Streutheorie und Lippmann-Schwinger-Gleichung

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1 Streutheorie und Lippmann-Schwinger-Gleichung Grundlagen und Überblick Thomas Rink Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg Pflichtseminar - Quantenmechanik bei Professor Georg Wolschin

2 Gliederung 1 Einleitung Motivation: Warum ist Streutheorie wichtig? Historische Entwicklung Wdh: klassische Streutheorie 2 Quantenmechanische Streutheorie Grundlagen Formale Lösung der Schrödinger-Gleichung Streu-/Wirkungsquerschnitt Born sche Reihe Partialwellenanalyse + Optisches Theorem 3 Formale Streutheorie Lippmann-Schwinger-Gleichung Streu- und Transfermatrix

3 Warum ist Streutheorie wichtig? Stoß-/Streuprozesse in vielen Bereichen der Physik wichtig: Kern- und Teilchenphysik Festkörperphysik Astrophysik Verschiedene Streuungsarten: A + B } A + B A + B A + B + C C elastisch inelastisch Absorption

4 Historische Entwicklung John William Rayleigh (1871): theoretische Beschreibung der Streuung von Licht an kleinen Partikeln Phillip Lenard (1894): e -Streuung an Alufolie Ernest Rutherford (1911): Streuung von α-teilchen an Goldfolie Entwicklung eines neuen Atom-/Kernmodells Arthor H. Compton (1922): Entdeckung des Compton-Effekt & Erklärung mit Hilfe des Photonenmodells ab 1930 Fortschritte in der Beschleunigerkonstruktion: Zyklotron (1932, Ernest O. Lawrence) Betatron (1940, Donald W. Kerst) Bernard A. Lippmann und Julian Schwinger (1950): Variationsmethoden der Streutheorie

5 Wdh: klassische Streutheorie Streuung von Teilchen an festem Target Annahme: WW durch rotationssymmetrisches Potential V (r) mit kleinem Wirkungsbereich Teilchen fliegt in z-richtung mit p A = m r 0 und vertikalem Abstand b auf Streutarget zu gesamter Stoßprozess durch Anfangsgeschwindigkeit v 0, Stoßparameter b und WW-Potential V (r) determiniert

6 Wdh: klassische Streutheorie Mathematische Herleitung Anfangsbedingungen: r(0) = θ = π ṙ(0) = v 0 θ = 0 Energieerhaltung: E = p2 2m + V (r) = m 2 v 2 0 Impulserhaltung: p A = p E Drehimpulserhaltung: l = l = mr 2 θ = mbv 0 Mit θ 0 = π θ = θ min r 0 = r = r min folgt für den Streuwinkel: χ = 2 θ min π dr ( r θ min = θ(b, v 0 ) = π r min r 1 b ) 2 ( 1 2V (r ) mv 0 2 ) 1 2

7 Wdh: klassische Streutheorie Streu-/Wirkungsquerschnitt Wirkungsquerschnitt: (Zahl der nach dω gestr. Teilchen)/s dσ = (Zahl der einfallenden Teilchen)/s/m 2 dσ = b db dχ dϕdχ differentieller Wirkungsquerschnitt: dσ dω = b db sin(χ) dχ totaler Wirkungsquerschnitt: σ tot = dω dσ dω

8 Grundlagen Das auf den Streuer einfallende Teilchen wird durch Wellenpaket (WP) beschrieben: Ψ 0 ( x, t 0 ) = d 3 k (2π) 3 exp(i k x)a k Dimension des Streuers Ausdehnung des WP gewöhnlichen Raumgrößen Impulsunschärfe so klein, dass Verbreiterung im Ortsraum vernachlässigbar: t( p) 2 1 m Ziel: WP zu Zeiten t nach der Streuung

