Vergleich der Portfoliomodelle I Seminar Portfoliokreditrisiko

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1 Vergleich der Portfoliomodelle I Seminar Portfoliokreditrisiko Manuel Molitor

2 Agenda 1. WEF Kritik vs 4. in 5. in 6. 2

3 Eigenschaften Nur auf Ausfall-Ereignisse fokussiert Ausfälle sind Poisson-Verteilt Risikofaktoren Gamma-Verteilt Ausfallrisiko nicht an der Kapitalstruktur gebunden Annahme: Ausfallwahrscheinlichkeit in einer Periode gleich hoch für die selbe Periodendauer in der Zukunft Die Anzahl der Ausfälle in einer bestimmten Periode sind unabhängig zu einer anderen Periode 3

4 Eigenschaften Die bedingte Wahrscheinlichkeit p i (x) eines Ausfall des Schuldners i Einer Funktion von der jeweiligen Ratingklasse des Schuldners i Die Realisation der Risikofaktoren x Der Vektor der Faktorladungen K p ( x) = p ( x w ) i ς( i) k ik k = 1 Intuition: Die Risikofaktoren x dienen die unbedingte Wahrscheinlichkeit zu erhöhen/reduzieren 4

5 Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (WEF) Ausfälle werden durch die WEF berechnet WEF dient zum Herleiten von Einzelwahrscheinlichkeiten und der Verteilungsfunktion Annahmen bei einer WEF F k (z): Wenn K 1 und K 2 unabhängige ZV sind, dann ist die WEF von den Summen K 1 +K 2 gleich dem Produkt zweier WEF Wenn F k (z x) mit einer Verteilungsfunktion H(x) für x F ( z) F ( z x) dh ( x) K = x K 5

6 Kritik zu Exposure konstant Keine Migrationsrisiken Verliert an Genauigkeit durch Exposure Bänder Poisson: E[x]=Var[x] nicht empirisch nachgewiesen Nur für geringe Ausfallwahrscheinlichkeiten 6

7 Agenda Eigenschaften CM2S Kritik Rating Agencies 3. vs 4. in 5. in 6. 7

8 Eigenschaften Misst Korrelation in Kreditqualität für alle Gruppen von Schuldnern Nicht direkt möglich Basiert auf gemeinsame Wahrscheinlichkeit von asset returns Nur equity returns (Vereinfachung der Kapitalstruktur) Kernstück: Latente ZV Monte Carlo Simulation recovery rate flexibel 8

9 Annahmen Kredit-Homogenität: Alle Schuldner Kredithomogen in der gleichen Ratingklasse Gleiche Migrationswahrscheinlichkeiten Gleiche Ausfallwahrscheinlichkeiten Equity Preis als Proxy Unterliegt der Normalverteilung 9

10 Eigenschaften Misst Ausfälle + Auf- und Abstufung zwischen den Ratingklassen Modellierung durch eine unbeobachtbare latente ZV y i, die verbunden mit Schuldner i ist yi = xwi + ηiεi w i : relative Sensitivität des Schuldners i zu den Risikofaktoren η i : relative Wichtigkeit des idiosynkratischen Risikos für den Schuldner 10

11 Eigenschaften Schuldner Ausfall, wenn: xw i + ηiεi < C ζ ( i) Die C ζ Werte so gesetzt, dass die unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit für gerateten ζ Schuldner entspricht p ζ p ζ wie bei definiert 11

12 CM2S Restriktive Version von Nur zwei Zustände Ausfall Nicht-Ausfall Verlust bei Ausfall ist fixiert Also keine speziellen Risiken in der Rückzahlung 12

13 Kritik zu Übergangswahrscheinlichkeiten basieren auf durchschnittliche historischen Frequenzen von Ausfällen und Kreditmigrationen Alle Firmen der gleichen Ratingklasse gleiches Ausfallrisiko Aktuelle Ausfallraten sind gleich der historischen Ausfallraten Kreditratingänderung = Kreditqualitätsänderung Kreditrating Ausfallraten 13

14 Rating Agenturen Ordinale Ranking Nur langsame Veränderung wg historischen Frequenzen überschätzt die wahre W. für das bleiben in der gleichen Ratingklasse Durchschnittliche historische PD überschätzt die PD für typischen Firmen in einer Ratingklasse Wenn die W. in der gleichen Klasse zu bleiben und die PD zu groß sind Übergangswahrscheinlichkeiten zu klein 14

15 Agenda vs Vergleich Vor- und Nachteile 4. in 5. in 6. 15

16 Vergleich Gemeinsamkeiten: Deterministische Zinsraten Deterministische Exposures Keine Marktrisiken Keine nicht-lineare Produkte 16

17 Flexibilität Vorteile Multi-State Modell mit Migrationsmatrizen spezielle Risiken bei recovery rate Nachteile Rechnerintensiv Kredit-Homogenität Historische Daten 17

18 Vorteile Sehr Computerfreundlich Output übersichtlich Analytisches Modell Nachteile Exposure konstant Exposure Bänder->Genauigkeit Keine Migrationsrisiken Poisson->E[x]=Var[x] ->keine empirsiche Evidenz Keine Analyse von Daten p A nicht sinnvoll geschätzt 18

