Plastische Querschnittstragfähigkeit von doppeltsymmetrischen I-Querschnitten Tragfähigkeitsbedingungen, Genauigkeit, Nebeneffekte

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1 RUHR-UNIVERSITÄT BOCHUM Bauingenieurwesen Christian Ludwig Plastische Querschnittstragfähigkeit von doppeltsymmetrischen I-Querschnitten Tragfähigkeitsbedingungen, Genauigkeit, Nebeneffekte

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3 Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 009 bis 013 während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für konstruktiven Ingenieurbau - Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau - der Ruhr-Universität Bochum. Sie wurde von der dortigen Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften als Dissertation angenommen. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann für die Betreuung und Unterstützung während der Entstehung dieser Arbeit sowie die Übernahme des Referates. Herr Prof. Dr.-Ing. R. Stroetmann danke ich recht herzlich für die Übernahme des Koreferates. Weiterhin gilt mein Dank allen meinen Kollegen, die durch ihre Diskussionsbereitschaft zum Entstehen dieser Arbeit beigetragen haben. Dabei ist besonders Rebekka Ebel für ihre wertvollen Anregungen bei der Durchsicht des Manuskripts zu nennen. Schließlich danke ich meiner Familie und insbesondere meiner Frau Christiane für ihre verständnisvolle Unterstützung während der Erstellung dieser Arbeit. März 014 Christian Ludwig Doktorarbeit eingereicht am: Tag der mündlichen Prüfung: Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann, Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr.-Ing. R. Stroetmann, Technische Universität Dresden

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5 für Christiane

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7 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Problemstellung und Zielsetzung 1 1. Stand der Forschung Bezeichnungen Annahmen und Voraussetzungen Grundlagen Materialverhalten 13 Grundlagen 15.1 Vorbemerkungen 15. Spannungsermittlung 15.3 Querschnittsklassen 17.4 Spannungsnachweise (Elastizitätstheorie) 19.5 Nachweise nach der Plastizitätstheorie 0.6 Klassifizierung der plastischen Querschnittstragfähigkeit 3 Methoden zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit Vorbemerkungen 3 3. Experimentelle Untersuchungen Dehnungsiteration Optimierungsverfahren Allgemeines Berechnungsprogramm LILOBEC Berechnungen nach Fließzonentheorie 30 4 Rechteckquerschnitt Vorbemerkungen Grenzschnittgrößen für den Rechteckquerschnitt Grundlagen Plastische Grenzschnittgröße M pl,xp Plastische Grenzschnittgröße M pl, Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt Vorbemerkungen Schnittgrößen N und M Schnittgrößen N, M y und M z mit unplanmäßiger Torsion Schnittgrößen N, M y und M z ohne unplanmäßige Torsion Schnittgrößen V und M xp 51

8 VI Inhaltsverzeichnis 5 Ausrundungsflächen Vorbemerkungen Gleichschenklige, rechtwinklige Dreiecke Ausrundungen 58 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Vorbemerkungen Grenzschnittgrößen Grundlagen Plastische Grenzschnittgrößen N pl, M pl,y, M pl,z, V pl,z und V pl,y Plastische Grenzschnittgröße M pl,xp Plastische Grenzschnittgröße M pl, Schnittgrößenkombinationen Vorbemerkungen Grundlagen Schnittgrößen N und M y Schnittgrößen N und M z Schnittgrößen M y und M z Schnittgrößen N, M y und M z ohne unplanmäßige Torsion Schnittgrößen N, M y, M z und M Sonderfall Schnittgrößen N, M y und M z mit unplanmäßiger Torsion Gleichzeitige Wirkung von - und -Schnittgrößen Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Vorbemerkungen Grenzschnittgrößen Grundlagen Plastische Grenzschnittgrößen N pl, M pl,y, M pl,z, V pl,z und V pl,y Plastische Grenzschnittgröße M pl,xp Plastische Grenzschnittgröße M pl, Schnittgrößenkombinationen Vorbemerkungen Schnittgrößen N und M y Schnittgrößen N und M z Schnittgrößen M y und M z Schnittgrößen N, M y und M z ohne unplanmäßige Torsion Schnittgrößen N, M y, M z und M Sonderfall Schnittgrößen N, M y und M z mit unplanmäßiger Torsion Gleichzeitige Wirkung von - und -Schnittgrößen 13

9 Inhaltsverzeichnis VII 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Vorbemerkungen Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie Grundlagen Querschnitte unter zweiachsiger Biegung mit Normalkraft Querschnitte mit Torsionsbeanspruchung Experimentelle Untersuchungen Zusammenfassung 154 Literaturverzeichnis 159

10 VIII Inhaltsverzeichnis

11 Kurzfassung In der vorliegenden Arbeit wird die plastische Querschnittstragfähigkeit von doppeltsymmetrischen I-Querschnitten untersucht. Dabei stehen die Entwicklung von Tragfähigkeitsbedingungen, ihre Genauigkeit und die Identifikation von ungewollten Nebeneffekten im Vordergrund. Bekannte Methoden zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit werden weiterentwickelt und die bisherigen Annahmen kritisch überprüft. Ein Schwerpunkt der Arbeit ist die Entwicklung von genauen bzw. baupraktisch genauen Interaktionsbeziehungen für häufig vorkommende Anwendungsfälle. Für Standardanwendungsfälle von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Profilen können die exakten Lösungen der Interaktionsbeziehungen angegeben werden. Ferner wird eine Methode zur Berücksichtigung der Ausrundungen von doppeltsymmetrischen gewalzten I-Profilen vorgestellt. Es erfolgt die Überprüfung und Bewertung der Nachweisbedingungen in nationalen und internationalen Regelwerken bezüglich ihrer Genauigkeit.

12 VIII Kurzfassung

13 1 Einleitung 1.1 Problemstellung und Zielsetzung Die Kenntnis über die Bemessung von Stahlquerschnitten ist eine wesentliche Grundlage im konstruktiven Ingenieurbau. Zu den am häufigsten eingesetzten Querschnitten gehören die in Bild 1.1 dargestellten doppeltsymmetrischen I-Profile. Diese werden in Form der Walzprofilreihen IPE, HEAA, HEA, HEB und HEM oder als aus drei Blechen zusammengesetzte geschweißte Profile verwendet. Bild 1.1 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Die doppeltsymmetrischen gewalzten I-Querschnitte werden in mittelbreite I-Träger und breite I-Träger eingeteilt, s. Bild 1.. Bei den doppeltsymmetrischen geschweißten I-Profilen kann man zwischen zwei Ausführungsvarianten unterscheiden. Bild 1. Doppeltsymmetrische I-Querschnitte

14 1 Einleitung Die Halsnähte zwischen Gurt und Steg können als durchgeschweißte oder nicht durchgeschweißte Schweißnähte ausgeführt werden. In Bild 1. (rechts) ist ein Querschnitt mit einer Doppel HV-Naht und einer Doppelkehlnaht dargestellt. Die Profilwahl ist neben den statischen Erfordernissen auch von den Fertigungsbedingungen der ausführenden Firma und der Materialbereitstellung abhängig. Für den Nachweis von Tragwerken werden unter Berücksichtigung der einwirkenden Lasten die Schnittgrößen nach der Stabtheorie ermittelt. Mit diesen Schnittgrößen wird das gewählte Profil auf ausreichende Tragfähigkeit überprüft. Der Anwender kann, sofern die Querschnitte entsprechende Bedingungen erfüllen, Nachweise nach der Elastizitätstheorie und der Plastizitätstheorie führen. In Bild 1.3 ist ein Beispiel dazu dargestellt. Bild 1.3 Berechnungsbeispiel Dachträger mit Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung Ein Einfeldträger wird durch eine Linienlast und eine Normalkraft beansprucht. Der Träger ist senkrecht zur dargestellten Ebene kontinuierlich am Obergurt gehalten. Es besteht daher keine Stabilitätsgefahr. Die Bestimmung der bemessungsrelevanten Schnittgrößen erfolgt nach Theorie I. Ordnung. Nach der Elastizitätstheorie kann bei diesem Beispiel der Nachweis ausreichender Querschnittstragfähigkeit nicht erbracht werden. In Tabelle 1.1 sind die Ergebnisse verschiedener Ansätze für die N-M y - Interaktion nach der Plastizitätstheorie enthalten. Die Abweichungen sind mit dem Faktor für alle Schnittgrößen zu bestimmen. Somit gilt z. B. für < 1: Die Schnittgrößen werden durch Multiplikation mit dem Faktor reduziert, damit der Nachweis erfüllt ist. Tabelle 1.1 Faktoren für Schnittgrößen in Bild 1.3 Nachweis nach DIN [14] DIN EN [15] TSV-plus nach Tabelle 7.6, [55] LILOBEC [70] INCA [38] Faktor 0,966 1,061 1,000 1,000 0,999 Anhand der numerischen Lösungen nach LILOBEC [70] und INCA [38] sowie einer Handrechnung nach Tabelle 7.6 wird deutlich, dass die plastische Querschnittstragfähigkeit erreicht ist. Das Ergebnis nach DIN [14] liegt bei diesem Beispiel

15 1.1 Problemstellung und Zielsetzung 3 mit 3,4 % auf der sicheren Seite und das Ergebnis nach DIN EN [15] liegt 6,1 % auf der unsicheren Seite. Ein weiteres Beispiel ist in Bild 1.4 dargestellt. Der Einfeldträger wird in Feldmitte durch eine horizontale und eine vertikale Last am Obergurt beansprucht. Wegen des Verzweigungslastfaktors von cr = 1,55 (Stabilitätsgefahr) erfolgt für dieses Beispiel die Ermittlung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung mithilfe von [50]. Als Ersatzimperfektion wird auf der sicheren Seite liegend L/150 nach [4] angenommen und affin zur Eigenform angesetzt. Bild 1.4 Berechnungsbeispiel Abfangträger mit Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung Gemäß Bild 1.4 ergeben sich die Schnittgrößen M y, M z und M. Die Schnittgrößen V z, V y, M xp und M xs können vernachlässigt werden. Auch bei diesem Beispiel ist die Nachweisbedingung x f y nach der Elastizitätstheorie nicht erfüllt. Unter Berücksichtigung plastischer Querschnittstragfähigkeiten gelingt für den in Bild 1.4 dargestellten Querschnitt der Nachweis ausreichender Tragfähigkeit. Auf Einzelheiten wird an dieser Stelle nicht eingegangen. Das Beispiel soll zeigen, dass für den Nachweis Interaktionsbeziehungen erforderlich sind, die die Kombination der Schnittgrößen M y, M z und M erfassen. Die Querschnittsnachweise nach der Plastizitätstheorie werden aus wirtschaftlichen Gründen häufig bevorzugt. In Tabelle 1. ist eine Übersicht der in DIN [14] und in DIN EN [15] enthaltenen Interaktionsbeziehungen für verschiedene Schnittgrößenkombinationen zusammengestellt. Für das Beispiel in Bild 1.4 ist somit nach DIN [14] oder DIN EN [15] ein Nachweis nach der Plastizitätstheorie nicht möglich. Darüber hinaus liegen die in DIN [14] und in DIN EN [15] angegebenen Interaktionsbedingungen teilweise auf der unsicheren Seite, s. Beispiel in Tabelle 1.1. Der Anwender ist somit auf weiterführende Literatur wie z. B. Kindmann [43] und [45] angewiesen. Dabei werden Vereinfachungen wie das in Bild 1.5 dargestellte Mittellinienmodell mit Überlappung verwendet.

16 4 Tabelle 1. Nachweisbedingungen für doppeltsymmetrische I-Profile Schnittgrößen DIN [14] 1 Einleitung DIN EN [15] N-M y * * N-M z * * M y -M z N-M y -M z (mit M 0) * * N-M y -M z -M - - N-M y -V z * * M y -M z -V y -V z - N-M y -M z -M -V y -V z -M xp -M xs - - Interaktion vorhanden, * teilweise unsicher, - Interaktion nicht vorhanden Die Blechbiegung bleibt dabei unberücksichtigt. Beim Mittellinienmodell mit Überlappung werden die Ausrundungen doppeltsymmetrischer gewalzter I-Profile in grober Näherung durch die überlappenden Flächen erfasst. Diese Näherung liegt für die Profilreihe HEM auf der unsicheren Seite, s. Abschnitt Bild 1.5 Häufig verwendete Idealisierung für doppeltsymmetrische I-Profile In Bild 1.6 sind Querschnitte mit den herstellungsbedingten Ausrundungen am Übergang zwischen Gurt und Steg dargestellt. Weiterhin wird bei den üblichen Modellen zur Bestimmung der Querschnittstragfähigkeit häufig eine gerade Spannungsnulllinie und das Ebenbleiben der Querschnitte angenommen. Diese Annahmen sind jedoch ohne Überprüfung der Richtigkeit von der Elastizitätstheorie übernommen worden und bedürfen daher einer entsprechenden Bestätigung. Darüber hinaus gibt es viele Näherungslösungen, deren Genauigkeit und Anwendungsgrenzen unklar sind.

17 1.1 Problemstellung und Zielsetzung 5 Bild 1.6 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird die plastische Querschnittstragfähigkeit von doppeltsymmetrischen I-Querschnitten untersucht und im Hinblick auf den Stand der Technik werden verschiedene Problemstellungen gelöst. Im Vordergrund stehen dabei die Entwicklung von Tragfähigkeitsbedingungen, ihre Genauigkeit und die Identifikation von ungewollten Nebeneffekten. Dabei ergeben sich die folgenden Problemstellungen und Ziele: Weiterentwicklung der bekannten Methoden zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit und kritische Überprüfung, beispielsweise zur Annahme einer geraden Nulllinie Entwicklung von genauen bzw. baupraktisch genauen (Abweichungen: % auf der sicheren und +0,5 % auf der unsicheren Seite) Nachweisen für Standardanwendungsfälle Weiterentwicklung bekannter Ingenieurmodelle unter Berücksichtigung der Blechbiegung Identifikation von ungewollten Nebeneffekten bezüglich der Erhaltung der Querschnittsform und im Hinblick auf außerplanmäßige Schnittgrößen und Verformungen Entwicklung eines EDV-Programmes zur Ermittlung der genauen plastischen Querschnittstragfähigkeit Beurteilung der in DIN [14] und in DIN EN [15] enthaltenen Nachweisbedingungen bezüglich ihrer Genauigkeit Die hier entwickelten Methoden können wegen ihrer ingenieurmäßigen Herangehensweise die Grundlage für Lösungen bei anderen Querschnittsformen bilden.

18 6 1 Einleitung 1. Stand der Forschung Die Bemessung mithilfe der plastischen Querschnittstragfähigkeit ist ein wesentlicher Gesichtspunkt für wirtschaftliche Konstruktionen im Stahlbau. Viele der bisher erschienenen Arbeiten beschränken sich auf die Bestimmung einzelner plastischer Grenzschnittgrößen oder bieten Lösungen für ausgewählte Schnittgrößenkombinationen bestimmter Querschnittsformen an. Dabei werden in den meisten Fällen nur zwei oder drei Schnittgrößen berücksichtigt. Für die Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit unter Berücksichtigung verschiedener Schnittgrößenkombinationen existieren verschiedene Methoden. Welche Methode sinnvollerweise zum Einsatz kommt, hängt von der Querschnittform, den vorhandenen Schnittgrößen sowie der persönlichen Erfahrung ab. Im Folgenden werden die Grundlagen von vier Berechnungsmethoden, basierend auf den Ausführungen in [43], kurz erläutert. Spannungsnulllinie (SNL) wählen Bei diesem klassischen Verfahren dient die Nulllinie der Spannungen als wesentliches Kernstück. Der Querschnitt wird durch die Nulllinie in die beiden Regionen mit +f y und f y aufgeteilt. In Bild 1.7 ist die Spannungsverteilung eines doppeltsymmetrischen I-Profils unter der Einwirkung von N und M y dargestellt. N M y A A x x da z da Bild 1.7 Beispiel für Wahl einer geraden Spannungsnulllinie beim I-Profil infolge N und M y Die Schnittgrößen erhält man durch Integration der gedrückten bzw. gezogenen Flächenanteile. Infolge der gleichzeitigen Beanspruchungen durch N und M y liegt die Spannungsnulllinie nicht im Schwerpunkt des doppeltsymmetrischen I-Profils. Eine problemlose Anwendung ist in den meisten Fällen nur für einfache Schnittgrößenkombinationen wie z. B. bei N-M y oder N-M z möglich. Grundlegende Annahme bei dieser Methode ist, dass die Spannungsnulllinie die Form einer Geraden hat. Die vorgeschlagenen Bemessungsverfahren in Baptista [3], Burth/Brocks [6], Horne/ Morris [33], Kaliszky [40], Lindner/Heyde [69], Marti [74], Moch [77], Reckling [90], Rubin [97], [98] und Saal/Hornung [100] beruhen ebenfalls auf dieser Annahme. Keine dieser Lösungen ermöglicht die Berücksichtigung aller acht Schnittgrößen nach Tabelle 1.. In den Abschnitten und wird die Form der Spannungsnulllinie weiterführend untersucht.

19 1. Stand der Forschung 7 Dehnungsiteration Die Dehnungsiteration ist ein computerorientiertes Verfahren, welches vor allem bei der Querschnittsbemessung eingesetzt wird. Vorteilhaft ist die Möglichkeit unterschiedliche Werkstoffe mit multilinearen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen zu untersuchen. Die Schnittgrößen werden entweder direkt in voller Größe oder schrittweise aufgebracht. Aus den ermittelten Dehnungen ergibt sich ein Spannungszustand, aus dem die aufgenommenen Schnittgrößen durch Integration ermittelt werden können. Die Bestimmung des Gleichgewichts zwischen vorgegebenen Schnittgrößen und aufgenommenen Spannungen erfolgt iterativ. Bei dem im Bild 1.8 dargestellten Beispiel ist die Grenztragfähigkeit infolge Beanspruchung durch N und M y noch nicht erreicht. Im Bereich des Steges liegen noch elastische Bereiche vor. Im Grenzzustand verläuft die Dehnungsgrade horizontal, vgl. Tabelle 1.4. Die Dehnung in Bild 1.8 setzt sich für diesen einfachen Fall aus dem Anteil im Schwerpunkt u S und dem Anteil der Krümmung w zusammen. M z u z w x S M Bild 1.8 Beispiel für den Dehnungszustand beim I-Profil infolge N und M y Bei dieser Schnittgrößenkombination kann der Querschnitt im Grenzzustand vollständig durchplastizieren. Je nach Querschnitt und Schnittgrößenkombination besteht die Möglichkeit, dass im Grenzzustand auch noch elastische Teilbereiche vorhanden sind. Die Dehnungsiteration wird z. B. in QST-FZ [116] und INCA [38] verwendet. Hintergrundinformationen zu QST-FZ [116] können [43] und [117] entnommen werden. Für INCA [38] sind Erläuterungen in [7] und [86] enthalten. Teilschnittgrößenverfahren (TSV) Die Grundlagen zum TSV wurden von Kindmann/Frickel [45] veröffentlicht und später mit [43] und [44] erweitert. Prinzipiell erfolgt die Aufteilung der Schnittgrößen unter Berücksichtigung der Gleichgewichtsbeziehungen auf die einzelnen Querschnittsteile. Dabei ergeben sich Teilschnittgrößen, mit denen unter Berücksichtigung von Grenzbedingungen die Tragfähigkeit der Teilquerschnitte bestimmt werden kann. In Bild 1.9 sind die Teilschnittgrößen für die Beanspruchung aus N und M y zusammengestellt. Die Normalkraft N kann vom Steg aufgenommen werden (Spannungsnulllinie im Steg). Damit erhält man im Steg die Schnittgrößen N w und M w. In den Gurten ergeben sich als Teilschnittgrößen reine Normalkräfte.

20 8 1 Einleitung Fall: N N pl,w N No Nw Nu a a M N N M f f y u o w Bild 1.9 Beispiel für die Aufteilung der Schnittgrößen N und M y in Teilschnittgrößen beim I-Profil Beim TSV nach [43], [44] und [45] werden die Blechbiegung um die schwache Achse der Bleche sowie die Ausrundungen von gewalzten Profilen vernachlässigt. Ein Verfahren mit vergleichbarem Leistungsumfang wird von Vayas [108] und [109] vorgeschlagen. Das in dieser Arbeit vorgestellte Ingenieurmodell basiert auf dem TSV und wird zur Verbesserung der Genauigkeit erweitert. Eine ausführliche Erläuterung erfolgt in den nächsten Abschnitten. Optimierungsverfahren Ähnlich wie die Dehnungsiteration ist auch das Optimierungsverfahren ein computerorientiertes Verfahren. Der Querschnitt wird in zahlreiche Elemente aufgeteilt. Jedes Element kann einen Wert zwischen f y und +f y annehmen und muss das Fließkriterium erfüllen. Ein Optimierungsalgorithmus ermittelt die Spannungsverteilung, bei der die inneren Schnittgrößen (Index i ) mit den äußeren Schnittgrößen (Index a ) im Gleichgewicht stehen. Dabei wird der maximale Faktor zur Bestimmung der Grenztragfähigkeit ermittelt. In Bild 1.10 sind die Grundlagen für eine N-M y - Interaktion zusammengestellt. N i M N y,i a M y,a Bild 1.10 Beispiel für die Querschnittsdiskretisierung beim I-Profil sowie Gleichgewichtsbeziehungen für N und M y Der Faktor ist bei allen Schnittgrößen zu berücksichtigen. Bei der Optimierung kommen unterschiedliche Algorithmen zum Einsatz. Osterrieder/Werner/ Kretzschmar [83] beschreiben lineare Gleichungen, deren Lösung mit einem Revised- Simplexalgorithmus erfolgt. Ein Selektionsmechanismus, der an die biologische Evolution angelehnt ist, wird von Maier [71] eingesetzt. Raue [89] verwendet als Grundlage die Formänderungsenergie und Mark [73] die nichtlineare Optimierung. Im Rahmen dieser Arbeit ist das Programm LILOBEC [70] erstellt worden, welches

21 1.3 Bezeichnungen 9 einen Simplexalgorithmus verwendet. Weitere Erläuterungen zu diesem Programm sind in Abschnitt 3.4. enthalten. Grenzschnittgrößen für einzelne Schnittgrößen Für die meisten Grenzschnittgrößen sind Lösungen bekannt oder unproblematisch zu ermitteln. Ausnahmen bilden z. B. M pl, und M pl,xp. Zur Bestimmung des primären plastischen Torsionsmomentes M pl,xp sind in Bäcklund [] und Nadai [79] Methoden enthalten, die sich auch in Burth/Brocks [6], Prager/Hodge [88] und Reckling [90] wiederfinden. Gruttmann/Wagner [8] bestätigen einen Teil dieser Ergebnisse mit der FE-Methode. Eine Ermittlung von M pl, ist bisher nur vereinfacht unter Verwendung des Mittellinienmodells erfolgt. 1.3 Bezeichnungen Die wesentlichen Formelzeichen und Definitionen sind im Folgenden aufgeführt. Weitere Bezeichnungen werden bei ihrer erstmaligen Verwendung erläutert. Koordinaten, Ordinaten, Bezugspunkte und Verschiebungsgrößen x Stablängsrichtung y, z Hauptachsen in der Querschnittsebene normierte Wölbordinate s Profilordinate S Schwerpunkt M Schubmittelpunkt u, v, w Verschiebungen in x-, y-, z-richtung, w, v Verdrehungen um die x-, y-, z-achse Verdrillung der x-achse Bild 1.11 Definition positiver Achsen und Verschiebungsgrößen im lokalen KOS, [48] Werkstoffkennwerte E Elastizitätsmodul G Schubmodul f y Streckgrenze f u Zugfestigkeit Bruchdehnung u

22 10 1 Einleitung Querschnittskennwerte und -abmessungen A Fläche A Querschnittskennwert I y, I z Hauptträgheitsmomente I Wölbwiderstand I T St. Venant sches Torsionsträgheitsmoment S y, S z statische Momente t Blechdicke b Gurtbreite t f Gurtdicke h w Steghöhe t w Stegdicke Abstand der Gurtmittelpunkte a f Last- und Schnittgrößen F x, F y, F z Einzellasten M xl Lasttorsionsmoment N Längskraft, Normalkraft V y, V z Querkräfte M y, M z Biegemomente M x Torsionsmoment M xp, M xs primäres und sekundäres Torsionsmoment Wölbbimoment M Bild 1.1 Schnittgrößen an der positiven Schnittfläche eines Stabes, [48] Spannungen, Dehnungen x Normalspannung in x-richtung xy, xz Schubspannung v Vergleichsspannung nach von Mises Dehnung Gleitung Spannungsfunktion Bild 1.13 Spannungen an der positiven Schnittfläche eines Stabes, [48]

23 1.4 Annahmen und Voraussetzungen 11 Indizes el pl u R M elastische Grenze (Streckgrenze an einer Stelle im Querschnitt oder System erreicht) plastische Grenze Traglast (ultimate) Widerstand (resistance) auf den Schubmittelpunkt bezogen Abkürzungen SNL Spannungsnulllinie TSV Teilschnittgrößenverfahren TSV-plus erweitertes Teilschnittgrößenverfahren 1.4 Annahmen und Voraussetzungen Grundlagen Stäbe werden häufig in einem x-y-z-koordinatensystem, wie in Bild 1.14 dargestellt, beschrieben. Die x-achse ist dabei die Stabachse und verläuft durch den Schwerpunkt S. Die Achsen y und z sind die Hauptachsen des Querschnitts. Der Schubmittelpunkt M wird mit den Koordinaten y M und z M zum Schwerpunkt beschrieben. Für den Querschnitt in Bild 1.14 ist y M = 0 und z M = 0. Bild 1.14 Stabquerschnitt mit Koordinatensystem sowie Verschiebungs- und Schnittgrößen Die Definition der Profilordinate s sowie die Bestimmung der normierten Wölbordinate ist in Bild 1.15 dargestellt. Der Querschnitt wird als dünnwandig angenommen und durch das Mittellinienmodell idealisiert. Weitere Ausführungen zur Bestimmung der normierten Wölbordinate sind in [43] enthalten. In [63] wird der Einfluss der Annahme eines dünnwandigen Querschnitts auf die elastische Tragfähigkeit untersucht.

24 1 1 Einleitung Bild 1.15 Profilordinate s und Wölbordinate Abhängig von den vorhandenen Lastgrößen und dem baustatischen System können sich nach der linearen Stabtheorie (Theorie I. Ordnung) bis zu acht Schnittgrößen ergeben. In Tabelle 1.3 sind die grundlegenden Zusammenhänge enthalten. Nach [59] unterscheidet man bei schubstarren Stäben vier Teilprobleme. Dabei wird der Einfluss von Schubspannungen infolge von Querkräften und sekundärer Torsion auf die Verformungen vernachlässigt, s. [89]. In der Tabelle werden Lastgrößen, Verformungen und Schnittgrößen zugeordnet. Zusätzlich sind Angaben zum Gleichgewicht am Stabelement und zur Ermittlung von x enthalten. Die Herleitung der Gleichungen in Tabelle 1.3 findet sich in [43]. In den Berechnungsformeln der Stabtheorie werden die Hauptachsen y und z verwendet. Schnittgrößen und Querschnittswerte sind auf die Hauptachsen des Querschnitts zu beziehen. Tabelle 1.3 Aufteilung der linearen Stabtheorie, [43] Normalkraft Biegung um die z-achse Biegung um die y-achse Torsion Lastgrößen q x ; F x q y ; F y ; M zl q z ; F z ; M yl m x ; M xl ; M L Verformungen u y v M u z w M u u v v S M w wm u v z z M w y y Schnittgrößen Gleichgewicht σ x = N M z V N q x M V N A E u S y z V q y M I z z y y y E y v M M y V z M V y z V q z M I y y z z E z w M M M x M xp M M xs M M I x m x M M E xs

25 1.4 Annahmen und Voraussetzungen Materialverhalten Das Werkstoffverhalten von Baustahl wird im Allgemeinen durch einen Zugversuch definiert. Als Ergebnis eines Zugversuches erhält man eine Spannungs-Dehnung- Beziehung wie in Bild 1.16 dargestellt. Bild 1.16 Linearelastische-idealplastische Spannungs-Dehnungs-Beziehung für Baustahl, [59] Bis zum Erreichen der Streckgrenze bleibt der Werkstoff elastisch und das Tragverhalten kann durch das Hooke sche Gesetz mit = E beschrieben werden. Nach Überschreitung der Streckgrenze, beginnt das Material zu fließen. Im Zugversuch wirkt die Verfestigung des Materials traglaststeigernd. Dieser Effekt wird für die weiteren Untersuchungen nicht berücksichtigt. Die Beschreibung des Werkstoffs nach dem Überschreiten der Streckgrenze erfolgt idealplastisch durch eine horizontale Linie. Zur Ausnutzung der plastischen Tragfähigkeit ist die ausreichende Duktilität eine notwendige Voraussetzung. Der Werkstoff muss sich genügend stark verformen können, ohne zu zerreißen. Die Bestimmung der plastischen Grenzschnittgrößen basiert auf den Annahmen: Dehnung und Gleitung. In Tabelle 1.4 werden diese Annahmen am Beispiel eines Rechteckquerschnitts für ein Biegemoment M näher betrachtet. Mit zunehmender Dehnung nähert sich M an M pl. Bei einer Dehnung von = 10 el ist mit 1,49 M el fast M pl erreicht. Der Wert von = 10 el liegt für die üblichen Baustähle S35 und S355 in Bild 1.17 (links) weit unterhalb der Bruchdehnung ( u 0 %). Bei doppeltsymmetrischen I-Profilen ergibt sich um die starke Achse bereits bei kleineren Dehnungen eine noch bessere Annäherung. Für ein doppeltsymmetrisches geschweißtes I-Profil ähnlich HEB 00 (r = 0) erhält man bei einer Dehnung von = 10 el einen Wert von 0,9996 M pl,y. Vergleichbare Zusammenhänge ergeben sich für die Gleitung. Auch hier erreicht man bei einem Rechteckquerschnitt mit einer Gleitung = 10 el, welche weit unterhalb der Bruchgleitung liegt, s. Bild 1.17 (rechts), einen Wert von 99,7 % der Grenz-

26 14 1 Einleitung schnittgröße M pl,xp. Ein weiteres Beispiel für ein Schubspannungs-Gleitungs-Diagramm ist z. B. in [39] enthalten. Tabelle 1.4 Dehnungen, Spannungen und Biegemomente el el 10 el S35 0,11 % 0, % 1,1 % S355 0,17 % 0,34 % 1,7 % M = M el (= 0,67 M pl ) 1,375 M el (= 0,9 M pl ) 1,49 M el (= 0,99 M pl ) Bild 1.17 Spannungs-Dehnungs-Beziehung nach [43] (links) Schubspannungs-Gleitungs-Beziehung nach [11] (rechts) Der wesentliche Zusammenhang, dass mit zunehmender Festigkeit des Stahlwerkstoffs die Bruchdehnung abnimmt, ist ebenfalls in Bild 1.17 erkennbar. Weiterführende Erläuterungen zum plastischen Materialverhalten können z. B. [6], [9] und [95] entnommen werden.

