Approximationsalgorithmen. Durchmesser-, Breite-, kleinster Zylinderund. dünnster Kreisring- Probleme

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1 Approximationsalgorithmen für Durchmesser-, Breite-, kleinster Zylinderund dünnster Kreisring- Probleme Georgy Sklyarenko Vortrag im Seminar über Algorithmen am 2. December 2005

2 Kapitel 1. Einführung 1.1. Definitionen Gegeben: eine Menge von Punkten P R d, P = n. Finde: Durchmesser: der größte Abstand über alle Paare in P Breite: die minimale Breite über alle P einschließenden Platten, wobei eine Platte von der Breite b den Bereich zwischen zwei parallelen Hyperebenen bezeichnet den kleinsten Zylinder: der minimale Radius über alle P umschließenden Zylinder, wobei ein Zylinder des Radius r den Bereich aller Punkte mit dem Abstand r von einer Geraden bezeichnet den dünnsten Kreisring: die kleinste Breite über alle P umschließenden Kreisringe, wobei ein Kreisring auch sphärische Schicht genannt von der Breite r 1 r 2 der Bereich zwischen zwei konzentrischen Sphären der Radien r 1 und r 2 ist 1.2. Motivation Statistische Analyse Algorithmische Metrologie Datenanpassung 1.3. LTAS Es gibt keine exakten Algorithmen mit linearer Laufzeit 1

3 sogar für Duchmeser in d 4, für Breite in d 3, und Kreisring in d 2 Approximationsalgorithmen 1 + ε-approximationen mit linearer Zeit Ignorieren den d-abhängigen konstanten Faktor 1 O -Notation versteckt log O1 Faktoren ε n LTAS der Ordnung c: O ε c linear-time approximation scheme Aufgabe: Finde das kleinste c 1.4. sltas Für alle vier Probleme gibt es Approximationsalgorithmen mit Laufzeit O n + 1 ε c Strenges LTAS sltas der Ornung c Aufgabe: Finde das kleinste c 1.5. Bekannte exakte Algorithmen Durchmesser Breite Für d = 2: On log n, einfach Für d = 3: On log n, randomisiert, optimal Clarkson and Shor, 1989, [4] On log n, deterministisch Ramos, 2000, [5] Für d 4: On 2, einfach O n 2 2/ d/2 +1 log O1 n mit Datenstrukturen Für d = 2: On log n, einfach Für d = 3: 2

4 On 2, schwer Houle and Toussaint 1985, [6] On 3/2+δ erwartete Zeit Für d 4: On d/2, einfach Lösungsraum als ein konvexer Polyeder in R d Bekannte exakte Algorithmen Zylinder Für d = 2: identisch mit Breite Für d = 3: On 4+δ Schömer, 2000, [7] On 3+δ Agarwal, 2000, [8] Für d 4: On 2d 1+δ, einfach Lösungsraum als eine Zelle in einem Arrangement von Hyperebenen in 2d 1 Dimensionen Kreisring Für d = 2: On 2, durch Voronoi-Diagramm, einfach On 3/2+δ, randomisiert, Agarwal, 1997, [9] Für d 3: On n/2 +1, einfach Lösungsraum als konvexer Polyeder in d + 2 Variablen On 3 1/19+δ nicht interessant Agarwal, 1999, [10] 1.7. Bekannte Approximationsalgorithmen Durchmesser: d = 4 : 1.5-LTAS, 4.8-sLTAS, d = 5 : 2-LTAS, 6.67-sLTAS Breite: d = 3 : 1-LTAS, d = 4 : 1.5-LTAS Zylinder: d = 3 : 2-LTAS Kreisring: d = 2 : 1-LTAS, d = 3 : 2-LTAS 3

