Schadenversicherungsmathematik Statische Risikomodelle Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

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1 Schadenversicherungsmathematik Statische Risikomodelle Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung Prof. Dr. Michael Fröhlich, DAV Aktuar

2 Gliederung 1. Einleitung 2. Exposurekurven in der nicht-proportionalen Rückversicherung 3. Exposure Pricing in der Sachversicherung 4. Exposure Pricing in der Haftpflichtversicherung 5. Literatur 2 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

3 1.Einleitung Risikoprofil und Aufteilung der Originalprämie zwischen Erst- und Rückversicherer Erstversicherer fragt beim Rückversicherer eine nicht-proportionale Deckung in Form eines Schadenexzedenten (XL Haftung in excess of Priorität (Haftung xs Priorität an. Pricing von pro Risiko XLs sollte Exposure bzw. Exponierung mit berücksichtigen. Exposure Pricing basiert auf sogenannten Risikoprofilen. Beispiel für ein Risikoprofil.xls Hauptproblem des Exposure Pricings: Faire Aufteilung der Originalprämie zwischen Erst- und Rückversicherer. Zuerst Eliminierung der Kosten und Marge des Erstversicherers aus der Originalprämie. Dann Aufteilung der Risikoprämie pro Versicherungssummenband mittels Exposurekurven. Unterscheidung zwischen Sachversicherung und Haftpflichtversicherung nötig PMLs (possible maximum loss und Policenlimits. 3 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

4 2.Exposurekurven in der nicht-proportionalen Rückversicherung Heuristische Herleitung Erläuterung der oberen linken Abbildung: Anordnung der Schäden einer Periode gemäß Schadenhöhe. Treppenfunktion ist empirische Schadenverteilung. Horizontale Achse ist Schadengrad a, d.h.schaden in % der Versicherungssumme / des PMLs. Vertikale Achse ist Anzahl der Schäden mit Schadengrad kleiner gleich a. Erläuterung der oberen rechten Abbildung: Zeigt die zur empirischen Schadenverteilung zugehörige Exposurekurve bzw. Schadengradkurve. Horizontale Achse repräsentiert Priorität a in % der Versicherungssumme bzw. des PMLs. Vertikale Achse zeigt die Entlastung für den Gesamtschaden. 4 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

5 2.Exposurekurven in der nicht-proportionalen Rückversicherung Heuristische Herleitung - Extremfall Im Extremfall eines Portefeuilles mit ausschließlich Total-Schäden sehen die empirische Schadenverteilung und die (proportionale Exposurekurve wie folgt aus: 5 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

6 2.Exposurekurven in der nicht-proportionalen Rückversicherung Mathematische Herleitung Wir betrachten ein Risiko i eines Versicherungs-Portefeuilles von I Risiken und verwenden das kollektive Modell. Dann hat Risiko i in fester Periode (z.b. ein Jahr den Gesamtschaden S N i : = Xin mit Schadenanzahl Ni und stochastisch unabhängigen Schadenhöhen Xi1, Xi2,... mit Verteilungsfunktion Fi. n= 1 Der Gesamtschaden R des Portefeuilles für einen unlimitierten XL mit Priorität a > entspricht dann: N i I R = max ( Xin a,, und für den Preis des XLs folgt mit Xi für Xin: i= 1n= 1 I I I Ε( Ni Ε( max ( Xi a, i ( max i, ( i ( 1 i ( i Ε R = Ε N Ε X a = Ε S = r a Ε S Ε ( Ni Ε ( Xi i= 1 i= 1 i= 1 a ( 1 i F x dx Ε( min ( Xi, a mit r i ( a : = =. Hier geht die Gleichung X ( Xi i = min ( Xi, a + max ( Xi a, ein. Ε F x dx ( 1 i heißt Schadenentlastungskoeffizient des Risikos zur XL-Priorität a, und die Funktion ri a i a ri a Schadenentlastungskurve bzw. Exposurekurve. Problem in der Praxis : Bestimmung von Fi für jedes Risiko i unmöglich. heißt 6 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

7 3.Exposure Pricing in der Sachversicherung Verteilung der Schadengrade In der Sachversicherung haben Risiken aus gleichen Risiko-Klassen dieselbe Verteilung G der X Schadengrade Y : i i =, wobei vi den PML vom Risiko i bezeichnet. Insbesondere ist G unabhängig von i für vi Risiken derselben Risiko-Klasse. Es folgt: und es ist G w ri a a min, ( min ( X i i, a Ε Y v Ε i r a = = = mit Ε( Xi Ε( Yi v i w ( 1 G y dy ( 1 r w : = für w 1 und r w : = 1 für w > 1, 1 G y dy Xi = P w die Verteilung der Schadengrade. v i Bemerkungen: r ist auf,1 streng monton wachsend und konkav. rgy,, i sind unabhängig von Inflation und Währungskursschwankungen. Die Rückversicherer haben mehrere Sachversicherungs-Exposurekurven. 7 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

