Was ist Kreditrisiko? Zitat von McNeil, Frey und Embrechts (2005):

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1 Was ist Kreditrisiko? Zitat von McNeil, Frey und Embrechts (2005): Credit risk is the risk that the value of a portfolio changes due to unexpected changes in the credit quality of issuers or trading partners. This subsumes both losses due to defaults and losses caused by changes in credit quality such as the downgrading of a counterparty in an internal or external rating system Beispiele Kreditrisiko-behaftete Finanzinstrumente Portfolios von Unternehmensanleihen OTC ( over the counter ) Transaktionen Handel im Bereich der Kreditderivate 1

2 Kreditrisiko: ein einfaches Modell P: Portfolio von n risikoreichen Anleihen in der Höhe L i, i = 1,2,...,n. p i : Wahrscheinlichkeit, dass Kreditnehmer i zahlungsunfähig wird. 1 λ i : Anteil des Verlustes aus Anleihe i falls Kreditnehmer i zahlungsunfähig wird. λ i [0,1] heißt recovery rate von Anleihe i. Verlust in Falle von Zahlungsunfähigkeit ( loss-given-default ): LGD i = (1 λ i )L i Bernoulli ZV X i : Status des Kreditnehmers i zum Zeitpunkt T { 1 Kreditnehmer i ist zahlungsunfähig X i = 0 Kreditnehmer i ist nicht zahlungsunfähig Es gilt p i = P(X i = 1) Gesamtverlust zum Zeitpunkt T: n L = X i LGD i =. n X i (1 λ i )L i Verteilung von L hängt von der Gesamtverteilung von (X 1,...,X n,λ 1,...,λ n ) T ab. 2

3 Das einfachste Modell: L i = L 1, i recovery rates sind deterministisch und λ i = λ 1, i X i sind i.i.d. mit Wahrscheinlichkeit p Dann gilt L = LGD 1 N mit N = n X i Binomial(n,p). Modelle mit latenten Variablen Die Kreditnehmer werden in m + 1 homogene Kategorien geteilt; alle Kreditnehmer einer Gruppe haben dieselbe Wahrscheinlichkeit zahlungsunfähig zu werden (default Wahrscheinlichkeit). Historische Beobachtungen der Anzahl der Kreditnehmer einer Kategorie, die Zahlungsunfähig werden = Schätzung der Default Wahrscheinlichkeit für Kreditnehmer der entsprechenden Kategorie. Status Variable S = (S 1,S 2,...,S n ), S i {0,1,...,m}, S i = 0 entspricht der Zahlungsunfähigkeit S i = j {1,2,...,m} entspricht den unterschiedlichen Einteilungskategorien, könnten zb. Rating Klassen sein. { 0 Si 0 Dann gilt X i = 1 S i = 0 3

4 S = (S 1,S 2,...,S n ) T wird mit Hilfe der latenten Variablen Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) T modelliert. Y i könnte zb. der Wert der Aktien von Kreditnehmer i. Seien d ij, i = 1,2,...,n, j = 0,1,...,m+1 Schwellwerte, sodass d i,0 = und d i,m+1 =. Dann gilt: S i = j Y i (d i,j,d i,j+1 ]. Sei F i die Verteilungsfunktion von Y i Default Wahrscheinlichkeit: p i = F i (d i,1 ). Wahrsch., dass die ersten k Kreditnehmer zahlungsunfähig werden: p 1,2,...,k = P(Y 1 d 1,1,Y 2 d 2,1,...,Y k d k,1 ) = C(F 1 (d 1,1 ),F 2 (d 2,1 ),...,F k (d k,1 ),1,1,...,1) = C(p 1,p 2,...,p k,1,...,1) D.h. die Gesamt-default-Wahrscheinlichkeit hängt wesentlich von der Copula C ab. 4

5 Das KMV Modell (siehe auch Die Status Variablen S = (S 1,S 2,...,S n ) können nur zwei Werte 0 und 1 annehmen, d.h. m = 1. Die latenten Variablen Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) T hängen mit dem Wert der Aktien der jeweiligen Firmen folgendermaßen zusammen. Das Modell von Merton Die Bilanz jeder Firma besteht aus 2 Positionen: Aktiva (Aktien) und Passiva (Verbindlichkeiten bzw. Schulden und Eigenkapital bzw. Stammkapital). V A,i (T): Wert der Aktien der Firma i zum Zeitpunkt T K i := K i (T): Wert der Schulden der Firma i zum Zeitpunkt T V E,i (T): Wert des Stammkapitals der Firma i zum Zeitpunkt T Annahme: Zukünftiger Wert der Aktien wird als geometrische Brown sche Bewegung modelliert 5