9 Formale Lösung der Schrödinger-Gleichung Ψ k ( x) sind Eigenzustände des Hamiltonian zum Streupotential V ( x): [ 2 2 2m ] + V ( x) Ψ k ( x) = E k Ψ k ( x) mit E k = 2 k 2 2m 0 Entwicklung der einfallenden Welle in Eigenfunktionen: Ψ 0 ( x, t 0 ) = Einfache Zeitentwicklung: Ψ( x, t) = d 3 k (2π) 3 Ψ k A k d 3 k (2π) 3 Ψ k A k exp( i E k (t t 0 ))

10 Formale Lösung der Schrödinger-Gleichung ( 2 + k 2 ) Ψ k ( x) = 2m Ψ 2 k ( x) (Helmholtz-Gleichung) Inhomogene DGL Lösung mit retardierten Green schen Funktion: ( 2 + k 2 ) G ± ( x) = δ 3 ( x) Vollständige Lösung: Ψ k ( x) = exp(i k x) + 2m 2 d 3 x G ± ( x x ) V ( x ) Ψ k ( x )

11 Formale Lösung der Schrödinger-Gleichung Mit G + ( x) = 1 exp(ikr) 4π r folgt: Ψ k ( x) = exp(i k x) + m 2π 2 d 3 x exp(ik x x ) x x V ( x ) Ψ k ( x ) Lippmann-Schwinger-Gleichung in Ortsdarstellung

12 Formale Lösung der Schrödinger-Gleichung Annahme: Detektor weit entfernt vom Streuer Da x x, gilt: k x x kr k x r x = kr k x Allgemeine Gestalt der stationären Streulösung: Ψ k ( x) = exp(i k x) + exp(ikr) f k (θ, ϕ) r mit der Streuamplitude: f k (θ, ϕ) = m 2π 2 d 3 x exp( ik x ) V ( x ) Ψ k ( x )

13 Asymptotisches Verhalten eines Wellenpakets Ebene Welle durch stationäre Lösung ersetzt: Ψ 0 ( x, t) = [ d 3 k (2π) 3 a k Ψ k ( x) + m 2m 2 Da k 0 k k 0, gilt: k = ˆk ( 0 k k ˆk0 = ) 0 k 0 2. Term in obigen Ausdruck entfällt Asymptotische Form und Zeitentwicklung: d 3 x exp(ik x x ] ) x x V ( x ) Ψ k ( x ) Ψ( x, t) = Ψ 0 ( x, t) + f k0 (θ, ϕ) Ψ 0 (ˆk 0 r, t) r mit Ψ 0 ( x, t) Ψ 0 ( x v(t t 0 ), t 0 ) Nach Streuung: Superposition aus durchgehendem WP und der entsprechend f k (θ,ϕ) r abgelenktem Streuwellenfunktion

14 Streu-/Wirkungsquerschnitt Streuamplitude muss gesamte Information des Streuprozesses tragen! Fall: homoenergetischer Strahl von Teilchen mit mittlerem Impuls < p >= kê z, Streuzentrum x = 0 r gezeigt: Ψ k Ψ In + Ψ Sc Wahrscheinlichkeitsstromdichte: j = 2mi (Ψ Ψ Ψ Ψ )

15 Born sche Reihe Streuamplitude: f (θ, ϕ) = m 2π 2 d 3 x exp( i k x )V ( x )Ψ k ( x ) Berechnung von f (θ, ϕ) benötigt expliziten Ausdruck von Ψ k ( x ) Iteration: Ψ k ( x) = Ψ (0) k Ψ (n) ( x) n=0 ( x) = Ψ In ( x) = exp(i k x) Ψ (n) k ( x) = m 2π 2 d 3 x V ( x )G( x x )Ψ (n 1) k ( x )

16 Born sche Reihe Born sche Näherung 1. Born sche Näherung: f (1) (θ, ϕ) = m 2π 2 d 3 x exp(i x )V ( x ) mit = k( n In n Out ) bis auf konstanten Faktor ist sie die Fourier-Transformierte des Potentials in Abhängigkeit von zentralsymmetrische Potentiale V ( x) = V ( x ): f = f (Θ) = f ( ) Gültigkeit?