27 Grundlagen.1 Vorbemerkungen Im Folgenden werden die wesentlichen Grundlagen zur Ermittlung von Spannungen sowie die Klassifizierung von Querschnitten vorgestellt. Die allgemeine Vorgehensweise für Nachweise nach der Elastizitätstheorie wird in Abschnitt.4 erläutert. In Abschnitt.5 folgen die Grundlagen für Nachweise nach der Plastizitätstheorie.. Spannungsermittlung Für den Nachweis eines Querschnitts sind Normal- und Schubspannungen zu berücksichtigen. Aus der Stabtheorie erhält man bis zu acht Schnittgrößen, s. Bild.1. Es ergeben sich: Normalspannungen x aus: Schubspannungen aus: N, M y, M z und M V z, V y, M xp und M xs Die Schnittgrößen sind dabei als Resultierende der Spannungen zu verstehen. Somit können in einem Querschnitt Spannungen und Schnittgrößen nicht gleichzeitig auftreten. In Bild.1 erfolgt deshalb die Darstellung von Schnittgrößen und Spannungen getrennt. An der positiven Schnittfläche sind die Schnittgrößen dargestellt und an der negativen die Spannungen. Durch Integration der Spannungen über den Querschnitt ergeben sich die Schnittgrößen gemäß Tabelle.1. Bild.1 Ermittlung von Schnittgrößen als Spannungsresultierende, [43]

28 16 Grundlagen Tabelle.1 Schnittgrößen als Resultierende der Spannungen, [43] Bedingung Schnittgröße Definition F x 0 : Normalkraft N x A da V y 0 : Querkraft Vy xy A da V z 0 : Querkraft Vz xz A da M x 0 : Torsionsmoment x xz M xy M A M y y z z da M M M x xp xs M y 0 : Biegemoment My x A z da M z 0 : Biegemoment Mz x A y da s. Text Wölbbimoment M x da A Die resultierenden Schnittgrößen stehen somit im Gleichgewicht zu den Spannungen. Das Wölbbimoment M in Tabelle.1 ist weniger anschaulich, da es sich nicht direkt aus den Gleichgewichtsbeziehungen ablesen lässt. Eine ingenieurmäßig nachvollziehbare Erläuterung des Wölbbimomentes ist mithilfe von Bild. möglich. Bild. Erläuterung der Wölbkrafttorsion mit dem Ingenieurmodell P = M xl / a f, [43]

29 .3 Querschnittsklassen 17 Der dargestellte Kragarm wird durch ein Einzeltorsionsmoment M xl am Trägerende beansprucht. Löst man das Einzeltorsionsmoment gedanklich in ein Kräftepaar auf, ergeben sich die Einzellasten P = M xl / a f an den Gurten. Bei Betrachtung der Gurte als getrennte Teilquerschnitte ergibt sich durch P eine Beanspruchung auf Biegung und Querkraft. Beim Vergleich der Spannungen in Bild. mit Bild.4 wird deutlich, dass diese Spannungen zu den Schnittgrößen M und M xs gehören. Weitere Erläuterungen sind [43] zu entnehmen. Allgemeingültig lässt sich feststellen, dass alle in Tabelle.1 aufgeführten Schnittgrößen bei der Beurteilung der Querschnittstragfähigkeit zu berücksichtigen sind..3 Querschnittsklassen Die einzelnen Querschnitte werden abhängig vom c/t-verhältnis der druckbeanspruchten Bauteile klassifiziert. Nach DIN EN [15] erfolgt mit der Klassifizierung die Begrenzung der Beanspruchbarkeit und Rotationskapazität durch lokales Beulen. Es werden folgende Querschnittsklassen definiert, s. [15]: Querschnitte der Klasse 1 können plastische Gelenke oder Fließzonen mit ausreichender plastischer Momententragfähigkeit und Rotationskapazität für die plastische Berechnung ausbilden. Querschnitte der Klasse können die plastische Momententragfähigkeit entwickeln, haben aber aufgrund örtlichen Beulens nur eine begrenzte Rotationskapazität. Querschnitte der Klasse 3 erreichen für eine elastische Spannungsverteilung die Streckgrenze in der ungünstigsten Querschnittsfaser, können aber wegen örtlichen Beulens die plastische Momententragfähigkeit nicht entwickeln. Querschnitte der Klasse 4 sind solche, bei denen örtliches Beulen vor Erreichen der Streckgrenze auftritt. Gemäß den Angaben in DIN EN [15] wird ein Querschnitt in die höchste (ungünstigste) Klasse der druckbeanspruchten Querschnittsteile eingeordnet. Ausnahmen von dieser Regelung finden sich in DIN EN [15]. Die c/t-verhältnisse doppeltsymmetrischer I-Querschnitte können mithilfe von Bild.3 bestimmt werden. Bild.3 Ermittlung der c/t-verhältnisse von gedrückten Querschnittsteilen nach [55]

30 18 Grundlagen In Tabelle. ist ein Teil der Bedingungen aus DIN EN [15] zur Klasseneinteilung enthalten. Tabelle. Klasse 1 3 Bedingungen für druckbeanspruchte Querschnittsteile nach [15] zwecks Klasseneinteilung, [55] Beidseitig gestützte Teile Einseitig gestützte Teile Druck Biegung Druck c/t 33 c/t 38 c/t 4 c/t 7 c/t 83 c/t 14 c/t 9 c/t 10 c/t f y, f y in N/mm² Die Einstufung eines Querschnitts in die Klassen 1 und erlaubt nach [15] die Ausnutzung der plastischen Querschnittstragfähigkeit. Aus Tabelle.3 kann man ablesen, welche Walzprofile die Anforderungen der Querschnittklasse erfüllen. Dabei werden die Beanspruchungen durch Biegemomente M y oder M z oder durch Druckkräfte N unterschieden und die Stahlsorten S 35 und S 355 betrachtet. Tabelle.3 Zuordnung von Walzprofilen zur Querschnittsklasse, [55] Biegemoment M y Biegemoment M z Druckkraft N S 35 S 355 alle Walzprofile bis auf: alle Walzprofile bis auf: HEAA 0 bis 340 HEAA 10 bis 500 HEA 60 bis 300 alle Walzprofile bis auf: alle Walzprofile bis auf: IPE 400 bis 600 IPE 70 bis 600 HEAA 0 bis 340 HEAA 10 bis 1000 HEAA 550 bis 1000 HEA 60 bis 300 HEA 650 bis 1000 HEA 500 bis 1000 HEB 800 bis 1000 HEB 600 bis 1000 HEM 1000 HEM 800 bis 1000 In den nachfolgenden Kapiteln wird teilweise auch dann die plastische Querschnittstragfähigkeit berücksichtigt, wenn die Querschnitte nicht mindestens der Querschnittsklasse zugeordnet werden können, damit die Profilreihen vollständig erfasst werden. Für baupraktische Anwendungen muss die Zuordnung zu den Querschnittsklassen überprüft werden.

31 .4 Spannungsnachweise (Elastizitätstheorie) 19.4 Spannungsnachweise (Elastizitätstheorie) Der Nachweis von Querschnitten erfolgt häufig nach der Elastizitätstheorie. Bei diesen Spannungsnachweisen wird im Stahlbau zur Berücksichtigung mehrerer Spannungskomponenten die Gestaltänderungshypothese nach v. Mises [76] verwendet. In der Regel treten bei Stäben nur die Spannungen x und auf. Die Vergleichsspannung ergibt sich dann zu: V x 3 fy (.1) Alternativ kann man diese Bedingung auch als Fließkriterium schreiben: x f 3 f 1 y y (.) Da ein Nachweis mit gleichzeitiger Berücksichtigung von Normal- und Schubspannungen an einer Querschnittsstelle relativ selten maßgebend wird, ist es sinnvoll, zunächst die maximalen Spannungen aus x und nachzuweisen, s. [55]: max f 1 (.3) x y y 3 max f 1 (.4) Für doppeltsymmetrische I-Profile sind die Spannungsverteilungen nach der Elastizitätstheorie für die Schnittgrößen aus Tabelle.1 in Bild.4 dargestellt. Bild.4 Spannungen x und in doppeltsymmetrischen I-Querschnitten nach der Elastizitätstheorie, [55]

32 0 Grundlagen Es ist gut zu erkennen, dass die größten Normalspannungen am Querschnittsrand auftreten. Die Schubspannungen hingegen nehmen mit zunehmender Nähe zum Schubmittelpunkt zu. Die Spannungen infolge sekundärer Torsion sind erfahrungsgemäß gering. Weiterführende Erläuterungen finden sich z. B. in [43]..5 Nachweise nach der Plastizitätstheorie Mit der Plastizitätstheorie können je nach Querschnitt teilweise erheblich größere Tragfähigkeiten nachgewiesen werden als nach der Elastizitätstheorie. Dies ist in Hinblick auf die Wirtschaftlichkeit sowie die Schonung von Ressourcen von großer Bedeutung. Häufig spricht man in diesem Zusammenhang auch von der Ausnutzung der plastischen Reserven. In Tabelle.4 wird die Vergrößerung ausgewählter Schnittgrößen bei Verwendung der Plastizitätstheorie angegeben. Tabelle.4 Vergrößerung einzelner Schnittgrößen nach der Plastizitätstheorie im Vergleich zur Elastizitätstheorie Querschnitt M y M z V z M xp +50 % +50 % +50 % +60 % +14 % +57 % +4 % +43 % Die Abhängigkeit der Tragfähigkeitssteigerung von der Querschnittsform und der Beanspruchung ist deutlich zu erkennen. Für die Berechnung der Vergrößerung von V z beim IPE 00 wird die Schubfläche gemäß DIN EN [15] verwendet. Die Bestimmung der Tragfähigkeiten von M xp erfolgt unter Verwendung der Lösung in [53]. Ein Nachweis nach der Plastizitätstheorie wird nicht mit Spannungen (vgl. Elastizitätstheorie), sondern mit Schnittgrößen geführt. Bei der Bestimmung einer plastischen Grenzschnittgröße sind folgende Bedingungen einzuhalten, s. [43]: Es wird nur eine einzelne Schnittgröße betrachtet. Die zugehörige Grenzschnittgröße ist dann mit dem Index pl gekennzeichnet. In keinem Punkt des Querschnitts darf die Streckgrenze überschritten werden. Zwischen Schnittgrößen und Spannungen muss Gleichgewicht herrschen (s. Tabelle.1) In Bild.5 sind die Spannungsverläufe für die verschiedenen Grenzschnittgrößen von doppeltsymmetrischen I-Querschnitten zusammengestellt. Die Bestimmung der plastischen Grenzschnittgrößen kann mit Tabelle.5 erfolgen. Der Querschnitt, der

33 .5 Nachweise nach der Plastizitätstheorie 1 aus einzelnen dünnwandigen Rechteckquerschnitten besteht, wird dabei als Mittellinienmodell ohne Überlappung zwischen Gurt und Steg idealisiert. Bild.5 Spannungen x f y und f y 3 in doppeltsymmetrischen I-Querschnitten zur Ermittlung der Grenzschnittgrößen Das Mittellinienmodell ist daran gut zu erkennen, dass ein Rechteckquerschnitt keine Biegetragfähigkeit um seine schwache Achse besitzt. Die Bestimmung von z. B. M pl,z erfolgt ohne Berücksichtigung des Steges. In Tabelle.5 werden die Ausrundungen von Walzprofilen vernachlässigt, ebenso wie der gegenseitige Einfluss von Gurt und Steg bei der Ermittlung von V pl,z und M pl,xp. Die Werte nach Tabelle.5 liegen auf der sicheren Seite. Grenzschnittgrößen ohne die erwähnten Einschränkungen werden in Tabelle 6. und in Tabelle 7.1 angegeben. Tabelle.5 Plastische Grenzschnittgrößen für I-Querschnitte (Mittellinienmodell ohne Überlappung) nach [43] N t b t h f pl f w w y pl,y f f w w y M t b h t t h 4 f M f t b pl,z y f Mpl, Mpl,z h tf Vpl,y tf b fy 3 Vpl,z tw hw fy 3 M V h t pl,xs pl,y f Mpl,xp 1 3 b tf tf 3 hw tw tw fy 3 6

34 Grundlagen.6 Klassifizierung der plastischen Querschnittstragfähigkeit Für die Untersuchungen im Rahmen dieser Arbeit wird die plastische Querschnittstragfähigkeit in zwei Nachweisstufen eingeteilt. Die Klassifizierung der Nachweisbedingungen ist vorzunehmen, damit das Auftreten von Nebeneffekten erkennbar ist. Die einzelnen Effekte werden im Rahmen dieser Arbeit aufgezeigt und erläutert. Nachweisstufe I (NW-St I) Es treten keine der bei Nachweisstufe II genannten Effekte auf. Für baupraktische Nachweise wird die NW-St I empfohlen, um ungewollte Nebeneffekte zu vermeiden. Nachweisstufe II (NW-St II) Mit der NW-St II erreicht man bereichsweise eine höhere rechnerische Tragfähigkeit als bei der NW-St I. Dabei treten jedoch ungewollte Effekte auf: Umlagerung von Schnittgrößen: Einzelne Schnittgrößen in baustatischen Systemen können entstehen, werden vergrößert oder teilweise bzw. vollständig abgebaut. Änderung der Verformungen: In baustatischen Systemen können sich zusätzliche Verformungen ergeben. Ungewollte Teilschnittgrößen: Es treten ungewollte Teilschnittgrößen auf, die andere Teilschnittgrößen verändern können. Lokale Verformung der Teilquerschnitte: Die erhöhte Querschnittstragfähigkeit kann zur lokalen Verformung einzelner Teilquerschnitte führen. Die Querschnittsform bleibt nicht mehr erhalten. Weiterführende Erläuterungen und Beispiele für ungewollte Effekte sind z. B. in den Abschnitten 4.3.3, 6.3.5, und 8.. enthalten.

35 3 Methoden zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit 3.1 Vorbemerkungen Für die Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit stehen verschiedene Methoden zur Verfügung. In den folgenden Abschnitten werden bekannte Methoden näher betrachtet und erläutert. Das im Rahmen dieser Arbeit erstellte Berechnungsprogramm LILOBEC [70] wird in Abschnitt 3.4. behandelt. 3. Experimentelle Untersuchungen In der Literatur sind wenige ausführliche Auswertungen zu Versuchen enthalten, die die Bestimmung der plastischen Querschnittstragfähigkeit zum Ziel haben. Für Rechteckquerschnitte wird von Schwindel/Mensinger in [103] ein Modell auf der Basis von Versuchen vorgestellt, welches mit dem in Abschnitt teilweise vergleichbar ist. Umfangreiche Versuche von Sedlacek/Lindner/Kindmann zum Tragverhalten doppeltsymmetrischer I-Profile sind in [3] aufgeführt. Die Ergebnisse werden u. a. von Kindmann/Wolf [57] und von Lindner/Glitsch [68] weitergehend erläutert und diskutiert. In Abschnitt 8.3 erfolgt eine weiterführende Betrachtung der Ergebnisse aus [3]. Versuche unter reiner Torsionsbeanspruchung wurden von Farwell/Galambos [0] durchgeführt. Dabei ist keine eindeutige Grenztragfähigkeit erkennbar, s. [5]. Weitere experimentelle Untersuchungen, auf die an dieser Stelle nicht eingegangen wird, finden sich z. B. in den Arbeiten von Polmann [87] und Werner [113]. Die einzelnen Versuchsergebnisse sind nur bedingt für die reine Querschnittstragfähigkeit aussagekräftig. Da die numerischen Untersuchungen von Estabrooks/Grondin [19], Sedlacek/Lindner/Kindmann [3] und Wolf [118] verschiedenen Vereinfachungen unterliegen, erfolgen in Abschnitt 8. dieser Arbeit weiterführende Untersuchungen. 3.3 Dehnungsiteration Die in Abschnitt 1. vorgestellte Methode der Dehnungsiteration gehört zu den am häufigsten verwendeten computerorientierten Verfahren zur Bestimmung der Querschnittstragfähigkeit. Es ist üblich, nur den Querschnitt abzubilden und mit den Schnittgrößen zu beanspruchen. Die Schnittgrößen sind aus der Systemberechnung bekannt. Der Einfluss des Systems bleibt bei dieser Vorgehensweise unberücksichtigt. Die Überprüfung der Tragfähigkeit erfolgt durch die numerische Bestimmung der Dehnungen nach Gl. (3.1) aus [43] infolge Querschnittsbeanspruchung.

36 4 3 Methoden zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit Es ergibt sich: u y v z w (3.1) x S M M Dabei gilt: E x (3.) In plastizierten Bereichen ( x > el ) wird E zu null gesetzt. Mit den Spannungen aus dem ermittelten Dehnungszustand können die aufgenommenen Schnittgrößen durch Integration bestimmt werden. Häufig sind mehrere Iterationen erforderlich, bis die aufgenommenen Schnittgrößen mit den gegebenen Schnittgrößen übereinstimmen. Diese Methode ist z. B. in QST-FZ [116] umgesetzt. Dabei wird das Mittellinienmodell in Bild 1.5 verwendet. Die Unterteilung der Einzelbleche des Querschnitts erfolgt in Fasern, s. Bild 3.1. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist in Bild 3.1 nur eine geringe Anzahl von Fasern dargestellt. Zur Vermeidung einer Überlappung von Faseranteilen kann im Übergang zwischen Gurt und Steg eine Faser mit der Dicke null verwendet werden. Bild 3.1 Einteilung eines Querschnitts und eines Einzelbleches in Fasern nach [43] Ein Beispiel mit einzelnen Iterationsschritten ist in [43] enthalten. In INCA [38] wird ebenfalls die Dehnungsiteration als Methode zur Bestimmung der Tragfähigkeit angewendet. Mit INCA [38] kann man auch Anteile über die Blechdicke berücksichtigen. Im Unterschied zu QST-FZ [116] wird in INCA [38] die Verwölbung gemäß Gl. (3.1) nicht berücksichtigt, was abhängig von Querschnittsform und Schnittgrößenkombination zu abweichenden Ergebnissen führt. 3.4 Optimierungsverfahren Allgemeines Die Verteilung der Spannungen kann alternativ zur Berechnung mit der Dehnungsiteration auch mithilfe einer Optimierung erfolgen. Treten an einer Stelle des Quer-

37 3.4 Optimierungsverfahren 5 schnitts Normalspannungen und Schubspannungen gleichzeitig auf, ergibt sich nach Gl. (3.3) ein nichtlinearer Zusammenhang (Element i). V,i x,i 3 i fy (3.3) Verschiedene Algorithmen zur Lösung der Optimierungsaufgabe werden in Abschnitt 1. vorgestellt Berechnungsprogramm LILOBEC Im Rahmen dieser Arbeit ist das Computerprogramm LILOBEC (limit-load-bearing capacity) [70] erstellt worden. Es handelt sich um ein Programm zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit mithilfe der linearen Optimierung. Dabei wird nur der Querschnitt betrachtet. Es erfolgt keine Systemberechnung. Das Programm wurde in der Entwicklungsumgebung Visual Basic for Application (VBA) programmiert, welche ein Bestandteil von Microsoft Excel 010 ist. Als grundlegende Bedingung von LILOBEC [70] gilt, dass die inneren Schnittgrößen (Index i ) mit den äußeren Schnittgrößen (Index a ) im Gleichgewicht stehen. Die inneren Schnittgrößen ergeben sich aus der Integration des Spannungszustandes gemäß Tabelle.1. Die äußeren Schnittgrößen erhält man aus Tragwerksberechnungen. Für die Untersuchung eines Querschnitts wird dieser in eine endliche Zahl kleiner Elemente (Teilflächen) aufgeteilt. Der in Microsoft Excel 010 enthaltene Solver ist auf 00 Unbekannte beschränkt. Da diese Anzahl keine ausreichend feine Elementierung ermöglicht, kommt in LILOBEC [70] das Add-in Opensolver 1.9 [75] zum Einsatz. Mithilfe von Opensolver 1.9 [75] können lineare Optimierungsaufgaben mit einer nahezu unbegrenzten Anzahl von Unbekannten untersucht werden. Das Add-in basiert auf VBA und ist somit in Microsoft Excel 010 integrierbar. Mit LILOBEC [70] erfolgt die Bestimmung des Faktors der das Verhältnis zwischen den inneren und äußeren Schnittgrößen für die plastische Querschnittstragfähigkeit beschreibt. Dieser Faktor gibt an, um welches Maß alle äußeren Schnittgrößen erhöht ( > 1) bzw. verringert ( < 1) werden müssen, um den Grenzzustand zu erreichen. Für jedes Element i in Bild 3. sind die Werte für die Fläche A i, die Koordinaten y i und z i sowie die Wölbordinate i zu bestimmen. Es wird eine Spannungsverteilung ermittelt, die folgende Bedingungen erfüllt: i Ai Na (3.4) i z i A i M y,a (3.5) i y i A i M z,a (3.6) i i Ai M,a (3.7)

38 6 3 Methoden zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit Darüber hinaus muss für jedes Element des Querschnitts das Fließkriterium erfüllt sein. Somit gilt: f f (3.8) y i y In Bild 3. ist ein Beispiel für die Diskretisierung eines Querschnitts dargestellt, der mithilfe von LILOBEC [70] untersucht werden kann. Bild 3. Diskretisierung eines Walzprofiles IPE 00 mit Ausrundungen (834 Elemente) in LILOBEC [70] Ein Beispiel, welches die Notwendigkeit einer ausreichend feinen Diskretisierung verdeutlicht, ist in Bild 3.3 dargestellt. Für einen Rechteckquerschnitt mit vorgegebener Beanspruchung aus N/N pl und M y /M pl,y wird M z /M pl,z im Grenzzustand der Tragfähigkeit bestimmt. Es gilt die Bedingung M = 0, wie im Abschnitt beschrieben. Mit zunehmender Anzahl der Elemente konvergiert M z /M pl,z gegen den zugehörigen Grenzwert. Bei ca Elementen ist der Grenzwert zu 99,5 % erreicht. Das Konvergenzverhalten ist stark vom Querschnitt und der Schnittgrößenkombination abhängig. Wegen der jeweiligen Diskretisierung können Abweichungen auftreten. Bei denen in dieser Arbeit gewählten Elementierungen sind diese vernachlässigbar. Beispiele dafür finden sich in den Erläuterungen zu Bild 4.5 in Abschnitt und Abschnitt Jedes Element kann einen Wert zwischen f y und f y annehmen.

39 3.4 Optimierungsverfahren 7 Bild 3.3 Beispiel für das Konvergenzverhalten in LILOBEC [70] Der Algorithmus in LILOBEC [70] vergrößert von einem Startwert aus den Faktor so lange, bis keine Spannungsverteilung in den Grenzen von Gl. (3.8) mehr ermittelt werden kann, die die Bedingungen der Gl. (3.4) bis (3.7) erfüllt. Es wird demzufolge für jeden Wert eine Spannungsverteilung bestimmt, die unabhängig von der vorherigen Lösung ist. Vorteilhaft bei dieser Vorgehensweise ist die weitgehende Vermeidung von Konvergenzproblemen. Treten Normal- und Schubspannungen gleichzeitig auf, sind beide Anteile im Fließkriterium zu berücksichtigen, s. Gl. (3.3). Wegen der Verwendung einer linearen Optimierung werden die Schubspannungen durch Reduzierung der Streckgrenze berücksichtigt. Durch Umformung von Gl. (.) ergibt sich eine abgeminderte Streckgrenze red f y zu: red f f 1 (3.9) y y R Bei dieser Vorgehensweise ist zunächst der Wert für jeden Teilquerschnitt zu bestimmen, z. B. mit Tabelle Abhängig von der Querschnittform und den Schnittgrößen ergeben sich unterschiedliche Schubspannungen für die einzelnen Querschnittsteile. In Bild 3.4 sind die Flächen von gewalzten und geschweißten doppeltsymmetrischen I-Querschnitten dargestellt, die in LILOBEC [70] mit red f y berücksichtigt werden können. Bild 3.4 Reduzierte Streckgrenzen infolge von Schubspannungen

40 8 3 Methoden zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit Eine vergleichbare Vorgehensweise wie in LILOBEC [70] wird in [83] beschrieben. Das Programm DUENQ [18] arbeitet mit einem ähnlichen Ansatz unter Verwendung von einem Revised-Simplexalgorithmus und der Begrenzung auf 1000 Elemente. Die Verwölbung über die Blechdicke wird in DUENQ [18] nicht berücksichtigt. Normierte Wölbordinate Zur Überprüfung der Bedingung in Gl. (3.7) wird für jedes Element i die normierte Wölbordinate i benötigt. Eine genaue Lösung für die normierte Wölbordinate findet sich z. B. in [63]. Zur Bestimmung in LILOBEC [70] kommt bei Rechteckquerschnitten Gl. (4.14) aus Abschnitt 4..3 zur Anwendung. Für geschweißte doppeltsymmetrische I-Profile werden vereinfacht die beiden Anteile aus dem Mittellinienmodell (dünnwandiger Querschnitt, Index ml ) und der Verwölbung des Einzelbleches (Index bl ) überlagert, s. Bild 3.5. Bild 3.5 Normierte Wölbordinate für das Mittellinienmodell und das Einzelblech (Gurt) Für doppeltsymmetrische I-Profile kann der Anteil aus dem Mittellinienmodell mithilfe von Gl. (3.10) aus [43] bestimmt werden. yz (3.10) ml Bei dem in Bild 3.5 dargestellten Querschnitt ergibt sich an den Gurtaußenkanten in Blechmitte eine maximale Verwölbung von: b ml,max h tf (3.11) 4 Weitere Ausführungen zur Ermittlung der normierten Wölbordinate ml für dünnwandige offene Querschnitte können [43] entnommen werden. Der Anteil des Einzelbleches bl wird in Abschnitt 4..3 ermittelt. Somit ergib sich für die Anwendung in LILOBEC [70]: y,z ml bl (3.1)

41 3.4 Optimierungsverfahren 9 Gemäß Bild 3.5 ist der Anteil von ml für den Steg gleich null. Nach Gl. (3.1) folgt somit für den Steg: w y,z bl mit bl nach Gl. (4.14) (3.13) In Tabelle 3.1 sind die maximalen Wölbordinaten für einen Querschnitt IPE 00 zusammengestellt. Tabelle 3.1 Maximale Verwölbung für einen Querschnitt IPE 00 Gl. (3.10), [43] Gl. (3.1) Kraus, [63] DICKQ, [13] 47,88 cm² 49,79 cm² 49,77 cm² 49,76 cm² Es wird deutlich, dass der Anteil aus dem Einzelblech bl bei diesem Beispiel kaum Einfluss hat. Eine vergleichbare Aussage findet sich in [11] für die üblichen Profilreihen. Die Ergebnisse in Tabelle 3.1 sind auf die Profilaußenkante (in Bild 3.6 mit markiert) bezogen, da sich an dieser Stelle die maximale Verwölbung ergibt. Die Wölbanteile im Steg werden mit von Gl. (3.13) ermittelt. Um mit LILOBEC [70] gewalzte doppeltsymmetrische I-Profile untersuchen zu können, sind die Ausrundungen zu berücksichtigen. Der Verlauf der normierten Wölbordinate für das Walzprofil IPE 00 ist in Bild 3.6 enthalten. Bild 3.6 Normierte Wölbordinate bei einem IPE 00 nach [13] Im Detail A ist erkennbar, dass sich die Größe der normierten Wölbordinate in z-richtung unterhalb der Gurtkante nur geringfügig ändert. Zur Bestimmung der Wölbordinate im Bereich der Ausrundungen wird in LILOBEC [70] vereinfacht der Wert von an der Gurtkante linear in Richtung der z-achse abgemindert. Als Grundgedanke dient hierfür Gl. (3.10). Es ergibt sich die Näherung: zi,ausrundung i,ausrundung i,gurt (3.14) z i,gurt

42 30 3 Methoden zur Ermittlung der plastischen Querschnittstragfähigkeit Durch die Berücksichtigung der Ausrundungen wird der Querschnitt geringfügig versteift und der Wert von max verringert sich, s. [63]. Die Berücksichtigung dieses Effekts erfolgt in LILOBEC [70] durch einen Abminderungsfaktor. Der Faktor liegt abhängig vom Profil zwischen 0,980 und 0,997 und kann durch den Vergleich der Ergebnisse nach Gl. (3.1) mit [13] bestimmt werden. Weiterführende Grundlagen zur linearen Optimierung finden sich z. B. in [10] und [13]. Eine gute Übersicht über verschiedene Optimierungsalgorithmen sowie Hilfestellung bei der Realisierung in VBA ist in [80] enthalten. 3.5 Berechnungen nach Fließzonentheorie Für Berechnungen nach der Fließzonentheorie werden häufig leistungsstarke FEM Programme wie z. B. ANSYS [] verwendet. Dabei kann man im Unterschied zu QST-FZ [116], LILOBEC [70] und INCA [38] nicht nur die Querschnitte, sondern die baustatischen Systeme abbilden. Innerhalb des Systems können sich Schnittgrößen wegen der Plastizierung umlagern. Die auf diese Weise ermittelte Tragfähigkeit, die Systemtragfähigkeit, muss nicht zur Grenztragfähigkeit des maximal beanspruchten Querschnitts führen. Das System kann versagen, bevor der Querschnitt voll durchplastiziert ist. Dieses Verhalten wird in [118] als Eigenwertversagen des teilplastizierten Systems bezeichnet. In Bild 3.7 ist ein Beispiel aus [57] dargestellt, welches mit ABAQUS [1] untersucht wurde. Bild 3.7 Baustatisches System und Ausnutzung des Querschnitts in Feldmitte, [57] Beim Erreichen der maximalen Traglast ergibt sich eine Querschnittsausnutzung von 9,6 %. Maßgebend ist in diesem Fall nicht die Querschnittstragfähigkeit, sondern das Stabilitätsversagen Biegeknicken. Weiterführende Erläuterungen zum Systemversagen finden sich z. B. in [43] und [57]. In Abschnitt 8. werden ergänzende Berechnungen nach der Fließzonentheorie vorgestellt.

43 4 Rechteckquerschnitt 4.1 Vorbemerkungen In diesem Kapitel wird die Querschnittstragfähigkeit des Rechteckquerschnitts untersucht. Der Rechteckquerschnitt ist eine wichtige grundlegende Querschnittsform. Neben der Bestimmung der Grenzschnittgrößen M pl,xp und M pl, im Abschnitt 4., ist die Untersuchung des Tragverhaltens für häufig auftretende Schnittgrößenkombinationen ein Schwerpunkt. Dabei wird die grundlegende Methodik zur ingenieurmäßigen Bestimmung der plastischen Querschnittstragfähigkeit vorgestellt. In Abschnitt 4.3 sind Lösungen zur Bestimmung der Tragfähigkeit bei gleichzeitiger Wirkung der Schnittgrößen N, M y, M z, V und M xp aufgeführt. 4. Grenzschnittgrößen für den Rechteckquerschnitt 4..1 Grundlagen Rechteckige Querschnitte kommen als eigenständige Bauteile im Stahlbau nur selten zum Einsatz. Sie bilden jedoch die grundlegende Querschnittsform, mit der sich viele Profilquerschnitte idealisieren lassen. Das bekannteste Beispiel ist das geschweißte doppeltsymmetrische I-Profil. In Bild 4.1 wird der allgemeine Fall der Beanspruchung eines Rechteckquerschnitts dargestellt. Bild 4.1 Rechteckquerschnitt und Schnittgrößen Ab einem Verhältnis von b/t 5 ist es üblich, Rechteckquerschnitte als dünnwandig anzunehmen. Dabei werden das Biegemoment um die schwache Achse (hier M y ), die zugehörige Querkraft (hier V z ) und die Schnittgrößen M xs und M vernachlässigt. Zur Vereinfachung wird dann M z = M und V y = V gesetzt. Somit ergeben sich die plastischen Grenzschnittgrößen in Bild 4.. Auf die Ermittlung von M pl,xp wird in Abschnitt 4.. näher eingegangen.