8 3.Exposure Pricing in der Sachversicherung Die verwendeten Exposurekurven und die Berechnung der XL-Prämie in der Praxis Die Berechnung der XL-Risikoprämie pro PML-Bandmitte mit zugehöriger Originalprämie für pro Risiko Sachversicherungs XL Haftung xs Priorität aus aktuellem PML -Risikoprofil mit Schadenquote SQ und einer geeignet gewählten Exposurekurve ergibt sich wie folgt: Der Faktor SQ Originalprämie wird multipliziert mit der Differenz Priorität+Haftung Priorität Exposurekurve - Exposurekurve PML-Band Mitte PML-Band Mitte Summe aller XL-Prämien pro PML-Band liefert gesamte XL-Risikoprämie. Problem: Policen mit "multi locations" im Risikoprofil. Bemerkung :In Sachversicherung brauchen Rückversicherer Risiko-Profil auf PML-Basis und nicht auf Versicherungssummenbasis. Am Beispiel aus der Praxis sieht es wie folgt aus: XL_Exposure_Pricing_Sach.xls 8 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

9 4.Exposure Pricing in der Haftpflichtversicherung Increase Limit Factors und Riebesells Formel - In allgemeiner Haftpflichtversicherung gibt es keine PMLs, sondern Policenlimits. - Anstatt Exposurekurven werden Increased Limit Factors (ILF und Verdopplungsfaktore n verwendet "Zuschlagsquotierung". b v - ILF v ( v : =, wobei b( v die Risikoprämie zum Policenlimit v und b( v die Risikoprämie zum Basislimit v darstellen. b v - In den USA stellt das Insurance Services Office (ISO auf statistischen Daten basierende ILF-Tabellen zur Verfügung für verschiedene Haftpflichtversicherungssparten. Wenn man eine ILF-Tabelle gegeben hat und Policenlimit v verdoppelt wird, berechnet der Versicherer die zugehörige b( 2v b( v ILFv ( 2v ILF v v Risikoprämie zu b( 2v = b( v ( 1 + z( v mit Verdopplungsfaktor z( v : = =. b( v ILFv ( v In Deutschland und vielen anderen Ländern verwendet man keine ILFs, sondern einen konstanten Verdopplungsfaktor z Sei b : = b v die Risikoprämie zum Basispolicenlimit v > für ein Risiko mit Schadenhöhen-Zufallsgröße X. 2 k k Es gilt b 2v = b 1 + z und analog b 4v = b 1 + z und allgemein b 2 v = b 1 + z für k N bzw. b tv = b ( t log z t > v sfaktor z (,1 : für beliebiges. Es folgt für alle Policenlimits > und Verdopplung,1 : Riebesells Formel v log 1 b( v = b ( + z = b v ( + z 2 log2 1 v v. 9 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

10 4.Exposure Pricing in der Haftpflichtversicherung Berechnung der Rückversicherungsprämie in der Praxis Wenn Riebesells Prämienfunktion b als kollektives Modell darstellbar wäre, erhielten wir für Policenlimit v und Schadenanzahl-Zufallsgröße N : v ( min, ( 1 F( x dx. Es folgt b' ( v Ε( N ( 1 F( v und lim b' ( v b v =Ε N Ε Xv =Ε N = = im Widerspruch zu Ε ( N v endlich. Mack und Fackler zeigen aber, daß man b in einem Intervall, u zu einer linearen Funktion modifizieren kann und b dann als kollektives Modell darstellbar ist. Falls nun ein Risiko mit Versicherungssumme vi und Priorität a mit < a vi rückversichert werden soll, erhalten wir mit Schadenhöhen-Zufallsgröße X : ri a ( min (, min ( Xv, ( Xv i b ( v i 2( + z Ε X a log 1 b a a : = = = Ε min, v i als Schadenentlastungsfunktion, und r i ist unabhängig von Inflation und Währungskursschwankungen. Die Berechnung der XL-Risikoprämie pro Policenlimitband vi mit zugehöriger Originalprämie aus aktuellem Policenlimit-Risikoprofil für einen pro Risiko Haftpflichtversicherungs XL Haftung xs Priorität ergibt sich mit Notation der Riebesell Formel und Schadenquote SQ wie folgt: Der Faktor SQ Originalprämie wird { {( ri ri ( ri }} multipliziert mit max, min Pr iorität+haftung - Priorität, 1 Priorität. Die Summe dieser XL-Prämien pro Policenlimitband liefert uns die gesamte XL-Risikoprämie. Dies sei erklärt am Beispiel: XL_Exposure_Pricing_Haftpflicht.xls 1 Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

11 5.Literatur Bernegger, S., The Swiss Re Exposure Curves, ASTIN Bulletin 27 (1997, Mack, T. Und Fackler, M., Exposure Rating in Liability Reinsurance, ASTIN Colloquium Berlin 23. Riebesell, P., Einführung in die Versicherungsmathematik, Berlin Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung