Anwendungsbeispiel 3 Train Timetabling Problem TTP

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1 Anwendungsbeispiel 3 Train Timetabling Problem TTP Frank Fischer, Christoph Helmberg TU Chemnitz Vielen Dank an Frank Fischer für die Bereitstellung der Folien. Anja Fischer, TU Dortmund, Veranstaltung Praxis der Optimierung

2 Problemstellung und Basismodell Algorithmische Herausforderungen Dynamische Graphengenerierung Rechenergebnisse

3 Das Problem Ziel Betriebsplan für das gesamte deutsche Streckennetz der Deutschen Bahn erzeugen (Train Timetabling Problem). Daten: Infrastrukturnetz Knoten (Bahnhöfe, Kreuzungen,... ) Kanten (Gleise). Personen- und Güterzüge Zugtyp (ICE, RB, Güterzug,... ) Fahrtstrecke Restriktionen: Fahrzeiten, Mindestzugfolgezeiten, Knotenkapazitäten, Rahmenfahrplan für Personenzüge.

4 Das Problem Ziel Betriebsplan für das gesamte deutsche Streckennetz der Deutschen Bahn erzeugen (Train Timetabling Problem). Daten: Infrastrukturnetz Knoten (Bahnhöfe, Kreuzungen,... ) Kanten (Gleise). Personen- und Güterzüge Zugtyp (ICE, RB, Güterzug,... ) Fahrtstrecke Restriktionen: Fahrzeiten, Mindestzugfolgezeiten, Knotenkapazitäten, Rahmenfahrplan für Personenzüge.

5 Das Problem Ziel Betriebsplan für das gesamte deutsche Streckennetz der Deutschen Bahn erzeugen (Train Timetabling Problem). Daten: Infrastrukturnetz Knoten (Bahnhöfe, Kreuzungen,... ) Kanten (Gleise). Personen- und Güterzüge Zugtyp (ICE, RB, Güterzug,... ) Fahrtstrecke Restriktionen: Fahrzeiten, Mindestzugfolgezeiten, Knotenkapazitäten, Rahmenfahrplan für Personenzüge.

6 Das Problem Ziel Betriebsplan für das gesamte deutsche Streckennetz der Deutschen Bahn erzeugen (Train Timetabling Problem). Daten: Infrastrukturnetz Knoten (Bahnhöfe, Kreuzungen,... ) Kanten (Gleise). Personen- und Güterzüge Zugtyp (ICE, RB, Güterzug,... ) Fahrtstrecke Restriktionen: Fahrzeiten, Mindestzugfolgezeiten, Knotenkapazitäten, Rahmenfahrplan für Personenzüge.

7 Das Problem Ziel Betriebsplan für das gesamte deutsche Streckennetz der Deutschen Bahn erzeugen (Train Timetabling Problem). Daten: Infrastrukturnetz Knoten (Bahnhöfe, Kreuzungen,... ) Kanten (Gleise). Personen- und Güterzüge Zugtyp (ICE, RB, Güterzug,... ) Fahrtstrecke Restriktionen: Fahrzeiten, Mindestzugfolgezeiten, Knotenkapazitäten, Rahmenfahrplan für Personenzüge.

8 Besonderheiten: Richtungskapazitäten Gesamt- und Richtungskapazitäten

9 Beispiele: Gesamt- und Richtungsgleiszahlen a) b) c) d) e) Richtungsgleiszahl Bsp. Gleiszahl von links von rechts a) 2 b) 3 2 c) d) e) f) f)

10 Besonderheiten: Rahmenfahrplan Für jeden Personenzug r R P und jeden Bahnhof gibt es Halteintervall Iu r = [t r u, t r u] {,...,, 2,..., }, Zug r soll in diesem Intervall am Bahnhof stehen, Mindesthaltezeit du r N, können genutzt werden um Anschlussbedingungen zu simulieren. Beispiel: Mindesthaltezeit = 2 Minuten, Halteintervall = [, 4] Die folgenden Fahrten sind alle zulässig.