44 3 4 Rechteckquerschnitt N pl t b f V t b y pl f y 3 b Mpl t f 4 y 1 f y Mpl,xp t 3 b t 6 3 Bild 4. Plastische Grenzschnittgrößen für dünnwandige Rechteckquerschnitte Zur genaueren Erfassung des Tragverhaltens wird im Vergleich zu Bild 4. in den nachfolgenden Abschnitten das Biegemoment um die schwache Achse M bl (= M y ) und das Wölbbimoment M berücksichtigt, s. Bild 4.3. Der Index bl steht für Blechbiegemoment. Die Ermittlung von M pl, wird in Abschnitt 4..3 formuliert. N pl fy t b fy Vpl t b 3 b Mpl t f 4 y 1 f y Mpl,xp t 3 b t 6 3 t Mpl,bl b f 4 y Mpl, b t f y Bild 4.3 Plastische Grenzschnittgrößen für Rechteckquerschnitte (erweitert) 4.. Plastische Grenzschnittgröße M pl,xp Der St. Venant sche oder primäre Anteil M xp des Torsionsmomentes in Bild 4.3 trägt wesentlich zur Schubbeanspruchung bei. Die plastische Grenzschnittgröße M pl,xp lässt sich für Rechteckquerschnitte sehr anschaulich darstellen. Zum besseren Verständnis wird zunächst auf die elastische Spannungsermittlung infolge M xp eingegangen. Der Übergang vom elastischen zum plastischen Tragverhalten erfolgt dann mithilfe von anschaulichen Ingenieurmodellen. Die Annahmen für die Verwendung der St. Venant schen Torsionstheorie sind u. a. in [4] und [10] enthalten und werden an dieser Stelle nicht weiter erläutert. Tragverhalten nach der Elastizitätstheorie Im elastischen Bereich verlaufen die Schubspannungen gemäß Bild 4.5 nur tangential zu den Querschnittsrändern. Somit bleibt die Mantelfläche spannungsfrei. Durch Ansatz der Prandtl schen Spannungsfunktion = (y,z) mit dem Ansatz z xy und xz (4.1) y

45 4. Grenzschnittgrößen für den Rechteckquerschnitt 33 ist eine exakte Ermittlung der Schubspannungsverteilung möglich. Die Bezeichnungen werden wie folgt vorgenommen: xz Unter Einhaltung des Spannungsgleichgewichtes und der Verformungsbeziehungen ergibt sich für rechteckige Vollquerschnitte die Spannungsfunktion nach [43] zu: n 1 y 1 1 y z y, z G b 8 cos cos h b 4 b b b n 1 mit: n Spannung in Richtung von z Schnittfläche senkrecht zu x n n (4.) n0 3 t ncosh n In Bild 4.4 ist die Spannungsfunktion gemäß Gl. (4.) für einen Rechteckquerschnitt mit dem Seitenverhältnis 1: qualitativ dargestellt. Bild 4.4 Spannungsfunktion eines Rechteckquerschnitts mit dem Seitenverhältnis 1:; Ansicht und Höhenplan (qualitativ), [53] Eine Näherung zur Ermittlung von max xy = max und max xz ist in Bild 4.5 dargestellt. Es wird deutlich, dass die maximale Schubspannung an der längeren Kante des Rechtecks auftritt. Bei dünnwandigen offenen Querschnitten ist es üblich, Gl. (4.) unter der Annahme von t/b = 0 vereinfacht anzugeben mit: b y,z G y 4 (4.3) Summiert man die Schubspannungen aus der Spannungsfunktion nach Gl. (4.3) zu einem resultierenden Moment, so fehlt der Faktor zwei im Vergleich zu Gl. (4.).

46 34 4 Rechteckquerschnitt Bild 4.5 Schubspannungen infolge primärer Torsion und I T für rechteckige Querschnitte, [58] Das auf diese Weise bestimmte Moment M xp wird viel zu klein ermittelt. Die Ergebnisse nach Gl. (4.3) sind somit unsicher. Auf diese Tatsache wird auch in [4] und [43] hingewiesen. Ein ausgezeichnetes Hilfsmittel zur ingenieurmäßigen Beurteilung von Querschnitten, die unter Torsionsbeanspruchung stehen, ist die Prandtl sche Membrananalogie. Sie ermöglicht eine anschauliche Darstellung der St. Venant- schen Torsionstheorie und erlaubt eine experimentelle Untersuchung. Dazu schneidet man gedanklich aus einer dünnen, starren Platte ein Loch in der Form des zu untersuchenden Querschnitts. Die Aussparung wird nun mit einer dünnen gewichtslosen Membran (Seifenhaut) überspannt. Diese gewichtslose Membran ist an den Lochrändern mit der Platte verbunden. In Bild 4.6 wird dieses Modell am Beispiel eines schmalen Rechteckquerschnitts verdeutlicht. Wenn auf einer Seite ein Druck p aufgebracht wird, verformt sich die Membran. Das Maß der Steigung der Membran ist ein Maß für die Größe der Schubspannungen. Die Verformung u ist dann gleich der Spannungsfunktion Zeichnet man die Höhenlinien der Membran ein, so bedeutet eine dichtere Lage der Höhenlinien größere Schubspannungen. Die Tangenten der Höhenlinien entsprechen der Schubspannungsrichtung. Nach dieser Analogie ergibt sich gemäß [105] der Wert von M xp durch den doppelten Inhalt des von der Membran und ihrer Grundfläche umschlossenen Raumes. Eine numerische Bestimmung wird zum Vergleich ebenfalls in [105] vorgenommen. Diese Analogie kann man mit den bereits in Bild 4.4 und Bild 4.5 dargestellten Ergebnissen anschaulich nachvollziehen. Weitere Beispiele sind z. B. in [11] und [65] enthalten. Zusätzliche Einzelheiten zur Spannungsfunktion finden sich in [5], [4], [43], [85] und [10].

47 4. Grenzschnittgrößen für den Rechteckquerschnitt 35 Bild 4.6 Membrananalogie am Rechteckquerschnitt Dabei wird die Spannungsfunktion teilweise unterschiedlich mit und definiert. Bei der Verwendung von z. B. in [43] und [85] ist der last- und werkstoffabhängige Faktor G bereits mit enthalten. In [5], [4] und [10] wird die Spannungsfunktion mit (y,z) als reine Querschnittfunktion beschrieben. Somit ergibt sich folgende Beziehung zwischen und : G (4.4) Tragverhalten nach der Plastizitätstheorie Wird die Streckgrenze an einer Stelle des Querschnitts infolge M xp erreicht, behält der Schubspannungsvektor (s. Bild 4.5) seine Größe und Richtung bei. Die Schubspannungen dürfen an keiner Stelle die Vergleichsspannung überschreiten. Unter Verwendung der Gestaltänderungshypothese nach von Mises mit xz xy R (4.5) erhält man mit dem Ansatz aus Gl. (4.1): R konst. y z (4.6) Daraus ergibt sich, dass die Steigung der Spannungsfunktion im idealplastischen Bereich konstant ist. An Gl. (4.6) wird deutlich, dass die plastische Spannungsfunktion pl durch die konstante Steigung R gekennzeichnet ist. Die Lösung zur

48 36 4 Rechteckquerschnitt Ermittlung der Grenzschnittgröße M pl,xp vereinfacht sich damit erheblich. Die maximale Schubspannung beim einachsigen Spannungszustand ergibt sich unter einem Winkel von 45. Die Herleitung dazu ist in Tabelle 4.1 enthalten. Tabelle 4.1 Winkel beim einachsigen Spannungszustand für maximale Schubspannung x N A N1 V A 1 1 N sin V cos A sin N Nsin sin 1 1 x A1 A sin V Ncos sin cos 1 1 x A1 A sin Berechnung der maximalen Schubspannung und dem zugehörigen Winkel: d1 Ableitung von 1 nach : x cos sin 0! d Diese Bedingung ist erfüllt für: cos sin cos sin 45 Es folgt die maximale Schubspannung: max 45 x sin 45 cos 45 0,5 x Weitere Erläuterungen können z. B. [5], [9], [7], [106], [111] und [115] entnommen werden. In der Spannungsfunktion ist der Werkstoff bereits berücksichtigt, s. Gl. (4.). Zur einfacheren Ermittlung der Steigung der plastischen Spannungsfunktion wird die reine Querschnittsfunktion (y,z) verwendet, s. Gl. (4.4). Dazu setzt man gedanklich über die Querschnittfläche ein Walmdach mit einer Neigung von 45. Der von der Grundfläche aus gemessene Abstand bis zur Dachhaut ist die Spannungsfunktion pl, s. Bild 4.7. Bild 4.7 Plastische Spannungsfunktion pl beim Rechteckquerschnitt (Walmdach)

49 4. Grenzschnittgrößen für den Rechteckquerschnitt 37 An vorspringenden Ecken entsteht eine Unstetigkeit, da im vollplastischen Zustand die Schubspannungskomponenten senkrecht zueinanderstehen. Dies wird deutlich beim Vergleich der Höhenlinien der Spannungsfunktion in Bild 4.4 mit Bild 4.7. Beim Erreichen der Streckgrenze im Eckbereich bleiben die Höhenlinien parallel zum Querschnittrand. Es entsteht, wie in Bild 4.7 dargestellt, ein Grat unter der Annahme einer unendlichen Verdrillung. Analog zur Prandtl schen Membrananalogie kann die Grenzschnittgröße M pl,xp eines Rechteckquerschnitts aus dem zweifachen Volumen eines Walmdaches auf der Querschnittsebene bestimmt werden. Eine besonders anschauliche Bestimmung von M pl,xp ist auch mithilfe der Nadai schen Sandhügelanalogie möglich, s. [79]. Hierbei wird das Volumen V eines Sandhügels auf der Grundfläche eines Querschnitts analytisch oder experimentell (Böschungswinkel 45!) ermittelt. Die Sandhügelanalogie ist vorteilhaft, da der Sand eine Form mit konstantem Neigungswinkel erzeugt und somit die Bedingung aus Gl. (4.6) erfüllt. Somit ergibt sich mit dem Volumen V: M pl,xp V (4.7) R Diese Lösung wird in [8] mit einer FE-Berechnung bestätigt. In Bild 4.8 ist der Verlauf der Schubspannungen dargestellt. Bild 4.8 Rechteckquerschnitt im vollplastischen Zustand nach [8] Durch Integration der Schubspannungen in Bild 4.8 M y z da pl,xp xz xy A (4.8) ergibt sich die in [43] angegebene Formel für die Ermittlung von M pl,xp für Rechteckquerschnitte: 1 Mpl,xp R t 3 b t (4.9) 6 Der Übergang vom elastischen zum plastischen Zustand lässt sich ebenfalls mithilfe der Prandtl schen Membrananalogie anschaulich darstellen. Gedanklich wird über der Öffnung von der Form des zu untersuchenden Querschnitts zusätzlich zur Membran noch eine Dachhaut mit konstanter Neigung von 45 aufgestellt. Bei geringem Druck kann sich die Membran ungehindert verformen (elastischer Zustand)

50 38 4 Rechteckquerschnitt bis ihre Neigung am Rand mit der Dachneigung übereinstimmt (plastischer Zustand). Wird der Druck weiter erhöht, bilden sich Kontaktflächen. Die Projektionen dieser Kontaktflächen auf die Grundfläche des Querschnitts bilden die Grenzkurven zwischen elastischen und plastischen Bereichen, s. Bild 4.9. Bild 4.9 Übergang vom elastischen zum plastischen Zustand beim Rechteckquerschnitt (Analogiebetrachtung) Weitere Erläuterungen können z. B. [88] und [90] entnommen werden. Plastischer Formbeiwert pl,mxp Der plastische Formbeiwert dient zur Beurteilung der Tragfähigkeitsreserven eines Querschnitts unter einer bestimmten Beanspruchung. Für Rechteckquerschnitte werden in [43] pl,n = N pl /N el = 1,0 und pl,m = M pl /M el = 1,5 angegeben. Für M M (4.10) pl,mxp pl,xp el,xp kann man dies nach Auswertung von Bild 4.5 und Gl. (4.9) in Bild 4.10 ablesen. Bild 4.10 Plastischer Formbeiwert pl,mxp beim Rechteckquerschnitt

51 4. Grenzschnittgrößen für den Rechteckquerschnitt Plastische Grenzschnittgröße M pl, Bei rechteckigen Querschnitten, die durch Torsion beansprucht werden, ergeben sich Verschiebungen u in Stablängsrichtung. Diese kann man durch die Wölbordinate beschreiben, s. Gl. (4.11) aus [48]. u x, y,z y,z x (4.11) Die Verwölbung wird mit der Spannungsfunktion in Abschnitt 4.. ermittelt. Aus dem in [4] angegebenen Zusammenhang zwischen u und u x z y z u x y z y ergibt sich durch Integration, s. [4]: (4.1) (4.13) n1 1 y z y, z yz 8b sin 3 n sinh n n0ncosh n t b b b mit: n 1 (4.14) n Beispiele für die Verwölbung von Rechteckquerschnitten sind in [31], [61], [63] und [10] enthalten. Ein Rechteckquerschnitt ist demzufolge nicht wölbfrei. Die in Bild 4.11 dargestellte Wölbordinate ergibt sich für einen Rechteckquerschnitt mit dem Verhältnis b/t = 5. Bild 4.11 Wölbordinate beim Rechteckquerschnitt mit b/t = 5

52 40 4 Rechteckquerschnitt Abhängig vom b/t-verhältnis des Querschnitts ergibt sich für die Wölbordinate eine unterschiedliche Verteilung, s. Bild 4.1. Da auf den Symmetrielinien = 0 gilt, ergeben sich für den Fall b/t = 1 (Bild 4.1 Mitte) mit vier Symmetrielinien acht Bereiche. Für b/t 1 erhält man zwei Symmetrielinien mit vier Bereichen. Beim Vergleich von b/t = mit b/t = 0,5 fällt ein Vorzeichenwechsel in den Eckbereichen der Querschnitte auf. Durch die Darstellung der Wölbordinate in Bild 4.1 wird deutlich, dass der Maximalwert der Verwölbung nicht zwangsläufig in den Ecken eines Rechteckquerschnitts auftritt. Bild 4.1 Verteilung der Wölbordinate (mit Vorzeichen) für Vollquerschnitte bei unterschiedlichen b/t-verhältnissen nach LILOBEC [70] In Bild 4.13 ist der Verlauf der Wölbordinate am oberen Rand eines Rechteckquerschnitts dargestellt. Die Position des Maximalwertes kann in Abhängigkeit vom b/t-verhältnis bestimmt werden. Für den Sonderfall b/t = 1 erhält man in den Ecken = 0, vgl. Bild 4.1 (Mitte). Mit steigendem b/t-verhältnis verschiebt sich max mehr in Richtung Querschnittsecke. Bild 4.13 Wölbordinate am oberen Rand eines Rechteckquerschnitts

53 4. Grenzschnittgrößen für den Rechteckquerschnitt 41 Alternativ zu Gl. (4.14) kann die Wölbordinate von Rechteckquerschnitten näherungsweise mithilfe von Bild 4.14 aus [64] bestimmt werden. Bild 4.14 Beiwerte für die maximale Wölbordinate, [64] Integriert man die Wölbordinate in Bild 4.11 nach Tabelle.1 mit der Spannungsverteilung in Bild 4.15 zu M, ergibt sich die Grenzschnittgröße M pl,. Bei diesem Zustand handelt es sich um einen Grenzzustand unter der Annahme nahezu unendlicher Dehnungen bzw. Gleitungen. Bild 4.15 Spannungsverteilung M pl, für einen Rechteckquerschnitt nach LILOBEC [70] Die Ermittlung von M pl, in Bild 4.15 ist wegen (y,z) nach Gl. (4.14) nicht für eine Handrechnung geeignet. Die Grenzschnittgröße M pl, kann mit Gl. (4.15) wie folgt bestimmt werden, wobei ein Korrekturbeiwert nach Tabelle 4. ist. M da b t f (4.15) pl, x y A Tabelle 4. Korrekturbeiwert für Gl. (4.15) nach LILOBEC [70] b/t > 0 0,0583 0,0615 0,060 0,06

54 4 4 Rechteckquerschnitt 4.3 Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt Vorbemerkungen In den folgenden Abschnitten werden Schnittgrößenkombinationen für Rechteckquerschnitte untersucht. Dabei steht die Methodik zur Bestimmung der plastischen Querschnittstragfähigkeit im Vordergrund. Die Grundlagen der ingenieurmäßigen Annahme der Spannungsverteilung werden formuliert. Neben den -Schnittgrößen N, M y und M z erfolgt auch die Untersuchung unter Berücksichtigung der Schubspannungen infolge Querkraft und Torsionsmomenten Schnittgrößen N und M Bei der gleichzeitigen Wirkung mehrerer Schnittgrößen kann man die plastische Querschnittstragfähigkeit durch von Interaktionsbeziehungen nachweisen. Eine Überprüfung des Querschnitts ist somit möglich. Die bekannte N-M-Interaktion für Rechteckquerschnitte wird im Folgenden in Anlehnung an [43] hergeleitet. Eine Herleitung ist z. B. in [94] enthalten. Als Grundlage dient die Annahme, dass der Querschnitt vollständig durchplastiziert ist. Der Querschnitt in Bild 4.16 wird durch eine positive Normalkraft N und ein positives Biegemoment M beansprucht. Bild 4.16 Spannungsverteilung im Grenzzustand infolge N und M nach [43] Die Spannungsblöcke infolge M kann man den Randbereichen zuweisen, während sich der durch N beanspruchte Bereich in der Querschnittsmitte befindet. Der Parameter beschreibt die Abmessungen der Bereiche.

55 4.3 Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt 43 Als Resultierende der Spannungen in Bild 4.16 erhält man die Kräfte F N und F M. N y F f t b 1 (4.16) F f t b (4.17) M y Mithilfe der Gleichgewichtsbeziehungen können aus diesen Kräften die Schnittgrößen N y N F f t b 1 (4.18) b M FM 1 fy t b 1 (4.19) bestimmt werden. Für den Wert = 0 ergibt sich in Bild 4.16 für Gl. (4.18): N pl t b f (4.0) y Mit = 1/ erhält man für Gl. (4.19): b Mpl t fy (4.1) 4 Durch Umstellung von Gl. (4.18) nach b und Einsetzen in Gl. (4.19) mit Auflösung nach f y folgt: f y M M N t b t b t b (4.) Nach Division von Gl. (4.) durch f y erhält man mit Gl. (4.0) und Gl. (4.1) die bekannte Interaktionsbeziehung: N M 1 N pl Mpl (4.3) In Bild 4.17 ist die N-M-Interaktion nach Gl. (4.3) dargestellt. Alle Schnittgrößenkombinationen aus N und M, die innerhalb des Funktionsbereiches liegen, können vom Querschnitt aufgenommen werden. Ein Vergleich mit der elastischen Grenztragfähigkeit zeigt die Tragreserven der plastischen Bemessung, besonders bei zunehmendem Moment. Die maximale Erhöhung der Tragfähigkeit ergibt sich bei N/N pl = 0 und beträgt 50 %, s. auch Tabelle.4. Diese Interaktionsbeziehung dient als Grundlage für die Untersuchungen in den nachfolgenden Abschnitten. Bei gleichzeitiger Beanspruchung durch Querkräfte und/oder Torsionsmomente sind diese zu berücksichtigen. Dies kann nach Bestimmung des Verhältnisses / R z. B. mit Gl. (6.57) erfolgen. Weiterführende Erläuterungen sind in den Abschnitten und zu finden.

56 44 4 Rechteckquerschnitt Bild 4.17 N-M-Grenztragfähigkeit (elastisch und plastisch) nach [43] Schnittgrößen N, M y und M z mit unplanmäßiger Torsion Für die Interaktion der Schnittgrößen aus zweiachsiger Biegung mit Normalkraft sind im Vergleich zur N-M-Interaktion weitere Aspekte zu beachten. Eine wesentliche Grundlage für die nachfolgenden Betrachtungen ist, dass die Bedingung M = 0 nicht berücksichtigt wird. Somit ergibt sich, abhängig vom Spannungszustand, ein Wölbbimoment M als innere Schnittgröße (NW-St II nach Abschnitt.6). Die Größe von M ist abhängig von der Kombination der Schnittgrößen N, M y und M z. Weiterhin wird angenommen, dass die Spannungsnulllinie (SNL) die Form einer Geraden hat. Für einen Rechteckquerschnitt sind bei einer N-M y -M z -Interaktion (M 0) drei Fälle zu unterscheiden: Fall 1: SNL schneidet den unteren und den oberen Rand Fall : SNL schneidet den linken (rechten) und den oberen (unteren) Rand Fall 3: SNL schneidet den linken und den rechten Rand In Bild 4.18 ist die Spannungsverteilung für die Fälle 1 bis 3 dargestellt. Bild 4.18 Lage der Spannungsnulllinie bei der N-M y -M z -Interaktion mit M 0

57 4.3 Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt 45 Vergleichbar mit der Vorgehensweise in Bild 4.16 können abhängig vom Spannungszustand in Bild 4.18 entsprechende Schnittgrößen zugeordnet werden. Analog zur N-M-Interaktion wird die Normalkraft der Querschnittsmitte um den Schwerpunkt zugewiesen. Aus den rechteckigen Blöcken in Fall 1 (links/rechts) und Fall 3 (oben/unten) ergibt sich im Grenzzustand jeweils nur ein Moment. Bild 4.19 Aufteilung des Querschnitts für N, M y und M z (M 0) im Grenzzustand Mit der Aufteilung des Querschnitts in Bild 4.19 können die Interaktionsbeziehungen für die Schnittgrößen N, M y und M z ermittelt werden. Die ausführliche Herleitung findet sich in [51]. Aus dem Verlauf der Spannungsnulllinie in den Fällen 1 bis 3 können zusätzlich die Gültigkeitsbereiche der einzelnen Fälle bestimmt werden. Somit erhält man die Gültigkeitsgrenzen in Abhängigkeit von den vorhandenen Schnittgrößen. In Tabelle 4.3 sind die Ergebnisse aus [51] zusammengestellt. Integriert man die in Bild 4.19 dargestellten Spannungsverteilungen unter Berücksichtigung der Wölbordinaten, ergibt sich M 0. Lösungen für die N-M y -M z - Interaktion finden sich auch in [74] und [100]. Gültigkeitsbereiche wie in Tabelle 4.3 werden jedoch nicht angegeben. Die Bestimmung der Tragfähigkeit erfolgt hierbei ohne Berücksichtigung der Verwölbung. Somit gelten die Lösungen in [74] und [100] nur unter der Annahme M 0.

58 46 4 Rechteckquerschnitt Tabelle 4.3 N-M y -M z -Interaktion (M 0) für Rechteckquerschnitte, [51] Fall Gültigkeitsbereich Nachweisbedingung 1 3 N N 3 Mz 1 N pl N pl Mpl,z 1 N N 3 Mz 1 N pl N pl Mpl,z 1 und N 3 Mz 1 N M pl pl pl,z N 3 Mz 1 N M pl,z M N z My Mpl,y 1 3 M pl,z N pl N N My Mpl,y 1 1 m N pl N pl mit: 1 9 N 1 M 1 m 8 Npl M z pl,z N 3 M z My Mpl,y 1 N pl 4 M pl,z Alle Schnittgrößen sind betragsmäßig einzusetzen! Ein Beispiel für eine N-M y -M z -Interaktion (M 0) eines Rechteckquerschnitts ist in Bild 4.0 dargestellt. Nach Tabelle 4.3 sind die Gültigkeitsbedingungen für den Fall erfüllt und der Grenzwert für M y kann bestimmt werden. Zum Vergleich sind die Berechnungsergebnisse nach LILOBEC [70] und INCA [38] mit aufgeführt. An der Spannungsverteilung der Softwarelösungen ist der Fall in Bild 4.18 gut erkennbar. Die Faktoren 1 zeigen eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Ergebnis nach Tabelle 4.3. Mit LILOBEC [70] ergibt sich bei dem in Bild 4.0 dargestellten Spannungszustand M = 3994 kncm². Der Querschnitt verdreht sich somit um die x-achse, s. Bild 8.7 in Abschnitt 8... fy 3,5 kn cm N 1053 kn N Npl 0,56 Mz 498 kncm Mz Mpl,z 0,53 nach Tabelle 4.3: Fall My 840 kncm My Mpl,y 0, 447 nach LILOBEC [70] (M = 3994 kncm²): nach INCA [38]: Bild 4.0 Beispiel für die N-M y -M z -Interaktion mit M 0 beim Rechteckquerschnitt

59 4.3 Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt Schnittgrößen N, M y und M z ohne unplanmäßige Torsion Aufbauend auf Abschnitt wird im Folgenden die Bedingung M = 0 berücksichtigt. Im Grenzzustand der N-M y -M z -Interaktion soll sich somit keine Schnittgröße M aus der Spannungsverteilung ergeben. Grundlage bei der Bestimmung der Tragfähigkeit ist die Einhaltung des Gleichgewichts zwischen den Schnittgrößen und den Spannungen. Zerlegt man den Querschnitt in einzelne Elemente i wie in Bild 1.10, so folgt nach Tabelle.1: N i Ai (4.4) My i Ai zi (4.5) Mz i Ai yi (4.6) i Ai i (4.7) M Gemäß Bild 4.11 ergeben sich auch für ein Einzelblech Verwölbungsanteile, wenn es nicht mehr als dünnwandig betrachtet wird. Somit ist der Einfluss der Verwölbung nach Gl. (4.7) bei der Interaktion mit zu berücksichtigen. Um den Grenzzustand der Tragfähigkeit zu bestimmen, benötigt man für Gl. (4.4) bis Gl. (4.7) eine Spannungsverteilung unter Berücksichtigung des Gleichgewichtes. Die Spannungsverteilung wird bei einer vollständigen Durchplastizierung des Querschnitts durch die Lage und Form der Spannungsnulllinie (SNL) charakterisiert. In Tabelle 4.4 ist der Einfluss der Lage der Nulllinie auf die Schnittgrößen zusammengestellt. Dazu werden die verschiedenen Lagen, unter der Annahme, dass die Spannungsnulllinie eine Gerade ist, betrachtet und die Schnittgrößen nach Gl. (4.4) bis (4.7) bestimmt. Bei der N-M y -Interaktion (Fall a) und der N-M z -Interaktion (Fall b) gilt aufgrund der Punktsymmetrie von (y,z): M = 0, s. Bild 4.11 und Bild 4.1. Verläuft die Spannungsnulllinie durch den Schwerpunkt S (deckungsgleich mit dem Schubmittelpunkt M), wie bei einer M y -M z -Interaktion, erhält man wiederum M = 0, s. Fall c. Der Fall d in Tabelle 4.4 entspricht einer N-M y -M z -Interaktion (M 0) wie in Abschnitt Nach Gl. (4.7) ergibt sich bei diesem Verlauf der Nulllinie M 0. Somit ist der Fall d in die Nachweisstufe II nach Abschnitt.6 einzuordnen. Wird die Forderung M = 0 bei einer N-M y -M z -Interaktion eingehalten, muss sich ein anderer Verlauf der Spannungsnulllinie ergeben als für den Fall d in Tabelle 4.4. Das Beispiel in Bild 4.0 im Abschnitt wird hier erneut betrachtet. Dabei soll die Bedingung M = 0 erfüllt sein. Bei einer Integration des Spannungsverlaufs nach Gl. (4.7) darf sich dann kein Wölbbimoment ergeben. Das Ergebnis der Berechnung in LILOBEC [70] ist in Bild 4.1 dargestellt. Diese Lösung gehört zur NW-St I. Die Form der Spannungsnulllinie entspricht nicht mehr einer Geraden und der Faktor ist kleiner als in Bild 4.0.

60 48 Tabelle 4.4 Einfluss der Lage der Spannungsnulllinie auf N, M y, M z und M 4 Rechteckquerschnitt Fall Spannungsverteilung Verlauf der SNL Schnittgrößen nach Gl. (4.4) bis (4.7) Nachweisstufe a horizontal N + M y (M z = M = 0) I b vertikal N + M z (M y = M = 0) I c diagonal M y + M z (N = M = 0) I d diagonal N + M y + M z + M II Die Schnittgrößen in Bild 4.0 sind mit dem Faktor von 0,8908 zu reduzieren, um ausreichende Tragfähigkeit nachzuweisen. Der Querschnitt in Bild 4.1 ist durchplastiziert. Die Forderung M = 0 beeinflusst die Spannungsnulllinie und verringert die Tragfähigkeit, s. Tabelle 4.5. Bild 4.1 Beispiel für die N-M y -M z -Interaktion (M = 0) beim Rechteckquerschnitt nach LILOBEC [70]

61 4.3 Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt 49 Ingenieurmodell für Rechteckquerschnitte Zur Herleitung einer N-M y -M z -Interaktion mit M = 0 für Rechteckquerschnitte wird das in Abschnitt 1. vorgestellte Teilschnittgrößenverfahren (TSV) erweitert. Analog zum TSV in [43] erfolgt eine Zuordnung der Schnittgrößen zu den einzelnen Querschnittsbereichen. Geht man gedanklich zunächst von dem Fall M y = 0 aus, erhält man infolge M z eine Spannungsverteilung wie in Bild 4.16 dargestellt. Es ergibt sich ein Restquerschnitt mit der Breite red b von: red b b 1 M M (4.8) z pl,z Die Normalkraft wird wie in Abschnitt 4.3. der Querschnittsmitte des Restquerschnitts um den Schwerpunkt zugewiesen. In Bild 4. ist die Spannungsverteilung bei dieser ingenieurmäßigen Vorgehensweise dargestellt. Bild 4. Ingenieurmäßige Annahme für die Aufteilung des Querschnitts bei einer N-M y -M z -Interaktion mit M = 0 Zur Bestimmung der Interaktionsbeziehung wird in Gl. (4.0) und Gl. (4.1) der Wert von b durch red b gemäß Gl. (4.8) ersetzt. Aus Gl. (4.3) folgt dann, s. [5]: N My Mz M z 1 1 N pl Mpl,y Mpl,z Mpl,z Die Spannungsnulllinie, die Gl. (4.9) zugrunde liegt, ist in Bild 4.3 dargestellt. (4.9) Bild 4.3 Verlauf der Spannungsnulllinie gemäß Gl. (4.9) für die Aufteilung des Querschnitts in Bild 4.

