Kapitel 1: Endliche Automaten Gliederung 1. Endliche Automaten

Transkript

1 Gliederung 0. Grundegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechenarkeitstheorie 4. Komplexitätstheorie 1.1. Grundlagen 1.2. Minimierungsalgorithmus /3, S. 1

2 Git es Sprachen, die nicht Automatensprachen sind? Endliche Automaten ilden ein sehr einfaches Beschreiungsmittel und Berechnungsmodell. Falls es Sprachen git, die keine Automatensprachen sind, enötigt man komplexere (oder zumindest andere) Beschreiungsmittel zw. Berechnungsmodelle. Wir wollen in diesem Aschnitt zeigen, dass es tatsächlich Sprachen git, die keine Automatensprachen sind. Daei werden wir allgemeine Eigenschaften von Automatensprachen identifizieren. Gleichzeitig werden wir einen neuen Weg zum Minimalautomaten kennenlernen. 1/3, S. 2

3 Auslick Wir etrachten zwei rauchare Ansätze, um ggf. nachzuweisen, dass es zu einer gegeenen Sprache L keinen endlichen Automaten A mit L(A) = L git: Man analysiert die Eigenschaften einer in Ahängigkeit von L definierten Klasseneinteilung zw. Äquivalenzrelation auf Σ*. Man wendet das sogenannte Pumping-Lemma an. und werden ihre Vor- und Nachteile diskutieren. 1/3, S. 3

4 Die Fortsetzungsmengen-Aildung einer Sprache üer Σ Vgl. Algera: (a) -1 (ac)=c Für jede Sprache L Σ* und jedes Wort u Σ* sei u -1 (L) := {v Σ* u v L}. Weg von L nach u -1 (L): Alle Wörter wegwerfen, die nicht mit u eginnen. Vom Rest die Anfangs-u löschen. Beispiele: a -1 ( ) = a -1 ({ε}) = a -1 ({a}) = a -1 ({a,ac, ad}) = {ε,c}... das, was in L nach u noch kommen kann, die Restsprache von u 1/3, S. 4

5 Der Restsprachenautomat A(L) einer Sprache L Es sei L Σ* eine formale Sprache üer dem Alphaet Σ. Der (nicht notwendig endliche) Restsprachenautomat von L ist A(L) = [Z,Σ,z 0,F,δ] mit Z = { u -1 (L) u Σ*}, z 0 = L, F = { z Z ε z }, Für alle z Z und a Σ: δ(z,a) = a -1 (z) = { a -1 (w) w z }. Neuer Begriff: ein unendlicher Automat Gewöhnungsedürftig: Jeder Zustand ist hier eine komplette Sprache! A(L) ist nicht unedingt gut handhaar, denn: Wie gehen wir daei z.b. mit unendlich vielen unendlichen Sprachen um? 1/3, S. 5

6 Der Restsprachenautomat A(L) einer Sprache L (Beispiel 1) Beispiel 1 a a,, a ε, a Σ={a,} ε a, a, Beispiel 2 L = { a n n n N } A(L) =? 1/3, S. 6

7 Der Restsprachenautomat A(L) einer Sprache L (Beispiel 2) Sei L = { a n n n > 0 }. Dann sieht A(L) wie folgt aus:... aer es git a einen unendlichen a Automaten a B mit a L(B) = L z 0 z 1,1 z 1,2 z 1,3 usw. z er z 2,1 z 2,2 z 2,3 usw. a, a a a usw. z 0 = L z 1,k = { a n n+k n 0 } z er = z 2,k = { k-1 } 1/3, S. 7

8 Der Restsprachenautomat A(L) einer Sprache L hat tolle Eigenschaften (Myhill/Nerode): Fakt: Genau dann ist der Restsprachenautomat A(L) endlich, wenn L die Sprache L(A) eines endlichen Automaten A ist. Das werden wir noch egründen! Fakt: Für jeden endlichen Automaten A ist A(L(A)) ein Minimalautomat zu A, d.h. der Restsprachenautomat ist minimal. Das werden wir noch egründen! Da A(L) für jede Sprache existiert und von fundamentaler Bedeutung ist, Nennt man ihn auch den kanonischen Automaten von L. 1/3, S. 8

