Marginale Effekte und nichtlineare Funktionsformen

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1 Kapitel 3 Marginale Effekte und nichtlineare Funktionsformen 3.1 Interpretation der Koeffizienten im linearen Modell Wir haben im letzten Kapitel bereits einfache lineare Regressionen der Art ŷ = β 1 + β 2 gerechnet. In diesem Kapitel werden wir uns etwas näher mit der Interpretation der Regressionskoeffizienten beschäftigen, und anschließend die Analse etwas erweitern, indem wir auch etwas allgemeinere Funktionsformen zulassen werden. Vorab einige Bemerkungen: 1. Wir werden in diesem Kapitel den Inde i für die Beobachtungen häufig weglassen, da wir uns für den Verlauf der Regressionsgerade (d.h. gefitteten Werte) interessieren, und weniger für die einzelnen Beobachtungen. 2. Die gefitteten Werte ŷ, die man durch Einsetzen konkreter Werte für die Variable(n) in die geschätzte Regressionsgleichung erhält, können in einem korrekt spezifizierten Regressionsmodell unter bestimmten Annahmen als wahrscheinlichste Realisationen oder erwarte Werte für gegebene interpretiert werden. Deshalb werden wir für ŷ manchmal auch etwas salopp E( ) schreiben, d.h. der erwartete Wert von gegeben. Eine präzisere Definition des Erwarungswertes E, sowie die genauen Annahmen, unter denen die gefitteten Werte gleich dem bedingten Erwartungswert sind, folgen in den nächsten Kapiteln, im Moment reicht eine intuitive Vorstellung. 3. Wenn nichts anderes erwähnt wird werden wir im Folgenden davon ausgehen, dass die diskutierten Werte der geschätzten Regressionskoeffizienten im statistischen Sinne signifikant von Null verschieden sind; Regressionskoeffizienten, die nicht signifikant von Null verschieden sind, sollten in der Regel nicht interpretiert werden. Kehren wir zurück zur einfachen Regressionsgleichung ŷ = β 1 + β 2 1

2 Wir haben bereits gesehen, dass die geschätzten Koeffizienten eine sehr einfache Interpretation haben. Das Interzept β 1 gibt den Wert von ŷ für = 0 an. Das Interzept ist in praktischen Fällen allerdings nur selten von Bedeutung, deshalb wird es üblicherweise nur diskutiert, wenn besondere Gründe dafür sprechen. In den meisten Fällen konzentriert sich das Interesse auf den Steigungskoeffizienten β 2, der den quantitativen Zusammenhang zwischen erklärender und abhängiger Variable zum Ausdruck bringt. Wie man einfach erkennen kann, ist bei einer linearen Funktionsform ŷ = β 1 + β 2 der Steigungskoeffizient gleich der Ableitung dŷ d = β 2 d.h. der Steigungskoeffizient β 2 gibt an, um wie viele Einheiten sich der gefittete Wert von ändert, wenn die Variable um eine Einheit zunimmt. In einem linearen Modell misst der Steigungskoeffizient β 2 also unmittelbar den marginalen Effekt einer Änderung von, d.h. die erwartete Auswirkung einer Änderung der erklärenden Variable auf die abhängige Variable. 1. Um einen Steigungskoeffizienten interpretieren zu können muss bekannt sein, in welchen Einheiten und gemessen wurden. 2. Die Steigung einer linearen Funktion ist per Definition konstant, d.h. hat für jeden Wert von den gleichen Wert. Dies wird in Abbildung 3.1 dargestellt. 3. Da die Steigung konstant ist spielt es keine Rolle, ob wir infinitesimale oder diskrete Änderungen untersuchen, β 2 = dŷ d = ŷ Man beachte, dass eine lineare Funktionsform eine sehr schlechte Anpassung liefern kann, wenn der tatsächliche Zusammenhang nichtlinear ist. Abbildung 3.2 zeigt ein Beispiel. In diesem Fall würde eine quadratische Funktionsform, bei die Größe des marginalen Effekts von (d.h. der Steigung) abhängt und deshalb nicht konstant ist, einen weit besseren Fit liefern. Wie man erkennen kann, ist in diesem Fall bei sehr großen der wahre marginale Effekt sogar negativ! Der lineare OLS Schätzer liefert zwar trotzdem eine bestmögliche lineare Anpassung, aber diese ist zumindest bei sehr kleinen und sehr großen sehr schlecht. Eine sorglose Interpretation dieser OLS Koeffizienten könnte zu fatalen Fehlurteilen führen. Erinnern wir uns an unser früheres Beispiel mit den Autopreisen Preis = Alter ( ) *** ( ) *** R 2 = 0.887, ˆσ = , n = 61 (Standardfehler in Klammern) *...p < 0.1, **...p < 0.05, ***...p < 0.01 Alle Koeffizienten weisen das erwartete Vorzeichen auf und sind hoch signifikant von Null verschieden. Wie schon erwähnt würden wir aufgrund dieser Regressionsgleichung erwarten, dass der durchschnittliche Preis jedes Jahr um ca Euro 2

3 ŷ = β 1 + β Abbildung 3.1: Lineare Funktion ŷ = β 1 + β 2 = Wenn um eine Einheit zunimmt, steigt ŷ um 0.6 Einheiten, bzw. erwarten wir eine Zunahme von um 0.6 Einheiten. Wenn um drei Einheiten steigt, erwarten wir eine Zunahme von um = 1.8 Einheiten. Abbildung 3.2: Eine lineare Funktion ŷ = β 1 + β 2 kann einen sehr schlechten Fit liefern, wenn der tatsächliche Zusammenhang nicht-linear ist. 3

4 fällt. Für ein Auto mit einem Alter von zwei Jahren würden wir einen Preis von ca Euro erwarten, d.h. E(Preis Alter = 2) = Ein wesentlicher Teil des Charmes linearer Regressionsmodelle liegt darin, dass die einfache Interpretation der Koeffizienten als marginale Effekte auch in der multiplen Regression erhalten bleibt. Wir haben schon erwähnt, dass im Fall von zwei erklärenden Variablen ŷ = β 1 + β β 3 3 die gefitteten Werte ŷ auf einer Regressionsebene liegen, siehe Abbildung 3.3. β 2 1 ŷ β Abbildung 3.3: Ceteris-paribus Interpretation der Koeffizienten im linearen Modell ŷ = β 1 + β β 3 3. Der Koeffizient β 1 misst nach wie vor das Interzept, d.h. den Achsenabschnitt des Schnittpunkts mit der -Achse. Die beiden Steigungskoeffizienten β 2 und β 3 messen die Steigungen in Richtung der beiden -Achsen. Aufgrund der linearen Funktionsform sind die Regressionskoeffizienten die partiellen Ableitungen der Regressionsgleichung und können deshalb wieder als marginale Effekte interpretiert werden Marginale Effekte: ŷ = β 1 + β β 3 3 β 2 = ŷ 2, β3 = ŷ 3 Neu ist nur die ceteris paribus Interpretation, d.h. aufgrund der linearen Funktionsform hat eine Änderung von 3 keine Auswirkungen auf den marginalen Effekt von 2, und vice versa. Der Regressionskoeffizient β 2 gibt also an, um wie viele Einheiten 4

