Übungen zur Vorlesung Formale Systeme
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- Erika Krüger
- vor 6 Jahren
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1 Übungen zur Vorlesung Formale Systeme Steffen Schlager Institut für Theoretische Informatik Winter 2005/2006
2 Aufgabe 1 Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer 1 0..* 1 0..* Student nachbar bestanden : Boolean * Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe
3 Aufgabe 1 (a) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe context Aufgabe inv: self.punktzahl > 0
4 Aufgabe 1 (a) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe context Aufgabe inv: self.punktzahl > 0 Für jede Aufgabe gilt, dass ihre Punktzahl größer als 0 ist.
5 Aufgabe 1 (b) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe context inv: Student loesung >size = klausur.aufgabe >size
6 Aufgabe 1 (b) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe context inv: Student loesung >size = klausur.aufgabe >size Die Zahl der Lösungen eines Studenten ist gleich der Zahl der Aufgaben seiner Klausur.
7 Aufgabe 1 (c) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe context Loesung inv: student.nachbar->collect( n n.loesung ) > exists( l l.text = self.text ) implies not student.bestanden
8 Aufgabe 1 (c) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe context Loesung inv: student.nachbar->collect( n n.loesung ) > exists( l l.text = self.text ) implies not student.bestanden Ein Student hat nicht bestanden, wenn er eine Lösung hat, deren Text mit dem Text einer Lösung eines seiner Nachbarn übereinstimmt.
9 Aufgabe 2 (a) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe Für jede Einstiegsaufgabe gilt: Ihre Punktzahl ist kleiner oder gleich der Punktzahl aller Aufgaben der Klausur, zu der sie gehört.
10 Aufgabe 2 (a) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe Für jede Einstiegsaufgabe gilt: Ihre Punktzahl ist kleiner oder gleich der Punktzahl aller Aufgaben der Klausur, zu der sie gehört. context Einstiegsaufgabe inv: klausur.aufgabe >forall( a self.punktzahl <= a.punktzahl )
11 Aufgabe 2 (b) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe Nachdem eine Lösung bewertet worden ist (d.h. nach Ausführung von bewerten()), ist ihre Bewertung größer oder gleich Null und kleiner oder gleich der Punktzahl der Aufgabe, zu der sie gehört.
12 Aufgabe 2 (b) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe Nachdem eine Lösung bewertet worden ist (d.h. nach Ausführung von bewerten()), ist ihre Bewertung größer oder gleich Null und kleiner oder gleich der Punktzahl der Aufgabe, zu der sie gehört. context post: Loesung::bewerten() bewertung >= 0 and bewertung <= aufgabe.punktzahl
13 Aufgabe 2 (c) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe Verwenden Sie zur Modellierung des folgenden Sachverhalts das sum-konstrukt Die Summe der Punktzahlen aller Aufgaben einer Klausur ist größer als die Mindestpunktzahl der Klausur.
14 Aufgabe 2 (c) Klausur mindestpunktzahl : Integer 1 0..* Aufgabe punktzahl : Integer Student nachbar 1 0..* bestanden : Boolean * 1 0..* Loesung text : String bewertung : Integer bewerten() Einstiegsaufgabe Verwenden Sie zur Modellierung des folgenden Sachverhalts das sum-konstrukt Die Summe der Punktzahlen aller Aufgaben einer Klausur ist größer als die Mindestpunktzahl der Klausur. context inv: Klausur aufgabe->collect(a a.punktzahl)->sum > mindestpunktzahl
15 Aufgabe 3 Definieren Sie das sum-konstrukt mithilfe des iterate-konstrukts.
16 Aufgabe 3 Definieren Sie das sum-konstrukt mithilfe des iterate-konstrukts. Angenommen t sei eine Collection von Integer. t >sum ist äquivalent zu t >interate (x:integer; y:integer = 0 y+x)
17 Aufgabe 4 Drücken Sie in OCL folgenden Sachverhalt aus: Für die Operation mittel(m: Set):Real gilt: Wenn alle Elemente der Menge m grösser als Null sind, dann ist das Ergebnis der Operation das arithmetische Mittel der Elemente in m.
