FE-RAHMEN SYSTEMBERECHNUNGEN FÜR EBENE STAB-

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1 Rolf Kindmann Henning Uphoff FE-RAHMEN SYSTEMBERECHNUNGEN FÜR EBENE STAB- WERKE BEI EINACHSIGER BIEGUNG UND NORMALKRAFT Entwurf vom Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann

2 Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/ Fax-Nr.: +49 (0)234/ Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum Alle Rechte, auch das der Vervielfältigung, des auszugsweisen Nachdrucks, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Leistungsumfang 1 2 Grundlagen Koordinatensysteme, Normierung und Definition Berücksichtigung von Gelenken Transformationsbeziehungen 8 3 Eingabe Vorbemerkung Berechnungsoptionen Eingabe des baustatischen Systems Knotenlasten und Gleichstreckenlasten Vorverformungen Querschnittswerte Start der Berechnung 19 4 Ausgabe 20 5 Berechnungsbeispiele Vorbemerkung Zweigelenkrahmen Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 33 Literatur 44

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5 1 Leistungsumfang Das RUBSTAHL-Programm FE-Rahmen ist ein leistungsfähiges FE-Programm zur Berechnung ebener Stäbe und Stabtragwerke. Erfasst wird die einachsige Biegung mit Normalkraft. Neben Stäben mit konstantem Querschnitt können Stäbe mit veränderlichen (gevouteten) Querschnitten berücksichtigt werden. Die wesentlichen Anwendungsgebiete des Programms lassen sich wie folgt zusammenfassen: Berechnung von Verformungen und Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie I. oder II. Ordnung Ermittlung von positiven und negativen Eigenwerten bzw. Verzweigungslasten und den dazugehörigen Eigenformen bzw. Knickbiegelinien für das Stabilitätsproblem Biegeknicken in der Ebene Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit für Stäbe mit Standardquerschnitten Berücksichtigung von Vorverformungen bzw. geometrischen Ersatzimperfektionen als Schiefstellung und als Vorkrümmung Berücksichtigung aussteifender Konstruktionen durch Federsteifigkeiten Berücksichtigung beliebiger Querschnittsformen Berechnung von Auflager- und Federkräften Das Programm bietet somit die Möglichkeit ebene Rahmensysteme zu untersuchen, die im Stahlbau häufig zur Anwendung kommen. Neben der Ermittlung der Schnittgrößenverläufe von bspw. statisch unbestimmten Systemen kann das Programm verwendet werden um die Tragfähigkeit des Rahmens in der Ebene nachzuweisen. Durch die Berücksichtigung von geometrischen Ersatzimperfektionen und die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung kann mit dem geführten Nachweis der ausreichenden Querschnittstragfähigkeit auch der Stabilitätsnachweis für das ebene Tragwerk geführt werden. Die Anwendung des Ersatzimperfektionsverfahrens für den Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit ebener Rahmen stellt den Stand der Technik in Deutschland dar. Eine weiterführende Untersuchung der räumlichen Tragwirkung der Bauteile kann dann im Anschluss z.b. mit dem RUBSTAHL-Programm FE-STAB erfolgen. Besonders hervorgehoben sei an dieser Stelle das Buch Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau [3] von Rolf Kindmann und Matthias Kraus. Es enthält eine komplette und umfangreiche Darstellung der im Folgenden kurz behandelten theoretischen Hintergründe. FE-Rahmen ist in Visual Basic programmiert. Als Programmoberfläche dient Microsoft Excel. Das vorliegende Programmpaket 2014 der RUBSTAHL-Programme beinhaltet eine Version von FE-Rahmen für MS-Excel 2003 und ältere Programmversionen sowie eine Version von FE-Rahmen für MS-Excel 2007 und jüngere Programmversionen.

6 2 2 Grundlagen 2 Grundlagen Die Tragwerksberechnung im Programm FE-Rahmen erfolgt mit der Methode der finiten Elemente. Die betrachteten Stäbe werden in Stabelemente mit jeweils einem Knoten pro Elementende aufgeteilt. Zur Erfassung der einachsigen Biegung mit Normalkraft ist die Berücksichtigung von drei Verformungsgrößen pro Knoten notwendig: Verschiebungen u und w Verdrehung w Die so abgebildete ebene Stabtheorie folgt einer klar definierten Normierung sowohl auf Querschnitts- als auch auf Stabebene, die zur korrekten Anwendung des Programms zu berücksichtigen ist. Im Wesentlichen basiert das Programm FE-Rahmen auf dem RUBSTAHL-Programm FE-STAB, welches die vollständige Stabtheorie erfasst. Auf eine vollständige Darstellung der theoretischen Grundlagen wird daher an dieser Stelle verzichtet und es wird ausschließlich auf die Aspekte eingegangen, die nur für das Programm FE- Rahmen relevant sind. Weiterführende Informationen zu den Themengebieten Werkstoffgesetz Prinzip der virtuellen Arbeit Steifigkeitsbeziehungen, Lastvektoren und Gleichgewichtsbedingungen der FE-Methode Ermittlung der Verformungs- und Schnittgrößen, dabei insbesondere die Differenzierung zwischen Gleichgewichts- und Nachweisschnittgrößen Ermittlung der Eigenwerte und Eigenformen Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [2] sind dem Kapitel zum Programm FE-STAB [6] zu entnehmen. Die dort gezeigten Zusammenhänge reduzieren sich entsprechend, da statt der sieben Verformungsgrößen der vollständigen Stabtheorie nur die drei Verschiebungsgrößen u, w und w der ebenen Stabtheorie zu berücksichtigt werden. Der größte Unterschied zwischen FE-Rahmen und FE-STAB besteht darin, dass nicht nur gerade Stäbe sondern ebene Stabtragwerke berechnet werden können. Es müssen daher Transformationsbeziehungen formuliert werden, die den Zusammenhang zwischen den lokalen Systemen der Stabelemente und dem globalen System des Stabwerkes darstellen. Die Transformationsbeziehungen sind notwendig damit aus lokalen Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren die Gesamtsteifigkeitsmatrix und der globale Lastvektor assembliert werden kann. Nach dem Lösen der globalen