6 V A,i (T) = V A,i (t)exp {( µ A,i σ2 A,i 2 ) (T t)+σ A,i (W i (T) W i (t)) µ A,i ist die Drift, σ A,i ist die Volatilität und (W i (t):0 t T) ist eine Standard Brown sche Bewegung (Wiener Prozess). D.h. (W i (T) W i (t)) N(0,T t). Daraus folgt lnv A,i (T) ( N(µ,σ ) 2 ) mit µ = lnv A,i (t)+ µ A,i σ2 A,i (T t) und σ 2 = σ 2 2 A,i (T t). Weiters gilt: X i = I (,Ki )(V A,i (T)) }, Setze Y i = W i(t) W i (t) T t N(0,1). Dann gilt: X i = I (,Ki )(V A,i (T)) = I (, DDi )(Y i ) wobei DD i = lnv A,i(t) lnk i +(µ A,i σ2 A,i)(T t) 2 (1) σ A,i T t DD i heißt distance-to-default. 6

7 Berechnung des distance to default Schwierigkeit: V A,i (t) kann nicht beobachtet werden Aber V E,i (t) kann beobachtet werden. KMVs Auffassung: Die Geldgeber besitzen die Firma solange die Schulden seitens der Stammkapitalbesitzer (Equity holders) nicht vollständig bezahlt werden V E,i (T) ist daher der Preis einer Call Option über die Aktien der Firma mit Strike Price den Buchwert der Schulden zum Zeitpunkt T: V E,i (T) = max{v A,i (T) K i,0} Aus der Black-Scholes Formula (Optionspreistheorie): wobei V E,i (t) = C(V A,i (t),r,σ A,i ) = V A,i (t)φ(e 1 ) K i e r(t t) φ(e 2 ) (2) e 1 = ln(v A,i(t) lnk i +(r +σa,i 2 /2)(T t) σ A,i (T t) und e 2 = e 1 σ A,i (T t) φ ist die Verteilungsfunktion der Standard Normalverteilung und r ist der risikofreie Zinssatz. 7

8 Im KMV Modell gilt weiters: σ E,i = g(v A,i (t),σ A,i,r) (3) Beobachtung/Schätzung von V E,i (t) bzw. σ E,i aus historischen Beobachtungen Einsetzen in (2) und (3) und Lösung des Gleichungssystems V E,i (t) = C(V A,i (t),r,σ A,i ) (4) σ E,i = g(v A,i (t),σ A,i,r) um V A,i (t) und σ A,i zu ermitteln Verwendung dieser Werte zur Berechnung von DD i aus (1). 8

9 Die erwartete Häufigkeit der Zahlungsunfähigkeit (expected default frequency, EDF) KMV Modell evaluiert nicht direkt die Default Wahrscheinlichkeit p i = P(Y i < DD i ) Ermittlung von Firmen die historisch gesehen je einen distance-todefault von ca. DD i hatten. Ermittlung der Häufigkeit von Zahlungsunfähigkeit für diese Firmen als Schätzer für die Default-Wahrscheinlichkeit p i. Dieser Schätzer wird expected default frequency, (EDF) genannt. Zusammenfassung des univariaten KMV Modells zur Berechnung der Default Wahrscheinlichkeit für eine Firma: Ermittlung des Aktienwertes V A,i und dessen Volatilität σ A,i mit Hilfe der Beobachtungen über Marktwert und Volatilität der Equities (V E,i bzw. σ E,i ) sowie der Schulden K i als Lösung des Gleichungssystems (4). Berechnung der distance-to-default DD i aus (1) Berechnung der Default-Wahrscheinlichkeiten p i mit Hilfe einer empirischen Verteilung, die den Zusammenhang zwischen Default-Wahrscheinlichkeit und distance-to-default modelliert (zb. mit Hilfe von EDF) 9