11 Besonderheiten: Rahmenfahrplan Für jeden Personenzug r R P und jeden Bahnhof gibt es Halteintervall Iu r = [t r u, t r u] {,...,, 2,..., }, Zug r soll in diesem Intervall am Bahnhof stehen, Mindesthaltezeit du r N, können genutzt werden um Anschlussbedingungen zu simulieren. Beispiel: Mindesthaltezeit = 2 Minuten, Halteintervall = [, 4] Die folgenden Fahrten sind alle zulässig.

12 Besonderheiten: Rahmenfahrplan Für jeden Personenzug r R P und jeden Bahnhof gibt es Halteintervall Iu r = [t r u, t r u] {,...,, 2,..., }, Zug r soll in diesem Intervall am Bahnhof stehen, Mindesthaltezeit du r N, können genutzt werden um Anschlussbedingungen zu simulieren. Beispiel: Mindesthaltezeit = 2 Minuten, Halteintervall = [, 4] Die folgenden Fahrten sind alle zulässig.

13 Besonderheiten: Rahmenfahrplan Für jeden Personenzug r R P und jeden Bahnhof gibt es Halteintervall Iu r = [t r u, t r u] {,...,, 2,..., }, Zug r soll in diesem Intervall am Bahnhof stehen, Mindesthaltezeit du r N, können genutzt werden um Anschlussbedingungen zu simulieren. Beispiel: Mindesthaltezeit = 2 Minuten, Halteintervall = [, 4] Die folgenden Fahrten sind alle zulässig.

14 Besonderheiten: Rahmenfahrplan Für jeden Personenzug r R P und jeden Bahnhof gibt es Halteintervall Iu r = [t r u, t r u] {,...,, 2,..., }, Zug r soll in diesem Intervall am Bahnhof stehen, Mindesthaltezeit du r N, können genutzt werden um Anschlussbedingungen zu simulieren. Beispiel: Mindesthaltezeit = 2 Minuten, Halteintervall = [, 4] Die folgenden Fahrten sind alle zulässig.

15 Besonderheiten Verhaltensabhängige FZ und MZFZ Fahrzeiten (FZ) abhängig vom Zugtyp und vom Fahrverhalten Mindestzugfolgezeiten (MZFZ) abhängig von Zugtyp und Fahrverhalten beider Züge

16 Besonderheiten Verhaltensabhängige FZ und MZFZ Fahrzeiten (FZ) abhängig vom Zugtyp und vom Fahrverhalten Mindestzugfolgezeiten (MZFZ) abhängig von Zugtyp und Fahrverhalten beider Züge

17 Daten Infrastrukturnetzwerk G I = (V I, A I ), Knoten V I (Bahnhöfe, Weichen,... ), Strecken A I = A I, A I,2, eingleisig oder zweigleisig, Züge R mit Zugtyp m : R {,..., 6}, Strecke G r G I, Halteintervalle, Mindesthaltezeit für Personenzüge (aus Fahrplan), Zeiten: für B = {SS, FS, SF, FF }, Fahrzeiten f : A I R B R +, MZFZ h, h cr : A I (R B) 2 R +, Kapazitäten: (aus Knotentyp berechnet) absolut: c A : V I N, Richtung: c R : A I N.

18 Daten Infrastrukturnetzwerk G I = (V I, A I ), Knoten V I (Bahnhöfe, Weichen,... ), Strecken A I = A I, A I,2, eingleisig oder zweigleisig, Züge R mit Zugtyp m : R {,..., 6}, Strecke G r G I, Halteintervalle, Mindesthaltezeit für Personenzüge (aus Fahrplan), Zeiten: für B = {SS, FS, SF, FF }, Fahrzeiten f : A I R B R +, MZFZ h, h cr : A I (R B) 2 R +, Kapazitäten: (aus Knotentyp berechnet) absolut: c A : V I N, Richtung: c R : A I N.

19 Daten Infrastrukturnetzwerk G I = (V I, A I ), Knoten V I (Bahnhöfe, Weichen,... ), Strecken A I = A I, A I,2, eingleisig oder zweigleisig, Züge R mit Zugtyp m : R {,..., 6}, Strecke G r G I, Halteintervalle, Mindesthaltezeit für Personenzüge (aus Fahrplan), Zeiten: für B = {SS, FS, SF, FF }, Fahrzeiten f : A I R B R +, MZFZ h, h cr : A I (R B) 2 R +, Kapazitäten: (aus Knotentyp berechnet) absolut: c A : V I N, Richtung: c R : A I N.

