Advanced Public Economics, 2012/13,

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1 Advanced Public Economics, 0/3, Termin ( ). Gegeben sei die Transformationskurve = 00 - G, sowie die Nutzenfunktionen zweier Hausalte u G ( ), u G ( ) 3, 3 wobei G ein kollektives Gut bezeicnet und, =,, ein privates, mit = +. Finden Sie eine beliebige Allokation (,, G), sodass = + und G auf der Transformationskurve liegen und überprüfen Sie, ob diese Allokation Pareto-effizient ist.. Termin ( ). Betracten Sie das vorergeende Beispiel. Gegeben seien die individuellen Anfangsausstattungen 60, 40 ( 00 ). Berecnen Sie das Lindal Gleicgewict (setzen Sie p =, d.. die Grenzkosten des kollektiven Gutes G sind ). 3. Termin (. 0. 0) 3. a) Gegeben sei die Nutzenfunktion eines Hausalts u (G, ) = ( ) G, die Anfangsausstattung sei und es sei ein Preis p G gegeben. Bestimmen Sie die Reaktionsfunktion dieses Hausalts in Abängigkeit von einem Beitrag g k eines anderen Hausalts k (allgemein, sowie für = 0,6, 0, p G = ). Betracten Sie einen zweiten Hausalt k mit gleicen Präferenzen und gleicer Anfangsausstattung. Bestimmen Sie das Nas-Gleicgewict. 3. b) Zeigen Sie dass das Nasgleicgewict in Beispiel 3 keine Pareto-effiziente Allokation darstellt. (Berecnen Sie ( MRS MRS )). G G 4. Termin (5.. 0) 4. Gegeben seien die Nutzenfunktionen zweier Hausalte (H = ) u (G, ) G, u (G, ) G 3 wobei G ein diskretes öffentlices Gut bezeicnet,, =, ein privates. Die Anfangsausstattungen der beiden Hausalte seien,. Berecnen Sie die Reservationspreise r, r. Die Kosten des kollektiven Gutes seien c =. Gibt es die Beiträge

2 g, g, sodass die Bereitstellung von G und Finanzierung mit g, g eine Paretoverbesserung gegenüber G = 0 darstellt? 5. Betracten Sie das Beispiel am Ende des Tetes zum Clark-Groves Mecanismus, aber mit r = statt r = Bescreiben Sie kurz den Pivotal Mecanismus. Welce Entsceidung kommt zustande? Welce Seitenzalungen fallen an? 5. Termin (.. 0) 6. Te problem of te commons: Lake Ec can be freely accessed by fisermen. Te cost of sending a boat out on te lake is r > 0. Wen b boats are sent out onto te lake, f(b) fis are caugt in total [so eac boat catces f(b)/b fis], were f'(b) > 0 and f"(b) < 0 at all b 0. Te price of fis is p > 0, wic is unaffected by te level of te catc from Lake Ec. a) Caracterize te equilibrium number of boats tat are sent out on te lake. b) Caracterize te optimal number of boats tat sould be sent out on te lake. Compare tis wit your answer to (a). c) Wat per-boat fising ta would restore efficiency? d) Suppose tat te lake is instead owned by a single individual wo can coose ow many boats to send out. Wat level would tis owner coose? Hint: Consider te precise meaning of f(b): te total amount of fis wic is caugt if b boats are sent out. Obviously ten, te derivative of f can be interpreted as te increase of te total catc, if a furter boat is sent out. In contrast: Te amount of fis, wic is caugt by tis particular furter boat itself, can be described by te average f(b)/b. Assume tat decisions to send out a furter boat are made subsequently by independent fisermen. Given tat b boats are already on te lake, a furter boat will catc te average amount of fis. If te value of te catc (note: price p per unit of fis) eceeds te cost, te boat will be sent out. Te equilibrium number of boats will terefore be determined by te condition tat te value of (average) catc of te last boat equals cost r. On te oter and, from an efficiency point of view, it is clearly optimal to send out a furter boat, if te value of te additional amount of fis, wic is caugt if one more boat is sent out, eceeds (or at least covers) te cost of te furter boat. Wit f' > 0, f" < 0 (diminising marginal returns): wic relation must old between b and bˆ, if b is obtained from te condition f'( b ) = r/p, and bˆ is obtained from te condition (bˆ )/bˆ =