5 sich das ŷ verändert, wenn 2 um eine Einheit zunimmt und 3 unverändert bleibt; analoges gilt für β 3. Diese ceteris-paribus Interpretation wird durch Verwendung des partiellen Ableitungszeichens zum Ausdruck gebracht. Wiederum, falls der tatsächliche Zusammenhang nichtlinear ist, kann die lineare Funktionsform eine sehr schlechte Anpassung liefern. Es ist durchaus möglich, dass eine nichtlineare Funktionsform, bei der die marginalen Effekte von 2 und 3 nicht konstant sind und möglicherweise auch voneinander abhängen, eine bessere Erklärung der abhängigen Variable liefern würde, aber die OLS Methode liefert uns immerhin eine beste lineare Approimation 1 der Daten. Beispiel: Wir haben vorhin den Zusammenhang zwischen dem Preis von Gebrauchtautos und deren Alter untersucht. Natürlich wird der Preis nicht nur vom Alter abhängen, sondern auch von zahlreichen anderen Faktoren, wie zum Beispiel dem Kilometerstand. 2 Eine Regression des Verkaufspreises auf Alter und Kilometerstand gibt Preis = Alter KM ( ) *** ( ) *** (0.007) *** R 2 = 0.902, ˆσ = , F-Stat = , n = 61 (Standardfehler in Klammern) *...p < 0.1, **...p < 0.05, ***...p < 0.01 Wiederum weisen alle Koeffizienten das erwartete Vorzeichen auf und sind hoch signifikant von Null verschieden. Wenn wir den km-stand als zusätzlichen Regressor berücksichtigen folgt, dass wir einen durchschnittlichen jährlichen Preisrückgang von ca Euro erwarten würden, wenn die Kilometerzahl bleibt. Dieser Wert ist um ca. 550 Euro kleiner als der Wert, den wir in der bivariaten Regression Preis = Alter erhalten haben. Warum ist das so? Kilometerstand und Preis sind vermutlich hoch korreliert. Wenn wir den Kilometerstand nicht als Regressor berücksichtigen, und dieser mit dem Alter korreliert ist, kommt im Regressionskoeffizienten für das Alter auch der durchschnittlich höhere Kilometerstand zum Ausdruck. Wenn wir den Kilometerstand aber als zusätzlichen Regressor berücksichtigen wird für diesen Effekt kontrolliert 3, der Koeffizient des Alters misst dann den jährlichen durchschnittlichen Wertverlust bei konstanter Kilometerzahl. Analog sagt uns der Koeffizient von KM, dass der erwartete Wertverlust pro tausend Kilometer ca. 22 Euro (bzw. 2.2 Cent pro km) beträgt, wenn das Alter konstant gehalten wird (erinnern Sie sich, aufgrund der linearen Funktionsform gilt dies nicht nur für infinitesimal kleine Änderungen, sondern auch für diskrete Änderungen der erklärenden Variablen. Wenn wir den Kilometerstand 3 mit 1000 multiplizieren, erhalten für die Änderung von ŷ 1000 β 3 = 22; dies würde bei nichtlinearen Funktionsformen nicht eakt gelten). 1 Dies wird später ausführlich gezeigt und bewiesen, hier ist s erst mal eine Behauptung. 2 Dies ist ein sehr einfaches Beispiel für ein hedonistisches Preismodell ( hedonic pricing model ). Dabei wird im wesentlichen der Preis eines Gutes durch seine Eigenschaften erklärt. Weit verbreitet sind solche Preismodelle z.b. für Immobilienmärkte. 3 Dieser Sprachgebrauch geht auf die eperimentellen Ursprünge der Regressionsanalsezurück. 5

6 Aufgrund dieser Regression würden wir z.b. für ein Auto mit einem Alter von vier Jahren und 50,000 km einen Preis von Euro erwarten. Wenn mit einem Auto über einen Zeitraum von zwei Jahren Kilometer zurücklegt wurden, muss aufgrund dieser Regression mit einem Wertverlust von = Euro gerechnet werden. In dieser ceteris-paribus Interpretation der Koeffizienten als marginale Effekte liegt ein großer Vorteil des multiplen Regressionsmodells, es erlaubt die Kontrolle mehrerer Einflussfaktoren, die gleichzeitig auf die abhängige Variable einwirken. Diese ceteris paribus Interpretation der Koeffizienten ist selbst dann gültig, wenn die Daten nicht auf eine ceteris paribus Art erhoben wurden. Um z.b. die isolierten Einflüsse des Alters und Kilometerstandes auf den Verkaufspreis zu messen müssen wir nicht getrennte Stichproben erheben für Autos mit gleichem Alter und unterschiedlichem Kilometerstand, sowie Autos mit gleichem Kilometerstand und unterschiedlichem Alter, es reicht eine Stichprobe um die einzelnen Effekte zu messen. Die lineare Regression ermöglicht deshalb auch für nichteperimentelle Daten eine ceteris paribus Interpretation der Koeffizienten. 4 Diese Interpretation ist selbstverständlich auch dann zulässig, wenn die erklärenden Variablen untereinander korreliert sind, wie dies z.b. in unserem Beispiel mit Kilometerstand und Alter der Autos zu erwarten ist. Die Interpretation der Steigungskoeffizienten als marginaler Effekt gilt allerdings nur, falls wir das Regressionsmodell korrekt spezifiziert haben. Falls wir eine wichtige erklärende Variable im Regressionsmodell nicht berücksichtigt haben, die mit einer berücksichtigten Variable korreliert ist, führt die Interpretation als marginaler Effekt zu falschen Schlussfolgerungen. Kehren wir nochmals zurück zu unserem Autobeispiel. Angenommen die korrekte Spezifikation sei Preis = Alter KM ( ) *** ( ) *** (0.007) *** und wir regressieren irrtümlich nur auf das Alter, bzw. nur auf den Kilometerstand Preis = Alter ( ) *** ( ) *** Preis = KM ( ) *** (0.006) *** In beiden Fällen erhalten wir im falsch spezifizierten Modell absolut gesehen deutlich größere Steigungskoeffizienten als im korrekt spezifizierten Modell. Was ist passiert? Wenn wir nur auf das Alter regressieren misst der Steigungskoeffizient nicht nur den Einfluss des Alters, sondern indirekt auch den Einfluss des nicht berücksichtigten Kilometerstands. Da das Alter und der Kilometerstand von Gebrauchtautos 4 Man beachte, dass sich diese ceteris-paribus Interpretation nur auf die im Modell vorkommenden Variablen bezieht. 6