18 Aufgabe 4 Drücken Sie in OCL folgenden Sachverhalt aus: Für die Operation mittel(m: Set):Real gilt: Wenn alle Elemente der Menge m grösser als Null sind, dann ist das Ergebnis der Operation das arithmetische Mittel der Elemente in m. context pre: post: mittel(m:set):real m->forall(e e>0) result=m->sum / m->size
19 Aufgabe 5 context Aufgabe inv: self.punktzahl > 0
20 Aufgabe 5 context Aufgabe inv: self.punktzahl > 0 x(aufgabe(x) punktzahl(x) > 0)
21 Aufgabe 5 context inv: Student loesung >size = klausur.aufgabe >size
22 Aufgabe 5 context inv: Student loesung >size = klausur.aufgabe >size s(student(s) size({x lösung(x) sl(s, x)}) = size({y aufgabe(y) ka(klausur(s), y)}))
23 Aufgabe 5 context Loesung inv: student.nachbar->collect( n n.loesung ) > exists( l l.text = self.text ) implies not student.bestanden
24 Aufgabe 5 context Loesung inv: student.nachbar->collect( n n.loesung ) > exists( l l.text = self.text ) implies not student.bestanden s 1, s 2 ( student(s 1 ) student(s 2 ) nachbar(s 1, s 2 ) l 1, l 2 (lösung(l 1 ) lösung(l 2 ) sl(s 1, l 1 ) sl(s 2, l 2 ) text(l 1 ). = text(l 2 )) bestanden(s 1 ))
25 Aufgabe 6 Überprüfen Sie, ob die folgenden Formeln allgemeingültig sind. Geben Sie für die nichtallgemeingültigen Formeln Gegenbeispiele an. 1. ( A B) (A B) ( A A) ( A A)
26 ( A B) (A B) Aufgabe 6
27 Aufgabe 6 ( A B) (A B) ist nicht allgemeingültig A B
28 0 Aufgabe 6
29 0 ist allgemeingültig, denn: Aufgabe 6
30 Aufgabe 6 0 ist allgemeingültig, denn: 0 0
31 Aufgabe 6 0 ist allgemeingültig, denn: 0 0 1
32 Aufgabe 6 ( A A) ( A A)
33 Aufgabe 6 ( A A) ( A A) ist allgemeingültig, denn die Formel ist eine Instanz der Tautologie (F G) ( G F ) mit F = A und G = A ( A A) ( A A)
34 Aufgabe 6 ( A A) ( A A) ist allgemeingültig, denn die Formel ist eine Instanz der Tautologie (F G) ( G F ) mit F = A und G = A ( A A) ( A A) ( A A) ( A A)
35 Aufgabe 7 Beweisen Sie: Die Formel A A charakterisiert die Klasse der Euklidischen Kripkerahmen (S, R) mit folgender Eigenschaft: Für alle Zustände x, y, z S gilt: falls R(x, y) und R(x, z), dann R(y, z)
36 Aufgabe 7 Es gelte A A in einer Kripkestruktur (S, R, I ). Zu zeigen: (S, R) ist euklidisch. Annahme: (S, R) sei nicht euklidisch. D.h., es existiert folgende Situation: x y z
37 Aufgabe 7 Es gelte A A in einer Kripkestruktur (S, R, I ). Zu zeigen: (S, R) ist euklidisch. Annahme: (S, R) sei nicht euklidisch. D.h., es existiert folgende Situation: Wir betrachten (S, R, I ) mit: y val z (A) = W und x z
38 Aufgabe 7 Es gelte A A in einer Kripkestruktur (S, R, I ). Zu zeigen: (S, R) ist euklidisch. Annahme: (S, R) sei nicht euklidisch. D.h., es existiert folgende Situation: Wir betrachten (S, R, I ) mit: y val z (A) = W und val u (A) = F für alle u mit R(y, u). x z
39 Aufgabe 7 Es gelte A A in einer Kripkestruktur (S, R, I ). Zu zeigen: (S, R) ist euklidisch. Annahme: (S, R) sei nicht euklidisch. D.h., es existiert folgende Situation: Wir betrachten (S, R, I ) mit: y val z (A) = W und val u (A) = F für alle u mit R(y, u). x Damit gilt: val x ( A) = W, z
40 Aufgabe 7 Es gelte A A in einer Kripkestruktur (S, R, I ). Zu zeigen: (S, R) ist euklidisch. Annahme: (S, R) sei nicht euklidisch. D.h., es existiert folgende Situation: Wir betrachten (S, R, I ) mit: y val z (A) = W und val u (A) = F für alle u mit R(y, u). x Damit gilt: val x ( A) = W, z val y ( A) = F und
41 Aufgabe 7 Es gelte A A in einer Kripkestruktur (S, R, I ). Zu zeigen: (S, R) ist euklidisch. Annahme: (S, R) sei nicht euklidisch. D.h., es existiert folgende Situation: Wir betrachten (S, R, I ) mit: y val z (A) = W und val u (A) = F für alle u mit R(y, u). x Damit gilt: val x ( A) = W, z val y ( A) = F und val x ( A) = F Widerspruch!
42 Aufgabe 7 Sei (S, R) euklidisch. Zu zeigen: A A ist allgemeingültig in allen Kripkestrukturen (S, R, I ). x y z In einem beliebigen Zustand x S gelte val x ( A) = W, d.h., es existiert ein y S mit R(x, y) und val y (A) = W.
43 Aufgabe 7 Sei (S, R) euklidisch. Zu zeigen: A A ist allgemeingültig in allen Kripkestrukturen (S, R, I ). x y z In einem beliebigen Zustand x S gelte val x ( A) = W, d.h., es existiert ein y S mit R(x, y) und val y (A) = W. Zu zeigen: val x ( A).