3 r/p (r and p are fied positive numbers)? Draw a diagram wit f(b) and illustrate ow b and bˆ are determined. 6. Termin (9.. 0) 7. An economy consists of two individuals. Te utility function of ouseold, =, is given by u (, z, z k ) a v ( z ) ( z k ), k, were and z denote consumption of two goods by ouseold, and z k denotes consumption of te second good by te oter ouseold. a is a constant. v : eibits positive and decreasing marginal utility ( v ' 0, v " 0). : describes te eternal effect of individual k on individual (positive if ' 0, negative if ' 0). a) Write te conditions () on p. of Tet 4 for a Pareto-efficient allocation for tis utility function. Note tat tis form of u is quasilinear wit u / a (a constant, could be ), u / z v '( z ), u / z k '( z k ), wile u k / z k '( z ). b) Write te condition for te individually optimal coice of MRS p / p, wit p and given te price z z p z for z. z by ouseold, c) Specify a) and b) using z k k z /0.5,, ( ) 0, ( ) ( ), p a v z z z e, k,, k, and compute te individually optimal level of and sketc ow to determine te Pareto-efficient level of z. z. Illustrate by a diagram 7. Termin (6.. 0) 8. Eine Näerungsformel (für "kleine" Steuersätze) zur Berecnung des Deadweigt Loss (Ecess Burden) einer Steuer im Partialmarkt lautet: DWL p, wobei den Steuersatz, p den (fien) Produzentenpreis one Steuer, q den Konsumentenpreis, die nacgefragte Menge one Steuer und die Nacfrageelastizität (deren Absolutbetrag) bezeicnen. 3

4 q p(+ ) C q p B E Zu dieser Formel gelangt man, wenn man in der Formel für die Fläce des Dreiecks BEC, ( q ) /, die Größe mit Hilfe der Definition der Nacfrageelastizität, / q / q eliminiert und q = p, q p setzt. Zeigen Sie diese Herleitung genau. Berecnen Sie DWL für die Nacfragefunktion = 00 - q für p (= q) = 0 und = 0,. Anmerkung: Gemäß dieser Formel ist der DWL quadratisc im Steuersatz. Bei einer genaueren Definition des DWL entsprecend dem Hicks'scen Maß wäre die kompensierte Nacfrageelastizität eranzuzieen. Vgl. Stiglitz (000), Economics of te Public Sector, pp (Actung: andere Bezeicnungen!). 8. Termin (3.. 0) 9. Gegeben sei die Nutzenfunktion u(c,f) c F 0,4 0,6, wobei c ein (universelles) Konsumgut und F die Freizeit bezeicnet. Weiters sei die Obergrenze der verfügbaren Zeit mit F 6 gegeben, sowie der Lonsatz w = 5, sowie der Preis des Konsumguts p =. a) Zeicnen Sie eine (beliebige) Indifferenzkurve zur Nutzenfunktion sowie die Budgetgerade (Berecnen Sie einige Punkte auf der Indifferenzkurve). b) Formulieren und zeicnen Sie die Budgetgerade one Steuer bzw. für den Fall einer proportionalen Einkommensteuer l 0,. c) Welcer Steuersatz auf das Konsumgut würde die gleice Budgetgerade ergeben wie die Einkommensteuer l 0,? d) Zusatzaufgabe: Ermitteln Sie die optimale Hausaltsentsceidung one und mit Steuer. 4