62 50 4 Rechteckquerschnitt Vergleicht man den Verlauf der Nulllinie in Bild 4.1 mit dem in Bild 4.3 wird die Ähnlichkeit deutlich. Die Erhöhung der Tragfähigkeit zwischen der N-M y -M z -Interaktion mit M 0 und der N-M y -M z -Interaktion mit M = 0 ist in Bild 4.4 dargestellt. Bei der Bestimmung der Abweichung mit LILOBEC [70] werden alle vorhandenen Schnittgrößen mit dem Faktor berücksichtigt. Bei Spannungsverteilungen, die eine Schnittgröße M ergeben, erhält man eine Erhöhung von mehr als 1 %. Bild 4.4 Erhöhte Tragfähigkeit bei der N-M y -M z -Interaktion mit M 0 gegenüber M = 0 (nach LILOBEC [70]) in Abhängigkeit von N/N pl und M y /M pl,y In Bild 4.5 sind die Abweichungen der Lösungen nach Gl. (4.9) im Vergleich zu LILOBEC [70] dargestellt. Die Ergebnisse liegen bis zu 9, % auf der sicheren Seite. Für gewisse Schnittgrößenkombinationen ergeben sich kleine Abweichungen auf der unsicheren Seite, die jedoch wegen der gewählten Elementierung entstehen. Nach einer Erhöhung der Elementierung in LILOBEC [70] von 980 Elementen auf 4500 Elemente erhält man Abweichungen < 0,05 % auf der sicheren Seite. Bild 4.5 Abweichungen beim Ingenieurmodell nach Gl. (4.9) im Vergleich zu LILOBEC [70] (M = 0!) in Abhängigkeit von N/N pl und M y /M pl,y

63 4.3 Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt 51 Die Abweichungen in Bild 4.4 und Bild 4.5 sind im praxisrelevanten Bereich zwischen b/t = bis b/t = 50 unabhängig vom Verhältnis b/t. Zur Bestimmung der Abweichungen werden 1000 Schnittgrößenvariationen untersucht. In Tabelle 4.5 sind die unterschiedlichen Ergebnisse für das im Abschnitt betrachtete Beispiel enthalten. Die Tragfähigkeit nach Tabelle 4.3 mit M 0 liegt bei diesem Beispiel ca. 1 % über der Lösung für M = 0 nach LILOBEC [70]. Das Ergebnis mit Gl. (4.9) für M = 0 liegt mit ca. 1 % Abweichung auf der sicheren Seite. Tabelle 4.5 Beispiel für die N-M y -M z -Interaktion beim Rechteckquerschnitt Schnittgrößen im Grenzzustand für f y = 3,5 kn/cm² N [kn] M y [kncm] M z [kncm] Tabelle 4.3 mit M LILOBEC [70] mit M = 3994 kncm² LILOBEC [70] mit M = Gl. (4.9) mit M = Schnittgrößen V und M xp Im Fließkriterium gemäß Gl. (.) werden Längsspannungen x und Schubspannungen berücksichtigt. Die Schubspannungen sind somit bei der Ermittlung der Querschnittstragfähigkeit zu berücksichtigen. Als Grenzwert aus dem Fließkriterium gilt: R fy 3 (4.30) Treten in einem Querschnitt die Schnittgrößen V und M xp gleichzeitig auf, ist eine Interaktionsbedingung erforderlich. Der Rechteckquerschnitt wird dazu wie in [54] in zwei Bereiche unterteilt, s. Bild 4.6. Es entsteht eine äußere Hohlzelle mit den Wanddicken t a und im Inneren ein Rechteck mit den Maßen (t t a ) und (b t a ). Es gilt die Annahme gleicher konstanter Schubspannungen in beiden Bereichen. Diese Modellierung wird im Folgenden als Hohlzellenmodell bezeichnet. Zur ingenieurmäßigen Veranschaulichung dieses Modells kann man zunächst die Membrananalogie aus Abschnitt 4.. für das elastische Tragverhalten verwenden. Auf die dünne gewichtslose Membran wird eine starre Platte mittig lose aufgelegt, denn der innere Querschnittsanteil steht nicht für die Aufnahme von M xp zu Verfügung, s. Bild 4.7. Durch den einseitig aufgebrachten Druck (vgl. Bild 4.6) wird die starre Platte angehoben. Die Membran kann sich nur bis zur Platte ausdehnen. Weitere Beispiele für Querschnitte mit Aussparungen können z. B. [11] entnommen werden.

64 5 4 Rechteckquerschnitt Bild 4.6 Hohlzellenmodell nach [54] Bild 4.7 Membrananalogie am Rechteckquerschnitt mit Aussparung Bei steigender Beanspruchung beginnt das Material der Membran zu fließen. Die maximale Neigung der Membran, welche zur maximalen Schubspannung führt, ist beim plastischen Tragverhalten bei einem Winkel von 45 erreicht, s. Tabelle 4.1. Somit ergibt sich mithilfe der Membrananalogie das in Bild 4.8 dargestellte Modell, welches mit dem Hohlzellenmodell in Bild 4.6 übereinstimmt. Der zugehörige Wert von M xp kann mit Gl. (4.7) aus dem Volumen V des gesamten Körpers in Bild 4.8 bestimmt werden. Gemäß Bild 4.6 folgt für den inneren Bereich (Querkraft nach Hohlzellenmodell): V t t b t (4.31) a a

65 4.3 Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt 53 Bild 4.8 Schnittgröße M xp nach Membrananalogie in Abhängigkeit von Schnittgröße V Gemäß Bild 4.9 ergibt sich M xp aus vier Anteilen der Hohlzellenwand. Für F y und F z erhält man: F t b t t y a a a Rechteck Dreiecke F t t t t z a a a Rechteck Dreiecke (4.3) (4.33) Bild 4.9 Äußere Hohlzelle zur Aufnahme von M xp M xp kann unter Berücksichtigung der zugehörigen Abstände der einzelnen Komponenten wie folgt bestimmt werden. 3 Mxp ta t ta b ta ta 3 (4.34) Durch das Einsetzen entsprechender Grenzwerte erhält man die Grenzschnittgrößen für einen Rechteckquerschnitt. So ergibt sich mit = R und t 0 aus Gl. (4.31): V pl t b (4.35) R Bei = R und t a = t/ folgt aus Gl. (4.34): 1 Mpl,xp R t 3 b t (4.36) 6

66 54 4 Rechteckquerschnitt Zur Bestimmung von im Querschnitt ist t a mit Gl. (4.31) und (4.34) zu eliminieren. Dies ist jedoch nicht unmittelbar möglich, da lineare, quadratische und kubische Anteile von t a auftreten. Zur Lösung sind mehrere Iterationsschritte notwendig. Alternativ kann unter Verwendung einer ähnlichen Vorgehensweise wie in [43] näherungsweise wie folgt bestimmt werden. Mxp Mxp V f R M pl,xp M pl,xp V pl mit f für b/t 5: (4.37) f 1 0,14 t b (4.38) Dabei ist f ein Anpassungsfaktor in Abhängigkeit vom b/t-verhältnis des Rechteckquerschnitts. Der Verlauf von f nach Gl. (4.38) ist in Bild 4.30 dargestellt. Bild 4.30 Anpassungsfaktor f nach Gl. (4.38) Diese Näherung liegt für b/t 5 auf der sicheren Seite, s. Bild Für / R < 1,0 ergeben sich wesentlich geringere Abweichungen als in Bild 4.31 dargestellt. Bild 4.31 Abweichung der V-M xp -Interaktion nach Gl. (4.37) im Vergleich zur Iteration

67 4.3 Schnittgrößenkombinationen beim Rechteckquerschnitt 55 Ein Beispiel für die vorgestellten Lösungen ist in Tabelle 4.6 enthalten. Zum Vergleich erfolgt die Berechnung nach einer Iteration und nach Gl. (4.37). Das Ergebnis gemäß Gl. (4.37) liegt 0,5 % auf der sicheren Seite. Tabelle 4.6 Beispiel für eine V-M xp -Interaktion beim Rechteckquerschnitt ( < R ) V = 00 kn M xp = 600 kncm nach Iteration t a = 0,966 cm f y = 3,5 kn/cm² R 0,394 13,57 kn/cm² nach Gl. (4.37) f = 1,08 R V Vpl 0,184 R 0,395 Im Grenzzustand der Tragfähigkeit einer V-M xp -Interaktion gilt / R = 1. Damit ist der Wert für bekannt und die Gl. (4.31) und (4.34) können direkt verwendet werden. Durch Einsetzen in Gl. (4.31) folgt: ta 1,563 cm mit V 00 kn Unter Anwendung von Gl. (4.34) ergibt sich: Mxp 1940 kncm Alternativ kann M xp auch in Anlehnung an Gl. (4.7) durch das Volumen in Bild 4.8 bestimmt werden. Mxp 71,5 13, kncm mit V 71,5 cm 3

68 5 Ausrundungsflächen 5.1 Vorbemerkungen Die meisten Querschnitte können aus Rechtecken zusammengesetzt werden. Die Grundlagen für die plastische Querschnittstragfähigkeit von Rechteckquerschnitten finden sich in Abschnitt 4. Bei gewalzten Profilen liegen zusätzliche Flächen in Form von Ausrundungen vor. Im Folgenden wird auf diese Querschnittsform näher eingegangen. Die in diesem Kapitel angegeben N-M y -Interaktionsbeziehungen sind nur notwendig, wenn die Spannungsnulllinie, wie in Bild 7.1 (Fall ) dargestellt, im Bereich der Ausrundungen liegt. 5. Gleichschenklige, rechtwinklige Dreiecke Die exakte Erfassung der Ausrundungen ergibt aufwändige Lösungen, s. Abschnitt 5.3. In Bild 5.1 ist die vereinfachte Erfassung einer Ausrundung durch ein flächengleiches, gleichschenkliges Dreieck dargestellt. Diese Vereinfachung dient als Grundlage für das weitere Verständnis. Bild 5.1 Idealisierung einer Ausrundung in Walzprofilen durch Dreiecke Aus der Bedingung der Flächengleichheit kann die Schenkellänge a mit a r 0,655 r (5.1) berechnet werden, wobei r der Ausrundungsradius ist. Die Hauptachsen y und z für einen separaten Dreiecksquerschnitt sind um den Hauptachsendrehwinkel = 45 gedreht, s. Bild 5.. Die Transformationsbedingungen aus [43] werden ergänzend im Bild 5. mit angegeben.

69 5. Gleichschenklige, rechtwinklige Dreiecke 57 Transformationsbeziehungen: y y cos z sin z z cos y sin Bild 5. Koordinatensysteme Die folgenden Betrachtungen beziehen sich nicht auf das Hauptachsensystem, sondern auf das y-z-koordinatensystem im Schwerpunkt S. Da es sich bei dem in Bild 5. dargestellten Querschnitt um einen Teilquerschnitt eines I-Profils handelt, wird das y-z-koordinatensystem im Folgenden als y e -z e -Koordinatensystem bezeichnet. Der Index e steht für Element. In Tabelle 5.1 sind die wesentlichen Grenzschnittgrößen zusammengefasst. Für die Bestimmung von N pl,e wird angenommen, dass die Streckgrenze im gesamten Querschnitt erreicht ist. Die Grenzschnittgröße M pl,y,e erhält man aus der Flächenhalbierenden, da keine Schnittgröße N auftreten darf. Der Faktor für die Lage der Flächenhalbierenden in Tabelle 5.1 ergibt sich zu: 1 (5.) Tabelle 5.1 Plastische Grenzschnittgrößen für gleichschenklige, rechtwinklige Dreiecke N pl,e a f 1 a Mpl,y,e 1 f 3 M 0,0976 a f pl,y,e y 3 3 y y Treten Biegemoment und Normalkraft gleichzeitig auf, sind beide Schnittgrößen zu berücksichtigen. Vergleichbar mit Bild 4.16 wird in Bild 5.3 die Normalkraft Flächen um die Flächenhalbierende herum zugewiesen. Die Höhen b und c kann man so ermitteln, dass die Normalkräfte zu beiden Seiten der Flächenhalbierenden gleich groß sind und gleichzeitig im Flächenanteil N e die Streckgrenze erreicht wird. An den Rändern befinden sich die infolge M y,e beanspruchten Bereiche. Durch den Versatz zwischen dem Schwerpunkt der Normalkraftfläche S N-Fläche und dem Schwerpunkt S entsteht ein zusätzliches Moment, das je nach Vorzeichen vergrößernd oder abmindernd wirkt, s. Bild 5.7.

70 58 5 Ausrundungsflächen Bild 5.3 Aufteilung eines Dreiecks bei einer N-M y -Interaktion Es ergeben sich die beiden Grenzen min M y,e und max M y,e. Die Vorzeichen sind zu berücksichtigen. N max My,e Npl,e Ne a 1 3 N e N min My,e Npl,e Ne a 1 3 N pl,e e pl,e (5.3) (5.4) Der Nachweis ist erfüllt, wenn das nachzuweisende Biegemoment zwischen den Grenzen von Gl. (5.3) und Gl. (5.4) liegt, s. Gl. (5.5). min My,e My,e max My,e (5.5) Das gleichschenklige Dreieck ist nicht wölbfrei. Es ergibt sich eine Schnittgröße M,e in Abhängig von der Spannungsverteilung. Da es sich bei dieser Betrachtung um einen Teilquerschnitt handelt, erhält man die Wölbordinate nur aus der Betrachtung des Gesamtquerschnitts, s. Abschnitt Ausrundungen Im Folgenden wird die Ausrundung, wie in Bild 5.4 dargestellt, näher betrachtet. Ziel ist es, im Vergleich zu Abschnitt 5., die exakte Interaktionsbeziehung zu ermitteln. Bild 5.4 Ausrundung in Walzprofilen

71 5.3 Ausrundungen 59 Analog zum gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck sind bei einer separaten Ausrundung in Bild 5.5 die Hauptachsen y und z um den Hauptachsenwinkel = 45 gedreht. Die Ausrundung wird als Teilquerschnitt betrachtet. Deshalb beziehen sich die nachfolgenden Betrachtungen auf das y e -z e -Koordinatensystem. Bild 5.5 Koordinatensysteme Die Grenzschnittgröße N pl,e kann problemlos aus der Fläche bestimmt werden. Aus der Bedingung der halben Flächen für M pl,y,e ergibt sich z für Tabelle 5. zu: z 4 4 sin r 8 (5.6) Als weiterer Zusammenhang kann z r cos (5.7) angegeben werden. Das Gleichsetzen von Gl. (5.6) und Gl. (5.7) ergibt Gl. (5.8), die jedoch nicht direkt lösbar ist. 4cos sin (5.8) Für die Bestimmung von in den Grenzen 0 / ist eine Iteration erforderlich. Es ergibt sich: z 0,8619 r mit 0,59848 (5.9) Die wesentlichen Grenzschnittgrößen sind in Tabelle 5. zusammengefasst. Tabelle 5. Plastische Grenzschnittgrößen für Ausrundungen Npl,e 1 r f 4 r 3 Mpl,y,e r fy z 5 4 sin 6 y rz sin M 0,0315 r f pl,y,e 3 y

72 60 5 Ausrundungsflächen Für den Nachweis der Interaktion zwischen Biegemoment und Normalkraft kann man analog zu Abschnitt 5. vorgehen. Die Normalkraft wird den Flächen um die Flächenhalbierende herum zugewiesen und die verbleibenden Bereiche werden durch M y,e beansprucht. Vergleichbar mit dem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck in Abschnitt 5. ergeben sich die Höhen b und c sowie ein Versatz der Schwerpunkte zwischen der Normalkraftfläche S N-Fläche und dem Schwerpunkt S, s. Bild 5.6. Bild 5.6 Aufteilung einer Ausrundung bei einer N-M y -Interaktion Aus der Bedingung, dass die Flächen von N e oberhalb und unterhalb der Flächenhalbierenden gleich groß sein müssen, folgt: 4 8cos 4cos 4cos 3 3 sin sin sin 0 3 (5.10) Darüber hinaus wird im Bereich N e die Streckgrenze erreicht. Somit ergibt sich als weitere Bedingung: fy r 3 cos sin cos 3 sin 3 Ne (5.11) In den Grenzen 0 / und 0 / ist eine Iteration für die Bestimmung von und erforderlich. Analog zum rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreieck in Abschnitt 5. ergeben sich die beiden Grenzen min M y,e und max M y,e. Die Vorzeichen sind zu berücksichtigen. mit: max My,e My,e,nur M Ne xversatz (5.1) min My,e My,e,nur M Ne xversatz (5.13) 1 r y,e,nur M y 3 M r f z b c sin sin 3 (5.14) r z 3 sin sin3 4 4

73 5.3 Ausrundungen 61 x Versatz b c z b c r sin sin 3 r sin cos r r sin cos b c (5.15) r 3 4 b r cos z (5.16) c z r cos (5.17) 3 Die ausreichende Tragfähigkeit ist nachgewiesen, wenn das Biegemoment in den Grenzen von Gl. (5.18) liegt. min My,e My,e max My,e (5.18) Da die Ausrundung nicht wölbfrei ist, muss M,e berücksichtigt werden. Bei der Ausrundung handelt es sich um einen Teilquerschnitt. Zur Bestimmung der Wölbordinate ist der gesamten Querschnitt zu betrachten, s. Abschnitt In Bild 5.7 sind die Interaktionskurven für den Rechteckquerschnitt nach Gl. (4.3), den gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecksquerschnitt nach Gl. (5.5) und die Ausrundung nach Gl. (5.18) dargestellt. Der Rechteckquerschnitt ist ein flächengleiches Quadrat. Wegen der fehlenden Symmetrie des Dreieckes und der Ausrundung bezüglich des y e -z e -Koordinatensystems ergibt sich eine Verschiebung der Interaktionskurve im Vergleich zum Quadrat. Bild 5.7 Interaktionskurven für das Rechteck nach Gl. (4.3), das Dreieck nach Gl. (5.5) und die Ausrundung nach Gl. (5.18)

74 6 5 Ausrundungsflächen In Bild 5.8 sind die Abweichungen für die Gl. (4.3) und Gl. (5.5) zu Gl. (5.18) dargestellt. Die Interaktionsbeziehung für das Quadrat liegt zwischen 6,7 % auf der sicheren und 0, % auf der unsicheren Seite. Bei der N-M y -Interaktion des gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieckes liegen die Ergebnisse immer auf der sicheren Seite (bis zu 15,3 %). Bild 5.8 Abweichungen von Gl. (4.3) und Gl. (5.5) in Abhängigkeit von N/N pl Alternativ zur iterativen Vorgehensweise nach Gl. (5.10) und Gl. (5.11) können die Werte von und in guter Näherung nach Tabelle 5.3 ermittelt werden. Tabelle 5.3 Näherungsgleichungen für die Bestimmung von und Gültigkeit N 0,4 N pl N 0,4 0,8 N pl pl N 0,8 0,96 N Näherung pl Abweichung M y,e (sichere Seite) N 0,44 0,6 0 % bis 0,6 % N N 3 0,47 0,6 0 % bis 0,6 % N N N 0, 0,6 0,56 N pl Npl N N 3 0,45 0,11 0,68 N pl Npl N N 1,57 1,98 0,36 N pl Npl N N 3 3,95 5,59 3 N pl Npl pl 1,6 % bis 3,6 % 0, % bis 1,4 % 1,1 % bis 5,6 %,9 % bis 6,5 %

75 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile 6.1 Vorbemerkungen Auf Grundlage der Methoden und Ergebnisse in Kapitel 4 erfolgt in diesem Kapitel die Übertragung auf doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile. Es werden Gleichungen zur Bestimmung der Grenzschnittgrößen vorgestellt. Für gleichzeitig auftretende Schnittgrößen werden Interaktionsbeziehungen formuliert und deren Genauigkeit mit LILOBEC [70] bestimmt. 6. Grenzschnittgrößen 6..1 Grundlagen Mit zunehmender Automatisierung in der Stahlbaufertigung kommen vermehrt geschweißte doppeltsymmetrische I-Profile zum Einsatz. Dabei werden vorwiegend rechteckige Flach- oder Breitflachstähle zu Querschnitten zusammengefügt, s. Bild 6.1. Durch die große Auswahl an verfügbaren Flach- und Breitflachstählen ergibt sich ein großes Spektrum an Profilvarianten. Bild 6.1 Geschweißter doppeltsymmetrischer I-Querschnitt Die gebräuchlichsten Ausführungen für die Schweißverbindung zwischen Steg und Gurt sind in Tabelle 6.1 zusammengestellt. Wegen der Vielzahl an möglichen Profilen dienen für die nachfolgenden Betrachtungen die Walzprofilreihen IPE, HEAA, HEA, HEB und HEM als Grundlage. Dazu werden deren Abmessungen übernommen und als geschweißte Querschnitte ohne Ausrundungen (r = 0) betrachtet. Im Verlauf dieses Kapitels werden diese Profile mit der Ergänzung ähnlich bezeichnet, z. B.: ähnlich IPE 00.

76 64 Tabelle Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Ausführungsvarianten der Schweißnähte bei geschweißten I-Profilen Nahtart Darstellung Anwendungsbeispiel Doppel HV-Naht (K-Naht) Stoßen dicker Bleche Ermüdungsbeanspruchung (höhere Kerbfestigkeit) Doppelkehlnaht Standardfall 6.. Plastische Grenzschnittgrößen N pl, M pl,y, M pl,z, V pl,z und V pl,y Zur Bestimmung des Tragverhaltens von Querschnitten ist die Kenntnis der plastischen Grenzschnittgrößen erforderlich. Wie schon in Abschnitt.5 erläutert, wird bei der Ermittlung der Grenzschnittgrößen eine einzelne Schnittgröße betrachtet. Alle anderen Schnittgrößen müssen gleich null sein. Bei dem Linienmodell in Tabelle.5 sind die Anteile, die sich aus der Berücksichtigung der Blechdicke ergeben, nicht enthalten. Eine genauere Ermittlung der plastischen Grenzschnittgrößen für geschweißte I-Querschnitte ist in Tabelle 6. enthalten. Auf die Grenzschnittgrößen M pl, und M pl,xp wird in den nachfolgenden Abschnitten näher eingegangen. Alternativ kann man die plastischen Grenzschnittgrößen auch aus z. B. [46] ablesen. Beim Vergleich von tabellierten Werten können sich Abweichungen ergeben, da unterschiedliche Annahmen bzw. Vereinfachungen zugrunde gelegt werden. Tabelle 6. Plastische Grenzschnittgrößen für geschweißte I-Querschnitte N b t h t f pl f w w y h M b t h t t w f 4 pl,y f f w y Vpl,z tw hw fy 3 b t w M t h f 4 pl,z f w y Vpl,y b tf fy 3 M V h t pl,xs pl,y f M pl,xp nach Gl. (6.6) M pl, nach Gl. (6.10)

77 6. Grenzschnittgrößen Plastische Grenzschnittgröße M pl,xp Bei der Bestimmung der Grenzschnittgröße M pl,xp ist es üblich, den Querschnitt durch eine Kombination von Rechtecken zu idealisieren, s. Bild 6.1. Bei dieser Näherung wird die Übertragung von Schubspannungen zwischen Gurt und Steg nicht berücksichtigt. Abhängig von der angenommenen Verteilung der Schnittgröße M xp auf die Teilquerschnitte ergibt sich die Grenzschnittgröße M pl,xp. Verteilung nach der Elastizitätstheorie Die Ermittlung der Schubspannungen bei dünnwandigen offenen I-Profilen erfolgt mit der bekannten Gleichung, z. B. in [4] und [10]: Mxp xs t s (6.1) I T Bei Anwendung von Gl. (6.1) wird M xp auf die Teilquerschnitte nach dem Verhältnis der Torsionsträgheitsmomente gemäß Elastizitätstheorie verteilt. Diese Vorgehensweise kommt auch für das in [43] und [45] vorgestellte Teilschnittgrößenverfahren zur Anwendung. Wegen seiner geringeren Torsionssteifigkeit im Vergleich zu den Gurten bleibt der Steg bei üblichen Profilabmessungen elastisch, s. Beispiel in Abschnitt Die Grenztragfähigkeit erhält man, wenn im Gurt 3 b tf xp,f xp 3 3 pl,xp,f b tf hw tw M M M gilt. Somit ergibt sich: M 3 3 b tf hw tw pl,xp Mpl,xp,f 3 b tf mit (6.) M pl,xp,f in Bild 4.3 (6.3) Durch die getrennte Betrachtung der Teilquerschnitte gemäß Gl. (6.1) wird der in Bild 6. (links) dargestellte Schubspannungsverlauf angenommen. Bild 6. Schubspannungsverläufe für die Fälle Teile getrennt und Teile verbunden

78 66 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Die gegenseitige Beeinflussung der Teilquerschnitte wird durch die numerischen Untersuchungen in [8], [48] und [63] deutlich. Der prinzipielle Verlauf der Schubspannungen unter Berücksichtigung der Verbindung von Gurt und Steg ist in Bild 6. (rechts) dargestellt. Gemäß Bild 6. (rechts) ergeben sich im Steg keine horizontalen Schubspannungen. Somit erhält man nach Integration der Schubspannungen für den Steg eine wesentlich kleinere Schnittgröße M xp,w, s. Abschnitt 4... In Abschnitt 8..3 erfolgt an einem Beispiel die numerische Untersuchung der Verteilung von M xp mit dem FEM Programmsystem ANSYS []. Verteilung nach der Plastizitätstheorie Zur Ausnutzung der plastischen Reserven wird im Folgenden die in Abschnitt 4.. vorgestellte Nadai sche Sandhügelanalogie verwendet. Es ist üblich, I-Profile als getrennte Teilquerschnitte zu idealisieren. Unter Verwendung von Gl. (4.9) für einen Teilquerschnitt kann die Grenzschnittgröße M pl,xp wie folgt bestimmt werden: 1 1 Mpl,xp R tf 3 b tf R tw 3 hw tw (6.4) 3 6 Das Modell, welches Gl. (6.4) zugrunde liegt, ist durch die Verwendung separater Flächen gekennzeichnet. Es wird keine gegenseitige Beeinflussung der Teilflächen berücksichtigt. In Bild 6.3 ist die plastische Spannungsfunktion bei Idealisierung durch getrennte Teilquerschnitte dargestellt. Grundlagen und Herleitung der plastischen Spannungsfunktion sind Abschnitt 4.. zu entnehmen. Bild 6.3 Plastische Spannungsfunktion für I-Profile bei separaten Flächen (Walmdach) Gemäß Tabelle 6.1 sind bei der Bestimmung der Grenzschnittgröße M pl,xp von geschweißten I-Profilen nach der Plastizitätstheorie zwei Ausführungsvarianten zu unterscheiden. In Bild 6.4 ist der Nadai sche Sandhügel für einen doppeltsymmetrischen I-Querschnitt mit Doppel HV-Naht dargestellt. Im Übergangsbereich zwischen Gurt und Steg verlaufen die Höhenlinien (entsprechen den Schubspan-

79 6. Grenzschnittgrößen 67 nungsvektoren) wie auch der Grat gekrümmt. Dieser Verlauf ergibt sich aus der Bedingung einer konstanten Steigung der plastischen Spannungsfunktion. Bild 6.4 Nadai scher Sandhügel auf Querschnittfläche (Doppel HV-Naht) Für die Entwicklung einer Näherungslösung in Bild 6.5 werden die Höhenlinien von Gurt und Steg gedanklich stumpf zusammengestoßen. Ein Vergleich zwischen Bild 6.4 und Bild 6.5 macht deutlich, dass es nur geringe Abweichungen zwischen den Modellen gibt. Bild 6.5 Näherung Nadai scher Sandhügel (Doppel HV-Naht) Die Grenzschnittgrößen M pl,xp kann mit Bild 6.5 wie folgt bestimmt werden: 1 1 Mpl,xp R tf 3 b tf R tw 3 hw tw (6.5) 3 6 Da die Dicke der HV-Naht durch die Stegdicke festgelegt wird, ist in Gl. (6.5) auch kein Ausdruck für die Schweißnaht selbst erkennbar. Der Einfluss der Doppel HV-Naht auf die Grenzschnittgröße beschränkt sich im baupraktischen Bereich auf ca. 3 %. Beim Vergleich von Bild 6.5 mit Bild 6.3 wird deutlich, dass sich die Modelle nur durch die Berücksichtigung von Anteilen im Übergang zwischen Gurt und Steg unterscheiden. Der Unterschied zwischen Gl. (6.4) und Gl. (6.5) ergibt sich nur durch eine Modifizierung im Steganteil.

80 68 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Der Sandhügel eines geschweißten doppeltsymmetrischen I-Profils mit Doppelkehlnaht ist in Bild 6.6 enthalten. Der Spalt zwischen Gurt und Steg hat einen vergleichbaren Einfluss, wie die Aussparung in Bild 4.7. Bei der experimentellen Untersuchung mithilfe der Nadai schen Sandhügelanalogie wird im Übergang zwischen Gurt und Steg solange der Sand entfernt, bis sich die Geometrie des Spaltes ergibt. Für die Darstellung in Bild 6.6 sind zur Veranschaulichung sehr große Nahtdicken gewählt worden. Baupraktisch ist die Nahtdicke wesentlich geringer. Bild 6.6 Nadai scher Sandhügel auf Querschnittfläche (Doppelkehlnaht) Je kleiner die Nahtdicke ist, desto mehr nähert man sich dem Ergebnis in Bild 6.3 an. Eine gesonderte Näherungslösung für den Fall in Bild 6.6 erscheint nicht sinnvoll. Es kann vereinfacht Gl. (6.4) angewendet werden. Die Querschnittsform bleibt bei Anwendung der Gln. (6.4) und (6.5) nicht erhalten, s. Abschnitt 8..3.

81 6. Grenzschnittgrößen 69 Ingenieurmodell zur Bestimmung der Grenzschnittgröße M pl,xp Bei den Verteilungen nach der Elastizitätstheorie in Bild 6. (links) und nach der Plastizitätstheorie in Bild 6.3 werden die horizontalen Schubspannungen im Steg mit berücksichtigt. Aus den numerischen Untersuchungen in Abschnitt 8..3 (s. Bild 8.6) und in [8] kann man schlussfolgern, dass sich im Steg überwiegend vertikale Schubspannungen ergeben (s. Bild 6. rechts). Die Spannungsverteilung im Gurt in Bild 8.6 (rechts) entspricht dem Walmdachmodell, während im Steg hauptsächlich vertikale Schubspannungen auftreten (s. Streifenmodell in [43]). Unter Annahme dieser Modelle für die Teilquerschnitte ergibt sich die in Bild 6.7 dargestellte ingenieurmäßige Näherung für die Verteilung der Schubspannungen. Bild 6.7 Modell für Verteilung der Schubspannungen Aufgrund dieser Modelle folgt für die Grenzschnittgröße: 1 1 M pl,xp R tf 3 b tf R tw hw (6.6) 3 4 In Bild 8.6 (rechts) in Abschnitt 8..3 bleibt für den Fall M xp = M pl,xp nach Gl. (6.6) die Querschnittsform erhalten. Zur Bestimmung der Grenzschnittgröße M pl,xp und zur Ermittlung der Teilschnittgrößen in den Teilquerschnitten wird Gl. (6.6) empfohlen Plastische Grenzschnittgröße M pl, Bei der Bestimmung der Grenzschnittgröße M pl, bei doppeltsymmetrischen geschweißten I-Profilen sind die Teilschnittgrößen aus den Gurten und dem Steg zu berücksichtigen, s. Bild 6.8. Die Schnittgröße aus den Gurten entspricht dem Mittellinienmodell. Somit ergibt sich aus Tabelle.5: b Mpl,,ml tf h tf fy (6.7) 4 Die Ergebnisse aus Gl. (6.7) entsprechen den Werten in [1].