20 Daten Infrastrukturnetzwerk G I = (V I, A I ), Knoten V I (Bahnhöfe, Weichen,... ), Strecken A I = A I, A I,2, eingleisig oder zweigleisig, Züge R mit Zugtyp m : R {,..., 6}, Strecke G r G I, Halteintervalle, Mindesthaltezeit für Personenzüge (aus Fahrplan), Zeiten: für B = {SS, FS, SF, FF }, Fahrzeiten f : A I R B R +, MZFZ h, h cr : A I (R B) 2 R +, Kapazitäten: (aus Knotentyp berechnet) absolut: c A : V I N, Richtung: c R : A I N.

21 Modell: Zuggraphen Klassisches Modell mittels zeitdiskretisierter Netzwerke für jeden einzelnen Zug: Für jeden Zug r R ein Graph G r T = (V r T, Ar T ) mit V r T enthält künstlichen Startknoten σ r, künstlichen Endknoten τ r, einen Warteknoten und einen Durchfahrtsknoten für jeden Infrastrukturknoten, Zeitschritt. A r T enthält Startkanten von σ r zu den Knoten des ersten Bahnhofs, Endkanten von den Knoten des letzten Bahnhofs zu τ r, Wartekanten zwischen zwei aufeinanderfolgenden Warteknoten eines Bahnhofs, Fahrtkanten zwischen Knoten aufeinanderfolgender Bahnhöfe.

22 Modell: Zuggraphen Klassisches Modell mittels zeitdiskretisierter Netzwerke für jeden einzelnen Zug: Für jeden Zug r R ein Graph G r T = (V r T, Ar T ) mit V r T enthält künstlichen Startknoten σ r, künstlichen Endknoten τ r, einen Warteknoten und einen Durchfahrtsknoten für jeden Infrastrukturknoten, Zeitschritt. A r T enthält Startkanten von σ r zu den Knoten des ersten Bahnhofs, Endkanten von den Knoten des letzten Bahnhofs zu τ r, Wartekanten zwischen zwei aufeinanderfolgenden Warteknoten eines Bahnhofs, Fahrtkanten zwischen Knoten aufeinanderfolgender Bahnhöfe.

23 Modell: Zuggraphen Klassisches Modell mittels zeitdiskretisierter Netzwerke für jeden einzelnen Zug: Für jeden Zug r R ein Graph G r T = (V r T, Ar T ) mit V r T enthält künstlichen Startknoten σ r, künstlichen Endknoten τ r, einen Warteknoten und einen Durchfahrtsknoten für jeden Infrastrukturknoten, Zeitschritt. A r T enthält Startkanten von σ r zu den Knoten des ersten Bahnhofs, Endkanten von den Knoten des letzten Bahnhofs zu τ r, Wartekanten zwischen zwei aufeinanderfolgenden Warteknoten eines Bahnhofs, Fahrtkanten zwischen Knoten aufeinanderfolgender Bahnhöfe.

24 Zuggraphen: Knoten t= Station 2 Station 3 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7 Knoten Stopknoten Zug hält am Bahnhof Durchfahrtsknoten Zug durchfährt den Bahnhof

25 Zuggraphen: Wartekanten t= Bhf 2 Bhf 3 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7

26 Zuggraphen: Fahrtkanten Fahrt-Fahrt t= Bhf 2 Bhf 3 t= Bhf 2 Bhf 3 Fahrt-Stop t=2 t=2 t=3 t=3 t=4 t=4 t=5 t=5 t=6 t=6 Stop-Fahrt t=7 t= Bhf 2 Bhf 3 t=7 t= Bhf 2 Bhf 3 Stop-Stop t=2 t=2 t=3 t=3 t=4 t=4 t=5 t=5 t=6 t=6 t=7 t=7

27 Zuggraphen: Modellierung Fahrplan entspricht σ r -τ r -Weg in G r T, Binärvariable x a {, } für jede Kante aus A r T, Flusserhaltungsgleichungen X r = {char. Vektoren zulässiger Pfade} in G r T.

