Lebensversicherungsmathematik. Kurseinheit 5 Rentenversicherungen

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1 Lebensversicherungsmathematik Kurseinheit 5 1

2 Inhalt Topic Lernziel Sofortbeginnende Renten Ökonomische Grundlage für Rentenversicherung Rentengarantiezeiten Konzept der Vererbung Thielsche Gleichung für Renten in der Auszahlungsphase Stochastische Modellierung und Barwertansatz für Renten Stochastisches Modell für Barwertformel für Leibrenten Aufgeschobene Renten Modellierung der aufgeschobene Rentenversicherung Verständnis des Einflusses von Rechnungszins (nicht beeinflussbar) und Rentenbeginn (partiell beeinflussbar) auf die Rentenhöhe Aktuarielle Herausforderungen für Zum Nachlesen: Gerber 4 & 5, Führer C.3 & D.3 Rentenversicherung als zentrales Entwicklungsfeld der aktuariellen Wissenschaft in Bezug auf Produktegestaltung bei sehr langfristigen Garantien Rechnungsgrundlagen Zins und Sterblichkeit Analyse des Langlebigkeitsrisikos Problematik der Antiselektion bei Renten Standard-Literatur zu den aktuariellen Herausforderungen fehlt 2

3 Thema (i) Topic Lernziel Sofortbeginnende Renten Ökonomische Grundlage für Rentenversicherung Rentengarantiezeiten Konzept der Vererbung Thielsche Gleichung für Renten in der Auszahlungsphase Stochastische Modellierung und Barwertansatz für Renten Stochastisches Modell für Barwertformel für Leibrenten Aufgeschobene Renten Modellierung der aufgeschobene Rentenversicherung Verständnis des Einflusses von Rechnungszins (nicht beeinflussbar) und Rentenbeginn (partiell beeinflussbar) auf die Rentenhöhe Aktuarielle Herausforderungen für Rentenversicherung als zentrales Entwicklungsfeld der aktuariellen Wissenschaft in Bezug auf Produktegestaltung bei sehr langfristigen Garantien Rechnungsgrundlagen Zins und Sterblichkeit Analyse des Langlebigkeitsrisikos Problematik der Antiselektion bei Renten 3

4 Sofortbeginnende Renten (Immediate Annuities) Vertragskonzept der sofort beginnenden Rente ist die Zusage einer lebenslangen garantierten Renten als Versicherungsleistung gegen die Zahlung eines Einmalbeitrags. In D und anderen Ländern traditionell häufig vertraglich verbunden mit einem Sparvertrag (analog Endowment) dessen Ablaufleistung automatisch in eine Rente umgewandelt wird (aufgeschobene Rente, siehe unten) Reserve wird mit einem garantierten Rechnungszins verzinst, VN hat Anspruch auf Beteiligung am Mehrertrag auf Zinserträgen (Gewinnbeteiligung) Als eigenständiger Vertrag sind Immediate Annuities ein Standardprodukt im angelsächsischen Raum sowie global zur Umwandlung von Ansprüchen aus der betrieblichen Altersversorgen Wichtiger Sonderfall, z.z. primär im angelsächsischen Raum: Fondsrente, bei dem zwischen Rentenbeginn und einem Höchstalter (z.b. 75, oft steuerlich fixiert) wird die Rente einem Investmentfonds entnommen. Der verbleibende Fondswert wird in die lebenslangen Rente investiert. 4