44 Aufgabe 7 Sei (S, R) euklidisch. Zu zeigen: A A ist allgemeingültig in allen Kripkestrukturen (S, R, I ). x y z In einem beliebigen Zustand x S gelte val x ( A) = W, d.h., es existiert ein y S mit R(x, y) und val y (A) = W. Zu zeigen: val x ( A). Sei z S ein Zustand mit R(x, z). Weil (S, R) euklidisch ist, gilt R(y, z) und R(z, y) und damit auch val x ( A).
45 Aufgabe 8 Überprüfen Sie, ob die folgenden Formeln in allen Kripke-Strukturen, bei denen der Kripkerahmen eine Äquivalenzrelation bildet, allgemeingültig sind. Geben Sie für die nichtallgemeingültigen Formeln Gegenbeispiele an. 1. A A 2. A A 3. A A 4. A A
46 A A Aufgabe 8
47 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, da diese Formel die transitiven Kripkerahmen charakterisiert.
48 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, da diese Formel die transitiven Kripkerahmen charakterisiert. A A ist allgemeingültig, da diese Formel die dichten Kripkerahmen charakterisiert (ein reflexiver, symmetrischer und transitiver Kripkerahmen ist dicht).
49 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, da diese Formel die transitiven Kripkerahmen charakterisiert. A A ist allgemeingültig, da diese Formel die dichten Kripkerahmen charakterisiert (ein reflexiver, symmetrischer und transitiver Kripkerahmen ist dicht). x y
50 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, da diese Formel die transitiven Kripkerahmen charakterisiert. A A ist allgemeingültig, da diese Formel die dichten Kripkerahmen charakterisiert (ein reflexiver, symmetrischer und transitiver Kripkerahmen ist dicht). x y
51 A A Aufgabe 8
52 A A ist allgemeingültig Aufgabe 8
53 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig Diese Formel charakterisiert alle endlosen Kripkerahmen und alle Kripkerahmen, die eine Äquivalenzrelation bilden, sind endlos.
54 A A Aufgabe 8
55 Aufgabe 8 A A ist nicht allgemeingültig Gegenbeispiel: x y Es gelte: val x (A) = W und val y (A) = F Damit: val x ( A) = W und val x ( A) = F
56 A A Aufgabe 8
57 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, denn:
58 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, denn: Falls val x ( A) = W, dann val y (A) = W für ein y mit R(x, y)
59 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, denn: Falls val x ( A) = W, dann val y (A) = W für ein y mit R(x, y) Zu zeigen: val x ( A) = W, d.h., für beliebiges z mit R(x, z) gilt val z ( A) = W.
60 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, denn: Falls val x ( A) = W, dann val y (A) = W für ein y mit R(x, y) Zu zeigen: val x ( A) = W, d.h., für beliebiges z mit R(x, z) gilt val z ( A) = W. Aus der Symmetrie folgt R(z, x) und damit und der Transitivität folgt R(z, y), d.h., val z ( A) = W.
61 Aufgabe 8 A A ist allgemeingültig A A ist allgemeingültig, denn: Falls val x ( A) = W, dann val y (A) = W für ein y mit R(x, y) Zu zeigen: val x ( A) = W, d.h., für beliebiges z mit R(x, z) gilt val z ( A) = W. Aus der Symmetrie folgt R(z, x) und damit und der Transitivität folgt R(z, y), d.h., val z ( A) = W. A A ist allgemeingültig, denn aus der Reflexivität folgt aus val x ( A) = W für jeden Zustand x auch val x ( A) = W.
62 Aufgabe 9 Bestimmen Sie für die Formeln aus Aufgabe 6 die dazugehörigen negationsdualen Formeln und vereinfachen Sie die entstehenden Formeln durch Äquivalenzumformungen solange bis keine Negationszeichen mehr vorhanden sind. 1. ( A B) (A B) ( A A) ( A A)
63 Aufgabe 9 ( A B) (A B) Negationsduale Formel: ( A B) ( A B)
64 Aufgabe 9 ( A B) (A B) Negationsduale Formel: ( A B) ( A B) ( A B) ( (A B))
65 Aufgabe 9 ( A B) (A B) Negationsduale Formel: ( A B) ( A B) ( A B) ( (A B)) ( A B) (A B)
66 Aufgabe 9 ( A B) (A B) Negationsduale Formel: ( A B) ( A B) ( A B) ( (A B)) ( A B) (A B) (A B) ( A B)
67 Aufgabe 9 0 Negationsduale Formel: 0
68 Aufgabe 9 0 Negationsduale Formel: 0 1
69 Aufgabe 9 ( A A) ( A A) Negationsduale Formel: ( A A) ( A A)
70 Aufgabe 9 ( A A) ( A A) Negationsduale Formel: ( A A) ( A A) ( A A) ( A A)
71 Aufgabe 9 ( A A) ( A A) Negationsduale Formel: ( A A) ( A A) ( A A) ( A A) ( A A) ( A A)
72 Aufgabe 9 ( A A) ( A A) Negationsduale Formel: ( A A) ( A A) ( A A) ( A A) ( A A) ( A A) ( A A) ( A A)
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