Formale Systeme. Modallogik. Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
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1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 Modallogik KIT I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK.kit.edu KIT Die Forschungsuniversita t in der Helmholtz-Gemeinschaft
2 Modale Logik Im Unterschied zur klassischen Logik, in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist, spielt in der modalen Logik die Art und Weise, der Modus, in der eine Aussage ahr ist eine große Rolle. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/39
3 Modale Logik Im Unterschied zur klassischen Logik, in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist, spielt in der modalen Logik die Art und Weise, der Modus, in der eine Aussage ahr ist eine große Rolle. Eine Aussage ist notendigereise ahr, zufälligereise ahr Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/39
4 Modale Logik Im Unterschied zur klassischen Logik, in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist, spielt in der modalen Logik die Art und Weise, der Modus, in der eine Aussage ahr ist eine große Rolle. Eine Aussage ist notendigereise ahr, zufälligereise ahr heute, gestern oder morgen ahr Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/39
5 Modale Logik Im Unterschied zur klassischen Logik, in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist, spielt in der modalen Logik die Art und Weise, der Modus, in der eine Aussage ahr ist eine große Rolle. Eine Aussage ist notendigereise ahr, zufälligereise ahr heute, gestern oder morgen ahr ird geglaut, gehört zum Wissen einer Person Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/39
6 Modale Logik Im Unterschied zur klassischen Logik, in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist, spielt in der modalen Logik die Art und Weise, der Modus, in der eine Aussage ahr ist eine große Rolle. Eine Aussage ist notendigereise ahr, zufälligereise ahr heute, gestern oder morgen ahr ird geglaut, gehört zum Wissen einer Person ist vor/nach einer Aktion ahr, nach Ausführung eines Programms ahr. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 2/39
7 Einführungseispiel Drei Weisen erden Hüte aufgesetzt, jedem genau einer. Die Hüte sind enteder eiß oder scharz, und jedem ist ekannt, daß mindestens ein scharzer Hut mit daei ist. Jeder Beteiligte sieht, elche Hüte die anderen eiden aufsitzen haen und soll erschließen, elchen Hut er aufsitzen hat, natürlich ohne in einen Spiegel zu schauen, den Hut azunehmen oder ähnliches. Nach einer Weile sagt der erste Weise: Ich eiß nicht, elchen Hut ich aufhae. Nach einer eiteren Pause des Nachdenkens sagt der zeite: Ich eiß auch nicht, elchen Hut ich aufhae. Dann, sagt der dritte, eiß ich, daß ich einen scharzen Hut aufhae. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 3/39
8 Mögliche Welten
9 Mögliche Welten 1 1 1
10 Mögliche Welten 1 1 1
11 Mögliche Welten 1 2 des 2. Weisen
12 Mögliche Welten des 2. Weisen des 3. Weisen 1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 4/39
13 Erster Schritt Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 5/39
14 Erster Schritt ( ) auf- nicht treten. Da der erste Weise die Fare seines Huts nicht erschließen kann, kann die Welt Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 5/39
15 Erster Schritt ( ) auf- nicht treten. Da der erste Weise die Fare seines Huts nicht erschließen kann, kann die Welt Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 5/39
16 Zeiter Schritt Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 6/39
17 Zeiter Schritt ( ) ( ) auf- nicht treten. Da der zeite Weise die Fare seines Huts nicht eiß, können die Welten Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 6/39
18 Zeiter Schritt ( ) ( ) auf- nicht treten. Da der zeite Weise die Fare seines Huts nicht eiß, können die Welten Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 6/39
19 Letzter Schritt In den noch verleienden möglichen Welten hat der dritte Weise stets einen scharzen Hut auf. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 7/39
20 Modallogische Grundegriffe in der Welt s eiß der i-te Weise die Aussage A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 8/39
