NAME_TO_CODES("PETER") = [80,69,84,69,82]

Transkript

1 146 5 Codierungstheorie Was haben genetischer Code, Pincode, Barcode, EAN-Code, ASCII-Code und die Hieroglyphen gemeinsam? Sie alle dienen dazu, Informationen kurz und möglichst eindeutig weiterzugeben. Manchmal ist es aber gar nicht so einfach, den Inhalt zu decodieren. Es gibt sogar Fälle, in denen der Inhalt absichtlich unleserlich gemacht wird, also mit Geheimschriften oder Verschlüsselungen gearbeitet wird. (Dieses interessante Thema wird im Abschnitt 6, Kryptographie, näher behandelt.) Auch die Blindenschrift, das Morsealphabet und viele andere Codes dienen der Nachrichtenübermittlung, indem der Informationsgehalt in eine jeweils andere, dem Inhalt und der Nachrichtenübertragung angepasste Form gebracht wird. Aufgabe der Codierungstheorie ist es, mit mathematischen Methoden Verfahren zur fehlerfreien Übertragung von Information zu entwickeln, wobei Übertragungsfehler nicht nur erkannt, sondern möglicherweise auch korrigiert werden sollen. Peter erinnert sich an den ASCII-Code Peter hat im Informatikunterricht den ASCII-Code kennen gelernt und erinnert sich, dass auch im Mathematikunterricht des letzten Jahres davon gesprochen wurde. Er soll seinen Namen PETER zuerst in den ASCII- und dann in den Binärcode umwandeln. Weil er nicht sein Lehrbuch mit der ASCII-Tabelle hervorkramen will, benutzt er seinen Computer und Derive, wandelt dann wie er es gelernt hat die Dezimalzahlen des ASCII-Codes in die entsprechenden Binärzahlen um und ergänzt mit einer Null an der ersten Stelle auf ein 8-stelliges binäres Wort, um ein komplettes Byte zu erzeugen. NAME_TO_CODES("PETER") = [80,69,84,69,82] Umgewandelt in Binärwörter ergibt dies: Der Informatiklehrer gibt nun den Auftrag, die führende Stelle mit dem Wert 0, die ja bloß zum Auffüllen auf ein Byte genutzt wurde, sinnvoll als Prüfbit einzusetzen: Wenn es eine gerade Anzahl von Einsern gibt, bleibt die Null, andernfalls soll ein Einser geschrieben werden. Peter tut dies und gibt seinen Namen ab: Der Lehrer erkennt mit einem Blick, dass Peter einen Fehler gemacht hat Wieso erkennt der Lehrer sofort, dass Peter einen Fehler gemacht haben muss? 5.02 Codiere deinen vollen Namen unter Einsatz von Prüfbits Welche Fehler werden beim Parity Check erkannt und welche nicht? 5.04 In welchen Fällen wird man sich mit der bloßen Erkennung des Fehlers begnügen können? 5.05 Nenne noch mindestens drei weitere Codes, die der Übermittlung von Informationen dienen Die Hieroglyphen waren keine Geheimschrift. Trotzdem dauerte es lange, bis man den Code brechen konnte. Beschreib in wenigen Sätzen, wem und wie es gelang, die Bedeutung der Hieroglyphen zu entschlüsseln (Internet-Recherche) Informiere dich im Internet über den ANSI-Code und den Unicode. Welche Unterschiede bestehen zum ASCII-Code? Das Prüfbit wird auch Paritätsbit genannt. Die Überprüfung mittels dieses Zeichens heißt Parity Check.