5 Sofortbeginnende Renten Fondsentnahmeplan Prämienzahlung: Einmalbeitrag SP=Res(0) zu Vertragsbeginn (t=0) Versicherungsleistung: Lebenslange periodische Rente R jeweils vorschüssig ab t=0 Naiver Ansatz: Fondsentnahmeplan Reserveentwicklung Res (t) = (1+i) * ( Res(t-1) R) für t=1 T-1 Problem: Beim Tod zum stochastischen Zeitpunkt T(ω) verbleibt eine Reserve Bei Fondsentnahmepläne von Banken wird das Restguthaben an die Hinterbliebenen. Um auskömmlich zu sein muss die SP so bemessen sein, dass die Reserven für jeden VN individuell bis zum maximalen Lebensaltern ausreichend kalkuliert ist. (Typisch z.b. in Spanien, Australien, ) Alternativer Ansatz: Zeitlich begrenzter Fondsentnahmeplan bis zum Zeitpunkt S. Entnahme von zusätzlichen Risikoprämien aus der Reserve, die sicherstellen, dass den VN, die das Aufbrauchen des Fonds (bei t=s) überleben, für die verbleibende Lebensdauer t= S+1 T-1 weiterhin die Rente R bekommen. Logisches Problem: Die Berechnung der Risikoprämie ist äquivalent zur Problematik eine feste lebenslange Rente ab Vertragsbeginn zu bestimmen. 5

6 Sofortbeginnende Renten mit Vererbung Prämienzahlung: Einmalbeitrag SP=Res(0) zu Vertragsbeginn (t=0) Versicherungsleistung: Lebenslange periodische Rente R jeweils vorschüssig ab t=0. Keine Leistungen bei Tod. Vererbung: Die bei einer individuellen Kalkulation im Todesfall (T x (ω)=k) verbleibende Reserve eines VN wird zum Periodenende dem Gesamtbestand übertragen. Kalkulatorisch entspricht dies einer negativen Risikoprämie q x+t * Res(t+1) Übergangsgleichung mit Vererbung Reserveentwicklung Res (t) = (1+i) * ( Res(t-1) R) + q x+t * Res(t) Res (Ω) = 0 = v -1 (p x+t ) -1 * ( Res(t-1) R) für t=1 Ω* * Ω: maximale theoretischen Lebensdauer (Tafelende der Sterbetafel, z.b. Ω=120) 6

7 Sofortbeginnende Renten - Mischformen Renten mit obligatorischer vollständiger Vererbung in der Praxis problematisch Rein psychologisch scheuen sich die ältere VN hohe Einmalprämie quasi als Wette auf ihr Überleben über viele Jahre einzusetzen. Aktuariell ergibt sich das Problem der sogenannten Antiselektion: Für Menschen mit einer gesundheitlichen Vorbelastung ist der Vertragsabschluss nicht attraktiv. Andererseits sind diese Menschen aber in der Statistik (Sterbetafel) mit erfasst. Aktuarielle Alternativen: Tarife mit Rentengarantiezeit: Die Rente wird sicher über T RGZ Jahre ausgezahlt (Typisch werden die Hinterbliebenen im Todesfall mit einer Einmalzahlung abgefunden.) Fondsentnahmeplan mit einer Restwertverrentung: Die nach T max Jahren verbleibende Reserve wird in eine lebenslange Rente umgewandelt, wobei kalkulatorisch sichergestellt ist, dass die sich die Rentenhöhe bei der Umstellung nicht verändert. Lebenslange Renten mit einem partieller Auszahlung der Reserve im Todesfall. Bei einer Garantie über z.b. 10 Jahre relativiert sich sowohl das psychologischen Problem beim VN, seine lebenslangen Ersparnisse zu verlieren als auch das aktuarielle Problem der Antiselektion. 7

8 Sofortbeginnende Rente Numerisches Beispiel Musterpolice: VP ist eine Frau, Alter 65, EP Rechnungszins i = 1 % (alternativ i= 4% wie in den 90ern) Sterbetafel DAV 94 T mit einem pauschalen Rentenabschlag von 15% Die Sterbetafel hat Sicherheitszuschläge in Bezug auf höhere Sterblichkeit, unterschätzt die Lebenserwartung also systematisch. In der Praxis werden spezielle Renten-Sterbetafeln verwendet, zur Illustration reicht aber der pauschale Abschlag Numerisches Beispiel zur Höhe der Jahresrente Rechnungszins Volle Vererbung 10 J Rentengarantie 10 J Fondsentnahme dann volle Vererbung 1% EUR EUR EUR 4% EUR EUR EUR 8