21 Modallogische Grundegriffe in der Welt s eiß der i-te Weise die Aussage A genauer in jeder für den i-ten Weisen von s aus gesehen möglichen Welt gilt A. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 8/39
22 Modallogische Grundegriffe in der Welt s eiß der i-te Weise die Aussage A genauer in jeder für den i-ten Weisen von s aus gesehen möglichen Welt gilt A. s = i A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 8/39
23 Beispiele Die Boolesche Variale B i ist ahr in der Welt s, enn in s der i-te Weise einen scharzen Hut aufhat. Entsprechend für W j. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 9/39
24 Beispiele Die Boolesche Variale B i ist ahr in der Welt s, enn in s der i-te Weise einen scharzen Hut aufhat. Entsprechend für W j. (,, ) = 1 B 2 (,, ) = 1 W 3 nicht (,, ) = 1 W 1 (,, ) = 1 B 1 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/2017 9/39
25 Zeites Einführungseispiel Konfliktfreie Zugriffskontrolle Der Bakery-Algorithmus ist enannt nach der in manchen amerikanischen Bäckereien (und manchen deutschen Behörden, Arztpraxen etc.) ülichen Methode, daß der Kunde eim Eintritt eine Nummer zieht und dann an die Reihe kommt, enn seine Numnmer die kleinste unter den noch Wartenden ist. So ist sichergestellt, daß jeder schließlich an die Reihe kommt und kein Streit darüer entsteht, er als nächster drankommt. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
26 Prozesse Die Prozesse, die am Bakery-Algorithmus teilnehmen, können ir uns als Instanzen der Klasse Customer vorstellen. Customer int ticket {idle, trying, critical} phase Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
27 Zustandsüergangsregeln try: if phase = idle then phase := trying ticket := max of all other tickets + 1 enter: if phase = trying and ticket less than all other tickets then phase := critical leave phase = critical then phase := idle ticket := 0 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
28 Endlicher Automat Zei Prozesse, keine Nummern idle idle idle critical idle trying trying idle critical idle trying critical trying trying critical trying Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
29 Eigenschaften idle idle idle critical idle trying trying idle critical idle trying critical trying trying critical trying Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
30 Eigenschaften idle critical trying critical idle trying idle idle trying trying trying idle critical trying critical idle Notation Die Booleschen Varialen i.idle, i.trying, i.critical seien ahr in einem Zustand s, enn in s der i-te Prozess in der angegeenen Phase ist. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
31 Eigenschaften idle critical trying critical idle trying idle idle trying trying trying idle critical trying critical idle Notation Die Booleschen Varialen i.idle, i.trying, i.critical seien ahr in einem Zustand s, enn in s der i-te Prozess in der angegeenen Phase ist. Ist der 1. Prozess in der trying Phase, dann kann er in höchstens zei Schritt in die kritische Phase gelangen. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
32 Eigenschaften idle critical trying critical idle trying idle idle trying trying trying idle critical trying critical idle Notation Die Booleschen Varialen i.idle, i.trying, i.critical seien ahr in einem Zustand s, enn in s der i-te Prozess in der angegeenen Phase ist. Ist der 1. Prozess in der trying Phase, dann kann er in höchstens zei Schritt in die kritische Phase gelangen. 1.trying ( 1.critical 1.critical) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
33 Eigenschaften idle critical trying critical idle trying idle idle trying trying trying idle critical trying critical idle Notation Die Booleschen Varialen i.idle, i.trying, i.critical seien ahr in einem Zustand s, enn in s der i-te Prozess in der angegeenen Phase ist. Ist der 1. Prozess in der trying Phase, dann kann er in höchstens zei Schritt in die kritische Phase gelangen. 1.trying ( 1.critical 1.critical) nicht 1.trying 1.idle Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
34 Formeln der Modalen Aussagenlogik Definition 1. 1, 0 mfor0 Σ Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
