VII. Streuprozesse. Dieser erste Abschnitt fasst die Definitionen von ein paar Grundbegriffen betreffend Streuprozesse

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1 II. Streuprozesse In diesem Kapitel werden Streuprozesse, d.h. Teilchenstöße, diskutiert. Nach der Einführung von ein paar Begriffen (Aschn. II.1) wird das Prinzip der Berechnung des Wirkungsquerschnitts in Aschn. II.2 dargestellt, mithilfe eines Beispiels ähnlich dem vereinfachten Zerfallsprozess im vorigen Kapitel. Hiernach werden nur Kollisionen zwischen zwei Teilchen a und etrachtet, mit zwei oder mehr Teilchen 1, 2,... im Endzustand. Prozesse mit drei oder mehr Teilchen im Anfangszustand, sowie solche mit nur einem Teilchen im Endzustand, sind tatsächlich in der Elementarteilchenphysik höchst unwahrscheinlich. 31 II.1 Grundegriffe Dieser erste Aschnitt fasst die Definitionen von ein paar Grundegriffen etreffend Streuprozesse zusammen. II.1.1 Erste Definitionen Der Unterschied zwischen elastischen Streuungen d.h. Prozesse der Art a + a + und inelastischen Streuungen entweder der Art a , entsprechend quasielastischen Streuungen, oder a wurde schon in Aschn..4 eingeführt. Experimentell werden manchmal alle Streuprodukte gemessen und identifiziert, öfter sind aer nur Teil der Endteilchen ekannt, während die anderen uncharakterisiert leien. Dementsprechend soll man theoretisch einerseits exklusive Prozesse etrachten, in denen alle Teilchen im Endzustand vollständig charakterisiert sind, und andererseits inklusive Prozesse, in denen Teil der Streuprodukte nicht untersucht werden, wie z.b. a Rest. Der Streuwinkel θ ist klassisch der Winkel, um den ein einlaufendes Teilchen agelenkt wird, wie in A. II.1 dargestellt wird. Allgemeiner wird er durch das Skalarprodukt zwischen den Impulsen eines einlaufenden und eines auslaufenden Teilchens definiert, hier ist z.b. θ der Winkel zwischen p a und p 1. Man sollte darauf aufpassen, dass der Streuwinkel vom Bezugssystem ahängt, in dem die Streuung untersucht wird. p 1 auslaufendes Teilchen einlaufendes Teilchen p a Streuzentrum θ ϕ Aildung II.1: Darstellung einiger Größen zur Charakterisierung eines Streuprozesses. Bemerkung: Mithilfe der in Gl. (.4) definierten Mandelstam-ariale t findet man die Beziehung cos θ = t m2 a m E ae 1 /c 4 2 p a p 1 /c 2. (II.1) 31 Für Prozesse des Typs a + 1 ist die Kinematik gerade die gleiche wie eim Zwei-Teilchen-Zerfall, so dass der Prozess nur dann zu einem on-shell-teilchen führen kann, wenn die einlaufenden Teilchen genau estimmte Energien und Impulse haen. II. Streuprozesse 58

2 Im esonderen Fall einer elastischen Streuung gilt im Schwerpunktsystem der einlaufenden Teilchen, wo E a = E 1 ist, die einfache Relation t = 2 p a 2 (1 cos θ)/c 2. Im Stoß klassischer Teilchen definiert man noch den Stoßparameter, entsprechend dem minimalen Astand der einlaufenden Teilchen für den fiktiven Fall, wo sie sich geradlinig ewegen würden, statt agelenkt zu werden. In der Quantenmechanik, wo Teilchen keiner Bahnkurve folgen, verliert dieser Begriff an Bedeutung. II.1.2 Wirkungsquerschnitt. Luminosität Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Streuprozess stattfindet, wird in der Teilchenphysik mithilfe des Wirkungsquerschnitts charakterisiert. Klassisch handelt es sich daei um die (effektive) Schnittfläche des Ziels entsprechend hier dem