2 Codes findet man überall! Die moderne Wirtschaftswelt und Verwaltung ist ohne Einsatz des Computers undenkbar. Mit der zunehmenden Computerisierung reicht die Verwendung von Codes bis weit in die Privatsphäre von uns allen. Einige Beispiele sollen dies belegen ISBN-Code Anfang der 1970er-Jahre wurde zur Erfassung von Büchern der ISBN-Code eingeführt (ISBN = Internationale Standard-Buchnummer). Dabei wird jedem Buch eine aus zehn Zeichen bestehende Nummer zugeordnet, wobei die ersten neun Zeichen aus den Ziffern 0, 1,..., 9 bestehen, während die letzte Stelle auch von einem X besetzt werden kann. Der ISBN-Code besteht aus vier Blöcken, die durch einen Bindestrich oder durch eine Leerstelle getrennt werden. x! 1 - x2 x3 x4 - x5 x6 x7 x8 x9 - x "#$#%! 10 "##$##% Sprache Verlag Kennnummer Prüfziffer Dabei stehen zb für Englisch die Ziffern 0 und 1, für Französisch steht die 2, für Deutsch die Ziffer 3 und für Italienisch die Zifferngruppe 88. Die Aufteilung der Stellen kann variieren. Die Prüfziffer soll dafür sorgen, dass Fehler, die durch Vertauschung von Zeichen oder technisch verursachte Übertragungsfehler entstehen, entdeckt werden. Man spricht hier auch von der Plausibilitätskontrolle. Wie wird nun die Prüfziffer unseres Beispielbuchs ( The Code Book von Simon Singh) berechnet? Die Vorgangsweise ist sehr einfach: Man multipliziert die vorliegenden ersten neun Ziffern der Reihe nach mit den Zahlen 10, 9,..., 2 und addiert diese Produkte. Die Prüfziffer ist dann jene Zahl, die diese gewichtete Summe auf eine durch 11 teilbare Zahl ergänzt. Beispiel: Wir rechnen die Prüfziffer des Code Book nach. Lösung: = 252 Die nächste durch 11 teilbare Zahl ist 253 und die Prüfziffer ist daher 1. Das ist aber eine mühsame Suche! Wenn wir mit dem Divisionsrest arbeiten, wird es viel bequemer: 252:11 = 22, Rest 10. Daher fehlt uns nur 1 auf die nächste durch 11 teilbare Zahl. Das Divisionsergebnis 22 ist gänzlich uninteressant, nur der Rest zählt Überprüfe die ISB-Nummer dieses Schulbuchs. Das Rechnen mit Resten ist eine wesentliche Grundlage der Codierungstheorie und auch der Kryptographie. Im Abschnitt über die Kryptographie werden wir noch näher auf das Rechnen mit Divisionsresten die modulare Arithmetik eingehen. An dieser Stelle wird ein wichtiger Begriff eingeführt: Für den ganzzahligen Rest r, bei der Division a:m (a w, m k, m > 1) wird der Begriff a modulo m eingeführt. Man schreibt r X a mod m und sagt: r kongruent a modulo m. Daher gilt im Beispiel: 10 X 252 mod 11. Das ist äquivalent zu: a r ist durch den Modul m teilbar oder a r ist ein Vielfaches von m. Diesen Rest kann man mit einem Rechenwerkzeug sofort bestimmen, da uns (fast) überall die Modulo- Funktion mod(a,m) zur Verfügung steht. Die Prüfziffer lässt sich nun viel einfacher berechnen: Hier wurde mit Derive gearbeitet. Beim CAS-Rechner geht es vollkommen analog. In Excel heißt die entsprechende Funktion zutreffend REST(Zahl;Divisor). Auf dem GTR kann man sich ganz leicht eine entsprechende Funktion (ein kleines Programm) schreiben.

3 148 Jetzt wirst du sicher einwenden: Was soll ich tun, wenn sich die Prüfziffer 10 ergibt? Ich habe ja nur ein Zeichen für die Prüfziffer zur Verfügung!. Lies dazu den ersten Absatz in diesem Abschnitt noch einmal genau durch: Richtig, dann nimmt man ein X (das römische Zahlzeichen für 10) Wie bestimmt man a mod m ohne Einsatz der mod-funktion des Rechenwerkzeugs? 5.10 Berechne zuerst ohne, dann mit Verwendung von mod(a, m)bzw. REST(a; m): a) mod 131 b) mod 4321 c) mod Wenn du einen GTR zur Verfügung hast, schreib eine Routine (= Funktion oder Programm) zur Bestimmung von x mod m. Hinweis: Die Funktion fpart(a/b) wird dabei hilfreich sein. Ist das nebenstehende Ergebnis (GTR) richtig? 5.12 Zur Bestimmung der Prüfziffern für die folgenden unvollständigen ISB-Nummern kannst du auch eine Excel-Tabelle oder eine selbst erstellte Funktion deines Werkzeugs verwenden. Vergiss nicht, den eventuellen Rest 10 in das Zeichen X umzuwandeln! (Oben mit Excel, daneben auf dem CAS-Rechner durchgeführt.) 5.13 Vervollständige die ISBN-Codes mit ihrer Prüfziffer: a) ! b) ! c) ! d) ! e) ! f) ! Aus welchen Sprachregionen stammen die Verlage? Recherchiere die noch unbekannten Sprachkennungen. Kannst du vielleicht herausfinden, welches das eine oder andere Buch ist? 5.14 Der renommierte deutsche Fachbuchverlag Vieweg hat die Verlagsnummer 528, ein Buch, das sich mit angewandter Wirtschaftsmathematik befasst, hat die Buchnummer Wie lautet der ISBN-Code des Buchs? 