35 Formeln der Modalen Aussagenlogik Definition 1. 1, 0 mfor0 Σ 2. Jede aussagenlogische Variale P Σ ist in mfor0 Σ. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
36 Formeln der Modalen Aussagenlogik Definition 1. 1, 0 mfor0 Σ 2. Jede aussagenlogische Variale P Σ ist in mfor0 Σ. 3. Mit A, B mfor0 Σ liegen eenfalls in mfor0 Σ : A, A B, A B, A B. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
37 Formeln der Modalen Aussagenlogik Definition 1. 1, 0 mfor0 Σ 2. Jede aussagenlogische Variale P Σ ist in mfor0 Σ. 3. Mit A, B mfor0 Σ liegen eenfalls in mfor0 Σ : A, A B, A B, A B. 4. Mit A mfor0 Σ liegen eenfalls in mfor0 Σ : A (gelesen als Box A, notendig A ) B (gelesen als Diamond A, möglich A ) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
38 Kripke-Strukturen Definition Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Varialen. Eine Kripke-Struktur K = (S, R, I) üer Σ esteht aus: S eine nichtleere Menge (die Menge von Zuständen oder möglichen Welten) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
39 Kripke-Strukturen Definition Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Varialen. Eine Kripke-Struktur K = (S, R, I) üer Σ esteht aus: S eine nichtleere Menge (die Menge von Zuständen oder möglichen Welten) R S S (die Zugänglichkeitsrelation) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
40 Kripke-Strukturen Definition Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Varialen. Eine Kripke-Struktur K = (S, R, I) üer Σ esteht aus: S eine nichtleere Menge (die Menge von Zuständen oder möglichen Welten) R S S I: (Σ S) {W, F} (die Zugänglichkeitsrelation) (Interpretation der AL-Varialen) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
41 Kripke-Strukturen Definition Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Varialen. Eine Kripke-Struktur K = (S, R, I) üer Σ esteht aus: S eine nichtleere Menge (die Menge von Zuständen oder möglichen Welten) R S S I: (Σ S) {W, F} (die Zugänglichkeitsrelation) (Interpretation der AL-Varialen) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
42 Kripke-Strukturen Definition Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Varialen. Eine Kripke-Struktur K = (S, R, I) üer Σ esteht aus: S eine nichtleere Menge (die Menge von Zuständen oder möglichen Welten) R S S I: (Σ S) {W, F} (S, R) heißt der Kripke Rahmen von K. (die Zugänglichkeitsrelation) (Interpretation der AL-Varialen) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
43 Beispiel einer Kripke-Struktur aus Huth and Ryan x 3 P, Q P x 1 x 2 Q Q x 4 x 5 x 6 P Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
44 Beispiel einer Kripke-Struktur aus Huth and Ryan x 3 P, Q P x 1 x 2 Q Q x 4 x 5 x 6 P Menge der Zustände S = {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 } Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
45 Beispiel einer Kripke-Struktur aus Huth and Ryan x 3 P, Q P x 1 x 2 Q Q x 4 x 5 x 6 P R = {(x 1, x 2 ), (x 1, x 3 ), (x 2, x 3 ), (x 3, x 2 ), (x 3, x 3 ), (x 4, x 5 ), (x 5, x 4 ), (x 5, x 6 )} Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
46 Beispiel einer Kripke-Struktur aus Huth and Ryan x 3 P, Q P x 1 x 2 Q Q x 4 x 5 x 6 P I(P, x 1 ) = I(P, x 3 ) = I(P, x 6 ) = 1 I(Q, x 2 ) = I(Q, x 3 ) = I(Q, x 4 ) = 1, sonst I(s, x) = 0 Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
47 Ausertung von Formeln Sei K = (S, R, I) eine Kripke-Struktur. Wir definieren für jeden Zustand s S, ann eine Formeln aus mfor0 in s ahr ist. Definition val s ( A) = val s ( A) = W falls für alle s S mit srs gilt val s (A) = W F sonst W falls ein s S existiert mit srs und val s (A) = W F sonst Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
48 Notation K = (S, R, I) eine Kripke-Struktur, s S, F eine modale Formel Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
49 Notation K = (S, R, I) eine Kripke-Struktur, s S, F eine modale Formel (K, s) = F val s (F) = W enn K aus dem Kontext ekannt ist auch: s = F val s (F) = W K = F für alle s S gilt (K, s) = F Gültigkeit in einen Kripke-Rahmen (S, R) : (S, R) = F für alle I gilt (S, R, I) = F Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