9 Begriff: Nerode-Relation Erinnerung an Fortsetzungsmengen (Restsprachen): Sei L Σ* eine Sprache und u Σ* ; dann war: u -1 (L) = { v Σ* u v L }. u -1 (L) enthält alle Wörter v, die, an u angehängt, ein Wort aus L ergeen. Die u -1 (L), u Σ*, ilden die Zustände des kanonischen Automaten von L. Die Nerode-Relation R L auf Σ* gilt zwischen u 1 und u 2, wenn eide auf genau die gleiche(n) Weise(n) zu einem Wort in L verlängert werden können, d.h. wenn eide die gleiche Restsprache in L haen: Es gilt genau dann u 1 R L u 2, wenn u 1-1 (L) = u 2-1 (L) gilt. Wie wir wissen, ist diese Relation eine Äquivalenzrelation üer Σ*, da sie Wertegleichheit ei Aildung f(u)=u 1 (L) entspricht. 1/3, S. 9

10 Nerode-Relation und Restsprachen Jede Sprache L üer Σ hat genauso viele Restsprachen (Zustände im Restsprachenautomat) wie Äquivalenzklassen in der Nerode-Relation R L Die Aildung g: u -1 (L) [u] RL von der Menge aller Restsprachen von L in die Menge aller R L -Äquivalenzklassen ist ijektiv: Sie ist surjektiv, injektiv, denn [u] RL = g(u -1 (L)), denn [u] RL =[u] RL gdw. u R L v gdw. u -1 (L) =v -1 (L). Was erhalten wir, wenn wir im Restsprachenautomat A(L) nicht die Restsprachen als Zustände nehmen, sondern deren g-bilder? Nerode-Äquivalenzklassen-Automat 1/3, S. 10

11 Restsprachenautomat A und Nerode-Äquivalenzklassen-Automat B Beispiel 1: L = {a,,a} a -1 (L) = {ε,} {a,,a} a {ε,} {ε} a {a} a a {ε} a, {,a} a, Σ*\{ε,a,,a} a, -1 (L) = (a) -1 (L) = {ε} a, Hier gilt für alle Zustände z: für alle w K A (z): z=w -1 (L(A))! Hier gilt für alle Zustände z: z = K B (z)! 1/3, S. 11

12 Restsprachenautomat und Nerode-Äquivalenzklassen-Automat Beispiel 2 Sei Σ = { 0,1 } und L = { 00 w w Σ* }. Restsprachen M 0 = 00 Σ* M 1 = 0 Σ* M 2 = Σ* M 3 = M 0 0 M 1 0 M ,1 M 3 0,1 Nerode-Klassen M 0 = {ε} M 1 = {0} M 2 = 00 Σ* M 3 = Σ* \ ({ε,0} 00 Σ* = {1,01} Σ* 1/3, S. 12

13 Nerode-Äquivalenzklassen Beispiel 3 Sei Σ* = { a, } und L = { a n n n N 0 }. Dann gilt für alle Wörter u i = a i mit i N: R L (u i ) = { i-1 }. Also gilt für alle Wörter u i und u k mit i k: R L (u i ) R L (u k ). Folglich hat die Nerode-Relation R L hier unendlich viele Äquivalenzklassen. 1/3, S. 13

14 Zentraler Hilfssatz (Begründung folgt) Sei A ein endlicher Automat üer dem Alphaet Σ mit Zustandsmenge Z, und es sei L = L(A). Dann gilt: Die Klasseneinteilung, die die Nerode-Relation R L induziert, hat höchsten Z Äquivalenzklassen. Wichtigste Folgerungen: Bei vorgegeenem endlichem Automaten A ist der kanonische Automat A(L(A)) ein Minimalautomat zu A. Genau dann ist eine gegeene Sprache L eine Automatensprache, wenn der kanonische Automat A(L) ein endlicher Automat ist. 1/3, S. 14

15 Zentraler Hilfssatz, Begründung Sei A = [Z,Σ,z 0,F,δ] ein endlicher Automat und L = L(A). Dann gilt offenar für alle u Σ*: u i -1 (L) = L(A,δ*(z 0,u)) Also gilt für alle u 1,u 2 Σ*: Wörter, die vom Zustand nach u zu einem Zustand aus F führen δ*(z 0,u 1 ) = δ*(z 0,u 2 ) L(A,δ*(z 0,u 1 )) = L(A,δ*(z 0,u 2 )) u 1-1 (L) = u 2-1 (L) u 1 R L u 2 Git es k verschiedene Äquivalenzklassen der Nerode-Relation R L, dann auch k paarweise nicht äquivalente Wörter u 1, u 2, u k, nach dem vorigen also auch k verschiedene Zustände δ*(z 0,u 1 ), δ*(z 0,u k ). Somit git es wegen k Z höchstens Z solche Äquivalenzklassen. 1/3, S. 15

