Kapitel 10. Stichproben

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1 Kapitel 10 n In der deskriptiven Statistik werden die Charakteristika eines Datensatzes durch Grafiken verdeutlicht und durch Maßzahlen zusammengefasst. In der Regel ist man aber nicht nur an der Verteilung des Merkmals im Datensatz interessiert, sondern man will auf Basis der Daten eine Aussage über die Verteilung des Merkmals in der machen, aus der die Daten gezogen wurden. Man nennt die Teilgesamtheit auch eine. So könnte die Durchschnittsnote aller Studenten der Wirtschaftswissenschaften im Abitur und der Anteil der Studenten, die den Mathematik Leistungskurs besucht haben, von Interesse sein. Die Durchschnittsnote ist der Erwartungswert µ. Einen Anteil in einer bezeichnen wir im folgenden mit p. Allgemein bezeichnen wir eine Größe einer Verteilung, an der wir interessiert sind, als Parameter θ. Will man einen oder mehrere Werte für den Parameter angeben, so spricht man vom Schätzen. Hierbei unterscheidet man Punktschätzung und Intervallschätzung. Bei der Punktschätzung bestimmt man aus den Daten einen Wert für den unbekannten Parameter, während man bei der Intervallschätzung ein Intervall angibt. Soll eine Vermutung über den Parameter überprüft werden, so spricht man vom Testen. Um verstehen zu können, warum und wann man auf Basis einer Aussagen über eine machen kann, muss man sich Gedanken über n machen. Ausgangspunkt der schließenden Statistik ist eine. Dies ist die Menge aller Personen bzw. bjekte, bei denen das oder die interessierenden Merkmale erhoben werden können. So ist die Menge aller Studenten der Wirtschaftswissenschaften in Deutschland eine. Hier könnten der Frauenanteil, die erwartete Dauer des Studiums oder die Durschnittsnote im Diplom von Interesse sein. 231

2 232 KAPITEL 10. STICHPRBEN Beispiel 85 Eine besteht aus 4 Personen. Die Körpergröße der Personen beträgt Die durchschnittliche Körpergröße E() = µ aller 4 Personen beträgt 174 und die Varianz Var() =σ 2 der Körpergröße ist 20. Es liegt nahe, bei allen Personen bzw. bjekten der die interessienden Merkmale zu erheben. Man spricht in diesem Fall von einer Vollerhebung. Ein Beispiel hierfür ist die Volkszählung. Bei dieser werden in regelmäßigen Abständen eine Reihe von Merkmalen von allen Bürgern der Bundesrepublik Deutschland erfragt. In der Regel ist eine Vollerhebung aber zu teuer oder zu aufwendig. ft ist es auch gar nicht möglich, die vollständig zu untersuchen. Dies ist der Fall, wenn die Untersuchung eines bjekts zu dessen Zerstörung führt. Kennt man die Lebensdauer einer Glühbirne oder eines Autoreifens, so kann man sie nicht mehr gebrauchen. Man spricht von zerstörender Prüfung. Da Vollerhebungen eine Reihe Nachteile besitzen, wird man nur einen Teil der, eine sogenannte Teilgesamtheit untersuchen. Will man von der Teilgesamtheit sinnvoll auf die schließen, so muss die Teilgesamtheit repräsentativ für die sein. Dies ist unter anderem dann der Fall, wenn jedes Element der die gleiche Chance hat, in die Teilgesamtheit zu gelangen. Man spricht dann von einer Zufallsstichprobe. Die folgende Abbildung visualisiert den Ziehungsprozess.

3 233 Bezeichnen wir mit x i den Wert des interessierenden Merkmals beim i-ten bjekt der Teilgesamtheit, so ist x 1,...,x n die. Nehmen wir an, dass die nicht vollständig beobachtet wird. Es können nur zwei Personen beobachtet werden. Man zieht also eine (x 1,x 2 ) vom Umfang n = 2. Dabei ist x 1 die Größe der ersten gezogenen Person und x 2 die Größe der zweiten gezogenen Person. Beim Ziehen ohne Zurücklegen gibt es 4 3 = 12 mögliche Sichproben. Sie sind (168, 172) (168, 176) (168, 180) (172, 168) (172, 176) (172, 180) (176, 168) (176, 172) (176, 180) (180, 168) (180, 172) (180, 176) Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es 4 2 =16mögliche Sichproben. Sie sind (168, 168) (168, 172) (168, 176) (168, 180) (172, 168) (172, 172) (172, 176) (172, 180) (176, 168) (176, 172) (176, 176) (176, 180) (180, 168) (180, 172) (180, 176) (180, 180) Bei einer Zufallsstichprobe hat jedes Element der die gleiche Chance, in die zu gelangen. In der folgenden Abbildung werden die bjekte in der Ellipse in der bei der Ziehung nicht berücksichtigt. Man spricht von einer verzerrten.