9 Sofortbeginnende Reserveverlauf Musterpolice: VP ist eine Frau, Alter 65, EP 100,000 Jahresrente bei i= 1% 5,546 EUR Jahresrente bei i= 4% 7,111 EUR 9

10 Thema (ii) Topic Lernziel Sofortbeginnende Renten Ökonomische Grundlage für Rentenversicherung Rentengarantiezeiten Konzept der Vererbung Thielsche Gleichung für Renten in der Auszahlungsphase Stochastische Modellierung und Barwertansatz für Renten Stochastisches Modell für Barwertformel für Leibrenten Aufgeschobene Renten Modellierung der aufgeschobene Rentenversicherung Verständnis des Einflusses von Rechnungszins (nicht beeinflussbar) und Rentenbeginn (partiell beeinflussbar) auf die Rentenhöhe Aktuarielle Herausforderungen für Rentenversicherung als zentrales Entwicklungsfeld der aktuariellen Wissenschaft in Bezug auf Produktegestaltung bei sehr langfristigen Garantien Rechnungsgrundlagen Zins und Sterblichkeit Analyse des Langlebigkeitsrisikos Problematik der Antiselektion bei Renten 10

11 Stochastische Modellierung und Rentenbarwert Für die stochastischen Modellierungen ist unmittelbar auf die Überlegungen zum Prämienbarwert zurückzugreifen: Der Barwert der stochastischen Rente für das Jahr k ist Λ (t,ω) = v T(ω) * R falls T(ω) < x+t Λ(t,ω) = 0 sonst Entsprechend bestimmt sich die erforderliche NEP für die lebenslange Deckung NEP = R* Erw{Λ (ω,t)} = R * v k Pr [T(ω) < x+k+1] = R * v k kp x = R * ä (x, ) = R * ä (x) 11

12 Thema (iii) Topic Lernziel Sofortbeginnende Renten Ökonomische Grundlage für Rentenversicherung Rentengarantiezeiten Konzept der Vererbung Thielsche Gleichung für Renten in der Auszahlungsphase Stochastische Modellierung und Barwertansatz für Renten Stochastisches Modell für Barwertformel für Leibrenten Aufgeschobene Renten Modellierung der aufgeschobene Rentenversicherung Verständnis des Einflusses von Rechnungszins (nicht beeinflussbar) und Rentenbeginn (partiell beeinflussbar) auf die Rentenhöhe Aktuarielle Herausforderungen für Rentenversicherung als zentrales Entwicklungsfeld der aktuariellen Wissenschaft in Bezug auf Produktegestaltung bei sehr langfristigen Garantien Rechnungsgrundlagen Zins und Sterblichkeit Analyse des Langlebigkeitsrisikos Problematik der Antiselektion bei Renten 12

13 Aufgeschobene Renten (Deferred Annuities) Vertragskonzept der aufgeschobenen Rente ist die Zusage einer lebenslangen garantierten Renten als Versicherungsleistung gegen die Zahlung eines laufenden Beitrags über n Jahre. Vertragskonzept häufig mit einer Beitragsrückgewähr bei Tod in der Aufschubzeit und einem Kapitalwahlrecht bei Rentenbeginn (Barauszahlung des Rentenbarwerts) Einschränkungen der Todesfall-Leistungen (in der Aufschubzeit) bei geförderten Verträgen (betriebliche Altersversorgung, steuerlich geförderte Renten in allen Ländern, in D z.b. Riester-Rente )) Traditionell wurden aktuarielle Rechnungsgrundlagen (q x, Kosten, Rechnungszins) mit Vertragsbeginn über die gesamte Deckungsdauer ( 30 Jahre Aufschubzeit und bis zu 40 Jahre Rentendauer) fixiert => Sehr hohe Sicherheitsmargen erforderlich! Neuer Tarife erlauben häufig Anpassung der Sterbetafel an die Bedingungen zu Rentenbeginn (via Gutachterverfahren). Abschnittgarantien beim Rechnungszins werden aktuell diskutiert. 13