zweiten einlaufenden Teilchen zw. dem Streuzentrum aus der Sicht eines einlaufenden Teilchens. Dies wird unten am Beispiel der Streuung eines klassischen Teilchens an einer harten Kugel illustriert. In der Quantenmechanik entspricht der Begriff einer ähnlichen Größe, die aer von der Energie zw. der Geschwindigkeit des einlaufenden Teilchens ahängt. Insesondere können ei estimmten Energien sog. Resonanzen auftreten, ei denen die Streuwahrscheinlichkeit stark wächst das Ziel wird ei diesen Resonanzenergien als größer gesehen. Für eine genaue Definition des Wirkungsquerschnitts soll man zuerst die Anzahl der Teilchen etrachten, die in einem (Gedenk-)Streuexperiment pro Zeit- und pro Raumwinkeleinheit in eine Richtung (θ, ϕ) Ω gestreut werden, woei die Winkeln in A. II.1 definiert sind. Diese Anzahl sei als d 3 N aus (θ, ϕ)/dt ezeichnet. Dazu wird die Luminosität L ein als die Anzahl der einlaufenden Teilchen, die pro Zeiteinheit durch die Einheitsfläche fließen, definiert. Dann ist der differentielle Wirkungsquerschnitt durch die Beziehung d 2 σ(θ, ϕ) 1 d 3 N aus (θ, ϕ) L ein dt (II.2) definiert. Anders gesagt ist die Ereignisrate in eine gegeene Richtung gleich dem Produkt der Luminosität mit dem differentiellen Wirkungsquerschnitt, woei ein Ereignis hier die Streuung eines Teilchens in die Richtung ezeichnet. Der totale Wirkungsquerschnitt ist dann das Integral des differentiellen Wirkungsquerschnitts üer alle Raumwinkel d 2 σ(θ, ϕ) σ tot d2 Ω = 2π π 0 0 d 2 σ(θ, ϕ) sin θ dθ dϕ. (II.3) Dementsprechend ist die gesamte Ereignisrate gleich dem Produkt der Luminosität mit dem totalen Wirkungsquerschnitt dn aus = L ein σ tot. (II.4) dt Da die Ereignisrate die Dimension einer Rate (!) [T 1 ] und die Luminosität die Dimension einer Teilchenstromdichte [L 2 T 1 ] hat, haen Wirkungsquerschnitte die Dimension L 2 einer Fläche. In der Teilchenphysik wird statt des m 2 der arn enutzt, woei 1 = m 2 = (10 fm) 2. Bemerkungen: Der Winkel zwischen zwei Impulsen hängt allgemein vom Bezugssystem a, insesondere der Streuwinkel. Dementsprechend hängt der differentielle Wirkungsquerschnitt vom Bezugssystem a. Dagegen ist der totale Wirkungsquerschnitt σ tot eine Lorentz-invariante Größe, da es nur eine richtungsunahängige Zahl charakterisiert. II. Streuprozesse 59

3 Bei der oen eingeführten Luminosität L ein handelt es sich tatsächlich um die instantane Luminosität. Diese kann auch integriert üer die Dauer eines Experiments werden, was die integrierte Luminosität liefert. Beispielsweise wurde das Large Hadron Collider am CERN entwickelt, um eine instantane Luminosität in Proton Proton-Stößen von cm 2 s 1 = 10 4 µ 1 s 1 zu erreichen. In der zweiten Hälfte von 2012 wurde routinemäßig eine instantane Luminosität von ca µ 1 s 1 erreicht. 32 Dazu etrug die in üer die Periode integrierte Luminosität in Proton Proton-Kollisionen im ATLAS-Experiment ca. 25 f 1. Luminosität in Teilchenstößen Betrachte den Stoß zweier Teilchen a und, woei der Endzustand für die Diskussion elieig sein kann. Es wird angenommen, dass eines der Teilchen, z.b. Teilchen, eine nichtverschwindende Masse hat. Dann kann man in dessen Ruhesystem gehen: a v a Sei jetzt angenommen, dass es im olumen, wo die Teilchen sich efinden, nur ein einziges Teilchen a und ein einziges Teilchen git. Dann ist die Luminosität der einlaufenden Welle, die das