Plastische Bemessung von asymmetrischen Stahlquerschnitten bei Beanspruchung durch Normalkraft und schiefe Biegung.

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1 Plastische Bemessung von asymmetrischen Stahlquerschnitten bei Beanspruchung durch Normalkraft und schiefe Biegung. ( Michael Moch ) 1. Einführung In diesem Beitrag soll gezeigt werden, wie der plastische Spannungsnachweis an asymmetrischen Querschnitten, die von Normalkraft und Biegemomenten gleichzeitig beansprucht sind, durchgeführt werden kann. Dabei werden weder Interaktionsbeziehungen noch auf dem Superpositionsprinzip beruhende Näherungen aufgestellt, sondern der Lastvektor wird als ganze, spannungserzeugende Einheit betrachtet. Die plastischen Querschnittsgrößen A pl und W pl sind nur in Sonderfällen zu gebrauchen; im allgemeinen Fall steht dem Lastvektor ein plastischer Widerstandsvektor gegenüber. Da die Berechnung auf einem Iterationsverfahren beruht, wird sie mit einem echenprogramm im Computer ausgeführt. Das Ergebnis läßt sich hingegen leicht mit dem Taschenrechner prüfen, wobei allerdings ein Tabellenkalkulationsprogramm, wie z.b. EXEL, zur Berechnung von Querschnittswerten hilfreich wäre. Es handelt sich um ein rein mathematisches echenmodell; physikalische Fragen, die mit diesem Modell nicht angesprochen werden - z.b.: ausreichende Beulsicherheit der einzelnen Plattenstreifen oder die otationsfähigkeit des Querschnittes, Stabilität des Systems usw. - müssen anderweitig untersucht werden. Ebensowenig wird auf Besonderheiten in den Vorschriften [2] eingegangen. 2. Bemessung allgemein Bei der Bemessung vergleichen wir geometrische Größen des Querschnitts und unterschiedlich definierte Spannungs-Dehnungs-Beziehungen d mit dem Vektor der Beanspruchung S d. S d = { N, M y, M z } T d < = > d Gl. 1 Für Sonderfälle ist dieser Vergleich einfach zu berechnen: Linearelastische Spannungs-Dehnungs-Beziehungen. Das Gleichgewicht von Beanspruchung und eaktion drückt sich in der Gleichung 2 aus. S d = X σ Gl. 2 Darin enthält der Vektor σ = {σ o, σ y, σ z } T die Parameter für die Spannungsebene, so daß gilt: σ (y,z) = σ o + y σ y + z σ z Gl. 3 X ist die Matrix mit den Querschnittswerten. X = A S y S S I I S I I z y y yz z yz z Gl. 4 Gleichung 2 läßt sich ohne weiteres nach σ auflösen, da die Inverse von X existiert. σ = S d X -1 Gl. 5 Damit ist die Spannung in jedem Punkt des Querschnitts bekannt. 1

2 Wenn idealplastische Spannungs-Dehnungs-Beziehungen vorausgesetzt werden, sind doppelt symmetrische Querschnitte unter Beanspruchung nur einer Komponente des Vektors S d mit einfachen Formeln berechenbar. N d < N pl oder M d < M pl Gl. 6 N pl und M pl sind vertafelt oder leicht abzuleiten. Für N pl benötigen wir nur die Fläche A und für M pl das sogenannte plastische Widerstandsmoment, das mit dem zweifachen Wert des Trägheitsmomentes 1. Grades, dem statischen Moment, identisch ist. Für doppelt symmetrische I-Profile gibt [2] Interaktionsbeziehungen an. Unter Punkt 5 dieses Beitrags wird dafür ein vergleichendes Beispiel gezeigt. 3. Der allgemeine Fall 3.1 Idealplastische Spannungs-Dehnungs-Beziehung Der Querschnitt ist in zwei Bereiche unterteilt, von denen der eine Zug und der andere Druck, - jeweils die Fließspannung - enthält. Die Linie, die beide Bereiche voneinander trennt, ist die Spur der auf der Querschnittsebene senkrecht stehenden Dehnungsebene. (vergl. Abb. 1) Die Gleichung dieser Geraden lautet: z = α + β y Gl. 7 Bei richtiger Lage von z ist das Gleichgewicht eines vielfachen Wertes von S d mit d vorhanden. Es gilt also die Beziehung: 1/κ S d = d = f y,k x Gl. 8 mit x = {(2 A - A * ), 2 (S y - S * y), 2 (S z - S * z)} T Gl. 9 In dem Widerstandsvektor x ist A die Fläche, S y und S z sind die statischen Momente. Die Größen ohne * gehören zum ganzen Querschnitt, diejenigen mit * zu dem gedrückten Teilquerschnitt; die Größen mit * sind Funktionen vom α und β. Der Wert κ = S d / d ist ein Maß für die Ausnutzung des Querschnitts; er ist immer größer als Null. Bei κ = 1 ist der Querschnitt vollplastiziert, bei κ < 1 sind auf der Lastseite noch eserven vorhanden, bei κ > 1 ist der Lastvektor zu groß. Gleichung 8 wird mit κ multipliziert : S d = = σ x Gl. 10 Der Algorithmus besteht dann darin, die drei Größen σ, α, und β, zusammengefaßt im Vektor so zu bestimmen, daß Gl. 8 erfüllt ist. q = {σ, α, β} T Gl. 11 Ausgehend von einem geschätzten Vektor q und in Anlehnung an das Näherungsverfahren von Newton berechnen wir q iterativ: q =: q + (S d - ) / Gl. 12 mit = r r und r = x q T = r Gl. 13 und dem Operator q T = { / σ, / α, / β} T Gl. 14 2