16 Konsequenzen Um für eine gegeene Sprache L zu üerprüfen, o es einen endlichen Automaten A mit L(A) = L git, kann man wie folgt vorgehen: Stelle fest, o die Klasseneinteilung, die die Nerode-Relation R L induziert, endlich oder unendlich viele Äquivalenzklassen hat. Falls es endlich viele sind, git es einen endlichen Automaten A mit L(A) = L. Falls es unendlich viele sind, git es keinen endlichen Automaten A mit L(A) = L. Hinweis: Dieser Ansatz greift im Prinzip immer. Es ist nur manchmal nicht ganz leicht festzustellen, wie viele Klassen es git. 1/3, S. 16

17 weiteres Vorgehen Wir schauen uns jetzt eine weitere Eigenschaft der Sprachen an, die mit endlichen Automaten eschrieen werden können. Daei konzentrieren wir uns auf unendliche Sprachen und fragen uns, wie ein endlicher deterministischer Automat Wörter verareitet, die mindestens so viele Zeichen haen, wie der Automat Zustände hat. 1/3, S. 17

18 Beispiel Wir etrachten das folgende Wort w L(A): w = a 1 a 2 a 3 a 4 = z 0 z z 3 z 2 1 A verareitet das Wort w L(A) wie folgt: 0 Start in z 0; δ(z 0,a 1 ) = z 1, δ(z 1,a 2 ) = z 2, δ(z 2,a 3 ) = z 1 und δ(z 1,a 4 ) = z 3 Konsequenz: ei der Verareitung des Wortes w werden fünf Zustände esucht: der Startzustand und die vier Zustände, die esucht werden, wenn a 1, a 2, a 3 zw. a 4 verareitet wurden. Da A nur vier Zustände hat, muss deshal mindestens ein Zustand mehrfach esucht werden Vergleiche: Schleifen-Lemma für Wege! 1/3, S. 18

19 Beispiel (weiter) 0 1 z 3 A verareitet das Wort 1011 L(A) wie folgt: 1 z 0 z z 0 1 z 1 0 z 2 1 z 1 1 z 3 1 z = u v w = u v 1 w L(A) Da der Zustand z 1 zweimal esucht wird, können wir das Wort w in die Bestandteile u=1, v=01 und w=1 zerlegen mit: δ*(z 0,u) = z 1, δ*(z 1,v) = z 1, δ*(z 1,w) F, so dass für alle k N 0 das Wort u v k w eenfalls zur Sprache L(A) gehört, z.b z 0 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 (k=2) = u vv w = u v 2 w L(A) 1 z (k=0) 1 1 z 0 z 3 z 1 1 ε 1 = u v 0 w L(A) 1/3, S. 19

20 Hilfsegriff (Aufpumparkeit) Es sei s L Σ*. Es sei n N. s heißt n-aufpumpar in L, falls es Wörter u, v, w Σ* git, für die gilt: s = u v w, u v n und v 1, u v k w L für alle k N 0. k=0 ist eher Luft rauslassen als aufpumpen.... und die Kontraposition (Nicht- Aufpumparkeit) s ist nicht n-aufpumpar in L gdw. für alle Wörter u, v, w Σ* gilt: Wenn die Bedingungen s = u v w, u v n und v 1 erfüllt sind, so gilt u v k w L für mindestens ein k N 0. 1/3, S. 20

21 Beispiele Es sei L = { 111 } { 1 0 t t > 0 } Dann gilt: s = 100 gehört zu L und ist 2-aufpumpar in L : Wähle u = 1, v = 0, w = 0 s = 111 gehört zu L und ist nicht 2-aufpumpar in L : Egal, wie u,v, und w gewählt werden gilt, u v 2 w L. Jedes Wort s L mit s 4 ist 2-aufpumpar in L : s = 1 0 s. Wähle u = 1, v = 0, w = s. 1/3, S. 21