7 üblicherweise positiv korreliert sind, überschätzen wir den Einfluss des Alters, ein Teil des Preisverlusts ist auf den durchschnittlich höheren Kilometerstand zurückzuführen. Abbildung 3.4 gibt anhand eines Venn Diagramms einen intuitiven Einblick. Die Streuung der Variablen Preis, Alter und Kilometerstand wird durch Kreise smbolisiert, und die Korrelation zwischen den Variablen durch die Überschneidungen der Kreise. Im korrekt spezifizierten Modell (linkes Panel) geht die Fläche A in die Schätzung des Koeffizienten für das Alter ein und die Fläche B in die Schätzung des Koeffizienten für den Kilometerstand. Die Überschneidungsfläche C, die aus der Korrelation zwischen Alter und Kilometerstand resultiert, kann nicht klar einer der Variablen zugeordnet werden, und geht deshalb nicht in die Schätzung der Steigungskoeffizienten ein. Wie man erkennen kann, führt eine hohe Korrelation zwischen den erklärenden Variablen dazu, dass die Überschneidungsfläche C sehr groß wird, und die Flächen A und B, die in die Schätzung der Steigungskoeffizienten eingehen, entsprechend klein werden. Dieses Problem einer hohen Korrelation zwischen den erklärenden Variablen wird in der Ökonometrie Multikollinearität genannt und wird später noch ausführlich diskutiert. Hier sei nur vorausgeschickt, dass die damit einhergehenden Probleme sehr ähnlich sind wie die einer (zu) kleinen Stichprobe, die Schätzung der einzelnen Steigungskoeffizienten wird ungenau. Anders im Fall des falsch spezifizierten Modell im rechten Panel. Wenn der Kilometerstand nicht als eigene Variable berücksichtigt wird, gehen die Flächen A und C in die Schätzung des Koeffizienten für das Alter ein, die Fläche C zumindest teilweise zu unrecht, da diese zum Teil dem nicht berücksichtigten Kilometerstand zuzuschreiben ist. Dies gibt dem Alter einen größeren Stellenwert als ihm eigentlich zukommt, da es die nicht berücksichtigten Variablen, die mit dem Alter und dem Preis korreliert sind, mit einfängt! Die Folgen sind gravierend, der Koeffizient des Alters misst nicht länger den korrekten marginalen Effekt, sondern ist gewissermassen verschmutzt durch die fälschlich nicht berücksichtigten Variablen. Analoges gilt, wenn wir nur auf den Kilometerstand regressieren und das Alter nicht berücksichtigen. In diesem Fall würden wir einen Teil des Preisverlustes, der eigentlich dem Alter zuzuschreiben ist, zu unrecht dem Kilometerstand zuschreiben. Deshalb erhalten wir einen weit überhöhten Preisverlust von 8 Cent pro Kilometer anstelle der korrekten 2 Cent, die bei einer Berücksichtigung von Kilometerstand und Alter resultieren. Dieses Problem ist in die Literatur als Omitted Variables Bias eingegangen und wird später noch ausführlich diskutiert. Hier sei nur vorausgeschickt, dass ein Omitted Variables Bias nur auftreten kann, wenn der fehlende Regressor in der Grundgesamtheit sowohl mit der abhängigen Variable als auch mit dem berücksichtigten Regressor korreliert ist. Halten wir also fest, falls wesentliche erklärende Variablen fehlen oder die wahre Funktionsform der PRF nicht linear ist, kann die einfache Interpretation der Steigungskoeffizienten als marginale Effekte zu (sehr) irreführenden Schlussfolgerungen führen! 7

8 Preis Preis A C B A C B Alter KM Alter KM Preis = β 1 + β 2 Alter+ β 3 KM Preis = β 1 + β 2Alter Abbildung 3.4: Korrektes und fehlspezifiziertes Modell. Im korrekt spezifizierten Modell (linkes Panel) geht die Überschneidungsfläche C nicht in die Schätzung der Steigungskoeffizienten ein. Falls der Kilometerstand fälschlich nicht berücksichtigt wird geht die Fläche C fälschlich in die Schätzung des Koeffizienten für das Alter ein ( Omitted Variables Bias, rechtes Panel). Tatsächlich haben wir die Daten gewissermaßen auf das Prokrustes-Bett 5 unserer Spezifikation gezwungen! Nur wenn die empirische Spezifikation die PRF einigermaßen gut abbildet können wir den Ergebnissen vertrauen, nur dann wird der Wanderer die Nacht im Bett des Prokrustes ohne größeres Unbill überstehen. Die Annahme der Linearität ist allerdings nicht ganz so restriktiv wie es auf den ersten Blick scheinen mag, denn sie bezieht sich nur auf Linearität in den Parametern, aber nicht auf Linearität in den Variablen. Modelle, die nicht-linear in den Variablen sind, können ganz normal mit OLS geschätzt werden. So können wir z.b. für das Modell = β 1 +β β 3log( 2 )+β ε neue Variablen definieren z 2 = 2 2,z 3 = log( 2 ) und z 4 = 1 2 und die Koeffizienten des Modells = β 1 + β 2 z 2 + β 3 z 3 + β 4 z 4 + ˆε wie üblich mit OLS schätzen. Man beachte, dass dieses Modell zwar nicht-linear in den Variablen 1 und 2 ist, aber linear in den Parametern β 1,β 2 und β 3. Um Modelle mit OLS schätzen zu können müssen diese nur linear in den Parametern sein, nicht aber linear in den Variablen. Hingegen benötigt man für Modelle, die nicht-linear in den Parametern sind, wie z.b. = β 1 +β log(β 3 ) 2 +β 2 β 3 2 +ε 5 Prokrustes eine Figur aus der griechischen Mthologie war bekannt dafür Reisenden ein Bett anzubieten, und sie dann an die Größe des Bettes anzupassen. War der Wanderer groß hackte er ihm die Füße ab, war der Wanderer klein zog er ihn in die Länge. 8

9 andere Methoden, auf die wir hier nicht eingehen werden. 6 Hier beschränken wir uns auf Modelle, die nicht-linear in den Variablen sind, denn solche Modelle werden in der Prais sehr häufig angewandt. Das Problem bei solchen Modellen ist nicht die Schätzung die funktioniert vollkommen gleich wie bisher sondern die korrekte Interpretation der Parameter. 3.2 Logarithmische Transformationen Die in der angewandten Ökonometrie am häufigsten verwendete Funktionsform ist vermutlich die logarithmische Transformation von Variablen. Wenn die abhängige und die erklärende Variable logarithmiert wird spricht man von einem log-linearen oder log-log Modell. Wenn hingegen nur die abhängige oder die erklärende Variable logarithmiert wird spricht man von einem semi-log Modell, oder manchmal auch von einem log-lin bzw. lin-log Modell. ln() ln() = β 1 +β 2 ln() = e β1 β2 ln() Abbildung 3.5: Log-log Modell auf logarithmisch und linear skalierten Skala Ein wesentlicher Grund für die Beliebtheit logarithmischer Modelle liegt in der Tatsache, dass Differenzen logarithmierter Variablen näherungsweise den relativen Änderungen der ursprünglichen Variablen entsprechen. Wir erinnern uns an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus dln d = 1 ist. Dies können wir umgeschrieben denken als dln = d und erinnern uns, dass d(ln) eine infinitesimal kleine Änderung von ln() bezeichnet. Deshalb ist eine infinitesimal kleine Änderung von ln() ist gleich der relativen Änderung von, wobei wir unter einer relativen Änderung die Differenz dividiert durch den ursprünglichen Wert verstehen. Wenn z.b. von 4 auf 5 zunimmt ist die 6 Modelle, die nicht-linear in den Parametern sind, können in EViews trotzdem sehr einfach geschätzt werden, z.b. mit ls = c(1) + c(2) 2 * 1 * 2, aber die Theorie dahinter und die Eigenschaften unterscheiden sich deutlich vom OLS Modell. 9