7 2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition 3 Gleichungssysteme erfolgt die Rücktransformation auf das lokale Stabelement zur Ermittlung der Stabendschnittgrößen. Da in FE-Rahmen nicht nur einzelne Stäbe sondern Stabwerke untersucht werden können, ist die Berücksichtigung von Stabgelenken notwendig. 2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition In FE-Rahmen wird die ebene Stabtheorie berücksichtigt, das heißt es können gerade Stäbe und Stabwerke berechnet werden, die durch einachsige Biegung mit Normalkraft beansprucht werden. Bild 2.1 zeigt einen geraden Stab im lokalen Hauptachsensystem. Die lokale Stabachse durch den Schwerpunkt ist dabei die x-achse, die lokalen Hauptachsen des Querschnitts definieren die y- und z-achse. Bild 2.1 Gerader Stab mit Verschiebungs- und Schnittgrößen im lokalen Hauptachsensystem Zusätzlich zeigt Bild 2.1 die positiven Wirkungsrichtungen und Angriffspunkte der lokalen Verschiebungsgrößen us, vm und wm und der betrachteten Schnittgrößen N, Vz und My. Sie werden auf den Schwerpunkt S bzw. den Schubmittelpunkt M bezogen (y = ym, z = zm).

8 4 2 Grundlagen Da in FE-Rahmen ebene Stabwerke betrachtet werden wird in der Ebene zwischen dem lokalem x-z-koordinatensystem und dem globalen X-Z-Koordinatensystem unterschieden. Bild 2.2 zeigt den Zusammenhang zwischen globalem und lokalem Koordinatensystem. In Bild 2.3 ist die Definition der globalen und lokalen Verschiebungsgrößen dargestellt. Es gilt weiterhin folgende Definitionen und Bezeichnungen zu beachten: Koordinaten, Ordinaten und Bezugspunkte X globale Systemkoordinate horizontal Z globale Systemkoordinate vertikale x lokale Stablängsrichtung y, z lokale Hauptachsen in der Querschnittsebene S Schwerpunkt M Schubmittelpunkt (y = ym, z = zm) Stabdrehwinkel Bild 2.2 Lokales und globales Koordinatensystem am Stabelement Verschiebungsgrößen u S globale Verschiebung in X-Richtung w M globale Verschiebung in Z-Richtung w Verdrehung um die Y-Achse (senkrecht zur X-Z Achse) lokale Verschiebung in x-richtung lokale Verschiebung in z-richtung w Verdrehung um die y-achse us wm M

9 2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition 5 Bild 2.3 Definition des a) globalen und b) lokalen Koordinatensystems und der zugehörigen Verschiebungsgrößen Die Transformationsbeziehung zwischen lokalen und globalen Koordinaten lautet wie folgt: x cos sin X z sin cos Z (2.1) Schnittgrößen N Vz My Index el: Index pl: Index d: Index k: Längskraft, Normalkraft Querkraft Biegemoment Grenzschnittgrößen nach der Elastizitätstheorie Grenzschnittgrößen nach der Plastizitätstheorie Bemessungswert (design) charakteristischer Wert Spannungen x xz v Normalspannungen Schubspannungen Vergleichsspannung Einzellasten FX, FZ und MYL wirken gemäß Bild 2.4 im globalen Koordinatensystem in Richtung der positiven Achsen. Streckenlasten können wahlweise im lokalen oder globalen Koordinatensystem eingegeben werden, siehe Bild 2.5. Eiwirkungen, Lastgrößen qx, qz qx, qz FX, FZ MYL Lokale Streckenlasten Globale Streckenlasten Globale Einzellasten Lastbiegemoment

10 6 2 Grundlagen Bild 2.4 Positive Wirkungsrichtung und Angriffspunkte der Einzellasten Bild 2.5 Positive Wirkungsrichtungen der Streckenlasten im a) globalen und b) lokalen Koordinatensystem Bild 2.6 zeigt die Wirkungsrichtung der Lagerbedingungen. Sie wirken definitionsgemäß im globalen Koordinatensystem, unabhängig von der Stabneigung. Bild 2.6 Lagerbedingungen im globalen Koordinatensystem Weitere Informationen zur Berechnung der Querschnittskennwerte können Kapitel 3 Kindmann/Frickel [2] entnommen werden.

11 2.1 Koordinatensysteme, Normierung und Definition 7 Querschnittskennwerte A Iy Wy Sy Fläche Hauptträgheitsmoment Widerstandsmoment Statisches Moment Teilsicherheitsbeiwerte M F Beiwert für die Beanspruchbarkeit (material) Beiwert für die Beanspruchung (force) Zur Anwendung der FE-Methode werden Vektoren und Matrizen formuliert. Vektoren (Kleinbuchstaben) und Matrizen (Großbuchstaben) werden durch einen Unterstrich gekennzeichnet. Der Index e zeigt, dass es sich um Vektoren und Matrizen für Stabelemente handelt. Vektoren und Matrizen im globalen Koordinatensystem werden durch einen zusätzlichen Überstrich kenntlich gemacht. Matrizen und Vektoren s K G v p Schnittgrößenvektor Steifigkeitsmatrix geometrische Steifigkeitsmatrix Verformungsgrößenvektor Lastgrößenvektor Die Berechnung der Verformungen und Schnittgrößen in FE-Rahmen erfolgt auf Grundlage der Elastizitätstheorie. Es gilt das Hookesche Gesetz, d.h. es wird linearelastisches Werkstoffverhalten angenommen. Beim Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren wird linearelastischidealplastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt. Näheres kann den Erläuterungen zu FE-STAB [6] entnommen werden. Werkstoffkennwerte E G fy fu u Elastizitätsmodul Schubmodul Querkontraktionszahl, Poissonsche Zahl Streckgrenze Zugfestigkeit Bruchdehnung