5 0. Gegeben seien zwei Güter und Arbeitszeit, sowie drei Steuern:,, w. Die Güterpreise seien p, p und der Lonsatz sei w. a) Formulieren Sie die Budgetbedingung des Hausalts. Nemen Sie jeweils eine entsprecende Umformung vor, um folgende zwei Situationen zu bescreiben: b) Es gibt keine Steuer auf Arbeitseinkommen. c) Es gibt keine Steuer auf Gut. Spezifizieren Sie diese drei Varianten der Budgetbedingung für = 0,, = 0,, w = 0,3. ' ' Berecnen Sie die äquivalenten Steuersätze, für die Formulierung b), analog für die Formulierung c). 9. Termin (0. Dezember 0). Verwenden Sie die Nutzenfunktion u(c,l) = c (-L) -, wobei c die Menge eines Konsumgutes und L die Arbeitszeit bezeicnet, und nemen Sie den Lonsatz w = als gegeben. a) Zeicnen Sie die Budgetgerade (one Steuer) und eine Indifferenzkurve im üblicen Freizeit - Konsum (= Einkommen)-Diagramm (siee Tet 5/Folie 7, F 0 =). Setzen Sie = 0,5, Freizeit F = L, u(c,f) = c F -. Bestimmen Sie das Hausaltsgleicgewict (Punkt G 0 in Tet 5/Folie 7). b) Transformieren Sie u zu v (siee Mirrlees-Modell in Tet 6, wir betracten den Fall, dass es nur ein Gut gibt, daer erübrigt sic das Maimierungsproblem, es ist c = ): z w v (z, ) u(c, ). Zeicnen Sie im z- Diagramm die Budgetgerade one Steuer (d.. = z) und eine Indifferenzkurve zu v. Übertragen Sie das Hausaltsgleicgewict in a) auf dieses Diagramm. Wälen Sie den Punkt z =, = und bestimmen Sie durc Verwendung der obigen Nutzenfunktion u(c,l) = c (-L) -, = 0,5, die und w = 4. MRS z bezüglic v in z =, = für w = 5

6 Hinweis: MRS z v / z u / L. v / ( u / c)w 0. Termin (7. Jänner 03). Gegeben seien die zwei vom Staat vorgegebenen Paare (z, ) (80,00), (z, ) (00,50) a) Zeicnen Sie diese beiden Paare in einem z--diagramm ein. b) Wie viel Steuern beanspruct der Staat dabei? c) Wie siet eine ESt-Funktion aus, die genau diese beiden Kombinationen als einzig wälbare ergibt? d) Verwenden Sie die Nutzenfunktion des vorigen Beispiels (c 0,5 (-L) 0,5 ) und setzen Sie w = 50, w = 400 (außerdem c = ). Erfüllen die beiden Paare die beiden self-selectionconstraints?. Termin (4. Jänner 03) 3. Gegeben sei ein Hausalt, der zwei Perioden lang lebt, mit der Nutzenfunktion U(c t, c t+, L t ) und dem Lonsatz w t, sowie ein gegebener Zinssatz r t+. c t, c t+ bezeicnen den Konsum in der ersten bzw. zweiten Lebensperiode, L t die Arbeitszeit in der ersten Lebensperiode. Ruestand in der zweiten Periode. Berecnen Sie für eine Cobb-Douglas Nutzenfunktion U(c t, c t+, L t ) = ctc t ( L t ) das optimale Arbeits- und Konsumbündel durc Maimierung von U unter der Budgetbedingung c c /( r ) w L t t t t t Wie groß ist die Ersparnis des Hausalts in seiner ersten Lebensperiode? Weiters sei eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion F(K,L ) K L gegeben, wobei K t t t t t das in der Vorperiode t - festgelegte und in Periode t fi gegebene Kapital und Lt NtLt der aggregierte Arbeitseinsatz (mit N t als Zal der Hausalte) sei. Leiten Sie aus der Grenzproduktivitätsbezieung wt F(K t,l t ) / Lt die Arbeitsnacfragefunktion er und bestimmen Sie den Gleicgewictslonsatz durc Gleicsetzen von Arbeitsangebot N t L t und Arbeitsnacfrage L t. Bestimmen Sie w t nummerisc für 0,3, 0, 4, 0, 4, Kt 00, N t = 00. 6