5.15 Überprüfe die Richtigkeit der ISB-Nummern. Auch dazu kann ein kleines Programm helfen! a) b) c) Beispiel: Warum zeigt der Rechner für mod( 18,13) das Ergebnis 8 und nicht 5 an? Lösung: r 18 mod 13 heißt, dass 18 r durch 13 teilbar sein muss. Die nächste durch 13 teilbare Zahl ist 26, daher ergibt sich r als 8. Die mod-funktion zeigt immer nur positive Werte an. In Abschnitt wirst du erfahren, dass 5 und 8 gemeinsam mit unendlich vielen anderen ganzen Zahlen als äquivalent anzusehen sind Welche Vermutung kannst du aus den folgenden Berechnungen ziehen? a) 23 mod 10 und 23 mod 10 b) 115 mod 27 und 115 mod 27 c) 1234 mod 39 und 1234 mod 39 d) Kannst du die Vermutung auch beweisen? 5.17 Angenommen, es wären auch negative Module zugelassen. Welche Resultate ergeben sich und welche Zusammenhänge sind erkennbar? Gestatten die Rechenwerkzeuge negative Module? a) 105 mod 17 b) 105 mod 17 c) 105 mod 17 d) 105 mod 17 Peter erklärt Anna den ISBN-Code. Anna ist sehr beeindruckt und experimentiert mit den Resten. Da sie nicht genau aufgepasst hat, passiert ihr ein Missgeschick und sie geht anders vor: Sie multipliziert die ersten 9 Ziffern einer ISB-Nummer der Reihe nach mit 1, 2,..., 9 und bildet von der Summe den Rest

4 149 modulo 11. Sie verwendet bereits diesen Rest als Prüfziffer, die tatsächlich richtig ist. Peter sieht zu und denkt sich: So ein Zufall! Anna macht ein zweites Beispiel und wie es der Zufall will, ihre Prüfziffer stimmt wieder. Ist das wirklich nur Zufall? Nimm drei beliebige ISBN-Codes und kontrolliere die Prüfziffer mit der Anna-Methode. Ganz aufgeregt versucht Peter zu beweisen, dass die beiden Methoden äquivalent sind. Wir schauen ihm dabei über die Schulter. Nach der ersten Methode ergänzt die Prüfziffer p 1 die gewichtete Summe auf eine durch 11 teilbare Zahl: 10x + 9x + 8x + 7x + 6x + 5x + 4x + 3x + 2x + p = 11 k (1) Nach der zweiten Methode ist die Prüfzahl p 2 der Rest bei der Division der verkehrt gewichteten Summe durch 11. Daher können wir schreiben: 1x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x + 8x + 9x - p = 11 k (2) Es bietet sich an, die beiden Gleichungen zu addieren. In der dabei neu entstehenden Gleichung lässt sich links und rechts jeweils die Zahl 11 herausheben. 11 ( x + x + x + x + x + x + x + x + x ) + p - p = 11 ( k + k ) und weiter p - p = 11 ( k + k - x - x - x - x - x - x - x - x - x ) Das heißt aber nun, dass p 1 p 2 restlos durch 11 teilbar ist oder (p 1 p 2 ) 0 mod11. Das kann aber nur dann der Fall sein, wenn p 1 =p 2 (da p 1, p 2 {0,1,2,...,10}). Jetzt ist Peter mächtig stolz auf sich und er beschließt, sich für weitere Codes zu interessieren. Den Strichcode, der oft bei der ISB-Nummer gemeinsam mit einer weiteren Nummer wieder ein Code? zu finden ist, haben Peter und Anna schon oft gesehen. Sie begeben sich mithilfe einer Suchmaschine auf Codejagd im Internet EAN-Code Im Zeitalter der fortschreitenden Globalisierung erwies es sich als notwendig, die unzähligen weltweit hergestellten Produkte eindeutig zu identifizieren. Die Firma IBM entwickelte im Jahr 1973 den ersten Barcode mit dem Namen Universal Product Code (UPC) folgte der European Article Number Code (EAN-Code), der auch in Österreich gebräuchlich ist. Der EAN-Code besteht aus insgesamt 13 Ziffern, von denen die ersten beiden (manchmal die ersten drei) die Länderkennzahl bilden. Bis zur zwölften Stelle folgen die Zifferngruppe für den Hersteller und die Kennnummer des Produkts. Einige wichtige Länderkennzahlen sind: USA und Kanada 00 bis 13, Japan 45 und 49, Schweiz 76, Italien 80 bis 83, Österreich 90 und 91. Die Prüfziffer wird berechnet, indem die ersten zwölf Ziffern der Reihe nach von links beginnend abwechselnd mit 1 und 3 multipliziert werden. Jene Zahl, die die Summe dieser Produkte auf die nächste durch 10 teilbare Zahl ergänzt, ist die Prüfziffer. Das soll am EAN-Code eines wichtigen Schreibtischutensils gleich nachgerechnet werden. Die ersten zwölf Stellen lauten Die nach der Vorschrift gewichtete Summe ergibt: = 35. Die Ergänzung auf 40 ist 5 und das ist auch die Prüfziffer. Ähnlich wie beim ISBN-Code ergibt sich die Formel : EANPrZ = 10 gewichtete Summe mod 10.