12 8 2 Grundlagen 2.2 Berücksichtigung von Gelenken Da in FE-Rahmen ganze Stabwerke berechnet werden können, ist es notwendig, dass Gelenke für alle drei Lastgrößen N, Vz und My im System angeordnet werden können. Die Gelenke werden über eine Reduktion der Elementsteifigkeitsmatrix in der Berechnung mit der finite Elemente Methode berücksichtigt. Hierbei wird die konjugierte Verformungsgröße aus der Matrix eliminiert und die jeweilige Zeile der Gelenkschnittkraft als Bestimmungsgleichung für die zugehörige Verformungsgröße verwendet. Der Ablauf entspricht der Kondensation nach Schwarz [7]. Auf eine nähere Betrachtung der nummerischen Abläufe wird an dieser Stelle verzichtet. 2.3 Transformationsbeziehungen In FE-Rahmen werden anders als in FE-STAB Stabwerke und nicht einzelne gerade Stäbe berücksichtigt. Die Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren der einzelnen Stäbe müssen daher zunächst vom lokalen Koordinatensystem der Stabelemente in das globale Koordinatensystem der X-Z-Ebene transformiert werden, bevor die Gesamtsteifigkeitsmatrix und der globale Lastvektor aufgestellt werden kann. Für die Transformation muss der Stabdrehwinkel gemäß Bild 2.7 bekannt sein, der die Drehung in die X-Z-Ebene beschreibt. Bild 2.7 Lage der Stäbe im globalen Koordinatensystem Die Beziehungen zwischen den lokalen und globalen Knotenverformungen sind in Tabelle 2.1 aufgeführt.

13 2.3 Transformationsbeziehungen 9 Tabelle 2.1 Transformationsbeziehung zwischen dem lokalen Verformungsvektor v und dem globalen v v T K v u cos sin 0 u w sin cos 0 w w w mit v Vektor der globalen Knotenverformungen v Vektor der lokalen Knotenverformungen Die Transformationsmatrix ist orthogonal, d.h. es gilt T (2.2) 1 T K TK Für die Schnittgrößen-Verformungsbeziehungen je Element gilt im lokalen x-z- Koordinatensystem se Ke v pe (2.3) Mit der Transformationsmatrix nach Tabelle 2.2 können die lokalen Schnittgrößen- Verformungsbeziehungen in das globale System überführt werden. Dafür ist folgende Transformation erforderlich: e T K T K T e T p T p e e (2.4) mit: p, e K e : Vektoren bzw. Matrix im globalen KOS pe, Ke: Vektoren bzw. Matrix im lokalen KOS Tabelle 2.2 Besetzung der Transformationsmatrix T cos sin 2 -sin cos cos sin 5 0 -sin cos 6 1

14 10 2 Grundlagen Entsprechendes gilt für die Anteile der Theorie II. Ordnung: e T G T G T e p T e p0,e T pe p0,e (2.5) mit: G e : globale geometrische Elementsteifigkeitsmatrix p p e 0,e : globale Vektoren der Lastgrößen infolge von Lasten am Stabelement und Vorverformungen

15 3.1 Vorbemerkung 11 3 Eingabe 3.1 Vorbemerkung Als Programmoberfläche dient MS-Excel. Im Tabellenblatt Eingabe erfolgt die Eingabe sämtlicher Berechnungsparameter. Bei Eingabe von Querschnittswerten werden automatisch weitere Tabellenblätter geöffnet. Als Maßeinheit der Eingabewerte müssen kn und cm verwendet werden. 3.2 Berechnungsoptionen Bild 3.1 zeigt einen Teil des Eingabeblattes von FE-Rahmen. In den ersten Zeilen Projekt und Kommentar besteht die Möglichkeit die durchgeführte Berechnung kurz zu beschreiben. Bild 3.1 Eingabemaske FE-Rahmen: Berechnungsoptionen Theorie Die Tragwerksberechnung erfolgt wahlweise nach Theorie I. oder II. Ordnung. Entsprechend sind in das Feld eine 1 oder eine 2 einzutragen. Wird eine Zahl größer als 2 eingegeben, erfolgt die Berechnung mehrfach (n-1 mal). Bei einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgt keine Ausgabe der Schnittgrößen und Verformungen wenn der Eigenwert überschritten ist, d.h. cr < 1. Programmintern erfolgt keine Begrenzung der Verformungen. Diese sind vom Benutzer zu kontrollieren.

16 12 3 Eingabe Werkstoffkennwerte und Teilsicherheitsbeiwerte Die Kennwerte Elastizitätsmodul E, Schubmodul G, Streckgrenze fy,k des verwendeten Werkstoffes sowie der für die Nachweisführung maßgebende Teilsicherheitsbeiwert für die Beanspruchbarkeit M werden vom Anwender vorgegeben. Sie sind konstant für das gesamte Stabwerk. Der Bemessungswert der Streckgrenze ergibt sich zu: fy,d = fy,k / M (3.1) Der Elastizitätsmodul E und der Schubmodul G sind für die Berechnung nach Theorie II. Ordnung gemäß DIN EN [1] nicht durch den Teilsicherheitsbeiwert abzumindern. Verzweigungslastfaktor cr und höhere positive und negative Eigenwerte Die Ermittlung des Eigenwertes cr erfolgt ausschließlich bei einer Tragwerksberechnung nach Theorie II. Ordnung. Ist die Option cr berechnen gewählt, erfolgt die Berechnung automatisch nach Theorie II. Ordnung. Ebenfalls erfolgt bei einer Berechnung nach Theorie II. Ordnung stets die Überprüfung der Bedingung cr > 1. Neben dem 1. Positiven Eigenwert des Systems, dem Verzweigungslastfaktor cr, kann jeder weitere positive und negative Eigenwert des Systems bestimmt werden, auch wenn dieser kleiner als 1 ist. Die maximale Anzahl der Iterationsschritte sowie die Genauigkeit für die Bestimmung des Eigenwertes können festgelegt werden. In den meisten Fällen sind ca. 25 Iterationsschritte bei einer Genauigkeit von 10-4 ausreichend. Ist die Anzahl der gewählten Iterationsschritte zu gering oder wird kein Eigenwert gefunden, erfolgt eine Fehlermeldung des Programms. Für cr < 1 und negative Eigenwerte folgt keine Ausgabe der Schnittgrößen und Verformungen. Zusätzlich zum Eigenwert kann die zugehörige Eigenform, bzw. Knickbiegelinie, ausgegeben werden. Dazu muss die Option cr berechnen gewählt sein. Eine Ausgabe der verwendeten Steifigkeitsmatrizen ist ebenfalls möglich. Die Ausgabe sollte aber nur bei der Verwendung von maximal 30 Stabelementen erfolgen. 3.3 Eingabe des baustatischen Systems Die Eingabe des baustatischen Systems erfolgt in den in Bild 3.2 dargestellten Tabellen. Zunächst sind Stabknoten und die globalen Lagerbedingungen zu definieren. Zwischen den Stabknoten werden Stäbe mit konstanten oder veränderlichen Querschnitten angeordnet. An Stabenden können Gelenke angeordnet werden. Außerdem ist es möglich für einzelne Stäbe Streckenfedern zu definieren.