3 Die Matrix enthält die Spaltenvektoren { 0, 1, 2 }, die jetzt partiell abgeleitet werden. 0 = { 00, 10, 20 } T = / σ = x Gl = { 01, 11, 21 } T = / α = σ x / α = σ {A * / α, 2 S * y / α, 2 S * z / α} 2 = { 02, 12, 22 } T = / β = σ x / β = σ {A * / β, 2 S * y / β, 2 S * z / β} Die Ableitung von 0 ist mit Gl. 10 sofort einzusehen, während für 1 und 2 die Größen A * / α bis S * z / β im folgenden, für polygonal begrenzte Querschnitte erläutert werden. Variation der Querschnittswerte A *, S * y und S * z Z n-1 z = α + β y n A * k z = c + d y 1= n+1 i z = a + b y y Abb. 1 Polygon mit n Eckpunkten Nur die Schnittpunkte des Querschnittrandes mit der Spur z (α, β) sind mit α und β veränderlich. In Abb. 1 ist es das Punktepaar i und k. Die anderen Punkte sind bezüglich α und β invariant, ihre Ableitung verschwindet. Variable Koordinatenpaare i, k und ihre Ableitungen y i = ( α - a ) / ( b - β ) z i = ( α b - β a ) / ( b - β ) y k = ( α - c ) / ( d - β ) z k = ( α d - β c ) / ( d - β ) Gl y i / α = 1 / ( b - β ) z i / α = b / ( b - β ) y k / α = 1 / ( d - β ) z k / α = d / ( d - β ) Gl y i / β = ( α - a ) / ( b - β )² z i / β = b (α - a ) / ( b - β ) y k / β = ( α - c ) / ( d - β )² z k / β = d (α - c ) / ( d - β ) Gl