22 Pumping-Lemma für Automatensprachen Ist L eine unendliche Sprache, dann gilt: Beweis wie eim Schleifen-Lemma für Wege! Wenn es einen endlichen Automaten A mit L(A)=L git, dann git es eine Zahl n N, so dass jedes Wort w L mit w n ein n-aufpumpares Wort ist (die sog. Pumping-Eigenschaft). Logisch äquivalente Formulierung ( Kontraposition ) Ist L eine unendliche Sprache, dann gilt: und ei endlichen Sprachen? S.25 Wenn es zu jeder Zahl n N ein Wort s n L mit s n n git, das nicht n-aufpumpar ist (No-Pumping-Eigenschaft) so git es keinen endlichen Automaten A mit L(A).... leider nicht Genau dann, wenn, denn manche Nicht- Automatensprachen erfüllen das Pumping-Lemma auch. 1/3, S. 22

23 Verwendung Um zu zeigen, dass es für eine gegeene Sprache L keinen endlichen Automaten A mit L(A) = L git, enutzt man die Kontraposition des Pumping-Lemmas und geht wie folgt vor: Man zeigt, dass es zu jedem n N ein Wort s n L mit s n n git, das nicht n-aufpumpar ist Für jedes n ezeugt das Wort s n, dass es keinen endlichen Automat A mit n Zuständen git, für den L = L(A) gilt. Man will also zeigen, dass es zu jedem n N ein Wort s n L mit s n n git, so dass für alle Wörter u, v, w Σ* gilt: Wenn die Bedingungen s n = u v w, u v n und v 1 erfüllt sind, so gilt für mindestens ein k N u v k w L. 1/3, S. 23

24 Beispiel für das No-Pumping-Lemma Sei Σ = { 0,1 } und L = { w Σ* w hat genauso viele Nullen wie Einsen } Wir wollen zeigen, dass es keinen endlichen Automaten A mit L(A) = L git. Es sei nun n N Wir wählen das Wort s n = 1 n 0 n ( Offenar gilt s n L und s n n.) Es seien u,v und w so gewählt, dass s n = u v w, u v n und v 1 gilt Also gilt: u = 1 u, v = 1 v und w = 1 n- u v 0 n Daher gilt für das Wort u v 2 w (Wir nehmen also k = 2): u v 2 w = 1 u 1 2 v 1 n- u v 0 n = 1 n+ v 0 n, und n+ v >n, also u v 2 w L, da dieses Wort mehr Einsen als Nullen hat. 1/3, S. 24

25 Anmerkungen Mit der Kontraposition des Pumping-Lemmas kann man offenar nur für unendliche Sprachen L zeigen, dass es keinen endlichen Automaten A mit L(A) = L git. Man raucht ja unendlich viele Wörter. Das ist aer keine Einschränkung, weil man sich leicht üerlegen kann, dass es für jede endliche Sprache L einen endlichen Automaten A mit L(A) git... was wir auf mindestens drei Arten sehen können: Die Nerode-Relation R L hat nur endlich viele Äquivalenzklassen. Es git eine triviale Baum-Konstruktion für einen passenden Automaten. Es git nur endlich viele Restklassensprachen. 1/3, S. 25

26 weitere Anmerkungen Unschön ist, dass es (natürlich unendliche) Sprachen L git, die einerseits keine Automatensprachen sind, d.h. es git keinen endlichen Automaten A mit L(A) = L, und die andererseits trotzdem die Pumping-Eigenschaft haen, d.h. es git ein n N, so dass jedes Wort w L mit w n n-aufpumpar ist. Beispielsweise gilt mit Σ = { 0,1 } und L = { 0 n 1 m 0 m n,m N } {1 n 0 m n,m N 0 } L ist keine Automatensprache. Jedes Wort w L mit w 1 ist ein 1-aufpumpares Wort. Wie sieht man das ein? 1/3, S. 26

27 weitere Anmerkungen Beispielsweise gilt mit Σ = { 0,1 } und L = { 0 n 1 m 0 m n,m N } {1 n 0 m n,m N 0 } L ist keine Automatensprache. Jedes Wort w L mit w 1 ist ein 1-aufpumpares Wort. Wie sieht man das ein? Etwa so: L hat unendlich viele Restsprachen (vgl. a n n -Beispiel), zw. ein Automat für L räuchte ein unendlich großes Gedächtnis: Falls 0 vorne, wie viele 1en kamen isher? W hat n>1 führende Nullen vorne führende Null streich- und vervielfachar zu Wort aus erster Menge. Einsame 0 vorne streichar zu Wort aus zweiter Menge, vervielfachar zu Wort erster Menge. Führende 1 vorne streichar und vervielfachar zu Wort aus zweiter Menge. 1/3, S. 27