5 1.8. Techniken Gitter Kegel Reduktion der Dimension 4

6 Kapitel 2. Durchmesser Das einfachste Problem unter den vier genannten Gegeben: P R d, P = n, d = const Finde: P mit p i p k P, p i, p k P 2.1. Approximationsalgorithmus mit konstanter relativer Güte Einfach: Wähle einen beliebigen Punkt p 0 P Sei p0 = max p P p 0 p Offensichtlich p0 P 2 p0 Relative Güte-Garantie Gitter Konstruiere ein regelmäßiges Gitter mit Seitenlänge ε p0 Runde die Punkte auf Gitterknoten Berechne den Durchmesser von Gitterknoten 2.3. Analyse Additiver Fehler durch das Runden Oε p0 = Oε P 1 + Oε-Approximation 5

7 Laufzeit: Runden in On Zeit mit -Funktion Entfernung von Duplikaten mit BucketSort in O n + 1ε Zeit d alle Punkte liegen innerhalb einer Kugel vom Radius O P = O p0 insgesamt O 1 Gitterknoten ε d 1 Berechnung des Durchmessers von O Zeit O n + 1 sltas ε 2d Verbesserungsvorschläge: ε d 1 Gitterknoten mit brute-force in O ε 2d Beim Runden: nur der oberste und der unterste Gitterknoten auf den vertikalen 1 Linien sind von Interesse nur O Gitterknoten nur O n + 1 Zeit ε d 1 ε d 1 für BucketSort Usw Kegel 1 Beobachtung: O Kegel mit dem Winkel O θ θε d 1 ε bedecken den Richtungsraum, 1 wobei θ ε = arccos 1 + ε θ ε = 2ε ε + O ε θ ε 2 U d = {e R d e = 1 x R d e U d : e, x θ ε } sei Menge von U d O Einheitsvektoren x 1 + ε max e U d e x x 2.5. Kegel 1 θε d 1 Gesucht: p 0, q 0 P mit p 0 q 0 = max p q p,q P 1 + ε-approximation: Finde max p,q P e U d ep q e U d finde 6

8 p 0 P mit e p 0 = max e p p P q 0 P mit e q 0 = min e q q P 1 Suche nach Randpunkten von P in O Anfragerichtungen θε d 1 Im Dual bekannt als Strahlenwerfen ray-shooting in einen konvexen Polyeder On Zeit pro Anfrage, trivial n O -LTAS ε d 1/ Gitter und Kegel Erinnerung: Reduktion auf O Idee: Anstatt von brute-force Kegel 1 Gitterknoten ε d 1 zwei 1 + ε-approximationen 1 + Oε-Approximation O n + 1 -sltas ε 3 2 d Gitter, Kegel und Reduktion der Dimension 1 Gitter: O Gitterknoten ε d 1 Anstatt von d-dimensionalen Kegeln 2-dimensionale Kegel Reduktion auf d 1-dimensionale Teilprobleme 1 2-dimensionalen Kegelrichtungen entsprechen Projektionen auf O Hyperebenen ε Löse die Teilprobleme rekursiv sltas der Ordnung d 1/ Gitter, Kegel und Reduktion der Dimension Projektion π e : R d R d 1 π e x = e 1 x 1 + e 2 x 2, x 3, x 4,..., x d x 1 + ε max π 2 e x 2 x 2 e U 2 7

9 Finde 1 + Oε-Approximation für den Durchmesser von P R d Finde 1 + Oε-Approximation für max π e p q p,q P e U 2 Finde rekursiv Approximation für den Durchmesser von π e P R d 1 über alle e U 2 T d n = O n + ε 1 1 T d 1 O Lösung: T d n = O n + 1 ε d 1/2 sltas der Ordnung d 1 ε d 1 8

10 Kapitel 3. Breite 3.1. Optimierungsproblem Zwei parallele Hyperebenen: E 1 = {x R d n x = b 1 } und E 2 = {x R d n x = b 2 } Optimierungsproblem: Die Menge der Problem-Instanzen Eingaben: P R d Die Menge der zu Eingabe P zulässigen Lösungen: SP = {b 1, b 2, n R R R d b 1 n p b 2, p P } Die Bewertungsfunktion: fb 1, b 2, n = b 1 b 2 n Ziel: min Lineare/konvexe Programmierung nicht anwendbar 3.2. Kegel und LP Zerlege das Optimierungsproblem in LPs Idee: Kegel Bewertungsfunktion: b 2 b 1 e n 1 + ε-approximation Substitution: η = P R d n b 1 b 2, σ = b 1 b 1 b 2 9

