Mechanik. Dirk Gunnar Welsch

Transkript

1 Mechanik Dirk Gunnar Welsch

2 2

3 Inhaltsverzeichnis Einführung 5 1 Kinematik eines Massenpunktes Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung Krummlinige Koordinatensysteme Grundtypen von Bewegungen Gleichförmig beschleunigte Bewegung Gleichförmige Kreisbewegung Periodische Bewegungen Newtonsche Mechanik Die Newtonschen Prinzipien Das Trägheitsgesetz Das Grundgesetz der Dynamik Das Wechselwirkungsgesetz Superposition von Kräften Bewegte Bezugssysteme Dynamik eines Massenpunkts Bewegungsgleichungen Impulsbilanz Energiebilanz Drehimpulsbilanz Erhaltungssätze und Integration der Bewegungsgleichungen Spezielle Probleme Dynamik eines Massenpunktsystems Bewegungsgleichungen

4 4 INHALTSVERZEICHNIS Impulsbilanz (Massenmittelpunktsatz) Energiebilanz Virialsatz Drehimpulsbilanz Erhaltungssätze und Integration der Bewegungsgleichungen Spezielle Probleme Lagrangesche Mechanik Das d Alembertsche Prinzip Freie und gebundene Systeme Bedingungsgleichungen Das d Alembertsche Prinzip Bilanzgleichungen Spezielle Probleme Lagrangesche Gleichungen Lagrangesche Gleichungen 1. Art Energiebilanz Generalisierte Koordinaten Lagrangesche Gleichungen 2. Art Erhaltungssätze und Symmetrien Spezielle Probleme Hamiltonsche Mechanik Das Hamiltonsche Prinzip Hamiltonsche Gleichungen Poisson-Klammern Kanonische Transformationen Die Hamilton-Jacobi-Gleichung Verallgemeinerte Integralprinzipien Teilchen- und Wellenausbreitung

5 Es ist gut, wenn man sich langsam bewußt wird, daß man gar nichts versteht. Maurice Maeterlinck Einführung Die Mechanik ist der Teil der Physik, der sich mit den Bewegungsgesetzen materieller Körper befaßt. Sie ist die physikalische Disziplin, in der es zuerst und in relativ großem Maße gelang, die Zielstellung der theoretischen Physik zu verwirklichen, nämlich durch Verallgemeinerung von Erfahrungen einige allgemeine Grundsätze (Axiome) aufzustellen, aus denen die speziellen Gesetze der vielfältigen Einzelerscheinungen auf mathematischem Wege ableitbar und erklärbar sind. Die in der Mechanik eingeführten Grundbegriffe (wie Masse, Kraft, Impuls, Arbeit, Energie usw.) sowie die entwickelten Prinzipien und Methoden sind auch in anderen Teilgebieten der Physik so bedeutsam geworden, daß außer historischen Gesichtspunkten viele Gründe dafür sprechen, das Studium der theoretischen Physik mit der Mechanik zu beginnen. Wir werden uns im folgenden mit der klassischen Mechanik beschäftigen. Ihre eigentliche Grundlegung ist Newton zu verdanken, der die großen Leistungen von Galilei, Kepler, Descartes, Huygens und anderen zusammen mit seinen eigenen Erkenntnissen gegen Ende des 17. Jahrhunderts zu einem einheitlichen System zusammenfaßte. Die klassische Mechanik wird deshalb auch häufig als Newtonsche Mechanik bezeichnet. In der Folgezeit wurde sie in vielfältiger Weise weiterentwickelt und auf einen recht hohen Stand gebracht, so daß man zeitweise glaubte, das gesamte Naturgeschehen auf die Newtonsche Mechanik zurückführen zu können und in ihrem Rahmen (zumindest prinzipiell) erklären zu können. Im Zuge der sich entwickelnden experimentellen Techniken wurden durch verfeinerte und neue Beobachtungsme- 5

6 6 EINFÜHRUNG thoden etwa mit Beginn des 20. Jahrhunderts die Grenzen der klassischen Mechanik sichtbar, und zwar einmal für hinreichend große Geschwindigkeiten und zum anderen für hinreichend kleine Wirkungen. Es entstanden die relativistische Mechanik und die Quantenmechnik, die in ihrer Vereinigung zur relativistischen Quantenmechanik führten. Klassische Mechanik Relativistische Mechanik Quantenmechanik Relativistische Quantenmechanik Die Einteilung der Mechanik ist von mehreren Gesichtspunkten aus möglich. Die Bewegung eines Körpers ist dann vollständig beschrieben, wenn die Bewegung aller seiner Teile angegeben werden kann, was i. allg. eine recht verwickelte Aufgabe ist. Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Abmessungen des Körpers (auf einer makroskopischen Skala) hinreichend klein sind, so daß man sich bei der Beschreibung der Bewegung des Körpers auf die Bewegung eines einzigen Punktes des Körpers beschränken kann. In diesem Fall wird der Körper durch einen sogenannten Massenpunkt ohne räumliche Ausdehnung idealisiert, den man sich mit der gesamten Masse des Körpers behaftet denkt. Ob ein Körper als Massenpunkt angesehen werden kann, hängt natürlich vom konkreten Fall ab. Der Massenpunkt idealisiert den Körper, er ist ein Modell, durch das wirkliche Körper in vielen praktischen Fällen ersetzt werden können. Da ein Massenpunkt definitionsgemäß strukturlos und ohne Ausdehnung ist, kann er nur eine Translationsbewegung ausführen (innere Bewegungen und Rotationsbewegungen gibt es nicht). Ausgehend vom einzelnen Massenpunkt kann man sich dann jeden materiellen Körper bzw. Systeme von solchen Körpern durch viele Massenpunkte zusammengesetzt denken und gelangt zu Massenpunktsystemen,

7 EINFÜHRUNG 7 deren Mechanik auch als Punktmechanik bezeichnet wird. So kann insbesondere ein starrer Körper, der in allen seinen Teilen von absolut unveränderlicher Gestalt ist, als ein System von Massenpunkten angesehen werden, deren gegenseitige Abstände sich nicht ändern. Gegenstand dieser Vorlesung ist die Punktmechanik. Mechanik Punktmechanik Kontinuumsmechanik Die elastischen Eigenschaften und Formänderungen fester Körper sowie die Bewegungen von Flüssigkeiten und Gasen gehören zu dem umfangreichen Gebiet der Mechanik deformierbarer Körper, kurz Kontinuumsmechanik genannt. Es ist klar, daß bei der ungeheuren Anzahl von zu berücksichtigenden (diskreten) Massenpunkten die Punktmechanik praktisch nicht durchführbar ist und feldtheoretischen (Kontinuums-)Zugängen der Vorrang zu geben ist. Die Mechanik kann natürlich auch von anderen Gesichtspunkten aus eingeteilt werden. Der Zweig der Mechanik, der Bewegungsabläufe an sich untersucht, d.h. ohne Rücksicht auf ihre Entstehung, ist die Kinematik. Im Gegensatz dazu zieht die Dynamik auch die Ursachen Mechanik Kinematik Dynamik der Bewegung in Betracht. Ein Sonderfall der Dynamik ist die Statik, die die Bedingungen des Ruhezustands (Gleichgewichts) untersucht. So kann auf Grund der gegebenen Einteilungen von der Kinematik, Statik,

8 8 EINFÜHRUNG Dynamik beispielsweise des Massenpunktes, des starren Körpers oder deformierbarer Medien gesprochen werden. Schließlich kann die Mechanik nach den ihr zugrunde liegenden Prinzipien eingeteilt werden: wobei hier der Begriff Newtonsche Me- Mechanik Newtonsche Mechanik Lagrangesche Mechanik Hamiltonsche Mechanik chanik im engeren Sinne der Newtonschen Prinzipien zu verstehen ist. Vorlesungsschwerpunkte Punktmechanik Grundbegriffe der Kinematik Dynamik Newtonsche Mechanik Lagrangesche Mechanik Hamiltonsche Mechanik