5 Welche Länderkennzeichen tragen Produkte aus Deutschland? Recherchiere im Internet Besprich im BWL-Unterricht die Vorteile des EAN-Codes und seiner Übersetzung in die von einem Scanner leicht lesbare Form den Strich- oder Barcode. Wo hast Du den Barcode schon gesehen? 5.20 Was hat eine Bar mit dem Barcode und was hat eine Stecknadel mit dem PIN-Code zu tun? Erkläre die Namen dieser Codes Ergänze die EAN-Codes: a) ! b) ! c) ! Überprüfe die Richtigkeit der EAN-Codes. Auch dabei kann dein Werkzeug helfen! a) b) c) Beim EAN-Code werden wie beim ISBN-Code durch die Prüfziffer Einzelfehler erkannt aber nicht korrigiert. Zusätzlich lässt der EAN-Code phonetische Fehler erkennen, während der ISBN-Code Vertauschungsfehler (Transpositionsfehler) aufzeigt. Bei den phonetischen Fehlern wird zb 40 mit 14 oder 50 mit 15 oder umgekehrt vertauscht. Das passiert in der englischen Sprache noch häufiger: forty fourteen, fifty fifteen usw. Beispiel: In einer ISB-Nummer sollte an einer bestimmten Stelle eine 8 stehen. Zeige, dass keine andere Ziffer an dieser Stelle stehen kann. Lösung: Nehmen wir zb an, dass die Acht an der 7. Stelle (von links) stehen soll. Wir vergleichen die richtige mit der falschen ISB-Nummer (hier steht z an der 7. Stelle): richtige Nummer: 10x1 + 9x2 + 8x3 + 7x4 + 6x5 + 5x x8 + 2x9 + p = 11 k falsche Nummer: 10x1 + 9x2 + 8x3 + 7x4 + 6x5 + 5x6 + 4 z + 3x8 + 2x9 + p = 11 k Wir subtrahieren die beiden Gleichungen und erhalten: 4 (8 - z) = 0. Diese Gleichung ist nur für z = 8 erfüllt, die linke Seite lässt also bei Division durch 11 nur dann den Rest 0, wenn z = Wähle aus der ISBN des Beispiels die Ziffer Acht an einer beliebigen anderen Stelle und zeige, dass es zu einem Widerspruch in der Gleichung führt, wenn die Ziffer falsch übertragen wird In einer ISB-Nummer stehen an den Stellen 3 und 4 die Ziffern 5 und 2. Sie werden bei der Übertragung in eine Datenbank vertauscht. Zeige, dass dieser Fehler durch die implementierte Plausibilitätskontrolle (Prüfziffer) erkannt wird Zeige, dass auch die Vertauschung von nicht benachbarten Ziffern entdeckt wird. Wähle zwei beliebige Ziffern an beliebigen Stellen. Du kannst auch versuchen, dies allgemein zu zeigen Doppelfehler werden im ISBN-Code nur zum Teil erkannt. An der 7. und 8. Stelle stehen 8 und 2. Anstelle der Acht wird eine Fünf übertragen. Welche fehlerhafte(n) Ziffer(n) an der anderen Stelle (8.) führen dazu, dass die Prüfziffer keinen Fehler anzeigt? 5.27 Zeige, dass in einer beliebigen EA-Nummer mit der Ziffernfolge 16 an einer beliebigen Stelle die fehlerhafte Ziffernfolge 60 an dieser Stelle sicher entdeckt werden kann Wie Aufgabe 5.28, aber anstelle von 90 an den Stellen 3 und 4 wird 19 übermittelt. Zeige, dass dieser Fehler entdeckt wird Der EAN-Code liegt vor. Bei einer Weitergabe des Codeworts werden die beiden ersten Stellen vertauscht. Zeige, dass dieser Fehler nicht entdeckt wird. Kannst du auch den Grund dafür angeben? 5.30 Zeige an einem selbst gewählten Beispiel, dass im EAN-Code auch Einzelfehler und nicht nur phonetische Fehler erkannt werden. In der Abbildung des ISBN-Codes zu Beginn von findet sich auch ein Barcode und darunter der EAN- Code des Buchs. Die ISB-Nummer kann leicht zu einem EAN-Code erweitert werden: Dazu wird dem ISBN-Code (ohne Prüfziffer) 978 oder 979 vorangestellt und eine neue Prüfziffer nach den Regeln des EAN-Codes berechnet Ermittle den EAN-Code zu den vorliegenden ISB-Nummern, wobei überall 978 voranzustellen ist: a) b) c) X