11 σ p η σ + 1, p P e η max d + 1-dimensionale LPs für O n O -LTAS ε d 1/2 1 Vektoren e U ε d 1/2 d 10

12 Kapitel 4. Der kleinste Zylinder 4.1. Optimierungsproblem Achse des Zylinders l = {s + t r t R}, Radius ρ Optimierungsproblem OP : Die Menge der Instanzen: P R d Die { Menge der zu Instanz P zulässigen Lösungen: } ρ, r, s R 2d+1 p s r s + r p r 2 ρ, p P Die Bewertungsfunktion: ρ Ziel: min Idee: Ersetze das Optimierungsproblem durch einfachere Probleme OP Kegel e p s s + r p e r ρ ρ min 4.2. Kegel und CP Lemma. Seien r, s, ρ und r, s, ρ, e optimale Lösungen für OP und OP. Dann 1 r, s, ρ ist zulässiger Bereich für OP, und 2 ρ 1 + ερ 1 einfach 11

13 2 wähle e U d mit e, r θ ε. Sei p 0 P, q 1 = s + r p 0 s r r 2 q 2 = s + e p 0 s r e r p 0 q 1 l p 0 q 2 e p 0 q 2, r π 2 + θ ε q 1 p 0, q 2 p 0 θ ε q 2 p ε q 1 p Kegel und CP Substitution: ξ = s e s e r r, η = 1 O CPs für alle e U ε d 1/2 d P R d ξ + e p η p 2 δ, p P δ e ξ = 0, e η = 1 min n O -LTAS ε d 1/2 r e r, δ = ρ2 12

14 Kapitel 5. Der dünnste Kreisring 5.1. Optimierungsproblem Die Menge der Instanzen: P R d Die Menge der zu Instanz P zulässigen Lösungen: {ξ, ρ 1, ρ 2 R d+2 ρ 1 ξ p ρ 2, p P } Die Bewertungsfunktion: ρ 2 ρ 1 Ziel: min Mittelpunkt ξ R d Annahme: O P ρ 1 ξ ρ 2 Sei ξ, ρ 1, ρ 2 optimale Lösung, b = ρ 2 ρ Idee Nebenbedingungen linearisieren die Zielfunktion ist weder linear noch konvex Alternativ: Betrachte ρ 2 2 ρ 2 1 als Zielfunktion ρ 2 ρ 1 nicht unbedingt gut approximiert Idee: Fallunterscheidung! Schmaler Kreisring: ρ ερ 1 13

15 Beobachtung: b ρ 2 ρ 1 2 ξ Breiter Kreisring: ρ 2 > 1 + ερ 1 einfach 5.3. Approximation mit konstanter relativer Güte-Garantie Kegel und LP Optimierungsproblem OP P R d { ξ, ρ 1, ρ 2, e R d R R U d ρ 1 ξ p ρ 2, p P } ρ2 2 ρ2 1 e ξ min 5.4. Lemma Lemma. Sei ξ, ρ 1, ρ 2, e optimale Lösung für OP. Dann c : ρ 2 ρ 1 cb Beweis: Wähle e U d mit e ξ ξ 1 + ε ρ 2 2 ρ2 1 ρ2 2 ρ2 1 ρ2 2 ρ2 1 ρ 2 2 ρ 2 1 ρ 2 ξ e ξ e ξ 1 + ρ 1 /ρ 2 ρ 2 ρ ε1 + ρ 2 /ρ 1 ρ 2 ρ ε ρ 2 2 ρ 2 1 ξ 1 + ε ρ 2 2 ρ 2 1 ρ 1 1.Fall: ρ 2 2ρ 1 : ρ 2 ρ Oεb 2.Fall: ρ 2 > 2ρ 1: b > ρ 2 /2 /4, wobei Durchmesser von P ist 5.5. Kegel und LP Substitution: ζ = 1 O LPs: ε d 1/2 P R d ξ ρ 2 2 ρ2 1, δ = ρ2 1 ξ 2 ρ 2 2, γ = ρ2 1 1 ρ 2 2 ρ2 1 { ζ, δ, γ, e R d+2 U d δ 2p ζ + p 2 γ δ + 1, p P } 14