17 3.3 Eingabe des baustatischen Systems 13 Bild 3.2 Eingabemaske FE-Rahmen: Systemeingabe Knotenkoordinaten und globale Lagerbedingungen Zunächst sind die Stabanfangs- bzw. endknoten des Stabwerks zu definieren. Es können maximal 20 Knoten definiert werden. Die Anordnung der Knoten in der X-Z- Ebene erfolgt durch Eingabe der globalen X-Ordinate (von links nach rechts positiv) und der globalen Z-Ordinate (von oben nach unten positiv). Jeder Knoten besitzt drei freie Verformungsgrößen im globalen Koordinatensystem: die Verschiebung in Richtung der X- und Z-Achse sowie die Verdrehung um die Y- Achse. Zur Berücksichtigung der globalen Lagerbedingungen können diese wahlweise als frei beweglich oder gesperrt definiert werden. Neben den Knotenverformungen können auch die Verformungen des gesamten Stabes gesperrt werden. Außerdem ist es möglich Punktfedern korrespondierend zu den Verformungsrichtungen bzw. der Verdrehung in den Knoten anzuordnen. Die Eingabe der Lagerbedingungen bzw. der Punktfedern erfolgt durch die Eingabe von Kennzahlen in der vierten bis sechsten Zeile der dafür vorgesehenen Tabelle. Die zu verwendenden Kennzahlen sind in Tabelle 3.1 aufgeführt.

18 14 3 Eingabe Tabelle 3.1 Kennzahl Kennzahlen zur Festlegung der Lagerungsbedingungen Lagerungsbedingung -1 festes Lager -2 in der 1. Spalte 0 bzw. leere Zelle >0 festes Lager in allen Knoten, Verformungsgröße im gesamten Stab behindert kein Lager und keine Punktfeder, Verformungsgröße unbehindert Punktfeder, Federsteifigkeit entspricht dem angegebenen Zahlenwert Stababschnitte und Gelenke Mithilfe der definierten Knoten erfolgt die Eingabe der Stababschnitte. Dafür werden die Knoten entweder als Stabanfangsknoten ( Knoten a ) oder Stabendknoten ( Knoten b ) des jeweiligen Stabes festgelegt. Die Einteilung des Stabes in finite Elemente kann für jeden Stab einzeln gewählt werden. Eine Auswertung der Schnittgrößen, Verformungen und Querschnittstragfähigkeit erfolgt nur in den Stabbzw. Elementknoten. Ebenfalls ist zu beachten, dass abschnittsweise Gleichstreckenlasten und Vorverformungen zwischen Stab- bzw. Elementknoten anzuordnen sind. Weiterhin ist bei Stabilitätsberechnungen (Biegeknicken) und Berechnungen zur Tragfähigkeit darauf zu achten, dass eine ausreichend große Anzahl von finiten Elementen gewählt wird. Beispielsweise solle beim Biegeknicken die Elementanzahl ε = l N EI 1 ist. so festgelegt werden, dass die Stabkennzahl der Elemente Den Stabknoten wird jeweils ein Querschnitt aus der Tabelle Querschnittswerte zugeordnet, s. Kapitel 3.6. Handelt es sich um einen Stab mit konstantem Querschnitt ist in Zelle Q Anfang und Q Ende dieselbe Querschnittsnummer einzutragen. Es ist auch möglich Stäbe mit abschnittsweise veränderlichen Querschnitten (Vouten) zu berücksichtigen, solange es sich um Typ2- oder Typ3-Querschnitte handelt. Die jeweilige Querschnittsnummer ist dann dem Stabanfang bzw. -ende zuzuordnen. Programmintern erfolgt die Berechnung der Querschnittswerte je Element auf Basis des Blechmittellinienmodells. Dies kann dazu führen, dass sich im Vergleich zum Walzprofil leicht geänderte Querschnittswerte ergeben. An den Stabknoten können durch die Eingabe der Kennzahl -8 Gelenke entsprechend den freizusetzenden Verformungsgrößen u, w bzw. w angeordnet werden. Wenn in die entsprechenden Zellen Zahlen > 0 eingetragen werden, werden diese als Steifigkeiten von Gelenkfedern angesetzt. So können beispielsweise nachgiebige Rahmeneckausbildungen im Programm berücksichtigt werden. Je Knoten dürfe bei i Stäben maximal (i-1) Gelenke angeordnet werden. Die Berücksichtigung der Gelenke im Programm erfolgt durch Kondensation, siehe Kapitel 2.2.