Teilchen a eschreit, gegeen durch L ein = 1 v a, (II.5)woei 1/ die durchschnittliche Teilchendichte der einlaufenden Teilchen darstellt. Beispiel: Streuung an einer harten Kugel Im Fall der Streuung eines klassischen Teilchens an einer festen harten Kugel mit dem Radius R sind der Stoßparameter und der Streuwinkel θ einfach miteinander verknüpft. Somit findet man für R (vgl. A. II.2) = R sin mit 2 = π θ, d.h. = R cos θ 2. Hier ist das Prolem azimutal symmetrisch. θ Aildung II.2: Streuung an einer harten Kugel. Sei θ [0, π]; die Teilchen, die um einen Winkel zwischen θ und θ + dθ gestreut werden, sind solche, die mit einem Stoßparameter zwischen und + d auf die Kugel stoßen, woei ( d = d R cos θ ) = R 2 2 sin θ 2 dθ. Sei N ein die Anzahl der einlaufenden Teilchen, entsprechend einer Teilchendichte N ein /. Wenn diese Teilchen alle diesele Geschwindigkeit v ein haen, dann lautet die Luminosität L ein = N ein v ein /. Dazu leit die Geschwindigkeit der Teilchen unverändert in der Streuung, so dass die Anzahl der in die Richtung (θ, ϕ) gestreuten Teilchen pro Zeit- und Raumwinkeleinheit durch d 3 N aus (θ, ϕ) dt d 2 = 1 N ein Ω dω v ein d dϕ gegeen ist, mit dω = sin θ dθ dϕ. Unter Berücksichtigung der Ausdrücke für, d und die Lumi- 32 Diese Information kann online auf der LHC luminosity Weseite gefunden werden. II. Streuprozesse 60

4 nosität findet man d 3 N aus (θ, ϕ) dt = L ein R cos θ 2 R 2 sin θ 2 dθ sin θ dθ = L ein R 2 4, entsprechend einem differentiellen Wirkungsquerschnitt d2 σ(θ, ϕ) d 2 = R2 für alle θ [0, π] und Ω 4 ϕ [0, 2π]. Dies git einen totalen Wirkungsquerschnitt σ tot = πr 2, d.h. gleich der Schnittfläche der Kugel. II.2 Berechnung des Wirkungsquerschnitts Ähnlich der Zerfallsrate in Aschn. I.2 lässt sich der Wirkungsquerschnitt mithilfe von Fermis Goldener Regel schreien. Somit eruht der totale Wirkungsquerschnitt auf dem Phasenraumintegral einer Amplitude zum Quadrat üer die Impulse der auslaufenden Teilchen (Aschn. II.2.1). Dieses Integral wird mit einem orfaktor multipliziert, dem sog. Møller-Flussfaktor, der in Aschn. II.2.2 diskutiert wird. Wenn es nur zwei Teilchen im Endzustand kann das Phasenraumintegral weitgehend ohne Kenntnisse üer die zugrundeliegende Wechselwirkung durchgeführt werden (Aschn. II.2.3), woraus der differentielle Wirkungsquerschnitt folgt. II.2.1 Fermis Goldene Regel für Streuprozesse Betrachte z.b. den Zwei-nach-zwei-Prozess a , mit p a, p, p 1, p 2 den iererimpulsen der Teilchen. Der Einfachheit haler wird angenommen, dass die einlaufenden zw. auslaufenden Teilchen nicht identisch sind, und dass sie den Spin 0 haen. Die einlaufenden Teilchen werden durch einen Zustandsvektor a( p a ), ( p ) eschrieen, der sich durch Anwendung von geeigneten Erzeugungsoperatoren auf den akuumzustand erhalten lässt. Deshal ist dieser Zustandsvektor auf [δ (3) ( 0)] 2 = [ /(2π ) 3 ] 2 normiert. Wiederum entsprechen die auslaufenden Teilchen einem Endzustand 1( p 1 ), 2( p 2 ). Beide Anfangs- und Endzustand sind Eigenzustände zu einem wechselwirkungsfreien Hamilton-Operator Ĥ0. Der Prozess unter Berücksichtigung erfolgt aus dem Einschalten eines zusätzlichen Wechselwirkungsterms g ˆ (t) im Hamilton-Operator, mit g ˆ M I (t) c ˆφ a (t, x) ˆφ (t, x) ˆφ 1 (t, x) ˆφ 2 (t, x) d 3 x, (II.6) woei die komplexwertige Amplitude M zeit- und ortsunahängig ist, während ˆφ i (x) für i = a,, 1, 2 den mit Teilchen i assoziierten Klein Gordon-Feldoperator ezeichnet. Zur ersten nicht-trivialen Ordnung in Störungsrechnung lautet das Streumatrixelement (I.1) zwischen Anfangs- und Endzustand [vgl. (I.15)] S fi = i 1( p1 ), 2( p 2 ) M c ˆφ a (t, x) ˆφ (t, x) ˆφ 1 (t, x) ˆφ 2 (t, x) d 3 x dt a( pa ), ( p ). Drückt man die Feldoperatoren durch die zugehörigen ernichtungs- und Erzeugungsoperatoren aus, so findet man, dass die Wirkung von ˆφ i (x) für i = a oder zw. i = 1 oder 2 auf den Anfangszustand zw. Endzustand einen Term c e ipi x/ / (2π ) 3 2E pi zw. c e +ipi x/ / (2π ) 3 2E pi liefert, so dass S fi = i ( c) 3 M e i(p 1+p 2 p a p ) x/ d 3 x dt. (2π ) 3 2E pa (2π ) 3 2E p (2π ) 3 2E p1 (2π ) 3 2E p2 Die Integration nach Raum und Zeit git dann S fi = i (2π) 4 δ (4) (p 1 + p 2 p a p ) c 2 M (2π) 3 2E pa (2π) 3 2E p. (II.7) Dieser Ausdruck des Streumatrixelements hat die gleiche Struktur wie in Gl. (I.16), und insesondere erücksichtigt automatisch die Energie Impuls-Erhaltung. II. Streuprozesse 61

5 Bildet man den Betragsquadrat dieses Streumatrixelements, so ergit sich S fi 2 = (2π) 4 δ (4) (p 1 + p 2 p a p ) (2π) 4 δ (4) (0) c 4 M 2 (2π) 3 2E pa (2π) 3 2E p, woei (2π) 4 δ (4) (0) gleich 1/ 4 mal dem Raumzeitvolumen ct ist, in dem die ein- und auslaufenden Teilchen propagieren. S fi 2 stellt die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass der Anfangszustand a( p a ), ( p ) nach einer Zeit T in den Endzustand 1( p 1 ), 2( p 2 ) gestreut wird. Um die entsprechende Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit und für ein einziges Paar von einlaufenden Teilchen zu erhalten, soll man einfach S fi 2 durch T und durch die Normierung des Anfangszustands teilen. Somit lautet die Anzahl der pro Zeiteinheit mit Impulsen p 1, p 2 auslaufenden Teilchen d 7 N aus ( p 1, p 2 ) dt d 3 p 1 d 3 p 2 = 2 c 3 1 M 2 (2π) 4 δ (4) (p 1 + p 2 p a p ) 4E pa E p /c /c. (II.8) Aus dieser Formel, integriert üer die passenden arialen, lassen sich Ausdrücke für den differentiellen und den totalen Wirkungsquerschnitt herleiten. Daei ist der Letztere zunächst einfacher zu erhalten, zumindest formell. Integriert man die Anzahl (II.8) üer alle möglichen Werte der auslaufenden Impulse, so ergit sich die Anzahl der pro Zeiteinheit auslaufenden Teilchen 1 und 2 dn aus dt = 2 c 3 1 4E pa E p (2π) 4 δ (4) (p 1 + p 2 p a p ) M 2 c d 3 p 1 c d 3 p 2. Diese Anzahl ist üer Beziehung (II.4) mit dem totalen Wirkungsquerschnitt und der Luminosität verknüpft. Um die Letztere zu ermitteln, kann man ins Ruhesystem von Teilchen gehen woei angenommen wird, dass Teilchen nicht masselos ist. In diesem Bezugssystem gilt E p = m 2 c 2, während die Luminosität gemäß Gl. (II.1.2) gleich L ein = v a / ist, mit v a der Geschwindigkeit des Teilchens a. Dies git für den totalen Wirkungsquerschnitt 2 c σ tot = 4 v a E pa m (2π) 4 δ (4) (p 1 + p 2 p a p ) M 2 c d 3 p 1 c d 3 p 2. (II.9) Diese Formel stellt noch ein mal ein Beispiel von Fermis Goldener Regel dar. Wie schon oen erwähnt wurde, soll der totale Wirkungsquerschnitt Lorentz-invariant sein. Während das Integral deutlich Lorentz-invariant ist vorausgesetzt das gilt auch für M 2, was hier ohne Beweis angenommen wird, ist es für der orfaktor nicht sofort klar. Somit wird der Letztere im nächsten Aschnitt genauer untersucht. II. Streuprozesse 62