Formale Systeme. Modallogik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

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1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT University of the State of Baden-Württemerg and National Large-scale Research Center of the Helmholtz Association

2 Modale Logik Im Unterschied zur klassischen Logik, in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist, spielt in der modalen Logik die Art und Weise, der Modus, in der eine Aussage ahr ist eine große Rolle. Eine Aussage ist notendigereise ahr, zufälligereise ahr heute, gestern oder morgen ahr ird geglaut, gehört zum Wissen einer Person ist vor/nach einer Aktion ahr, nach Ausführung eines Programms ahr. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 2/39

3 Einführungseispiel Drei Weisen erden Hüte aufgesetzt, jedem genau einer. Die Hüte sind enteder eiß oder scharz, und jedem ist ekannt, daß mindestens ein scharzer Hut mit daei ist. Jeder Beteiligte sieht, elche Hüte die anderen eiden aufsitzen haen und soll erschließen, elchen Hut er aufsitzen hat, natürlich ohne in einen Spiegel zu schauen, den Hut azunehmen oder ähnliches. Nach einer Weile sagt der erste Weise: Ich eiß nicht, elchen Hut ich aufhae. Nach einer eiteren Pause des Nachdenkens sagt der zeite: Ich eiß auch nicht, elchen Hut ich aufhae. Dann, sagt der dritte, eiß ich, daß ich einen scharzen Hut aufhae. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 3/39

4 Mögliche Welten des 1. Weisen des 2. Weisen des 3. Weisen Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 4/39

5 Erster Schritt ( ) auf- nicht treten. Da der erste Weise die Fare seines Huts nicht erschließen kann, kann die Welt Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 5/39

6 Zeiter Schritt ( ) ( ) auf- nicht treten. Da der zeite Weise die Fare seines Huts nicht eiß, können die Welten Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 6/39

7 Letzter Schritt In den noch verleienden möglichen Welten hat der dritte Weise stets einen scharzen Hut auf. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 7/39

8 Modallogische Grundegriffe in der Welt s eiß der i-te Weise die Aussage A genauer in jeder für den i-ten Weisen von s aus gesehen möglichen Welt gilt A. s = i A Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 8/39

9 Beispiele Die Boolesche Variale B i ist ahr in der Welt s, enn in s der i-te Weise einen scharzen Hut aufhat. Entsprechend für W j. (,, ) = 1 B 2 (,, ) = 1 W 3 nicht (,, ) = 1 W 1 (,, ) = 1 B 1 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/2010 9/39

10 Zeites Einführungseispiel Der Bakery-Algorithmus ist enannt nach der in manchen amerikanischen Bäckereien (und manchen deutschen Behörden, Arztpraxen etc.) ülichen Methode, daß der Kunde eim Eintritt eine Nummer zieht und dann an die Reihe kommt, enn seine Numnmer die kleinste unter den noch Wartenden ist. So ist sichergestellt, daß jeder schließlich an die Reihe kommt und kein Streit darüer entsteht, er als nächster drankommt. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

11 Prozesse Die Prozesse, die am Bakery-Algorithmus teilnehmen, können ir uns als Instanzen der Klasse Customer vorstellen. Customer int ticket {idle, trying, critical} phase Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

12 Zustandsüergangsregeln try: if phase = idle then phase := trying ticket := max of all other tickets + 1 enter: if phase = trying and ticket less than all other tickets then phase := critical leave phase = critical then phase := idle ticket := 0 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

13 Endlicher Automat idle idle idle critical idle trying trying idle critical idle trying critical trying trying critical trying Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

14 Eigenschaften idle critical trying critical idle trying idle idle trying trying trying idle critical trying critical idle Notation Die Booleschen Varialen i.idle, i.trying, i.critical seien ahr in einem Zustand s, enn in s der i-te Prozess in der angegeenen Phase ist. Ist der 1. Prozess in der trying Phase, dann kann er in höchstens zei Schritt in die kritische Phase gelangen. 1.trying ( 1.critical 1.critical) Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