4 Fläche A * Die Ableitungen 2 A = j (y j z j+1 z j y j+1 ) A * / α = (y i - y k ) Gl. 24a, b, c Statische Momente S * A * / β = (y² i - y² k )/2 6 S * y = j 6 S * z = j (y j z j+1 - z j y j+1 ) (z j + z j+1 ) S * y / α = (y i - y k ) (y i + y k )/2 Gl. 25a, b, c S * y / β = (y i - y k ) ( y i (2 y i + y k ) + (y i + 2 y k ) y k )/6 (y j z j+1 - z j y j+1 ) (y j + y j+1 ) S * z / α = (y i - y k ) (z i + z k )/2 Gl. 26a, b, c S * z / β = (y i - y k ) ( y i (2 z i + z k ) + (z i + 2 z k ) y k )/6 Die Gleichungen 24a, 25a und 26a stammen aus [1], die Gleichungen 24b,c, 25b,c und 26b,c lassen sich mit Hilfe von Gl leicht herleiten. Es gibt r Punktepaare P i, P k. Daher ist in Gl. 13 die Summe von r Matrizen zu berechnen. i 3 k 3 r = 3 k 2 i 2 k 1 i 1 Abb. 2 Querschnitt mit 3 Teilstrecken der Spurgeraden. Die Iterationsvorschrift Gl.12 konvergiert bei geeigneter Schätzung des Ausgangsvektors q gut. Als Ergebnis erhält man den im ahmen der Iterationsgrenze genauen Vektor q = {σ, α, β}. Die Parameter der Spurgeraden α und β können sichtbar gemacht werden, indem graphisch dargestellt wird, wie die Spur den Querschnitt unterteilt. Den vom Querschnitt gerade noch aufnehmbaren Lastvektor erhält man durch Division des gegebenen Lastvektors mit κ. In einem 2. echengang folgt dann das Ergebnis κ = (1-ε) < 1. In Abhängigkeit von der Iterationsschranke kann ε beliebig klein aber nicht Null werden. Unter der Voraussetzung Ebenbleiben des Querschnitts ist die Annahme eines idealplastischen Werkstoffverhaltens wirklich sehr ideal; sie bedeutet, daß unmittelbar rechts und links einer Linie Dehnungen von unbeschränkter Größe, jedoch sprunghaft mit unterschiedlichem Vorzeichen möglich wären. Das idealplastische Modell ist daher nur bedingt sinnvoll, z. B. zum Bereitstellen von Tafelwerten für Profile oder bei Handrechnungen mit egelquerschnitten und einfachen Lasten. Das Modell eines linearelastisch-idealplastischen Werkstoffverhaltens ist anschaulicher und wahrscheinlich auch besser an die ealität angenähert. Die Dehnungen werden auf beiden Seiten der neutralen Faser stetig größer und selbst an der Fließgrenze kommen keine sprunghaften Änderungen der Dehnung vor. 4

5 3.2 Linearelastisch-idealplastische Spannungs-Dehnungs-Beziehung Der Querschnitt ist in drei Zonen unterteilt: D idealplastische Druckzone. E linearelastische Zug-Druck-Zone Z idealplastische Zugzone σ +σ D E Z Abb. 3 Polygon mit Zug- und Druckzone im Fließbereich und im elastischen Übergangsbereich Entsprechend ist der Vektor der eaktion über diese drei Bereiche unterschiedlich zu integrieren. Es ist d = f yk Σ (z - d) + X E σ Gl. 27 z = { A Z, S Z y, S Z z } T Gl. 28 d = { A D, S D y, S D z } T Gl. 29 X E ist die Querschnittsmatrix für den Bereich E wie Gl. 4 σ = { σ o, σ y, σ z } T wie Gl. 3 Die Lösung der Gleichung 27 folgt aus der Iterationsvorschrift σ =: σ + (S d - d ) / d Gl. 30 mit d = d / σ = X E Gl. 31 Gleichung 30 konvergiert, solange der Lastvektor nicht größer ist als der, der einen vollplastizierten Querschnitt erzeugt. Das heißt nach den Herleitungen in Abs. 3.1: κ 1. Bei κ = 1 degeneriert der elastische Bereich E zur Geraden, der Querschnitt ist dann voll plastiziert. Dieser Fall kann i.a. nicht numerisch erzeugt werden. Bei hinreichend kleinem Lastvektor verschwinden die plastische Zug- oder Druckzone oder beide. In letztem Fall sind die Ergebnisse mit denen einer herkömmlichen, elastischen Berechnung identisch. Gleichung 30 sieht einfach aus, doch müssen für jeden Iterationsschritt die Grenzen zwischen den Bereichen Z, E und D und damit die drei Teilflächen neu ermittelt werden. 5