10 Das multivariate KMV Modell: Berechnung von multivariaten Default Wahrscheinlichkeiten Seien (W j(t): 0 t T,) unabhängige Standard Brown sche Bewegungen, j = 1,2,...,m. Grundlegendes Modell: ( ) V A,i (T) = V A,i (t)exp µ A,i σ2 A,i (T t)+ 2 µ A,i ist die Drift und σ 2 A,i = m j=1 σ2 A,i,j m j=1 ist die Volatilität. ) σ A,i,j (W j (T) W j (t), σ A,i,j quantifiziert den Einfluss der Brown schen Bewegung j auf die Entwicklung des Aktienwertes der Firma i. m Sei Y i = j=1 σ A,i,j(W j (T) W j (t)) σ A,i T t. Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) N(0,Σ) wobei Σ ij = m k=1 σ A,i,kσ A,j,k σ A,i σ A,j Dann gilt V A,i (T) < K i Y i < DD i wobei DD i = lnv A,i (t) lnk i + ( σ 2 A,i 2 +µ A,i )(T t) σ A,i T t 10

11 Wahrscheinlichkeit, dass die ersten k Firmen zahlungsunfähig werden: CΣ Ga P(X 1 = 1,X 2 = 1,...,X k = 1) = P(Y 1 < DD 1,...,Y k < DD k ) = C Ga Σ (φ( DD 1 ),...,φ( DD k ),1,...,1) ist die Copula einer multivariaten Normalverteilung mit Kovarianzmatrix Σ. Häufigkeit der multivariaten Zahlungsunfähigkeit (joint default frequency): JDF 1,2,...,k = C Ga Σ (EDF 1,EDF 2,...,EDF k,1,...,1) wobei EDF i die Häufigkeit der Zahlungsunfähigkeit für die Firma i, i = 1,2,...,k, ist. 11

12 Schwierigkeiten: Schätzung der Kovarianzen/Korrelationen σ A,i,j n ist typischerweise sehr groß wenige historische Daten vorhanden, wenn n groß, dann bilden die paarweise geschätzten Korrelationskoeffizienten i.a. keine positiv definite Korrelationsmatrix. Mögliche Lösung: Faktormodell für die latenten Variablen in dem der Aktienwert durch eine Reihe von gemeinsamen Faktoren (makro-ökonomische, globale, regionale, sektor-, länder- und branchenspezifische Faktoren) und einem firmenspezifischen Faktor bestimmt wird: Y = (Y 1,Y 2,...,Y n ) T = AZ +BU wobei Z = (Z 1,...,Z k ) T N k (0,Λ) sind k gemeinsame Faktoren U = (U 1,...,U n ) T N d (0,I) sind die Firmenspezifischen Faktoren Z und U sind unabhängig und die Konstanten Matrizen A = (a ij ) R n k, B = diag(b 1,...,b n ) R n n sind Modellparameter. Es gilt dann cov(y) = AΛA T +D wobei D = diag(b 2 1,...,b2 n) R n n. 12

13 Migration basierte Modelle: Credit Metrics Wurde einst bei J.P.Morgan entwickelt, aktuell bei MSCI ( Wird in erster Linie für die Evaluierung von Bond Portfolios verwendet. (Siehe Crouhy et al. (2000)) Basiert auf ein Bonität-Einstufungssystem (zb. von Moody oder von Standard and Poor s). Berücksichtigt die Veränderungen im PF-Wert aufgrund von Veränderungen in den Bonität-Einstufungen. Sei P ein Portfolio von n Krediten mit einer fixen Laufzeit (zb. 1 Jahr). Sei S i der Zustand-Indikator von Kreditnehmer i. Die möglichen Zustände werden mit 0,1,...,m bezeichnet, wobei S i = 0 der Zahlungsunfähigkeit entspricht. Beispiel 1 Einstufungssystem von Standard and Poor s m = 7; S i = 0 heißt Zahlungsunfähigkeit; S i = 1 oder CCC; S i = 2 oder B; S i = 3 oder BB; S i = 4 oder BBB; S i = 5 oder A; S i = 6 oder AA; S i = 7 oder AAA. 13

14 Für jeden Kreditnehmer wird die Dynamik der Bonität-Einstufungen mit Hilfe einer Markov Kette mit Zustandsmenge {0,1,...,m} und Übergangsmatrix P modelliert. Die Übergangswahrscheinlichkeiten werden mit Hilfe von historischen Daten geschätzt, zb.: Ursprüngliche Einstufung am Ende des Jahres Zahlungs- Einstufung AAA AA A BBB BB B CCC unfähigkeit AAA AA A BBB BB B CCC Recovery Rates Im Fall einer Zahlungsunfähigkeit hängt die recovery rate von der Einstufung des Kreditnehmers ab. Der Durchschnittswert und die Standardabweichung der recovery rate werden aufgrund von historischen Daten innerhalb jeder Einstufungsklasse geschätzt. 14

