen (Zwischenwerte) sichtbar gemacht werden sollen Entwicklung der Arbeitslosenquote in Deutschland (Werte bis 1990 nur West-, ab 1991 Gesamtdeutschland) Vorsicht: Hier wird keine Häufigkeitsverteilung dargestellt. Quelle: Bundesagentur für Arbeit 11

12 Piktogramm Anstelle von Säulen, Balken oder Flächen werden in einem Piktogramm Figuren für die Darstellung von Häufigkeiten verwendet. Dabei bedeutet ein Symbol eine bestimmte Einheitsmenge. Unübersichtliches Diagramm 12

13 Grundsätze beim Erstellen von Diagrammen Das gewählte Diagramm sollte vor allem eine statistische Erkenntnis, das Wesentliche einer Datensammlung, anschaulich und einprägsam ausdrücken sowie möglichst keine Fehlinterpretationen zulassen. Zum guten Gelingen sind einige Grundsätze zu berücksichtigen. Das Diagramm ist für sich allein verständlich trägt einen informativen Titel enthält alle wesentlichen Beschriftungen an den Achsen (Maßstab, Einheiten, ) ist übersichtlich gestaltet und enthält nicht zu viele Details muss sich für die Darstellung der jeweiligen Daten eignen (Merkmalsarten beachten!) 13

14 Analyse von Daten mittels geeigneter Diagramme 14

15 Paar-Balkendiagramm Vergleich von Arbeitslosenquoten und -zahlen 15

16 Vergleich von Kreisdiagrammen Häufigkeitsverteilung des Merkmals bisherige Arbeitslosigkeitsdauer 16

17 2. Beispiel: TV-Daten Warum wird hier wohl das Säulenanstelle des Liniendiagramms gewählt? Die Sehdauer gibt an, wie lange im Durchschnitt eine Person im Panel innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls ferngesehen hat. 17

18 Exkurs zum 2. Beispiel: Das AGF-Fernsehpanel stellt ein verkleinertes Abbild aller Privathaushalte mit mindestens einem Fernsehgerät in Deutschland dar. Durch den ständigen Abgleich der Panelstrukturen mit denen der Grundgesamtheit soll die Repräsentativität des Fernsehpanels gewährleistet werden. Mit den Haushalten des Panels, in denen fast Personen leben, wird die Fernsehnutzung von 72,20 Mio. Personen ab 3 Jahre erfasst. Stand

19 Vergleich von Teilgruppen Die Sehbeteiligung gibt an, wie viele Personen während einer Sendung/eines Werbeblocks/eines bestimmten Zeitintervalls durchschnittlich ferngesehen haben. 19

20 3. Beispiel: Taschengeld-Daten 20

21 Verwendung von Taschengeld Ausprägungen des Merkmals nach Häufigkeit geordnet Mit einer offenen Frage wurden die Kinder gefragt, wofür sie hauptsächlich ihr Taschengeld ausgeben. 21

22 Verwendung von Taschengeld Vergleich von zwei Verteilungen wird durch Anordnung der Merkmalsausprägungen nach Häufigkeit erschwert. 22

23 Höhe des monatlichen Taschengeldes Zeitliche Entwicklung im Vergleich Verbindungslinien: Bedeutung der Zwischenwerte? Aussagekraft von Durchschnittswerten? 23

24 Höhe des monatlichen Taschengeldes Vorsicht: Klassen sind unterschiedlich breit Die Taschengeldfrage ist heikel: 14% der befragten Kinder beantworteten in diesem Jahr die Frage nach dem Taschengeld nicht (2005: 13%). Diese Kinder wollen entweder keine Auskunft über ihr Taschengeld erteilen oder bekommen kein Taschengeld und haben die Fragen deshalb nicht beantwortet. 24

25 Histogramm bei vielen Daten eines quantitativen Merkmals Schüler-Daten eines GK Mathematik zur Körpergröße (n = 49) 0,06 0,04 0,33 :10 = 0,033 53% Klassenbreite: 10 cm 0,02 33% 10% 4% Groesse_cm Über den Klassen werden Rechtecke gezeichnet, die direkt aneinander anschließen. Beim Histogramm ist der Flächeninhalt ein Maß für die Häufigkeit der jeweiligen Klasse. Auf der y- Achse wird daher die Häufigkeitsdichte f i aufgetragen. f i relativeklassenhäufigkeit der Klasse ki = Klassnbreite b i 25

26 Histogramm gleicher Datensatz, verschiedene Klasseneinteilungen Schüler-Daten zur Körpergröße (n=49) 0,08 0,08 0,06 0,06 0,04 0,04 0,02 0, Groesse_cm Klassenbreite: 10 cm Groesse_cm Klassenbreite: 5 cm Vertiefung in der 1. Übung: Histogramme bei unterschiedlich breiten Klassen 26

27 Glockenförmige Häufigkeitsverteilungen 27

28 Häufigkeitsverteilung von Körpergrößen Sozio-oekonomisches Panel (SOEP) des DIW Berlin. Das SOEP ist eine repräsentative Wiederholungsbefragung privater Haushalte in Deutschland, die für die sozial- und wirtschaftswissenschaftliche Grundlagenforschung Umfragedaten bereitstellt. 28

29 Häufigkeitsverteilung von Körpergrößen 29

30 Häufigkeitsverteilung von Körpergewichten 30

31 Häufigkeitsverteilung der Nettoeinkommen noch glockenförmig? Fast 50% der Befragten verdienen weniger als 1500 netto im Monat! Vertiefende Analyse des Diagramms in der 1. Hausaufgabe 31

32 Manipulierte Diagramme 32

33 Zahlen lügen nicht oder vielleicht doch? Sobald Daten zahlenmäßig erfasst werden, ist Kompetenz offenbar nachgewiesen. Niemand denkt mehr daran, dass diese Daten von irgendjemand zusammengestellt wurden, dass die Darstellung von Datenmaterial praktisch nie wertneutral ist, sondern meist bewusst eingesetzt wird, um jemanden von etwas zu überzeugen oder Widerspruch im Keim zu ersticken. 33

34 Was passiert mit der x-achse? aus Walter Krämer: So lügt man mit Statistik. Campus 1997, S. 47,49 34

35 oder hier mit der y-achse? 35

36 Wichtige Inhalte Daten grafisch darstellen: Diagrammarten im Vergleich Säulen-, Streifen- und Balkendiagramm Kreisdiagramm Piktogramm Liniendiagramm Histogramm Auswahl und Erstellung geeigneter Diagramme Analyse und Vergleich von Diagrammen Manipulationen an Diagrammen 36

1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,17 1,17 1,18

1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,17 1,17 1,18 3. Deskriptive Statistik Ziel der deskriptiven (beschreibenden) Statistik (explorativen Datenanalyse) ist die übersichtliche Darstellung der wesentlichen in den erhobenen Daten enthaltene Informationen

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