82 70 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Bild 6.8 Spannungsverteilung für M pl, aus Gurten und Steg Aus Abschnitt 4..3 wird die Schnittgröße für den Steg M pl,,w nach Gl. (4.15) entnommen. Es ergibt sich für den Steg: Mpl,,w hw tw fy (6.8) Für die Gurte wird kein Wölbbimoment M pl,,f über die Blechdicke berücksichtigt, da sich dieses wegen der Spannungsverteilung wieder aufhebt. Somit erhält man aus M M M (6.9) pl, pl,,ml pl,,w die Grenzschnittgröße M pl, für doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile. M t h t h t f 4 b pl, f f w w y mit aus Tabelle 4. (6.10) Für die Profilreihen ähnlich den Walzprofilen mit r = 0 sind die Ergebnisse nach Gl. (6.10) mit den von LILOBEC [70] ermittelten Werten nahezu identisch. In Bild 6.9 ist ein Beispiel dargestellt. Profil ähnlich HEB 00 (ohne Ausrundungen) Gl. (6.7): M pl, = 6513 kncm² Gl. (6.10): M pl, = kncm² LILOBEC [70]: M pl, = kncm² (1108 Elemente) f y = 3,5 kn/cm² Bild 6.9 Grenzschnittgröße M pl, für ein HEB 00 mit r = 0 nach LILOBEC [70]

83 6.3 Schnittgrößenkombinationen 71 Bild 6.10 Grenzschnittgröße M pl, nach Gl. (6.10) im Vergleich zu Gl. (6.7) Bei den Profilreihen ähnlich den Walzprofilen (r = 0) ergibt sich nach Gl. (6.10) eine um bis zu 3 % höhere Tragfähigkeit als nach Gl. (6.7), s. Bild Grundlagen zur Ermittlung der Verwölbung von I-Profilen gemäß dem Mittellinienmodell sind z. B. in [93] und [110] enthalten. 6.3 Schnittgrößenkombinationen Vorbemerkungen In diesem Abschnitt werden die plastischen Querschnittstragfähigkeiten für unterschiedliche Schnittgrößenkombinationen doppeltsymmetrischer geschweißter I-Profile untersucht. Dies erfolgt durch Erweiterung des in [45] vorgestellten Teilschnittgrößenverfahrens (TSV). Das erweiterte Teilschnittgrößenverfahren wird im Folgenden mit TSV-plus bezeichnet. Vergleichbar zum TSV betrachtet man beim TSV-plus den Grenzzustand der Tragfähigkeit. Dabei wird die maximale Tragfähigkeit des Querschnitts abhängig von der auftretenden Schnittgrößenkombination bestimmt. Alternativ ist es möglich die plastische Querschnittstragfähigkeit näherungsweise durch eine lineare Interaktion der einzelnen Schnittgrößen nachzuweisen, s. z. B. [15]. Auszüge der im Folgenden vorgestellten Interaktionsbeziehungen sind bereits in [54] und [55] veröffentlicht. Die Abweichungen der Interaktionsbeziehungen gemäß TSV-plus, DIN [14] und DIN EN [15] werden mit LILOBEC [70] bestimmt.

84 7 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile 6.3. Grundlagen Durch die Beanspruchung von Querschnitten ergeben sich Spannungen. Diese Spannungen können mit Tabelle.1 zu Schnittgrößen zusammengefasst werden. Bild 6.11 Schnittgrößen N, M y, M z und M sowie örtliche Schnittgrößen in den Teilquerschnitten beim TSV nach [43] Zur Bestimmung der Tragfähigkeit teilt man das Profil, wie in Bild 6.1 dargestellt, in die drei Teilquerschnitte Obergurt, Steg und Untergurt und bildet das Gleichgewicht zwischen Schnittgrößen und Teilschnittgrößen. Nachfolgend werden zunächst die -Schnittgrößen betrachtet. Beim TSV in [43] und [45] erfolgt die Idealisierung des Querschnitts nach dem Mittellinienmodell, s. Bild 1.5. Analog zum Rechteckquerschnitt in Abschnitt 4..1 kann man beim TSV-plus zur genaueren Erfassung der Tragfähigkeit die Teilschnittgrößen aus Blechbiegung (Index bl ) und lokale Wölbbimomente berücksichtigen, s. Bild 6.1. Das Biegemoment um die schwache Achse eines Teilquerschnitts wird als Blechbiegemoment M bl bezeichnet. Bild 6.1 Schnittgrößen N, M y, M z und M sowie örtliche Schnittgrößen in den Teilquerschnitten beim TSV-plus

85 6.3 Schnittgrößenkombinationen 73 Für die in den nachfolgenden Abschnitten untersuchten Schnittgrößenkombinationen dient das in Bild 6.1 dargestellte Gleichgewicht als Grundlage Schnittgrößen N und M y Die N-M y -Interaktion zählt zu der am häufigsten auftretenden Schnittgrößenkombination. Für die Beschreibung des doppeltsymmetrischen geschweißten Querschnitts sind die Abmessungen h, b, t w und t f notwendig. Zur Bestimmung der Tragfähigkeit werden noch die Streckgrenze f y und der Teilsicherheitsbeiwert benötigt. Somit ergeben sich zusammen mit den Schnittgrößen N und M y nach [55] acht Parameter, um die N-M y -Interaktion zu beschreiben. Für eine genaue Formulierung können diese Parameter auf vier reduziert werden, s. [55]: N N pl, M y M pl,y, A w A und t f hw Der Einfluss der Parameter ist in Bild 6.13 dargestellt. Je größer der Anteil der Stegfläche am Gesamtquerschnitt ist, desto größer ist die plastische Tragfähigkeitsreserve. Die Darstellung in Bild 6.13 links gilt für den häufigen Wert von t f /h w = 0,05. Nennenswerte Unterschiede des Parameters t f /h w in Bild 6.13 rechts auf die Tragfähigkeit ergeben sich für = 0,35 zwischen N/N pl = 0,35 und 0,7. Bild 6.13 Einfluss der Parameter (links) und t f /h w (rechts) auf die N-M y -Interaktion, [55] Gemäß Bild 6.1 können in jedem Teilquerschnitt die Schnittgrößen N, M, M bl und M auftreten. Nach Tabelle 4.4 ergibt sich bei der N-M y -Interaktion eine horizontale Spannungsnulllinie. Durch die Unterteilung in drei Teilquerschnitte erhält man die in Bild 6.14 dargestellten drei Fälle für die Lage der Spannungsnulllinie.

86 74 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Bild 6.14 Lage der Spannungsnulllinie bei der N-M y -Interaktion Für eine N-M y -Interaktion ergeben sich nach Bild 6.1 die Gleichgewichtsbeziehungen: N Nu Nw No (6.11) h tf h tf My Nu No Mu,bl Mw Mo,bl (6.1) Mz Mu Mw,bl Mo 0 (6.13) h tf h tf M Mu Mo M,u M,w M,o 0 (6.14) Da die Spannungsnulllinie gemäß Bild 6.14 horizontal verläuft erhält man: M,u M,w M,o 0 (6.15) M 0 (6.16) w,bl Es folgt: M M 0 (6.17) u o Bei der N-M y -Interaktion ergeben sich somit zwei Bedingungen und sechs unbekannte Teilschnittgrößen. Die Lösung erfolgt unter Anwendung einer Optimierung mit dem Ziel, die maximale Grenztragfähigkeit zu bestimmen. Wegen der Symmetrieeigenschaften kann Fall 3 in Bild 6.14 entfallen, wenn man die Schnittgrößen betragsmäßig berücksichtigt. Die Normalkraft kann dem Steg um den Schwerpunkt herum zugewiesen werden. Somit verbleiben die weiter vom Schwerpunkt entfernten Querschnittsflächen für das Biegemoment. Im Grenzzustand ergeben sich die in Bild 6.15 dargestellten Aufteilungen des Querschnitts und die gekennzeichneten Bereiche zur Aufnahme von N und M y. Mit der Aufteilung des Querschnitts in Bild 6.15 kann ein Teil der Teilschnittgrößen unmittelbar bestimmt werden. So ergibt sich z. B. nur in dem Teilquerschnitt ein Biegemoment, in dem die Spannungsnulllinie liegt. Treten in einem Teilquerschnitt die Teilschnittgrößen Normalkraft und Biegemoment auf, erfolgt die Interaktion nach Gl. (4.3).

87 6.3 Schnittgrößenkombinationen 75 Bild 6.15 Aufteilungen des Querschnitts für N und M y im Grenzzustand Für den Nachweis ausreichender Tragfähigkeit wird für beide Fälle zunächst der Einfluss der Normalkraft berücksichtigt. Danach überprüft man, ob das Biegemoment M y nicht größer als das maximal aufnehmbare Biegemoment max M y ist: M y max M (6.18) y Mit Bild 6.15 kann man die Grenzen für die Fallunterscheidung anschaulich ermitteln. Der Nachweis der Normalkraft ist in den Grenzen der Fallunterscheidung enthalten. Fall 1: Spannungsnulllinie im Steg Bedingung: N Npl,w hw tw fy direkt bestimmbar: No Npl,f bf tf fy Nu Npl,f bf tf fy M M 0 o,bl u,bl aus Gleichgewicht: Nw N No Nu N N w hw Mw 1 Npl,w aus Gl. (4.3) N pl,w 4 f y u o h t max M N N Mw max M N h t M max M Nachweis: My max My y pl,f f w N y Mpl,y 4 tw fy

88 76 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Fall : Spannungsnulllinie im (Ober-)Gurt Bei Fall kann die Spannungsnulllinie im Obergurt oder im Untergurt liegen. Die Herleitung erfolgt anhand des Falls Spannungsnulllinie im Obergurt. Bedingung: Npl,w N Npl direkt bestimmbar: Nw Npl,w hw tw fy Nu Npl,f bf tf fy M M 0 w aus Gleichgewicht: No N Nw Nu N Npl,w Npl,f u,bl N o tf Mo,bl 1 Npl,f aus Gl. (4.3) N pl,f 4 f y u o h t max M N N Mo,bl h tf max My Npl N Mo,bl h Npl N max My Npl N 4 b f y Nachweis: My max My Das TSV-plus stellt eine Erweiterung des Teilschnittgrößenverfahrens (TSV) dar, da die Blechbiegemomente (Index bl ) mit berücksichtigt werden. In Tabelle 6.3 sind die erforderlichen Nachweise für eine N-M y -Interaktion nach TSV-plus zusammengestellt. Die Bestimmung der Tragfähigkeit unter Verwendung Tabelle 6.3 entspricht der exakten Lösung. Tabelle 6.3 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen N und M y von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Profilen, [55] pl,w w w y N N M y pl,w N Mpl,y 4 t f N N N pl,w pl h Npl N My Npl N 4 b f y Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! N h t f N t b t h f pl f w w y w pl,y f f w w y M t b h t t h 4 f y

89 6.3 Schnittgrößenkombinationen 77 Bild 6.16 Erhöhte Tragfähigkeit bei der N-M y -Interaktion unter Berücksichtigung der Blechbiegung in den Gurten Durch die Berücksichtigung der Blechbiegemomente ergeben sich für den Fall Spannungsnulllinie im Gurt in Tabelle 6.3 größere Tragfähigkeiten als nach dem TSV (Mittellinienmodell). Die erhöhte Tragfähigkeit der Schnittgrößen für die Profilreihen ähnlich den Walzprofilen ohne Ausrundungen sind in Bild 6.16 dargestellt. Unter Berücksichtigung der Blechbiegemomente erhält man abhängig vom Verhältnis N/N pl bis zu 4 % höhere Tragfähigkeiten. Die Interaktionsbeziehungen gemäß DIN [14] liegen zwischen 10,9 % auf der sicheren und,4 % auf der unsicheren Seite. Bei Anwendung der Interaktionsbeziehung gemäß DIN EN [15] ergeben sich Abweichungen zwischen 4,8 % auf der sicheren und 7,4 % auf der unsicheren Seite. Die Lösung gemäß Tabelle 6.3 ist den Interaktionsbeziehungen in DIN [14] und in DIN EN [15] vorzuziehen Schnittgrößen N und M z Analog zur N-M y -Interaktion in Abschnitt wird nachfolgend die N-M z -Interaktion für geschweißte doppeltsymmetrische I-Profile untersucht. Als Parameter für die Erfassung der Tragfähigkeit ergeben sich gemäß [55]: N N pl, M z M pl,z, A w A und t w b Die Auswirkungen von t w /b sind relativ gering. In Bild 6.17 ist der Einfluss von für t w /b = 0,05 dargestellt. Bis zu N/N pl = ergibt sich eine geringe Abminderung, da die Normalkraft in diesem Anwendungsbereich durch den Steg aufgenommen wird. Im Unterschied zu Abschnitt erstreckt sich bei der Aufteilung des Querschnitts der Steg gedanklich über die gesamte Profilhöhe (Index h ). Gemäß Tabelle 4.4 ergibt sich für eine N-M z -Interaktion eine vertikale Spannungsnulllinie. Somit erhält man die in Bild 6.18 dargestellten Fälle, wobei Fall 3 aufgrund von Symmetrieeigenschaften entfallen kann, wenn man die Schnittgrößen betragsmäßig einsetzt.

90 78 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Bild 6.17 Einfluss des Parameters auf die N-M z -Interaktion nach [55] Bild 6.18 Lage der Spannungsnulllinie bei der N-M z -Interaktion Die Bestimmung der Tragfähigkeit erfolgt analog zur N-M y -Interaktion. Aus den Gleichgewichtsbeziehungen in Bild 6.1 ergeben sich: N Nu Nw No (6.19) h tf h tf My Nu No Mu,bl Mw Mo,bl 0 (6.0) Mz Mu Mw,bl Mo (6.1) h tf h tf M Mu Mo M,u M,w M,o 0 (6.) Wegen des vertikalen Verlaufs der Spannungsnulllinie gemäß Bild 6.18 erhält man: M,u M,w M,o 0 Mu Mo (6.3) M M M 0 N N (6.4) u,bl w o,bl u o

91 6.3 Schnittgrößenkombinationen 79 Unter Verwendung der Aufteilungen des Querschnitts in Bild 6.19 können die Gültigkeitsbereiche ermittelt werden, vgl. Abschnitt Bild 6.19 Aufteilungen des Querschnitts für N und M z im Grenzzustand In Tabelle 6.4 sind die erforderlichen Nachweise für die N-M z -Interaktion doppeltsymmetrischer geschweißter I-Profile zusammengestellt. Die Ergebnisse nach Tabelle 6.4 entsprechen der exakten Lösung. Bei Anwendung von Tabelle 6.4 ergeben sich wegen der Berücksichtigung der Blechbiegemomente bis zu 6 % größere Tragfähigkeiten im Vergleich zum TSV, s. Bild 6.0. Die maximale Erhöhung erhält man für den Fall N = 0, da dann der Steg vollständig für die Schnittgröße M z ausgenutzt werden kann. Tabelle 6.4 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen N und M z von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Profilen nach [55] Npl,w,h h tw fy N N pl,w,h M N z Mpl,z 4 h fy N N N pl,w,h pl b Npl N Mz Npl N 8 tf f y Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! N t b t h f pl f w w y b t w M t h f 4 pl,z f w y Bei Anwendung der Interaktionsbeziehung gemäß DIN [14] liegen die Ergebnisse zwischen 14,7 % auf der sicheren und 4, % auf der unsicheren Seite. Aus der

92 80 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Interaktionsbeziehung in DIN EN [15] erhält man Ergebnisse, die zwischen 0, % auf der sicheren und 5,3 % auf der unsicheren Seite liegen. Somit ist die Anwendung von Tabelle 6.4 (exakte Lösung) zu bevorzugen. Bild 6.0 Erhöhte Tragfähigkeit bei der N-M z -Interaktion unter Berücksichtigung der Blechbiegung im Steg Schnittgrößen M y und M z Zu den grundlegenden Interaktionsbeziehungen gehört neben der N-M y -Interaktion und der N-M z -Interaktion die M y -M z -Interaktion, welche für geschweißte doppeltsymmetrische I-Profile nachfolgend untersucht wird. Die Fälle der Spannungsverteilung bei Annahme einer geraden Spannungsnulllinie (SNL) sind in Bild 6.1 dargestellt. Bild 6.1 Lage der Spannungsnulllinie bei der M y -M z -Interaktion (gerade SNL) Gemäß den Gleichgewichtsbeziehungen in Bild 6.1 gilt: N Nu Nw No 0 (6.5) h tf h tf My Nu No Mu,bl Mw Mo,bl (6.6)

93 6.3 Schnittgrößenkombinationen 81 Mz Mu Mw,bl Mo (6.7) h tf h tf M Mu Mo M,u M,w M,o 0 (6.8) Für die Herleitung einer ingenieurmäßigen Näherung wird angenommen, dass die Spannungsnulllinie die Teilquerschnitte horizontal oder vertikal schneidet. Dies führt zu einer Reduzierung der Fälle für den Verlauf der Spannungsnulllinie. Es ergibt sich: Nu No Nw 0 (6.9) M M M 0 M M (6.30),u,w,o u o Somit können die vier in Bild 6.1 dargestellten Fälle auf zwei reduziert werden, s. Bild 6.. Die ingenieurmäßige Untersuchung des Querschnitts erfolgt in zwei Schritten. Im ersten Schritt wird nur M z betrachtet und der zur Aufnahme erforderliche Querschnittsanteil ermittelt. Der Restquerschnitt steht dann für M y zur Verfügung, s. Bild 6.. Bild 6. Wirksame Restquerschnitte für M y Für den Fall 1 ist die Bedingung tf tw z w y pl,z y M b t f M h f (6.31) 4 einzuhalten. Somit erhält man eine reduzierte Gurtbreite red b von: mit red b b b a (6.3) b a b b Mz (6.33) 4 t f f y

94 8 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Es folgt: M z red b b 1 t f b f y (6.34) Für den Fall mit der Bedingung tw pl,z y z pl,z M h f M M (6.35) 4 ergibt sich eine reduzierte Stegdicke red t w von: mit red tw tw ta (6.36) zu t a t M w pl,z M h f red t w M pl,z y hf y z M z (6.37) (6.38) Im zweiten Schritt wird untersucht, ob der verbleibende Restquerschnitt die Schnittgröße M y aufnehmen kann. Somit ergeben sich zwei Fälle für die Aufteilung des Querschnitts, die in Bild 6.3 dargestellt sind. Bild 6.3 Ingenieurmäßige Annahme für die Aufteilungen des Querschnitts für M y und M z im Grenzzustand Aus der Aufteilung des Querschnitts erhält man die in Bild 6.4 dargestellten angenommenen Verläufe der Spannungsnulllinie für die Fälle 1 und. Bei dem Restquerschnitt im Fall handelt es sich um einen Rechteckquerschnitt, s. Bild 6. rechts.

95 6.3 Schnittgrößenkombinationen 83 Bild 6.4 Angenommene Verläufe der Spannungsnulllinien für die Aufteilungen des Querschnitts in Bild 6.3 Die Zusammenfassung der Nachweise für eine M y -M z -Interaktion kann Tabelle 6.5 entnommen werden. Die mit LILOBEC [70] ermittelten Abweichungen der Lösungen nach Tabelle 6.5 für die Profilreihen ähnlich den Walzprofilen ohne Ausrundungen sind in Bild 6.5 enthalten. Zur Bestimmung der Abweichungen werden für jeden Querschnitt zehn Schnittgrößenvariationen untersucht. Mit zunehmender Profilnennhöhe erhöhen sich die Abweichungen auf der sicheren Seite. Tabelle 6.5 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen M y und M z von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Profilen Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! tf M b t f z w y h M t red b h t t w f 4 y f f w y Mz mit red b b 1 t b f tf b t f M M h M red t f 4 w y z pl,z y w y mit red t w M f pl,z h f M y z y Die größte Abweichung bei der Anwendung von Tabelle 6.5 erhält man bei einem Profil ähnlich dem HEAA 1000 (ohne Ausrundungen) mit 1, % auf der sicheren Seite. Die Abweichungen auf der sicheren Seite ergeben sich, da gemäß Tabelle 6.5 die Spannungsnulllinie die Teilquerschnitte horizontal oder vertikal schneidet, s. Tabelle 6.7 rechts. Bei der Untersuchung mit LILOBEC [70] erhält man eine gerade Spannungsnulllinie nach Tabelle 6.6 links. Die Abweichungen auf der unsicheren Seite sind Ungenauigkeiten infolge der gewählten Elementierung für den Fall M y /M pl,y = 0. So erhält man z. B. für ein Profil ähnlich dem HEM 100 nach LILOBEC

96 84 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile [70] mit der Elementierung in Bild 6.5 (40 Elemente) 99,898 % von M pl,z. Bei Verwendung von 1190 Elementen ergibt sich ein Wert von 99,965 % von M pl,z. Dieser Effekt tritt auch bei den nachfolgenden Interaktionsbeziehungen auf, wird aber nicht wiederholt erläutert. Bild 6.5 Abweichungen bei Nachweisen nach Tabelle 6.5 im Vergleich zu LILOBEC Durch die Berücksichtigung der Tragfähigkeitsanteile infolge Blechbiegung in Tabelle 6.5 ergibt sich eine Erhöhung der Tragfähigkeit von bis zu 6 % gegenüber dem Mittellinienmodell, s. Bild 6.6. Die maximale Erhöhung erhält man für den Fall M y = 0, da dann auch der Steg vollständig für die Schnittgröße M z ausgenutzt werden kann. Bild 6.6 Erhöhte Tragfähigkeit bei der M y -M z -Interaktion unter Berücksichtigung der Blechbiegung im Steg

97 6.3 Schnittgrößenkombinationen 85 Zur weiteren Erläuterung von Bild 6.5 ist ein Beispiel in Bild 6.7 mit dem Verlauf der Abweichungen in Abhängigkeit von M y /M pl,y dargestellt. Bei Anwendung von Tabelle 6.5 ergibt sich für M y /M pl,y = 0,4 eine maximale Abweichung von,8 % auf der sicheren Seite. Die maximale Abweichung ist größer als in Bild 6.5, da die Geometrie des Querschnitts in Bild 6.7 deutlich von der Geometrie der Querschnitte in Bild 6.5 abweicht. Bild 6.7 Abweichungen bei Nachweisen nach Tabelle 6.5 in Abhängigkeit von M y /M pl,y Diese gewählte Schnittgrößenkombination entspricht dem Fall IV in Bild 6.1. Die Abweichung ergibt sich aus den unterschiedlichen Verläufen der Spannungsnulllinie zwischen Fall IV in Bild 6.1 (Spannungsnulllinie als Gerade) und der Annahme für Fall in Bild 6.4 (Spannungsnulllinie schneidet Teilquerschnitte nur vertikal oder horizontal). In Tabelle 6.6 ist ein Beispiel für eine M y -M z -Interaktion enthalten. Die Ergebnisse nach Tabelle 6.6 liegen bei diesem Beispiel weniger als 0,1 % (Faktor = 1,0006) auf der sicheren Seite. Beim Vergleich der Spannungsverläufe nach LILOBEC [70] und INCA [38] gemäß Tabelle 6.6 in den Teilquerschnitten mit den auftretenden Schnittgrößen nach Tabelle 4.4 fällt auf, dass sich lokale Wölbbimomente M o und M u ergeben. Für die lokalen Wölbbimomente gilt, s. Tabelle 6.8: M M M 0,u,o Dieser Zusammenhang wird auch an den Teilschnittgrößen in Tabelle 6.8 für den Fall M,lokal 0 deutlich. Darüber hinaus ergeben sich wegen der schrägen Spannungsnulllinie die lokalen Schnittgrößen M o,bl, M u,bl und M w,bl, s. Tabelle 6.8. Die Lösungen nach LILOBEC [70] und INCA [38] in Tabelle 6.6 entsprechen gemäß Abschnitt.6 der Nachweisstufe II.

98 86 Tabelle 6.6 Beispiel für eine M y -M z -Interaktion 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Schweißprofil ähnlich HEB 00 (ohne Ausrundungen) fy 3,5 kn cm M 4500 kncm nach Tabelle 6.5: red b = 1,03 cm M 937 kncm z nach LILOBEC [70]: nach INCA [38]: y Bei einer Berechnung mit LILOBEC [70] unter Einhaltung der Bedingung M,o = M,u = 0 (NW-St I) ergibt sich eine gekrümmte Spannungsnulllinie, s. Tabelle 6.7 (links). Zum Vergleich ist der angenommene Verlauf der Spannungsnulllinie nach Tabelle 6.5 in Tabelle 6.7 (rechts) angegeben. Der Faktor für die Schnittgrößen in Tabelle 6.7 (links) verringert sich geringfügig im Vergleich zu Tabelle 6.6 (links). Tabelle 6.7 Fortsetzung des Beispiels für eine M y -M z -Interaktion mit M,o = M,u = 0 nach LILOBEC [70] (M,lokal = 0!): Modell nach Tabelle 6.5 (red b = 1,03 cm):

99 Untergurt Steg Obergurt 6.3 Schnittgrößenkombinationen 87 Die Teilschnittgrößen nach LILOBEC [70] für die Fälle M,u = M,o 0 und M,u = M,o = 0 sowie mit dem Ingenieurmodell von Tabelle 6.5 sind in Tabelle 6.8 zusammengestellt. Durch das Auftreten der lokalen Wölbbimomente und der damit verbundenen Verdrehung der Gurte bleibt die Querschnittsform nicht erhalten. Darüber hinaus ergibt sich eine geringfügig geänderte Verteilung der Schnittgrößen N, M und M bl in den Teilquerschnitten. Die Verdrehung infolge M,lokal ist sehr gering, wie durch die numerischen Untersuchungen in Abschnitt 8.. gezeigt wird. Der Effekt der lokalen Wölbbimomente ist in diesem Beispiel gering und kann vernachlässigt werden. Es wird jedoch die Anwendung von Tabelle 6.5 empfohlen, da somit keine lokalen Wölbbimomente auftreten. Tabelle 6.8 Teilschnittgrößen für das Beispiel in Tabelle 6.6 und Tabelle 6.7 Teilschnittgröße M,lokal 0 Tabelle 6.6 links NW-St II M,lokal = 0 Tabelle 6.7 links NW-St I Ingenieurmodell in Tabelle 6.7 rechts NW-St I N o [kn] 43,6 44,3 44,0 M o [kncm] 48,6 47,5 50,0 M o,bl [kncm] 9,4 0 0 M,o [kncm²] 55,6 0 0 N w [kn] M w [kncm] 15,4 15,5 158,1 M w,bl [kncm] 5,5 5,5 0 M,w [kncm²] N u [kn] 43,6 44,3 44,0 M u [kncm] 48,6 47,5 50,0 M u,bl [kncm] 9,4 0 0 M,u [kncm²] 55,6 0 0 Gemäß Tabelle 6.7 muss der Verlauf der Spannungsnulllinie nicht zwangsläufig die Form einer Geraden haben. Abhängig von den jeweiligen Bedingungen kann sich bei doppeltsymmetrischen I-Profilen eine gekrümmte Spannungsnulllinie ergeben. Dies wird beispielsweise auch in [1] verfolgt. Die in DIN [14] und in DIN EN [15] angegebenen Interaktionsbeziehungen liegen immer auf der sicheren Seite (DIN [14] bis zu,8 %, DIN EN [15] bis zu 11,7 %) Schnittgrößen N, M y und M z ohne unplanmäßige Torsion Für die nachfolgenden Betrachtungen zur N-M y -M z -Interaktion wird als Bedingung M = 0 vorausgesetzt, d. h. aus der Spannungsverteilung darf sich kein Wölbbimoment M ergeben. Bei Anwendung der Gleichgewichtsbeziehungen gemäß Bild 6.1

100 88 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile N Nu Nw No (6.39) h tf h tf My Nu No Mu,bl Mw Mo,bl (6.40) Mz Mu Mw,bl Mo (6.41) h tf h tf M Mu Mo M,u M,w M,o 0 (6.4) und der Bedingung, dass die Spannungsnulllinie die Teilquerschnitte nur horizontal oder vertikal schneiden darf folgt: M M M 0 M M (6.43),u,w,o u o Diese ingenieurmäßige Näherung ist vergleichbar mit der M y -M z -Interaktion. Wegen der symmetrischen Verteilung von M o und M u ergeben sich vier Fälle für die Aufteilung des Querschnitts bei Verwendung von betragsmäßigen Schnittgrößen, s. Bild 6.8. Bild 6.8 Ingenieurmäßige Annahme für die Aufteilungen des Querschnitts für N, M y und M z im Grenzzustand

101 6.3 Schnittgrößenkombinationen 89 Im ersten Schritt wird M z berücksichtigt. Es ergibt sich analog zu Abschnitt ein reduzierter Querschnitt mit red b nach Gl. (6.34) bzw. red t w nach Gl. (6.38). Beim zweiten Schritt untersucht man die Tragfähigkeit des Restquerschnitts für die Schnittgrößen N und M y nach Tabelle 6.3. Die Berücksichtigung der Blechbiegemomente M o,bl und M u,bl erfolgt analog zur N-M y -Interaktion, während M w,bl mit den Lösungen aus der M y -M z -Interaktion bestimmt werden kann. Für jeden der Fälle in Bild 6.8 ergibt sich wegen der ingenieurmäßig angenommenen Aufteilung des Querschnitts der Verlauf der Spannungsnulllinie. Diese Verläufe sind in Bild 6.9 dargestellt. Bild 6.9 Angenommene Verläufe der Spannungsnulllinien für die Aufteilungen des Querschnitts in Bild 6.8 Die Zusammenfassung der Nachweise für die N-M y -M z -Interaktion mit M = 0 kann Tabelle 6.9 entnommen werden. Wegen der Reduzierung der Gurtbreite bzw. der Stegdicke infolge M z sind für den Nachweis von N und M y die Grenzschnittgrößen N pl und M pl,y des Restquerschnitts zu bestimmen. Bei den Restquerschnitten im Fall 3 und Fall 4 handelt es sich nach der Bestimmung von red t w um einen Rechteckquerschnitt. Eine Unterscheidung kann bei Verwendung von Gl. (4.3) entfallen. In Bild 6.30 sind die Abweichungen der Lösungen nach Tabelle 6.9 für die Profilreihen ähnlich den Walzprofilen ohne Ausrundungen im Vergleich zu LILOBEC [70] dargestellt. Die Abweichungen werden für die Fälle M z /M pl,z = 0/0,/0,4/0,6/0,8 und 0,995 ermittelt. Es erfolgt die Untersuchung von zehn Schnittgrößenvariationen der Schnittgrößen N und M y für jeden Fall von M z /M pl,z. Mit zunehmender Profilnennhöhe verringern sich die Abweichungen. Die größte Abweichung erhält man bei dem Profil HEM 100 ohne Ausrundungen. Bei der Anwendung von Tabelle 6.9 liegen die Ergebnisse für diesen Querschnitt bis zu 1,9 % auf der sicheren Seite. Wegen der ingenieurmäßigen Annahme für den Verlauf der Spannungsnulllinie gemäß Bild 6.9 ergeben sich bei Anwendung von Tabelle 6.9 die Abweichungen auf der sicheren Seite im Vergleich zu LILOBEC [70], s. Beispiel in Tabelle 6.10 (rechts).