17 Born sche Reihe Gültigkeit der Näherung notwendige Voraussetzung: Ψ 1 ( r) Ψ 0 ( r) = 1 m 2π 2 d 3 r V (r ) exp(ik r r ) r r exp(ikz ) 1 Gültigkeit gewährleistet, wenn sie für r = 0 gilt: d 3 x V (r ) exp(ikr (1 + cos θ )) = 2π ik 0 0 r dr V (x ) exp(ikr )(exp(ikr ) exp( ikr )) dr V (r )(exp(2ikr ) 1) 2 k 2m

18 Born sche Reihe Gültigkeit für hohen Energien 1) große E große k: e-funktion oszilliert sehr rasch Annahme: V(r) physikalisch (einigermaßen stetig) dr V (r ) 2 k 2m V annähernd Topfcharakter: 0 V 0 R 0 2 k 2m Für hohe Teilchenenergien und schwaches Streupotential gültig: f (1) (θ) klein

19 Born sche Reihe Gültigkeit für kleine Energien 2) kleine E kleine k: Näherung: exp(ikr ) 1 + ikr 0 dr r V (r ) 2 2m V annähernd Topfcharakter: V 0 R m Sehr einschränkend: V (r) E klein

20 Partialwellenanalyse + Optisches Theorem Annahme: Hamiltonian des vollen Streuproblems kommutiert mit ˆ L 2, ˆLZ Entwicklung nach Kugelflächenflächenfunktionen: 2l + 1 Y l,0 (θ, ϕ) = 4π P l(cos θ ) Ansatz 1: r Ψ k exp(ikz) + f (θ) exp(ikr) r Entwicklung ebener Welle nach Kugelfunktionen: exp(i k r) = (2l + 1) i l j l (kr) P l (cos θ ) l=0

21 Partialwellenanalyse + Optisches Theorem Ansatz 2: 2l + 1 Ψ k ( x) = A l g l (r) Y l,0 (θ) = A l 4π P l(cos θ ) l=0 Im Unendlichen kein Einfluss des Streupotentials: freie Lösung mit Phasenverschiebung: l=0 g l (r) r sin(kr lπ/2 + δ l) kr

22 Partialwellenanalyse + Optisches Theorem Trennung beider Ansätze in ein- und auslaufenden Teil + Koeffizientenvergleich Für die Streuamplitude erhält man: f (θ) = 1 k (2l + 1) exp(iδ l )sin(δ l )P l (cosθ) l unendlich viele Partialwellen: nur sinnvoll, wenn l-summe rasch abbricht

23 Partialwellenanalyse + Optisches Theorem Optisches Theorem differentieller Wirkungsquerschnitt: dσ = f (θ) 2 = dω 1 k totaler Wirkungsquerschnitt: σ tot = Vergleich mit f (0): Optisches Theorem: l,l (2l + 1)(2l + 1) sin(δ l ) sin(δ l )P l (cos θ )P l (cos θ ) dω dσ dω = 4π k 2 (2l + 1)sin 2 (δ l ) l f (0) = 1 (2l + 1) exp(iδ l ) sin(δ l ) k l σ tot = 4π Im( f (0) ) k

24 Partialwellenanalyse + Optisches Theorem Anwendung Partialwellenzerlegung nur sinnvoll, wenn Reihen für σ und dσ dω rasch konvergieren Analogiebetrachtung zur Klassik: keine Streuung, wenn b R 0 Streuung am Zentralpotential: L = r p = const b p = b 2mE Streubedingung lässt keine beliebigen L zu: Korrespondenzprinzip: L R 0 2mE l l(l + 1) R 0 2mE = k R0

25 Streuphasen Streuphasen: Phasenverschiebung zwischen gestreuter und nicht-gestreuter Welle Berechnung äußerst schwierig und nur unter starken Einschränkungen möglich Ziel: Integraldarstellung der Streuphasen Ausgangspunkt: radiale SG [ u l (r) + k 2 2m l(l + 1) V (r) 2 r 2 u l (r) = rr l (r) (Randbedingung: u l (0) = 0 ) ] u l (r) = 0