6 Weitere Codes Auch in der österreichischen Sozialversicherungsnummer gibt es eine Prüfziffer. xxx "#$#% laufende Nummer! p Prüfz. TTMMJJ " #$##% Geburtsdatum Die Ziffernfolge wird von links nach rechts mit 3, 7, 9, 5, 8, 4, 2, 1 und 6 multipliziert und die Produkte werden addiert. Die Prüfziffer p ist die Summe modulo 11. (Beim Rest 10 wird die laufende Nummer nicht vergeben.) 5.32 a) 161p111145, berechne die Prüfziffer p. b) Überprüfe deine Sozialversicherungsnummer. Jede Firma erhält bei Eintragung ins Handelsregister eine 7-stellige Firmennummer, die an der letzten Stelle einen Buchstaben als Prüfziffer enthält. Die ersten sechs Stellen (die eventuell links mit führenden Nullen aufzufüllen sind), werden der Reihe nach mit den Zahlen 6, 4, 14, 15, 10 und 1 multipliziert. Das Ergebnis der Summe der Produkte modulo 17 wird gemäß der nachfolgenden Tabelle in einen Buchstaben übersetzt A B D F G H I K M P S T V W X Y Z 5.33 a) Warum werden hier Prüfbuchstaben verwendet? b) Eine Firma erhält die Nummer Wie lautet die komplette codierte Firmennummer? Bei Kreditkarten (Euro/Mastercard, Visa) ergibt sich die Prüfziffer, die an der letzten Stelle steht, folgendermaßen: Die Ziffern werden rechts beginnend der Reihe nach abwechselnd mit 2 und 1 multipliziert. Die Prüfziffer erhält man, indem man die Ziffernsumme (Quersumme) über alle Produkte modulo 10 von 10 subtrahiert. Sollte sich dabei 10 ergeben, dann ist die Prüfziffer 0. Diese Methode gilt auch für die Miles&More-Karte von Fluggesellschaften Überprüfe mindestens zwei Kartennummern von Euro/Mastercard oder Visa. 5.2 Quellencodes Unter einem Quellencode versteht man eine Übersetzung einer Information in eine für die Maschine (Computer) lesbare Form. Dazu benötigt man einen Zeichenvorrat (= Alphabet) aus dem Codewörter gebildet werden. Die Menge aller möglichen Codewörter wird in ihrer Gesamtheit als Code bezeichnet. Letztlich ist die binäre Darstellung wie im Einführungsbeispiel durchgeführt am besten geeignet. Hier besteht das Alphabet aus {0, 1} und der Code aus achtstelligen binären Wörtern. Außerdem wird dort die Quellencodierung gleich mit einer Fehlererkennung verbunden Heute schon gezippt? Huffman-Code Wenn du große Datenmengen über verschicken willst, dann wirst du die Dateien komprimieren. Dazu stehen eigene Programme zur Verfügung, von einem dieser Programme leitet sich das Zippen ab. Komprimierte Dateien haben meist die Dateierweiterung zip oder rar. Besonders Grafikdateien (Fotos, gescannte Bilder uä) sind oft sehr umfangreich, da kommen gleich einige Megabyte zusammen. Intelligente Algorithmen erzielen eine verlustfreie Komprimierung auf deutlich kleinere Datenmengen. Hier wurde eine Derive-Datei, die einige Grafiken enthält, gezippt. Du kannst selbst sehen, welchen Effekt die Datenkomprimierung dabei hat.