102 Fall 3 und Fall 4 Gültigkeit Fall Fall 1 Gültigkeit 90 Tabelle Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen N, M y und M z von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Profilen Fälle 1 und : kleines bis mittleres M z Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! w z pl,z y t M M h f 4 Mz red b b 1 t b f N N M y pl,w pl,w N Mpl,y,red b 4 t f N N N f pl,red h Npl,red N My Npl,red N 4 red b f y w y y Fälle 3 und 4: großes M z Rechenwerte: Npl,w hw tw fy N t red b t h f pl,red f w w y M t h f 4 b tw pl,z f w y M t red b h t t f 4 h w pl,y,red b f f w y w pl,z y z pl,z t M h f M M 4 red t w w M N red t h f M y pl,z y h f M y z y red tw h f N 4 4 red t f w y Bild 6.30 Abweichungen bei Nachweisen nach Tabelle 6.9 im Vergleich zu LILOBEC

103 6.3 Schnittgrößenkombinationen 91 Die Verteilung der Abweichungen für den Querschnitt HEM 100 (r = 0) ist in Bild 6.31 dargestellt. Die größte Abweichung auf der sicheren Seite ergibt sich bei M z /M pl,z = 0,4. Bild 6.31 Abweichungen bei Nachweisen nach Tabelle 6.9 in Abhängigkeit von N/N pl und M z /M pl,z Ein Beispiel für eine N-M y -M z -Interaktion ist in Tabelle 6.10 enthalten. Der Verlauf der Spannungsnulllinie entspricht nicht einer Geraden. Das Beispiel in Tabelle 6.10 liegt am Übergang zwischen Fall 1 und Fall in Bild 6.9. Die Ergebnisse nach Tabelle 6.9 liegen bei diesem Beispiel weniger als 0,1 % auf der sicheren Seite. Tabelle 6.10 Beispiel für eine N-M y -M z -Interaktion Schweißprofil ähnlich HEB 00 (ohne Ausrundungen) z fy 3,5 kn cm N 350 kn M 3000 kncm nach Tabelle 6.9: My 9965 kncm nach LILOBEC [70]: nach QST-FZ [116]: (Dehnungsiteration)

104 9 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Mit dem EDV-Programm QST-FZ [116] können keine Verläufe über die Blechdicke dargestellt werden. Deshalb kann der Verlauf der Spannungsnulllinie nur anhand der Spannungsdurchgänge in Tabelle 6.10 (rechts) ermittelt werden. In Tabelle 6.11 sind die Teilschnittgrößen für die Spannungsverteilung nach Tabelle 6.10 (links) gemäß LILOBEC [70] zusammengestellt. Analog zu Abschnitt ergeben sich wegen der Neigung der Spannungsnulllinie lokale Schnittgrößen in den Teilquerschnitten (NW-St II). Die Bedingung M = 0 wird eingehalten, da sich die lokalen Wölbbimomente bei Vernachlässigung von numerischen Abweichungen gegenseitig aufheben. Tabelle 6.11 Teilschnittgrößen für das Beispiel in Tabelle 6.10 N [kn] M [kncm] M bl [kncm] M,lokal [kncm²] Obergurt 533,8 1499,9 9,3 69, Steg 350,4 75,8,1 17 Untergurt 533,7 1499,7 11,6 87,8 Wie im Abschnitt sind die lokalen Wölbbimomente gering. Die Spannungsnulllinie hat auch im Fall M,lokal 0 einen gekrümmten Verlauf. Bei der in diesem Abschnitt gezeigten ingenieurmäßigen Lösung ergeben sich keine Torsionsschnittgrößen und keine Verdrehungen. Mit den numerischen Untersuchungen in Abschnitt 8.. kann gezeigt werden, dass sich ein frei verformbarer Querschnitt bei zweiachsiger Biegung mit Normalkraft nach Überschreitung der elastischen Tragfähigkeit um die x-achse verdreht. Dieser Fall wird in Abschnitt näher betrachtet Schnittgrößen N, M y, M z und M Im folgenden Abschnitt werden alle -Schnittgrößen berücksichtigt. Somit können alle in Bild 6.1 dargestellten Teilschnittgrößen auftreten. Die Gleichgewichtsbedingungen führen zu den folgenden Beziehungen: N Nu Nw No (6.44) h tf h tf My Nu No Mu,bl Mw Mo,bl (6.45) Mz Mu Mw,bl Mo (6.46) h tf h tf M Mu Mo M,u M,w M,o (6.47) Die Herleitung für das ingenieurmäßige Modell entspricht der Vorgehensweise in Abschnitt Für den Verlauf der Spannungsnulllinie gilt, dass diese die Teilquerschnitte nur horizontal oder vertikal schneidet. Somit ergibt sich: M M M 0 (6.48),u,w,o

105 6.3 Schnittgrößenkombinationen 93 Im ersten Schritt werden die Schnittgrößen M z und M berücksichtigt und die Teilschnittgrößen M o und M u bestimmt. In Bild 6.3 ist die daraus resultierende unsymmetrische Spannungsverteilung an den Enden der Gurte dargestellt. Die Vorzeichen der Schnittgrößen sind zu berücksichtigen. Bild 6.3 Spannungsverteilungen infolge von M z und M Für das Profil ergeben sich bei positiven Vorzeichen die in Bild 6.33 dargestellten Restquerschnitte. Dabei gilt Fall A als Standardfall, während die Fälle B und C Sonderfälle sind. Bei diesem Ingenieurmodell wird für den Fall B und den Fall C der Querschnitt gedanklich in der Stegmitte geteilt und die Aufnahme der Schnittgrößen M z und M für beide Teile untersucht. Bild 6.33 Restquerschnitte für N und M y infolge M z und M mit positiven Vorzeichen Zur Vereinfachung der nachfolgenden Schritte wird die Schnittgröße M nur auf die Gurte aufgeteilt. Somit ist für die Herleitung die Bedingung f M tf b tw f h t 4 y (6.49) einzuhalten. Die alleinige Beanspruchung infolge M darf nur so groß sein, solange eine Aufnahme durch die Gurte bis Außenkante Steg möglich ist. Bei den meisten

106 94 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Profilen ergibt sich aus Gl. (6.49) eine Grenze von ca. M /M pl, = 0,95. Mithilfe von Tabelle 6.1 können die Nachweise für M z und M erfolgen und die reduzierten Querschnittsabmessungen jeweils für Ober- und Untergurt (Index o und u ) bestimmt werden. Somit ergibt sich auch die Einstufung in die Fälle A bis C. Tabelle 6.1 Nachweisebedingungen für M z und M sowie Bestimmung der reduzierten Querschnittsabmessungen Mz M t h t 4 f b tw fy f b Mz M o/u f y 4 h tf red b t f tf Mz M M pl,z b tw fy 4 h t f zusätzlich: M Vorzeichen der Schnittgrößen beachten! Mpl,z M z M h red tw,o/u f y h tf Der zweite Schritt der Nachweisführung erfolgt vergleichbar zu der N-M y -Interaktion. Die Restquerschnitte in Bild 6.33 werden für die Schnittgrößen N und M y untersucht. Wegen der fehlenden Symmetrie im Vergleich zur N-M y -Interaktion sind die Fälle Spannungsnulllinie im Obergurt und Spannungsnulllinie im Untergurt getrennt zu berücksichtigen. Abhängig von der Schnittgrößenkombination kann der Querschnitt im Grenzzustand unter Umständen nicht mehr vollständig durchplastizieren. Anschaulich wird dies für die ingenieurmäßige Annahme der Querschnittsaufteilung in Bild 6.34 (links). Infolge M z und M ergibt sich ein einfachsymmetrischer Restquerschnitt. Die Normalkraft N greift im Schwerpunkt an. Somit können nur symmetrische Querschnittsanteile beansprucht werden. Teile des Querschnitts kann man nicht ausnutzen ( x = 0). Bei einer Dehnungsiteration ergeben sich Querschnittsteile, die nicht die Streckgrenze erreichen ( x f y ). Im Unterschied dazu ist im Fall Bild 6.34 (rechts) durch M y ein vollständiges Durchplastizieren möglich. Wegen der Vorzeichen ergeben sich für den Nachweis von M y jeweils eine obere und eine untere Grenze. Anschaulich wird dies bei dem in Bild 6.34 (links) dargestellten Beispiel. Im Fall N > 0 (Zug) kann kein zusätzliches positives Moment aufgenommen werden, da die gezogenen Anteile im verbleibenden Untergurt schon voll ausgelastet sind. Falls jedoch N < 0 (Druck) auftritt, kann das Profil durch ein zusätzliches positives Moment beansprucht werden, da der Untergurt entlastet wird und im Obergurt Reserven vorliegen. Es ist der Doppelnachweis analog zu [43] und [45] erforderlich. min My My max My (6.50)

107 6.3 Schnittgrößenkombinationen 95 Bild 6.34 Ingenieurmäßige Annahme der Aufteilungen des Querschnitts für die Schnittgrößenkombinationen N-M z -M und M y -M z -M im Grenzzustand Wie im Abschnitt ist wegen der Lage der Spannungsnulllinie in Obergurt, Steg oder Untergurt ein Teil der Teilschnittgrößen unmittelbar bestimmbar. Die verbleibenden Teilschnittgrößen erhält man mit den Gleichgewichtsbeziehungen und der Untersuchung von Grenzzuständen im Rahmen einer Optimierung. Zur Ermittlung der horizontalen Lage der Spannungsnulllinie für die Schnittgrößen N und M y werden Grenzbedingungen berücksichtigt. So gilt z. B. im Fall max M y mit Spannungsnulllinie im Obergurt: Ngr,o No Ngr,o (6.51) In Tabelle 6.13 sind die Gleichungen zur Bestimmung von min M y und max M y mit den zugehörigen Bedingungen zusammengefasst. Der Index gr steht für Grenzlast. Tabelle 6.13 Bestimmung von max M y und min M y Restquerschnitt Bedingung max M y = für N und M y h t Ngr Ngr,o N N f gr SNL im Obergurt N N N M h t Ngr Ngr,u N Ngr N f gr,o SNL im Steg Ngr,u Ngr,o Mw gr gr gr,u gr,u gr,w o,bl h tf N N N M N N N N SNL im Untergurt gr,w gr,o u,bl Restquerschnitt Bedingung min M y = für N und M y h t Ngr Ngr,u N N f gr SNL im Untergurt N N N M h t Ngr Ngr,o N Ngr N f gr,u SNL im Steg Ngr,u Ngr,o Mw gr gr gr,o gr,o gr,w u,bl h tf N N N M N N N N SNL im Obergurt gr,w gr,u o,bl

108 96 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Tabelle 6.14 Rechenwerte zur Bestimmung von max M y und min M y in Tabelle 6.13 Rechenwerte: red b o, red b u, red t w,o und red t w,u aus Tabelle 6.1 Standardfall A: Ngr,o red bo tf fy Ngr,w tw hw fy Ngr,u red bu tf fy N min red t,red t h f Sonderfälle B und C: gr,w w,o w,u w y N red b bzw. red t t f gr,o o w,o f y Ngr Ngr,o Ngr,w N gr,u N N gr,w Ngr,u tf Mo,bl 1 N gr,o Ngr,o 4 N N gr,o Ngr,u hw Mw 1 N gr,w Ngr,w 4 N red b bzw. red t t f gr,u u w,u f y N N gr,w Ngr,o tf Mu,bl 1 N gr,u Ngr,u 4 Ein Beispiel für eine N-M y -M z -M -Interaktion ist in Tabelle 6.15 enthalten. Die Berechnung erfolgt mit QST-FZ [116] und LILOBEC [70]. Die Faktoren für die Schnittgrößen nach QST-FZ [116] und LILOBEC [70] stimmen gut überein. Der Verlauf der Spannungsnulllinie ist gekrümmt. Tabelle 6.15 Beispiel für N-M y -M z -M -Interaktion Schweißprofil N = 500 kn f y = 3,5 kn/cm² M z = 3000 kncm M = 7000 kncm² nach Gl. (6.49) M = 7000 kncm² < kncm² nach Tabelle 6.1: red b o = 13,01 cm red b u = 5,05 cm nach Tabelle 6.13: max M y = 0094 kncm (SNL im Steg) min M y = 4070 kncm (SNL im Steg) nach QST-FZ [116]: (Dehnungsiteration) nach LILOBEC [70]: 1,008 max M y 1,0070 min M y

109 6.3 Schnittgrößenkombinationen 97 In Bild 6.35 ist die zugehörige Grenzkurve der N-M y -Interaktion des einfachsymmetrischen Restquerschnitts (vgl. Bild 6.33 Fall A) nach Tabelle 6.1, Tabelle 6.13 und Tabelle 6.14 dargestellt. Für den Fall N/N pl = 0,177 gemäß dem Beispiel in Tabelle 6.15 sind die entsprechenden Lösungen max M y und min M y eingetragen. Die Interaktionskurve ist punktsymmetrisch und nicht achsensymmetrisch. Zur Aufnahme der Schnittgrößen N und M y muss der Bemessungspunkt auf der Interaktionskurve oder innerhalb der umschlossenen Fläche liegen. Die Beträge min M y und max M y sind von der vorhandenen Normalkraft abhängig. Somit ist der Doppelnachweis gemäß Gl. (6.50) unter Berücksichtigung der Vorzeichen für das Beispiel in Tabelle 6.15 erforderlich. Bild 6.35 Erläuterung des Doppelnachweises min M y M y max M y Beim Vergleich der Spannungsverteilungen in den Teilquerschnitten nach Tabelle 6.15 mit Tabelle 4.4 ist erkennbar, dass sich lokale Wölbbimomente ergeben (NW-St II). Eine ausführliche Erläuterung erfolgt in den Abschnitten und 6.3.6, weshalb an dieser Stelle nicht weiter darauf eingegangen wird. Weiterhin gibt es die Möglichkeit, dass sich die Schnittgröße M wegen Plastizierung im baustatischen System umlagert. Das Wölbbimoment kann, wie z. B. in Abschnitt und Abschnitt 8.. beschrieben, in einem System entstehen. Es ist aber auch möglich, dass die Schnittgröße M abgebaut wird, s. z. B. Abschnitt 8..3 und [57]. Die Erfassung dieser Effekte erfordert die Untersuchung baustatischer Systeme unter Berücksichtigung der Fließzonentheorie.

110 98 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Sonderfall Schnittgrößen N, M y und M z mit unplanmäßiger Torsion Im Unterschied zu Abschnitt wird für die nachfolgenden Untersuchungen die Bedingung M = 0 aufgegeben, d. h. aus der Spannungsverteilung darf sich eine Schnittgröße M ergeben. Somit ergibt sich ein Sonderfall der N-M y -M z -M -Interaktion. Der Querschnitt kann vollständig durchplastizieren, wenn man zu den vorliegenden Schnittgrößen N, M y und M z ein entsprechend großes Wölbbimoment M hinzufügt. Die nachfolgenden Betrachtungen gehören somit zur NW-St II gemäß Abschnitt.6. Es ergibt sich eine größere Tragfähigkeit als nach Abschnitt Für diesen Sonderfall sind in der Literatur unterschiedliche Sichtweisen zu finden, s. [45] und [96]. Übereinstimmend wird in [36], [59], [84], [99] und [104] angegeben, dass sich im Grenzzustand der Tragfähigkeit im statischen System für den Fall M 0 Torsion und eine Querschnittsverdrehung um die Längsachse ergeben. Grundlegende Annahme ist häufig, dass die Spannungsnulllinie (SNL) die Form einer Geraden hat. Die möglichen Fälle für das Mittellinienmodell (ohne Berücksichtigung der Blechdicke) sind in Bild 6.36 dargestellt. Dies entspricht der bisher angewendeten Vorgehensweise wie z. B. in [97] und [101], wobei die Schnittgröße M nicht berücksichtigt wird. Bild 6.36 Fälle a bis f für den Verlauf der Spannungsnulllinie Dabei entspricht der Fall a der N-M y -Interaktion und der Fall b der N-M z -Interaktion. Für die Fälle c bis f können die Schnittgrößen nach Tabelle 6.16 bestimmt werden. Wegen des Mittellinienmodells in Bild 6.36 werden die Blechbiegemomente nicht berücksichtigt. Bei der Umstellung der Gleichungen in Tabelle 6.16 ergeben sich umfangreiche Lösungen. Für den Fall d ist die Lösung nicht direkt bestimmbar. Es ist eine Iteration erforderlich. Aus den Spannungsverteilungen nach Tabelle 6.16 ergeben sich Wölbbimomente M. In Bild 6.37 ist für ein Beispiel M /M pl, dargestellt unter der Bedingung, dass der Querschnitt vollständig durchplastiziert ist. Der Wert für M /M pl, ist abhängig von den vorliegenden Schnittgrößen. Es fällt auf, dass bei M y /M pl,y = 0,6 und M y /M pl,y = 0,8 M /M pl, nach anfänglicher Zunahme das Wölbbimoment wieder abnimmt. Grund dafür ist eine Annäherung an den Fall a in Bild 6.36, bei dem sich kleinere Werte für M /M pl, ergeben.

111 6.3 Schnittgrößenkombinationen 99 Tabelle 6.16 Schnittgrößen N, M y und M z aus Spannungsverteilung der Fälle c bis f nach dem Mittellinienmodell pl N N b d e f M t e d a f y f f y M t e b e d b d f z f y y N t e d b c t f f w y h w M t e d a t c f 4 y f f w y M t e b e d b d f z f y N d t c t f f w y c M M d t a t t f y pl,y f f f w y M d t b d f z f y N N t b d f pl f y M t b d a f y f f y M d t b d f z f y Bild 6.37 Beispiel für M /M pl bei den Spannungsverteilungen in Tabelle 6.16

112 100 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile In Tabelle 6.17 sind die Bedingungen für die Lösung der N-M y -M z -M -Interaktion mit M 0 nach [59] zusammengefasst. Dabei wird das Mittellinienmodell verwendet. Tabelle 6.17 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen N, M y und M z mit planmäßiger Torsion von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Querschnitten, [59] N pl = A f y N pl,w = t w h w f y M pl,w = N pl,w h w /4 N pl,f = t f b f y M pl,z,f = N pl,f b/ Nachweisbedingung: N N f pl,f Mz + 1 M pl,z,f N f für 0 N N pl,w (kleine Normalkraft): N f = 0 für M y M pl,w N f = (M y M pl,w )/a f für M y > M pl,w mit: = 1 (N/N pl,w ) N f für N pl,w < N N pl (große Normalkraft): N f = (N N pl,w )/ + M y /a f Wenn N f N pl,f ist, kann der Nachweis auch mit N f N Npl,w My 4 af geführt werden. Es geht dann jedoch ein Wölbbimoment M 0 ein und neben der planmäßig zweiachsigen Biegung mit Normalkraft tritt auch Torsion auf. N, M y und M z betragsmäßig einsetzen! Die mit LILOBEC [70] ermittelten Abweichungen, im Vergleich zu den Ergebnissen nach Tabelle 6.17, sind in Bild 6.38 dargestellt. Bild 6.38 Abweichungen bei Nachweisen nach Tabelle 6.17 im Vergleich zu LILOBEC

113 6.3 Schnittgrößenkombinationen 101 Zur Bestimmung der Abweichungen werden die Fälle M y /M pl,y = 0,/0,4/0,6 und 0,8 untersucht. Für jeden Fall von M y /M pl,y erfolgt die Untersuchung von zehn Schnittgrößenvariationen von N und M z. Im Fall große Normalkraft in Tabelle 6.17 wird der Nachweis mit M 0 betrachtet. In Bild 6.38 ist erkennbar, dass die Ergebnisse nach Tabelle 6.17 bis zu 10, % auf der sicheren Seite liegen können. Die größte Abweichung erhält man bei einem Profil ähnlich dem HEAA 650. In Bild 6.39 ist die Verteilung der Abweichungen für diesen Querschnitt dargestellt. Ein Großteil der Ergebnisse nach Tabelle 6.17 liegen weniger als 6 % auf der sicheren Seite. Bild 6.39 Abweichungen bei Nachweisen nach Tabelle 6.17 im Vergleich zu LILOBEC [70] in Abhängigkeit von N/N pl und M y /M pl,y Bei M y /M pl,y = 0,6 ergibt sich der Maximalwert auf der sicheren Seite. Da bei Tabelle 6.17 M 0 nur für den Fall N > N pl,w berücksichtigt wird, erhält man bei einer mittleren Größe von M y /M pl,y die größten Abweichungen im Bereich von N N pl,w. Das nachfolgende Beispiel dient zur Erläuterung. Die Schnittgrößen kann man gemäß Tabelle 6.18 bis zum Erreichen der Grenztragfähigkeit um ca. 10 % vergrößern. Für den Fall N < N pl,w ergibt sich eine Schnittgröße M, die bei Anwendung von Tabelle 6.17 nicht berücksichtigt wird. Tabelle 6.18 Beispiel für eine N-M y -M z -Interaktion mit unplanmäßiger Torsion Schweißprofil ähnlich HEAA 650 (ohne Ausrundungen) N 1700 kn My fy kncm Mz 3,5 kn cm 8100 kncm Nachweis mit Tabelle 6.17: LILOBEC [70]: INCA [38]: Faktor 1,000 1,108 1,103 Anmerkung N Npl,w 177 kn M kncm

114 10 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Für den Fall M y /M pl,y = 0, und N/N pl = 0 liegen gemäß Bild 6.39 die Ergebnisse nach Tabelle 6.17 auf der sicheren Seite, weil man beim verwendeten Mittellinienmodell die Blechbiegung im Steg vernachlässigt. Durch die Vernachlässigung der Blechbiegung im Steg können die Ergebnisse für alle betrachteten Querschnitte bis zu 6 % (beim Profil ähnlich HEAA 1000) auf der sicheren Seite liegen, wenn nur M z vorliegt. Für das Profil ähnlich dem HEAA 650 liegt dieser Einfluss im Fall N = M y = 0 bei ca. 3 %. Die Abweichungen bei Anwendung der Lösung in [97] im Vergleich zu LILOBEC [70] sind in Bild 6.40 dargestellt. Bild 6.40 Abweichungen bei Nachweisen nach [97] Für den Fall d in Bild 6.36 verwendet man in [97] eine Näherung. Da die untersuchten Querschnitte keine Ausrundungen besitzen, wird die Steghöhe (in [97] mit h t f angegeben), in Bild 6.40 mit h t f berücksichtigt. Die Ergebnisse liegen zwischen 4,8 % auf der sicheren Seite und 0,4 % auf der unsicheren Seite. Wegen der Verwendung des Mittellinienmodells in [97] und der somit fehlenden Blechbiegung im Steg ergeben sich die Abweichungen auf der sicheren Seite. Für die in DIN [14] angegebene Interaktionsbeziehung liegen die Abweichungen bei den untersuchten Schnittgrößenvariationen immer auf der sicheren Seite (bis zu,9 %). Bei Anwendung der Interaktionsbeziehungen gemäß DIN EN [15] liegen die Ergebnisse zwischen 11,7 % auf der sicheren und 5,6 % auf der unsicheren Seite. Für die Bestimmung der Abweichungen müssen alle Schnittgrößen in relevanter Größe auftreten. Bei einer reinen N-M y -Interaktion und einer reinen N-M z -Interaktion ergeben sich gemäß Abschnitt und Abschnitt teilweise größere Abweichungen.

115 6.3 Schnittgrößenkombinationen Gleichzeitige Wirkung von - und -Schnittgrößen In den folgenden Ausführungen werden -Schnittgrößenkombinationen aus den vorangegangenen Abschnitten unter Berücksichtigung von -Schnittgrößen behandelt. Die gleichzeitige Wirkung von Normal- und Schubspannungen wird u. a. in [10], [17], [30], [3], [34], [35], [60], [8] und [90] untersucht. In [43] und [114] sind umfangreiche Übersichten über die unterschiedlichen Modelle enthalten. Die Anwendung für computerorientierte Lösungen wird z. B. in [41] und [43] näher betrachtet. Schnittgrößen V y, V z, M xp und M xs (-Schnittgrößen) Aus Querkräften und Torsionsmomenten ergeben sich Schubspannungen im Querschnitt. Diese sind bei der Bestimmung der Tragfähigkeit zu berücksichtigen. Gemäß Abschnitt gilt dabei die Annahme konstanter Schubspannungen in jedem Teilquerschnitt. Da als Grundlage das Fließkriterium angenommen wird, kann man eine reduzierte Streckgrenze red f y infolge von Schubbeanspruchungen nach Gl. (3.9) ermitteln. Der Querschnitt wird gemäß Bild 6.1 in drei Teilquerschnitte unterteilt. Das Gleichgewicht zwischen Schnittgrößen und Teilschnittgrößen ist in Bild 6.41 dargestellt. Bild 6.41 Schnittgrößen V y, V z, M xp und M xs sowie örtliche Schnittgrößen in den Teilquerschnitten, [54] Jeder Teilquerschnitt wird durch eine örtliche Querkraft und ein örtliches Torsionsmoment beansprucht. Durch die Gleichgewichtsbeziehungen kann man die Teilschnittgrößen in Bild 6.41 bestimmen. Somit ergeben sich wie in [54]: V V o w Vy Mxs h t z f (6.5) V (6.53)

116 104 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile V u Vy Mxs h t f (6.54) Die Verteilung der Schnittgröße M xp erfolgt nach dem Walmdachmodell in den Gurten und dem Streifenmodell im Steg im Verhältnis zu M pl,xp (nach Gl. (6.6)). Aus den Untersuchungen in Abschnitt 6..3 und Abschnitt 8..3 wird deutlich, dass im Bereich des Steges das Streifenmodell das Tragverhalten besser berücksichtigt (keine horizontalen Schubspannungen im Steg) als das Walmdachmodell. Es folgt: t 3 b tf Mxp,o Mxp,u Mxp 3 t 3 b t h t f f f w w (6.55) Mxp,w Mxp Mxp,o Mxp,u (6.56) Mit den Gln. (6.5) bis (6.56) sind die Teilschnittgrößen bekannt und die Schubspannungen / R können mit dem Hohlzellenmodell (s. Bild 4.6) unter Verwendung von Gl. (4.37) bestimmt werden. In Tabelle 6.19 sind die Nachweisbedingungen zusammengestellt. Tabelle 6.19 Nachweisbedingungen für die -Schnittgrößen V y, V z, M xp und M xs doppeltsymmetrischer geschweißter I-Querschnitte Vorzeichen der Schnittgrößen beachten! Rechenwerte: Nachweisbedingungen für die Schubspannungen: Jeweils für Steg, Ober- und Untergurt (i = o, w, u): i Mxp,i Mxp,i V i f,i 1 R M pl,xp,i M pl,xp,i V pl,i mit V V V V M y xs pl,xp,o o Mxp,o Mxp h t M f pl,xp w V V z M M xp,w M M Mxp M pl,xp,w pl,xp y xs pl,xp,u u Mxp,u Mxp h t M f pl,xp für b/t f 5 und h w /t w 5: R f y 3 M pl,xp Mpl,xp,o Mpl,xp,w Mpl,xp,u f,o f,u 1 0,14 tf b Vpl,o Vpl,u b tf R M M t 3 b t 1 6 M pl,xp,o pl,xp,u R f f f,w 1 0,14 tw hw Vpl,w hw tw 1 R M t h 4 pl,xp,w R w w

117 6.3 Schnittgrößenkombinationen 105 Für die folgenden Betrachtungen wird der Einfluss der Schubspannungen unter Anwendung des Fließkriteriums berücksichtigt und die Streckgrenze für jeden Teilquerschnitt nach Gl. (6.57) entsprechend reduziert (Grenzspannung mit dem Index gr ). i gr,i red fy,i fy 1 R (6.57) In DIN EN [15] erfolgt die Berücksichtigung der Schubspannungen auf Normalkräfte und Biegemomente mithilfe des Abminderungsfaktors. Beide Bedingungen sind in Bild 6.4 dargestellt. Gemäß DIN EN [15] werden Schubspannungen erst ab / R > 0,5 berücksichtigt. Die maximale Differenz zwischen dem Fließkriterium und dem Abminderungsfaktor ergibt sich für / R = 0,6, s. Bild 6.4. Bild 6.4 Ermittlung reduzierter Streckgrenzen in Abhängigkeit von / R Vergleichbar zu DIN EN [15] werden auch in DIN [14] teilweise Grenzwerte angegeben, bis zu denen die Schubspannungen vernachlässigt werden können, s. Tabelle 6.0. Tabelle 6.0 Grenzwerte für die Vernachlässigung von -Schnittgrößen in DIN [14] und DIN EN [15] DIN [14] DIN EN [15] Interaktion N-M y -V z N-M z -V y Biegung, Querkraft und Normalkraft Grenzwert Vz Vpl,z 0,33 Vy Vpl,y 0,5 V Vpl 0,5

118 106 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Schnittgrößen N, M y, M z und M -Schnittgrößen Mit Kenntnis der Grenzspannungen gr,i in jedem Teilquerschnitt nach Gl. (6.57) folgt die Betrachtung der -Schnittgrößen N, M y, M z und M. Dazu wird die Lösung aus Abschnitt modifiziert, indem man die Streckgrenze f y durch gr,i nach Gl. (6.57) im entsprechenden Teilquerschnitt ersetzt. Analog zu Abschnitt erfolgt der Nachweis in zwei Schritten. Dabei werden in einem ersten Schritt die Aufnahme der Schnittgrößen M z und M gemäß Tabelle 6.1 überprüft und die reduzierten Querschnittsabmessungen bestimmt. Dieser Schritt ist getrennt für den Obergurt (Index o ) und den Untergurt (Index u ) zu führen. Tabelle 6.1 Nachweisbedingungen für die -Schnittgrößen M z und M sowie Bestimmung der reduzierten Querschnittsabmessungen f t M f pl,z, b t w gr,o/u und Mz M h t 4 b Mz M o/u f gr,o/u 4 h tf red b t Vorzeichen der Schnittgrößen beachten! tf Mz M M pl,z, b t w gr,o/u und 4 h t M und b tw t h t 4 red t w,o/u f gr,o/u f Mpl,z, Mz M h t hw t gr,w f gr,o/u f f Rechenwerte: tw M t min, h 4 b gr,o/u fy 1 o/u R gr,w y w R pl,z, f gr,o gr,u w gr,w f 1 Index o/u - jeweils für Ober- und Untergurt Im zweiten Schritt wird die Aufnahme der Schnittgrößen N und M y mithilfe der Doppelbedingung nach Gl. (6.58) nachgewiesen. min My My max My (6.58) Die Bestimmungsgleichungen für min M y und max M y in Abhängigkeit der Gültigkeitsbereiche der einzelnen Fälle sind in Tabelle 6. (entspricht Tabelle 6.13 in Abschnitt 6.3.7) enthalten. Mit Tabelle 6.3 können die für Tabelle 6. erforderlichen Rechenwerte N gr,o, N gr,w und N gr,u bestimmt werden.