9 Kapitel 1 Kinematik eines Massenpunktes 1.1 Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung Im Rahmen der Kinematik als der geometrischen oder reinen Bewegungslehre werden Bewegungen an sich untersucht, d.h. ohne Rücksicht auf ihre Entstehung. Vom Standpunkt der Kinematik aus ist die Bewegung eines Massenpunktes (eines Körpers) bestimmt, wenn die Lage des Punktes relativ zu einem anderen Körper zu jedem Zeitpunkt angebbar ist. Dieser andere Körper ist als Bezugskörper oder Bezugssystem unerläßlich, da im leeren Raum die Lage des Punktes nicht definierbar und damit nicht feststellbar wäre. Um die Lage eines Punktes P zu bestimmen, wählen wir in dem Bezugskörper (z.b. der Erde, einem Labor, oder einem beliebigen, als starr angenommenen Körper) einen Ausgangspunkt O, durch den wir drei aufeinander senkrecht stehende Geraden legen, die wir als Achsen eines rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystems ansehen. Die Lage des Punktes P, die durch Angabe der drei Koordinaten x, y, z vollständig bestimmt ist, kann durch den Ortsvektor oder Radiusvektor OP = r charakterisiert werden, dessen rechtwinklige Komponenten gerade die drei Koordinaten x, y, z sind. Oft wird es zweckmäßiger sein, anstelle kartesischer Koordinaten andere, systemangepaßte Koordinaten zu verwenden (Abschnitt 1.2). 9

10 10 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES z P e z r z x O e x y e y x y z r(t) z(t) x y(t) x(t) y Die Bewegung des Massenpunktes ist bekannt, wenn der Ortsvektor r als Funktion der Zeit t bekannt ist, speziell in kartesischen Koordinaten, d.h., wenn die Funktionen r = r(t), (1.1) r(t) = x(t)e x + y(t)e y + z(t)e z, (1.2) x = x(t), y = y(t), z = z(t) (1.3) bekannt sind. Wir wollen annehmen, daß diese Funktionen eindeutig und mindestens zweimal differenzierbar sind. Die Raumkurve, die durch r(t) beschrieben wird, heißt auch Bahnkurve des Massenpunktes.

11 1.1. BAHNKURVE, GESCHWINDIGKEIT UND BESCHLEUNIGUNG11 Der Massenpunkt befinde sich zur Zeit t in dem durch den Ortsvektor r gekennzeichneten Punkt P in der folgenden Abbildung, und nach P, t r r P, t + t r + r Bahnkurve O der Zeitspanne t in dem durch den Ortsvektor r + r bestimmten Punkt P, d.h., die Verrückung des Massenpunktes während des Zeitintervalls t ist PP = r. Die auf die Zeiteinheit bezogene (mittlere) Verrückung ist durch den Vektor r t = r(t + t) r(t) t (1.4) gegeben, der nicht nur eine Funktion der Zeit t ist, sondern auch von der gewählten Zeitspanne t abhängt. Den von t unabhängigen Vektor der Geschwindigkeit v(t) findet man dann als Grenzwert von r/ t für t 0: v ṙ dr dt = lim r(t + t) r(t) t 0 t (1.5) und speziell in kartesischen Koordinaten: ṙ = ẋe x + ẏ e y + ż e z. (1.6) Geometrisch ergibt sich der Vektor der Geschwindigkeit als Grenzlage der Sekante durch die Vektoren r(t+ t) und r(t) pro Zeitintervall

12 12 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES t in der Grenze t 0, d.h., die Richtung der Geschwindigkeit zur Zeit t ist durch die Richtung der Tangente im Punkt P der Bahnkurve r(t) zur Zeit t gegeben, v = vt (1.7) (T - Tangenteneinheitsvektor, v = v ). Führen wir die Bogenlänge der Bahnkurve zwischen dem Punkt P (zum Zeitpunkt t) und einem (zu einem geeignet gewählten Anfangszeitpunkt t 0 bestimmten) Punkt P 0 ein, d.h. die zwischen t 0 und t zurückgelegte Wegstrecke s, s = s(t) = t t 0 ds = so finden wir wegen r=r[s(t)] t v = dr dt = dr }{{} ds T t 0 dr t = t(s), (1.8) ds, (1.9) }{{} dt v d.h. Gleichung (1.7). So wie der Vektor der Geschwindigkeit als zeitliche Änderung des Ortsvektors definiert wird, kann der Vektor der Beschleunigung als zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors definiert werden: v v v + v Hodograph O a v r dv dt d2 r dt = lim v(t + t) v(t) 2 t 0 t (1.10)

13 1.1. BAHNKURVE, GESCHWINDIGKEIT UND BESCHLEUNIGUNG13 und speziell in kartesischen Koordinaten: r = ẍe x + ÿ e y + z e z. (1.11) Die Beschleunigung a(t) wird aus der Kurve v(t) (Hodograph) in der gleichen Weise gewonnen wie die Geschwindigkeit v(t) aus der Bahnkurve r(t). Aus (1.10) mit (1.7) erhalten wir und es gilt Ferner folgt aus T T =1 a = dv dt = d (vt) = v T + v Ṫ, (1.12) dt Ṫ = dt dt = dt ds ds }{{} dt v d dt (T T) = 0 T ds ds = 0 dt ds Mit (1.13) und dem Hauptnormaleneinheitsvektor N = dt 1 dt ds ds = 1 dt κ ds = R dt ds = v dt ds. (1.13) T. (1.14) (1.15) (κ = dt/ds - Krümmung, R = 1/κ - Krümmungsradius) lautet die Beschleunigung (1.12) a = dv dt = v T + v2 R N. (1.16) Der Beschleunigungsvektor ist hier zerlegt in einen Anteil, der von der Betragsänderung der Geschwindigkeit herrührt und einen Anteil, dessen Ursache die Richtungsänderung der Geschwindigkeit ist. Die durch T und N aufgespannte Ebene heißt auch Schmiegungsebene der Bahnkurve [am Punkt r(t)]. Aus (1.16) ist ersichtlich, daß der Beschleunigungsvektor immer in der Schmiegungsebene liegt und nach der konkaven Seite der Bahnkurve zeigt. Der dritte auf T und N senkrecht stehende Binormaleneinheitsvektor wird in der Mechanik

14 14 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES i. allg. nicht benötigt, da Beschleunigungen höherer Ordnung kaum eine Rolle spielen. Das aus den genannten Einheitsvektoren gebildete Dreibein, das auch begleitendes Dreibein genannt wird, definiert das sogenannte natürliche Koordinatensystem für Geschwindigkeit und Beschleunigung. Ergänzung zur Gleichung (1.15).. T φ T + T T T T + T N R s φ Aus der Abbildung liest man ab, daß ( t 0) dφ = ds R = dt (1.17) gilt, d.h. dt ds = 1 R. (1.18) Der Krümmungsradius R kann als Radius des Kreises angesehen werden, durch den die Bahnkurve im betrachteten Punkt am besten approximiert wird.