16 e ζ max Approximation mit konstanter relativer Güte-Garantie in linearer Zeit: b 0 b cb Schmaler Kreisring: Kegel und LP ρ ερ Oε-Approximation Idee: 2b = 2ρ 2 ρ 1 ρ 2 2 ρ 2 1 / ξ 2b? ρ ερ 1 notwendig! Nebenbedingung weder linear noch konvex Idee: ersetze Nebenbedingung OP 2 ρ 1 ξ p ρ 2, p P, b 0 ε1 + εe ξ ρ2 2 ρ 2 1 e ξ min 5.7. Lemma Lemma: Sei ξ, ρ 1, ρ 2, e optimale Lösung für OP 2. Dann ρ 2 ρ Oεb Beweis: ξ, ρ 1, ρ 2, e ist zulässiger Bereich für OP 2, denn b 0 b ερ 1 ε ξ ε1 + εe ξ b = ρ 2 ρ Oεb O1b 0 Oεe ξ Oε ξ Oερ 2 ρ Oερ 1 2 Oεb 2 + Oεb Zusätzliche Nebenbedingung für LPs: b 0 γ ε1 + εeζ n 1 + Oε-Approximation mit O Zeit ε d 1/2 15

17 5.8. Breiter Kreisring: Gitter ρ ερ Oε-Approximation b > 1 1 ρ 2 = Ωερ ε Konstruiere Gitter mit Seitenlänge εb 0 Runde die Punkte von P auf Gitterknoten additiver Fehler Oεb 0 = Oεb 1 insgesamt O Punkte denn Volumen von dem Kreisring Oρ d ε 2d 1 2 ρ d 1 = Ob ρ d 1 2 = Ob d 0 /εd 1 Mögliche Mittelpunkte Gitterknoten, O1/ε 2d Mittelpunkte zu probieren, denn der Mittelpunkt liegt innerhalb von ξ ρ 2 = Ob 0/ε zum Koordinatenanfang, für jeden: Finde die Randpunkte von P Breiter Kreisring: O n + 1 -sltas ε 4d 1 n Schmaler Kreisring: O -LTAS ε d 1/2 n Kreisring komplett: O ε + 1 d 1/2 ε 4d 1 -LTAS 16

18 Literaturverzeichnis 1. T.M. Chan Approximating the Diameter, Width, Smallest Enclosing Cylinder, and Minimum-Width Annulus. Int. J. Comput. Geometry Appl , pp , R. Wanka Approximationsalgorithmen. Skript zur Vorlesung, Version 2.3, H. Alt Algorithmische Geometrie. Skript zur Vorlesung, FU Berlin, SoSe K.L. Clarkson, P.W. Shor Applications of random sampling in computational geometry, II Discrete Comput. Geom., 4, pp , E. Ramos Deterministic algorithms for 3-D diameter and some 2-D lower envelopes Proc. 13th ACM Sympos. Comput. Geom., pp , M.E. Houle, G.T. Toussaint Computing the width of a set Proc. 1st ACM Sympos. Comput. Geom., pp. 1-7, E. Schömer, J. Sellen, M. Teichmann, C.-K. Yap Smallest enclosing cylinders Algorithmica, 27, pp , P.K. Agarwal, B. Aronov, and M. Sharir Line transversals of balls and smallest enclosing cylinders in three dimensions Discrete Comput. Geom., 21, pp , P.K. Agarwal, B. Aronov, M. Sharir Computing envelopes in four dimensions with applications SIAM J. Comput., 26, pp , P.K. Agarwal, B. Aronov, S. Har-Peled, and M. Sharir Approximation and exact algotithms for minimum-width annuli and shells Proc. 15th ACM Sympos. Comput. Geom., pp ,