28 Modell: Rahmenfahrplan Züge dürfen nicht zu früh losfahren: x (u,t)(u,t ) = falls t < t r u, Mindestwartezeit: wird in eingehenden Fahrtkanten berücksichtigt: FZ d von u nach v, Mindesthaltezeit δ (u, t)(v, t + d + δ) A r T, t N.

29 Nebenbedingungen: Knotenkapazitäten absolut: höchstens c u Züge dürfen Bahnhof u V I zur Zeit t T erreichen, x a c u, a=((u,t ),(u,t)) richtungsabhängig: höchstens c (u,v) Züge dürfen Bahnhof u V I von Bahnhof v V I zur Zeit t T erreichen, x a c (u,v). a=((u,t ),(v,t))

30 Nebenbedingungen: Knotenkapazitäten absolut: höchstens c u Züge dürfen Bahnhof u V I zur Zeit t T erreichen, x a c u, a=((u,t ),(u,t)) richtungsabhängig: höchstens c (u,v) Züge dürfen Bahnhof u V I von Bahnhof v V I zur Zeit t T erreichen, x a c (u,v). a=((u,t ),(v,t))

31 Nebenbedingungen: Mindestzugfolgezeiten Zwei Modellierungsmöglichkeiten Konfigurationsnetzwerke, Konfliktungleichungen.

32 Nebenbedingungen: Mindestzugfolgezeiten Ausschlussbedingungen von in Konflikt stehenden Kanten. (Beispiel: Zug vor Zug 2-3 Minuten, Zug 2 vor Zug - 2 Minuten): t=2 t=2 t=22 t=23 t=24 t=2 t=24 t=2 t=22 t=2 t=22 t=23 t=24 t=2 t=23 Station 42 Station Y Station 23 Station X Station Y Station X e {rote Kanten} x e Ziel: Maximale Cliquen im Konfliktgraphen finden.

33 Nebenbedingungen: Mindestzugfolgezeiten Bisher: Modelliert mittels Konfigurationsnetzwerken (Borndörfer, Schlechte 27): ein Konfigurationsnetzwerk für jede Infrastrukturkante, Fahrtkanten werden durch Konfigurationskanten freigeschaltet. Typ Typ 2 Konfigurationsgraph Nebenbedingung: x a = x a

34 Nebenbedingungen: Mindestzugfolgezeiten Bisher: Modelliert mittels Konfigurationsnetzwerken (Borndörfer, Schlechte 27): ein Konfigurationsnetzwerk für jede Infrastrukturkante, Fahrtkanten werden durch Konfigurationskanten freigeschaltet. Typ Typ 2 Typ Typ 2 Konfigurationsgraph Beispielkonfiguration Nebenbedingung: x a = x a

35 Nebenbedingungen: Mindestzugfolgezeiten Bisher: Modelliert mittels Konfigurationsnetzwerken (Borndörfer, Schlechte 27): ein Konfigurationsnetzwerk für jede Infrastrukturkante, Fahrtkanten werden durch Konfigurationskanten freigeschaltet. Zug Zug 2 Typ Typ 2 Zug 3 Zuggraph Beispielkonfiguration Nebenbedingung: x a = x a

36 Nebenbedingungen: Mindestzugfolgezeiten Cliques: Gut: funktionieren gut mit Lagrange-Relaxation, Bündelverfahren, Schlecht: sehr viele, sehr schwer zu separieren schlechtes Modell Konfigurationsnetzwerke: Gut: einfach zu separieren, starkes Modell, Schlecht: Dualraum extrem hochdimensional, sehr langsame Konvergenz bei Verfahren erster Ordnung, Umsetzung in der Praxis: meist Cliques, da anfangs viel schnellerer Fortschritt.

37 Nebenbedingungen: Mindestzugfolgezeiten Cliques: Gut: funktionieren gut mit Lagrange-Relaxation, Bündelverfahren, Schlecht: sehr viele, sehr schwer zu separieren schlechtes Modell Konfigurationsnetzwerke: Gut: einfach zu separieren, starkes Modell, Schlecht: Dualraum extrem hochdimensional, sehr langsame Konvergenz bei Verfahren erster Ordnung, Umsetzung in der Praxis: meist Cliques, da anfangs viel schnellerer Fortschritt.