26 Streuphasen Für große Entfernungen (r ): u l (r) 1 k il (2l + 1) exp(iδ l ) sin ( kr lπ ) 2 + δ l Annahme: Streupotential besitz kleinen Wirkungsbereich [ ] v l (r) + k 2 l(l + 1) r 2 v l (r) = 0 (Randbedingung: v l (0) = 0 ) v l (r) r 1 ( k il (2l + 1)sin kr lπ ) 2

27 Streuphasen etwas Mathematik... i l (2l+1) exp(iδ l ) sin(δ l ) = 2m 2 0 drv (r)[kr j l (kr)]u l (r) Annahmen wie vorher: V(r) kleine Reichweite u l (r) v l (r) δ l sehr klein (wenn nicht ganzzahliges Vielfaches von π) δ l 2mk 0 dr V (r)[kr j l (kr)] 2 Born sche Näherung der Streuphase

28 Streuphasen Gültigkeit der Näherung 1) kleine E kleine k: z j l (z) besitzt Wendepunkt bei z = l(l + 1) und wächst bis dahin wie z l+1 Damit Integral klein, muss kr j l (kr) innerhalb des effektiven Bereichs R 0 klein bleiben: kr l(l + 1) kr 0 l Problem: Bedingung gilt für l, die auf Stoßparameter keinen Einfluss haben Born sche Näherung fraglich!

29 Streuphasen Gültigkeit der Näherung 2) große E große k: Term [kr j l (kr)] 2 für alle Argumente beschränkt rechte Seite klein, wenn gilt: 2m 2 k 0 dr V (r) 1 Für große Energien und schwache WW-Potentiale ist Born sche Näherung für alle l gültig: u l (r) v l (r)

30 Lippmann-Schwinger-Gleichung Beschreibung des Systems im Schrödinger-Bild durch zeitabhängigen Zustand Ψ(t) Hamiltonian: H = H 0 + H 1 Weit weg vom Streuzentrum: H 0 = p2 2m mit kontinuierlichem Eigenwert-Spektrum H 0 E (0) n = E E (0) n WW ausgeschaltet (t = 0): Ψ 0 (0) = Ψ 0 (t) = dn a n E (0) n dn a n U n (t, 0) E (0) n WW eingeschaltet: Ψ(t) = lim U(t, t t ) Ψ 0 (t )

31 Lippmann-Schwinger-Gleichung alternativ: Ψ(t) = dn a n U (0) n (t, 0) E (+) n E (+) n = lim exp( i (0) (E t n H)t ) E (0) n Beschreibung von E (+) n durch E (+) n = E (0) n + R (+) n H 1 E (+) R (±) n = 1 E (0) n H 0 ± i0 + Lippmann-Schwinger-Gleichung n

32 Lippmann-Schwinger-Gleichung Allgemeine Darstellung Streuamplitude f (θ, ϕ) = m 2π 2 d 3 x V ( x ) Ψ( x ) exp( i kx ) = 4π2 m 2 d 3 x d 3 x k x x H 1 x x E (+) n f k = 4π2 m 2 k H 1 E (+) n

33 Streu- und Transfermatrix S-Matrix Entwicklung der Anfangs- und Endzustände nach Eigenzuständen von H 0 : lim Ψ(t) = lim dn α n exp( i t t E (0) n t) E (0) n lim Ψ(t) = lim dn β n exp( i t t E (0) n t) E (0) n Aufgabe: Koeffizienten β n aus vorgegebenen Koeffizienten α n Übergang ins Dirac-Bild: Ψ D (t) = exp( i H 0t) Ψ(t) Ψ D (t) = U D (t, t ) Ψ D (t ) U D (t, t ) = exp( i H 0t) exp( i H(t t )) exp( i H 0t )

34 Streu- und Transfermatrix S-Matrix lim Ψ D(t) = t lim exp( i t H 0t) Ψ(t) = lim exp( i t H 0t) = dn α n E (0) n dnα n exp( i E (0) n t) E (0) n Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass sich Teilchen zur Zeit t in freiem Energiezustand E (0) m befindet: E (0) m Ψ D (t ) = E (0) m U D (t, t ) Ψ D (t ) = dn E (0) m U D (t, t ) E (0) n E (0) n Ψ D (t )