19 3.4 Knotenlasten und Gleichstreckenlasten 15 Streckenfedern Kontinuierlich wirkende Aussteifungen können in Form von Streckenwegfedern cw berücksichtigt werden. Die Streckenwegfeder cw wirkt im Schubmittelpunkt M in Richtung der Verschiebungsgröße w im lokalen Koordinatensystem, also quer zur Stabachse. Die Steifigkeiten der Streckenfeder sind als Bemessungswerte einzugeben. Durch die Verwendung von Streckenfedern können beispielsweise elastische gebettete Stäbe modelliert werden. 3.4 Knotenlasten und Gleichstreckenlasten Einzellasten Fx, Fz und Einzellastmomente MyL können in jedem Stabendknoten angeordnet werden. Hierfür sind die Nummern der vorher definierten Knoten zu verwenden. Die Lasten wirken definitionsgemäß im Schwerpunkt S bzw. im Schubmittelpunkt M, so dass keine zusätzlichen Beanspruchungen infolge exzentrischen Lastangriffs auftreten. Die Einzellasten wirken entsprechend dem globalen X-Z-Koordinatensystem. Die Einzellastmomente werden als richtungstreue Vektoren aufgefasst, so dass Verdrehungen keinen Einfluss auf die Einzelmomente haben. Bild 3.3 Eingabemaske FE-Rahmen: Knotenlasten und Gleichstreckenlasten An den Stäben können abschnittsweise konstante Streckenlasten qx und qz wirken. Die Streckenlasten können wahlweise im lokalen x-z- oder im globalen X-Z- Koordinatensystem eingegeben werden. Entsprechend ist die Kennzahl 0 für das

20 16 3 Eingabe globale und die Kennzahl 1 für das lokale Koordinatensystem einzutragen. Lastangriffspunkte sind definitionsgemäß der Schwerpunkt S für die Last qx und der Schubmittelpunkt für die Last qz, so dass keine zusätzlichen Beanspruchungen durch Lastexzentrizität entstehen. Die Abschnitte der Gleichstreckenlasten sind zwischen Stab- bzw. Elementknoten anzuordnen, s. Kapitel 3.3. Außerdem dürfen sich Abschnitte von Gleichstreckenlasten nicht überlappen, so dass pro Stababschnitt und pro Streckenlast nur eine Eingabe zulässig ist. Wirkt eine Streckenlast über die gesamte Stablänge, kann vereinfacht e in das Eingabefeld bis x eingetragen werden. 3.5 Vorverformungen Zur Berücksichtigung von geometrischen Ersatzimperfektionen werden bei baupraktischen Berechnungen nach Theorie II. Ordnung Vorverformungen angesetzt. In FE-Rahmen können abschnittsweise Geraden Geraden + quadratische Parabeln Geraden + Sinushalbwellen für die Vorverformungsfunktion w0(x) eingegeben werden. Die Art der Vorverformung wird durch die Eingabe der entsprechenden Kennzahl definiert. Bild 3.4 Eingabe von Vorverformungen Die Vorverformung kann abschnittsweise pro Stab definiert werden. Die Indices kennzeichnen den Anfang (A), das Ende (E) und die Mitte (M) der Stababschnitte. Wie bei Streckenlasten müssen Anfang und Ende der Vorverformungen entweder auf einem Element- oder Stabknoten liegen. Pro Stababschnitt ist nur die Eingabe einer Vorverformung zulässig, d.h. geradlinige und gekrümmte Vorverformungen müssen in einem Zug eingegeben werden, s. Bild 3.4. Außerdem dürfen sich Vorverformungen angrenzender Stababschnitte nicht überlappen. Wirkt eine Vorverformung über die gesamte Stablänge kann dies durch die Eingabe von e im Feld bis x vorgegeben werden, s. Bild 3.5.

21 3.6 Querschnittswerte 17 Bild 3.5 Eingabemaske FE-Rahmen: Vorverformungen Die Wirkungsrichtung der Vorverformung entspricht der Verschiebungsgröße w im lokalen x-z-koordinatensystem auf Stabebene. 3.6 Querschnittswerte FE-Rahmen beinhaltet 3 Möglichkeiten, Querschnitte zu wählen: Typ1: beliebige Querschnittswerte Typ2: Zwei- und Dreiblechquerschnitte Typ3: Walzprofile Nach Wahl des zu verwenden Querschnittstyps durch Klicke auf den entsprechenden Button, öffnen sich weitere Tabellenblätter zur Eingabe der Querschnittswerte. Ein separater Eintrag in die Tabelle Querschnittswerte ist nicht notwendig, s. Bild 3.6. Bei Typ1-Querschnitten handelt es sich um beliebige Querschnitte. Die für die Berechnung notwendigen Querschnittswerte werden separat eingegeben und müssen vorher berechnet werden. Bei den Querschnittswerten handelt es sich um die Querschnittswerte im y-z-hauptachsensystem. Bezugspunkte im Querschnitt sind der Schwerpunkt S sowie der Schubmittelpunkt M. Die eingetragenen Querschnittswerte müssen den Querschnittswerten des Hauptachsensystems entsprechen. Ein Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mit dem Teilschnittgrößenverfahren (TSV) nach Kindmann/Frickel [2] kann verfahrensbedingt nicht erfolgen, da nicht alle dafür notwendigen Querschnittsparameter bekannt sind.