15 1.2. KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME Krummlinige Koordinatensysteme In kartesischen Koordinaten sind die Koordinatenlinien Geraden. Bisweilen sind den Problemen krummlinige Koordinaten besser angepaßt. In diesem Fall ändern die Koordinatenlinien ihre Richtung, so daß die Einheitsvektoren ortsabhängig werden. Stehen die Koordinatenlinien senkrecht aufeinander (z.b. Zylinder- und Kugelkoordinaten), so spricht man von rechtwinkligen (krummlinigen) Koordinaten. Der allgemeinste Fall wären schiefwinklige (krummlinige) Koordinaten. Im Falle von schiefwinkligen Koordinaten lassen sich zwei Arten von Koordinaten und Basisvektoren definieren. g i Koordinatenlinie x i g i Fläche x i = const. Betrachten wir ein Koordinatentripel (i = 1, 2, 3) mit der Umkehrtransformation x i = x i (x, y, z) (1.19) x = x(x 1, x 2, x 3 ), y = y(x 1, x 2, x 3 ), z = z(x 1, x 2, x 3 ). (1.20) Zum einen können kovariante Basisvektoren g i = r x i (1.21) definiert werden, die sich an die jeweilige Koordinatenlinie x i anschmiegen. Zum anderen können über Gradientenbildung kontravariante Basisvektoren g i = x i (1.22)

16 16 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES definiert werden, die auf der jeweiligen Fläche x i = const. senkrecht stehen. Offensichtlich gilt für rechtwinklige Koordinaten g i g i. Die Skalarprodukte g ik = g i g k = g ki, (1.23) g ik = g i g k = g ki (1.24) hängen von den gewählten Koordinaten ab, da die Basisvektoren davon abhängen. Invariant sind demgegenüber die Skalarprodukte von kovarianten und kontravariaten Basisvektoren, g k i = g i g k = r x i xk = xk x i = δk i (1.25) (δ k i - Kronecker-Symbol). Kovariante und kontravariante Basisvektoren bilden jeweils eine Entwicklungsbasis für einen beliebigen Vektor q, q = q k g k = q k g k (1.26) (q i - kontravariante Komponenten von q, q i - kovariante Komponenten von q; Summenkonvention: über zwei gleiche ko- und kontravariante Indizes ist zu summieren). Wir multiplizieren (1.26) skalar mit g i bzw. g i, verwenden (1.25) und finden q i = g i q, (1.27) q i = g i q. (1.28) Kovariante und kontravariante Komponenten lassen sich in einfacher Weise ineinander umrechnen. So erhalten wir aus (1.27), (1.26) und (1.24) q i = g i q = g i g k q k = g ik q k, (1.29) und analog Insbesondere haben wir q i = g ik q k. (1.30) g ik g il = (g k g i )(g i g l ) = g }{{} k g l = δk l. (1.31) g l

17 1.2. KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME 17 Das Skalarprodukt zweier Vektoren q und p lautet bzw. q p = q i p k g i g }{{} k = q i p i = q i p i, (1.32) δk i q p = g ik q i p k = g ik q i p k. (1.33) Die Größe g ik heißt metrischer Fundamentaltensor; er bestimmt die Länge des Bogenelements in den jeweils gewählten Koordinaten, und es gilt dr = g i dx i = g i dx i, (1.34) ds 2 = dr dr = g ik dx i dx k = g ik dx i dx k, (1.35) g det g ik > 0. (1.36) Als Volumenelement (im dreidimensionalen Raum) kann das von den Vektoren dr 1 = g 1 dx 1, dr 2 = g 2 dx 2 und dr 3 = g 3 dx 3 aufgespannte Parallelepipedon angesehen werden, d.h. bzw. mit dv = g 1 (g 2 g 3 ) dx 1 dx 2 dx 3, (1.37) ǫ ikl = g i (g k g l ) = (x, y, z) (x i, x k, x l ) als dem total antisymmetrischen (Levi-Civita-)Tensor dritter Stufe (1.38) dv = ǫ 123 dx 1 dx 2 dx 3. (1.39) Man kann (durch direktes Ausrechnen) zeigen, daß und ǫ 123 = ± detg ik = ± g (1.40) ǫ 123 ǫ 123 = 1 (1.41) gilt, wobei in (1.40) das Pluszeichen (Minuszeichen) zu einem rechtshändigen (linkshändigen) Koordinatenssytem gehört. Folglich kann (1.39) in die Form dv = g dx 1 dx 2 dx 3 (1.42)

18 18 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES gebracht werden. Um das Volumenelement zu erhalten, muß das (positive) Produkt der Differentiale dx 1 dx 2 dx 3 also noch mit der Wurzel der Determinante g das metrischen Fundamentaltensors (Betrag der Funktionaldeterminante) der zugehörigen Koordinaten multipliziert werden. Entsprechend können die Flächen des das Volumenelement dv bildenden Parallelepipedons als (vektorielle) Flächenelemente angesehen werden, beispielsweise da 1 = g 2 g 3 dx 2 dx 3. (1.43) Aus (1.38) ist unschwer abzulesen, daß ǫ ikl die i-te kovariante Komponente des Vektors g k g l ist, d.h. g k g l = ǫ ikl g i (1.44) [vgl. (1.26) und (1.28)], so daß (1.43) als da 1 = g 1 ǫ 123 dx 2 dx 3 = ±g 1 g dx 2 dx 3 (1.45) geschrieben werden kann. Um den Betrag des Flächenelements zu erhalten, da 1 = gg 11 dx 2 dx 3, (1.46) muß also das (positive) Produkt der Differentiale dx 2 dx 3 noch mit der Wurzel des Produkts aus der Determinante g des metrischen Fundamentaltensors und des Elements g 11 = g 1 g 1 der zugehörigen Koordinaten multipliziert werden. Die Formeln für da 2 und da 3 sind völlig analog aufzuschreiben. Im folgenden werden wir ein rechtshändiges Koordinatensystem zugrundelegen, so daß in (1.45) das positive Vorzeichen zu nehmen ist.

19 1.2. KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME 19 Anmerkungen Gradient in beliebigen Koordinaten Aus der Definition das Gradienten einer skalaren Funktion f = f(x 1, x 2, x 3 ), df = dr f = f x i dxi, (1.47) lesen wir unter Berücksichtigung von dr=g i dx i die Beziehung ab, d.h. g i f = f x i (1.48) f = g i f x i (1.49) [vgl. (1.26) und (1.28)] bzw. ik f f = g i g (1.50) x k Divergenz in beliebigen Koordinaten Die Divergenz einer vektoriellen Funktion f = f(x 1, x 2, x 3 ) kann bekanntlich (über den Gaußschen Satz) als der Grenzwert 1 f = lim V 0 V ( V ) da f (1.51) definiert werden. Wir führen die Integration über ein kleines, in x 2 A 1 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3

20 20 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES der Abbildung skizziertes Volumenelement aus, und zwar jeweils über die zwei gegenüberliegenden Flächenelemente, ( I A 1 f = lim V 0 V + I A 2 V + I ) A 3. (1.52) V Mit A 1 f = g f 1 x 2 x 3 (1.53) [siehe (1.45)] erhalten wir für das Integral I A 1 [ I A 1 g(x 1, x 2, x 3 ) f 1 (x 1, x 2, x 3 ) + ] g(x 1 + x 1, x 2, x 3 )f 1 (x 1 + x 1, x 2, x 3 ) x 2 x 3 x 1 ( g f 1 ) x 1 x 2 x 3, (1.54) woraus unter Berücksichtigung von (1.42) I A 1 lim V 0 V = 1 g x ( g f 1 ) (1.55) 1 folgt. Mit den analogen Ergebnissen für die übrigen Flächen erhalten wir also f = 1 g x ( g f i ). (1.56) i Laplace-Operator in beliebigen Koordinaten Aus (1.50) und (1.56) folgt (für eine skalare Funktion f) sofort, daß f = ( f) = 1 ( g g ik f ) (1.57) g x i x k gilt. Rotation in beliebigen Koordinaten Wir wenden den Stokesschen Satz da ( f) = A (A) dr f (1.58)