35 Streu- und Transfermatrix S-Matrix Es gilt darüber hinaus: (0) lim E m Ψ D (t) = β m t lim t (0) E n Ψ D (t ) = α n β m = = dn E (0) m U D (+, ) E (0) n α n dn S mn α n S mn = asypt. Übergangsamplituden zwischen freien E (0) n und gestreuten E (0) m

36 Streu- und Transfermatrix S-Matrix Analog zu E (+) n : E (±) n = G ± n E (0) n mit G ± n = E (±) n sind Eigenzustände von H: 1 E (0) n H ± i0 + H E (±) n = E (0) n E (±) n Normierung der Zustände: E ( ) m E (+) n = δ(m n)

37 Streu- und Transfermatrix S-Matrix Es folgt: E (±) n = E (0) n + G (±) n H 1 E (0) n Zustände in S mn = E ( ) m E (+) n : S mn = δ(m n) E (0) m H 1 (G ( ) m G (+) n ) E (+) n Anwendung der Green schen Operatoren sowie 1 η δ(x) = lim η 0 + π : x 2 +η 2 Grundformel der Streutheorie S mn = δ(m n) 2πi δ(e (0) m E (0) n ) E (0) m H 1 E (+) n

38 Streu- und Transfermatrix T-Matrix Streuoperator H 1 angewendet auf Streuzustände E (±) n : Tranfermatrix: H 1 E (+) n = T (n) E (+) n T (n) = H 1 (1 + G (+) n H 1 ) Näherungen durch Iteration möglich! Für S-Matrix folgt: S mn = δ(m n) 2πi δ(e (0) m E (0) n ) E (0) m T (n) E (0) n

39 Streu- und Transfermatrix T-Matrix Streukoeffizient β m : β m = α m 2πi δ(e (0) m E (0) n ) E (0) m T (n) E (0) n T-Matrix für Streuung maßgeblicher Operator Elemente bestimmen Streustärke Weiter findet man in der Impulsdarstellung: f k (θ, ϕ) = 4π2 m 2 k T ( k) k

40 Zusammenfassung Streuamplitude f (θ, ϕ) ist die Größe für Streuexperimente diverse Methoden zur Beschreibung von Streuungen Theorie liefert elegante Werkzeuge Ausblick Inelastische Stöße (Anregung von Teilchenzuständen) QFT Absorptionen mit Hilfe von komplexen Potentialen

41 Ende Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

42 Quellen Literatur: Bildquellen: A. Wachter und H. Hoeber. Repetitorium theoretische Physik. 2. Aufl. Berlin ; Heidelberg: Springer, B.A. Lippmann und J. Schwinger. Variational Principles for Scattering Processes. I. In: Phys. Rev. (1950). url: C.J. Joachain. Quantum collision theory. Amsterdam: North-Holland, B.A. Lippmann. Variational Principles for Scattering Processes. II. Scattering of Slow Neutrons by Para-Hydrogen. In: Phys. Rev. (1950). url: A. Messiah. Quantenmechanik/2. 2. Aufl. Berlin: de Gruyter, W. Nolting. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen. 7. Aufl. Berlin ; Heidelberg: Springer, F. Schwabl. Quantenmechanik (QM I). 7. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer, B. Simons. Lecture 20-21: Scattering theory. Nov url: bds10/aqp/lec20-21_compressed.pdf. N. Straumann. Quantenmechanik - ein Grundkurs über nichtrelativistische Quantentheorie. Berlin ; Heidelberg: Springer, Wikipedia. Zeittafel physikalischer Nov url: 1 klassischer Streuvorgang: A. Wachter, H. Hoeber - Repetitorium theo. Physik 2 Superposition aus einlaufender und gestreuter Welle: F. Schwabl - Quantenmechanik 3 Aufbau eines typischen Streuexperiments: A. Wachter, H. Hoeber - Repetitorium theo. Physik