38 Nebenbedingungen: Mindestzugfolgezeiten Cliques: Gut: funktionieren gut mit Lagrange-Relaxation, Bündelverfahren, Schlecht: sehr viele, sehr schwer zu separieren schlechtes Modell Konfigurationsnetzwerke: Gut: einfach zu separieren, starkes Modell, Schlecht: Dualraum extrem hochdimensional, sehr langsame Konvergenz bei Verfahren erster Ordnung, Umsetzung in der Praxis: meist Cliques, da anfangs viel schnellerer Fortschritt.

39 Lösungmethode Algorithmus basierend auf Lagrange-Relaxation der koppelnden Nebenbedingungen, gelöst mittels eines Bündelverfahrens: inf ϕ(y, y 2) := d T y + d2 T y 2 + [ ( ) ] max w r D r T y,y 2 x f X r y D2 f T T y2 x r. r R A I für koppelnde Nebenbedingungen D d, D 2 = d 2. pro Iteration des Bündelverfahrens: Lösung von unabhängigen Kürzester-Weg-Probleme in den Zug- und Konfigurationsnetzwerken ϕ(y) = d T y + [ ( ) ] T max w r D r T y x r. x r X r r R A I

40 Lösungmethode Algorithmus basierend auf Lagrange-Relaxation der koppelnden Nebenbedingungen, gelöst mittels eines Bündelverfahrens: inf ϕ(y, y 2) := d T y + d2 T y 2 + [ ( ) ] max w r D r T y,y 2 x f X r y D2 f T T y2 x r. r R A I für koppelnde Nebenbedingungen D d, D 2 = d 2. pro Iteration des Bündelverfahrens: Lösung von unabhängigen Kürzester-Weg-Probleme in den Zug- und Konfigurationsnetzwerken ϕ(y) = d T y + [ ( ) ] T max w r D r T y x r. x r X r r R A I

41 Herausforderungen enorme Problemgröße (ca. 3. Züge pro Tag in Deutschland), extrem große, zeitexpandierte Graphen, hoher Speicherbedarf, lange Rechenzeiten Ziel: Verbesserung des algorithmischen Schemas Bündelverfahren Aufruf Black Box Orakel Gr T Gr T 2 Gr T 3 Kürzeste-Wege-Unterprobleme Asynchrones, paralleles Bündelverfahren Fischer und Helmberg, 22 Dynamische Graphengenerierung Fischer und Helmberg 2, 22

42 Herausforderungen enorme Problemgröße (ca. 3. Züge pro Tag in Deutschland), extrem große, zeitexpandierte Graphen, hoher Speicherbedarf, lange Rechenzeiten Ziel: Verbesserung des algorithmischen Schemas Bündelverfahren Aufruf Black Box Orakel Gr T Gr T 2 Gr T 3 Kürzeste-Wege-Unterprobleme Asynchrones, paralleles Bündelverfahren Fischer und Helmberg, 22 Dynamische Graphengenerierung Fischer und Helmberg 2, 22

43 Herausforderungen enorme Problemgröße (ca. 3. Züge pro Tag in Deutschland), extrem große, zeitexpandierte Graphen, hoher Speicherbedarf, lange Rechenzeiten Ziel: Verbesserung des algorithmischen Schemas Bündelverfahren Aufruf Black Box Orakel Gr T Gr T 2 Gr T 3 Kürzeste-Wege-Unterprobleme Asynchrones, paralleles Bündelverfahren Fischer und Helmberg, 22 Dynamische Graphengenerierung Fischer und Helmberg 2, 22

44 Betrachten Gr T für ein festes r R (lassen Index r weg) Beobachtung: Ziel: zeitexpandierte Netzwerke sehr groß T, Verspätung wird bestraft Züge fahren früh nur kleine Teile von G T benötigt nur notwendige Teile von G T speichern, dynamisch weitere Teile hinzufügen, falls nötig, Motivation Korrektheit der Unterprobleme erhalten