21 1.2. KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME 21 auf das (kleine) Flächenelement A 1 in der vorigen Abbildung an. Mit (1.45) finden wir d.h. g x 2 x 3 g 1 ( f) x 2 [ f 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 2 (x 1, x 2, x 3 + x 3 ) ] + x [ 3 f 3 (x 1, x 2, x 3 + f 3 (x 1, x 2 + x 2, x 3 ) ] ( x 2 x 3 f3 x f ) 2, (1.59) 2 x 3 g g1 ( f) = f 3 x 2 f 2 x 3. (1.60) Multiplikation mit ǫ 123 liefert unter Berücksichtigung von (1.40) und (1.41) g 1 ( f) = ǫ 123 f 3 x 2 + ǫ132 f 2 x 3 = ǫ1kl f l x k. (1.61) Mit den analogen Resultaten für die beiden anderen Komponenten erhalten wir also f = g i ǫ ikl f l x k. (1.62) Wenden wir uns nun der Darstellung von Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Massenpunktes in beliebigen Koordinaten zu, wobei wir von der metrischen Fundamentalgleichung (1.34) ausgehen wollen. Geschwindigkeit: ṙ = ẋ i g i (1.63) Beschleunigung: r = ẍ i g i + ẋ i ġ i (1.64)

22 22 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES Wir wollen die Ergebnisse auf rechtwinklige Koordinaten spezialisieren, für die der metrische Fundamentaltensor diagonal ist, g ik = λ 2 i δ ik. (1.65) In diesem Fall sind die Basisvektoren g i und g i zueinander parallel, 1 und die Vektoren g i = λ 2 i gi g i, (1.66) e i = g i λ i = λ i g i (1.67) stellen orthogonale Einheitsvektoren dar. Mit (1.67) lassen sich dann die Gleichungen (1.63) und (1.64) wie folgt schreiben: ṙ = 3 ẋ i λ i e i (1.68) i=1 r = 3 i=1 {[ d (ẋi ) ] } λ i e i + ẋ i λ i ė i dt (1.69) Die (i. allg. etwas umständliche) Berechnung von ė i kann auf der Basis der Definitionsgleichung erfolgen. e i = g i λ i = 1 λ i r x i (1.70) Beispiel: Zylinderkoordinaten (x 1 =, x 2 =ϕ, x 3 =z) In Zylinderkoordinaten gilt x = x(, ϕ) = cosϕ, y = y(, ϕ) = sin ϕ, z = z, (1.71) 1 Beachte, daß in den Gleichungen (1.65), 1.66), (1.67) und (1.70) nicht über i summiert wird.

23 1.2. KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME 23 woraus ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = d 2 + 2dϕ 2 + dz 2 (1.72) ableitbar ist, d.h. λ = 1, λ ϕ =, λ z = 1. (1.73) Wir berechnen die Einheitsvektoren und ihre zeitlichen Ableitungen: z r x ϕ y r = cosϕe x + sin ϕe y + z e z, (1.74) 1 r = e = cosϕe x + sinϕe y, (1.75) r ϕ = e ϕ = sinϕe x + cosϕe y, (1.76) r z = e z, (1.77) ė = ϕ sinϕe x + ϕ cosϕe y = ϕe ϕ, (1.78) ė ϕ = ϕ cosϕe x ϕ sinϕe y = ϕe, (1.79) ė z = 0. (1.80) Gemäß (1.68) finden wir dann für die Geschwindigkeit ṙ = e + ϕ e ϕ + ż e z (1.81)

24 24 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES und daraus gemäß (1.69) für die Beschleunigung r = e + ( ϕ + ϕ )e ϕ + z e z + ė + ϕ ė ϕ + ż ė z = e + ( ϕ + ϕ )e ϕ + z e z + ϕe ϕ ϕ ϕe, (1.82) d.h. r = ( ϕ 2 )e + ( ϕ + 2 ϕ)e ϕ + z e z. (1.83) Beispiel: Kugelkoordinaten (x 1 =r, x 2 =ϑ, x 3 =ϕ) x = r sin ϑ cosϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cosϑ, (1.84) ds 2 = dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑ dϕ 2, (1.85) λ r = 1, λ ϑ = r, λ ϕ = r sin ϑ. (1.86) Einheitsvektoren: z r x ϕ ϑ r y 1 r r = r sin ϑ cosϕe x + r sin ϑ sinϕe y + r cosϑe z, (1.87) r r = e r = sin ϑ cosϕe x + sin ϑ sin ϕe y + cosϑe z, (1.88) r ϑ = e ϑ = cosϑcosϕe x + cosϑsinϕe y sin ϑe z, (1.89)

25 1.2. KRUMMLINIGE KOORDINATENSYSTEME 25 1 r sinϑ Zeitliche Änderung der Einheitsvektoren: r ϕ = e ϕ = sinϕe x + cosϕe y, (1.90) ė r = ϑ cosϑcosϕe x ϕsin ϑ sinϕe x + ϑ cosϑsinϕe y + ϕ sinϑcosϕe y ϑ sinϑe z = ϑe ϑ + ϕ sin ϑe ϕ, (1.91) ė ϑ = ϑ sinϑcosϕe x ϕcosϑsin ϕe x ϑ sinϑsin ϕe y + ϕ cosϑcosϕe y ϑ cosϑe z Gemäß (1.88) und (1.89) gilt woraus = ϑe r + ϕ cosϑe ϕ, (1.92) ė ϕ = ϕ cosϕe x ϕsin ϕe y (1.93) 1 sin ϑ e r cosϑ sinϑ e z = cosϕe x + sin ϕe y, (1.94) 1 cosϑ e ϑ + sinϑ cosϑ e z = cosϕe x + sin ϕe y, (1.95) e z = cosϑe r sin ϑe ϑ (1.96) folgt. Kombination von (1.94) und (1.96) liefert und damit wird cosϕe x + sin ϕe y = sinϑe r + cosϑe ϑ, (1.97) ė ϕ = ϕsin ϑe r ϕ cosϑe ϑ. (1.98) Gemäß (1.68) und (1.69) [zusammen mit (1.91), (1.92) und (1.98)] finden wir dann für die Geschwindigkeit ṙ = ṙ e r + ϑr e ϑ + ϕr sin ϑe ϕ (1.99)

26 26 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES und die Beschleunigung r = r e r + d ( ) ϑr e ϑ + d dt dt ( ϕr sinϑ)e ϕ + ṙ ė r + ϑr ė ϑ + ϕr sin ϑė ϕ = r e r + d ( ) ϑr e ϑ + d dt dt ( ϕr sinϑ)e ϕ ( ) + ṙ ϑeϑ + ϕsin ϑe ϕ + ϑr ( ϑe ) r + ϕcosϑe ϕ + ϕr sin ϑ ( ϕ sinϑe r ϕcosϑe ϑ ) (1.100) d.h. bzw. ( r = r ϑ ) 2 r ϕ 2 r sin 2 ϑ e r [ d ( ) ] + ϑr + ṙ dt ϑ ϕ 2 r sin ϑ cosϑ e ϑ [ ] d + dt ( ϕr sin ϑ) + ṙ ϕ sin ϑ + ϑ ϕr cosϑ e ϕ, (1.101) ( r = r ϑ ) 2 r ϕ 2 r sin 2 ϑ + [ 1 r + 1 r sinϑ e r d ( ) ϑr 2 ϕ 2 r sin ϑ cosϑ] e ϑ dt d ( ϕr 2 sin 2 ϑ ) e ϕ. (1.102) dt 1.3 Grundtypen von Bewegungen Typische Fragestellungen der Kinematik sind beispielsweise die folgenden: Die Bewegung (d.h. die Bahnkurve) eines Massenpunktes ist bekannt, und es wird seine Geschwindigkeit und seine Beschleunigung gesucht.