14 Aufgeschobene Rente - Thielsches Gleichungssystem Prämien- & Reservekalkulation auf Basis des Thielschen Gleichungssystems: Anfangsbedingung Res (0) = 0 Übergangsgleichungen (Aufschubzeit t n) Übergangsgleichungen (Rentenbezug n < t T RGZ ) Übergangsgleichungen (Rentenbezug t > T RGZ ) Res (t) = v -1 (p x+t-1 ) -1 ( Res(t-1) + P q x+t-1 v (t-1) *P ) Res (t) = v -1 * ( Res(t-1) R) Res (t) = v -1 (p x+n+t ) -1 * ( Res(t-1) R) Gegeben alternative die Prämie oder die Rente sowie der Übergangszeitpunkt n besitzt das Gleichungssystem immer eine eindeutige Lösung Kalkulation in der Praxis eher mit variablen Prämie und Rentenvektoren, da feste Zahlungen wegen der langen Laufzeiten unter wechselnden Lebensumständen unrealistisch sind. Beitragsrückerstattung bei Tod Kein Todesfall- Rsiko, keine Vererbung 14

15 Aufgeschobene Rente Numerisches Beispiel Musterpolice: VP ist eine Frau, Alter 30, Jahresbeitrag 6,000 Rechnungszins i = 1% und 3 % (aktuariell nicht darstellbar, ökonomisch aber sinnvoll im Hinblick auf wahrscheinliche Zinsüberschüsse) Numerisches Beispiel zur Höhe der Jahresrente (DAV 94T, m. 15% Rentenabschlag) Rentenbeginnalter 63 J 65 J 67 J 70 J i=1%, ohne Beitragsrückgewähr 13,061 15,410 18,306 24,124 i=1%, Beitragsrück. in Aufschubzeit 12, ,465 20,951 i=3%, ohne Beitragsrückgewähr 23,218 27,720 33, i=3%, Beitragsrück. in Aufschubzeit 21,929 25,913 30,799 40,499 Resume: Einfluss von Beitragsrückgewähr in Aufschubzeit auf Rentenhöhe ca 10% Bei gegebenem Kapitalmarkt wird die Rentenhöhe zentral vom Renten-Eintrittsalter gesteuert, z.b. von 63 auf 67 Jahre => 45% erhöhte Rente Zinsanstieg von 2%-Punkten führt fast zur Verdopplung der Rente. 15

16 Thema (iv) Topic Lernziel Sofortbeginnende Renten Ökonomische Grundlage für Rentenversicherung Rentengarantiezeiten Konzept der Vererbung Thielsche Gleichung für Renten in der Auszahlungsphase Stochastische Modellierung und Barwertansatz für Renten Stochastisches Modell für Barwertformel für Leibrenten Aufgeschobene Renten Modellierung der aufgeschobene Rentenversicherung Verständnis des Einflusses von Rechnungszins (nicht beeinflussbar) und Rentenbeginn (partiell beeinflussbar) auf die Rentenhöhe Aktuarielle Herausforderungen für Rentenversicherung als zentrales Entwicklungsfeld der aktuariellen Wissenschaft in Bezug auf Analyse des Langlebigkeitsrisikos Problematik der Antiselektion bei Renten Produktegestaltung bei sehr langfristigen Garantien Rechnungsgrundlagen Zins und Sterblichkeit 16