45 Betrachten Gr T für ein festes r R (lassen Index r weg) Beobachtung: Ziel: zeitexpandierte Netzwerke sehr groß T, Verspätung wird bestraft Züge fahren früh nur kleine Teile von G T benötigt nur notwendige Teile von G T speichern, dynamisch weitere Teile hinzufügen, falls nötig, Motivation Korrektheit der Unterprobleme erhalten

46 Betrachten Gr T für ein festes r R (lassen Index r weg) Beobachtung: Ziel: zeitexpandierte Netzwerke sehr groß T, Verspätung wird bestraft Züge fahren früh nur kleine Teile von G T benötigt nur notwendige Teile von G T speichern, dynamisch weitere Teile hinzufügen, falls nötig, Motivation Korrektheit der Unterprobleme erhalten

47 Dynamische Zuggraphen: Funktionsweise Ziel Alle Orakelauswertungen sollen weiterhin exakt sein. konvexe Kostenstruktur: Verspätung ist teuer, Kosten impliziter Kanten dürfen nicht verringert werden (durch Lagrange-Multiplikatoren), hier: nur Strafkosten, Arbeitsweise: speichern Kern -graph, der beliebige Kosten enthält, zusätzlichen Rand mit unveränderten Kosten, falls Lösung den Rand nutzt Kerngraph erhöhen, Graph wächst, Weg neu berechnen.

48 Dynamische Zuggraphen: Funktionsweise Ziel Alle Orakelauswertungen sollen weiterhin exakt sein. konvexe Kostenstruktur: Verspätung ist teuer, Kosten impliziter Kanten dürfen nicht verringert werden (durch Lagrange-Multiplikatoren), hier: nur Strafkosten, Arbeitsweise: speichern Kern -graph, der beliebige Kosten enthält, zusätzlichen Rand mit unveränderten Kosten, falls Lösung den Rand nutzt Kerngraph erhöhen, Graph wächst, Weg neu berechnen.

49 Dynamische Zuggraphen: Funktionsweise Ziel Alle Orakelauswertungen sollen weiterhin exakt sein. konvexe Kostenstruktur: Verspätung ist teuer, Kosten impliziter Kanten dürfen nicht verringert werden (durch Lagrange-Multiplikatoren), hier: nur Strafkosten, Arbeitsweise: speichern Kern -graph, der beliebige Kosten enthält, zusätzlichen Rand mit unveränderten Kosten, falls Lösung den Rand nutzt Kerngraph erhöhen, Graph wächst, Weg neu berechnen.

50 Dynamische Zuggraphen: Funktionsweise Ziel Alle Orakelauswertungen sollen weiterhin exakt sein. konvexe Kostenstruktur: Verspätung ist teuer, Kosten impliziter Kanten dürfen nicht verringert werden (durch Lagrange-Multiplikatoren), hier: nur Strafkosten, Arbeitsweise: speichern Kern -graph, der beliebige Kosten enthält, zusätzlichen Rand mit unveränderten Kosten, falls Lösung den Rand nutzt Kerngraph erhöhen, Graph wächst, Weg neu berechnen.

51 Dynamische Zuggraphen: Funktionsweise Ziel Alle Orakelauswertungen sollen weiterhin exakt sein. konvexe Kostenstruktur: Verspätung ist teuer, Kosten impliziter Kanten dürfen nicht verringert werden (durch Lagrange-Multiplikatoren), hier: nur Strafkosten, Arbeitsweise: speichern Kern -graph, der beliebige Kosten enthält, zusätzlichen Rand mit unveränderten Kosten, falls Lösung den Rand nutzt Kerngraph erhöhen, Graph wächst, Weg neu berechnen.

52 Dynamische Zuggraphen: Funktionsweise Ziel Alle Orakelauswertungen sollen weiterhin exakt sein. konvexe Kostenstruktur: Verspätung ist teuer, Kosten impliziter Kanten dürfen nicht verringert werden (durch Lagrange-Multiplikatoren), hier: nur Strafkosten, Arbeitsweise: speichern Kern -graph, der beliebige Kosten enthält, zusätzlichen Rand mit unveränderten Kosten, falls Lösung den Rand nutzt Kerngraph erhöhen, Graph wächst, Weg neu berechnen.