19 Vergleich beider Modelle Asset-basiertes Modell Lineares Modell Monte Carlo Simulation Normalverteilung Kreditmigrationen Spezielle Risiken bei recovery rate Unbeobachtbare latente ZV Monte Carlo Simulation Ausfallbasierendes Modell Mischmodell Rein mathematischer Struktur Poisson-Verteilt Faktorladungen/Gewichtung Gammaverteilt Keine Migrationsberücksichtigung Fixe recovery rate Hilfsvariablen 19

20 Agenda vs 4. in Implementieren von in Exkurs: Taylor Entwicklung 5. in 6. 20

21 Implementieren von + Ziel: Credit Risk + implizite bedingte PD-fkt. p i (x) I ( z x) = exp(log(1 + p ( x)( z 1))) exp( p ( x)( z 1)) i i i : yi = xwi + ηiεi Schuldner fällt aus, wenn xw i + ηiεi < C ζ ( i) ε i ist standardnormal verteilt p ( x) = Φ(( C xw ) / η ) i ζ ( i) i i 21

22 Implementieren von + Annahme: Ausfall-Ereignisse unabhängig zw. Schuldern Bedingte WEF für Ausfälle I ( z x) = π I ( z x) π exp( p ( x)( z 1)) = exp( µ ( x)( z 1)) i i i Auch hier die Poisson-Approximation möglich i Durch Integration nach x: I ( z) = I( z x) ΦΩ( x) dx Alle Risikofaktoren werden durch die Dichte berücksichtigt 22

23 Exkurs: Taylor Entwicklung Taylor Entwicklung von f(x): 1 f x f x x x ( n) n ( ) = ( 0)( 0) n= 0 n! Allein mit Hilfe der Funktions- und Ableitungswerte an ein und derselben Stelle x 0 f(x) mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen 23

24 Implementieren von + Koeffizient vor z n ist: unbedingte Wahrscheinlichkeit für genau n Ausfälle im PF n n µ ( x) z I ( z) = exp( µ ( x)) ΦΩ( x) dx n! Wobei n= 0 1 n I ( z) = exp( µ ( x)) µ ( x) ΦΩ ( x) dx z n= 0 n! ( x) p ( x) µ i n Übliche WEF: I = ( z) p( ndefaults) z n n= 0 24

25 Agenda vs 4. in 5. in Implementieren von in Kleine Formunterschiede 6. 25

26 Implementieren von CR + in CM Hier CM2S für Vereinfachung Bestimmen die latente Variable für Schuldner i 1 K yi = xk wik εi k = 1 x k und w ik wie in gamma verteilt Die idiokratischen Risikofaktoren sind i.i.d., exponentiell mit 1 verteilt ε i 26

27 Implementieren von CR + in CM Schuldner fällt aus, wenn K Pr( yi < pζ ( i) x) = Pr εi < pζ ( i) xkwik x k = 1 Da Exponentialfunktion X Exp( λ) x P( X x) = 1 e λ Mit λ =1 K Pr( y < p x) = 1 exp p x w i ζ ( i) ζ ( i) k ik k = 1 27

28 Implementieren von CR + in CM K Pr( y < p x) = 1 exp p x w i ζ ( i) ζ ( i) k ik k = 1 Selbe Approximation: K ζ ( i) k ik = i k = 1 p x w p ( x) 1+ x e Unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit ist p wie benötigt log(1 + x) x x 1 K pζ ( i) = xk wik pi ( x) k = 1 28

29 Kleine Formunterschiede Übliche CM Modell: latente variable ist lineare Summe von normalen ZV Hier: multiplikative Form > gleiche Idee CM: Schwellenwerte: Funktion von p ζ Hier: p ζ >Prozess identisch 29

30 Agenda vs 4. in 5. in 6. Unterschiede Verteilungsannahmen und Funktionsformen Abschluß 30

31 Unterschiede zwischen den Modellen Verteilungsannahmen Funktionsformen Wesentliche Unwesentliche Lösungstechniken mathematische Sprache Methoden der Kalibriation 31

32 Verteilungsannahmen und Funktionsformen Beide Modelle: Wahl der Verteilung des systematischen Risikofaktors x Funktionsform der bedingten PD p i (x) die Form der gemeinsamen Verteilung über Schuldnerausfälle im Portfolio CM : NV und p ( x) = Φ(( C xw ) / η ) i ζ ( i) i i beeinflussen die Ergebnisse stark CR: Gammaverteilung und bedingte WEF kleine Abweichung von der Gamma Spezifikaten signifikanten Unterschied in der tail percentile Werten 32

33 CreditRisk CM Version Möglich: Monte Carlo Version von CreditRisk Vermeidet Poissonverteilung Vermeidet Verlust exposures Approximation Ermöglicht Rückzahlungsrisiken Verliert Computerfreundlichkeit Orthogonalität in CR auch möglich Mehr Vorsicht bei Identifizierung und Kalibrierung der Sektorrisiken 33

34 : Ausfall-basierend; Analytisch : Asset-basierend; Monte-Carlo Simulation Keine gravierende mathematische Unterschiede Deutliche Unterschiede durch Funktionsformen und Verteilungsannahmen 34

35 Literatur Gordy, M.B. (2000): A comparative anatomy of credit risk models, Journal of Banking and Finance, 24, Crouhy, M., Galai, D., Mark, R. (2000): Comparative analysis of current credit risk models, Journal of Banking and Finance, 24, Credit Suisse First Boston (CSFB) (1997): CreditRisk+: A credit risk management framework, Technical report, Credit Suisse First Boston. 35

36 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! 36