10 relative Änderung / = (5 4)/4 = Wenn man eine relative Änderung mit 100 multipliziert erhält man eine prozentuelle Änderung. In Analogie dazu würden wir erwarten, dass für diskrete Fälle näherungsweise ( ) gilt ln(+ ) ln() Dieser Zusammenhang gilt tatsächlich, wenn / relativ klein ist, d.h. die logarithmische Differenz einer Variable misst tatsächlich näherungsweise die relative Änderung der ursprünglichen Variable. Die Verteilung vieler Variablen wird durch das Logarithmieren smmetrischer, z.b. Lohndaten, vgl. Abbildung 3.6. WAGE LOG(WAGE) Densit Densit Histogram Kernel Histogram Kernel Abbildung 3.6: Verteilung der Stundenlöhne und logarithmierten Stundenlöhne für Österreich (Daten: EU-SILC 2009) Log-lineare (log-log) Modelle Das Modell i = A β i ep(ε i) lässt sich einfach durch logarithmieren linearisieren: 7 ln i = α+βln i +ε i (α := lna) Dieses logarithmierte Modell ist linear in den Parametern und kann deshalb ganz normal mit OLS geschätzt werden. Abbildung 3.7 zeigt mögliche Verläufe für positive (links) und negative β (rechts). Interpretation: Auch die Koeffizienten log-linearer Modelle messen wie üblich den marginalen Effekt β = dln dln das heißt, der Koeffizient gibt an, um wieviele Einheiten sich ln ceteris paribus ändert, wenn ln um eine Einheit zunimmt. Das Problem dabei ist, dass kaum 7 ep(ε i ) := e εi, wobei e die Eulersche Zahl ist. Um Verwechslungen mit den Stichprobenresiduen e zu vermeiden werden wir meist die Funktion ep(ε i ) verwenden. 10

11 Ekurs: Logarithmus Logarithmieren zu einer Basis ist einfach die Umkehrung des Potenzieren einer Basis, d.h. wenn a = b dann ist log b (a) = oder in anderen Worten, der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Eponentialfunktion zur Basis b. In der Ökonometrie wird fast ausschließlich der natürliche Logarithmus verwendet, d.h. der Logarithmus zur Basis e = Für den natürlichen Logarithmus wird häufig das Funktionszeichen ln verwendet. ln() = a bedeutet e a := ep(a) = Zum Beispiel ist e 2 = = 7.389, deshalb ist ln(7.389) = 2. Der Logarithmus einer negativen Zahl ist deshalb nicht definiert. Hier ein paar Logarithmen positiver Zahlen: ln(0) = ln(0.1) = ln(0.5) = ln(1) = 0 ln(10) = ln(1000) = ln( ) = ln() Aus den Potenzgesetzen lassen sich die üblichen Rechenregeln für Logarithmen ableiten, z.b. ln(a b) = ln(a)+ln(b) ( a ln = ln(a) ln(b) b) ln(a ) = ln(a) ln(1/) = ln() Achtung: Viele Ökonometrieprogramme verwenden fürden natürlichenlogarithmus die Funktion log (EViews 11

12 Ekurs: Logarithmische Differenz und relative Änderungsraten Wir haben im Tet behauptet, dass die logarithmische Differenz einer Variable ungefähr gleich der relativen Änderung dieser Variable ist ln(+ ) ln() für kleine Dies kann allgemein mit Hilfe einer Talor Epansion gezeigt werden. Mit einer Talor Reihenentwicklung können nichtlineare (differenzierbare...) Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen dargestellt werden. Insbesondere gilt bzw. für = ln(1+) = ( 1) n=1 (n+1) n n ( ln 1+ ) = = für < 1 3 ( ) ( ) 3... Die linke Seite kann auch als logarithmische Differenz geschrieben werden, da ( ln 1+ ) ( ) + = ln = ln( + ) ln() Daraus folgt ln( + ) ln() da für kleine / die Folgeterme 1/2( /) 2 +1/3( /) 3... der Reihe sehr klein werden und oft vernachlässigbar sind. 12

13 β > 1 β < 1 A A 1 < β < 0 β = 1 β < Abbildung 3.7: Log-lineare (bzw. log-log) Modelle: = A β jemand für die Veränderungen der Logarithmen interessieren wird, wir wollen meist wissen, wie sich selbst verändert, wenn um eine Einheit zunimmt. Hier zeigt sich ein erster großer Vorteil log-linearer Modelle, denn die Koeffizienten haben in diesem Fall auch in Bezug auf die ursprünglichen Variablen und eine sehr einfache Interpretation, sie können nämlich direkt als Elastizitäten interpretiert werden. Erinnern wir uns, die Elastizität E zwischen und ist definiert als E, := d d d := und gibt (näherungsweise) an, um wieviel Prozent sich die abhängige Variable ändert, wenn die erklärende Variable ceteris paribus um ein Prozent zunimmt. Um dies zu erkennen können wir das Modell ln = β 1 + β 2 (ln) total differenzieren und erhalten unter Berücksichtigung von ln/ = 1/ 1 d = β 2 1 d d Umschreiben gibt β 2 = d d = d d = dln() dln() = E, Beispiel: Cobb-Douglas Funktionen der Art = β 1 β 2 1 β 3 2 ep(ε) spielen in den Wirtschaftswissenschaften eine große Rolle und können durch Logarithmieren einfach Linearisiert werden ln = ln( β 1 )+ β 2 ln( 1 )+ β 3 ln( 2 )+ ˆε 13

14 Es ist bekannt, dass die Koeffizienten der Cobb-Douglas Funktion direkt die Elastizitäten angeben, wie einfach gezeigt werden kann: die Ableitung von = β 2 1 β β ep(ε) nach 1 ist 8 bzw. 1 = β 2 ( β1 β β 3 2 ep(ε) ) = β ) 2 2 ( β1 β β ep(ε) 1 1 = β 2 1 β 2 = 1 1 := E, 1 wobei E,1 die übliche Elastizität bezeichnet. Es ist offensichtlich, dass man den gleichen Koeffizienten viel einfacher unmittelbar aus der Ableitung der log-log Funktion ln() = β 1 + β 2 ln( 1 )+ β 3 ln( 2 )+ ˆε erhält, β 2 = ln() ln( 1 ) = E, 1 Achtung: Die Beziehung = α β kann ökonometrisch auf verschiedene Arten modelliert werden, z.b. 1) i = α β i ep(ε i) ln i = lnα+βln i +ε i 2) i = α β i ε i ln i = lnα+βln i +lnε i 3) i = α β i +ε i ln i = ln(α β i +ε i) Nur die erste Gleichung kann unmittelbar mittels OLS geschätzt werden, sofern die Gauss-Markov Annahmen erfüllt sind. WenndieResiduender zweiten Gleichung normalverteilt sind, d.h.ln(ε i ) N(0,σ 2 ), so ist der Störterm ε i log-normalverteilt mit Erwartungswert ep(σ 2 /2) (siehe Ekurs Seite 14). DiedritteGleichungln i = ln(α β i +ε i)istschließlichnichtlinearindenparametern, da ln(a+b) lna+lnb, und kann nicht mit OLS geschätzt werden Das Log-Lin Modell Das log-lin Modell 9 ln = α+β mit d ln d = β ist in Abbildung 3.8 dargestellt. Die linke Abbildung zeigt den Funktionsverlauf für einen positiven Steigungskoeffizienten β, die rechte Grafik für einen negativen Steigungskoeffizienten. 8 Wir verwendenhierdas partielle Ableitungszeichen, weil die Funktion mehr alseine erklärende Variable enthält. 9 Das log-lin Modell ist nicht zu verwechseln mit dem log-linearen Modell ln = α+βln(). 14

15 Ekurs: Die Log-Normalverteilung (Logarithmische Normalverteilung) Eine Zufallsvariable, deren natürlicher Logarithmus normalverteilt ist, ist lognormalverteilt. Das heißt, wenn ln(x) N(µ,σ 2 )), dann ist X log-normalverteilt. Anders herum, wenn eine Zufallsvariable Y normalverteilt ist, dann ist X = ep(y) log-normalverteilt. Die Log-Normalverteilung ist rechtsschief und kann nur positive Werte annehmen. Eine log-normale Verteilung wird häufig zur Modellierung von Zufallsvariablen herangezogen, die man sich als das (multiplikative) Produkt vieler kleiner unabhängiger Faktoren vorstellen kann. Erwartungswert und Varianz sind ) E(X) = ep (µ+ σ2 2 var(x) = ep(2µ+2σ 2 )[1 ep( σ 2 )] Median(X) = ep(µ) Für µ = 0 ist der Mittelwert ep(σ 2 /2) und die Varianz ep(σ 2 )(ep(σ 2 1)). 15

16 Für die Interpretation des Koeffizienten differenzieren wir wieder total und erhalten d = βd, or 1 β = d d = 1 / d.h. der geschätzte Koeffizient für β gibt näherungsweise ( ) die relative Änderung von an, die durch eine Zunahme von um eine Einheit ausgelöst wird. Wenn man β mit 100 multipliziert erhält man daher näherungsweise die prozentuelle Änderung von, wenn um eine Einheit zunimmt d d 100β 100 = prozentuelle Änderung von Änderung von um eine Einheit ln = α + β β > 0 ln = α+β β < 0 e α Abbildung 3.8: Log-lin Modelle: ln = α+β Stetige und diskrete Änderungen Der Grund, warum wir oben das Zeichen für näherungsweise verwendet haben liegt in der nicht-linearen Funktionsform. Abbildung 3.9 zeigt den Funktionsverlauf. Wenn um eine Einheit zunimmt (d.h. = 1), ändert sich um Einheiten. Wenn die Änderung von sehr klein gewählt wird ( 0) nähert sich dies der Ableitung, d.h. der Steigung der Tangente. Für infinitesimal kleine Änderungen misst die Steigung der Tangente den marginalen Effekt genau, aber für diskrete Änderungen von gibt d nur näherungsweise die Auswirkung auf wieder. d Man beachte, dass wir uns in der Regel für die diskreten Differenzenquotienten interessieren, denn dieser gibt uns an, um wieviele Einheiten sich ändert, wenn um eine diskrete Einheit zu- oder abnimmt. Wenn die Kurve wenig gekrümmt ist und nicht allzu groß ist, wird dieser Effekt durch den stetigen Differentialquotient 16

17 ln = β 0 +β 1 d d = 1 Abbildung 3.9: Auswirkung einer diskreten Änderung von (d.h. ) auf. d d relativ gut approimiert. Wie man aus Abbildung 3.9 erkennen kann, ist diese Approimation für stark gekrümmte Kurven und große weniger gut. Glücklicherweise kann aus den Parametern eines log-lin Modells die genaue prozentuelle Änderung von sehr einfach berechnet werden. Dies sei an folgendem Modell gezeigt ln t = β 1 + β 2 ln t1 + β 3 t2 (da diese Modelle häufig für Zeitreihen angewandt werden, verwenden wir als Inde für die Beobachtungen t) Dieses Modell ist ein log-log (bzw. log-lineares) Modell in 1 und ein log-lin Modell in 2. Der Koeffizient β 2 ist wie im vorhergehenden Abschnitt gezeigt eine gewöhnliche Elastizität; wenn z.b. β2 = 0.5 würde eine Zunahme von 1 um ein Prozent eine Zunahme des Erwartungswertes von um 0.5 Prozent bewirken. Der Koeffizient β 3 gibt näherungsweise die relative Änderung von an, wenn sich 2 um eine (phsische) Einheit ändert. Die genaue Änderung erhält man, wenn man 1 konstant hält ( 1 = 0) und die Differenzen bildet ln t := ln t ln t 1 = β 2 0+ β 3 ( t,2 t 1,2 ) ( ) t ln = β 3 ( 2 ) [ ( )] t 1 t ep ln = t = ep( β 3 2 ) t 1 ( t 1 ) t 1 = ep( β 3 2 ) 1 ( t 1 ) t ( ) t = ep( β 3 2 ) t 1 17

18 bzw. für 2 = 1 ( ) t t 1 % := 100 = t 1 [ ] ep( β 3 ) d.h. im log-lin Modell ist die prozentuelle Änderung ( von, die ) durch eine Änderung von 2 um eine Einheit ausgelöst wird, gleich ep( β 3 ) Wenn β 3 klein ist (die Funktion also nur wenig gekrümmt ist) macht es keinen großen Unterschied, ob man β ( ) 3 oder ep( β 3 ) verwendet, aber wenn der geschätzte ( Koeffizient ) β 3 z.b. größer als 0.05 ist sollte für obige Interpretation der Wert ep( β 3 ) herangezogen werden. Die folgende Tabelle soll dies verdeutlichen (die Werte müssen mit 100 multipliziert werden um Prozentwerte zu erhalten): β 3 ep( β 3 ) Beispiel: EU-SILC Daten (2009) für Österreich LOG(WAGE) = EDUC EXPER (0.028) *** (0.002) *** (0.001) *** R 2 = 0.21, s = 0.496, F-Stat = , n = 5133 (Standardfehler in Klammern) Berechnung von durchschnittlichen Wachstumsraten mittels OLS Mit Hilfe einer einfachen log-lin Regression auf den Trend 10 kann einfach eine durchschnittliche Wachstumsrate berechnet werden. Wenn τ die diskrete Wachstumsrate einer Variable ist gilt t = 0 (1+τ) t ln t = ln 0 +ln(1+τ) t Dieser Zusammenhang sollte für jede Periode gelten. Um die diskrete Wachstumsrate τ zu schätzen können wir deshalb t durch eine Trendvariable Trend = 1,2,3,...,T ersetzen. Wenn wir mit 0 den Wert von in der Ausgangsperiode bezeichnen ist ln t = ln }{{} 0 +ln(1+τ) Trend }{{} β 1 β 2 10 Eine Trendvariable nimmt mit jeder Beobachtung um eine Einheit zu, z.b. Trend = 0,1,2,3,...,T. In EViews kann eine Trendvariable mit der erzeugt werden, z.b. series Trend 18

19 Wir können also einfach ln t = β 1 + β 2 Trend+ ˆε t schätzen und aus β 2 = ln(1 + τ) die durchschnittliche diskrete Wachstumsrate τ berechnen, denn aus β 2 = ln(1+τ) folgt τ = ep( β 2 ) 1 Die prozentuelle durchschnittliche diskrete Wachstumsrate ist deshalb τ% := τ 100 = [ep( β 2 ) 1] 100 Wenn β 2 sehr klein ist (z.b. kleiner als 0.05) wird sich β 2 nur geringfügig von τ unterscheiden, bei größeren Werten sollte aber die Korrektur ep( β 2 ) 1 angewandt werden Das Lin-Log Modell Die grafische Abbildung des lin-log Modells findet sich in Abbildung i = β 1 +β 2 ln i = α + β ln β > 0 = α+βln β < 0 e α/β Abbildung 3.10: Lin-log Modell: = α+βln Die Interpretation des Koeffizienten erhält man wieder, indem man die (partielle) Ableitung bildet. Aus der Kettenregel folgt d/d = d/d(ln ) d(ln )/d und somit d d = β

20 bzw. β 2 = d d/ = Änderung in relative Änderung in Um eine prozentuelle Änderung von zu erhalten muss die linke und rechte Seite durch100dividiertwerden,d.h.eineänderungvonum1%führtzueineränderung von um 0.01 β 2 Einheiten, da β 2, 0.01 β 2 = Wann logarithmieren? 100 = Änderung von prozentuelle Änderung von Durch Logarithmierung sind die Steigungskoeffizienten unabhängig von der gewählten Maßeinheit und deshalb einfach zu interpretieren. Darüber hinaus bietet die Logarithmierung Vorteile, wenn die bedingte Verteilung von schief ist oder die Fehlervarianzen von ε nicht konstant sind (Heteroskedastizität), denn häufig erfüllt die Verteilung von ln() die Gauss-Markov Annahmen besser als. Da durch die Logarithmierung die Verteilung gestaucht wird, sind logarithmische Gleichungen häufig auch weniger anfällig gegen Ausreißer (outliers). Sehr häufig werden v.a. Variablen logarithmiert, die im Niveau (Level) gemessen werden, und von denen man annehmen kann, dass sie im Zeitablauf wachsen (z.b. Geldbeträge, Bevölkerung,...). Variablen, die eine Zeitdimension haben, werden seltener logarithmiert. Sehr häufig werden makroökonomische Variablen wie z.b. das BIP logarithmiert, von denen man plausibel annehmen kann, dass sie langfristig ungefähr eponentiell wachsen. Wenn diese Variablen ungefähr mit einer bestimmten durchschnittlichen Wachstumsrate Jahr für Jahr wachsen, dann nimmt der Logarithmus dieser Variablen linear zu. Ein weiterer Grund besteht darin, dass die Standardabweichung vieler ökonomischer Variablen ungefähr proportional zum Niveau dieser Variablen ist, deshalb ist die Standardabweichung der logarithmierten Variablen näherungsweise konstant. In anderen Worten, das Logarithmieren ökonomischer Variablen führt häufig zu einer Art Stabilisierung der Standardabweichung. Achtung: Es ist darauf zu achten, dass keine Variablen logarithmiert werden, die negative Werte annehmen können, da der Logarithmus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Wird eine Variable mit negativen Werten logarithmiert, so gehen die negativen Werte verloren (z.b. na für not available überschrieben). Besondere Vorsicht ist bei Änderungsraten oder Wachstumsraten geboten, die wenn überhaupt nur in ganz speziell begründeten Fällen logarithmiert werden sollten. Das entscheidende Argument für die Wahl der Funktionsform sollte sein, welches Modell mit der Theorie konsistent ist und die Daten am besten abbildet. Wir werden in dem späteren Kapitel Spezifikation einen Test von MacKinnon, White& Davidson kennen lernen, der diese Entscheidung erleichtern sollte. Oft reicht allerdings schon ein Blick auf das Histogramm der geschätzten Residuen um zu erkennen, welche Funktionsform am ehesten angebracht ist. 20

21 Beispiel: Die folgende Regression erklärt den Gehalt von CEO s (Salar, gemessen in 1000 $) in Abhängigkeit vom Verkaufsvolumen der Firmen (Sales, gemessen in Mio. $) und dem Return on Equit (ROE, alle Daten aus Wooldridge 2000). ohne Log: mit Log: SALARY = SALES ROE (3.71) (1.842) (1.772) R 2 = 0.029, s = , N = 209 (t-statistiken in = ROE (14.843) (8.272) (4.519) R 2 = 0.282, s = 0.482, N = 209 (t-statistiken in Klammern) Residuen ohne Log: Series: RESID Sample Observations 209 Residuen mit Log: Series: RESID Sample Observations Mean -3.81E-14 Median Maimum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probabilit Mean -9.94E-16 Median Maimum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probabilit Zusammenfassung: Interpretation der Koeffizienten in Log-Modellen Logarithmen können verwendet werden für die Transformation der abhängigen Variable, der erklärenden Variable(n), oder von beiden, solange die Variablen positiv sind (der Logarithmus einer negativen Variable ist nicht definiert!) Spezifikation Interpretation I. i = β 1 +β 2 ln( i )+ε i Eine Änderung von um 1% geht mit einer Änderung von um 0.01 β 2 Einheiten einher. II. ln( i ) = β 1 +β 2 i +ε i Eine Änderung von um eine Einheit (d.h. = 1) geht ungefähr mit einer Änderung von um 100 β 2 % einher, oder genauer, mit einer Änderung von (ep(β 2 ) 1) 100 Prozent. III. ln( i ) = β 1 +β 2 ln( i )+ε i Eine Änderung von um 1% geht einher mit einer Änderung von um β 2 %, d.h. β 2 kann als Elastizität interpretiert werden. 21

22 3.3 Reziproke Transformationen Eine andere Funktionsform, die z.b. häufig für die Schätzung von Phillips-Kurven herangezogen wird, sind reziproke Transformationen (man verwendet einfach den Kehrwert der Variablen, siehe Abbildung 3.11) = β 1 + β ˆε = α+ β γ β > 0 β < 0 α α γ γ Abbildung 3.11: Reziproke Transformationen Um zum Beispiel die Verkaufsumsätze in Abhängigkeit von den Werbeausgaben zu erklären wird manchmal auch ein log-inverses Modell ln() = β 1 β 2 + ˆε geschätzt. Wie man aus Abbildung 3.12 erkennen kann erlaubt diese S-förmige Funktionsform zuerst zunehmende Grenzerträge von Werbeausgaben, und ab dem Wendepunkt bei β 2 /2 abnehmende Grenzerträge, und nähert sich asmptotisch einem horizontalen Verlauf an. 3.4 Quadratische Modelle und höhere Polnome i = β 1 + β 2 i + β 3 2 i + ˆε i mit = β 2 +2 β 3 Der marginale Effekt ist also nicht konstant, sondern hängt von ab. 22

23 ln() = α+ β Abbildung 3.12: Log-Reziproke Transformationen Achtung: Die Koeffizienten β 2 und β 3 sind einzeln nur selten von Interesse, β 2 gibt nur den marginalen Effekt im Punkt = 0 an! Für quadratische Funktionen kann man immer den Wert von berechnen, bei denen ein Maimum oder Minimum erreicht. Um das Maimum oder Minimum 11 zu bestimmen muss wie üblich die Ableitung nach gleich Null gesetzt und nach gelöst: = β 2 2 β 3 Dies soll anhand einer einfachen Mincer-Lohngleichung demonstriert werden: LOG(WAGE) = EDUC EXPER EXPER 2 (0.03) *** (0.002) *** (0.002) *** (0.000) *** R 2 = 0.236, s = 0.488, F-Stat = , n = 5133 (Standardfehler in Klammern) Der Stundenlohn erreicht demnach bei EXPER = /( Jahren Berufserfahrung ein Maimum. 3.5 Interaktions-Modelle Als erklärende Variablen können auch Produkte einzelner Variablen verwendet werden, z.b. im folgenden Modell das Produkt von 1 und 2 i = β 1 + β 2 i1 + β 3 i2 + β 4 i1 i2 +ε i IndiesenModellenwerden i1 und i2 HaupttermeoderHaupteffekte( main terms ) genannt und das Produkt i1 i2 wird als Interaktionsterm ( interaction term ) bezeichnet. 11 Für ein Minimum muss das Vorzeichen der 2. Ableitung positiv sein, für ein Maimum negativ. 23

24 LOG(WAGE) EXPER Erwarteter Stundenlohn Berufserfahrung Abbildung 3.13: Zusammenhang zwischen erwartetem Stundenlohn und Berufserfahrung. Achtung: Funktionsform erzwingt Smmetrie, der Fit von Polnomen ist häugig nur in-sample gut! (Daten: EU-SILC 2009 Wenn in einem Modell Interaktionsterme berücksichtigt werden sollten auf jeden Fall auch die Hauptterme berücksichtigt werden, da sonst die Gefahr eine Fehlspezifikation aufgrund fehlender relevanter Variablen etrem groß ist (der Interaktionsterm 1 2 ist fast immer mit 1 und 2 korreliert) (Ozer-Balli and Sorensen, 2010). Der marginale Effekte von 1 hängt vom Wert von 2 ab, γ 1 ( 2 ) = 1 = β 2 + β 4 2 d.h. die ceteris paribus Auswirkung einer Änderung von 1 auf hängt auch vom Wert von 2 ab. Wenngetestet werden soll, ob 1 einen Effekt auf hat, darfdeshalb nicht der einfache t-test für den Koeffizienten von 1 herangezogen werden, sondern es muss z.b. mit einem F-Test die gemeinsame Nullhpothese β 2 = 0 und β 4 = 0 getestet werden. Man kann diesen marginalen Effekt z.b. grafisch darstellen, indem man in einer Grafik γ 1 ( 2 ) gegen 2 aufträgt. Der Koeffizient β 2 misst den marginalen Effekt von 1 nur im Punkt 2 = 0! Analog gilt für eine Änderung von 2, wenn 1 konstant gehalten wird, γ 2 ( 1 ) = 2 = β 3 + β 4 1 Der Koeffizient des Interaktionsterms ist einfach die zweite Ableitung β 4 = 1 2 = 2 1 =

25 Man beachte, dass die Funktionsform eine Smmetrie der marginalen Effekte erzwingt (dies ist am zweiten = Zeichen ersichtlich, welches aus Young s Theorem folgt). Vorsicht: (vgl. Brambor et al., 2006) 1. Interpretieren Sie die Koeffizienten des Interaktionsvariable nie als unbdingte marginale Effekte! 2. Falls Sie an den marginalen Effekten interessiert sind berechnen Sie diese für interessierende Werte der anderen Variablen, oder stellen sie diesen grafisch dar. 3. Testen Sie bei marginalen Effekten auf die gemeinsame Signifikanz der entsprechenden Koeffizienten. 4. Berechnen Sie den Standardfehler des marginalen Effekts. Beispiel: LOG(INC) = EDUC EXPER EDUC*EXPER (176.9) (8.991) (5.542) (4.37) R 2 = 0.25, s = 0.517, F-Stat = , n = 3503 (t-statistiken in Klammern) also ln(inc) (EDUC) = EXPER Nach dieser Schätzung steigt der Wert der Bildung (EDUC) mit der Berufserfahrung (EXPER). Bei einer Berufserfahrung von 5 Jahren ist ln(wage) (EDUC) = = das heißt, für jemanden mit 5 Jahren Berufserfahrung würde ein zusätzliches Ausbildungsjahr den Lohn ungefähr um 4.4% erhöhen, bzw. genauer um [ep(0.044) 1] %. Für jemanden mit 20 Jahren Berufserfahrung gilt ln(wage) (EDUC) = = d.h. ein zusätzliches Ausbildungsjahr erhöht den Erwartungswert des Einkommens nach 20 Jahren Berufserfahrung um ungefähr 6% (bzw. genauer um [ep(0.059) 1] 100 = 6.055%). Der hochsignifikante Koeffizient des Interaktionsterms EDUC*EXPER deutet darauf hin, dass der Wert der Bildung mit der Berufserfahrung stärker steigt (bzw., dass der Wert der Berufserfahrung mit der Bildung steigt), als dies durch die individuellen Beiträge von Bildung und Berufserfahrung alleine erklärbar ist. 25

26 In Interaktionsmodellen sind die interagierten Variablen häufig hoch korreliert, also multikollinear. Das muss aber nicht unbedingt ein Problem sein, da diese Funktion selbst nichtlinear ist und deshalb die Regressionsfläche trotzdem gut durch die Beobachtungspunkte abgestützt sein kann. Übersicht: Modell Gleichung Steigung (= d d ) Elastizität (= ) d d Linear = α+β β β(/) Log-linear ln = α+βln β(/) β Log-lin ln = α+β β() β() Lin-log = α+βln β(1/) β(1/) Reziprok = α+β(1/) β(1/ 2 ) β(1/) Achtung: Mit polnomischen Modellen (z.b. quadratischen oder kubischen Modellen) kann man zwar manchmal einen sehr guten Fit in der Stichprobe erreichen, aber für Prognosen sind sie meistens ziemlich unbrauchbar, da die Funktionsform out of sample häufig etreme Verläufe erzwingt. Das Bestimmtheitsmaß R 2 darf nur für den Vergleich von Modellen verwendet werden, in denen die abhängige Variable nicht transformiert wurde und wenn beide Modelle die gleiche Anzahl erklärender Variablen haben. Wenn die abhängige Variable nicht transformiert wurde und beide Modelle eine unterschiedliche Anzahl erklärender Variablen haben kann das korrigierte Bestimmtheitsmaß R 2 verwendet werden. Grundsätzlichsollteweder dasnormaler 2 nochdaskorrigiertebestimmtheitsmaß R 2 für die Einschätzung der Qualität einer Schätzung überinterpretiert werden, da sie nur die Anpassung in der Stichprobe beschreiben. Viel wichtiger ist z.b., ob die geschätzten Koeffizienten die theoretischen Erwartungen erfüllen und signifikant sind. Im Kapitel über Spezifikation werden wir einige weitere Kriterien und Tests kennen lernen. 3.A Appendi 3.A.1 Berechnung von durchschnittlichen Wachstumsraten Bei der Berechnung durchschnittlicher Wachstumsraten werden häufig Fehler gemacht, obwohl dies gerade in den Wirtschaftswissenschaften ziemlich wichtig ist, deshalb werden wir darauf etwas näher eingehen. 26