15 Formeln der Modalen Aussagenlogik Definition 1 1, 0 mfor0 Σ 2 Jede aussagenlogische Variale P Σ ist in mfor0 Σ. 3 Mit A, B mfor0 Σ liegen eenfalls in mfor0 Σ : A, A B, A B, A B. 4 Mit A mfor0 Σ liegen eenfalls in mfor0 Σ : A (gelesen als Box A, notendig A ) B (gelesen als Diamond A, möglich A ) Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

16 Kripke-Strukturen Definition Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Varialen. Eine Kripke-Struktur K = (S, R, I) üer Σ esteht aus: S eine nichtleere Menge (die Menge von Zuständen oder möglichen Welten) R S S (die Zugänglichkeitsrelation) I: (Σ S) {W, F } (Interpretation der AL-Varialen) Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

17 Beispiel einer Kripke-Struktur x 3 p, q p x 1 x 2 q q x 4 x 5 x 6 p Menge der Zustände S = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 } R = {(x 1, x 2 ), (x 1, x 3 ), (x 2, x 3 ), (x 3, x 2 ), (x 3, x 3 ), (x 4, x 5 ), (x 5, x 4 ), (x 5, x 6 )} I(p, x 1 ) = I(p, x 3 ) = I(p, x 6 ) = 1 I(q, x 2 ) = I(q, x 3 ) = I(q, x 4 ) = 1, sonst I(x, s) = 0 Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

18 Ausertung von Formeln Sei K = (S, R, I) eine Kripke-Struktur. Wir definieren für jeden Zustand s S, ann eine Formeln aus mfor0 in s ahr ist. Definition val s ( A) = val s ( A) = W falls für alle s S mit srs gilt val s (A) = W F sonst W falls ein s S existiert mit srs und val s (A) = W F sonst Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

19 Notation K = (S, R, I) eine Kripke-Struktur, s S, F eine modale Formel (K, s) = F val s (F) = W enn K aus dem Kontext ekannt ist auch: s = F val s (F ) = W K = F für alle s S gilt (K, s) = F Gültigkeit in einen Kripke-Rahmen (S, R) : (S, R) = F für alle I gilt (S, R, I) = F Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

20 Saul Aaron Kripke Georen 1940 in Omaha (US) 1. Pulikation A Completeness Theorem in Modal Logic The Journal of Symolic Logic, 1959 Studium in Harvard, Princeton, Oxford und an der Rockefeller University Positionen in Harvard, Rockefeller, Columia, Cornell, Berkeley and UCLA, Oxford A 1977 Professor an der Princeton University Seit 1998 Emeritus der Princeton University Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

21 Beispiel zur Ausertung von Formeln P A B P P D C P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P true false Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

22 Logische Folgerung Definition Sei A eine Formel und Γ eine Menge von Formeln der modalen Aussagenlogik. A ist eine logische Folgerung aus Γ Γ A gd für alle Kripke-Strukturen K und jede Welt s von K gilt enn (K, s) = Γ dann auch (K, s) = A A ist allgemeingültig enn A Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

23 Allgemeingültige Formeln 1 (P Q) ( P Q) 2 ( P (P Q)) Q 3 ( P Q) (P Q) 4 ( P Q) (P Q) 5 P P 6 (P Q) ( P Q) 7 (P Q) ( P Q) Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

24 Gegeneispiel zur Allgemeingültigkeit von (P Q) ( P Q) Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

25 Relative Allgemeingültigkeit Die Formel ist nicht allgemeingültig. A A Aer für alle Kripke-Strukturen K = (S, R, I), so daß (S, R) eine reflexive Relation ist gilt K = A A Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

26 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel A A A A A A A A A A A A Eigenschaft von R reflexiv transitiv symmetrisch dicht für alle t 1, t 2 S mit R(t 1, t 2 ) existiert t 3 S mit R(t 1, t 3 ) und R(t 3, t 2 partiell funktional für alle s, t 1, t 2 S mit R(s, t 1 ) R(s, t 2 folgt t 1 = t 2. endlos für jedes s S ein t existiert mit R(s, t Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