17 Problematik des Langlebigkeitstrends Bei langlaufenden Verträgen besteht grundsätzlich ein Trend-Risiko: Die auf bester aktuarieller Grundlage geschätzte Sterbetafel ist auf Grund gesellschaftlicher/medizinischer Veränderungen nicht mehr angemessen. Ausgedrückt in relativen Größen ist die Sensitivität bei Risikoversicherung zwar deutlich größer als bei Renten; in absoluten Größen sind Renten besonders kritisch, da sowohl der Leistungsbarwert als auch die Deckungsdauer erheblich größer sind als bei Risikoversicherungen, vgl. KE 6. Die Erfahrung der letzten 100 Jahre zeigt einen nachhaltige Anstieg der Lebens-erwartung mit spürbarer Unsicherheit in der Schätzung der Trendparameter. Rentner- Sterblich keit DAV 94 T (mit Sicherheitsmarge Best Estimate ohne Trend Best Estimate mit Trend und Konfidenzbändern Bei sinkender Sterbe-Erwartung ist die Ableitung sicherer Rechnungsgrundlagen für Risiko- Versicherungen unkritisch, bei Rententafeln besteht eine erhebliche Unsicherheit 17

18 Langlebigkeit Aktuarielle Herausforderungen Problematik Aufgabenstellung Aktuarielle Herausforderung Schätzung langfristiger Sterbetafeln mit Trend Konfidenz von Trendannahmen Berücksichtigung medizinischer Erkenntnisse Elemente Produktgestaltung zur Reduktion des Langlebigkeitsrisiko Entwicklung mehrdimensionaler Sterbetafeln (q x = f(alter, Geburtsjahr)) bei gegebener statistischer Datenlage Ableitung statistischer Grundlagen für die Schätzung parametrischer Verteilungen Ableitung valider Aussagen für die Sterblichkeit aus Novationen in der Medizin Teilweise Übertragung von Langlebigkeitsrisiken auf die VN ohne grundsätzliche Aufgabe des Produktkonzepts Ableitung entsprechender Tafeln unter Berücksichtigung von Verzerrungseffekten (Rückgang der Sterblichkeit differenziert nach Altersbändern Kredibilitätsanalyse historischer Daten (abnehmende Aussagekraft historische Daten für Projektionen) Bei der Ableitung einer Statistik für Trendparametern aus historischen Daten sind Zufallsschwankungen um die Trendfunktion und Unsicherheiten der Parameter-Schätzungen zu differenzieren Problematik von Paradigmenwechseln Ableitung von Aussagen über die Auswirkungen medizinischer Verbesserungen auf die Bevölkerungssterblichkeit (Umfang, zeitlicher Verzug) Besonders relevant bei Renten mit langer Aufschubzeit Wechselwirkung zwischen Risikobegrenzung, attraktivem Preise (angemessene Sicherheitsmargen) und rechtlichen Rahmenbedingungen 18

19 Problematik der Antiselektion bei Renten Es besteht eine Korrelation zwischen Höhe der Deckung, Sozialstatus und Sterblichkeit Versicherungsnehmer mit gesundheitlichen Problemen werden keine sofortbeginnende lebenslange Renten abschließen bzw. versuchen aufgeschobene Renten zu kündigen (Kapitalwahlrecht). Ausweg Aktuarielle Herausforderung Anmerkung RGL mit Antiselektion Optimierung der Rentengarantiezeit im Produktdesign Preferred Life Tarife Statistische Differenzierung zwischen Versicherten- und Bevölkerungs-Sterblichkeit Sterbetafel mit Differenzierung nach SI (bzw. Rentenhöhe) Zusammenspiel statistischer, wirtschaftlicher und vertiebspsychologischer Elemente Rententarife, die den Gesundheitszustand des Versicherten reflektieren Gesundheitsgetriebene Anti-Selektion grundsätzlich gut beherrschbar, da der Selektions-Effekt nur über wenige Jahre greift Abwägung zwischen Länge des Anti-Selektionseffekts, Wechselwirkung Rentengarantie vs. Rentenhöhe und Kundenwunsch Gesundheitsprüfung ist Standard bei Risikotarifen (Risikozuschlag). Medizinstatistische Verfahren könnten auch auf Rententarife übertragen werden. 19