22 18 3 Eingabe Bild 3.6 Eingabemaske FE-Rahmen: Querschnittswerte Die Wahl eines Typ2-Querschnittes ermöglicht die Eingabe eines Zwei- bzw. Dreiblechquerschnittes. Die Querschnittswerte werden automatisch im Hauptachsensystem berechnet. Zur Eingabe des Querschnitts werden die Abmessungen der Bleche und Abstände zueinander auf Grundlage des Blechmittellinienmodells eingegeben. Die Flansche sind horizontal und orthogonal zum senkrechten Steg angeordnet. Das Bezugs-Koordinatensystem der Eingabe befindet sich in Stegmitte. Es ist darauf zu achten, dass keine Diskontinuitäten zwischen den Einzelblechen entstehen. Es erfolgt eine Untersuchung der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV. Bei der Wahl von Typ3-Querschnitten können gewalzte oder gleichartig geschweißte Querschnitte ausgewählt werden. Das Programm beinhaltet eine umfangreiche Datenbank mit Querschnittswerten von Standardwalzprofilen. Im Programm sind folgende Profilreihen vorhanden: IPE, IPEo, IPEv, IPEa, HEAA, HEA, HEB, HEM, HL, HD, HP, UAP, UPE, gleichschenklige und ungleichschenklige Winkel sowie kreisförmige, quadratische und rechteckige Hohlprofile Es besteht außerdem die Möglichkeit I-, U- und L-Profile sowie kreisförmige Hohlprofile frei zu definieren, in dem die wichtigsten Querschnittsabmessungen eingegeben werden. Setzt man die Ausrundungsradien dabei zu Null, können so auch geschweißte Profile erfasst werden. Für Querschnitte vom Typ3 erfolgt eine Untersuchung der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV. Die Systemberechnung erfolgt in FE-Rahmen ausschließlich in der x-z-ebene. Dabei wird grundsätzlich das Hauptträgheitsmoment verwendet. Bei der Wahl der Querschnitte ist darauf zu achten dass bei bestimmten Querschnittsformen, z.b. bei L- oder U-Querschnitten, Zusatzbeanspruchungen infolge geneigter Hauptachsen oder Exzentrizitäten auftreten können. Es erfolgt ausschließlich eine Berechnung der

23 3.7 Start der Berechnung 19 Schnittgrößen N, My und Vz, so dass eine Bemessung nur für diese Schnittgrößen erfolgen kann. Der Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV erfolgt ebenfalls ausschließlich für diese drei Schnittgrößen. 3.7 Start der Berechnung Durch den Button System berechnen wird die Berechnung gestartet. Das Programm überprüft zunächst ob bei den Eingabewerten Unstimmigkeiten auftreten. Für ausgewählte Eingabefehler erfolgt eine Fehlermeldung und ein Hinweis auf die mögliche Fehlerquelle. Das eingegebene baustatische System kann in einer Systemgrafik dargestellt werden. Neben der Systemgeometrie werden die Lasten und ihre Wirkungsrichtung angezeigt. Zusätzlich ist es möglich die getätigte Eingabe zu speichern. Mit dem Button Eingabe speichern wird das Eingabeblatt separat gespeichert (Datei-Endung *.est) und kann später wieder geladen und verwendet werden. Es ist daher nicht notwendig für jede Berechnung das Excel-Programm FE-Rahmen selbst zu speichern. Die weiteren Buttons in der Eingabeoberfläche dienen zur Navigation im Programm.

24 20 4 Ausgabe 4 Ausgabe Nach erfolgter Berechnung werden die Ergebnisse in verschiedenen Tabellenblättern ausgegeben. Tabellenblatt Ausgabe Im Tabellenblatt Ausgabe werden die Eingabe sowie die wesentlichen Ergebnisse der Berechnung dargestellt, so dass es möglich ist die durchgeführte Berechnung eindeutig nachzuvollziehen. Im Aufbau ähnelt es stark dem Tabellenblatt Eingabe. Es ist so formatiert, dass die Ausgabe der Ergebnisse ohne weitere Skalierung auf drei Seiten des Formats DIN-A4 möglich ist. Neben den Eingabewerten des Systems werden die ermittelten Auflagerkräfte ausgegeben. Erfolgt eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung erfolgt die Ausgabe des zu ermittelnden Eigenwertes cr. Bei der Verwendung von Typ2- bzw. Typ3- Querschnitten werden die maximale Querschnittsausnutzung sowie der Verlauf der Querschnittsausnutzung über die Stablängen gemäß TSV angezeigt. Zusätzlich wird das baustatische System grafisch ausgegeben. Tabellenblatt Schnittgrößen Im Tabellenblatt Schnittgrößen werden die in den Knoten ermittelten Schnittgrößen in tabellarischer und grafischer ausgegeben. Es wird unterschieden zwischen Nachweisschnittgrößen und Gleichgewichtsschnittgrößen, s. Kapitel FE-STAB [6]. Die Nachweisschnittgrößen dienen zur Ermittlung von Spannungen oder zur Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit. Sie wirken entsprechend der verformten Stabachse. Die Gleichgewichtsschnittgrößen beziehen sich auf die unverformte Stabachse und resultieren direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen der finiten Elemente Methode. Erfolgt die Berechnung nach Theorie I. Ordnung entsprechen die Nachweisschnittgrößen den Gleichgewichtsschnittgrößen. Bei Überschreitung des Eigenwertes ( cr < 1) werden keine Schnittgrößen ausgegeben. Tabellenblatt Verformungen Im Tabellenblatt Verformungen werden die berechneten Knotenverformungen und im globalen Koordinatensystem tabellarisch ausgegeben. Zusätzlich erfolgt eine grafische Darstellung der ebenen Verschiebungsfigur des Systems. Das Blatt enthält auch die Verläufe der angesetzten Vorverformungen w0(x). Bei Überschreitung des Eigenwertes ( cr < 1) werden keine Verformungen ausgegeben.

25 3.7 Start der Berechnung 21 Tabellenblatt Eigen Das Tabellenblatt Eigen enthält Angaben über den errechneten Wert sowie die iterative Ermittlung des Eigenwertes cr. Es werden das Intervall, in dem der Eigenwert mit der gewählten Genauigkeit liegt, und der Verlauf der iterativen Eigenwertermittlung angezeigt. Zusätzlich wird die zugehörige Eigenform w(x) in grafischer Form ausgegeben. Die Ermittlung und Ausgabe des Eigenwertes und der korrespondierenden Eigenform erfolgt nur, wenn diese Option im Eingabeblatt ausgewählt wird. Tabellenblatt Info Im Tabellenblatt Info kann bei Verwendung von Typ2- und Typ3-Querschnitten die Ausnutzung der Querschnittstragfähigkeit in jedem Knoten abgelesen werden. Die Ermittlung der Ausnutzung der Querschnitte erfolgt für die berechneten Nachweisschnittgrößen mit dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [2]. Es handelt sich dabei um einen Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit. Das TSV kann verfahrensbedingt nur auf Typ2- und Typ3-Querschnitte angewendet werden. Zusätzlich werden die Knotenwerte der Vorverformungen und der Eigenform tabellarisch ausgegeben. Außerdem können die Intervalle der iterativen Eigenwertermittlung abgelesen werden. Zusätzlich werden die benötigten Rechenzeiten ausgegeben. Tabellenblatt Federkräfte Dem Tabellenblatt Federkräfte können die von den Streckenfedern cw aufgenommenen Federkräfte entnommen werden. Tabellenblatt Q-Typ1, Q-Typ2, Q-Typ3 In den Tabellenblättern Q-Typ1 bis Q-Typ2 sind umfangreiche Informationen zu den Querschnittswerten des gewählten Querschnitts aufgeführt. Tabellenblatt K-Matrix, G-Matrix In den Tabellenblättern K-Matrix und G-Matrix befinden sich die Zahlenwerte der Steifigkeitsmatrix K, der geometrischen Steifigkeitsmatrix G und die Lastvektoren nach Theorie I. und II. Ordnung, sofern diese Option im Eingabeblatt ausgewählt wurde. Die Ausgabe ist auf maximal 30 Stabelemente beschränkt. Eine größere Anzahl an Elementen sollte daher nicht gewählt werden, falls eine Ausgabe gewünscht ist.

26 22 5 Berechnungsbeispiele 5 Berechnungsbeispiele 5.1 Vorbemerkung In den Kapiteln 1 und 2 werden der Leistungsumfang sowie die theoretischen Grundlagen des Programms FE-Rahmen erläutert. In den Kapiteln 3 und 4 folgen eine detaillierte Beschreibung der Eingabe von System- und Berechnungsparametern sowie eine Beschreibung der wichtigsten Aspekte der Ausgabe der Ergebnisse. Zur Veranschaulichung von FE-Rahmen werden in diesem Kapitel 2 Berechnungsbeispiele gezeigt: Tragfähigkeitsnachweis eines ebenen Zweigelenkrahmens Tragfähigkeitsnachweis und Stabilitätsuntersuchung eines ebenen einhüftigen Rahmens mit Pendelstütze Bei beiden Systemen handelt es sich seitlich verschiebliche Rahmen mit gelenkigen Fußpunkten und zumindest einem biegesteifen Riegel-Stützen-Anschluss. Seitlich verschiebliche Rahmen mit gelenkigen Fußpunkten stellen eine häufige Konstruktion im Stahlbau dar. Der biegesteife Riegel-Stützen-Anschluss ermöglicht neben dem Lastabtrag vertikaler Lasten auch die Aufnahme horizontaler Lasten. Die gezeigten Beispiele sollen den Umfang des Programms zeigen und die Eingabe von baustatischen Systemen in FE-Rahmen verdeutlichen. Der Fokus liegt dabei auf der Berechnung und Nachweisführung mit FE-Rahmen. Da die Beispiele dem Buch Stahlbau - Teil 1 [4] entnommen sind, sind dort weitere Informationen zu den Berechnungsbeispielen zu finden. Die Ergebnisse der Berechnungen befinden sich auf den Tabellenblättern, die in Kapitel 4 erläutert wurden. Zur Begrenzung des Umfangs werden hier nur ausgewählte Teile der Ausgabe wiedergegeben. 5.2 Zweigelenkrahmen In Bild 5.1 ist das baustatische System des untersuchten Zweigelenkrahmens dargestellt. Der Zweigelenkrahmen wird in der Ebene untersucht und mittels Ersatzimperfektionsverfahrens wird der Nachweis der ausreichenden Tragfähigkeit geführt. Hierzu werden Ersatzimperfektionen angesetzt, die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung bestimmt und anschließend die Querschnittstragfähigkeit nachgewiesen. Das Berechnungsbeispiel ist Kapitel [4] entnommen. Weitere Einzelheiten sind dort zu finden.

27 5.2 Zweigelenkrahmen 23 Bild 5.1 Baustatisches System des Zweigelenkrahmens Es wird folgende Lastfallkombination untersucht, die aus Eigengewicht, Schnee- und Windlasten resultiert: qv = 31,5 kn/m qh1 = 2,0 kn/m qh2 = 1,3 kn/m Die zu berücksichtigenden Imperfektionen werden gemäß [1] als Stützenschiefstellung angesetzt. Der Wert für die Schiefstellung ergibt sich zu 0 = 1/200 h m = 1/283 mit h = 0,816 und m = 0,866. Zur Berücksichtigung der Schiefstellung als Vorverformung in FE-Rahmen wird die Kopfpunktverschiebung w0 der Stiele berechnet: w0 = 600/283 = 2,12 cm Die Berechnung des Rahmensystems mit FE-Rahmen nach Theorie II. Ordnung ergibt einen relativ großen Verzweigungslastfaktor (1. positiven Eigenwert) von cr = 10,95. Der Einfluss der Theorie II. Ordnung ist daher als gering anzusehen, s. Kapitel 7.1 [4]. Der mit den Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung geführte Nachweis der Querschnittstragfähigkeit ergibt mit einer Ausnutzung von 101,5 % eine leichte Überschreitung im Riegel in der rechten Rahmenecke. Gemäß DIN EN [1] kann der Einfluss der Querkraft vernachlässigt werden wenn gilt VEd < 0,5 Vpl,Rd. Diese Bedingung ist an der Stelle der Überschreitung eingehalten: 195,65 kn < 0,5 558,1 kn. Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit kann somit mit der Interaktionsbedingung für einachsige Biegung und Normalkraft erfolgen, s. Tabelle 5.1.