27 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p Eigenschaft von R reflexiv reflexiv reflexiv reflexiv reflexiv transitiv transitiv symmetrisch reflexiv und transitiv reflexiv und transitiv Äquivalenzrelation Äquivalenzrelation Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

28 Charakterisierung Gilt für einen Kripke-Rahmen (S, R) für alle I gilt (S, R, I) = A A dann ist (S, R) reflexiv Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

29 Charakterisierungstheorie Definition Sei R eine Klasse von Kripke-Rahmen, und F eine Formel der. F charakterisiert die Klasse R genau dann, enn für alle Kripke- Rahmen (S, R) gilt für alle I gilt (S, R, I) = F gd (S, R) R Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

30 Einige Charakterisierungsresultate Formel A A A A A A A A A A A A charakterisierte Eigenschaft reflexiv transitiv symmetrisch dicht partiell funktional endlos Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

31 Grenzen der Charaktersierungstheorie Konkretisierung Sei φ eine Formel der Prädikatenlogik in der Signatur Σ = {R} und R φ = {(S, R) (S, R) = φ} Frage 1 Git es zu jedem φ eine modallogische Formel F, so daß die Klasse der Rahmen R φ charakterisiert? Frage 2 Git es zu jeder modallogischen Formel F eine prädikatenlogische Formel φ, so daß R φ mit der Klasse der durch F charakterisierten Rahmen zusammenfällt? Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

32 Grenzen der Charaktersierungstheorie Antorten Antort 1 Nein Antort 2 Nein Z.B. für φ = x R(x, x) kann die Klasse R φ nicht durch eine modallogische Formel charakterisiert erden Es git modallogische Formel F, so daß die durch F charakterisierten Rahmen nicht durch eine prädikatenlogische Formel φ axiomatisiert erden kann. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

33 Entscheidarkeit modaler Logiken Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

34 Entscheidarkeit Aus dem Filtrationslemma (siehe Skriptum) folgt: Theorem Jede Menge Γ modallogischer Formeln, die üerhaupt ein Modell hat, hat auch ein Modell (S, R, I), so dass S endlich ist, oei eine oere Schranke für die Größe von S aus Γ erechnet erden kann. Korollar Die modale Aussagenlogik K ist entscheidar, d.h. es git einen Algorithmus, der für jede Formel A entscheidet, o A eine K-Tautologie ist oder nicht. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

35 Andere Modalitäten Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

36 Informale Interpretationen von F F ist notendigereise ahr F ist zu jedem zukünftigen Zeitpunkt ahr Ein Agent a glaut F Ein Agent a eiß F Nach jeder Ausführung des Programms p gilt F Falls erforderlich schreit man anstelle von F. a F, p F, [a]f oder [p]f Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

37 Informale Interpretationen von F F F ist notendigereise ahr F ist möglichereise ahr F ist zu jedem zukünftigen es git einen zukünftigen Zeitpunkt, Zeitpunkt ahr zu dem F ahr ist. Ein Agent a glaut F F ist konsistent mit den Aussagen, die a für ahr hält. Ein Agent a eiß F a eiß nicht, daß F falsch ist. Nach jeder Ausführung des Es git eine Ausführung des Programms p gilt F Programms p, nach der F ahr ist. Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

38 F F ist notendigereise ahr F ist immer ahr Ein Agent a glaut F Ein Agent a eiß F Nach jeder Ausführung des Programms p gilt F F F F F F F ( (F G) F ) G true Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39

39 F F F F F F ( (F G) F ) G true F F ist notendigereise ahr yes yes yes yes yes F ist immer ahr no yes no yes no Ein Agent a glaut F no yes yes yes yes Ein Agent a eiß F yes yes yes yes yes Nach jeder Ausführung des Programms p gilt F no no no yes no Prof. Dr. Bernhard Beckert Formale Systeme WS 2009/ /39