50 Saul Aaron Kripke Georen 1940 in Omaha (US) 1. Pulikation A Completeness Theorem in Modal Logic The Journal of Symolic Logic, 1959 Studium in Harvard, Princeton, Oxford und an der Rockefeller University Positionen in Harvard, Rockefeller, Columia, Cornell, Berkeley and UCLA, Oxford A 1977 Professor an der Princeton University Seit 1998 Emeritus der Princeton University Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
51 Beispiel zur Ausertung von Formeln P A B P P D C P Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
52 Beispiel zur Ausertung von Formeln P A B P P D C P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
53 Beispiel zur Ausertung von Formeln P A B P P D C P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P (K, A) = P (K, B) = P (K, C) = P (K, D) = P true false Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
54 Logische Folgerung Definition Sei A eine Formel und Γ eine Menge von Formeln der modalen Aussagenlogik. A ist eine logische Folgerung aus Γ Γ = A gd für alle Kripke-Strukturen K und jede Welt s von K gilt enn (K, s) = Γ dann auch (K, s) = A A ist allgemeingültig enn = A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
55 Allgemeingültige Formeln 1. (P Q) ( P Q) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
56 Allgemeingültige Formeln 1. (P Q) ( P Q) 2. ( P (P Q)) Q Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
57 Allgemeingültige Formeln 1. (P Q) ( P Q) 2. ( P (P Q)) Q 3. ( P Q) (P Q) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
58 Allgemeingültige Formeln 1. (P Q) ( P Q) 2. ( P (P Q)) Q 3. ( P Q) (P Q) 4. ( P Q) (P Q) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
59 Allgemeingültige Formeln 1. (P Q) ( P Q) 2. ( P (P Q)) Q 3. ( P Q) (P Q) 4. ( P Q) (P Q) 5. P P Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
60 Allgemeingültige Formeln 1. (P Q) ( P Q) 2. ( P (P Q)) Q 3. ( P Q) (P Q) 4. ( P Q) (P Q) 5. P P 6. (P Q) ( P Q) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
61 Allgemeingültige Formeln 1. (P Q) ( P Q) 2. ( P (P Q)) Q 3. ( P Q) (P Q) 4. ( P Q) (P Q) 5. P P 6. (P Q) ( P Q) 7. (P Q) ( P Q) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
62 Äquivalenzen zischen den eiden Modalitäten Varianten Modale Logik P P P P P P P P Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
63 Äquivalenzen zischen den eiden Modalitäten Varianten Modale Logik P P P P P P P P Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
64 Äquivalenzen zischen den eiden Modalitäten Varianten Modale Logik Analogie aus Prädikatenlogik P P xa x A P P xa x A P P xa x A P P xa x A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
65 Gegeneispiel zur Allgemeingültigkeit von (P Q) ( P Q) Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
66 Relative Allgemeingültigkeit Erstes Beispiel Die Formel A A ist nicht allgemeingültig. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
67 Relative Allgemeingültigkeit Erstes Beispiel Die Formel A A ist nicht allgemeingültig. Aer Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
68 Relative Allgemeingültigkeit Erstes Beispiel Die Formel A A ist nicht allgemeingültig. Aer für alle Kripke-Strukturen K = (S, R, I), so daß (S, R) eine reflexive Relation ist gilt K = A A Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
69 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel P P Eigenschaft von R reflexiv Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
70 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel P P P P Eigenschaft von R reflexiv transitiv Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
71 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel P P P P P P Eigenschaft von R reflexiv transitiv symmetrisch Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
72 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel P P P P P P P P Eigenschaft von R reflexiv transitiv symmetrisch dicht Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
73 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel P P P P P P P P Eigenschaft von R reflexiv transitiv symmetrisch dicht für alle t 1, t 2 S mit R(t 1, t 2 ) existiert t 3 S mit R(t 1, t 3 ) und R(t 3, t 2 ). Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
74 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel P P P P P P P P P P Eigenschaft von R reflexiv transitiv symmetrisch dicht für alle t 1, t 2 S mit R(t 1, t 2 ) existiert t 3 S mit R(t 1, t 3 ) und R(t 3, t 2 ). partiell funktional Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
75 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel P P P P P P P P P P Eigenschaft von R reflexiv transitiv symmetrisch dicht für alle t 1, t 2 S mit R(t 1, t 2 ) existiert t 3 S mit R(t 1, t 3 ) und R(t 3, t 2 ). partiell funktional für alle s, t 1, t 2 S mit R(s, t 1 ) R(s, t 2 ) folgt t 1 = t 2. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
76 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel P P P P P P P P P P P P Eigenschaft von R reflexiv transitiv symmetrisch dicht für alle t 1, t 2 S mit R(t 1, t 2 ) existiert t 3 S mit R(t 1, t 3 ) und R(t 3, t 2 ). partiell funktional für alle s, t 1, t 2 S mit R(s, t 1 ) R(s, t 2 ) folgt t 1 = t 2. endlos Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
77 Relative Allgemeingültigkeit allgemeingültige Formel Eigenschaft von R P P reflexiv P P transitiv P P symmetrisch P P dicht für alle t 1, t 2 S mit R(t 1, t 2 ) existiert t 3 S mit R(t 1, t 3 ) und R(t 3, t 2 ). P P partiell funktional für alle s, t 1, t 2 S mit R(s, t 1 ) R(s, t 2 ) folgt t 1 = t 2. P P endlos für jedes s S ein t existiert mit R(s, t). P eine aussagenlogische Variale. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
78 Relative Allgemeingültigkeit Weitere Beispiele allgemeingültige Formel Eigenschaft von R P P reflexiv P P reflexiv P P reflexiv P P reflexiv P P reflexiv P P transitiv P P transitiv P P symmetrisch P P reflexiv und transitiv P P reflexiv und transitiv P P Äquivalenzrelation P P Äquivalenzrelation P eine aussagenlogische Variale. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
79 Charakterisierung Erstes Beispiel Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
80 Charakterisierung Erstes Beispiel Gilt für einen Kripke-Rahmen (S, R) für alle I gilt (S, R, I) = P P dann ist (S, R) reflexiv Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
81 Charakterisierungstheorie Definition Sei R eine Klasse von Kripke-Rahmen, und F eine Formel der Modallogik. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
82 Charakterisierungstheorie Definition Sei R eine Klasse von Kripke-Rahmen, und F eine Formel der Modallogik. F charakterisiert die Klasse R genau dann, enn für alle Kripke- Rahmen (S, R) gilt für alle I gilt (S, R, I) = F gd (S, R) R Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
83 Einige Charakterisierungsresultate Formel P P charakterisierte Eigenschaft reflexiv Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
84 Einige Charakterisierungsresultate Formel P P P P charakterisierte Eigenschaft reflexiv transitiv Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
85 Einige Charakterisierungsresultate Formel P P P P P P charakterisierte Eigenschaft reflexiv transitiv symmetrisch Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
86 Einige Charakterisierungsresultate Formel P P P P P P P P charakterisierte Eigenschaft reflexiv transitiv symmetrisch dicht Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
87 Einige Charakterisierungsresultate Formel P P P P P P P P P P charakterisierte Eigenschaft reflexiv transitiv symmetrisch dicht partiell funktional Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
88 Einige Charakterisierungsresultate Formel P P P P P P P P P P P P charakterisierte Eigenschaft reflexiv transitiv symmetrisch dicht partiell funktional Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
89 Einige Charakterisierungsresultate Formel P P P P P P P P P P P P charakterisierte Eigenschaft reflexiv transitiv symmetrisch dicht partiell funktional Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
90 Einige Charakterisierungsresultate Formel charakterisierte Eigenschaft P P reflexiv P P transitiv P P symmetrisch P P dicht P P partiell funktional P P endlos P eine aussagenlogische Variale. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
91 Grenzen der Charaktersierungstheorie Konkretisierung Sei φ eine Formel der Prädikatenlogik in der Signatur Σ = {R} und R φ = {(S, R) (S, R) = φ} Frage 1 Git es zu jedem φ eine modallogische Formel F, so daß die Klasse der Rahmen R φ charakterisiert? Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
92 Grenzen der Charaktersierungstheorie Konkretisierung Sei φ eine Formel der Prädikatenlogik in der Signatur Σ = {R} und R φ = {(S, R) (S, R) = φ} Frage 1 Git es zu jedem φ eine modallogische Formel F, so daß die Klasse der Rahmen R φ charakterisiert? Frage 2 Git es zu jeder modallogischen Formel F eine prädikatenlogische Formel φ, so daß R φ mit der Klasse der durch F charakterisierten Rahmen zusammenfällt? Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
93 Grenzen der Charaktersierungstheorie Antorten Antort 1 Nein Z.B. für φ = x R(x, x) kann die Klasse R φ nicht durch eine modallogische Formel charakterisiert erden Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
94 Grenzen der Charaktersierungstheorie Antorten Antort 1 Nein Antort 2 Nein Z.B. für φ = x R(x, x) kann die Klasse R φ nicht durch eine modallogische Formel charakterisiert erden Es git modallogische Formel F, so daß die durch F charakterisierten Rahmen nicht durch eine prädikatenlogische Formel φ axiomatisiert erden kann. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
95 Entscheidarkeit modaler Logiken Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
96 Entscheidarkeit Aus dem Filtrationslemma (siehe Skriptum) folgt: Theorem Jede Menge Γ modallogischer Formeln, die üerhaupt ein Modell hat, hat auch ein Modell (S, R, I), so dass S endlich ist, oei eine oere Schranke für die Größe von S aus Γ erechnet erden kann. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
97 Entscheidarkeit Aus dem Filtrationslemma (siehe Skriptum) folgt: Theorem Jede Menge Γ modallogischer Formeln, die üerhaupt ein Modell hat, hat auch ein Modell (S, R, I), so dass S endlich ist, oei eine oere Schranke für die Größe von S aus Γ erechnet erden kann. Korollar Die modale Aussagenlogik K ist entscheidar, Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
98 Entscheidarkeit Aus dem Filtrationslemma (siehe Skriptum) folgt: Theorem Jede Menge Γ modallogischer Formeln, die üerhaupt ein Modell hat, hat auch ein Modell (S, R, I), so dass S endlich ist, oei eine oere Schranke für die Größe von S aus Γ erechnet erden kann. Korollar Die modale Aussagenlogik K ist entscheidar, d.h. es git einen Algorithmus, der für jede Formel A entscheidet, o A eine K-Tautologie ist oder nicht. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
99 Andere Modalitäten Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
100 Informale Interpretationen von F F ist zu jedem zukünftigen Zeitpunkt ahr Ein Agent a glaut F Ein Agent a eiß F Nach jeder Ausführung des Programms p gilt F Falls erforderlich schreit man anstelle von F. a F, p F, [a]f oder [p]f Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
101 Informale Interpretationen von F F F F F ist zu jedem zukünftigen es git einen zukünftigen Zeitpunkt, Zeitpunkt ahr zu dem F ahr ist. Ein Agent a glaut F F ist konsistent mit den Aussagen, die a für ahr hält. Ein Agent a eiß F a eiß nicht, daß F falsch ist. Nach jeder Ausführung des Es git eine Ausführung des Programms p gilt F Programms p, nach der F ahr ist. Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
102 F F ist immer ahr (in der Zukunft)? yes yes yes yes Ein Agent a eiß F yes? yes yes yes Ein Agent a glaut F no? yes yes yes Nach jeder Ausführung des Programms p gilt F no no no yes no F F F F F F ( (F G) F) G true Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
103 F F ist immer ahr (in der Zukunft) no yes yes yes yes Ein Agent a eiß F yes? yes yes yes Ein Agent a glaut F no? yes yes yes Nach jeder Ausführung des Programms p gilt F no no no yes no F F F F F F ( (F G) F) G true Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
104 F F ist immer ahr (in der Zukunft) no yes yes yes yes Ein Agent a eiß F yes yes yes yes yes Ein Agent a glaut F no yes yes yes yes Nach jeder Ausführung des Programms p gilt F no no no yes no F F F F F F ( (F G) F) G true Formale Systeme Prof. Dr. Bernhard Beckert, WS 2016/ /39
Formale Systeme. Modallogik. Prof. Dr. Bernhard Beckert WS 2009/2010 KIT INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
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