7 152 Eine ganz einfache Methode ist die folgende: In einer Grafik finden sich hintereinander 3878 weiße Bildpunkte (Pixel), gefolgt von 132 schwarzen Pixel. Anstelle einer durchgehenden Aufzählung w, w,..., w, s, s,..., s kann abgekürzt werden: w, 3878, s, 132. Dabei geht keine Information verloren. bei der komprimierung von texten laesst man sich von der unterschiedlichen haeufigkeit der zeichen in dem zu codierenden text leiten. wir wollen das an einem einfachen beispiel demonstrieren, wobei wir nur kleinbuchstaben, zwischenraeume und satzzeichen verwenden wollen. dieser text wird verwendet. Zeichen mit hoher Häufigkeit erhalten kurze Codewörter, um Bits zu sparen! Diese Idee ist auch beim Morse-Code verwirklicht, bei dem das Zeichen e durch ein Codewort der Länge 1, nämlich einen, das Zeichen q dagegen durch ein Codewort der Länge 4, nämlich codiert wird. Zur Erzeugung des Huffman-Codes konstruieren wir einen binären Baum. Das ist ein gerichteter Graph, der aus Knoten und Kanten (= Pfeilen) besteht. Die Knoten sind die Verzweigungen und die Kanten die Äste des Baums. Zu jedem Knoten führt höchstens eine Kante. Von jedem Knoten, der nicht am Ende des Baums liegt, gehen genau zwei Kanten weg. Die zu codierende Nachricht ist: dieser text wird verwendet.. Wenn wir den ASCII-Code ohne Prüfbit verwenden, dann ist unsere Nachricht 27 7 = 189 bit lang. Zuerst bestimmen wir durch Abzählen die Häufigkeit der einzelnen Zeichen. Das kann händisch erfolgen, für längere Texte verwenden wir in sinnvoller Weise den Computer. Nun behandeln wir den Ansatz von oben: Erzeuge für jedes im Text vorkommende Zeichen einen Knoten. Bewerte diesen mit der Häufigkeit des Zeichens. Solange, bis nur mehr ein Knoten bleibt, auf den kein Pfeil (bzw. keine Kante) zeigt: Verbinde zwei Knoten mit minimalen Werten, zu denen noch kein Pfeil hinführt, über Pfeile von einem neuen, darüber liegenden Knoten. Als Wert erhält der neue Knoten die Summe der Werte der beiden Ausgangsknoten. Links findest du das Struktogramm des Algorithmus. Wir wollen diesem Struktogramm folgen und den Huffman-Baum für den Code dieser Nachricht erzeugen. Anschließend werden wir die Effizienz des Codes prüfen, ihn verwenden und zeigen, wie die codierte Nachricht wieder in lesbare Form gebracht werden kann. Wir suchen der Reihe nach die Knotenpaare mit minimalen Werten und fassen sie über einen übergeordneten Knoten zusammen. Die Kanten werden mit 0 (links) und 1 (rechts) bezeichnet (willkürlich). Das Paar (2,2) wird zum Knoten 4 zusammengefasst. Dann ergeben sich zwei weitere Paare, die über Kanten verknüpft werden (Schritte 5 und 6).

8 153 Knoten 3 und 4 bilden ein minimales Paar und werden im Knoten 7 zusammengeführt. Parallel dazu erhalten die Knoten 5 und 6 ihren gemeinsamen Ausgangspunkt im Knoten 11. Das nächste Paar findet sich mit 9 und 7. Nachdem 9 und 7 vereinigt wurden, bleibt der Knoten mit dem Wert 11. Beide werden dann von der gemeinsamen Wurzel 27 mit Kanten verbunden. Damit bleibt nur mehr ein Knoten, in den keine Kante führt. Das Ende des Algorithmus ist erreicht. Als Probe erkennen wir, dass der Wert des letzten Knotens die Summe aller (absoluten) Häufigkeiten, also 27 ist. Wir erkennen, dass häufige Zeichen sehr nahe an der Wurzel liegen, seltene dagegen in den Wipfeln. Die Codes für die Zeichen ergeben sich, indem man den Graph von der Wurzel bis zum Blatt verfolgt: Das e wird mit 011 codiert, das x mit 0010, das r mit 111, das v mit usw. Damit ergeben sich für seltene Buchstaben lange Wege und somit lange Codewörter, für häufige hingegen kurze. Der Huffman-Code ist der Code, der mit der minimalen Anzahl an Bits auskommt. Code (hcode1) und codierter Text (demo) lauten: (demo ist die Nachricht dieser text wird verwendet..) Der codierte Text wird decodiert, indem man Bit für Bit den vorgeschriebenen Weg jeweils von der Wurzel verfolgt, bis man zu einem Blatt gelangt. Dann hat man das codierte Zeichen gefunden: ergibt der Reihe nach: dies... Natürlich muss der Code mitgeschickt werden, wenn er sich aus dem Text berechnet. Es gibt für jede Sprache jedoch typische Häufigkeiten, mit denen die Zeichen auftreten. Wenn man vereinbart, diese Häufigkeiten zu Grunde zu legen, kann man auf das Mitsenden des Codes verzichten Auch aus dem Baum lässt sich die Länge des codierten Textes ablesen. Findest du den Weg? 5.36 Führe die vollständige Decodierung des Textes demo mithilfe des Huffman-Baums durch. Vergleiche die Anzahl der Bits des komprimierten Textes mit konventioneller Binär-Codierung, wo man bei nur zwölf verschiedenen Zeichen noch mit 4 Bit je Zeichen auskäme. Wäre auch hier die Huffman-Codierung bereits ein Gewinn? 5.37 Warum bringt unsere adaptive Methode, die die Häufigkeit aus dem vorliegenden Text ermittelt, nur bei längeren Texten einen echten Vorteil? 5.38 Erzeuge den Huffman-Code für: MATHE MIT GEWINN 2. Codiere und decodiere. Konstruiere zwei verschiedene Huffman-Bäume und zeige, dass beide codierten Nachrichten gleiche Länge aufweisen.

