Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017

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1 Übungen zur Physik II PHY 2, FS 207 Serie 5 bgabe: Dienstag, 04. pril 2 00 Ladungstrennung = separation of charge Influenz = influence / electrostatic induction Elektrischer Fluss = electric flux Feldlinien = electric field lines Durchschlagsspannung = breakdown voltage ustrittsarbeit = work function Induktion = (electromagnetic) induction Feldstärke = field strength Volumenladungsdichte = volumic charge density Durchschlagsfeldstärke = breakdown field strength llgemeine Fragen. Wie erzeugt man elektrische Ladung? Es gibt keine Prozesse, in denen elektrische Ladung erzeugt wird, es kann lediglich elektrische Ladung getrennt werden. Es gilt Ladungserhaltung, d.h. in einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtladung erhalten. - Eine Ladungstrennung kann durch Reibung unterschiedlicher Materialien aneinander erfolgen (z.b. Glasstab/Wolle), wobei nicht die Reibung selbst, sondern der direkte Kontakt der Materalien mit unterschiedlicher ustrittsarbeit für die Trennung verantwortlich ist. - Ladungstrennung kann auch durch chemische Reaktionen geschehen, zum Beispiel bei Batterien/kkus. - Beim photoelektrischen Effekt wird ein Photon von einem Elektron, dass z.b. im Leitungsband eines Festkörpers sich befindet, absorbiert und aus dem Material herausgeschlagen. - Durch ein äusseres elektrisches Feld kann Ladung in einem Material verschoben werden, dies wird Influenz genannt. - Bei der elektromagnetischen Induktion wird Ladung in einem Leiter aufgrund eines sich zeitlich ändernden Magnetfeldes getrennt. - Paarbildung ist ein Effekt aus der Teilchenphysik, bei dem ein Teilchen-ntiteilchen-Paar erzeugt wird. Zum Beispiel kann aus einem energiereichen Photon ein Elektron und ein Positron entstehen. uch hier gilt Ladungserhaltung. Die elektrische Ladung hat eine kleinste feste Einheit, die Elementarladung, die mit der Elektronenladung e = C gegeben ist. Zwischen zwei Ladungen q und q 2 im bstand r wirkt eine Kraft gemäss dem Coulomb schen Gesetz: F C = q q 2 r 4πε 0 r 2 r r 2. (0.) Das Gesetz kann auch für kontinuierliche Ladungsverteilungen geschrieben werden. Betrachte die Punktladung q und eine kontinuierlich verteilte Ladung Q mit der Flächenladungsdichte (siehe auch letzte Frage) σ = Q/. Ein Flächenelement d enthält dann die Ladung dq = σd. Eingesetzt in (0.) ergibt für die resultierende Coulombkraft F C = q r 4πε 0 r 2 σd. (0.2) r Quarks haben nur Bruchteile der Elementarladung, z.b. ist Up-Quark Ladung 2/3e. llerdings kommen Quarks nie alleine vor (confinment), womit die Gesamtladung immer ein mehrfaches (n N + ) der Elementarladung ist.

2 2. Was sind elektrische Felder und wie werden sie erzeugt? Das elektrische Feld ist ein Mass für die Kraft, die eine Ladung Q auf eine Probeladung q an jedem Punkt im Raum ausüben würde. Die elektrische Feldstärke ist definiert als: F E( r) = ( r). (0.3) q Elektrische Felder werden durch Ladungen erzeugt. Die elektrischen Feldlinien beginnen bei einer positiven Ladung und enden bei einer negativen Ladung. Dabei verlassen oder enden die Feldlinien immer senkrecht auf der betrachteten Oberfläche. Die Dichte der Feldlinien ist ein Mass für die lokale Feldstärke. Bemerkung: Elektrische Felder können auch durch sich zeitlich ändernde magnetische Felder hervorgerufen werden (elektromagnetische Induktion). Die so entstehenden elektrischen Feldlinien sind dann geschlossen (Wirbelfeld). 3. Skizziere das elektrische Feld einer positiven Punktladung vor einer negativ-geladenen Metallplatte. bbildung : Positive Punktladung vor negativ geladener Platte. 4. Was ist der elektrische Fluss und was sagt der Gauß sche Satz? Der elektrische Fluss Φ e mit Einheit [Vm] durch die Fläche ist gegeben durch den senkrecht zur Fläche stehenden nteil der Feldstärke E integriert über die Fläche. Φ e = E d. (0.4) Der Gauß sche Satz der Elektrostatik Φ e,geschlossen = E d = Qinnen ε 0 (0.5) besagt, dass der gesamte elektrische Fluss Φ e,geschlossen durch eine geschlossene Fläche durch die von der Fläche eingeschlossene Ladung Q innen bestimmt ist. ε 0 ist die Dielektrizitätskonstante. Da es nicht immer einfach ist, eine geschlossene Fläche zu definieren, kann mit Hilfe des folgenden Satzes (später in der Vorlesung) die Berechnung des Flusses über das Volumen gemacht werden: E d = dive dv. (0.6) V () 2

3 5. Diskutiere die Begriffe elektrisches Potenzial, Spannung und potentielle Energie. In welchem Zusammenhang stehen diese Grössen? Das elektrische Potential V ( r) ist definiert als r2 V ( r) = E d r. (0.7) r Meistens wird zur Normierung das Potential im Unendlichen zu Null gewählt V (r ) = 0. Die Differenz zwischen zwei Potentialen an den Punkten r und r 2 wird elektrische Spannung V 2 genannt. r2 V 2 = V 2 ( r 2 ) V ( r ) = E d r. (0.8) r Wird eine Ladung q von r zu r 2 verschoben, so ändert sich ihre potentielle Energie um E pot = qv 2. (0.9) bbildung 2 zeigt anschaulich die Zusammenhänge zwischen Kraft, potentieller Energie, Potential und Feld. bbildung 2: Zusammenhang von Kraft, Feld, Potential und potentielle Energie. 6. Was sind Äquipotentialflächen? Skizziere ein Beispiel. Äquipotentialflächen sind Flächen konstanten Potentials im Raum (vergleiche auch mit den Äquipotentialflächen der Zentralkraftfelder). Sie stehen immer senkrecht zu den Feldlinien. Wird eine Ladung auf einer Äquipotentialfläche verschoben, wird keine rbeit geleistet. bbildung 3 zeigt Äquipotentialflächen für eine Punktladung vor einer geladenen Platte. 3

4 bbildung 3: Äquipotentialflächen einer Punktladung vor einer geladenen Platte. 7. Diskutiere den Begriff der Ladungsdichte. Die Ladungsdichte beschreibt eine Ladungsverteilung und bezeichnet die Ladung pro Längen-, Flächenoder Volumeneinheit. Sie wird oft dazu verwendet, die Berechnungen in der Elektrostatik zu vereinfachen. Linienladungsdichte: λ = Q l Flächenladungsdichte: σ = Q Volumenladungsdichte: ρ = Q V [ ] s m [ ] s m 2 [ ] s m 3 (0.0) (0.) (0.2) ufgaben Coulomb- und Gravitationskraft [2P] Um eine Vorstellung von der Stärke der Coulombkraft zu bekommen, machen wir folgendes Gedankenexperiment: tome und damit die Materie bestehen aus den Z-fach positiv geladenen tomkernen und Z negativ geladenen Elektronen der Hülle, so dass tome und damit auch die Materie nach aussen völlig neutral abgeschirmt erscheinen. Wir wollen die Gravitationskraft durch die Coulombkraft ersetzen. Wieviele Elektronen müsste man also von der Erde auf den Mond bringen, damit die so entstehende Coulombkraft gerade die Gravitationskraft ersetzt? Gravitationskonst. Γ = m 3 /(kg s 2 ) Masse der Erde M E = kg Masse des Mondes M M = M E /8 Masse Elektron M e = kg Ladung Elektron e = C Influenzkonst. ɛ 0 = C 2 /(Nm 2 ) Könnte man die Gravitationskraft auf die Coulombkraft zurückführen, d.h. könnte eine überschüssige elektrische Ladung die Gravitationskraft erklären? Erläutern Sie welche Tatsachen diese Theorie widerlegen oder untermauern. 4

5 Lösung Die Coulombkraft muss also genau gleich der Gravitationskraft sein ( F C Erde-Mond System zu bilden. Wir können also für die Beträge schreiben: = F G ) um weiterhin ein stabiles Somit erhalten wir: F C! = F G (.) mit F C = 4πε 0 (N e) 2 r 2 EM und (.2) F G = Γ ME M M rem 2. (.3) 4πε0 Γ M E M M N = = (.4) e Elektronen, die von der Erde entfernt und zum Mond gebracht werden müssten. Dies entspricht rund N M e = 325 kg Elektronen. Die Korrektur der Gravitationskraft aufgrund der Reduktion der Masse der zwei Himmelskörper durch das Entfernen der Elektronen kann vernachlässigt werden. Die Gravitation kann damit offensichtlich nicht auf die Coulombkraft zurückgeführt werden. Man betrachte hierzu die Situation mit drei Himmelskörpern: Da die Gravitation immer anziehend ist, müssten zwei sich anziehende Himmelskörper unterschiedliche Ladung aufweisen. Somit würde jedoch unabhängig vom Ladungsvorzeichen des dritten Himmelskörpers immer eine abstossende Kraft zwischen diesem und einem der beiden ersteren herrschen. 2 Geladene Kugel [3P] Wir betrachten eine elektrisch leitende Hohlkugel mit Radius R = 0 cm. (a) [P] Wie gross ist die Zahl N der Elektronen, die man auf die Kugel bringen kann, bevor die Durchschlagsfeldstärke E max = 30 kv/cm von Luft erreicht ist? (b) [2P] Wir betrachten eines der Elektronen auf der Kugelhülle als Testladung. Wie gross ist in diesem Fall die aufgrund der bstossung der anderen Ladungen entstehende Kraft? Welchem Druck p auf die Kugelschale entspricht diese Kraft? Lösung (a) Es gelte: Somit folgt: E max E = Q, wobei Q = N e. (2.) 4πε 0 R2 N 4πε 0 E max R 2 = , (2.2) e was bedeutet, dass maximal rund 2 Billionen Elektronen auf die Kugel gebracht werden können. (b) Da die Ladung auf der Kugel homogen verteilt ist, definieren wir die Flächenladungsdichte σ = Q/ = Q/(4πR 2 ) oder für ein Flächenelement d = /σ dq. Wir berechnen die resultierende Coulombkraft auf ein Flächenelement d, erzeugt durch die restliche Ladung (Flächenelemente d ): d 2 FC = = dq dq 2 4πε 0 r r 2 r r r r 4πε 0 σ 2 r r 2 (2.3) r r r r d d. (2.4) 5

6 us Symmetriegründen können wir ohne Beschränkung der llgemeinheit die Situation für r = (R, 0, 0) betrachten. Des Weiteren folgt, dass hier F C nur eine x-komponente hat. Somit gilt: d 2 F C = σ 2 4πε 0 ((R x ) 2 + y 2 + z 2 ) (R 3/2 x ) d d. (2.5) Wir setzen nun die Bedingung R 2 = x 2 +y 2 +z 2 ein und führen eine Integration über d = R 2 dφ d cos θ in Polarkoordinaten durch. In Polarkoordinaten gilt x = R cos θ: df C d = σ2 4πε 0 = σ2 = σ2 2π 0 2 3/2 2 3/2 R 2 R cos θ R 3 d cos θ dφ (2.6) (2( cos θ)) 3/2 cos θ d cos θ (2.7) x dx (2.8) = σ2 (2.9) df C /d ist gerade gleich dem gesuchten Druck p. Wir setzen σ = Q/(4πR 2 ) = C/m 2 ein und erhalten: p = df C d = σ2 = 39.7 Pa. (2.0) Die totale Kraft ist dann gerade F tot = p = p 4πR 2 5 N. (2.) 3 Gauß scher Satz [P] Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß schen Satzes das elektrische Feld eines sehr langen geraden, geladenen Drahtes (Ladung pro Längeneinheit λ = Q/L) als Funktion von λ und des bstandes r vom Draht. Lösung Wir machen die Näherung, dass der bstand r zum Draht viel kleiner ist als die Distanz zu den Drahtenden, so dass das elektrische Feld nur radial vom Draht wegzeigende Komponenten hat. Wir können also den Draht als unendlich lang betrachten. Für die Ladungsdichte können wir mit Hilfe des Gauß schen Satzes schreiben: λ = Q/L = ε 0 Φ e L = ε 0 L E d. (3.) Wir wählen als Fläche für das Integral im Gauß schen Gesetz einen Zylinder mit Radius r, so dass der geladene Draht durch die Zylinderachse läuft. us Symmetriegründen ist leicht ersichtlich, dass die elektrischen Feldlinien radial von dem Draht wegzeigen. Sie sind somit parallel zu Deckel und Boden des Zylinders, welche also aufgrund des Skalarproduktes keinen Beitrag zum Integral leisten. uf dem Zylindermantel ist das E-Feld konstant und senkrecht zur Fläche. Wir erhalten somit: Nach E aufgelöst: λ = ε 0 L E 2πrL. (3.2) E(r) = 2πε 0 λ r. (3.3) 6

7 4 Gauß sches Gesetz II [3P] Eine Vollkugel mit homogener Volumenladungsdichte (z.b. eine dotierte Siliziumkugel) besitzt eine totale Ladung Q 0 = C und Radius R = 0.0 m. Wir wählen für die Berechnung das Referenzpotential der potentiellen Energie mit V (r ) = 0. (a) [P] Wie gross ist das Potential im bstand 2R vom Kugelmittelpunkt? (b) [0.5P] Eine Testladung mit Ladung q t = 4.0 µc und Masse m t = kg wird aus der Ruhe an der Kugeloberfläche in Bewegung gesetzt. Welche Geschwindigkeit hat das Teilchen, wenn es einen bstand von 2R vom Kugelmittelpunkt erreicht? (c) (d) [P] Wie gross ist das Potential innerhalb der Kugel am Ort r = 6 mm vom Kugelmittelpunkt entfernt? [0.5P] Wie gross ist das Potential im Kugelmittelpunkt? Lösung (a) Wir berechnen zuerst das elektrische Feld E a ausserhalb der Kugel mit Hilfe des Gauß schen Satzes. Für das Integral wählen wir eine Kugel mit Radius r > R und der Fläche = 4πr 2. Q 0 = E a d ε = E a 4πr 2 (4.) 0 und somit mit der Volumenladungsdichte ρ = E a (r) = Q 0 4πε 0 r 2 = ρ R3 3 ε 0 r 2 (4.2) Q πr3 Das elektrische Potential erhält man durch Integration über r. V a (r) = E a d r = ρ 3ε 0 R3 r 2 dr = ρ 3ε 0 R3 r + C = ρ R3 3ε 0 r (4.3) da die Integationskonstante C = 0 durch die Randbedingung V (r ) = 0. Man erhält also für das Potential im bstand 2R vom Mittelpunkt: V a (2R) = ρ R 2 = Q 0.35 V (4.4) 6ε 0 8ε 0 πr (b) Die kinetische Energie der Ladung ändert sich um den Potentialunterschied multipliziert mit der Ladung (entspricht der Änderung der potentiellen Energie). 2 m tv 2 t = q t (V a (R) V a (2R)) = q t ( Q 0 4πε 0 R ) = q t 2R Q 0 4πε 0 2R. (4.5) Somit erhält man im bstand 2R die Geschwindigkeit 2 v t (2R) = qtq m/s. (4.6) m t 4πε 0 2R 7

8 (c) Innerhalb der kugelförmigen Integrationsfläche mit r < R ist die gesamte Ladung Q innen gegeben durch Q innen (r) = 4 3 πr3 ρ. (4.7) Das elektrische Feld ist somit (analog zu (4.2)) E i (r) = ρ r = Q 0 r 3ε 0 4πε 0 R 3. (4.8) Durch Integration erhält man das Potential V i (r) = ρ 3ε 0 rdr = ρ 6ε 0 r 2 + C. (4.9) Da das Potential an der Kugelgrenze stetig sein muss, muss V i (R) = V a (R) gelten und somit für die Integrationskonstante C C = ρ R 2. (4.0) Das Potential innerhalb der Kugel ist damit φ i (r) = ρr2 ( r2 3R 2 ) = 3Q ) 0 ( r2 8πε 0 R 3R 2 (4.) und an der Stelle r = m V i (r ) 3.7 V. (4.2) (d) Im Kugelmittelpunkt ist das Potential V i (0) = ρr2 = 3Q V. (4.3) 8πε 0 R 5 Zylindrischer Kondensator [3P] Die Skizze nebenan zeigt einen dünnen zylindrischen Kondensator der Länge L. uf der inneren Fläche mit R liegt die Gesamtladung Q, auf der äusseren Fläche mit R 2 die Gesamtladung +Q. (a) [P] Zeichnen Sie in die Skizze alle elektrische Feldlinien ein. (b) [P] Berechnen Sie das elektrische Feld als Funktion des bstandes r von der Mittelachse und skizzieren Sie E(r) in dem Diagramm. (c) [P] Berechnen Sie die Spannung V zwischen den Zylindern sowie die Kapazität des Kondensators (Kapazität C = Ladung geteilt durch Potentialdifferenz). 8

9 Lösung (a) Die Feldlinien sind in der folgenden Zeichnung zu sehen. bbildung 4: Elektrische Feldlinien zeigen von positiver Ladung zu negativer Ladung. (b) Wir können die Ergebnisse von ufgabe 3 nutzen. Dort wurde der Gauß sche Satz mit einem Zylindervolumen benutzt. Hier folgt analog, dass für 0 r R und für r R 2 der Betrag der elektrischen Feldstärke verschwindet E(r) = 0 V m, da in ersterem Fall keine Ladungen umschlossen werden, im zweiteren Fall sich die umschlossenen Ladungen aufheben. Für R < r < R 2 ist die umschlossene Ladung Q und wir erhalten für den Feldstärkebetrag: E(r) = Q 2πε 0 Lr. (5.) bbildung 5: Elektrisches Feld des geladenen Zylinderkondensators. Beachte, dass genau bei R und R 2 das Feld nicht definiert ist. Innerhalb R und ausserhalb R 2 ist das Feld null (feldfreier Raum). (c) Wir haben 2 V = V (R 2 ) V (R ) = Damit ist die Kapazität R2 R R2 E( r)d r Q = R 2πε 0 Lr dr = Q R 2πε 0 L ln(r) 2 = Q R 2πε 0 L ln ( R2 R ). (5.2) C = Q V = 2πε ( 0L ). (5.3) R ln 2 R 27. März Da das elektrische Feld genau bei R und R 2 nicht definiert ist, müssten die Radien mit einem ε > 0 etwas wegverschoben werden (z.b. R + ε) und es müsste lim ε 0 V berechnet werden. Für unsere Betrachtung kann man dies vernachlässigen, da keine mathematischen Unsauberkeiten auftreten (z.b. Division durch 0). 9