15 Evaluierung der Bonds im Falle einer Neu-Einstufung Beispiel 2 Betrachten wir ein BBB Bond mit Laufzeit 5 Jahre. Er zahlt jedes Jahr ein Kupon von 6%. Die forward Zinsstrukturkurven (forward yield curves) für jede Einstufungsklasse sind wie folgt gegeben (in %): Einstufung 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr AAA AA A BBB BB CCC Für ein Nennwert von 100 zahlt der Bond 6 Währungseinheiten am Ende des 1., 2., 3. und 4. Jahres. Am Ende des 5. Jahres zahlt der Bond 106 Währungseinheiten. Annahme: Am Ende des ersten Jahres wird der Bond neu als A Bond eingestuft. Wert des Bonds am Ende des ersten Jahres: V = ,73% = (1+4,32%) 2 (1+4,93%) 3 (1+5,32%) 4 15

16 Analog wird der Wert des Bonds am Ende des 1. Jahres ermittelt, falls er zu diesem Zeitpunkt zu anderen Klassen eingestuft wird. Es wird eine recovery rate von 51.13% im Falle von Zahlungsunfähigekt angenommen. Einstufung am Ende des 1. Jahres Wert AAA AA A BBB BB B CCC Zahlungsunfähigkeit

17 Wert und Risiko eines Bond-Portfolios in Credit Metrics Die Abhängigkeit der Neueinstufungen unterschiedlicher Bonds und die Wahrscheinlichkeiten von Neueinstufungen von Gruppen von Bonds werden mit Hilfe der dazugehörigen Rendite berechnet. Die Rendite von Bond i wird als Normalverteilung Y i modelliert. Seien d Def, d CCC,..., d AAA = + Schwellwerte, sodass für ein Kreditnehmer die Wahrscheinlichkeit des Übergangs in einer neuen Stufe S i am Ende einer vordefinierten Periode folgendermaßen gegeben sind: P(S i = 0) = φ(d Def ), P(S i = CCC) = φ(d CCC ) φ(d Def ),..., P(S i = AAA) = 1 φ(aa). Die Rendite mehrerer Bonds werden mit Hilfe der multivariaten Normalverteilung modelliert. Die Korrelationsmatrix dieser Verteilung wird in Credit Metrics mit Hilfe von Faktormodellen berechnet. Dann können Gesamtwahrscheinlichkeiten wie P(S 1 = 0,...,S n = 3) = P(Y 1 d Def,...,d B < Y n d BB ) berechnet werden. Als Modell für die Abhängigkeitsstruktur des Vektors (Y 1,Y 2,...,Y n ) wird die Gauss sche Copula(!) verwendet. Die Risikomasse eines Kreditportfolios werden mit Hilfe von Simulationen berechnet. Es werden viele Szenarien generiert, aufgrund derer der empirische VaR ermittelt wird. 17

18 Ansätze basierend auf gemischte Modelle Annahme: Zahlungsunfähigkeit eines Kreditnehmers hängt von mehreren (maktoökonomischen) Faktoren, die stochastisch modelliert werden, ab. Bei einer gegebenen fixen Realisierung dieser Faktoren hängen Zahlungsunfähigkeiten unterschiedlicher Kreditnehmer nicht von einander ab. Die Bernoulli gemischte Verteilung Der 0 1 Zufallsvektor X = (X 1,...,X n ) T hat eine Bernoulli gemischte Verteilung (BMV) wenn es einen Zufallsvektor Z = (Z 1,Z 2,...,Z m ) T, m < n, und Funktionen f i :R m [0,1], i = 1,2,...,n, gibt, sodass X bedingt durch Z ein Vektor von unabhängingen Bernoulli verteilten Zufallsvariablen ist, und P(X i = 1 Z) = f i (Z), P(X i = 0) = 1 f i (Z) Für x = (x 1,...,x n ) T {0,1} n gilt P(X = x Z) = n f i (Z) x i (1 f i (Z)) 1 x i 18

19 Die unbedingte Verteilung: ( n P(X = x) = E(P(X = x Z)) = E Annahme: alle Funktionen f i sind identisch, f i = f. f i (Z) x i (1 f i (Z)) 1 x i Für die Anzahl der Zahlungsunfähigkeitsfällen N = n X i gilt N Z Binomial(n,f(Z)). )

20 Die Poisson gemischte Verteilung Der diskrete Zufallsvektor X = (X 1,...,X n ) T hat eine Poisson gemischte Verteilung (PMV), wenn es einen Zufallsvektor Z = (Z 1,Z 2,...,Z m ) T, m < n, und Funktionen λ i :R m (0, ), i = 1,2,...,n, gibt, sodass X bedingt durch Z ein Vektor von unabhängingen Poisson verteilten Zufallsvariablen ist, und P(X i = x i Z) = λ i(z) x i x i! e λ i(z) für x i N {0}. Für x = (x 1,...,x n ) T (N {0}) n gilt P(X = x Z) = Die unbedingte Verteilung: n λ i (Z) x i x i! ( n P(X = x) = E(P(X = x Z)) = E e λ i(z) λ i (Z) x i x i! ) e λ i(z) 19

21 Die Poisson gemischte Verteilung (Fortsetzung) Annahme: X = ( X 1,..., X n ) T ist PMV mit Faktoren Z. Sei X i = I [1, ) ( X i ). X = (X 1,...,X n ) ist BMV mit f i (Z) = 1 e λ i(z) Falls λ i (Z) klein gilt für die Anzahl der Zahlungsunfähigkeiten: Ñ = n X i n X i. Ñ Z Poisson( λ(z)) wobei λ = n λ i (Z). i = 1 20

22 Annahmen: Beispiele von Bernoulli gemischten Verteilungen Z ist univariat (d.h. es gibt einen Risikofaktor) f i = f für alle i Es gilt: P(X i = 1 Z) = f(z), i; N Z = n X i Binomial(n,f(Z)). Die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass die ersten k Kreditnehmer zahlungsunfähig werden P(X 1 = 1,...,X k = 1,X k+1 = 0,...,X n = 0) = E(P(X 1 = 1,...,X k = 1,X k+1 = 0,...,X n = 0 Z)) = E(f(Z) k (1 f(z)) n k ) Sei G die Verteilungsfunktion von Z. Dann gilt: P(X 1 = 1,...,X k = 1,X k+1 = 0,...,X n = 0) = f(z) k (1 f(z)) n k d(g(z)) Die Verteilung der Anzahl N der Zahlungsunfähigen Kreditnehmer : ( n P(N = k) = k) f(z) k (1 f(z)) n k d(g(z)) 21

23 Die Beta-gemischte Verteilung Es gilt Z Beta(a,b) und f(z) = z. Die Dichte g von Z: g(z) = 1 β(a,b) za 1 (1 z) b 1, für a,b > 0, z (0,1) wobei β(a,b) = 1 0 za 1 (1 z) b 1 dz die Euler sche Betafunktion ist. Verteilung der Anzahl der zahlungsunfähigen Kreditnehmer: ( n P(N = k) = k) 1 z k (1 z) n k g(z)dz = 1 0 ( n 1 z k) a+k 1 (1 z) n k+b 1 dz = β(a, b) 0 ( n ) β(a+k,b+n k) beta-binomial Verteilung k β(a, b) Probit-normal Mischung Z N(0,1), f(z) = φ(µ + σz), µ R, σ > 0 und φ ist die Standard Normalverteilungsfunktion. Logit-normal Mischung Z N(0,1), f(z) = (1+exp{µ+σz}) 1, µ R, σ > 0. 22

24 CreditRisk + - Ein Poisson gemischtes Modell (Entwickelt von CSFB in 1997, siehe Crouhy et al. (2000) und suisse.com/investment banking/research/en/credit risk.jsp m unabhängige Risikofaktoren Z 1,Z 2,...,Z m, Z j Γ(α j,β j ), j = 1,2,...,m, sodass E(Z j ) = 1. λ i (Z) = λ i m j=1 a ijz j, m j=1 a ij = 1 für i = 1,2,...,n. λ i > 0, α j, β j sind Konstante. α j, β j werden meistens so gewählt, dass E(λ i (Z)) = λ i > 0) gilt. Die Dichte von Z j ist folgendermassen gegeben: f j (z) = zα j 1 exp{ z/β j } β α j j Γ(α j ) Verlust bei Kredit i durch Zahlungsunfähigkeit von Kreditnehmer i: LGD i = (1 λ i )L i, 1 i n, wobei λ i die erwartete deterministische Recovery rate ist und L i die Höhe von Kredit i ist. Das Ziel ist, die Verlustverteilung durch eine diskrete Verteilung zu approximieren und für diese die Erzeugende Funktion zu ermitteln. 23

25 Sei Y eine diskrete ZV mit Wertebereich {y 1,...,y m } oder eine kontinuierliche ZV mit Dichtefunktion f(y) in R Die erzeugende Funktion von Y ist definiert als m g Y (t) := E(t Y ) = t y i P(Y = y i) bzw. g Y (t) := t y f(y)dy für t [0,1]. Einige Eigenschaften der erzeugenden Funktionen: (i) Wenn Y Bernoulli(p) dann g Y (t) = 1+p(t 1). (ii) Wenn Y Poisson(λ), dann g Y (t) = exp{λ(t 1)}. (iii) Für unabhängige Zufallsvariablen X 1,...,X n gilt n g X X n (t) = g Xi (t). 24

26 (iv) Sei Y eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion f und sei g X Y=y (t) die erzeugenden Funktion von X Y = y. Dann gilt g X (t) = g X Y=y (t)f(y)dy. (v) Sei g X (t) die erzeugende Funktion von X. Dann gilt P(X = k) = 1 k! g(k) X (0) wobei g(k) X (t) = dk g X (t). dt k

27 Die Erzeugende Funktion der Verlustverteilung Jeder Verlust wird als ganzzahliges Vielfaches einer vordefinierten Verlusteinheit L 0 (zb. L o = 10 6 Euro): [ ] (1 λi )L [ ] i LGD i = (1 λ i )L i L 0 = v i L 0 mit v i := (1 λi )L i L 0 wobei [x] = argmin t { t x :t Z,t x ( 1/2,1/2]}. L 0 Die Verlustfunktion: L = n X iv i L 0. (a) Ermittlung der erzeugenden Funktion für N = X X n X i Z Poisson(λ i (Z)), i = g Xi Z(t) = exp{λ i (Z)(t 1)}, i = g N Z (t) = n g Xi Z(t) = n exp{λ i (Z)(t 1)} = exp{µ(t 1)}, (5) mit µ := n λ i(z) = n ( λ i m j=1 a ijz j ). g N (t) = g N Z=(z1,z 2,...,z m )f 1 (z 1 )...f m (z m )dz 1...dz m = { n m exp ( λ i j=1 } a ij z j )(t 1) f 1 (z 1 )...f m (z m )dz 1...dz m = 25

28 exp { (t 1) m ( n λ i a ij }{{} µ j j=1 ) } z j ) f 1 (z 1 )...f m (z m )dz 1...dz m = exp{(t 1)µ 1 z 1 }f 1 (z 1 )dz 1...exp{(t 1)µ m z m }f m (z m )dz m = m j=1 0 1 exp{z j µ j (t 1)} β α j j Γ(α j) zαj 1 j exp{ z j /β j }dz j (6) Die Berechnung der einzelnen Integrale in (6) ergibt: 0 1 Γ(α j )β α j j exp{z j µ j (t 1)}z α j 1 j exp{ z j /β j }dz j = ( 1 δj 1 δ j t ) αj δ j = β j µ j /(1+β j µ j ). (7)

29 Es gilt also g N (t) = m ( ) αj 1 δj. 1 δ j t j=1 (b) Ermittlung der erzeugenden Funktion für L = n X iv i L 0. Bedingter Verlust aufgrund Zahlungsunfähigkeit von Kreditnehmer i: L i Z = v i (X i Z); L i Z unabhängig für i = 1,2,...,n. g Li Z(t) = E(t L i Z) = E(tv ix i Z) = g Xi Z(t v i ). Die erzeugende Funktion des gesamten Verlusts bedingt durch Z: n n g L Z (t) = g L1 +L L n Z(t) = g Li Z(t) = g Xi Z(t v i ) = m n exp j( j=1z λ i a ij (t v i 1) ). 26

30 Ähnlich wie bei der Berechnung von g N (t) erhalten wir: m ( ) αj 1 δj g L (t) = wobei Λ j (t) = 1 n λ i a ij t v i. 1 δ j Λ j (t) j=1 δ j und µ j sind wie in (7) bzw. (5) gegeben. Beispiel 3 Kreditportfolio mit n = 100 Krediten, Anzahl der Risikofaktoren m = 1 oder m = 5, λ i = λ = 0.15, für i = 1,2,...,n, α j = α = 1, β j = β = 1, a i,j = 1/m, i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m P(N = k) = 1 k! g(k) N (0) = 1 d k g N k! dt. k Für die Berechnung von P(N = k), k = 0,1,...,100, kann folgende rekursive Formel verwendet werden: k 1 g (k) N (0) = l=0 ( k 1 ) l g (k 1 l) N (0) m j=1 µ j l!α j δ l+1 j, k > 1 27