53 Dynamische Zuggraphen: Funktionsweise Ziel Alle Orakelauswertungen sollen weiterhin exakt sein. konvexe Kostenstruktur: Verspätung ist teuer, Kosten impliziter Kanten dürfen nicht verringert werden (durch Lagrange-Multiplikatoren), hier: nur Strafkosten, Arbeitsweise: speichern Kern -graph, der beliebige Kosten enthält, zusätzlichen Rand mit unveränderten Kosten, falls Lösung den Rand nutzt Kerngraph erhöhen, Graph wächst, Weg neu berechnen.

54 Beispielgraph voll zeitexpandiert einfacher Ansatz Ansatz mit Shift Abbildung : Beispiel eines Güterzuges

55 Effizienz Dynamische Graphengenerierung für allgemeine azyklische Graphen kann sehr effizient implementiert werden. Theorem (Fischer, Helmberg 22) Die Konstruktion von G mem (Graph im Speicher) ist möglich in O( A max d) Schritten mit d max. Zeitschritt. Bemerkung Die Berechnung eines kürzesten Weges in G mem benötigt Θ( Kanten in G mem ) Schritte (abhängig von der Größe des gespeicherten Teilgraphen G mem )! Theorem (Fischer, Helmberg 22) Enthält G nur eine Route, dann gilt V mem \ V act = O( V max d). (G act Teilgraph, in dem die bisherigen kürzesten Wege liegen)

56 Effizienz Dynamische Graphengenerierung für allgemeine azyklische Graphen kann sehr effizient implementiert werden. Theorem (Fischer, Helmberg 22) Die Konstruktion von G mem (Graph im Speicher) ist möglich in O( A max d) Schritten mit d max. Zeitschritt. Bemerkung Die Berechnung eines kürzesten Weges in G mem benötigt Θ( Kanten in G mem ) Schritte (abhängig von der Größe des gespeicherten Teilgraphen G mem )! Theorem (Fischer, Helmberg 22) Enthält G nur eine Route, dann gilt V mem \ V act = O( V max d). (G act Teilgraph, in dem die bisherigen kürzesten Wege liegen)

57 Effizienz Dynamische Graphengenerierung für allgemeine azyklische Graphen kann sehr effizient implementiert werden. Theorem (Fischer, Helmberg 22) Die Konstruktion von G mem (Graph im Speicher) ist möglich in O( A max d) Schritten mit d max. Zeitschritt. Bemerkung Die Berechnung eines kürzesten Weges in G mem benötigt Θ( Kanten in G mem ) Schritte (abhängig von der Größe des gespeicherten Teilgraphen G mem )! Theorem (Fischer, Helmberg 22) Enthält G nur eine Route, dann gilt V mem \ V act = O( V max d). (G act Teilgraph, in dem die bisherigen kürzesten Wege liegen)

58 Testinstanzen Rhein-Main Schiene (Fern- und Güterverkehrsstrecke), Süd-West Teilnetz der Deutschen Bahn, jeweils 6 Stunden Zeithorizont

59 Testinstanzen Rhein-Main Schiene (Fern- und Güterverkehrsstrecke), Süd-West Teilnetz der Deutschen Bahn, jeweils 6 Stunden Zeithorizont Personenverkehr Teilnetz V I A I # Güter # Fern # Nah RM SW Tabelle : Testinstanzen

60 Testinstanzen Rhein-Main Schiene (Fern- und Güterverkehrsstrecke), Süd-West Teilnetz der Deutschen Bahn, jeweils 6 Stunden Zeithorizont Personenverkehr Teilnetz V I A I # Güter # Fern # Nah RM SW Tabelle : Testinstanzen Teilnetz Vollständig Einfache DG DG RM SW Tabelle : Anzahl aller Kanten am Ende des Lösungsprozesses Reduktion um Faktor 4!

61 Verspätung in Sekunden Rhein-Main Instanz Verspätung in Sekunden 4 Süd-West Instanz Maximum Fernverkehr Maximum Nahverkehr Fernverkehr Nahverkehr RM fast alle Züge ohne signifikante Verspätung, SW 99% aller Züge ohne signifikante Verspätung, Durschnittlich ca. eine Stunde Einsparung bei Güterzügen.