6 4. Anwendung in einem echenprogramm Die oben beschriebenen theoretischen Herleitungen sind in ein echenprogramm eingearbeitet worden, das für polygonal begrenzte Querschnitte geeignet ist. Eine Auswahl von 8 Typen wie 3-, 4-, 6-, 8-Eck, L-, T-, H-Form und Kreis sind als Hohl- oder Vollquerschnitt leicht abrufbar. Sie können in einer Koordinatentabelle verzerrt, beschnitten oder ergänzt werden. Ganz unregelmäßige Formen werden in der Koordinatentabelle als Polygon eingegeben. Walzprofile werden als Polygone mit Berücksichtigung der Ausrundungen zwischen Steg und Gurt angenähert, sie sind in einem Datensatz der Firma ABED [3] gespeichert und können mit der Profilbezeichnung abgerufen werden. Materialwerte und Sicherheitsfaktoren nach [2] sowie drei Lastvektoren {N, My, Mz} mit je verschiedenen Sicherheitsfaktoren werden interaktiv über Tabellen eingegeben. Die Berechnung erfolgt in zwei Schritten: Es wird nach 3.1 untersucht, ob der Lastvektor hinreichend klein, also κ < 1 ist. Der Querschnitt, unterteilt in Druck- und Zugzone, wird auf dem Bildschirm dargestellt, desgleichen die Größe von κ. Bei κ < 1 erkennt man, welche eserven auf der Lastseite noch vorhanden sind; sonst verzweigt das Programm zur Lasteingabetabelle, in der man die Lasten oder die Sicherheitsfaktoren modifizieren kann. Beim Ausdruck auf Papier werden zusätzlich die Querschnittswerte des Gesamt- und des Teilquerschnitts ausgegeben, so daß eine Kontrolle mit Handrechnung möglich ist. Die Iteration konvergiert nur dann, wenn der geschätzte Anfangsvektor q - also die Lage der Spur - genau genug ist. Bei stark zerklüfteten Querschnitten versagt manchmal die programmierte Schätzung; dann muß man die Spur interaktiv korrigieren. Wenn die Berechnung nach 3.1 Erfolg hatte, wird nach 3.2 weiter gerechnet. Im Ergebnis kann man sehen, wo der Querschnitt plastiziert ist, und wo er noch im elastischen Bereich liegt. Dieses Ergebnis erscheint auf dem Bildschirm und kann auch als Graphik ausgedruckt werden. 5. Beispiele Die zwei folgenden Beispiele zeigen das Ergebnis des Spannungsnachweises. Es wird der Querschnitt eines HE 240 B aus St 37 bemessen. Lastvektor, Material und Sicherheitsbeiwerte sind in beiden Fällen gleich. Der Lastvektor ist S d = γ { -N, M y, M z } = 1.0 { -1156, 95, 65 } [ kn, knm, knm ] Abb. 4a Vergleich mit DIN , Teil 1 Abb. 4b Wie Abb.4a, jedoch mit Schraubenloch 6

7 5.1 Beispiel 1, Abb. 4a In diesem Beispiel wird das Ergebnis des Programms mit dem der Interaktionsformeln (40) und (41) aus [2] verglichen. Die Ergebnisse stimmen gut überein. S d / d = 0,97 nach obiger Ableitung, S d / d = 0,99 nach [2]. Da der Querschnitt nur zu 97% ausgenutzt ist, gibt es einen elastischen Bereich, dessen um 64 geneigte Mittellinie den Abstand a = 47,9 mm vom Koordinatenursprung hat und dessen Breite b = 84 mm beträgt. Im Programmausdruck sind die Gesamtfläche, die vollplastizierte Druckfläche und die Schwerpunktsabstände zu finden. Mit diesen Werten, eingesetzt in Gl. 8 und 9, kann das Ergebnis geprüft werden. 5.2 Beispiel 2, Abb. 4b Beispiel 1 wurde geändert, indem rechts unten ein Schraubenloch vorgesehen wurde. Hier soll die Asymmetrie eines Querschnitts demonstriert werden. Der Querschnitt ist jetzt fast voll ausgenutzt, die eserven sind hinter der 3. Kommastelle. Der elastische Bereich ist im Vergleich mit Beispiel 1 sehr schmal geworden ( 6,7 mm ). 6. Zusammenfassung und Schluß In diesem Beitrag wurde gezeigt, daß der Spannungsnachweis bei plastizierten Querschnittsbereichen für den allgemeinen Fall der Querschnittsgeometrie und des Lastvektors mit geringem mathematischen Aufwand zu lösen ist. Daher erübrigen sich für den Lastfall Biegung mit Normalkraft Näherungen mit Interaktionsdiagrammen oder formeln. Das Zusammenwirken von Querkraft, Biegung und Normalkraft wurde hier noch nicht untersucht. Dennoch sind die Ableitungen auch für diese Lastkombination nützlich, da man ein zutreffendes Urteil über die Ausnutzung durch Normalspannungen erhält. Literatur: [1] Fleßner, H.: Ein Beitrag zur Ermittlung von Querschnittswerten in Der Bauingenieur, Heft 4, Jhg.1962, S. 146 [2] DIN , Teil 1 [3] Index ABED, Verkaufsprogramm - Träger, Edition Februar 1990 Autor dieses Beitrags: Dipl.-Ing. Michael Moch Ulmenstraße Berlin tel.: (030) fax.: (030) Michael.Moch@berlin.de 7