20 Zins und Inflationsausgleich bei Renten Im derzeitigen Zinsumfeld erscheinen eine sofortbeginnende (im Blick auf die Höhe der garantierten Rente) nicht attraktiv. Insbesondere fehlt eine systematischen Absicherung des Inflationsrisikos. Ausweg Aktuarielle Herausforderung Anmerkung Angemessene Gewinnbeteiligung Tarife mit approximativer Inflationsanpassung Kalkulatorisch lassen sich Renten nur mit sehr niedriger Zinsgarantie darstellen. Bei steigenden Zinsen können zusätzliche Kapitalerträgen den Versicherten als Renten- Steigerung gutgeschrieben werden Entwicklung indexierter Tarife (z.b. auf Basis eine Durchschnitt-Zinses als Proxi für die Inflationsrate) Wegen der Kombination aus einem Anlageund Entspar-Prozess für die Reserve sind gute Algorithmen für Rentenanpassung gesucht Anpassung alternativ an die realisierten Kapitalerträge (Gewinnbeteiligung) oder an einen Referenzzins als Proxi für die Inflations-entwicklung Kontrollierte Quersubvention zwischen verschiedenen Rentner-Generationen Trade-Off zwischen Vertriebsargumenten (hohe Garantien), Risikokontrolle (Sicherheitsmargen, Matching zwischen Anlage-Horizont und Duration der Verbindlichkeiten) und VN Interessen (Inflationsausgleich) Tarifwerk muss im Einklang mit legalen und bilanziellen Rahmenbedingungen stehen 20

21 Aktuarielle Aspekte der Produktgestaltung Versicherungsnehmer sind wenig geneigt, sich bei Vertragsabschluss (mittleres Alter) oder Rentenbeginn über Jahre ihr Kapital unwiderruflich in ein starres Produkt zu investieren. Der Markt verlangt nach differenzierteren Produkten Produktidee Konzept Aktuarielle Herausforderung Erbenprodukte Altersrente mit Pflege-Zusatzdeckung Rente mit Dread Desease Deckung Rentenprodukt zusätzlicher Todesfall-Leistung (gestaffelt nach erreichtem Alter) Rentenpassung im Pflegefall Abruf einer Einmal-Leistung im Falle einer spezifischen schweren Erkrankung Eignet sich nur für eine ergänzende Rente, i.d.r. keine volle Alterssicherung möglich Produkte mit reduzierter Portfolio-Vererbung reduziert das Langlebigkeitsrisiko substanziell Korrelation zwischen Pflege-Bedürftigkeit ist aktuariell angemessen zu erfassen Wechselwirkung zwischen aktuariellen und rechtlichen Fragen Kombiprodukt kann ggf. günstiger angeboten werden als getrennte Deckungen Korrelation zwischen Dread Desease und Sterblichkeit ist aktuariell zu erfassen Berücksichtigung des medizinischen Fortschritts bei langen Deckungsdauern 21

22 Kurseinheit 5 - Übungsaufgabe Zur Kalkulation der Rentenhöhe Prospektive Kalkulation Leiten Sie die Prämienformel für eine aufgeschobene Rente (ohne Beitragsrückgewähr) im prospektiven Modell her. Verwenden Sie die Ergebnisse der vorangegangenen Vorlesungen (Kein Beweis des Cantelli Theorems) Ökonomische Sicht Betrachten Sie prospektiven Formel für aufgeschobenen Renten und das numerischen Beispiel aus den vorherigen Folien. Verwenden Sie die Zusatzinformation, dass die Rente bei einem Rechnungszins i=0% gegenüber dem Fall i=1% um 20% sinkt. Welche Aussagen lassen sich daraus für die durchschnittliche Lebenserwartung (nach Rentenbeginn) der VP der Musterpolice ableiten. (Grobe Abschätzung) 22