27 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 27 Die Geschwindigkeit eines Massenpunktes als Funktion von Ort und Zeit sind bekannt, und es wird die Bahnkurve gesucht. Die Beschleunigung eines Massenpunktes ist als Funktion des Ortes, der Geschwindigkeit und der Zeit bekannt, und es wird die Bahnkurve gesucht. Die letzte Aufgabe, die man aus später ersichtlich werdenden Gründen auch als eine Aufgabe der Dynamik ansehen kann, ist die häufigste und wichtigste. Die einfachste Bewegung eines Massenpunktes (eines Körpers) ist die gleichförmig geradlinige Bewegung, für die ṙ = v = const. (1.103) gilt und somit die Beschleunigung verschwindet, r = 0. (1.104) Aus (1.103) folgt dann sofort als Bahnkurve eine Gerade entlang der durch v festgelegten Richtung: r(t) = v(t t 0 ) + r 0. (1.105) Gleichförmig beschleunigte Bewegung Die gleichförmig beschleunigte Bewegung ist durch r = a = const. (1.106) definiert, woraus für die Geschwindigkeit ṙ = at + b (1.107)

28 28 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES v 0 r r 0 a und damit für die Bahnkurve r(t) = 1 2 at2 + bt + c (1.108) folgt (b,c - beliebige konstante Vektoren). Speziell für die Anfangsbedingungen t = t 0, r = r 0, ṙ = v 0 (1.109) folgt und somit lautet r(t) b = v 0 at 0, (1.110) c = r at2 0 bt 0, (1.111) r(t) = 1 2( t t0 ) 2a + v0 ( t t0 ) + r0. (1.112) Die Bahnkurve liegt also in einer durch a und v 0 aufgespannten Ebene die gleichförmig beschleunigte Bewegung ist also eine ebene Bewegung. Die Bewegung setzt sich zusammen aus einer gleichförmig geradlinigen Bewegung und einer gleichförmig beschleunigten, geradlinigen Bewegung. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit die xy-ebene als diese Ebene wählen und die y-achse parallel zur Beschleunigung legen, a = ae y, (1.113) v 0 = v 0x e x + v 0y e y, (1.114) x x 0 = v 0x (t t 0 ), (1.115) y y 0 = 1 2 a(t t 0) 2 + v 0y (t t 0 ). (1.116)

29 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 29 Elimination der Zeit liefert die Bahngleichung y y 0 = a 2v0x 2 (x x 0 ) 2 + v 0y (x x 0 ). (1.117) v 0x Die Bahn ist also eine Parabel, deren Achse zur y-achse (Beschleunigungsrichtung) parallel ist. In dem speziellen Fall, wenn die Anfangsgeschwindigkeit verschwindet oder in die Richtung der Beschleunigung fällt, entartet die Bewegung in eine geradlinige Bewegung. Die bekanntesten Beispiele einer gleichförmig beschleunigten Bewegung sind der Wurf und der freie Fall (im luftleeren Raum). Seit Galilei ist bekannt, daß Körper im erdnahen Schwerefeld mit konstanter Beschleunigung g=9.81 ms 2 fallen. Wir legen das Koordinatensystem so, daß die y-achse vertikal nach oben gerichtet ist, d.h. a g. Mit y v 0 α x v 0x = v 0 cosα, (1.118) v 0y = v 0 sin α (1.119) und t t 0 t, x x 0 x, y y 0 y (siehe Abbildung) lauten die Gleichungen (1.115) und (1.116) und die Wurfparabel ist x = v 0 t cosα, (1.120) y = v 0 t sin α 1 2 gt2, (1.121) y = x tanα g 2v 2 0 cos2 α x2. (1.122) Der horizontale Wurf ergibt sich für α = 0 und der vertikale Wurf für α = ±π/2. Speziell für den freien Fall haben wir α = π/2 und v 0 =0

30 30 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES Wurfdauer 2 zu setzen. Mit den Gleichungen (1.120) (1.122) können dann alle relevanten Fragen beantwortet werden. Steigzeit ẏ = 0 v 0 sin α gt s = 0, (1.123) t s = v 0 sin α. g (1.124) y = 0 v 0 t d sin α 1 2 gt2 d = 0, (1.125) t d = 2v 0 sin α = 2t s. g (1.126) Wurfhöhe Wurfweite y(t s ) = v2 0 sin 2 α 2g. (1.127) x(t d ) = v2 0 sin(2α). (1.128) g Aus (1.128) ist beispielsweise ersichtlich, daß bei gegebenem v 0 die Wurfweite für α = 45 o den größten Wert annimmt, nämlich v0/g. 2 Jede kleinere Wurfweite kann immer unter zwei Winkeln (α und π/2 α) erzielt werden (Steilwurf und Flachwurf) Gleichförmige Kreisbewegung Ein Massenpunkt führt eine gleichförmige Kreisbewegung aus, wenn er sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit v = v = const. auf einem Kreis mit festem Radius R = const. bewegt. Wir verwenden ebene Polarkoordinaten (z =0) und finden gemäß (1.81) v = = 0, (1.129) v ϕ = ϕ = Rω = v = const. (1.130) mit ω= ϕ als der Winkelgeschwindigkeit um die z-achse. Wegen v= const. und R =const. ist also auch die Winkelgeschwindigkeit konstant, ϕ = ω = v R = const. ϕ = ω(t t 0) + ϕ 0. (1.131) 2 Erfolgt der Wurf aus einer Höhe h, dann ist offensichtlich y = h zu setzen.

31 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 31 (1.81) liefert für die Komponenten der Beschleunigung y r ϕ ϕ = ω(t t 0 ) + ϕ 0 x a = ϕ 2 = ω 2 R = v2 R, (1.132) a ϕ = ϕ + 2 ϕ = 0, (1.133) d.h., die Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt des Kreises (Radialbeschleunigung) und hat den Betrag ω 2 R, a = ω 2 Re = v2 R e. (1.134) Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung besteht offenbar zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω, der Umlaufzeit T, d.h. der Zeit t einer Winkelverschiebung um ϕ = 2π, und der Drehzahl oder Frequenz ν = 1/T der Zusammenhang 2π = ϕ = ω t = ωt, ω = 2π T = 2πν. (1.135) Die Winkelgeschwindigkeit als das 2π-fache der Frequenz wird auch Kreisfrequenz genannt. In kartesischen Koordinaten haben wir x = cosϕ x(t) = R cos(ωt + α), (1.136) y = sin ϕ y(t) = R sin(ωt+α) = R cos(ωt+α π/2) (1.137)

32 32 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES (α= ϕ 0 ωt 0 ). Die Projektionen der Kreisbewegung auf die x- und y- Achse sind harmonische Schwingungen. Genauer ausgedrückt, die gleichförmige Kreisbewegung kann als Überlagerung zweier zueinander senkrecht stehender harmonischer Schwingungen angesehen werden, deren Phasendifferenz π/2 ist Periodische Bewegungen Harmonischer Oszillator Wir betrachten die periodische, lineare Bewegung eines Massenpunktes längs der x-achse um den Koordinatenursprung, x(t + T) = x(t) (1.138) mit T als der Perioden- oder Schwingungsdauer. Die periodische Bewegung ist eine harmonische Schwingung, wenn die von der Ruhelage (Koordinatenursprung) gerechnete Auslenkung oder Elongation x eine Kosinus- oder Sinusfunktion der Zeit ist, x(t) = A cos(ωt + α) (1.139) (A > 0, ω = 2π/T = 2πν). A und α heißen Amplitude und Phase der Schwingung. Häufig wird der Begriff der Phase auch in bezug auf das komplette Argument φ = ωt + α verwendet, und man spricht dann von α als der Phasenkonstanten (die durch die Anfangsphase bestimmt wird). Die Frequenz ν gibt die Anzahl der Schwingungen (Perioden) pro Zeiteinheit an und die Kreisfrequenz ω die Anzahl der Schwingungen pro 2π Zeiteinheiten. x A t Aus (1.139) ergibt sich als Geschwindigkeit T ẋ(t) = ωa sin(ωt + α). (1.140)

33 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 33 Die Geschwindigkeit nimmt also den betragsmäßig größten Wert ωa in den Zeitpunkten ωt + α = (2n + 1)π/2 (1.141) der Durchgänge durch die Ruhelage an (n - ganz). Sie ist Null in den Zeitpunkten ωt + α = nπ (1.142) maximaler Auslenkung (Umkehrpunkte). Wir differenzieren (1.140) und erhalten mit (1.139) für die Beschleunigung ẍ(t) = ω 2 A cos(ωt + α) = ω 2 x(t), (1.143) Die Beschleunigung ist also proportional zur Auslenkung und dieser entgegengesetzt gerichtet. Demzufolge verschwindet sie in den Zeitpunkten der Durchgänge durch die Ruhelage, und sie wird maximal in den Zeitpunkten maximaler Auslenkung. Aus (1.143) sehen wir, daß die Auslenkung einer harmonischen Schwingung der Differentialgleichung ẍ + ω 2 x = 0 (1.144) genügt. Die Umkehrung ist ebenfalls richtig: Gilt für eine (eindimensionale) Bewegung eines Massenpunktes die Differentialgleichung (1.144), dann führt der Massenpunkt eine harmonische Schwingung aus, da x(t) = A cos(ωt + α) = A 1 sin(ωt) + A 2 cos(ωt) (1.145) die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Physikalische Objekte, die harmonische Schwingungen ausführen, werden auch als harmonische Oszillatoren bezeichnet. Anstelle mit rellen Größen zu rechnen, ist es oft zweckmäßig, die komplexe Schreibweise zu bevorzugen, x(t) = Ae iωt, A = A e iα, (1.146) wobei der Realteil (bzw. der Imaginarteil) von x(t) oder auch x(t)+x (t) die physikalische (reelle) Schwingung repräsentiert. Der

34 34 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES Vorteil der komplexen Schreibweise wird insbesondere bei der Behandlung linearer Überlagerungen von harmonischen Schwingungen deutlich. Schwingungen unterschiedlichster Art spielen auf vielen Gebieten der Physik eine herausragende Rolle, wobei x nicht immer eine mechanische Auslenkung eines Körpers bedeuten muß Überlagerung harmonischer Schwingungen Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Richtung und gleicher Frequenz Addieren wir die beiden Schwingungen so erhalten wir als Resultante x 1 (t) = A 1 e iωt, A 1 = A 1 e iα 1 (1.147) x 2 (t) = A 2 e iωt, A 2 = A 2 e iα 2, (1.148) x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = ( A 1 + A 2 ) e iωt (1.149) bzw. mit x(t) = Ae iωt (1.150) A = A 1 + A 2. (1.151) Die Resultante ist also wieder eine harmonische Schwingung der Kreisfrequenz ω. Ihre Amplitude und Phasenkonstante können nach den üblichen Regeln der Addition komplexer Zahlen berechnet werden: A = A e iα, (1.152) A = A A A 1 A 2 cos(α 2 α 1 ), (1.153) tanα = A 1 sin α 1 + A 2 sin α 2 A 1 cosα 1 + A 2 cosα 2 (1.154) Die Amplitude A der resultierenden Schwingung hängt bei gegebenen A 1 und A 2 von der Phasendifferenz (Phasenverschiebung) δ =α 2 α 1 ab. Speziell für δ = 2nπ (1.155)

35 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 35 Im z A 1 A α 2 α 1 α 1 α A 2 α 2 Re z (n ganz) nimmt A den größten Wert und für den kleinsten Wert A = A 1 + A 2 (1.156) δ = (2n + 1)π (1.157) A = A 1 A 2 (1.158) an. Der Effekt der Phasenabhängigkeit der Amplitude der Überlagerungsschwingung wird auch als Interferenz bezeichnet. Im Falle (1.156) spricht man auch von konstruktiver Interferenz im Gegensatz zu destruktiver Interferenz im Falle von (1.158). Insbesondere wenn A 1 = A 2 gilt, löschen sich die beiden Schwingungen gegenseitig völlig aus. Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Richtung und verschiedener Frequenz In diesem Fall kann die Resultante x(t) = A 1 e iω 1t + A 2 e iω 2t (1.159)

36 36 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES offensichtlich nicht in die Form (1.150) gebracht werden. Das Ergebnis der Überlagerung ist also keine harmonische Schwingung, sondern ein komplizierterer Vorgang, so daß i. allg. keine näheren Aussagen möglich sind. Ist ω 1 /ω 2 eine rationale Zahl, ω 1 ω 2 = m n (1.160) [m, n - teilerfremde ganze (positive) Zahlen], so ist die Resultante ein periodischer Vorgang, d.h. eine Schwingung, deren Kreisfrequenz ω durch ω 1 = mω, ω 2 = nω (1.161) definiert ist, x(t) = A 1 e imωt + A 2 e inωt, (1.162) x(t + T) = x(t), T = 2π ω. (1.163) Ein wichtiger Spezialfall von (1.159) liegt vor, wenn sich die Frequenzen ω 1 und ω 2 nur wenig voneinander unterscheiden und die Amplituden übereinstimmen. Mit A 1 = A 1 e iα 1, A 2 = A 1 e iα 2 (1.164) folgt aus (1.159) x(t) = A 1 [e ] i(ω 1t+α 1 ) + e i(ω 2t+α 2 ) [ = A 1 e i[(ω 1 ω 2 )t+α 1 α 2 ]/2 e i[(ω 1+ω 2 )t+α 1 +α 2 ]/2 ] +e i[(ω 1 ω 2 )t+α 1 α 2 ]/2 e i[(ω 1+ω 2 )t+α 1 +α 2 ]/2 = 2 A 1 cos[(ω 1 ω 2 )t/2 + (α 1 α 2 )/2] e i[(ω 1+ω 2 )t+α 1 +α 2 ]/2, (1.165) d.h. mit x(t) = 2 A 1 cos( ω t + α)e i(ωt+α) (1.166) ω = 1 2 (ω 1 + ω 2 ), α = 1 2 (α 1 + α 2 ), (1.167)

37 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 37 und ω = 1 2 (ω 1 ω 2 ), α = 1 2 (α 1 α 2 ). (1.168) Sind ω 1 = ω + ω und ω 2 = ω ω annähernd gleich, ω 1 ω 2 ω 1 + ω 2 bzw. ω ω, (1.169) dann ändert sich der Kosinus der Differenzfrequenz relativ zu dem der Summenfrequenz nur sehr langsam. Der Kosinus der Differenzfrequenz kann gewissermaßen der Amplitude zugeordnet werden, und der Vorgang auch (reine) Schwebung genannt kann als Schwingung der Kreisfrequenz ω angesehen werden, deren Amplitude mit der Kreisfrequenz 2 ω periodisch zwischen den Werten 0 und 2 A 1 schwankt. Die x/(2 A 1 ) ω/ω = 0.1 α = 1, α/α = ωt ωt s Frequenz heißt auch Schwebungsfrequenz und die Zeit ω s = 2 ω = ω 1 ω 2 (1.170) T s = 2π ω s = π ω (1.171) Schwebungsdauer. Sind die Amplituden der zwei Einzelschwingungen nicht gleich, dann ist die Schwebung weniger ausgeprägt in dem Sinn, daß ihre Amplitude nicht auf Null absinken kann (unreine Schwebung).

38 38 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES x/(2 A 1 ) 3 ω/ω = 0.1 α = 1, α/α = A 3 /(2 A 1 ) = 2 ωt 2 3 Wird die Schwebung (1.166) mit einer weiteren harmonischen Schwingung x 3 (t) = A 3 e i(ωt+α) (1.172) überlagert, entsteht als Resultante eine harmonisch amplitudenmodulierte Schwingung, x(t) = [ A A 1 cos( ω t + α)]e i(ωt+α). (1.173) Harmonische Schwingungsanalyse Oft hat man es mit periodischen Vorgängen zu tun, die nicht in so einfacher Form in wenige harmonische Schwingungen zerlegt werden können. Die Zerlegung einer periodischen Bewegung in eine Summe von harmonischen Schwingungen wird mathematisch durch das Fouriersche Theorem ermöglicht. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Fourier- bzw. Spektralzerlegung. Es sei x(t) eine periodische Funktion mit der Periodendauer T x(t+t) = x(t), T = 2π ω. (1.174) Wenn x(t) die Dirichletschen Bedingungen erfüllt (die physikalisch fast immer erfüllt sind), dann kann x(t) eineindeutig durch eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden. Die Dirichletschen Bedingungen besagen, daß sich das Definitionsgebiet von x(t) in

39 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 39 x t 0 t T endlich viele Intervalle zerlegen läßt, in denen x(t) stetig und monoton ist, und an jeder Unstetigkeitsstelle müssen die Werte x(t+0) und x(t 0) definiert sein. Die Fourier-Reihe von x(t) wird üblicherweise in komplexer Schreibweise angegeben, x(t) = n= A n e inωt (1.175) x(t) = x (t) A n = A n. (1.176) Die Fourier-Koeffizienten lassen sich aus der Funktion x(t) in einem (beliebigen) Intervall (t 0, t 0 +T) wie folgt bestimmen: d.h. 1 T t0 +T t 0 dtx(t)e imωt = n= t0 +T 1 A n dte i(n m)ωt, (1.177) T t } 0 {{} δ nm A n = 1 T T dtx(t)e inωt (1.178)

40 40 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES Von (1.175) kann leicht zur reellen Schreibweise übergegangen werden: x(t) = A 0 + A n e inωt + A }{{} n A n n=1 e inωt, (1.179) A n e inωt + A n e inωt = 2Re ( A n e inωt) = 2Re(A n ) cos(nωt) 2Im(A n ) sin(nωt). (1.180) Mit und geht (1.179) in a n = 2Re(A n ) = 2 dt x(t) cos(nωt) (1.181) T T b n = 2Im(A n ) = 2 dt x(t) sin(nωt) (1.182) T T x(t) = 1 2 a 0 + [a n cos(nωt) + b n sin(nωt)] (1.183) n=1 über. Die Gleichungen (1.175) und (1.183) zeigen, daß eine beliebige periodische Bewegung als Überlagerung von unendlich vielen harmonischen Schwingungen aufgefaßt werden kann, wobei in der Praxis häufig eine Beschränkung auf endlich viele vorgenommen werden kann. Die Schwingung e iωt ist die Grundschwingung, die Schwingungen e inωt, n > 1, sind die (zur Grundschwingung harmonischen) Oberschwingungen. In vielen praktischen Fällen nähern die Grundschwingung und wenige Oberschwingungen die Funktion x(t) bereits gut an. Für T, d.h. ω 0, geht (für quadratisch integrierbare Funktionen) die Fourier-Reihe (1.175) in das Fourier-Integral über: x(t) = lim Ω q n e iωnt = dω q(ω)e iωt (1.184) Ω 0 Ω n

41 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 41 x t (Ω n =n Ω, Ω ω), wobei gemäß (1.178) A n q(ω) = lim Ω 0 Ω Ωn =Ω = lim Ω 0 1 2π π Ω π Ω dtx(t)e iωt = 1 2π dtx(t)e iωt (1.185) gilt (t 0 = T/2). Zwei senkrecht zueinander stehende harmonische Schwingungen gleicher Frequenz Wir wollen annehmen, daß die x- und y-komponente (eines Vektors in der Ebene) harmonische Schwingungen der gleichen Kreisfrequnz ω ausführen, x(t) = A cos(ωt+α), (1.186) y(t) = B cos(ωt+β) = B cos(ωt+α +δ) (1.187) (δ = β α). Wir kombinieren (1.187) mit (1.186) und schreiben woraus y B = cos(ωt+α) cosδ sin(ωt+α) sinδ = x A cosδ ( y B x A cosδ ) 2 = (1 x2 1 x2 sin δ, (1.188) A2 A 2 ) sin 2 δ (1.189)

42 42 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES bzw. x 2 A + y2 2 B 2xy 2 AB cosδ = sin2 δ (1.190) folgt. Die Gleichung (1.190) stellt eine Kurve zweiter Ordnung, nämlich eine Ellipse dar. Der resultierende Vektor r(t)=x(t)e x +y(t)e y +z(t)e z beschreibt also eine elliptische Schwingung. Die Ellipse liegt in dem Rechteck mit den Seitenlängen 2A und 2B, und ihr Zentrum liegt im Koordinatenursprung. y A B x Spezialfall: δ =0 oder δ =π In diesem Fall lautet die Gleichung (1.190) ( x A y B ) 2 = 0. (1.191) Für δ=0 geht die Ellipse in die Gerade y=(b/a)x und für δ=π in die Gerade y = (B/A)x über, d.h., eine lineare Schwingung der Amplitude A2 +B 2 liegt vor. Spezialfall: δ = π/2 oder δ = 3π/2 Die Gleichung (1.190) lautet x 2 A + y2 = 1, (1.192) 2 B2 d.h., die Hauptachsen der Ellipse sind parallel zu den Koordinatenachsen, und die halben Hauptachsenlängen sind die Amplituden A und B der beiden Einzelschwingungen.

43 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 43 Spezialfall: δ =π/2 oder δ =3π/2 und A=B In diesem Fall wird aus der Ellipsengleichung (1.192) die Kreisgleichung x 2 + y 2 = A 2, (1.193) d.h., die elliptische Schwingung geht in eine zirkulare Schwingung über, x(t) = A cos(ωt+α), (1.194) y(t) = A sin(ωt+α). (1.195) Die den beiden Vorzeichen entsprechenden Schwingungen unterscheiden sich in der Umlaufrichtung. y A x A 0 1/4 π 1/2 π 3/4 π π 5/4 π 3/2 π 7/4 π 2 π Schwingung für A=B in Abhängigkeit von δ. Zwei senkrecht zueinander stehende harmonische Schwingungen verschiedener Frequenz Wir wollen wieder annehmen, daß sich die Frequenzen der beiden Schwingungen x(t) = A cos(ω 1 t+α) (1.196) und y(t) = B cos(ω 2 t+β) (1.197)

44 44 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES nur wenig voneinander unterscheiden, Schreiben wir y(t) in der Form wobei ω 1 ω 2 ω 1 + ω 2. (1.198) y(t) = B cos [ ω 1 t+ α+δ(t) ], (1.199) δ(t) = (ω 2 ω 1 )t+β α (1.200) ist, so können wir unter der Voraussetzung (1.198) die Bewegung in der xy-ebene als Schwingung mit der Kreisfrequenz ω 1 ω 2 und (im Vergleich dazu) zeitlich langsam veränderlicher Phasendifferenz δ auffassen. Im Ergebnis erhalten wir nunmehr Ellipsen von zeitlich veränderlicher Lage. Die Bewegung ist natürlich nur dann streng periodisch und die Bahnkurve nur dann geschlossen, wenn das Frequenzverhältnis ω 1 /ω 2 eine rationale Zahl ist. Sind ω 1 und ω 2 inkommensurabel, dann wird die Ausgangslage strenggenommen nie wieder erreicht. Die im Ergebnis der Überlagerung zweier senkrecht aufeinander stehender harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen resultierenden Bahnkurven heißen auch Lissajous-Figuren. 3 Die folgende Abbildung zeigt einige Beispiele. 3 In manchen Lehrbüchern findet man den Begriff Lissajous-Figuren nur auf streng periodische Bewegungen angewandt.

45 1.3. GRUNDTYPEN VON BEWEGUNGEN 45 y/a (a) x A (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) α = 1, β α = 0.5, B/A = 0.5; ω 2 /ω 1 = 1.1 (a), ω 2 /ω 1 = 1.2 (b), ω 2 /ω 1 = 1.3 (c), ω 2 /ω 1 = 1.4 (d), ω 2 /ω 1 = 1.5 (e), ω 2 /ω 1 = 1.6 (f), ω 2 /ω 1 = 1.7 (g), ω 2 /ω 1 = 1.8 (h), ω 2 /ω 1 = 1.9 (i), ω 2 /ω 1 = 2 (j).