27 Diskrete Wachstumsraten (i) Unter der diskreten Wachstumsrate verstehen wir die relative Änderung einer Größe zwischen zwei Perioden i = t t 1 t 1 = t t 1 = t t 1 1 Der Quotient t / t 1 wird auch als Wachstumsfaktor bezeichnet. Wenn eine Variable mit einer konstanten diskreten Wachstumsrate i wächst nimmt sie in jeder Periode um i t 1 Einheiten zu. Für t = 1,2,...,T 1 = 0 +i 0 = 0 (1+i) 2 = 1 (1+i) = 0 (1+i)(1+i) = 0 (1+i) 2. T = 0 (1+i) T Sollte die durchschnittliche Wachstumsrate zwischen den Perioden 0 und T berechnet werden, so darf dazu nicht das arithmetische Mittel herangezogen werden! Man kann sich einfach fragen, welche Wachstumsrate i führt vom Wert 0 zu t. Dazu logarithmieren wir T = 0 (1+i) T und lösen nach i ln T = ln 0 +T ln(1+i) 1 T (ln T ln 0 ) = ln(1+i) ( ) 1 ep T ( ln) = 1+i ( [ ]) 1 i 0,T = ep T ln T 1 0 T bezeichnet dabei die Anzahl der Perioden; sollte z.b. die durchschnittliche Wachstumsrate des BIP von berechnet werden, und wird darunter die Periode vom verstanden, so ist T = 6. Stetiges Wachstum (r) Der enge Zusammenhang zwischen Wachstumsraten und der Eponentialfunktion (bzw. dem Logarithmus) wird sofort klar, wenn man mehrere Verzinsungen pro Periode zulässt, und die Anzahl der Verzinsungen pro Periode gegen Unendlich gehen lässt. Wenn die Verzinsung m Mal pro Periode erfolgt ( t = 0 1+ r ) [ mt ( = 0 1+ r ] m/r rt m m) [( = ) w ] rt mit w := m w r 27

28 Wir erinnern uns, dass die Eulersche Zahl als Grenzwert einer Folge dargestellt werden kann ( 1+ w) 1 w = e Also lim m t = 0 e rt := 0 ep(rt) Man beachte, dass in t = 0 (1 + r/m) mt die Zeit noch eine diskrete Variable ist, erst durch die Grenzwertbildung wird die Zeit zu einer stetigen Variable. Außerdem wird hier r als konstant angenommen, aber natürlich müssen tatsächliche Wachstumsraten nicht immer konstant sein. Mit einer stetigen Wachstumsrate kann die Veränderung über die Zeit einfach als Ableitung nach der Zeit berechnet werden d t dt = d( 0e rt ) = r 0 e rt dt Die relative Änderung ist deshalb dt dt t = r 0e rt 0 e rt = r Für sehr kurze Zeitperioden konvergiert die diskrete Wachstumsrate i gegen die stetige Wachstumsrate r { lim i = lim t+ t t 1 } t 0 t 0 t t = d dt 1 = r Wenn eine Variable eponentiell mit konstanter Wachstumsrate r wächst gilt t = 0 e rt, bzw. ln t = ln 0 +rt. Daraus folgt durch Umschreiben r = ln t ln 0 t = ln t Daraus folgt, dass die stetige Wachstumsrate zwischen zwei aneinandergrenzenden Perioden, d.h. wenn t = 1, einfach die logarithmische Differenz ist r t,t+1 = ln t. Ebenso ist aus ln t = ln 0 +rt auch einfach ersichtlich, dass wenn 0 konstant ist. dln t dt Diese Zusammenhänge werden in der empirischen Wirtschaftsforschung ausgiebig genützt, auch weil bei kleinen Wachstumsraten (z.b. r < 0.05) die stetigen Wachstumsraten eine gute Annäherung an die diskreten Wachstumsraten darstellen. = r 28

29 Umrechnen zwischen stetigen und diskreten Wachstumsraten Da zu jedem Zeitpunkt für eine beliebige diskrete Wachstumsrate i genau eine stetige Wachstumsrate r eistiert, die zum gleichen Betrag t führt, kann einfach zwischen diskreten und stetigen Wachstumsraten umgerechnet werden folgt ln 0 +tln(1+i) = ln 0 +rt bzw. 0 (1+i) t = 0 ep(rt) r = ln(1+i) bzw. i = ep(r) 1 Wir haben vorhin gezeigt, dass die stetige Wachstumsrate zwischen zwei Perioden als logarithmische Differenz berechnet werden kann r = ln/t. Wenn man diese in eine diskrete Wachstumsrate umrechnet erhält man wieder i = ep( ln)/t 1. Die prozentuellen Wachstumsraten erhält man wie üblich, indem man diese Wachstumsraten mit 100 multipliziert. Beispiel: Eine Regression des österreichischen BIPs (verkettete Volumenindizes, 2005 = 100, Statistik Austria 12 ) auf den Trend liefert folgendes = ( ) ( ) R 2 = , s = , F-Stat = , DW = , N = 34 ( , Standardfehler in Klammern) Das folgende kleine EViews Programm berechnet die diversen Wachstumsraten für die Periode (34 Perioden). wfcreate(wf=bipaut) a read(t=ls,c7) VGR.ls BIP table(2,3) WR WR(1,1) = "durchschnittl. stetige Wachstumsrate" WR(1,2) = 1/34*( log(@last(bip)) )*100 WR(2,1) = "durchschnittl. diskrete Wachstumsrate" WR(2,2) = (@ep(1/34*( log(@last(bip)) )) - 1)*100 WR(3,1) = "durchschnittl. diskrete Wachstumsrate, OLS" equation WR(3,2) = (@ep(eqlog.@coefs(2)) - 1)*100 show WR durchschnittl. stetige Wachstumsrate (%) r = 1/t(ln t ln 0 )100 = durchschnittl. diskrete Wachstumsrate (%) i = (ep(r) 1)100 = durchschnittl. diskrete Wachstumsr., OLS (%) i = (ep( β 2 ) 1)100 = Wie man auch aus Abbildung 3.14 ersehen kann ist aufgrund des Einbruchs 2009 die durchschnittliche Wachstumsrate, die nur Ausgangs- und Endperiode berücksichtigt, kleiner als die mittels OLS berechnete durchschnittliche Wachstumsrate, die alle Perioden berücksichtigt

30 BIP Austria log(bip) BIP LOG(BIP) BIP Abbildung 3.14: Die Entwicklung des österreichischen BIPs ( ); linke Skala logarithmisch, rechte Skala linear. Literaturverzeichnis Brambor, T., Clark, W. R. and Golder, M. (2006), Understanding interaction models: Improving empirical analses, Political Analsis 14(1), pp URL: Ozer-Balli, H. and Sorensen, B. E. (2010), Interaction Effects in Econometrics, Working Paper Series 7929, CEPR. 30