119 6.3 Schnittgrößenkombinationen 107 Tabelle 6. Bestimmung von max M y und min M y Restquerschnitt Bedingung max M y = für N und M y h t Ngr Ngr,o N N f gr SNL im Obergurt N N N M h t Ngr Ngr,u N Ngr N f gr,o SNL im Steg Ngr,u Ngr,o Mw gr gr gr,u gr,u gr,w o,bl h tf N N N M N N N N SNL im Untergurt gr,w gr,o u,bl Restquerschnitt Bedingung min M y = für N und M y h t Ngr Ngr,u N N f gr SNL im Untergurt N N N M h t Ngr Ngr,o N Ngr N f gr,u SNL im Steg Ngr,u Ngr,o Mw gr gr gr,o gr,o gr,w u,bl h tf N N N M N N N N SNL im Obergurt gr,w gr,u o,bl Tabelle 6.3 Rechenwerte zur Bestimmung von max M y und min M y von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Querschnitten Rechenwerte: red b o, red b u, red t w,o und red t w,u aus Tabelle 6.1 Standardfall A: Ngr,o red bo tf gr,o Ngr,w tw hw gr,w Ngr,u red bu tf gr,u Sonderfälle B und C: N red b bzw. red t t gr,o o w,o f gr,o N min red t,red t h gr,w w,o w,u w gr,w N red b bzw. red t t gr,u u w,u f gr,u Ngr Ngr,o Ngr,w N gr,u N N gr,w Ngr,u tf Mo,bl 1 N gr,o Ngr,o 4 N N gr,o Ngr,u hw Mw 1 N gr,w Ngr,w 4 N N gr,w Ngr,o tf Mu,bl 1 N gr,u Ngr,u 4

120 108 6 Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Nachweise von - und -Schnittgrößen für Standardfälle Für die häufig vorkommenden Schnittgrößenkombinationen N-M y -V z und N-M z -V y und M y -M z -V z -V y werden die Nachweisbedingungen nachfolgend zusammengestellt. Als Grundlage dienen die Lösungen aus den Abschnitten 6.3.3, und Die Berücksichtigung der Schnittgrößen V z und V y erfolgt durch die Reduzierung der Streckgrenzen gr,w (durch V z ) und gr,f (durch V y ) in den entsprechenden Teilquerschnitten. Tabelle 6.4 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen N, M y und V z von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Querschnitten Querkraft Vz Vpl,z hw tw fy 3 N N pl,w, M N y Mpl,y, 4 tw gr,w N N N pl,w, pl, h Npl, N My Npl, N 4 b fy Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! w pl,y, f f y w gr,w h gr,w fy 1 Vz Vpl,z M t b h t f t 4 Npl,w, hw t w gr,w N t b f t h pl, f y w w gr,w Tabelle 6.5 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen N, M z und V y von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Querschnitten Querkraft Vy Vpl,y b tf fy 3 N Npl,w,h, M z Mpl,z, Npl,w,h N Npl, N 4 N t pl,w,h b N Mz Npl, N 8 t w pl, f N gr,f Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! b tw pl,z, f gr,f w y gr,f fy 1 Vy Vpl,y M t h f 4 Npl,w,h, hw tw fy tf tw gr,f N pl, tf b gr,f tw hw fy

121 6.3 Schnittgrößenkombinationen 109 Tabelle 6.6 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen M y, M z, V y und V z von doppeltsymmetrischen geschweißten I-Querschnitten Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! Rechenwerte: Querkräfte Vz Vpl,z hw tw fy 3 Vy Vpl,y b tf fy 3 f z w gr,f M b t t w y f f gr,f w gr,w h M t red b h t t 4 M z mit red b b 1 t b t b t M M f gr,f f w gr,f z pl,z, h M red t w t h t 4 y w gr,w f f gr,f mit red t gr,w fy 1 Vz Vpl,z gr,f fy 1 Vy Vpl,y w h M pl,z, M z t w gr,w f gr,f b tw M t h 4 pl,z, f gr,f w gr,w

122 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile 7.1 Vorbemerkungen In den folgenden Abschnitten werden Gleichungen zur Bestimmung von Grenzschnittgrößen und Interaktionsbeziehungen für verschiedene Schnittgrößen von doppeltsymmetrischen gewalzten I-Profilen formuliert. Für die Grenzschnittgrößen M pl,xp und M pl, sind die Ergebnisse in Tabellenform zusammengefasst. Die Abweichungen der einzelnen Interaktionsbeziehungen gemäß TSV-plus, DIN [14] und DIN EN [15] werden mit LILOBEC [70] bestimmt. 7. Grenzschnittgrößen 7..1 Grundlagen Walzprofile sind die typischen Querschnitte im Stahlbau. Durch den Fertigungsprozess entstehen Ausrundungen im Übergang zwischen Gurt und Steg. Verschiedene Ansätze zur Berücksichtigung der Ausrundungen sind in Bild 7.1 zusammengestellt. Bild 7.1 Modelle zur Berücksichtigung von Ausrundungen Beim häufig verwendeten Überlappungsmodell wird der Steg gedanklich bis zur Gurtmitte verlängert. Für die Profilreihen IPE, HEAA, HEA und HEB liegt das Überlappungsmodell bei den Grenzschnittgrößen N pl, M pl,y und M pl,z auf der sicheren Seite. Bei der Profilreihe HEM ergeben sich Grenzschnittgrößen mit bis zu,6 % auf der unsicheren Seite. Lösungen für die Anwendung des Ersatzflächenmodells finden sich z. B. in [49], [53], [56] und [58]. Dabei ist es üblich, die Ausrundungen durch flächengleiche Ersatzquerschnitte abzubilden. Weiterhin wird in [47] und [119]

123 7. Grenzschnittgrößen 111 versucht durch Modifikation der Geometrie den Einfluss der Ausrundungen zu berücksichtigen. 7.. Plastische Grenzschnittgrößen N pl, M pl,y, M pl,z, V pl,z und V pl,y Eine genauere Ermittlung der plastischen Grenzschnittgrößen für gewalzte I-Querschnitte unter Berücksichtigung der Ausrundungen ist in vielen Fällen sinnvoll. In Bild 7. wird der Flächenanteil der Ausrundungen an der Gesamtfläche verschiedener Walzprofilreihen dargestellt. Je nach Querschnitt beträgt der Anteil der Ausrundungen A r zwischen 1,5 % und 7,9 % der Gesamtfläche. Bild 7. Verhältnis der Ausrundungsflächen zur Gesamtfläche nach [55] Analog zu Abschnitt 6.. müssen bei der Bestimmung einer Grenzschnittgröße alle anderen Schnittgrößen gleich null sein. Die Grenzschnittgrößen unter Berücksichtigung der Ausrundungen können bei Verwendung von Tabelle 7.1 bestimmt werden. Tabelle 7.1 Plastische Grenzschnittgrößen für gewalzte I-Querschnitte, [55] N pl A f y h tf h M A (h t ) A 4 A t 0,3 r f 4 pl,y f f w r f y V A A (t r) t f 3 pl,z f w f y b tw tw M A A 4 A 0,3 r f 4 pl,z f w r y Vpl,y Af fy 3 M pl,xp nach Gl. (6.6) pl, M V h t pl,xs pl,y f M, s. Tabelle 7.4 Rechenwerte: Af tf b Ar 0,15 r Aw t w (h t f ) tw hw A Af Aw 4 Ar

124 11 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile In Bild 7.3 sind die in Tabelle 7.1 berücksichtigten Schubflächen für die Grenzschnittgrößen V pl,z und V pl,y dargestellt. Bild 7.3 Wirksame Schubflächen von V pl,z ([15]) und V pl,y in Tabelle 7.1 Angaben für die Ermittlung von M pl, und M pl,xp werden in den nachfolgenden Abschnitten angegeben. In Bild 7.4 sind die Vergrößerungsfaktoren für die Grenzschnittgrößen M pl,y und M pl,z beim Vergleich der Querschnitte mit (s. Tabelle 7.1) und ohne Ausrundung (s. Tabelle 6.) dargestellt. Unter Berücksichtigung der Ausrundungen erhält man für M pl,y eine bis zu 8,6 % höhere Tragfähigkeit. Bei M pl,z ergibt sich eine Erhöhung von bis zu,1 %. Bild 7.4 Erhöhung von M pl,y und M pl,z unter Berücksichtigung der Ausrundungen

125 7. Grenzschnittgrößen Plastische Grenzschnittgröße M pl,xp Die Bestimmung von M pl,xp für doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile kann mithilfe der plastischen Spannungsfunktion pl erfolgen, die in Abschnitt 4.. ausführlich vorgestellt wird. Da im Folgenden besonders die Berücksichtigung der Ausrundungen im Vordergrund steht, kommt die in Abschnitt 4.. vorgestellte Nadai sche Sandhügelanalogie zur Anwendung. Weitere Erläuterungen zur Sandhügelanalogie für die Anwendung bei doppeltsymmetrischen I-Querschnitten sind in Abschnitt 6..3 enthalten. In Bild 7.5 ist ein Beispiel für den Nadai schen Sandhügel unter Berücksichtigung der Ausrundungen dargestellt. Anhand der Höhenlinien in Bild 7.6 wird deutlich, dass sich im Übergangsbereich zwischen Gurt und Steg eine Erhöhung des Sandhügels ergibt. Bild 7.5 Nadai scher Sandhügel auf der Querschnittfläche eines gewalzten I-Profils Bild 7.6 Detail des Nadai schen Sandhügels im Übergang zwischen Gurt und Steg

126 114 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Die Bestimmung von M pl,xp erfolgt durch Gl. (4.7). Das Volumen des Sandhügels kann man mit [91] ermitteln. Dazu wird auf der Querschnittsfläche des Profils von den Rändern ausgehend ein Dach mit einem Winkel von 45 errichtet, s. z. B. Bild 4.7. In Tabelle 7. sind die Ergebnisse der Berechnung der Grenzschnittgröße M pl,xp mit der Nadai schen Sandhügelanalogie zusammengefasst. Tabelle 7. Grenzschnittgröße M pl,xp [knm] nach Nadai scher Sandhügelanalogie für f y = 3,5 kn/cm² IPE M pl,xp HEAA M pl,xp HEA M pl,xp HEB M pl,xp HEM M pl,xp 80 0, , , , , , , ,395 10, , , , , , , 140 0, , , , , , ,91 180, , , ,08 00, , , , , ,10 0 4,86 0 9, ,87 0 1, , , , ,60 40, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,61

127 7. Grenzschnittgrößen 115 Eine Vergleichsrechnung unter Verwendung einer FE-Formulierung in [8] für das Profil HEM 300 ist in Bild 7.7 dargestellt. Dabei wird M pl,xp,hem 300 (nach Umrechnung der Streckgrenze) mit 74,41 knm angegeben. Nach Tabelle 7. erhält man: M pl,xp,hem 300 = 75,06 knm. Es wird angenommen, dass sich die Abweichung von ca. 0,9 % wegen der nicht vollständigen Plastizierung im Bereich des Grates ergibt. Es verbleibt ein kleiner elastischer Rest, s. Bild 7.7. Bild 7.7 Schubspannungen im vollplastischen Zustand nach [8] In [] wird das Volumen des Sandhügels für die Profilreihen IPE, HEA, HEB und HEM bestimmt. Die Abweichungen zwischen Tabelle 7. und [] sind in Bild 7.8 dargestellt. Auffällig ist die Abweichung von 3,7 % für den Querschnitt HEM 180 in []. Der Autor vermutet hierbei einen Schreibfehler, da die in [] zusätzlich angegebenen Diagramme ein anderes Ergebnis zeigen. Bild 7.8 Abweichungen für M pl,xp aus [] zu Tabelle 7. Unter Berücksichtigung der Ausrundungen ergibt sich eine Erhöhung der Grenzschnittgröße von bis zu 31 % im Vergleich zu Gl. (6.4), s. Bild 7.9. Die maximale Erhöhung erhält man beim Profil HEAA 100, da die Ausrundungen in Bild 7. den größten Flächenanteil besitzen.

128 116 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Bild 7.9 Erhöhung von M pl,xp aus Tabelle 7. gegenüber Gl. (6.4) Bei Anwendung der plastischen Grenzschnittgröße M pl,xp nach Tabelle 7. bleibt die Querschnittsform nicht erhalten. Auf der sicheren Seite liegend wird zur Bestimmung von M pl,xp bei doppeltsymmetrischen gewalzten I-Profilen die Verwendung von Gl. (6.6) in Abschnitt 6..3 empfohlen Plastische Grenzschnittgröße M pl, Für die Bestimmung von M pl, sind bei Walzprofilen im Vergleich zu Abschnitt 6..4 die Ausrundungen zu berücksichtigen. In Tabelle 7.4 werden die Ergebnisse nach LILOBEC [70] zusammengefasst. Der Vergleich der Werte in Tabelle 7.4 (r 0) mit Gl. (6.10) (r = 0) ist in Bild 7.10 dargestellt. Bild 7.10 M pl, mit r 0 (Tabelle 7.4) im Vergleich zu M pl, mit r = 0 nach Gl. (6.7)

129 7. Grenzschnittgrößen 117 Die Ergebnisse nach Gl. (6.10) liegen teilweise auf der unsicheren Seite (Faktor < 1). Gemäß den numerischen Untersuchungen in [63] folgt: max r 0 max r 0 (7.1) Die Ausrundungen bewirken eine Versteifung des Querschnitts. Die maximale Wölbordinate verringert sich. Somit erhält man bei einer Integration eine kleinere Grenzschnittgröße M pl,. Die zusätzlichen Flächen durch die Ausrundungen können diesen Effekt teilweise ausgleichen (Faktor > 1 in Bild 7.10). In Tabelle 7.3 ist ein Beispiel enthalten. Tabelle 7.3 Beispiel für Einfluss der Ausrundungen auf M pl, HEM 100 (r = 0) HEM 100 (r 0) M,f,i 3300 kncm M,f,i 336 kncm M,r,i 33 kncm Durch die Versteifung verringert sich die Teilschnittgröße M,f,i für den Fall r 0. Die Teilschnittgröße M,r,i kann in diesem Beispiel diesen Effekte nicht ausgleichen. Bei Anwendung des Mittellinienmodells nach Gl. (6.7) liegen die Ergebnisse für M pl, stets auf der sicheren Seite, s. Bild Bild 7.11 M pl, mit r 0 (Tabelle 7.4) im Vergleich zu M pl, nach Mittellinienmodell

130 118 Tabelle 7.4 Grenzschnittgröße M pl, [knm²] für f y = 3,5 kn/cm² 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile IPE M pl, HEAA M pl, HEA M pl, HEB M pl, HEM M pl, 80 0, , , , , , , , ,018 10, , , , , , , , , , , , ,90 180, , , , , , , , , , ,57 0 9, ,75 0 1, , , , , , , , , ,4 70, , , , , , , , , , , ,0 30 4,7 30 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7

131 7.3 Schnittgrößenkombinationen Schnittgrößenkombinationen Vorbemerkungen Bei der Bestimmung von Interaktionsbeziehungen für Walzprofile wurden die Ausrundungen bisher vernachlässigt oder mit groben Näherungen berücksichtigt, s. z. B. [43] und [97]. In den folgenden Abschnitten werden unterschiedliche Schnittgrößenkombinationen unter Berücksichtigung der Ausrundungen untersucht. Die Blechbiegung, wie sie in Abschnitt 6.3 enthalten ist, wird ebenfalls berücksichtigt. Eine separate Zuweisung von Teilschnittgrößen zu den Ausrundungen ist wenig sinnvoll, da die in Abschnitt 5.3 vorgestellte Interaktionsbeziehung für den Nachweis des Teilquerschnitts Ausrundung sehr umfangreich ist. Darüber hinaus werden die exakten Lösungen nach LILOBEC [70] mit den Interaktionsbedingungen aus DIN [14] und DIN EN [15] verglichen. In [54] und [55] sind bereits Auszüge der im Folgenden vorgestellten Interaktionsbeziehungen veröffentlicht Schnittgrößen N und M y Die Berücksichtigung der Ausrundungen stellt eine Erweiterung der in Abschnitt formulierten Interaktion dar. Neben den Fällen Spannungsnulllinie im Steg und Spannungsnulllinie im Gurt ist der Fall Spannungsnulllinie in Steg und Ausrundung zu berücksichtigen. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften sind die Schnittgrößen betragsmäßig einzusetzen. Es ergeben sich drei Fälle, die in Bild 7.1 dargestellt werden. Bild 7.1 Lage der Spannungsnulllinie bei der N-M y -Interaktion Eine direkte Berücksichtigung des Falls in Bild 7.1 nach der Vorgehensweise in Abschnitt führt zu umfangreichen Gleichungen, deren Mehraufwand bei einer Handrechnung nicht im Verhältnis zur Traglaststeigerung steht. In Bild 7.13 sind die Interaktionsbeziehungen nach Tabelle 6.3 ohne Berücksichtigung der Gültigkeitsgrenzen für ein HEAA 100 (r 0) dargestellt. Gemäß Bild 7. ist bei diesem Profil der Flächenanteil der Ausrundungen im Vergleich zur Gesamtfläche am größten. Es

132 10 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile wird deutlich, dass die Interaktionsbeziehungen sich annähern, aber nicht schneiden oder berühren, s. Detail A in Bild Bild 7.13 Interaktionsbeziehungen bei einer N-M y -Interaktion für ein HEAA 100 Die Bestimmung einer Interaktionsbeziehung unter Berücksichtigung der Ausrundungen erfolgt durch Modifikation der Gültigkeitsgrenzen aus Tabelle 6.3. Dazu werden die Gültigkeitsbereiche von Fall 1 und 3 in den Fall hinein verlängert. Die Modifizierung erfolgt so, dass die Abweichung möglichst klein ist und die Gleichung für die Anwendung sinnvoll bleibt. Mit LILOBEC [70] kann die Genauigkeit der Lösungen bestimmt werden. In Tabelle 7.5 sind die Modifizierungen zusammengestellt. Tabelle 7.5 Modifizierungen der Grenzen Fall Lage SNL Grenze in Bild 7.1 modifizierte Grenze 1 Steg N h r t f N hw tw fy w w y 3 Gurt N h t 4 0,15 r f N hw tw fy w w y Diese Methode wird auch in [55] angewendet. Es ergibt sich die in Bild 7.14 dargestellte Interaktionsbeziehung für die drei Fälle gemäß Bild 7.1. Da die Interaktionsbeziehungen in Bild 7.13 Detail A keinen Schnittpunkt aufweisen, erhält man durch die Modifizierung der Gültigkeitsgrenzen ein Sprung, s. Bild 7.14 Detail A.

133 7.3 Schnittgrößenkombinationen 11 Bild 7.14 Interaktionsbeziehung nach Tabelle 7.6 bei einer N-M y -Interaktion Der Fall Spannungsnulllinie in Steg und Ausrundungen erstreckt sich nur über einen kleinen Wertebereich von N/N pl. Die Nachweisgleichungen für eine baupraktisch genaue Lösung sind in Tabelle 7.6 angegeben. Bei der Bestimmung von N pl und M pl,y nach Tabelle 7.1 werden die Ausrundungen mit berücksichtigt. Tabelle 7.6 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen N und M y von doppeltsymmetrischen gewalzten I-Profilen, [55] kleine Normalkräfte große Normalkräfte N N pl,w M y pl,w N Mpl,y 4 t f N N N pl h Npl N My Npl N 4 b f y Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! Npl,w hw tw f y N pl und M pl,y, s. Tabelle 7.1 Bei Anwendung von Tabelle 7.6 liegen die Ergebnisse im Vergleich zu LILOBEC [70] zwischen 0,17 % auf der sicheren und 0,31 % auf der unsicheren Seite, s. Bild Dazu werden 100 Schnittgrößenvariationen je Profil untersucht (Schrittweite 0,01). Zusätzlich erfolgt eine Untersuchung im Bereich des Sprungs gemäß Bild 7.14 Detail A mit zusätzlichen Schritten der Größe 0,005. Die größten Abweichungen ergeben sich bei Profilen mit kleiner Nennhöhe, da der Einfluss der Ausrundungen bei diesen Querschnitten am größten ist, vgl. Bild 7.. w y

134 1 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Bild 7.15 Abweichungen bei der N-M y -Interaktion nach Tabelle 7.6 In Bild 7.16 und Bild 7.17 sind die Abweichungen der Interaktionsbedingungen gemäß DIN [14] und DIN EN [15] im Vergleich zu LILOBEC [70] dargestellt. Die Ergebnisse liegen zwischen 10,6 % auf der sicheren und 7,8 % auf der unsicheren Seite. Dieser Sachverhalt wurde bereits in [55] vorgestellt. Wegen der Abweichungen auf der unsicheren Seite ist die N-M y -Interaktion nach Tabelle 7.6 gegenüber den Interaktionsbeziehungen in DIN [14] und DIN EN [15] vorzuziehen. Bei Anwendung von Tabelle 7.6 sind die Abweichungen auf der unsicheren Seite so gering (maximal 0,4 %) und damit vernachlässigbar. Bild 7.16 Abweichungen bei der N-M y -Interaktion in DIN [14]

135 7.3 Schnittgrößenkombinationen 13 Bild 7.17 Abweichungen bei der N-M y -Interaktion in DIN EN [15] Schnittgrößen N und M z Die Vorgehensweise bei der N-M z -Interaktion entspricht der in Abschnitt 7.3. angewendeten Methode. Durch die Modifikation der Gültigkeitsgrenzen aus Tabelle 6.5 wird der Fall Spannungsnulllinie in Ausrundungen und Gurt berücksichtigt. Die Nachweisgleichungen für eine baupraktisch genaue Lösung sind in Tabelle 7.7 zusammengefasst. Bei der Fallunterscheidung werden im Grenzwert N pl,wr,h Flächenanteile der Ausrundungen berücksichtigt. Tabelle 7.7 Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen N und M z von doppeltsymmetrischen gewalzten I-Profilen nach [55] pl,wr,h w y kleine Normalkräfte große Normalkräfte N N pl,wr,h M N z Mpl,z 4 h fy N N N pl,wr,h pl b Npl N Mz Npl N 8 tf f y Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! N h t 0,7 r f N pl und M pl,z, s. Tabelle 7.1 Im Vergleich zu LILOBEC [70] liegen bei Anwendung von Tabelle 7.7 die Ergebnisse zwischen 0,81 % auf der sicheren und 0, % auf der unsicheren Seite. Die Abweichungen sind in Bild 7.18 dargestellt. Für jeden Querschnitt werden 100 Schnittgrößenvarianten untersucht. Wie bei der N-M y -Interaktion in Abschnitt 7.3. erfolgt eine zusätzliche Untersuchung im Bereich des Sprungs mit kleineren Schrittweiten.

136 14 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Bild 7.18 Abweichungen bei der N-M z -Interaktion nach Tabelle 7.7 Bei Anwendung der Interaktionsbedingungen in DIN [14] und DIN EN [15] ergeben sich die in Bild 7.19 und Bild 7.0 dargestellten Abweichungen. Die Ergebnisse liegen im Vergleich zu LILOBEC [70] zwischen 14,8 % auf der sicheren und 5,4 % auf der unsicheren Seite. Vergleichbare Abweichungen wurden bereits in [55] vorgestellt. Analog zur N-M y -Interaktion in Abschnitt 7.3. wird bei der N-M z -Interaktion wegen der Abweichungen auf der unsicheren Seite die Anwendung der Interaktionsbeziehungen gemäß DIN [14] und DIN EN [15] nicht empfohlen. Die Abweichungen bei Anwendung von Tabelle 7.7 auf der unsicheren Seite sind mit maximal 0,17 % gering Bild 7.19 Abweichungen bei der N-M z -Interaktion in DIN [14]

137 7.3 Schnittgrößenkombinationen 15 Bild 7.0 Abweichungen bei der N-M z -Interaktion in DIN EN [15] Schnittgrößen M y und M z Als weitere grundlegende Interaktionsbeziehung wird im Folgenden die M y -M z -Interaktion für doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile untersucht. Die Ausrundungen werden vergleichbar zur N-M y -Interaktion und zur N-M z -Interaktion nicht als separater Fall betrachtet. Es erfolgt eine Modifikation der Lösung aus Tabelle 6.5 durch Berücksichtigung der Flächenanteile A r für den Fall kleines und mittleres M z bei der Bestimmung von max M y. In Tabelle 7.8 sind die Nachweisgleichungen für eine baupraktisch genaue Lösung zusammengefasst. Tabelle 7.8 Alle Schnittgrößen betragsmäßig einsetzen! Ar Nachweise zur plastischen Querschnittstragfähigkeit für die Schnittgrößen M y und M z von doppeltsymmetrischen gewalzten I-Profilen kleines bis mittleres M z großes M z h 0,15 r ar tf 0,3 r tf M b t f z w y h M t red b h t t w 4 A a f 4 y f f w r r y Mz mit red b b 1 t b f tf b t f M M h M red t f 4 w y z pl,z y w y mit red t w M f pl,z h f M M pl,z, s. Tabelle 7.1 y z y

138 16 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Analog zu Abschnitt ergeben sich bei dem Ingenieurmodell in Tabelle 7.8 keine lokalen Wölbbimomente. Für die Untersuchungen mit LILOBEC [70] werden diese direkt vernachlässigt (gerade Spannungsnulllinie). In Bild 7.1 sind die Abweichungen der Ergebnisse nach Tabelle 7.8 im Vergleich zu LILOBEC [70] dargestellt. Die Lösungen liegen bis zu 1,3 % (beim HEAA 1000) auf der sicheren Seite. Dabei werden für jeden Querschnitt 50 Schnittgrößenvariationen ermittelt. Die maximale Abweichung auf der sicheren Seite ergibt sich bei großen Werten von M z /M pl,z, wenn die Spannungsnulllinie im Bereich der Ausrundungen liegt. Bild 7.1 Abweichungen bei der M y -M z -Interaktion nach Tabelle 7.8 In Bild 7. und in Bild 7.3 sind die Abweichungen der in DIN [14] und DIN EN [15] angegebenen Interaktionsbedingungen im Vergleich zu LILO- BEC [70] dargestellt. Die Ergebnisse liegen immer auf der sicheren Seite (bis zu 3 %). Bei Anwendung von Tabelle 7.8 erhält man wirtschaftlichere Ergebnisse im Vergleich zu den Interaktionsbeziehungen in DIN [14] und DIN EN [15]. Bild 7. Abweichungen bei der M y -M z -Interaktion in DIN [14]

139 7.3 Schnittgrößenkombinationen 17 Bild 7.3 Abweichungen bei der M y -M z -Interaktion in DIN EN [15] Die Interaktionsbeziehung in DIN EN [15] für eine M y -M z -Interaktion lautet: My M z M pl,y M pl,z 1 (7.) Schnittgrößen N, M y und M z ohne unplanmäßige Torsion Für den Fall der N-M y -M z -Interaktion mit der Bedingung M = 0 (s. Abschnitt 6.3.6) erfolgt eine Modifikation analog zu den vorherigen Abschnitten. Als Grundlage dient hierzu die Lösung der N-M y -M z -Interaktion für doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile nach Tabelle 6.9. Bei der Modifikation werden die Ausrundungen A r in den Rechenwerten N pl,red und M pl,y,red berücksichtigt. In Tabelle 7.9 sind die modifizierten Rechenwerte zusammengefasst. Tabelle 7.9 Modifizierte Rechenwerte zur Bestimmung der plastischen Querschnittstragfähigkeit nach Tabelle 6.9 mit Berücksichtigung der Ausrundungen Rechenwerte: pl,red f w w r y N t red b t h 4 A f M pl,z, s. Tabelle 7.1 h M t red b h t t 4 A a f 4 pl,y,red f f w r r y A r und a r, s. Tabelle 7.8 Die Vorgehensweise ist den Erläuterungen in Abschnitt zu entnehmen. Bei Anwendung der Rechenwerte von Tabelle 7.9 in Tabelle 6.9 ergeben sich die in Bild 7.4 dargestellten Abweichungen im Vergleich zu LILOBEC [70]. Die Abweichungen gelten für die Fälle M z /M pl,z = 0/0,/0,4/0,6/0,8 und 0,995. Für jeden Fall von M z /M pl,z werden die Schnittgrößen N und M y in 0 Schnittgrößenvariationen untersucht. Es ergeben sich Abweichungen von bis zu 0, % auf der unsicheren Seite und 1,9 % auf der sicheren Seite.

140 18 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Bild 7.4 Abweichungen bei der N-M y -M z -Interaktion (M = 0) nach Tabelle 7.9 Ein Vergleich der Lösung nach LILOBEC [70] mit DIN [14] und DIN EN [15] ist nicht möglich, da für diesen Fall keine Interaktionsbeziehung in den Normen angegeben wird Schnittgrößen N, M y, M z und M Für die Berücksichtigung aller -Schnittgrößen bei doppeltsymmetrischen gewalzten I-Profilen werden die in Abschnitt angegebenen Lösungen modifiziert. Zur Vereinfachung gilt für die nachfolgenden Interaktionsbeziehungen analog zur N-M y -M z -M -Interaktion für doppeltsymmetrische geschweißte I-Querschnitte die Bedingung: f M tf b tw f h t 4 y (7.3) Als Modifikation im Vergleich zu Abschnitt werden die Ausrundungen A r bei der Ermittlung von N gr,w berücksichtigt. Es ergibt sich für den Standardfall A: gr,w w w y N t h f 40,15 r (7.4) Die Werte von min M y und max M y kann man nach Tabelle 6.13 unter Verwendung der Rechenwerte aus Tabelle 6.14 ermitteln, wobei N gr,w für den Fall A gemäß Gl. (7.4) modifiziert wird. Analog zu Abschnitt ist der Doppelnachweis nach Gl. (7.5) erforderlich. min My My max My (7.5) In Bild 7.5 wird ein Beispiel mit den Abweichungen im Vergleich zu LILOBEC [70] dargestellt. Als Querschnitt ist der HEAA 100 gewählt, da dieses Profil den größten

141 7.3 Schnittgrößenkombinationen 19 Flächenanteil an Ausrundungen enthält, s. Bild 7.. Die Ergebnisse liegen zwischen 0,4 % auf der unsicheren und 3,1 % auf der sicheren Seite. Bild 7.5 Abweichungen bei der N-M y -M z -M -Interaktion mit Modifizierung gemäß Gl. (7.4) Sonderfall Schnittgrößen N, M y und M z mit unplanmäßiger Torsion Bei Vernachlässigung der Bedingung M = 0 ergibt sich wie in Abschnitt ein Sonderfall der N-M y -M z -M -Interaktion. Zu den Schnittgrößen N, M y und M z wird ein entsprechend großes Wölbbimoment M hinzufügt, damit der Querschnitt voll durchplastiziert. Es ergibt sich im Grenzzustand eine Querschnittsverdrehung um die Längsachse ( 0!). Die Modifikation im Vergleich zu Tabelle 6.17 erfolgt durch die Berücksichtigung von N pl und M pl,z mit Ausrundungen nach Tabelle 7.1. Somit ergibt sich für die Bestimmung von M pl,z,f : Mpl,z,f Mpl,z Npl,w tw 4 mit M pl,z nach Tabelle 7.1 (7.6) Die mit LILOBEC [70] ermittelten Abweichungen im Vergleich zu Tabelle 6.17 mit Gl. (7.6) sind in Bild 7.6 dargestellt. Analog zu Abschnitt erfolgt die Ermittlung der Abweichungen für die Fälle M y /M pl,y = 0,/0,4/0,6 und 0,8. Für die Schnittgrößen N und M z werden dann für jeden Fall von M y /M pl,y 0 Schnittgrößenvariationen untersucht. Die Ergebnisse liegen zwischen 0,3 % und 13,4 % auf der sicheren Seite. Für das Profil HEAA 100 ergibt sich die maximale Abweichung auf der sicheren Seite.