46 46 KAPITEL 1. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES

47 Kapitel 2 Newtonsche Mechanik 2.1 Die Newtonschen Prinzipien Die Grundgesetze bzw. Grundvoraussetzungen, auf denen alle weiteren Sätze über die Lehre der Bewegung materieller Körper unter der Einwirkung von Kräften (Dynamik) aufbauen, sind im wesentlichen in den Newtonschen Prinzipien oder Axiomen enthalten. Diese sind dem Wortsinn entsprechend keine mathematisch beweisbaren Sätze, sondern resultieren aus der Erfahrung. Sie sind demzufolge als richtig anzusehen, wenn alle ihre Folgerungen durch die Erfahrung bestätigt werden Das Trägheitsgesetz Die einfachste Bewegung eines Massenpunkts (eines Körpers) ist die gleichförmig geradlinige Bewegung, bei der ṙ konstant ist, und die Frage ist, unter welchen Umständen eine solche Bewegung existiert. Eine mit einer gewissen Geschwindigkeit auf einer horizontalen Unterlage abgestoßene Kugel führt näherungsweise eine geradlinige Bewegung aus. Die Kugel rollt um so weiter, je glatter die Unterlage ist, d.h., je glatter die Unterlage, desto mehr ähnelt die Bewegung einer gleichförmig geradlinigen Bewegung. Die Geschwindigkeitsabnahme ist offensichtlich eine Folge von äußeren Einflüssen (Wechselwirkung der Kugel mit der Unterlage). Könnten diese beseitigt werden (so wie etwa die horizonale Unterlage den Einfluß der Erde kompensiert), dann würde die Kugel 47

48 48 KAPITEL 2. NEWTONSCHE MECHANIK ihre Geschwindigkeit unverändert beibehalten. Diese (auch schon vor Newton gewonnene) Erkenntnis wurde von Newton in einer recht allgemeinen Formulierung an die Spitze seines mechanischen Systems 1 gestellt und bildet den Inhalt des ersten Axioms. Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird diesen Zustand zu ändern. Der Begriff Kraft steht hier zunächst für äußeren Einfluß, d.h. die Wirkung anderer Körper auf den betrachteten Körper. Die Eigenschaft der Körper, ihre Geschwindigkeit bzw. ihren Ruhezustand unverändert beizubehalten, sofern sie nicht unter dem Einfluß anderer Körper stehen, wird Beharrungsvermögen oder Trägheit genannt und das Axiom Trägheitsgesetz. Die gleichförmig geradlinige Bewegung ist also auch vom dynamischen Standpunkt aus die einfachste, nämlich der natürliche Bewegungszustand eines Körpers, zu dessen Aufrechterhaltung keine äußere Einwirkung nötig ist. Das Trägheitsgesetz ist keine Selbstverständlichkeit, sondern stellt eine Extraktion vieler Erfahrungen für einen idealen Grenzfall dar. Es kann insbesondere nicht Gegenstand einer unmittelbaren experimentellen Überprüfung sein, da ein Körper nicht vollständig jeder Einwirkung anderer Körper entzogen werden kann. Das Trägheitsgesetz hat nur dann einen Sinn, wenn das Bezugssystem, in dem die Bewegung beschrieben wird, angegeben ist. Newton sprach das Axiom bezüglich des im absoluten Raum ruhenden Systems aus. Ein solches System kann jedoch nicht durch Experimente festgelegt werden. Der positive Inhalt des Axioms ist also das Postulat, daß überhaupt ein Bezugssystem existiert, in dem das Trägheitsgesetz gültig ist. Ein solches Bezugssystem heißt Inertialsystem. So kann beispielsweise das im Fixsternhimmel befestigte System als ein solches angesehen werden, d.h. ein Koordinatensystem, dessen Ursprung im Massenmittelpunkt (Abschnitt 2.3.2) des Sonnensystems liegt (also näherungsweise im Mittelpunkt der Sonne) und dessen Achsen nach bestimmten Fixsternen weisen. Wir werden später sehen, daß jedes System, das sich relativ zu einem Inertialsystem gleichförmig geradlinig 1 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, London, 1687

49 2.1. DIE NEWTONSCHEN PRINZIPIEN 49 bewegt, ebenfalls ein Inertialsystem ist. In vielen praktischen Fällen ist es ausreichend, ein in der Erde verankertes Bezugssystem zu verwenden. Der Inhalt des Trägheitsgesetzes kann also wie folgt zusammengefaßt werden: Es existiert ein solches Bezugssystem, in dem sich ein sich völlig selbst überlassener ( kräftefreier ) Körper im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung befindet. Ein solches Bezugssystem wird Inertialsystem genannt, und alle weiteren Gesetze der Mechanik werden auf dieses System bezogen. Erfahrungsgemäß kann ein im Fixsternhimmel befestigtes Bezugssystem als Inertialsystem angesehen werden Das Grundgesetz der Dynamik Nach dem ersten Newtonschen Axiom muß eine in einem Inertialsystem auftretende Beschleunigung eines Körpers der Einwirkung anderer Körper zugeschrieben werden. Diese üben eine Kraft auf den Körper aus, oder wie man auch sagt am Körper greift eine Kraft an. Als Veranschaulichung kann die Beschleunigung eines Körpers vermittels unserer Muskelkraft dienen. Es sollte jedoch hervorgehoben werden, daß Aussagen wie die Kraft ist Ursache der Beschleunigung nur formaler Natur sind. Die eigentlichen Ursachen der Beschleunigung eines Körpers sind in den geometrischen und physikalischen Eigenschaften des Körpers und seiner Umgebung einschließlich ihrer Wechselwirkung zu sehen. Diese zu untersuchen ist Gegenstand anderer Teilgebiete der Physik (z.b. Elektrodynamik, Gravitationsphysik, Atom- und Elementarteilchenphysik). In der Mechanik werden die Kräfte i. allg. als gegeben betrachtet, und es wird nicht ihr Ursprung, sondern ihre (mechanische) Wirkung untersucht. Die Einführung des Begriffs Kraft gestattet es, die vielfältigen wahren Ursachen von Beschleunigungen unter einem einheitlichen Begriff zusammenzufassen, der es gestattet, die Bewegungsvorgänge von eigentlich sehr verschiedener Herkunft einheitlich zu behandeln, d.h. ei-

50 50 KAPITEL 2. NEWTONSCHE MECHANIK ne einheitliche Dynamik aufzubauen, die in allen Gebieten der Physik anwendbar ist. Die Erfahrung besagt, daß eine größere Beschleunigung einer größeren Kraft bedarf. Die einfachste Variante ist, die Kraft proportional zur Beschleunigung zu setzen, wobei der Proportionalitätsfaktor offensichtlich keine universelle Konstante ist. Dies würde bereits entgegen unserer Muskelempfindung bedeuten, daß dieselbe Kraft jedem Körper die gleiche Beschleunigung erteilt. So bedarf es einer größeren Kraft, einer Eisenkugel die gleiche Beschleunigung zu erteilen wie einer Holzkugel vom gleichen Radius. Die Eisenkugel ist (im Sinne des ersten Axioms) träger als die Holzkugel. Demzufolge muß als Proportionalitätsfaktor in die Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung eine für den Körper charakteristische Größe eingehen, nämlich die (träge) Masse. Es sei m die träge Masse und F die Kraft. Das zweite Axiom als das Grundgesetz der Dynamik kann dann wie folgt formuliert werden: Die auf einen Massenpunkt (eines Körpers) wirkende Kraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung des Massenpunkts. m r = F (2.1) Newton selbst formulierte das Axiom in einer etwas anderen Form: Die Änderung der Bewegung ist der einwirkenden bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen Linie, in der die Kraft wirkt. Dabei ist unter Bewegung die Bewegungsgröße, d.h. der Impuls p = mṙ (2.2) zu verstehen, so daß das Grundgesetz die Form der Impulsbilanz ṗ = F (2.3)