9 Kanalcodes Die nächste Abbildung zeigt den kompletten Weg einer Nachricht vom Sender zum Empfänger. Oft wird zum Zweck der Übertragung nochmals codiert. Diese Codes werden Kanalcodes genannt. Beim Empfänger der Information muss dann in zwei Schritten decodiert werden. Die Menge aller zulässigen Codewörter wird Code genannt. Gerade bei der Datenübertragung (über einen Kanal ) können aber Fehler entstehen. Wenn du daran denkst, welche Entfernungen zb Signale von Raumfahrzeugen überwinden müssen, kannst du dir sicher vorstellen, dass einzelne Bits falsch übertragen werden oder überhaupt verloren gehen. Daher sind fehlerkorrigierende Codes gefragt. Nachricht Rauschen, Störung, Kanaldecodierung Sender Quellencodierung Kanal Quellendecodierung Empfänger Kanalcodierung Lauscher,... Nachricht Wiederholungscode Die Entwicklung von leistungsfähigen fehlerkorrigierenden Codes wurde ein eigener Zweig der Informationswissenschaften. Die einfachste Methode besteht darin, dass man die Nachricht dreimal wiederholt sendet. Dabei nimmt man an, dass ein Übertragungsfehler zweimal an der gleichen Stelle sehr unwahrscheinlich ist. Captain Kirk sendet aus den Tiefen der Galaxis eine Information an Station LUNA, die nur aus 8 Bits besteht: Er schickt die Nachricht mit dem Wiederholungscode (daher sendet er ). Schwere elektromagnetische Stürme haben dem Signal etwas zugesetzt und Mr. Spock empfängt ( ?100). Was hat Kirk geschrieben? Mr. Spock legt seine Schlitzohren an, dann schreibt er die drei Blöcke untereinander: ? Er vergleicht spaltenweise. Wenn alle Bits übereinstimmen, dann ist alles o.k. In den Spalten ohne totale Übereinstimmung kann Spock annehmen, dass höchstens ein Signal falsch ist und er nimmt jenen Wert, der zweimal auftritt. Die Hinzunahme von zusätzlichen redundanten Bits erhöht die Übertragungssicherheit. Unter der Informationsrate versteht man das Verhältnis der Länge der tatsächlichen Information zur Gesamtlänge des Codeworts. Der Dreifach-Wiederholungscode hat die Informationsrate 1 3. Eine wichtige Größe in der Codierungstheorie ist die Hamming-Distanz zweier Codewörter (Richard Wesley Hamming, ). Sie ist die Anzahl der Stellen, an denen sich zwei zulässige Codewörter unterscheiden. Die kleinste auftretende Hamming-Distanz ist die Distanz des Codes. Je größer die Distanz des Codes, desto mehr Fehler kann man in einem Wort entdecken oder korrigieren. Beispiel: Welche Hamming-Distanz hat von und von 11010? Lösung: und unterscheiden sich an 5 Stellen, daher Hamming-Distanz 5; und haben die Hamming-Distanz Bestimme die Hamming-Distanzen von a) und b) und c) und Welche 3-Bit-Wörter haben von 101 eine Hamming-Distanz unter 2? 5.41 Welche Informationsrate hat der ASCII-Code mit Prüfbit?