28 24 5 Berechnungsbeispiele Tabelle 5.1 N-M y-interaktionen für doppeltsymmetrische I-Querschnitte gemäß Tabelle 5.2a [4] Baupraktisch genaue Bedingungen (Walzprofile: 99,89 bis 100,24%) 0 N Ed N w,rd = t w h w f y,rd: M N w,rd < N Ed N pl,rd: My,Ed Npl,Rd NEd 2 NEd y,ed Mpl,y,Rd 4 tw fy,rd h Npl,Rd N 2 4 b f Hinweis: Für N Ed und M y,ed stets Absolutwerte einsetzen. Da das Riegelprofil HEA 320 der Stahlgüte S 235 mindestens der Querschnittsklasse 2 zugeordnet werden kann, s. Tabelle 2.14 [4], kann mit der N-My-Interaktion der Nachweis der ausreichenden Querschnittstragfähigkeit geführt werden. N = 48,90 kn < 0,90 31,0 2 1,55 23,5 1,1 = 536,4 kn Ed y,rd M = kncm < y ,6 1,1 4 0,90 23,5 1,1 = kncm Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit ist damit erfüllt. Durch die Berechnung der Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung der geometrischen Ersatzimperfektionen und dem damit geführten Nachweis der Querschnittstragfähigkeit ist die Stabilität des Rahmens in der Ebene ausreichend erfasst. Ergänzende Stabilitätsnachweise mit Abminderungsfaktoren sind nicht erforderlich. Allerdings wird das Biegeknicken senkrecht zur Ebene und das Biegedrillknicken an dieser Stelle nicht untersucht. Für die Nachweise der räumlichen Stabilität des Rahmens und seiner Bauteile sind weitere Nachweise zu führen. Diese können beispielsweise mit dem RUBSTAHL-Programm FE-STAB geführt werden. Hinweise zum weiteren Vorgehen können den Abschnitten und [4] entnommen werden.

29 5.2 Zweigelenkrahmen 25

30 26 5 Berechnungsbeispiele

31 5.2 Zweigelenkrahmen 27

32 28 5 Berechnungsbeispiele Anmerkung: Die Werte der Schnittgrößen wurden manuell eingefügt.

33 5.2 Zweigelenkrahmen 29

34 30 5 Berechnungsbeispiele

35 5.2 Zweigelenkrahmen 31

36 32 5 Berechnungsbeispiele

37 5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze Das Beispiel zeigt die Berechnung eines einhüftigen Rahmens mit Pendelstütze in der Rahmenebene. Das statische System mit den gewählten Querschnitten und den Belastungen ist in Bild 5.2 dargestellt. Die gewählten Querschnitte können gemäß 2.14 [4] mindestens der Querschnittsklasse 2 zugeordnet werden. Weitere Einzelheiten zu dem Beispiel können Kapitel [4] entnommen werden. Bild 5.2 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze Durch das Gelenk zwischen der Pendelstütze und dem einhüftigem Rahmen entstehen zwei Teilsysteme, die unabhängig voneinander ausknicken. Die Bauteile sind in unterschiedlicher Intensität stabilitätsgefährdet. Es müssen daher beide Teilsysteme separat bezüglich Biegeknicken untersucht werden. Verzweigungslastfaktoren und Knickbiegelinien Eine Berechnung des Systems nach Theorie II. Ordnung ergibt den kleinsten positiven Eigenwert cr = 3,39. Die zugehörige Eigenform zeigt ein Knicken des Rahmens und die Pendelstütze bleibt gerade. Der zweite positive Eigenwert liefert cr = 6,92 und die zugehörige Eigenform zeigt das Knicken der Pendelstütze. Der einhüftige Rahmen verformt sich dabei nicht. Einhüftiger Rahmen Zum Berechnung des Rahmens werden die in Bild 5.2 dargestellten Vorverdrehungen als geometrische Ersatzimperfektionen des Rahmens angesetzt. Mit den ermittelten Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung wird der Querschnittsnachweis geführt. Der Nachweis mit dem Teilschnittgrößenverfahren zeigt eine maximale Auslastung des

38 34 5 Berechnungsbeispiele Rahmens von 97,8 % in der Mitte des Rahmenriegels. Es liegt somit eine ausreichende Tragfähigkeit des Rahmens vor. Pendelstütze Die Pendelstütze kann direkt in FE-Rahmen mit dem Ersatzimperfektionsverfahren nachgewiesen werden, so dass auf eine separate Ermittlung von Abminderungsfaktoren verzichtet werden kann. Für den Stabilitätsfall Biegeknicken um die starke Achse und den Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels TSV wird gemäß Tabelle 7.1 [4] eine parabelförmige Vorkrümmung w0 = L/250 = 400/250 = 1,60 cm in Feldmitte der Stütze angesetzt. Der so geführte Nachweis zeigt eine ausreichende Tragfähigkeit der Pendelstütze.

39 5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 35

40 36 5 Berechnungsbeispiele

41 5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 37

42 38 5 Berechnungsbeispiele

43 5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 39

44 40 5 Berechnungsbeispiele

45 5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 41 Anmerkung: Die Werte der Schnittgrößen wurden manuell eingefügt.

46 42 5 Berechnungsbeispiele

47 5.3 Einhüftiger Rahmen mit Pendelstütze 43

48 Literatur [1] DIN EN (12/10), Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten - Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau; nationaler Anhang (12/10) [2] Kindmann, R.; Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2002 [3] Kindmann, R., Kraus, M.: Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2007 [4] Kindmann, R., Krüger, U.: Stahlbau - Teil 1: Grundlagen, 5. Auflage. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2013 [5] Kindmann, R., Laumann, J., Kraus, M.: Computerorientierte Berechnungen und Tragsicherheitsnachweise im Stahlbau. Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl- und Verbundbau, Ruhr-Universität Bochum, Bochum 2005 [6] Kindmann, R., Uphoff, H.: Berechnungen mit den RUBSTAHL-Programmen. FE-STAB, Tragfähigkeit und Stabilität von Stäben bei zweiachsiger Biegung mit Normalkraft und Wölbkrafttorsion. Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum 2014 [7] Schwarz, H. R.: Methode der finiten Elemente, 3. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1991