4 234 KAPITEL 10. STICHPRBEN Schauen wir uns am Beispiel an, was passiert, wenn bestimmte Elemente der nicht in die gelangen können. Die ersten beiden Personen sind Frauen und die beiden anderen Männer. Es werden aber nur die Frauen in Betracht gezogen. Ziehen wir mit Zurücklegen, dann gibt es folgende n (168, 168) (168, 172) (172, 168) (172, 172) Diese liefern alle ein verzerrtes Bild der, da wir die Körpergröße in der auf Basis der zu klein einschätzen. Wie das Beispiel zeigt, liefert eine ein verzerrtes Bild der, wenn Elemente der nicht in die gelangen können. Dies kann dadurch geschehen, dass sie bei der Ziehung der nicht berücksichtigt wurden. Man spricht in diesem Fall vom Selektions-Bias. Dieser liegt zum Beispiel bei Befragungen im Internet vor. Hier ist die sicherlich nicht repräsentativ für die Bevölkerung, da nur ein Teil der Bevölkerung Zugang zum Internet besitzt. Eine verzerrte erhält man aber auch dann, wenn Befragte eine Frage nicht beantworten und dieses Verhalten von der gestellten Frage abhängt. Man spricht in diesem Fall vom Nonresponse-Bias. Dieser tritt zum Beispiel bei Fragen nach dem Einkommen auf. Hier werden Personen mit sehr niedrigem oder sehr hohem Einkommen aus naheliegenden Gründen diese Frage nicht beantworten. Bei Befragungen auf freiwilliger Basis antworten oft nur die, die bei der Frage besonders involviert sind. Man spricht hier vom Selfselection- Bias. Beispiel 86 Der Literary Digest hatte seit 1916 den Gewinner der Präsidentschaftswahlen in den USA immer richtig prognostiziert. Im Jahr 1936 trat der Kandidat der Republikaner Landon gegen den demokratischen Präsidenten Roosevelt an. Eine Befragung von 2,4 Milionen Amerikanern durch den Literary Digest ergab, dass aber 57 Prozent Landon wählen würden. Bei der Wahl wurderoosevelt von 62 Prozent der Wähler gewählt. Woran lag das schlechte Prognose des Literary Digest? Der Literary Digest hatte Fragebögen an 10 Millionen Haushalte verschickt. Von diesen haben aber nur 24 Prozent geantwortet. Dies spricht für einen Nonresponse-Bias. Besitzt man keine Informationen über eine, so sollte man eine Zufallsstichprobe ziehen. Liegen jedoch Informationen über die vor, so sollten diese bei der nziehung berücksichtigt

5 235 werden. Ein Beispiel hierfür sind geschichtete n. Bei diesen sind bei jedem Merkmalsträger die Ausprägungen eines oder mehrerer Merkmale bekannt. Auf der Basis dieser Merkmale teilt man die in disjunkte Klassen ein, die man auch Schichten nennt. Man zieht aus jeder der Schichten eine Zufallsstichprobe. Die folgende Abbildung visualisiert die Schichtenbildung und den Ziehungsvorgang. Dabei bilden die Kreise die eine und die Kreuze die andere Schicht. Die ersten beiden Personen seien Frauen, die beiden anderen Männer. Die erste Schicht besteht aus den Frauen und die zweite aus den Männern. Aus jeder der beiden Schichten wird eine vom Umfang n = 1 gezogen. Es gibt also folgende n: (168, 176) (168, 180) (172, 176) (172, 180) ft werden Personen oder bjekte zu einer Einheit zusammengefasst. So ist es bei mündlichen Befragungen aus Kostengründen sinnvoll, Personen zu befragen, die nahe beieinander wohnen. Eine Auswahleinheit ist dann nicht die Person, sondern die Gruppe. Man spricht auch von Klumpen und dem Klumpenverfahren. Die folgende Abbildung illustriert das Klumpenverfahren. Dabei gibt es drei Klumpen. Die bjekte des ersten Klumpen sind

6 236 KAPITEL 10. STICHPRBEN durch ein, die des zweiten durch ein und die des dritten durch ein + veranschaulicht Wir fassen die ersten beiden Personen zu einem Klumpen und die beiden anderen Personen zum anderen Klumpen zusammen. Es wird ein Klumpen als ausgewählt. Es gibt also folgende n: (168, 172) (176, 180) Beispiel 87 Der Mikrozensus ist eine Erhebung, bei der jedes Jahr 1 Prozent der Bevölkerung der Bundesrepublik Deutschland befragt wird. Im Mikrozensusgesetz wird die Aufgabe des Mikrozensus beschrieben. Es sollen statistische Angaben in tiefer fachlicher Gliederung über die Bevölkerungsstruktur, die wirtschaftliche und soziale Lage der Bevölkerung, der Familien und der Haushalte, den Arbeitsmarkt, die berufliche Gliederung und die Ausbildung der Erwerbsbevölkerung sowie die Wohnverhältnisse bereitgestellt werden. Beim Mikrozensus wird das Schichtungsverfahren und das Klumpenverfahren verwendet. Die Klumpen bestehen dabei aus Haushalten, wobei ein Klumpen aus höchstens 9 Wohnungen besteht. Außerdem wird nach mehreren Variablen geschichtet. Es werden zunächst regionale Schichten gebildet, die im

7 237 Mittel Einwohner enthalten. So bilden Kreise, Zusammenfassungen von Kreisen oder Großstädte regionale Schichten. Sehr große Städte werden in regionale Schichten geteilt. Als weiteres Schichtungsmerkmal wird die Gebäudegröße betrachtet. Hierbei werden 4 Schichten gebildet. Schicht 1 enthält alle Gebäude, die mindestens eine aber höchstens vier Wohungen enthalten, Schicht 2 enthält alle Gebäude mit 5 bis 10 Wohnungen, Schicht 3 alle Gebäude mit mindestens 11 Wohnungen und Schicht 4 alle Gebäude, in denen eine Anstalt vermutet wird. Aus jeder Schicht wird ein Prozent der Personen ausgewählt. Die Stadt Bielefeld mit ihren ungefähr Einwohnern bildet eine eigene regionale Schicht, in der es die vier Schichten der Gebäudegrößen gibt. Aus jeder dieser Schichten wird eine gezogen.