10 5.42 Ein bestimmter Code dient nur dazu, die Informationen 00, 01, 10 und 11 zu übertragen. Dazu werden drei Prüfbits angefügt. Der komplette Code besteht dann aus den Wörtern 00000, 01111, 10101, Alle Fehler, die durch ein fehlerhaft übertragenes Bit entstehen, können nicht nur entdeckt, sondern auch korrigiert werden. a) Welche Informationsrate hat dieser Code? b) Bestimme alle Hamming-Distanzen der Codewörter untereinander und dann die Distanz des Codes. c) Erstelle eine Liste aller Wörter, die von die Hamming-Distanz 1 haben. d) Wenn ein fehlerhaftes Wort in einer Nachricht auftritt, wird es durch dasjenige Wort des Codes korrigiert, zu dem es die jeweils kleinste Hamming-Distanz hat. Welche Nachricht wurde mit ( ) übertragen? e) Versuche, mindestens ein fehlerhaftes Wort zu finden, das nicht korrigiert werden kann Hamming-Code Der Hamming-Code ist ein ausgeklügeltes System zur Fehlerkorrektur. Um eine 4-Bit-Nachricht zu übertragen, benötigt man drei zusätzliche Prüfbits, wenn man einen Fehler pro Codewort korrigieren können will. Das siebenstellige Codewort setzt sich so zusammen: Die Datenbits (die quellencodierte Nachricht) besetzen die Stellen 3, 5, 6 und 7 und an die Stellen 1, 2 und 4 (Potenzen von 2!) kommen die Prüfbits nach folgender Regel (es sind wieder Paritätsbits, die sich nach gerader oder ungerader Anzahl der Einser richten): Nachricht = 4 Bits codierte Nachricht, bestehend aus den Daten- und Prüfbits Stellen: n1 n2 n3 n4 n1 + n2 + n4 mod 2 n1 + n3 + n4 mod 2 n1 n2 + n3 + n4 mod 2 n2 n3 n Was geschieht, wenn dieses Codewort richtig übertragen wird? Die Paritätsprüfung funktioniert folgendermaßen: Parität 1: (St1 + St3 + St5 + St7) ( ) 0 mod 2 Parität 2: (St2 + St3 + St6 + St7) ( ) 0 mod 2 Parität 3: (St4 + St5 + St6 + St7) ( ) 0 mod 2 Die drei Ergebnisbits ergeben von unten nach oben gelesen die dreistellige Binärzahl (000) 2 = 0, die man Syndrom nennt. Das Syndrom 0 zeigt die fehlerfreie Übertragung an. Noch interessanter ist die Frage, was geschieht, wenn das Codewort ein falsches Bit enthält. Wir nehmen an, das Codewort wird als empfangen. Die drei Paritäten werden wieder überprüft. Parität 1: (St1 + St3 + St5 + St7) ( ) 0 mod 2 Parität 2: (St2 + St3 + St6 + St7) ( ) 1 mod 2 Parität 3: (St4 + St5 + St6 + St7) ( ) 1 mod 2 Das Syndrom (110) 2 = 6 sagt uns, dass das Bit an der sechsten Stelle umzukehren ist. Daher lautet die korrigierte Nachricht Eine Nachricht wird zuerst quellencodiert, indem die Zeichen in den ASCII-Code übertragen werden, wobei nur mit den ASCII-Wörtern 32 bis 90 in Dezimalzahlen gearbeitet wird. Die beiden Stellen jedes ASCII-Worts werden binär dargestellt und mit dem oben vorgestellten Hamming-Code gesendet. Codiere die Nachricht HELLO WORLD! Überprüfe anschließend die Syndrome der Codewörter. Die binäre Codierung von Dezimalzahlen nennt man BDC = Binärer Dezimal-Code Übertrage das Datum über den BDC in den Hamming-Code.

11 Kirk sendet vom Raumschiff Enterprise an Mr. Spock die Nachricht: Sie hat in den Weiten des Alls schon sehr gelitten. Was will Captain Kirk mitteilen? 5.46 Mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms kannst du dir eine Codierungshilfe schaffen. Welcher Text wurde hier im BDC codiert? Hinweis: Hier wurde mit einem Tabellenkalkulationsprogramm für den CAS-Rechner gearbeitet, mit Excel läuft das genau so. 5.4 Zusammenfassung Die Codierungstheorie liefert die Grundlagen für die Erzeugung von effizienten Codes zur Datenübermittlung. Mit möglichst geringer Redundanz wird maximale Datensicherheit angestrebt, wobei Fehlererkennung oder Fehlerkorrektur möglich sein sollen. Quellencodes bringen die Informationen in eine für die Maschine lesbare Form. Kanalcodes dienen zur Übertragung der Informationen, wobei hier Fehler erkennende und Fehler korrigierende Verfahren eingesetzt werden. Eine wichtige mathematische Grundlage ist das Rechnen mit den Resten bei Division mit ganzen Zahlen, das man Modulararithmetik nennt. Wichtige Anwendungsgebiete für die Codierungstheorie sind unter anderem der Datentransfer im Weltraum, die Codierung von Daten auf CDs und die Komprimierung von Grafik- und anderen Dateien (gezippte Dateien). 5.5 Weitere Aufgaben 5.47 Das Prüfbit beim 8-stelligen ASCII-Code mit Prüfbit kann mit einer Modulo-Rechenoperation erzeugt werden. Auch der Parity Check zur Überprüfung eines legalen (dh. richtig konstruierten) ASCII-Worts lässt sich sehr einfach mit der Modulararithmetik durchführen. Was sind die jeweiligen Rechenvorgänge? 5.48 Erzeuge mit deinem Werkzeug eine Tabelle, eine Funktion oder ein Programm, das mit dem Hamming-Code codierte Nachrichten auf Richtigkeit überprüft bzw. 1-Bit-Fehler korrigiert. (Die Abbildung zeigt eine Möglichkeit mit Derive.) 5.49 Nimm drei beliebige legale Codewörter aus Aufgabe 5.44 und bestimme deren Hamming- Distanzen.