142 130 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Bild 7.6 Abweichungen bei der N-M y -M z -Interaktion (M 0) mit Modifikation In Bild 7.7 sind die Abweichungen für diesen Querschnitt in Abhängigkeit von N/N pl dargestellt. Die Mehrzahl der Ergebnisse liegt weniger als 10 % auf der sicheren Seite. Gemäß Tabelle 6.17 wird das Wölbbimoment nur für den Fall N > N pl,w hinzugefügt. Es ergeben sich die dargestellten Verläufe mit den maximalen Abweichungen im Bereich N N pl,w. Bild 7.7 Abweichungen bei der N-M y -M z -Interaktion (M 0) mit Modifikation in Abhängigkeit von N/N pl und M y /M pl,y Vergleichbar zu Abschnitt werden auch für doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile die Abweichungen bei Anwendung von [97] im Vergleich zu LILOBEC [70] (M 0) bestimmt. Gemäß Bild 7.8 liegen die Ergebnisse zwischen 6,3 % auf der sicheren Seite und, % auf der unsicheren Seite. Die Steghöhe wird dabei, wie in [97] angegeben, mit h t f angenommen. Diese Idealisierung liegt für Walzprofile der Profilreihe HEM auf der unsicheren Seite, s. Abschnitt 7..1.

143 7.3 Schnittgrößenkombinationen 131 Bild 7.8 Abweichungen bei der N-M y -M z -Interaktion (M 0) nach [97] Für die in DIN [14] und DIN EN [15] angegebenen Interaktionsbeziehungen sind die Abweichungen im Vergleich zu LILOBEC [70] in Bild 7.9 und in Bild 7.30 dargestellt. Bild 7.9 Abweichungen bei der N-M y -M z -Interaktion (M 0) in DIN [14] Bild 7.30 Abweichungen bei der N-M y -M z -Interaktion (M 0) in DIN EN [15]

144 13 7 Doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile Die Ergebnisse liegen zwischen 3 % auf der sicheren und 6 % auf der unsicheren Seite. Dabei wird der Schwerpunkt auf der Bewertung der N-M y -M z -Interaktion gelegt, wenn alle Schnittgrößen in relevanter Größe auftreten. Für eine reine N-M y -Interaktion und eine reine N-M z -Interaktion ergeben sich teilweise größere Abweichungen, s. Abschnitte 7.3. und Gleichzeitige Wirkung von - und -Schnittgrößen Die bisherigen Interaktionsbeziehungen für doppeltsymmetrische gewalzte I-Profile beschränken sich auf den Nachweis der -Schnittgrößen. Eine gleichzeitige Berücksichtigung von - und -Schnittgrößen bei gewalzten doppeltsymmetrischen I-Profilen führt bei der Berücksichtigung der Schubflächen gemäß Bild 7.3 zu umfangreichen, nicht praktikablen Lösungen. Vereinfacht wird für den Nachweis von doppeltsymmetrischen gewalzten I-Profilen unter Berücksichtigung von - und -Schnittgrößen folgende Vorgehensweise bei baupraktischer Anwendung vorgeschlagen: Berücksichtigung der -Schnittgrößen analog den doppeltsymmetrischen geschweißten I-Profilen in Abschnitt Berücksichtigung der Schubspannungen nach dem Fließkriterium oder dem Abminderungsfaktor Berücksichtigung der -Schnittgrößen nach Abschnitt 7.3 mit Modifikation der Streckgrenzen (vergleichbar zu Abschnitt 6.3.9) Alternativ ist die Anwendung einer Softwarelösung unter Berücksichtigung der einzelnen Schubflächen wie z. B. in LILOBEC [70] möglich, s. Bild 3.4 (links).

145 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen 8.1 Vorbemerkungen In den folgenden Abschnitten erfolgen numerische Untersuchungen mit dem FEM Programmsystem ANSYS []. Für die Berechnungen nach der Fließzonentheorie werden ausgewählte Beispiele modelliert, Effekte aus den vorherigen Kapiteln gezeigt und ausgewählte Besonderheiten bei der Modellierung in ANSYS [] erläutert. Es folgt die Diskussion der im Rahmen von [3] durchgeführten Versuche in Abschnitt Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie 8..1 Grundlagen Für die numerischen Untersuchungen mit ANSYS [] wird das Element SOLID 186 (Volumenelement) verwendet. Die häufig eingesetzten Elemente BEAM 188 (Balkenelement) oder SHELL 181 (Schalenelement) sind für die nachfolgenden Berechnungen weniger geeignet. Beim BEAM 188 werden bei der Überprüfung des Fließkriteriums keine Schubspannungen infolge V z, V y und M xs berücksichtigt, s. [4] und [8]. Bei der Verteilung von M xp bleibt gemäß der Dokumentation von ANSYS [] eine Plastizierung des Querschnitts beim BEAM 188 unberücksichtigt. SHELL 181 wird für mäßig dicke Querschnitte empfohlen. Die Blechbiegung für SHELL 181 kann man z. B. mithilfe einer mehrschichtigen Idealisierung berücksichtigen. Normalspannungen in Dickenrichtung werden nicht erfasst. Die Modellierung von Ausrundungen ist bei SHELL 181 nur mithilfe von Vereinfachungen (z. B. Ersatzflächen oder Ersatzsteifigkeiten) möglich. Für die Bestimmung der Schubspannungen in Dickenrichtung wird in der Dokumentation von ANSYS [] die Verwendung von SOLID-Elementen empfohlen. SOLID 186 ist ein 0-knotiges Volumenelement mit quadratischer Verformungsfunktion, s. Bild 8.1 (links). Nach den Empfehlungen der Dokumentation von ANSYS [] werden die Elemente reduziert integriert. In Bild 8.1 (rechts) sind die acht Integrationspunkte bei der reduzierten Integration dargestellt. Somit kann man eine Versteifung infolge volumetrischem Locking und Schublocking vermeiden. Der Effekt des Hourglassing wird verhindert, wenn in Dickenrichtung mindestens zwei Elementschichten vorliegen. Ausführliche Erläuterungen zu den einzelnen Effekten sind z. B. in [6] und [81] enthalten. Das Werkstoffgesetz wird in ANSYS [], wie in Bild 1.16 dargestellt, linearelastisch-idealplastisch formuliert.

146 134 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Bild 8.1 Volumenelement SOLID 186 und Integrationspunkte 1 bis 8, [] Zur Vermeidung von unrealistischen Spannungskonzentrationen werden die Randbedingungen auf Flächen bezogen, s. Bild 8.. Die Modellierung der Auflager erfolgt gemäß der Empfehlung in [7] mithilfe der externen Verschiebung. Dazu wird ein Punkt erstellt, an dem die Verschiebungen u, v und w sowie die Verdrehungen, w und v separat definiert werden können. Diesen Punkt legt man in den Schwerpunkt des Querschnitts. Durch die externe Verschiebung wird dieser Punkt mit der gewählten Querschnittfläche in Bild 8. (links) verbunden. Die gelagerte Fläche kann dabei in ANSYS [] als verformbar definiert werden, um auftretende Verformungen des Querschnitts z. B. aus Verwölbung zu ermöglichen. Weiterführende Erläuterungen zur externen Verschiebung im Hinblick auf die Modellierung der Randbedingungen finden sich in der Dokumentation von ANSYS []. Bild 8. Beispiel für verwendete Lagerung (links) und Lasteinleitung (rechts) Der Lastangriff erfolgt, soweit nicht anders angegeben, im Schwerpunkt, der bei den nachfolgend untersuchten doppeltsymmetrischen Querschnitten mit dem Schubmittelpunkt übereinstimmt. Ein Beispiel für die Modellierung der Lasteinleitung einer Einzellast ist in Bild 8. (rechts) dargestellt. Dazu wird ein Bereich des Trägers ausgewählt, dessen Oberflächen zur Lasteinleitung dienen sollen. Die Anwendung dieser Variante erfolgt z. B. für die in Abschnitt 8..3 betrachteten Torsionsbean-

147 8. Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie 135 spruchungen infolge von Einzellastmomenten. Bei der Auswertung der Ergebnisse in der Nähe von Randbedingungen ist deren Einflussbereich zu berücksichtigen. Durch die Verwendung von Volumenelementen ergeben sich räumliche Spannungszustände. Für Werkstoffe mit ausgeprägtem Fließverhalten wird die Vergleichsspannung v aus drei Hauptspannungen 1, und 3 nach Gl. (8.1) bestimmt, s. [7]. v 0, fy (8.1) Die übliche Formulierung mit Bezug auf die Hauptachsen x, y und z ist z. B. in [43] mit v x y z x y y z x z 3 xy xz yz fy (8.) angegeben. Die Vergleichsspannung wird durch die Streckgrenze f y begrenzt. Das mit ANSYS [] untersuchte Beispiel ist in Bild 8.3 dargestellt. Ein Einfeldträger wird durch eine Streckenlast beansprucht. Die Lastaufbringung erfolgt inkrementell in 500 Schritten bis zum Erreichen von q z = 1,4 kn/cm (Lastfaktor = 1). Bild 8.3 Beispiel Rechteckquerschnitt als Einfeldträger In Bild 8.4 ist die Vergleichsspannung v in Abhängigkeit vom Lastfaktor dargestellt. Bei einem Lastfaktor von 0,716 wird die elastische Grenzlast erreicht. Bild 8.4 Spannungen v [N/mm²] in Trägermitte in Abhängigkeit vom Lastfaktor nach ANSYS []

148 136 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Nach Überschreitung der elastischen Grenzlast beginnt der Werkstoff zu plastizieren. Dabei fällt auf, dass bis zu einem Lastfaktor von 0,806 die Vergleichsspannung weiter ansteigt und größer als die Streckgrenze ist. Eine ausführliche Erläuterung dieses Effekts findet sich in [9]. Für den Fall v < f y erfolgt eine Extrapolation der Spannungen von den Integrationspunkten in die Elementknoten. Diese extrapolierten Spannungen werden im Ergebnisplot dargestellt. Ergibt sich an den Integrationspunkten v f y, erhält man nach der Extrapolation am Elementknoten v > f y. Wird an einem Integrationspunkt die Vergleichsspannung erreicht (im Beispiel mit steigendem Lastfaktor), entfällt die Extrapolation. Mit zunehmender Netzverfeinerung klingt dieser Effekt ab. Zur Verdeutlichung des Effektes wird der Querschnitt gemäß Bild 8.4 (rechts) mit wenigen Elementen diskretisiert. Bei der Verwendung von ANSYS [] wird die Tragfähigkeit von Systemen untersucht. Ein System kann jedoch auch seine Grenztragfähigkeit erreichen, wenn die Querschnittstragfähigkeit noch nicht ausgenutzt ist, s. Abschnitt 3.5. Grundlagen zur Anwendung von ANSYS [] mit ausführlichen Erläuterungen und Beispielen sind z. B. in [1], [7], [66], [67], [78] und [107] enthalten. 8.. Querschnitte unter zweiachsiger Biegung mit Normalkraft Die Untersuchungen in diesem Abschnitt erfolgen mit der Beschränkung auf kleine Verformungen. Diese Bedingung ist mit der Theorie I. Ordnung aus der Stabtheorie vergleichbar. Somit können Effekte wie z. B. die entlastende Wirkung von Zugkräften vermieden werden. Es steht die Bestimmung der Tragfähigkeit der Querschnitte im Vordergrund. Rechteckquerschnitt Interaktionsbeziehungen für Rechteckquerschnitte mit den Schnittgrößen N, M y und M z sind in den Abschnitten und enthalten. Dabei wird zwischen den Fällen mit unplanmäßiger Torsion und ohne unplanmäßige Torsion unterschieden. In Bild 8.5 ist das System für ein Beispiel dargestellt. Bild 8.5 Beispiel Rechteckquerschnitt mit zweiachsiger Biegung und Normalkraft Der Einfeldträger wird durch eine Normalkraft und zwei Streckenlasten beansprucht. Nach der Stabtheorie I. Ordnung ergeben sich in Feldmitte die Schnittgrößen:

149 8. Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie 137 N M M y z 1100 kn 875 kncm 550 kncm Die Faktoren der Schnittgrößen im Grenzzustand der Tragfähigkeit sind in Tabelle 8.1 zusammengestellt. Tabelle 8.1 Faktoren für Schnittgrößen des Beispiels in Bild 8.5 Nachweis mit Ingenieurmodell nach Gl. (4.9) (M = 0!) Tabelle 4.3 (M 0!) LILOBEC [70] (M 0!) INCA [38] ANSYS [] Faktor 0,843 0,955 0,955 0,953 0,986 Aus der Berechnung mit ANSYS [] ergibt sich im Grenzzustand ein Lastfaktor von 0,986. Die Ergebnisse nach Gl. (4.9), Tabelle 4.3, LILOBEC [70] und INCA [38] liegen im Vergleich dazu auf der sicheren Seite (Faktor 0,986). In Bild 8.6 sind die Diskretisierung und die zugehörigen Spannungsverteilungen x, y und v in Trägermitte dargestellt. Es fällt auf, dass sich Spannungen x in Bild 8.6 (oben) ergeben, die größer als die Streckgrenze f y sind. Das ist aufgrund der Formulierung von Gl. (8.) möglich, wenn die Normalspannungen gleiche Vorzeichen haben. Bild 8.6 Diskretisierung und Spannungsverteilungen [N/mm²] im Querschnitt (Trägermitte) bei einem Lastfaktor von 0,986 nach ANSYS []

150 138 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Somit ergibt sich z. B. für das Element i in Bild 8.6 mit den Anteilen aus x und y : v 5,3 4,1 5,3 4,1 3,5 kn/cm In diesem Beispiel können die Anteile aus z, xz und xy in Trägermitte vernachlässigt werden. Der in Abschnitt 8..1 beschriebene Effekt v > f y ist in Bild 8.6 (unten) erkennbar. Betroffen sind die Bereiche (Farbe magenta) im Übergang zwischen elastischen und plastischen Zonen. Gemäß Bild 8.6 (oben) ist der Querschnitt in diesem Bereich nicht vollständig durchplastiziert. Der ideale Zustand, wie z. B. in Bild 4.4 dargestellt, wird nicht erreicht. Dieser Effekt wirkt geringfügig traglastmindernd. Die Spannungsnulllinie in Bild 8.6 (oben) hat die Form einer Geraden und verläuft nicht durch den Schwerpunkt. Gemäß Tabelle 4.4 ergibt sich eine Schnittgröße M. Nach Integration der in Bild 8.6 (oben) dargestellten Spannungsverteilung gemäß Tabelle.1 erhält man: M 385 kncm Durch das Auftreten der Torsionsschnittgröße M ist zu erwarten, dass eine Querschnittsverdrehung auftritt. Gemäß Bild 8.7 ergibt sich eine stark zunehmende Verdrehung nach Überschreitung der elastischen Tragfähigkeit (Lastfaktor = 0,47). Es handelt sich somit bei dem in Bild 8.5 dargestellten Beispiel um den Fall mit unplanmäßiger Torsion. Die maximale Verdrehung beträgt ca. 0,0043 rad ( 0,5 ). Somit ist die Untersuchung mit ANSYS [] des in Bild 8.5 dargestellten Beispiels in NW-St II nach Abschnitt.6 einzuordnen. Bild 8.7 Verdrehung in Abhängigkeit vom Lastfaktor Mit dem Faktor 0,955 gemäß Tabelle 8.1 erhält man für die Schnittgrößen des in Bild 8.5 dargestellten Beispiels: N Npl 0,56 und My Mpl,y 0,44

151 8. Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie 139 Im Bereich dieser Schnittgrößenkombination ergibt sich in Bild 4.4 die maximale Vergrößerung der Tragfähigkeit des Falls M 0 im Vergleich zum Fall M = 0. Unter baupraktischen Gesichtspunkten ist eine Verdrehung von 0,5 vernachlässigbar. Wegen der geringen Verdrehung bestehen für die Ausnutzung der höheren Tragfähigkeiten nach Tabelle 4.3 (Fall mit unplanmäßiger Torsion ) im Vergleich zu Gl. (4.9) (Fall ohne unplanmäßige Torsion ) keine Bedenken. Durch M 0 ergeben sich weitere örtliche Torsionsschnittgrößen, die im folgenden Beispiel untersucht werden. Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Die Interaktionsbeziehungen für doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile unter Berücksichtigung der Schnittgrößen N, M y und M z werden in den Abschnitten und vorgestellt. Analog zum Rechteckquerschnitt kann man auch hier zwischen den Fällen M 0 und M = 0 unterscheiden. Zur Untersuchung der Interaktionsbeziehung wird ein Einfeldträger gemäß Bild 8.8 durch zwei Streckenlasten und eine Normalkraft beansprucht. Gemäß Stabtheorie I. Ordnung erhält man in Feldmitte die Schnittgrößen: N M M y z 1050 kn 745 kncm 3656 kncm Bild 8.8 Beispiel geschweißtes I-Profil mit zweiachsiger Biegung und Normalkraft In Tabelle 8. sind die Faktoren der Schnittgrößen im Grenzzustand der Tragfähigkeit zusammengestellt. Analog zum Rechteckquerschnitt erhält man infolge des räumlichen Spannungszustandes lokal Werte von x > f y. Tabelle 8. Faktoren für Schnittgrößen des Beispiels in Bild 8.8 Nachweis mit Tabelle 6.9 (M = 0!) Tabelle 6.17 (M 0!) LILOBEC [70] (M 0!) INCA [38] ANSYS [] Faktor 0,790 0,955 0,956 0,954 0,959 In Bild 8.9 ist die Diskretisierung des Querschnitts und die Spannungsverteilung x nach ANSYS [] in Trägermitte dargestellt. Es ergibt sich im Grenzzustand ein Lastfaktor von 0,959.

152 140 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Bild 8.9 Diskretisierung und Spannungsverteilung x [N/mm²] in Trägermitte bei einem Lastfaktor von 0,959 nach ANSYS [] Der Lastfaktor nach ANSYS [] stimmt mit den in Tabelle 8. enthaltenen Ergebnissen nahezu überein. Dabei wirken zwei Effekte entgegengesetzt. Durch die örtlich größeren Längsspannungen in ANSYS [] gemäß Bild 8.9 erhöht sich die Traglast (s. Rechteckquerschnitt). Gleichzeitig plastiziert der Querschnitt im Bereich der Spannungsnulllinie nicht vollständig durch, weshalb die Traglast vermindert wird. Nach Integration der in Bild 8.9 dargestellten Spannungsverteilung gemäß Tabelle.1 ergibt sich folgendes Wölbbimoment: M 3059 kncm Bei der Spannungsverteilung in Bild 8.9 handelt es sich um den Fall mit unplanmäßiger Torsion. Dass sich ein Wölbbimoment bei dieser Spannungsverteilung ergeben muss, ist in Bild 8.10 dargestellt. Vereinfacht wird das Profil mit dem Mittellinienmodell idealisiert und die Spannungsverteilung gemäß Bild 8.9 näherungsweise berücksichtigt. Mit der normierten Wölbordinate ML kann man das Wölbbimoment M ermitteln. Profil ähnlich HEB 00 (r = 0) max 9,5 cm nach Gl. (3.10) M 3606 kncm nach Tabelle.1 Bild 8.10 Vereinfachte Bestimmung von M aus Spannungsverteilung gemäß Bild 8.9

153 8. Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie 141 Da die Schnittgröße M ungleich null ist, tritt eine Verdrehung des Querschnitts auf. Analog zum Rechteckquerschnitt ergibt sich diese Verformung um die x-achse nach Überschreitung der elastischen Tragfähigkeit (Lastfaktor = 0,538), s. Bild Bild 8.11 Verdrehung in Abhängigkeit vom Lastfaktor Die Verdrehung wird vereinfacht durch die horizontale Differenz der Knoten an der Gurtaußenkante in der Stegachse bestimmt und beträgt maximal 0,14 rad ( 8,1 ). Das Beispiel in Bild 8.8 ist nach der Untersuchung in ANSYS [] in die NW-St II nach Abschnitt.6 einzuordnen. Der Effekt der unplanmäßigen Torsion im Grenzzustand der Tragfähigkeit bei einer N-M y -M z -Interaktion wird z. B. auch in [5], [36], [84] und [104] beschrieben. In Bild 8.1 ist der Verlauf der Schnittgröße M über die Trägerlänge für den Lastfaktor = 0,959 dargestellt. Bild 8.1 Schnittgröße M bei einem Lastfaktor von 0,959 nach ANSYS [] Nach Tabelle.1 sind in M x die Schnittgrößen M xp und M xs enthalten. Da keine äußere Torsionsbeanspruchung vorliegt, gilt aus Gleichgewichtsgründen: Mx Mxp Mxs 0 (8.3) Es ergibt sich: M xp M (8.4) xs

154 14 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Die Integration von M x erfolgt gemäß Tabelle.1 mit: Mx xz,i yi xy,i zi Ai (8.5) Dabei beziehen sich die Koordinaten y und z auf das Koordinatensystem des Gesamtquerschnitts. In Bild.5 bzw. Bild 6.3 kann man für die Ermittlung von M xp vereinfacht das Koordinatensystem des Teilquerschnitts (Index TQ) verwenden. Es folgt: Mxp xz,i yi,tq xy,i zi,tq Ai (8.6) Zur Bestimmung von M xs werden in Gl. (8.7) vereinfacht die Resultierenden der horizontalen Schubspannungen xy in den Gurten ermittelt und diese mit dem Abstand bis zum Schubmittelpunkt multipliziert. h t Mxs xy,i,og Ai,OG xy,i,ug Ai,UG f (8.7) In Bild 8.13 sind die Schnittgrößen gemäß Integration nach Gl. (8.5), Gl. (8.6) und Gl. (8.7) dargestellt. Die Gültigkeit von Gl. (8.4), M xp = M xs, wird deutlich. Wegen der Vereinfachung in Gl. (8.6) und Gl. (8.7) weichen die Beträge von M xp und M xs geringfügig voneinander ab. Somit ergeben sich kleinere Werte der Schnittgröße M x. Für die Schnittgrößen M x, M xp und M xs in Bild 8.13 gilt: Mxp Mxs Mx 0 (8.8) Bild 8.13 Torsionsschnittgrößen bei einem Lastfaktor von 0,959 nach ANSYS []

155 8. Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie Querschnitte mit Torsionsbeanspruchung Rechteckquerschnitt In Bild 8.14 ist ein Beispiel für einen Rechteckquerschnitt mit Torsionsbeanspruchung dargestellt. Bild 8.14 Beispiel Rechteckquerschnitt mit Lasttorsionsmoment in Feldmitte Die Beanspruchung des Einfeldträgers erfolgt in Feldmitte durch ein Einzeltorsionsmoment mit M xl = 400 kncm. Die Schnittgrößen nach der Stabtheorie I. Ordnung werden mit [50] ermittelt und sind in Bild 8.15 dargestellt. Bild 8.15 Schnittgrößen nach der Stabtheorie I. Ordnung, [50] Die Gleichungen zur Bestimmung der Grenzschnittgrößen M pl,xp und M pl, von Rechteckquerschnitten finden sich in den Abschnitten 4.. und Nach Gl. (4.9) und Gl. (4.15) erhält man für den dargestellten Querschnitt: M pl,xp pl, 06 kncm M 8768 kncm Nach der Stabtheorie sind im Grenzzustand der Tragfähigkeit die Schnittgrößen M und M xs in Feldmitte maßgebend. Bei einem Lastfaktor von 0,9 wäre die Grenzschnittgröße M pl, erreicht, wenn man M xs vernachlässigt. Die Grenzschnittgröße M pl,xp würde man erst bei einem Lastfaktor von 0,965 erreichen. Das in Bild 8.14 dargestellte System ist jedoch wegen der Aufteilung von M x in M xp und M xs innerlich statisch unbestimmt, s. [43]. Durch Ausbildung von Fließzonen in Feldmitte bei zunehmender Beanspruchung müsste die Schnittgröße M vollständig abgebaut werden. Die Lastabtragung würde dann ausschließlich über M xp erfolgen. Aus diesen Überlegungen ergibt sich der in Bild 8.16 dargestellte Schnittgrößenverlauf im Grenzzustand der Tragfähigkeit für einen Lastfaktor von 0,965.

156 144 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Bild 8.16 Schnittgrößen nach der Fließzonentheorie im Grenzzustand Bei der Berechnung mit ANSYS [] kann das in Bild 8.14 angegebene Lasttorsionsmoment vom Querschnitt aufgenommen werden (Lastfaktor = 1). Es ergibt sich keine explizite Grenztragfähigkeit. Dieses als Schraublinieneffekt bezeichnete Phänomen wird u. a. in den Versuchen von Farwell/Galambos [0] und Werner [113] beschrieben und in [5] numerisch untersucht. Bei einem Lastfaktor von eins ergibt sich nach ANSYS [] eine Verdrehung in Feldmitte von 0,419 rad (ca. 4 ). Diese Verdrehung ist im Hinblick auf baupraktische Anwendungen und die im Stahlbau üblichen Berechnungen nach Theorie II. Ordnung relativ groß. Es ist daher sinnvoll die Verdrehung zu begrenzen. In [4], [5], [59] und [116] wird als Grenzwert für die Anwendung der Theorie II. Ordnung eine Verdrehung von ca. 0,3 rad empfohlen. Diese Verdrehung dient als Grenzwert für die nachfolgenden Betrachtungen und ergibt sich bei einem Lastfaktor von ca. 0,985 (ergibt 0,33 rad). Die Schnittgröße M kann durch Integration der Spannungen gemäß Tabelle.1 bestimmt werden. In Bild 8.17 ist der Verlauf der Schnittgröße M über die Trägerlänge bei einem Lastfaktor von 0,985 dargestellt. Bild 8.17 Schnittgröße M bei einem Lastfaktor von 0,985 nach ANSYS [] Der Schnittgrößenverlauf in Bild 8.16 wird nicht erreicht. In Bild 8.18 ist die Spannungsverteilung x in Trägermitte für den Lastfaktor von 0,985 und die Diskretisierung in ANSYS [] dargestellt. Es ergibt sich eine teilweise Plastizierung des Querschnitts und die Spannungen infolge M sind qualitativ gut erkennbar. In Feldmitte erhält man: M 7436 kncm Die Schnittgröße M wird nicht vollständig abgebaut.

157 8. Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie 145 Bild 8.18 Spannungsverteilung x [N/mm²] in Trägermitte bei einem Lastfaktor von 0,985 nach ANSYS [] Beim Vergleich des Wölbbimomentes in Bild 8.15 mit Bild 8.17 wird deutlich, dass ein Teil von M abgebaut wird. Es ergibt sich eine Reduzierung von ca. 0 %. 0, kncm 9387 kncm 7436 kncm 0,848 Mpl, In Bild 8.19 ist die Summe der Schubspannungen xz und xy an der Stelle kurz vor dem Auflager (x/l = 0,05) dargestellt. Es fällt auf, dass die Schubspannungen nicht mehr symmetrisch zu den Hauptachsen sind. Dies deutet auf den vorher genannten Schraublinieneffekt hin. Gemäß den zuvor angestellten Überlegungen ist M pl,xp bereits bei einem Lastfaktor von 0,965 erreicht. Bild 8.19 Spannungsverteilungen xz und xy [N/mm²] kurz vor dem Auflager bei einem Lastfaktor von 0,985 nach ANSYS [] Nach Integration der in Bild 8.19 dargestellten Schubspannungen ergibt sich: Mx 1988 kncm 0, kncm 069 kncm Dieses Torsionsmoment ist nicht unwesentlich kleiner als der sich nach der Stabtheorie ergebende Wert von M x = 069 kncm. Zum Vergleich sind in Bild 8.0 die Schubspannungsverteilungen bei einem Lastfaktor von 0,9 dargestellt. Bild 8.0 Spannungsverteilungen xz und xy [N/mm²] kurz vor dem Auflager bei einem Lastfaktor von 0,9 nach ANSYS []

158 146 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Es ergibt sich eine symmetrische Verteilung der Schubspannungen analog zum Walmdachmodell. Bei einer Integration stimmen die Schnittgrößen nahezu überein. Mx 1881 kncm 1890 kncm 0,9 100 kncm Doppeltsymmetrische geschweißte I-Profile Ein Beispiel für einen doppeltsymmetrischen geschweißten I-Querschnitt mit Torsionsbeanspruchung ist in Bild 8.1 dargestellt. Bild 8.1 Beispiel doppeltsymmetrisches geschweißtes I-Profil mit Lasttorsionsmoment Das Einzeltorsionsmoment M xl beansprucht den Einfeldträger in Feldmitte. Bei diesem Beispiel liegt der Schwerpunkt der Untersuchung auf der Verteilung der Schnittgröße M xp auf die Teilquerschnitte. In Bild 8. sind die mit [50] ermittelten Schnittgrößen nach der Theorie I. Ordnung dargestellt. Bild 8. Schnittgrößen nach der Stabtheorie I. Ordnung, [50] Die Gleichungen zur Bestimmung der Grenzschnittgrößen M pl,xp und M pl, für doppeltsymmetrische geschweißte I-Querschnitte werden in den Abschnitten 6..3 und 6..4 vorgestellt. Nach Gl. (6.6) und Gl. (6.10) ergeben sich: M pl,xp pl, 578 kncm M kncm Gemäß Stabtheorie ergibt sich der Grenzzustand der Tragfähigkeit bei einem Lastfaktor von 0,834 durch Erreichen von M pl,xp. Der Lastfaktor für die Grenzschnittgröße M pl, beträgt 0,999 ohne Berücksichtigung der Schnittgröße M xs. Ein vollständiger Abbau der Schnittgrößen M und M xs wird nicht erwartet, s. Rechteckquerschnitt. Da sich bei der Untersuchung mit ANSYS [] analog zum Rechteckquerschnitt keine explizite Grenztragfähigkeit ergibt, erfolgt die Bestimmung des Lastfaktors durch Begrenzung der Verdrehung auf ca. 0,3 rad. Somit erhält man einen Lastfaktor von 0,97 bei einer Verdrehung von 0,34 rad. Mit Tabelle.1 kann durch Integration über den gesamten Querschnitt der in Bild 8.3 dargestellte Verlauf der

159 8. Nichtlineare Berechnungen nach der Fließzonentheorie 147 Schnittgröße M über die Trägerlänge bestimmt werden. Die Auswertung der Schnittgrößen erfolgt bei einem Lastfaktor von 0,97 alle 5 cm. Bild 8.3 Schnittgröße M bei einem Lastfaktor von 0,97 nach ANSYS [] Im Vergleich zum Rechteckquerschnitt wird M nur wenig reduziert. Die Diskretisierung des Querschnitts und die Spannungsverteilung x in Trägermitte für den Lastfaktor von 0,97 sind in Bild 8.4 dargestellt. Bild 8.4 Diskretisierung und Spannungsverteilung x [N/mm²] in Trägermitte bei einem Lastfaktor von 0,97 nach ANSYS [] Zur Ermittlung der Schnittgrößen M xp und M xs werden Gl. (8.6) und Gl. (8.7) verwendet. Die Verläufe bei einem Lastfaktor von 0,97 sind in Bild 8.5 dargestellt. Im Bereich der Auflager (x/l < 0,075 und x/l > 0,95) ergeben sich deutliche Abweichungen der Schnittgrößenverläufe im Vergleich zur Stabtheorie in Bild 8..

160 148 8 Nichtlineare Berechnungen und experimentelle Untersuchungen Bild 8.5 Torsionsschnittgrößen bei einem Lastfaktor von 0,97 nach ANSYS [] Für weitergehende Betrachtungen sind die Schubspannungen xz und xy an den Stellen x/l = 0,05 und x/l = 0,075 in Bild 8.6 dargestellt. Bild 8.6 Spannungsverteilungen xz und xy [N/mm²] mit zugehöriger Verformung (5-fach vergrößert) an den Stellen x/l = 0,05 (links) und x/l = 0,075 (rechts) bei einem Lastfaktor von 0,97 nach ANSYS []